êåöüëáéï Çëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç Ç ëýîç çëåêôñéóìüò óõíþèùò ìáò ìåôáöýñåé óå åéêüíåò ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óýã ñïíç ôå íïëïãßá, üðùò öþò êáé çëåêôñéêþ åíýñãåéá, êéíçôþñåò, çëåêôñïíéêü êõêëþìáôá êáé óõóêåõýò, õðïëïãéóôýò. ÁëëÜ ïé çëåêôñéêýò äõíüìåéò ðáßæïõí áêüìá ðéï óçìáíôéêü ñüëï óôç æùþ ìáò. Óýìöùíá ìå ôçí áôïìéêþ èåùñßá, ïé çëåêôñéêýò äõíüìåéò ìåôáîý ôùí áôüìùí êáé ôùí ìïñßùí åßíáé õðåýèõíåò ãéá ôç óõãêñüôçóç ôçò ýëçò êáé ôùí ó çìáôéóìü ôùí õãñþí êáé ôùí óôåñåþí. Ïé çëåêôñéêýò äõíüìåéò õðåéóýñ ïíôáé åðßóçò óôéò äéáäéêáóßåò ôïõ ìåôáâïëéóìïý óôï áíèñþðéíï óþìá. ÅðïìÝíùò, ç ìåëýôç ôïõò áðïôåëåß âáóéêü êåöüëáéï óôç óýã ñïíç öõóéêþ. O çëåêôñéóìüò åßíáé ôï ãíùóôéêü ðåäßï ôçò ÖõóéêÞò, ôï ïðïßï áó ïëåßôáé ìå ôç ìåëýôç ôùí öáéíïìýíùí, ðïõ äçìéïõñãïýíôáé áðü ôçí ýðáñîç êáé ôçí áëëçëåðßäñáóç çëåêôñéêþí öïñôßùí. Ôá çëåêôñéêü öïñôßá äéáêñßíïíôáé óå èåôéêü êáé áñíçôéêü, óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôïõ Benjamin Fanklin (76-79). ¼ôáí ôá öïñôßá, ôá ïðïßá ìåëåôïýìå, åßíáé áêßíçôá Þ êéíïýíôáé ìå ðüñá ðïëý ìéêñýò ôá ýôçôåò, ôï áíôßóôïé ï ãíùóôéêü ðåäßï ïíïìüæåôáé çëåêôñïóôáôéêþ... Íüìïò ôïõ Coulomb Ç ðïóïôéêþ ìåëýôç ôùí öáéíïìýíùí Ýëîçò êáé Üðùóçò ìåôáîý ôùí çëåêôñéêþí öïñôßùí ïäþãçóå óôç äéáôýðùóç åíüò íüìïõ áðü ôïí Áugustin de Coulomb (785), o ïðïßïò åßíáé áíôßóôïé ïò ìå ôï íüìï ôçò ðáãêüóìéáò Ýëîçò ôïõ Newton. Óýìöùíá ìå ôï íüìï ôïõ Coulomb, äýï óçìåéáêü öïñôßá q êáé q, ôá ïðïßá áðý ïõí áðüóôáóç, áóêïýí ôï Ýíá óôï Üëëï çëåêôñéêþ äýíáìç, ç ïðïßá åßíáé áíüëïãç ôùí äýï öïñôßùí êáé áíôéóôñüöùò áíüëïãç ôïõ ôåôñáãþíïõ ôçò ìåôáîý ôïõò áðüóôáóçò. H äýíáìç áõôþ ïíïìüæåôáé äýíáìç Coulomb.
4 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ Ç äýíáìç Coulomb åßíáé äéáíõóìáôéêü ìýãåèïò ìå äéåýèõíóç ôç äéåýèõíóç ôçò åõèåßáò, ç ïðïßá åíþíåé ôá äýï öïñôßá. H äéáíõóìáôéêþ ôçò Ýêöñáóç äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç qq F = k eˆ çë (-) üðïõ F åßíáé ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé áðü ôï öïñôßï q óôï öïñôßï q êáé ê åßíáé ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá, ðïõ êåßôáé ðüíù óôçí êáé Ý åé öïñü áðü ôï öïñôßï q óôï öïñôßï q. Óôï äéåèíýò óýóôçìá (SI) ç ìïíüäá ôïõ öïñôßïõ ïíïìüæåôáé Coulomb êáé ôï óýìâïëü ôçò åßíáé ôï C. Ç óôáèåñü áíáëïãßáò k çë åîáñôüôáé áðü ôï óýóôçìá ìïíüäùí. Óôï äéåèíýò óýóôçìá (SI) éóïýôáé ìå 9 9 = @ çë (-) k 8.99 N m /C 9 N m /C Ç áêñßâåéá ôïõ íüìïõ ôïõ Coulomb Ý åé åëåã èåß ìå óýã ñïíá ðåéñüìáôá ìåãüëçò áêñßâåéáò. Äéáðéóôþèçêå, üôé ï åêèýôçò ôçò áðüóôáóçò ôùí öïñôßùí ðïõ áëëçëåðéäñïýí åßíáé áêñéâþò ìå áðüêëéóç ± -6. ÅÜí ôá öïñôßá q êáé q åßíáé ïìüóçìá, ôüôå ôï ãéíüìåíü ôïõò åßíáé èåôéêü êáé ç äýíáìç F Ý åé ôçí ßäéá öïñü ìå ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá ê, ïðüôå ôåßíåé íá áðïìáêñýíåé ôï öïñôßï. Ç äýíáìç Coulomb óôçí ðåñßðôùóç áõôþ åßíáé áðùóôéêþ, ó.(á) êáé (â). ÅÜí ôá öïñôßá q êáé q åßíáé åôåñüóçìá, ôüôå ôï ãéíüìåíü ôïõò åßíáé áñíçôéêü êáé ç äýíáìç F Ý åé áíôßèåôç öïñü áðü ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá ê, ïðüôå ôåßíåé íá öýñåé ôï öïñôßï q ðñïò ôç èýóç ôïõ öïñôßïõ q. Ç äýíáìç Coulomb óôçí ðåñßðôùóç áõôþ åßíáé åëêôéêþ, ó.(ã). Ó Þìá. Aí õðüñ ïõí ðåñéóóüôåñá áðü äýï óçìåéáêü öïñôßá, ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ðüíù óå Ýíá ïñéóìýíï öïñôßï q áðü ôá õðüëïéðá q i, ôùí ïðïßùí
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 5 ôï ðëþèïò Ýóôù üôé åßíáé Í, ðñïêýðôåé áðü ôï äéáíõóìáôéêü Üèñïéóìá ôùí äõíüìåùí ðïõ áóêïýíôáé óôï öïñôßï q o, ïðüôå èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç q F = q e 4ðå N i å ˆ io i= io (-3) üðïõ io = io åßíáé ç áðüóôáóç ìåôáîý ôïõ öïñôßïõ q i êáé ôïõ öïñôßïõ q o, åíþ ê åßíáé ôï áíôßóôïé ï ìïíáäéáßï äéüíõóìá ôçò io io ìå öïñü áðü ôï qi óôï q o. Ç ó Ýóç (-3) áðïôåëåß Ýêöñáóç ôçò áñ Þò ôçò åðáëëçëßáò. ÐáñÜäåéãìá. -4 íá óçìåéáêü öïñôßï Q =- 3.6 C âñßóêåôáé óå áðüóôáóç.45 m áðü -4 óçìåéáêü öïñôßï q = 8.3 C. Óå ðïéá èýóç êáôü ìþêïò ôçò åõèåßáò ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá öïñôßá ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óå öïñôßï q' åßíáé ßóç ìå ìçäýí; Ëýóç ÊáôÜ ìþêïò ôïõ åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò ðïõ åíþíåé ôá äýï öïñôßá ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï öïñôßï q' áðü ôï öïñôßï Q åßíáé áíôßèåôç óôç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé áðü ôï öïñôßï q. Ãéá íá åßíáé ìçäýí ç äýíáìç ðüíù óôï öïñôßï q' èá ðñýðåé: êáé ôåëéêü Ó Þìá. q'q q'q = Þ 4ðå 4ðå (d - ) Q(d - ) = q Þ Q(d - d + )- q = (Q q) dq + Qd = Áðü ôçí åîßóùóç áõôþ ðñïêýðôïõí ïé ëýóåéò:, Qd ± (-Qd) -4(Q -q)(qd ) = = (Q -q) ± - + ± = = (Q-q) (Q-q) Qd 4Q d 4Q d 4qQd Qd qqd
6 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ Ìå áíôéêáôüóôáóç ðñïêýðôåé: =-.87 m êáé =.8 m Ç ðñþôç ëýóç áðïññßðôåôáé ãéáôß óôç èýóç áõôþ ôï ìýôñï ôùí äõíüìåùí åßíáé ßóï, áëëü ç äéåýèõíóþ ôïõò åßíáé ßäéá. Ç èýóç óôçí ïðïßá ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óå öïñôßï q' åßíáé ßóç ìå ìçäýí âñßóêåôáé óôç èýóç =.8 m. ÐáñÜäåéãìá. Íá âñåèåß ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï öïñôßï Q 3 ôïõ ó..3 áðü ôá öïñôßá Q êáé Q. Ó Þìá.3 Ëýóç ¼ðùò öáßíåôáé óôï ó..3 ç äýíáìç F 3 åßíáé áðùóôéêþ, åíþ ç äýíáìç F 3 åßíáé åëêôéêþ. Ãéá ôï ìýôñï ôçò êüèå äýíáìçò éó ýåé: 9 5 5 QQ 3 (9. Nm / C )(6.5 C)(8.6 C) F = k = = 4 N 3 (.6 m) 3 F = k = = 33 N 9 5 5 QQ 3 (9. Nm /C )(6.5 C)(5. C) 3 (.3 m) 3 Ç äýíáìç F Ý åé óõíéóôþóá ìüíïí êáôü ôïí Üîïíá y, F = F eˆ 3 3 3y y. Áíáëýïõìå ôçí äýíáìç F óå óõíéóôþóåò êáôü ôïõò Üîïíåò êáé y. Åßíáé 3
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ üðïõ F = F eˆ F eˆ 3 3 3y y o o F = F cos3 = (4 N) cos 3 = N 3 3 7 = = = o o F F sin3 (4 N)sin3 7 N 3y 3 Ïé óõíéóôþóåò ôçò äýíáìçò F ðïõ áóêåßôáé óôï öïñôßï Q 3 èá åßíáé F = F = N 3 F = F F = 33 7 = 6 N y 3y 3y Ãéá ôï ìýôñï êáé ôç äéåýèõíóç ôçò äýíáìçò F éó ýåé F = F + F = ( N) + (6 N) = 9 N y F 6 N o tan è = = =. è = tan (.) = 65 F N y ÐáñÜäåéãìá.3. Ãéá íá áðïêôþóïõìå ôçí áßóèçóç ôïõ ìåãýèïõò ôùí çëåêôñéêþí äõíüìåùí óå áôïìéêü åðßðåäï, èá õðïëïãßóïõìå ôï ìýôñï ôçò åëêôéêþò çëåêôñéêþò äýíáìçò áíüìåóá óå Ýíáí ðõñþíá áôüìïõ óéäþñïõ, ï ïðïßïò Ý åé öïñôßï q = 6q Fe p, üðïõ q p ôï öïñôßï ôïõ ðñùôïíßïõ, êáé óôï åóþôåñï çëåêôñüíéü ôïõ, ðïõ Ý åé öïñôßï q áí ç ìåôáîý ôïõò áðüóôáóç åßíáé.5 m. e Ëýóç 9 Åßíáé q = q =.6 C p e. Ç äýíáìç Coulomb ìåôáîý ðõñþíá êáé çëåêôñïíßïõ èá Ý åé ìýôñï 9 9 qq e Fe 9 (.6 C)(6.6 C) F = = (9 Nm /C ) 4ðå (.5 m) êáé ôåëéêü = 3 F.7 N
8 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ.. íôáóç çëåêôñéêïý ðåäßïõ óçìåéáêþí öïñôßùí Ôï ïðïéïäþðïôå ìåìïíùìýíï óçìåéáêü öïñôßï Þ êáôáíïìþ óçìåéáêþí öïñôßùí Þ óõíå Þò êáôáíïìþ öïñôßïõ äçìéïõñãåß Ýíá ðåäßï çëåêôñïóôáôéêþí äõíüìåùí. Áí óôï ðåäßï áõôü åéóýëèåé öïñôßï Q, ôüôå èá äå èåß äýíáìç Coulomb F = Q. Ï óõíôåëåóôþò áíáëïãßáò ìåôáîý äýíáìçò Coulomb êáé öïñôßïõ åßíáé Ýíá äéáíõóìáôéêü ìýãåèïò, ðïõ áñáêôçñßæåé ôï ðåäßï, ç ãíþóç ôïõ ïðïßïõ ìáò åðéôñýðåé ôoí õðïëïãéóìü ôùí äõíüìåùí Coulomb. Tï ìýãåèïò áõôü ïíïìüæåôáé Ýíôáóç ôïõ çëåêôñïóôáôéêïý ðåäßïõ. Ç åßóïäïò ôïõ Q óôï ðåäßï óõíåéóöýñåé ìéá åðéðëýïí óõíéóôþóá Q. Ãéá íá ïñßóïõìå ôçí Ýíôáóç ôïõ çëåêôñïóôáôéêïý ðåäßïõ áðü ôçí åî.(), èá ðñýðåé ç óõíéóôþóá áõôþ íá åßíáé << Q, þóôå + Q. Áõôü óõìâáßíåé, üôáí Q. ðïìýíùò, ï ìáèçìáôéêüò ïñéóìüò ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ äßíåôáé áðü ôçí åî.(-4) F = lim (-4) Q Q H Ýíôáóç ôïõ ðåäßïõ óçìåéáêïý öïñôßïõ q åßíáé q = K çë eˆ (-5) ÐáñÜäåéãìá.4 íá öïñôßï q =.7 ìc âñßóêåôáé êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá óå áðüóôáóç =.345 m áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. íá öïñôßï q = 4. ìc y âñßóêåôáé êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá y óå áðüóôáóç y =.576 m áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Íá âñåèåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Ó Þìá.4 Ëýóç Ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêü ðåäßï óôçí áñ Þ ôùí áîüíùí åßíáé ôï äéáíõóìáôéêü Üèñïéóìá ôùí åíôüóåùí ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ðïõ ïöåßëïíôáé óôï öïñôßï q êáé óôï öïñôßï q y. Ãéá íá ïñßóïõìå ôç äéåýèõíóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áñêåß íá ïñßóïõìå ôçí äéåýèõíóç êáôü ôçí ïðïßá èá êéíçèåß Ýíá äïêéìáóôéêü èåôéêü óçìåéáêü öïñôßï, ðïõ åßíáé ôïðïèåôçìýíï óôçí áñ Þ ôùí áîüíùí.
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ Ôï çëåêôñéêü ðåäßï q ðïõ ïöåßëåôáé óôï öïñôßï q åßíáé 9 q (.7 ) ( e ) (9. ) ( e ).64 e N/C 6 9 5 = ˆ = ˆ = ˆ q 4ðå (.345) ï åíþ áõôü ðïõ ïöåßëåôáé óôï öïñôßï q y åßíáé q ( 4. ) ( e ) (9. ) ( e ).4 e N/C 6 y 9 5 = ˆ = ˆ = ˆ qy y y y 4ðå (.576) ï y Ç ïëéêþ Ýíôáóç ôïõ ðåäßïõ óôçí áñ Þ ôùí áîüíùí èá åßíáé 5 5 = + =.64 eˆ +.4 e ˆ N/C q qy y ÐáñÜäåéãìá.5 Íá õðïëïãéóôåß ç óõíïëéêþ Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôá óçìåßá Á êáé  ôïõ ó..5 ðïõ ïöåßëåôáé óôá öïñôßá Q êáé Q, Q = Q = 5 ìc. Óôï äéüãñáììá ôïõ ó..5 äßíïíôáé üëá ôá áðáñáßôçôá óôïé åßá. Ëýóç Ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï Á èá åßíáé ßóç ìå ôï äéáíõóìáôéêü Üèñïéóìá ôùí åíôüóåùí, ðïõ ïöåßëåôáé óôï öïñôßï Q, êáé A, ðïõ A ïöåßëåôáé óôï öïñôßï Q. Áíôßóôïé á, ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï  èá åßíáé ßóç ìå ôï äéáíõóìáôéêü Üèñïéóìá ôùí åíôüóåùí, ðïõ B ïöåßëåôáé óôï öïñôßï Q, êáé, ðïõ ïöåßëåôáé óôï öïñôßï Q. B Ó Þìá.5
ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ á) Ôï ìýôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï Á (üðùò êáé óôï óçìåßï Â) ðïõ ïöåßëåôáé óå êüèå Ýíá áðü ôá öïñôßá Q êáé Q äßíåôáé áðü ôç ãåíéêþ ó Ýóç = k Q/, ïðüôå çë 9 6 (9. Nm /C )(5 C) = = (.6 m) A 9 6 (9. Nm /C )(5 C) 6.5 N/C 6 = = 5. N/C A (.3 m) Ç äéåýèõíóç ôùí óõíéóôùóþí ôùí äéáíõóìüôùí êáé äßíåôáé óôï A A ó..5. Ôï äéüíõóìá ôçò ïëéêþò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï Á Ý åé ùò ðñïò ôïõò Üîïíåò êáé y ôéò áêüëïõèåò óõíéóôþóåò: = = ï 6 cos 3. N/C A A = = Ãéá ôï ìýôñï êáé ôç äéåýèõíóç ôçò éó ýåé: êáé ï 6 sin 3 4.4 N/C Ay A A A = + = (.) + (4.4) = 4.5 N/C 6 6 A A Ay. = = = = 4.4 Ay ï tan ö 4. ö 76 A (â) Ôï óçìåßï Â éóáðý åé áðü ôá öïñôßá Q êáé Q. ôóé ôá ìýôñá ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ êáé óôï óçìåßï Â åßíáé ßóá: B B 9 6 Q (9. Nm /C )(5 C) 6 = = = =.8 N/C B B 4ðå (.4 m) Ëüãù óõììåôñßáò ïé y óõíéóôþóåò åßíáé ßóåò êáé áíôßèåôåò êáé áëëçëïáíáéñïýíôáé. ñá ç äéåýèõíóç ôçò ïëéêþò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ èá åßíáé ðáñüëëçëç ðñïò ôïí Üîïíá êáé ôï ìýôñï ôçò èá åßíáé B = cosè + cosè = cosè (Ð.5-) B B B B 6 cm Áðü ôï äéüãñáììá ôïõ ó..4 ðñïêýðôåé üôé cos è = =.65, ïðüôå 4 cm áíôéêáèéóôþíôáò óôçí åî.(ð.5-) ðáßñíïõìå ôï ìýôñï ôçò, B
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 6 6 = (.8 N/C)(.65) = 3.6 N/C B ðïõ Ý åé êáôåýèõíóç êáôü ôá èåôéêü ôïõ Üîïíá. ÐáñÜäåéãìá.6 Ç ëåéôïõñãßá åíüò öùôïôõðéêïý ìç áíþìáôïò óôçñßæåôáé óôçí Ýëîç èåôéêþí öïñôßùí áðü ôçí åðéöüíåéá åíüò ôõìðüíïõ, þóôå íá ó çìáôßæåôáé ôï åßäùëï ôçò õðü åêôýðùóç åéêüíáò, êáé áêïëïýèùò óôç äéáóðïñü áñíçôéêü öïñôéóìýíùí óùìáôéäßùí îçñþò ìåëüíçò óôçí ßäéá åðéöüíåéá. Ôá óùìáôßäéá áõôü åðéêáëýðôïõí ôï áñíçôéêü öïñôéóìýíï åßäùëï ôçò åéêüíáò êáé áêïëïýèùò ìåôáöýñïíôáé óôï áñôß ãéá ôçí ðáñáãùãþ ôïõ áíôéãñüöïõ. Áí õðïèýóïõìå üôé êüèå óùìáôßäéï ìåëüíçò 6 Ý åé ìüæá 9. kg êáé öýñåé óôáôéêü öïñôßï çëåêôñïíßùí êáé üôé ç çëåêôñéêþ äýíáìç ðüíù óôï óùìáôßäéï ðñýðåé íá åßíáé ôïõëü éóôïí äéðëüóéá áðü ôï âüñïò ôïõ ãéá íá åîáóöáëéóèåß ç Ýëîç, íá õðïëïãéóôåß ç Ó Þìá.6 Öùôïôõðéêü ìç Üíçìá áðáñáßôçôç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ êïíôü óôçí åðéöüíåéá ôïõ ôõìðüíïõ. Ëýóç Ç çëåêôñéêþ äýíáìç ðïõ èá áóêçèåß óå Ýíá óùìáôßäéï ìåëüíçò, ðïõ öýñåé öïñôßï q = e åßíáé F = q, üðïõ Å åßíáé ôï áðáñáßôçôï çëåêôñéêü ðåäßï. Ç äýíáìç áõôþ ðñýðåé íá åßíáé ôïõëü éóôïí äéðëüóéá áðü ôï âüñïò ôïõ óùìáôéäßïõ, Üñá ç åëü éóôç ôéìþ ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ èá éêáíïðïéåß ôç ó Ýóç q = mg üðïõ q = e. ÅðïìÝíùò, 6 3 mg (9. = = kg)(9.8m/s ) = 5.5 N/C 9 q (.6 C)
ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ.3. Ôï çëåêôñéêü ðåäßï óõíå þí êáôáíïìþí öïñôßùí Óå ðïëëýò ðåñéðôþóåéò õðüñ ïõí ôüóá ðïëëü öïñôßá, þóôå íá åßíáé áäýíáôïí íá áèñïéóôïýí ïé åíôüóåéò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ðïõ ðáñüãåôáé áðü êüèå Ýíá öïñôßï. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ç êáôáíïìþ ôùí öïñôßùí áíôéìåôùðßæåôáé ùò óõíå Þò êáôáíïìþ ðõêíüôçôáò öïñôßïõ. Ãéá êüèå óôïé åéþäåò öïñôßï d q ôçò êáôáíïìþò ôùí öïñôßùí, ðïõ ðåñéý åôáé óå üãêï d ô, õðüñ åé ìéá óôïé åéþäçò óõíåéóöïñü óôï çëåêôñéêü ðåäßï, d, ðïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç dq d = eˆ (-6) 4ðå üðïõ ç áðüóôáóç áðü ôï óôïé åéþäåò öïñôßï ìý ñé ôï óçìåßï, üðïõ õðïëïãßæåôáé ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ êáé ê ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá. Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò ïëéêþò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï êáèïñéóìýíï óçìåßï éó ýåé: dq = d = eˆ (-7) 4ðå ô Ç êáôáíïìþ öïñôßùí óå ðïëëýò ðåñéðôþóåéò åßíáé ìéá ãíùóôþ óõíüñôçóç èýóçò, ð..: dq = ëdl, üðïõ ë ç ãñáììéêþ ðõêíüôçôá öïñôßùí (öïñôßï áíü ìïíüäá ìþêïõò) dq = óds, üðïõ ó ç åðéöáíåéáêþ ðõêíüôçôá öïñôßùí (öïñôßï áíü ìïíüäá åðéöüíåéáò) dq = ñô d, üðïõ ñ ç ðõêíüôçôá üãêïõ öïñôßùí (öïñôßï áíü ìïíüäá üãêïõ) ÐáñÜäåéãìá.7 Ìéá ãñáììéêþ ðõêíüôçôá öïñôßïõ ìþêïõò L âñßóêåôáé êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá áíüìåóá óôá óçìåßá = êáé = L. Ç ãñáììéêþ ðõêíüôçôá öïñôßïõ ùò óõíüñôçóç ôçò èýóçò äßíåôáé áðü ôçí áêüëïõèç ó Ýóç ë() = ë, ë > L Íá âñåèåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ðïõ ïöåßëåôáé óôçí êáôáíïìþ êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá, ãéá üëá ôá > L. Ëýóç Èåùñïýìå Ýíá óôïé åéþäåò ôìþìá ôçò êáôáíïìþò öïñôßïõ óôï óçìåßï ìå á ìþêïò d. Ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óå Ýíá óçìåßï Ñ, ìå óõíôåôáãìýíç á
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 3 > L, åî áéôßáò ôïõ óôïé åéþäïõò áõôïý ôìþìáôïò ôçò êáôáíïìþò èá åßíáé ë( ) d ë d ë d dε = = = 4ðå ( ) 4ðå L ( ) 4ðå L ( ) á á á á á á eˆ eˆ eˆ á á á Ç ïëéêþ Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ðñïêýðôåé ìå ïëïêëþñùóç ãéá üëç ôçí ðåñéï Þ üðïõ ç êáôáíïìþ öïñôßùí åßíáé äéüöïñç ôïõ ìçäåíüò. ë d Ε= dε= 4ðå L ( ) L á á á Ãéá ôçí áðëïðïßçóç ôïõ ïëïêëçñþìáôïò êüíïõìå áëëáãþ ìåôáâëçôþò, u = á êáé du = d, ïðüôå á ë ( u) ë = u ( ) u 4ðå L d = u 4ðå L + d u u L L Ôï ïëïêëþñùìá áðïôåëåßôáé áðü ôñßá åðéìýñïõò ïëïêëçñþìáôá, äçëáäþ ë du du = u 4ðå L u + d u L L L êáé ìåôü ôéò åðéìýñïõò ïëïêëçñþóåéò, ïðüôå ë = [ ] [ ] nu u L L 4ðå L + u l L ë = + n n + ê [ l l ( )] [ ( )] L L 4ðå L L êáé ôåëéêü Þ ë = L eˆ ln + 4ðå L L L ë L = n L eˆ l + 4ðå L L L
4 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ ÐáñÜäåéãìá.8 íá ëåðôü äáêôõëéïåéäýò áíôéêåßìåíï áêôßíáò á öýñåé óõíïëéêü öïñôßï +Q ïìïéüìïñöá êáôáíåìçìýíï ìå ãñáììéêþ ðõêíüôçôá öïñôßïõ ë. Íá âñåèåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óå óçìåßï Ñ ðïõ âñßóêåôáé óôïí ÜîïíÜ ôïõ êáé óå áðüóôáóç áðü ôï êýíôñï. Ó Þìá.7 ÁíÜëõóç Óôï ó..7 öáßíåôáé ç äéåýèõíóç ôïõ äéáíýóìáôïò d ôïõ óôïé åéþäïõò çëåêôñéêïý ðåäßïõ, ðïõ ïöåßëåôáé óôï óôïé åéþäåò öïñôßï d Q ðïõ öýñåé ôï óôïé åéþäåò ôìþìá dl ôïõ äáêôõëßïõ. Ôï ìýôñï ôïõ d åßíáé dq 4ðå d = (Ð.8-) dl üðïõ dq = Q( ) = ëdl, ïðüôå ç åî. (Ð.8-) ãñüöåôáé ðá ëdl d = 4ðå Áíáëýïõìå ôï äéüíõóìá d óå äýï óõíéóôþóåò, ôçí êüèåôç d êáé ôçí ðáñüëëçëç d ùò ðñïò ôïí Üîïíá. Ãéá êüèå êüèåôç óõíéóôþóá ðïõ áíôéóôïé åß óå Ýíá óôïé åéþäåò ôìþìá dl õðüñ åé ìéá ßóç êáé áíôßèåôç ðïõ ïöåßëåôáé óôï ßóï öïñôßï ðïõ öýñåé ôï áíôéäéáìåôñéêü óôïé åßï d l. ôóé, ãéá ëüãïõò óõììåôñßáò ç êüèåôç óõíéóôþóá ôïõ èá åßíáé ìçäýí. ÔåëéêÜ ôï óõíïëéêü çëåêôñéêü ðåäßï óôï óçìåßï Ñ èá åßíáé ÁëëÜ cos è = /, üðïõ = = dcosè = 4ðå + á ë co sèdl / = ( + á ), ïðüôå ç åî.(ð.8-) ãñüöåôáé (Ð.8-)
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 5 ë = 3/ 4ðå dl ( + á ) êáé åðåéäþ ç ïëïêëþñùóç ãßíåôáé óå óôáèåñþ áðüóôáóç êáé ôåëéêü ðá ë ë = dl = 4ðå ( + á ) 4ðå ( + á ) 3/ 3/ Q = 4ðå ( + á ) Óçìåßùóç: ãéá ìåãüëç áðüóôáóç 3/ eˆ (ðá)? á ç åî.(ð.8-3) ãßíåôáé Q = eˆ 4ðå (Ð.8-3) Áõôü åßíáé áíáìåíüìåíï, êáèþò áðü ìåãüëç áðüóôáóç ï äáêôýëéïò öáßíåôáé óáí óçìåéáêü öïñôßï. Åðßóçò, óôï êýíôñï ôïõ äáêôõëßïõ, üðïõ =, èá åßíáé êáé =, êáèþò, üðùò óçìåéþèçêå ðñïçãïõìýíùò, üëåò ïé óõíéóôþóåò ïé êüèåôåò óôïí Üîïíá åßíáé ìçäýí êáé ç óõíéóôþóá åßíáé åðßóçò ìçäýí óôï êýíôñï ôïõ êýêëïõ. ÐáñÜäåéãìá.9 Íá âñåèåß ôï ìýôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óå êüèå óçìåßï Ñ ðïõ âñßóêåôáé óå áðüóôáóç áðü ôï ìýóï Ï ìéáò ïìïãåíïýò ãñáììéêþò êáôáíïìþò öïñôßïõ ë (C/m) ðïëý ìåãüëïõ ìþêïõò (ó..8). Ç áðüóôáóç åßíáé ðïëý ìéêñüôåñç áðü ôï ìþêïò ôçò êáôáíïìþò. Ó Þìá.8 ÁíÜëõóç íá óôïé åéþäåò ôìþìá ôçò êáôáíïìþò dy öýñåé öïñôßï dq = ëy d. Ôï ìýôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï Ñ ðïõ ïöåßëåôáé óå áõôü ôï öïñôßï åßíáé: dq ëy d d = = 4ðå 4ðå ( + y ) Ôï äéüíõóìá d áíáëýåôáé óå äýï óõíéóôþóåò, d êáé d y, üðïõ
6 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ d = dcosè êáé d = dsinè y Ëüãù óõììåôñßáò ç y óõíéóôþóá ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ èá åßíáé ìçäýí, êáèþò ãéá êüèå óõíéóôþóá d y ðïõ ïöåßëåôáé óôï óôïé åéþäåò öïñôßï ôïõ ôìþìáôïò dy ðïõ âñßóêåôáé ðüíù áðü ôï õðüñ åé ìéá ßóç êáé áíôßèåôç ðïõ ïöåßëåôáé óôï áíôßóôïé ï óôïé åßï d y ðïõ âñßóêåôáé êüôù áðü ôï. Ïðüôå = = dcosè = 4ðå + y ë cosèdy (Ð.9-) Èá êüíïõìå áëëáãþ ìåôáâëçôþò, ñçóéìïðïéþíôáò ôç ãùíßá è ùò ôç íýá ìåôáâëçôþ. Èá åßíáé êáé åðåéäþ ðñïêýðôåé y = tanè ïðüôå dy = cos è = / cos è = + y Ìå áíôéêáôüóôáóç óôçí åî.(ð.9-) ðñïêýðôåé dè/cos è ð ë ë ð ë [ ] = cosèè d = sinè = 4ðå 4ðå ðå êáé óå äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ ð ð ë = eˆ ðå (Ð.9-) ÐáñÜäåéãìá. Ìéá ïìïãåíþò ãñáììéêþ êáôáíïìþ öïñôßïõ ðõêíüôçôáò ë âñßóêåôáé êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá áðü = Ýùò =+. Ìéá üìïéá ïìïãåíþò ãñáììéêþ êáôáíïìþ öïñôßïõ, ðõêíüôçôáò åðßóçò ë, âñßóêåôáé êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá y áðü y = Ýùò y =+. Íá ðñïóäéïñéóôåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñïóôáôéêïý ðåäßïõ óå Ýíá óçìåßï (,y) ôïõ ðñþôïõ ôåôáñôçìïñßïõ ôïõ åðéðýäïõ y. ÁíÜëõóç Óôï ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá åßäáìå üôé ãéá ìéá ãñáììéêþ êáôáíïìþ öïñôßïõ ðõêíüôçôáò ë êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá y ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ äßíåôáé
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 7 áðü ôç ó Ýóç: = ë eˆ ðå Ëüãù óõììåôñßáò, ãéá ìéá ãñáììéêþ êáôáíïìþ öïñôßïõ ðõêíüôçôáò ë êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç = ë eˆ y ðå y Ôï óõíïëéêü çëåêôñéêü ðåäßï óôï åðßðåäï (,y) èá åßíáé: ë ë ë = + = eˆ + e ˆ = ( eˆ + e ˆ ) Ôï ìýôñï ôçò èá åßíáé y y ðå ðå y ðå y ë = + ðå, y åíþ èá ó çìáôßæåé ìå ôïí Üîïíá ãùíßá è ßóç ìå ë ðå y è= tan = tan ë y ðå ÐáñÜäåéãìá. Äýï ßóá öïñôßá Q âñßóêïíôáé óôá óçìåßá ( = l, y = ) êáé ( = l, y = ). Íá âñåèåß (á) ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ùò óõíüñôçóç ôïõ y êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá y, (â) íá äåé èåß üôé ôï ðåäßï ãßíåôáé ìýãéóôï óôï óçìåßï y =±l /. Ó Þìá.9
8 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ Ëýóç (á) ÅðåéäÞ ôá äýï öïñôßá éóáðý ïõí áðü ôïí Üîïíá y, óå êüèå óçìåßï ôïõ Üîïíá áõôïý ç Ýíôáóç ôïõ ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãïýí èá Ý åé ôï ßäéï ìýôñï. Áí áíáëýóïõìå ôá äéáíýóìáôá ôçò Ýíôáóçò ùò ðñïò ôïõò Üîïíåò êáé y, ïé óõíéóôþóåò ïé ðáñüëëçëåò ùò ðñïò ôïí Üîïíá áëëçëïáíáéñïýíôáé, ïðüôå ìýíïõí ïé óõíéóôþóåò ùò ðñïò ôïí Üîïíá y, ïé ïðïßåò Ý ïõí ôï ßäéï ìýôñï êáé ôçí ßäéá öïñü. Ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óå Ýíá óçìåßï êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá y èá åßíáé ëïéðüí, Q Qy = eˆ = sinèeˆ = eˆ y y y 3/ y 4ðå ( l + y ) ðå ( l + y ) (â) Ãéá íá âñåèåß óå ðïéï óçìåßï ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ãßíåôáé ìýãéóôç, èýôïõìå ôçí ðñþôç ðáñüãùãï ôïõ Å ùò ðñïò y ßóç ìå ìçäýí êáé ëýíïõìå ùò ðñïò y. Åßíáé êáé ïðüôå Qy = ðå ( l + y ) 3/ d Q 3 Qy ( ) (y) d y = ðå ( l + y ) + ðå ( l + y ) = 3 5 3y = ( l + y ) ( l + y ) 3 5 Þ 3y l + y = Þ y = l êáé ôåëéêü ç Ýíôáóç ôïõ ðåäßïõ ãßíåôáé ìýãéóôç óôá óçìåßá ìå óõíôåôáãìýíåò ym =±l y ôïõ Üîïíá y m Åßíáé ðñïöáíýò üôé ôï ðåäßï ãßíåôáé åëü éóôï óôçí áñ Þ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí, üðïõ ðáßñíåé ìçäåíéêþ ôéìþ. ÐáñÜäåéãìá. Äßíåôáé ìßá ïìïãåíþò ãñáììéêþ êáôáíïìþ öïñôßïõ ðõêíüôçôáò ë, ë >, óå ó Þìá ôüîïõ êýêëïõ, ðïõ Ý åé êýíôñï êáé áêôßíá ßóç ìå R, üðùò öáßíåôáé óôï ó... Ôï êõêëéêü ôüîï öáßíåôáé áðü ôï õðü ãùíßá è, óõììåôñéêþ ùò ðñïò ôïí Üîïíá, üðùò öáßíåôáé óôï ó... Ó Þìá.
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 9 Íá âñåèåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï. ÁíÜëõóç Èåùñïýìå óôïé åéþäåò ôìþìá ôïõ ôüîïõ ðïõ ó çìáôßæåé ãùíßá è ìå ôïí Üîïíá. Ôï ìþêïò ôïõ åßíáé Rd è êáé ôï öïñôßï ôïõ dq = ërdè. Ôï ìýôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ðïõ ðáñüãåôáé áðü ôï óôïé åéþäåò ôüîï åßíáé: dq ërdè ëdè d = = = 4ðå R 4ðå R 4ðå R Áí èåùñþóïõìå óôïé åéþäç ôüîá ðïõ åßíáé óõììåôñéêü ùò ðñïò ôïí Üîïíá èá äéáðéóôþóïõìå üôé ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ èá Ý åé ìüíïí óõíéóôþóá. Ëüãù óõììåôñßáò ç êüèåôç óõíéóôþóá y åßíáé ìçäýí, êáèþò ïé áíôßóôïé åò óõíéóôþóåò ôçò Ýíôáóçò çëåêôñéêïý ðåäßïõ ðïõ ðáñüãïíôáé áðü ôá äýï óõììåôñéêü óôïé åéþäç ôüîá åßíáé ßóåò êáé áíôßèåôåò. ÅðïìÝíùò èá åßíáé êáé ïëïêëçñþíïíôáò ðñïêýðôåé êáé ôåëéêü ëè d d = dcosè= co sè 4ðå R è è ë co sèdè ë = = cosèè d = 4ðå R 4ðå R è è ë ësinè = = 4ðå R 4ðå R [ sin è sin( è )] ï ësinè = ðå R Ôï äéüíõóìá ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ Ý åé öïñü ðñïò ôá áñíçôéêü ôïõ Üîïíá, ïðüôå = ï ësinè eˆ 4ðåR ÐáñÜäåéãìá.3 Èåùñåßóôå üôé ôï öïñôßï Q óôï ëåðôü äáêôõëéïåéäýò áíôéêåßìåíï áêôßíáò á, ó.., âñßóêåôáé ïìïéüìïñöá êáôáíåìçìýíï ìüíï óôï åðüíù çìéêýêëéï ôïõ äáêôõëßïõ, åíþ óôï êüôù çìéêýêëéï ôï öïñôßï åßíáé ìçäýí. Íá âñåèåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óå óçìåßï Ñ ðïõ âñßóêåôáé óôïí ÜîïíÜ ôïõ êáé óå
3 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ áðüóôáóç áðü ôï êýíôñï. Ó Þìá. ÁíÜëõóç Óôï ó.. åéóüãïõìå ôç ãùíßá ö ìå áñ Þ ìýôñçóçò ôïí Üîïíá z. Èåùñïýìå Ýíá óôïé åéþäåò ôìþìá ôïõ äáêôõëßïõ ìþêïõò ád ö, ôï ïðïßï èá öýñåé öïñôßï Q Q dq = ë(ádö) = (ádö) = dö ðá ð Ôï ìýôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ, ðïõ ðáñüãåôáé áðü áõôü ôï óôïé åéþäåò öïñôßï åßíáé: Q d ö dq ð Qdö d = = = 4ðå 4ðå + á 4ð å + á Ëüãù óõììåôñßáò, ç óõíéóôþóá z ôçò d áíáéñåßôáé áðü ôçí áíôßóôïé ç óõíéóôþóá ôçò Ýíôáóçò ðïõ äçìéïõñãåß ôï öïñôßï ôïõ óõììåôñéêïý ùò ðñïò ôïí Üîïíá y óôïé åéþäïõò ôìþìáôïò. Ãéá ôç óõíéóôþóá ùò ðñïò éó ýåé Q dö Q dö d = dcosè = = + á ïðüôå ìå ïëïêëþñùóç 3 4ð å + á 4ð å ( + á ) ð Q Q = dö = (Ð.3-) 3 3 4ð å( + á) 4ðå( + á) Ãéá ôç óõíéóôþóá ùò ðñïò y èá åßíáé Q dö á d = dsinèsinö = sinö = y 4ð å + á ï + á Qá sinödö = 3 4ð å ( + á) êáé ïëïêëçñþíïíôáò ôçí ðñïçãïýìåíç ó Ýóç
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 3 y Qá = sinöö d = 4ð å ( + á) 3 ð êáé ôåëéêü y Qá = 4ð å ( + á) 3 Qá = ð å ( + á) 3 [( cos ð) ( cos) ] Óå äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ, ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ èá åßíáé êáé ôåëéêü Q Qá = eˆ + eˆ = eˆ eˆ y y 3 3 y 4ðå ( + á ) 4ð å ( + á ) Q á = (eˆ e ˆ ) 3 4ðå ( + á ) ð ï y (Ð.3-) (Ð.3-3) ÐáñÜäåéãìá.4 Íá äåé èåß üôé óôá óçìåßá Ó êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá åíüò äéðüëïõ ôï ìýôñï ôçò p Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç =, ãéá >> l, 4ðå 3 üðïõ åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ óçìåßïõ Ó áðü ôï êýíôñï ôïõ äéðüëïõ, p ç äéðïëéêþ ñïðþ, p = Ql, êáé l ç áðüóôáóç ôùí ßóùí êáé áíôßèåôùí öïñôßùí, Q êáé Q. Íá âñåèåß ç öïñü ôçò Ýíôáóçò. Ó Þìá. ÁíÜëõóç óôù üôé ï Üîïíáò ôïõ äéðüëïõ ôáõôßæåôáé ìå ôïí Üîïíá. Ç Ýíôáóç èá åßíáé
3 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ Q ( Q) = eˆ + eˆ = eˆ + eˆ êáé êüíïíôáò ðñüîåéò + Q Q 4ðå ( l) 4ðå ( + l) Q ( + l) ( l) Q( ) = l eˆ = eˆ 4ðå ( + l) ( l) 4ðå ( + l) ( l) åíþ ðáßñíïíôáò õðüøç êáé ôç óõíèþêç >> l Q( l) Ql p = eˆ = eˆ = eˆ 4ðå 4ðå 4ðå 4 3 3 Ôï ßäéï áðïôýëåóìá ðñïêýðôåé, áí ðüñïõìå ôï óçìåßï Ó áñéóôåñü ôïõ Q. Ç öïñü ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ åßíáé ßäéá ìå áõôþí ôïõ äéáíýóìáôïò ôçò äéðïëéêþò ñïðþò, äçëáäþ áðü ôï áñíçôéêü ðñïò ôï èåôéêü öïñôßï. ÐáñÜäåéãìá.5 Ìßá óôáãüíá íåñïý áêôßíáò.8 mm ðáñáìýíåé ìåôýùñç ìýóá óå ïìïãåíýò çëåêôñéêü ðåäßï. Áí ç ðñïò ôá êüôù óõíéóôþóá ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ åßíáé 5 N/C, ðüóá åßíáé ôá çëåêôñüíéá óå ðåñßóóåéá ðïõ öïñôßæïõí ôç óôáãüíá; Ëýóç Ãéá íá ðáñáìåßíåé ç óôáãüíá ìåôýùñç ôï ìýôñï ôçò çëåêôñéêþò äýíáìçò F ðïõ áóêåßôáé åðüíù ôçò ðñýðåé íá åßíáé ßóï ìå ôï âüñïò ôçò óôáãüíáò. óôù n ï áñéèìüò ôùí ðåñßóóéùí çëåêôñïíßùí óôç óôáãüíá. Åßíáé ïðüôå üðïõ ñ êáé ôåëéêü F = q = mg 4 ne = 3 3 ð ñg 3 3 =. kg/m ç ðõêíüôçôá ôïõ íåñïý. ñá 3 5 3 3 3 4ð ñg 4ð(.8 m) (. kg/m )(9.8 m/s ) 9 n = = 3e 3(.6 C)(5 N/C) 6 7 n = 9.96. çëåêôñüíéá.
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 33.4. ÇëåêôñéêÞ ÑïÞ Ç çëåêôñéêþ ñïþ ðïõ ðåñíüåé áðü ìéá åðßðåäç åðéöüíåéá åìâáäïý S ðïõ êåßôáé óå Ýíá åðßðåäï êüèåôï ðñïò ïìïãåíýò çëåêôñéêü ðåäßï ìýôñïõ Å, ïñßæåôáé ùò Φ = S (-8) Áí ôï åðßðåäï åìâáäïý S äåí åßíáé êüèåôï óôï çëåêôñéêü ðåäßï, ôüôå ç çëåêôñéêþ ñïþ èá åßíáé Φ = S = S = Scosè (-9) üðïõ = cosè åßíáé ç óõíéóôþóá ôïõ ç êüèåôç óôï åðßðåäï åìâáäïý S, êáé áíôßóôïé á S = Scosè åßíáé ç ðñïâïëþ ôçò åðéöüíåéáò S óôï åðßðåäï ðïõ åßíáé êüèåôï óôï çëåêôñéêü ðåäßï êáé è ç ãùíßá áíüìåóá óôï çëåêôñéêü ðåäßï êáé óôçí êüèåôç óôçí åðéöüíåéá, üðùò öáßíåôáé óôï ó..3. Áí ïñßóïõìå Ýíá äéüíõóìá S ìå ìýôñï S êáé äéåýèõíóç êüèåôç óôçí åðéöüíåéá áõôþ, ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ãéá ôçí çëåêôñéêþ ñïþ Φ = S (-) Ó Þìá.3. (á) íá ïìïéüìïñöï çëåêôñéêü ðåäßï ðåñíü ìýóù ôçò åðßðåäçò åðéöüíåéáò S. (â) = cosè åßíáé ç óõíéóôþóá ôïõ ç êüèåôç óôï åðßðåäï åìâáäïý S. (ã) S = Scosè åßíáé ç ðñïâïëþ ôçò åðéöüíåéáò S óôï åðßðåäï ðïõ åßíáé êüèåôï óôï.
34 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ Óôçí ðåñßðôùóç åíüò áíïìïéïãåíïýò çëåêôñéêïý ðåäßïõ êáé ìéáò ïðïéáóäþðïôå åðéöüíåéáò ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôçí çëåêôñéêþ ñïþ ðïõ ðåñíüåé áðü óôïé åéþäåéò åðéöüíåéåò ds êáé íá ïëïêëçñþóïõìå ùò ðñïò ïëüêëçñç ôçí åðéöüíåéá. Φ = ds (-) ¼ôáí ç åðéöüíåéá åßíáé êëåéóôþ, ó..4, ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ôï ïëïêëþñùìá Φ = ds Ñ (-) S ¼ôáí õðïëïãßæïõìå ôï åðéöáíåéáêü ïëïêëþñùìá ãéá ìéá êëåéóôþ åðéöüíåéá èåùñïýìå êáôü óõíèþêç, üôé ôï äéüíõóìá ds Ý åé ðüíôá äéåýèõíóç ðñïò ôá Ýîù, óå ó Ýóç ìå ôçí åðéöüíåéá. ÃñáììÝò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ðïõ åéóýñ ïíôáé óôïí üãêï ðïõ ðåñéêëåßåé ç êëåéóôþ åðéöüíåéá Ý ïõí ðüíôá áñíçôéêþ óõíåéóöïñü óôçí çëåêôñéêþ ñïþ, åíþ ïé ãñáììýò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ðïõ åîýñ ïíôáé áðü ôïí üãêï ðïõ ðåñéêëåßåé ç êëåéóôþ åðéöüíåéá Ý ïõí ðüíôá èåôéêþ óõíåéóöïñü óôçí çëåêôñéêþ ñïþ ðïõ ðåñíüåé ìýóá áðü áõôþí ôçí åðéöüíåéá..5. Íüìïò ôïõ Gauss Ó Þìá.4. ÇëåêôñéêÞ ñïþ ìýóù êëåéóôþò åðéöüíåéáò. Óýìöùíá ìå ôïí ìáèçìáôéêü Kal Fiedich Gauss (777-855), ç çëåêôñéêþ ñïþ ðïõ ðåñíüåé ìýóá áðü ìéá êëåéóôþ åðéöüíåéá åßíáé áíüëïãç ôïõ öïñôßïõ Q ðïõ ðåñéêëåßåé ç êëåéóôþ áõôþ åðéöüíåéá. Qåó Ñ ds= (-3) å S
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 35 Ç ó Ýóç (-3) åßíáé ãíùóôþ ùò íüìïò ôïõ Gauss. ÐáñÜäåéãìá.6. Ç Ýíôáóç åíüò çëåêôñéêïý ðåäßïõ, ùò óõíüñôçóç ôçò èýóçò óôï åðßðåäï yz, äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç yz y z (y,z) = eˆ + eˆ L L Íá âñåèåß ç ñïþ ðïõ ðåñíüåé áðü Ýíá ôåôñüãùíï ðëáßóéï ìå êïñõöýò óôá óçìåßá (,, ), (,L, ), (,L,L ) êáé,,l, üðùò öáßíåôáé óôï ó..5. ( ) Ëýóç Ç óôïé åéþäçò çëåêôñéêþ ñïþ dφ ðïõ ðåñíüåé áðü ìéá óôïé åéþäç åðéöüíåéá d S ìå êýíôñï óôï óçìåßï,y,z åßíáé ( ) 4 y yz y z yz dφ = ds= ˆ ˆ e + e y ( dd yzeˆ) = dd yz 4 L L L Ç ïëéêþ çëåêôñéêþ ñïþ ðñïêýðôåé áðü ôçí ïëïêëþñùóç ôçò êáé z Ó Þìá.5 yz Φ = Φ = = = L L L L d dydz ydy zdz L z= y = L L y= z= 4 (Ð.6-) dφ ùò ðñïò y ÐáñÜäåéãìá.7. ÕðïèÝôïõìå, üôé ç ðõêíüôçôá öïñôßïõ ôçò óöáßñáò óôï ó..6 äåí åßíáé ïìïéïãåíþò, áëëü äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç ñ = á, üðïõ á åßíáé ìßá óôáèåñü. Íá âñåèåß (á) ç óôáèåñü á óõíáñôþóåé ôïõ öïñôßïõ Q êáé ôçò áêôßíáò R ôçò óöáßñáò êáé (â) ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óõíáñôþóåé ôïõ óôï åóùôåñéêü ôçò óöáßñáò. Ó Þìá.6
36 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ Ëýóç (á) ùñßæïõìå ôç óöáßñá óå ïìüêåíôñïõò óôïé åéþäåéò óöáéñéêïýò öëïéïýò ðü ïõò d. Ïé öëïéïß áõôïß Ý ïõí üãêï dô = 4ð d. Ôï ïëéêü öïñôßï ôçò óöáßñáò èá åßíáé 4ðá Q = ñ ô = (á )(4ð ) = 4ðá = R ïðüôå ç óôáèåñü á èá åßíáé R R 4 5 d d d 5 5Q á = 5 (Ð.7-) 4ðR (â) Ãéá ôçí åýñåóç ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï åóùôåñéêü ôçò óöáßñáò óå áðüóôáóç áðü ôï êýíôñï ôçò åöáñìüæïõìå ôï íüìï ôïõ Gauss. Èåùñïýìå óöáéñéêþ åðéöüíåéá áêôßíáò ç ïðïßá ðåñéêëåßåé öïñôßï q ßóï ìå 5Q q = ñ ô = (á )(4ð ) = 4ð = Q 5 d d 5 d 5 4ðR R Ëüãù óõììåôñßáò ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ èá åßíáé ßäéá óå üëá ôá óçìåßá ôçò óöáéñéêþò åðéöüíåéáò áêôßíáò, êáé êüèåôç óå áõôþ. Ï íüìïò ôïõ Gauss, åî.(-3), äßíåé Qåó q Ñ ds= = å å Åßíáé ïðüôå S ds ds ds 4ð Ñ Ñ Ñ = = = = å S S q êáé ôåëéêü 4ð () 5 q Q = = 5 å å R Q = 4ðå R 5 3
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 37 ÐáñÜäåéãìá.8 Ìéá ðïëý ìåãüëç, áëëü ðïëý ëåðôþ ìç áãþãéìç åðßðåäç åðéöüíåéá åßíáé ïìïéüìïñöá öïñôéóìýíç ìå åðéöáíåéáêþ ðõêíüôçôá öïñôßïõ ó. Íá âñåèåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óå óçìåßá êïíôü óôçí åðéöüíåéá. ÁíÜëõóç ÅðéëÝãïõìå ãéá ÃêáïõóéáíÞ åðéöüíåéá Ýíá ìéêñü ïñèü êýëéíäñï ìå ôïí ÜîïíÜ ôïõ êüèåôá óôçí åðéöüíåéá, ï ïðïßïò åðåêôåßíåôáé óõììåôñéêü êáé óôïõò äýï þñïõò ôïõò ïðïßïõò ïñßæåé ç åðéöüíåéá, ó..7, êáé ðåñéêëåßåé öïñôßï q. Ëüãù óõììåôñßáò ôï äéüíõóìá åßíáé êüèåôï óôçí åðéöüíåéá êáé óôéò äýï ðëåõñýò êáé åßíáé ïìïéüìïñöï óå üëç ôçí åðéöüíåéá ðïõ ðåñéêëåßïõí ïé âüóåéò ôïõ êõëßíäñïõ. Êáèþò áðü ôçí ðëåõñéêþ åðéöüíåéá ôïõ êõëßíäñïõ äåí ðåñíü çëåêôñéêþ ñïþ, ïëüêëçñç ç ñïþ ðåñíü áðü ôéò âüóåéò ôïõ êõëßíäñïõ. ôóé, ï íüìïò ôïõ Gauss äßíåé ïðüôå êáé ôåëéêü Ñ ds= ds= S = S âáóçò q âáóçò å âáóåéò q ós = = å å ó = å ¼ðùò öáßíåôáé áðü ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç, ôï ìýôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ åßíáé áíåîüñôçôï ôçò áðüóôáóçò áðü ôçí åðéöüíåéá. ÐáñÜäåéãìá.9 íáò ðïëý ìáêñýò êýëéíäñïò åßíáé öïñôéóìýíïò ïìïéüìïñöá êáôü ìþêïò, åíþ ç áêôéíéêþ ìåôáâïëþ ôçò ðõêíüôçôáò öïñôßïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç: ñ() = ñ (A ) / A ãéá < A ñ() = ãéá > A âáóçò Íá âñåèåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ãéá Ó Þìá.7 < A êáé ãéá > A.
38 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ Ëýóç Ëüãù óõììåôñßáò ôçò êáôáíïìþò ôïõ öïñôßïõ ç äéåýèõíóç ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ åßíáé áêôéíéêþ êáé ôï ìýôñï ôçò åîáñôüôáé ìüíï áðü ôï. ÅðéëÝãïõìå Ýíá êýëéíäñï ùò ÃêáïõóéáíÞ åðéöüíåéá ìå áêôßíá R êáé ìþêïò l, üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá.8 Ó..8. Ôï ìýôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôçí åðéöüíåéá ôïõ êõëßíäñïõ åßíáé óõíüñôçóç ôçò R, ( R ). Ç çëåêôñéêþ ñïþ ðïõ ðåñíü áðü ôçí êõëéíäñéêþ åðéöüíåéá åßíáé: Φ = ðrl R (Ð.9-) (á) Ãéá ( ) < A, ôï öïñôßï ðïõ ðåñéêëåßåé ç ãêáïõóéáíþ åðéöüíåéá åßíáé êáé ìåôü ôéò ïëïêëçñþóåéò l R A Q = ñô d = ñ ð d d A åó = = 3 R 3 R R Q = ðñ l = ðñ 3A l 3A (Ð.9-) åó = Åöáñìüæïíôáò ôï íüìï ôïõ Gauss ãéá < A ìðïñïýìå íá âñïýìå ôçí Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ. Qåó Åßíáé Φ =, ïðüôå áíôéêáèéóôþíôáò áðü ôéò ó Ýóåéò (Ð.9-) êáé (Ð.9-) å êáé ôåëéêü ( ) ðrl R ( ) ðñ l R R 3 = å 3A ñ R R å 3A R = R < A, (Ð.9-3) â) Ãéá > A, ôï öïñôßï ðïõ ðåñéêëåßåé ï êýëéíäñïò ìå R > A åßíáé ßóï ìå ôï ïëéêü öïñôßï êáé èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç (Ð.9-) ãéá R = A, äçëáäþ 3 A A A Q = ðñ l ðñ ïë = 3A l 6 (Ð.9-4)
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 39 Óýìöùíá ìå ôï íüìï ôïõ Gauss åßíáé áðü ôéò ó Ýóåéò (Ð.9-) êáé (Ð.9-4) êáé ôåëéêü ( ) ðrl R ( ) Q ïë Φ =, ïðüôå áíôéêáèéóôþíôáò å ðñ l A = å 6 R R A ñ Α =, > (Ð.9-5) 6å R ÐáñÜäåéãìá. Ìßá ðïëý ìåãüëç (õðïèýóôå Üðåéñïõ ìþêïõò) ìáêñüóôåíç ðëüêá ìç áãþãéìïõ õëéêïý Ý åé ðü ïò d êáé öïñôßï ïìïéüìïñöçò ðõêíüôçôáò ñ Å. Íá äåé ôåß üôé óôï þñï Ýîù áðü ôçí ðëüêá õðüñ åé ïìïéüìïñöï çëåêôñéêü ðåäßï. Íá âñåèåß ôï ìýôñï êáé ç äéåýèõíóç ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ùò ðñïò ôçí åðéöüíåéá ôçò ðëüêáò. Ëýóç ÅðéëÝãïõìå ùò ÃêáïõóéáíÞ åðéöüíåéá Ýíáí êýëéíäñï ìå ôéò âüóåéò ôïõ ðáñüëëçëåò óôçí åðéöüíåéá ôçò ðëüêáò êáé óå ßóç áðüóôáóç áðü áõôþí. Ëüãù óõììåôñßáò ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ èá Ý åé äéåýèõíóç êüèåôç ðñïò ôá Ýîù óå ó Ýóç ìå ôçí åðéöüíåéá ôçò ðëüêáò. ôóé, áðü ôçí êõëéíäñéêþ åðéöüíåéá äåí èá ðåñíü çëåêôñéêþ ñïþ. Ç çëåêôñéêþ ñïþ ðïõ èá ðåñíü áðü ôéò âüóåéò ôïõ êõëßíäñïõ ëüãù óõììåôñßáò èá åßíáé q Ñ ds= ds= S = (Ð.-) âáóçò å âáóçò Ôï öïñôßï q ðïõ ðåñéêëåßåé ç ãêáïõóéáíþ åðéöüíåéá èá åßíáé q = ñ(s d) Áíôéêáèéóôïýìå óôçí åî. (Ð.-) êáé ôåëéêü ñd = (Ð.-) å ¼ðùò öáßíåôáé áðü ôçí åî. (Ð.-) ôï ìýôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ åßíáé áíåîüñôçôï ôçò áðüóôáóçò áðü ôçí ðëüêá. âáóçò
4 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ ÐáñÜäåéãìá. Öïñôßï + Q åßíáé êáôáíåìçìýíï ìýóá óå óôåñåü óöáßñá áêôßíáò Ýôóé, þóôå ç ðõêíüôçôá öïñôßïõ íá åßíáé óõíüñôçóç ôçò áêôéíéêþò èýóçò ìýóá óôç óöáßñá, ôçò ìïñöþò ñ () = ñ ( ). Íá âñåèåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ ìýóá óôç óöáßñá ùò óõíüñôçóç ôùí Q, êáé ôçò áêôéíéêþò èýóçò. Ó Þìá.9 Ëýóç Èåùñïýìå ÃêáïõóéáíÞ óöáéñéêþ åðéöüíåéá áêôßíáò (ó..9 ). Ôï öïñôßï q ðïõ ðåñéêëåßåé èá åßíáé 4 ñð q = ñ dô = ñ 4ð d = (Ð.-) Óôçí ðñïçãïýìåíç ó Ýóç, üôáí, ôüôå q Q, ïðüôå ìðïñïýìå íá âñïýìå ôç óôáèåñü ñ ùò óõíüñôçóç ôïõ öïñôßïõ Q, äçëáäþ êáé 4 ñð Q = = ñð ñ 3 3 Q = (Ð.-) ð Ï óõíäõáóìüò ôùí ó Ýóåùí (Ð.-) êáé (Ð.-) äßíåé q() 4 4 = Q ð Q 3 ð = (Ð.-3) Ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ èá âñåèåß áðü ôï íüìï ôïõ Gauss. Ç äéåýèõíóç ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ èá åßíáé áêôéíéêþ ðñïò ôá Ýîù áöïý ôï öïñôßï Q åßíáé èåôéêü, ïðüôå êáé ds åßíáé ïìüññïðá äéáíýóìáôá. q() Ñ ds= Ñ ds= Ñ ds= å S() S() S() êáé
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 4 ÔåëéêÜ (4ð ) Q = å ï ï 4 4 Q = (Ð.-4) 4ðå ÐáñÜäåéãìá. Ìéá óöáßñá áêôßíáò R öýñåé öïñôßï ðõêíüôçôáò üãêïõ ñ. Ìéá óöáéñéêþ êïéëüôçôá áêôßíáò Å R/ áöáéñåßôáé áðü ôï äåîéü ìýñïò êáé ðáñáìýíåé êåíþ, üðùò öáßíåôáé óôï ó... Íá âñåèåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ (á) óôï óçìåßï Á êáé (â) óôï óçìåßï Â. Ôá óçìåßá Á êáé C åßíáé ôá êýíôñá ôùí áíôßóôïé ùí óöáéñþí. Ëýóç Ó Þìá. Èåùñïýìå ôï óýóôçìá, ùò Ýíá óõíäõáóìü áðü äýï óöáßñåò. Ç ðñþôç åßíáé ìéá óôåñåü óöáßñá ìå êýíôñï ôï Á, áêôßíá R êáé ìå ðõêíüôçôá üãêïõ öïñôßùí ßóï ìå ñ. Ç äåýôåñç åßíáé ìéá óöáßñá ìå Å êýíôñï ôï C, áêôßíá R/ êáé ìå ðõêíüôçôá ñ. Å (á) Ôï çëåêôñéêü ðåäßï óôï óçìåßï Á ðïõ ïöåßëåôáé óôçí ðñþôç óöáßñá åßíáé ìçäýí ëüãù óõììåôñßáò. Óõíåðþò ôï çëåêôñéêü ðåäßï óôï Á ïöåßëåôáé óôç äåýôåñç óöáßñá. Ãéá íá ôï õðïëïãßóïõìå åéóüãïõìå ìéá ÃêáïõóéáíÞ óöáéñéêþ åðéöüíåéá ìå êýíôñï ôï C êáé áêôßíá R/ ðïõ ðåñéêëåßåé öïñôßï q. Èá åßíáé ïðüôå Ñ q ds= Ñ ds= S= å 4 R ( ñ ) ð R 3 4ð = å êáé ôåëéêü óôï Á ç Ýíôáóç ôïõ ðåäßïõ èá åßíáé 3
4 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ ñr = A (Ð.-) äçëáäþ ìå öïñü ðñïò ôï C. â) Óôï óçìåßï Â ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí åíôüóåùí ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ êüèå óöáßñáò. Ôï çëåêôñéêü ðåäßï ðïõ ïöåßëåôáé óôç óöáßñá Á õðïëïãßæåôáé áí èåùñþóïõìå ìéá ãêáïõóéáíþ óöáéñéêþ åðéöüíåéá ìå êýíôñï ôï Á êáé áêôßíá R ðïõ ðåñéêëåßåé öïñôßï q. Åßíáé ïðüôå Ñ d Ñ 6å S= ds= S= å q 4ðR = 4 ðr 3 ñ 3 å êáé ôåëéêü ñr =, êáé óå äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ, ìå öïñü ðñïò ôá Ýîù, 3å = ñrˆ e 3å R (Ð.-) Ôï çëåêôñéêü ðåäßï ðïõ ïöåßëåôáé óôç óöáßñá C õðïëïãßæåôáé áí èåùñþóïõìå ìéá ÃêáïõóéáíÞ óöáéñéêþ åðéöüíåéá ìå êýíôñï ôï C êáé áêôßíá 3R/ ðïõ ðåñéêëåßåé öïñôßï q. Åßíáé ïðüôå Ñ q ds= ds= S= Ñ å 4 ( ñ ) ð R 3 3 4ð R = å 3 êáé ôåëéêü ñr =, êáé óå äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ 54å
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ = ñrˆ e 54å R Ç ïëéêþ Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï Â èá åßíáé: ñr ñr 7ñR = + = eˆ eˆ = eˆ 3å 54å 54ε ο B R R R 43 (Ð.-3) (Ð.-4).6. Äõíáìéêü Çëåêôñïóôáôéêïý Ðåäßïõ Èåùñïýìå ìéá êáôáíïìþ öïñôßùí, ç ïðïßá äçìéïõñãåß çëåêôñïóôáôéêü ðåäßï ìå Ýíôáóç çë. Ôï Ýñãï ðïõ áðáéôåßôáé ãéá ôç ìåôáôüðéóç ôçò ìïíüäáò ôïõ èåôéêïý öïñôßïõ áðü ôï óçìåßï Á óôï óçìåßï Â ôïõ ðåäßïõ áíôßèåôá óôéò çëåêôñéêýò äõíüìåéò èá åßíáé B B W = F dl = dl = (-4) (q ) çë çë A A To oëïêëþñùìá ôïõ äåîéïý ìýëïõò ôçò åî.(-4) ïñßæåé ôç äéáöïñü äõíáìéêïý V V ôïõ çëåêôñïóôáôéêïý ðåäßïõ ìåôáîý ôùí óçìåßùí Á êáé Â. Åßíáé B A äçëáäþ B A çë A B V V = d l (-5) Ôï áðïôýëåóìá ôçò ïëïêëþñùóçò åßíáé áíåîüñôçôï áðü ôç äéáäñïìþ ìåôáîý áñ éêþò êáé ôåëéêþò èýóçò óôï çëåêôñïóôáôéêü ðåäßï. íá ôýôïéï ðåäßï ïíïìüæåôáé óõíôçñçôéêü. Ìå âüóç ôïí ïñéóìü ðïõ äüèçêå, óå Ýíá çëåêôñïóôáôéêü ðåäßï ìüíï ïé äéáöïñýò äõíáìéêïý ïñßæïíôáé áðïëýôùò. Ç ßäéá ç óõíüñôçóç ïñßæåôáé ìå ðñïóýããéóç óôáèåñüò. ÄçëáäÞ ôï äõíáìéêü ôïõ óçìåßïõ Â, V B, ïñßæåôáé áðüëõôá ãéá ïñéóìýíç ôéìþ ôïõ V Á, ôéìþ ç ïðïßá èåùñåßôáé ùò äõíáìéêü áíáöïñüò. ÅðåéäÞ ôï ðåäßï åßíáé óõíôçñçôéêü, éó ýåé =. Áõôü ôï ðïëý óçìáíôéêü áðïôýëåóìá åßíáé óõíýðåéá ôïõ ãåãïíüôïò, üôé ïé çëåêôñéêýò äõíüìåéò ìåôáîý äýï óçìåéáêþí öïñôßùí Ý ïõí ôç äéåýèõíóç ôçò åõèåßáò, ç ïðïßá åíþíåé ôá äýï öïñôßá ðïõ áëëçëåðéäñïýí, êáé åßíáé óõíáñôþóåéò ìüíï ôçò ìåôáîý ôïõò áðüóôáóçò. Ðáßñíïíôáò õðüøç ìáò ôç äéáíõóìáôéêþ ôáõôüôçôá, ç ïðïßá éó ýåé ãéá êüèå áñéèìçôéêþ óõíüñôçóç Ψ, Ψ, óõìðåñáßíïõìå, üôé åßíáé äõíáôü íá ïñßóïõìå ìéá áñéèìçôéêþ óõíüñôçóç V, ç ïðïßá ó åôßæåôáé ìå ôçí Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ êáé åßíáé
44 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ Ε= V (-6) üðïõ ôï áñíçôéêü ðñüóçìï åßíáé ðñïúüí óýìâáóçò. Ç áñéèìçôéêþ óõíüñôçóç V åßíáé ç óõíüñôçóç ôïõ çëåêôñéêïý äõíáìéêïý. Tï äéáíõóìáôéêü ìýãåèïò V ïíïìüæåôáé êëßóç ôçò áñéèìçôéêþò óõíüñôçóçò V. Ç öïñü ôïõ óõìðßðôåé ìå ôçí êáôåýèõíóç ôçò ìýãéóôçò áýîçóçò ôçò óõíüñôçóçò V, åíþ ôï ìýôñï ôïõ V äßíåé ôçí êëßóç êáôü ìþêïò áõôþò ôçò êáôåýèõíóçò. Óå ïñèïãþíéåò óõíôåôáãìýíåò åßíáé V V V V(,y,z) = eˆ + eˆ + eˆ y z (-7á) y z óå óöáéñéêýò V V V V(,è,ö) = eˆ + eˆ + eˆ è ö (-7â) è sinè ö êáé óå êõëéíäñéêýò V V V V(á,ö,z) = eˆ + eˆ + eˆ á ö z (-7ã) á á ö z Ç óõíüñôçóç ôïõ äõíáìéêïý óôç èýóç- ìå äéüíõóìá èýóçò ðïõ ïöåßëåôáé óå óõíå Þ êáôáíïìþ öïñôßùí óôç èýóç-, äßíåôáé áðü ôçí áêüëïõèç ó Ýóç dq( ) V( ) = 4ðå (-8) ô üðïõ ôï äéüíõóìá èýóçò ôïõ óôïé åéþäïõò öïñôßïõ d q. ÐáñÜäåéãìá.3 Ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óå ìéá ðåñéï Þ ôïõ þñïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç (,y) = Ayeˆ + B yeˆ y. Íá âñåèåß ç äéáöïñü äõíáìéêïý áíüìåóá óôá óçìåßá (,) êáé (,). Ëýóç Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò äéáöïñüò äõíáìéêïý åðéëýãïõìå ìéá «âïëéêþ» äéáäñïìþ áðü ôï óçìåßï (,) óôï óçìåßï (,). Êáèþò ç çëåêôñéêþ Ó Þìá.
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 45 äýíáìç åßíáé óõíôçñçôéêþ äýíáìç, ôüóï áõôþ üóï êáé ôï ïëïêëþñùìá ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ åîáñôþíôáé ìüíïí áðü ôçí áñ éêþ êáé ôçí ôåëéêþ èýóç. Ãéá ôç äéáöïñü äõíáìéêïý áíüìåóá óå äýï óçìåßá ôïõ þñïõ éó ýåé b V V = d l b á Èåùñïýìå ôç äéáäñïìþ ðïõ äßíåôáé óôï ó.., ðñþôá êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá áðü ôï = Ýùò ôï = êáé ýóôåñá êáôü ìþêïò ôçò ãñáììþò áðü ôï y = Ýùò ôï y =. ÊáôÜ ìþêïò ôïõ ðñþôïõ ôìþìáôïò ôçò äéáäñïìþò ôï =, åðåéäþ y =. ÊáôÜ ìþêïò ôïõ äåýôåñïõ ôìþìáôïò ôçò äéáäñïìþò ôï d l Ý åé ôç öïñü ôïõ ê y, åíþ (,y) = Ayeˆ + Byeˆ b V V = b á (,y) dl = ( Ayeˆ + Byeˆ y) eˆ dy = Bydy = By y á y= y= á y Êáé ôåëéêü V (,) V = (,) B ÐáñÜäåéãìá.4 Äýï öïñôßá Q = 3.6 ìc êáé Q =+ 5.6 ìc, âñßóêïíôáé óôéò èýóåéò (, y ) = (.5,) êáé (, y ) = ( +.5,) áíôßóôïé á, üðùò öáßíåôáé óôï Ó... Áí Ýíá öïñôßï q =. ìc ìåôáêéíçèåß áðü ôï Üðåéñï óôç èýóç, y =,, íá âñåèåß ç ìåôáâïëþ ôçò çëåêôñéêþò äõíáìéêþò åíýñãåéüò ôïõ. ( ) ( ) Ó Þìá.
46 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ Ëýóç Ôï çëåêôñéêü äõíáìéêü óôï óçìåßï (,) åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí çëåêôñéêþí äõíáìéêþí óå áõôü ôï óçìåßï áðü êüèå Ýíá áðü ôá äýï öïñôßá. Ôï çëåêôñéêü äõíáìéêü óå Üðåéñç áðüóôáóç áðü ôá äýï öïñôßá èá åßíáé ìçäýí. Ïé áðïóôüóåéò êáé ôùí öïñôßùí 3.6 ìc êáé + 5.6 ìc áðü ôï óçìåßï (,) åßíáé áíôßóôïé á [ ] [ ] = ( ) + (y y ) = (.5) +. =.8 m [ ] [ ] = ( ) + (y y ) = (.5) +. =. m Ôï çëåêôñéêü äõíáìéêü óôç èýóç (,) èá åßíáé Êáé ôåëéêü V Q Q Q Q = + =, + = 4ðå 4ðå 4ðå = ( 9. Nm / C ) +.8 m. m 6 6 9 3.6 C 5.6 C V, = Ç äõíáìéêþ åíýñãåéá ãéá ôï öïñôßï q 3 7 V =. ìc óôï óçìåßï (,) èá åßíáé: ( )( ) = = = 6 3 U qv. V 7 V 7 J, ÐáñÜäåéãìá.5 íáò ëåðôüò åðßðåäïò äßóêïò Ý åé áêôßíá R êáé åßíáé ïìïéüìïñöá öïñôéóìýíïò Ó Þìá.3
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 47 ìå öïñôßï Q. Íá âñåèåß ôï çëåêôñéêü äõíáìéêü óå Ýíá óçìåßï P óôïí Üîïíá ôïõ äßóêïõ êáé óå áðüóôáóç áðü ôï êýíôñï ôïõ, üðùò öáßíåôáé óôï ó..3. Ëýóç ùñßæïõìå ôïí äßóêï óå ëåðôïýò äáêôõëßïõò áêôßíáò R êáé ðü ïõò d R. Åö üóïí ôï öïñôßï Q åßíáé ïìïéüìïñöá êáôáíåìçìýíï ìå åðéöáíåéáêþ ðõêíüôçôá ßóç ìå ó, ôï öïñôßï dq ðïõ ðåñéý åé êüèå äáêôýëéïò èá åßíáé áíüëïãï ôïõ åìâáäïý ôïõ, ds = (ðr)( dr). Èá åßíáé ïðüôå Éó ýåé ( d ) dq ó ðr R = Q ó ðr ( ) (ðr)( dr) QRdR d q = Q = ðr R dq dq Q RdR V = 4ðå = 4ðå = ( + R ) 4ðå R ( + R ) ÅðåéäÞ ôï åßíáé óôáèåñü, èá åßíáé d( + R ) = RdR êáé ç ðñïçãïýìåíç ó Ýóç ãñüöåôáé R êáé ôåëéêü Q d( + R ) Q ( + R ) V = = 4ðå R ( + R ) 4ðå R / R R R= Q V = ( + R ) ( ) = ðå R Q = ( + R ) ðå R (Ð.5-) Ç áðüëõôç ôéìþ óôçí ôåëåõôáßá ó Ýóç åßíáé áðáñáßôçôç, åðåéäþ ôï äõíáìéêü Ý åé ôçí ßäéá ôéìþ ãéá ôçí ßäéá áðüóôáóç äåîéü êáé áñéóôåñü ôïõ äßóêïõ, äçëáäþ ãéá èåôéêýò êáé áñíçôéêýò ôéìýò ôïõ. Ãéá áðüóôáóç >> R, ç ôéìþ ôïõ äõíáìéêïý èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç
48 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ êáé ôåëéêü / Q R ï V ðå R + = Q R ï Q R ï = + = ðå R ðå R Q V (Ð.5-) 4ðå ÄçëáäÞ, áðü ôï ðïëý áðïìáêñõóìýíï óçìåßï P ï äßóêïò èá èåùñåßôáé ùò óçìåéáêü öïñôßï. ÐáñÜäåéãìá.6 Èåùñïýìå ìéá ãñáììéêþ êáôáíïìþ öïñôßïõ êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá áíüìåóá óôá óçìåßá = L êáé =+ L, ó..4. Ç ãñáììéêþ ðõêíüôçôá ôïõ êáôáíåìçìýíïõ öïñôßïõ, ùò óõíüñôçóç ôçò èýóçò, äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç ë ë( ) =. Íá âñåèåß ôï çëåêôñéêü äõíáìéêü, ùò óõíüñôçóç ôçò èýóçò, L êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá y. Ó Þìá.4 Ëýóç Èåùñïýìå Ýíá óôïé åéþäåò ôìþìá ôçò êáôáíïìþò, ìþêïõò d, ðïõ âñßóêåôáé óå áðüóôáóç áðü ôïí Üîïíá y. Ôï óôïé åéþäåò ôìþìá öýñåé öïñôßï dq = ë d. Ç áðüóôáóþ ôïõ áðü Ýíá óçìåßï ôïõ Üîïíá y åßíáé = + y. Ôï óôïé åéþäåò çëåêôñéêü äõíáìéêü dv óôïí Üîïíá y åî áéôßáò ôïõ
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 49 óôïé åéþäïõò öïñôßïõ d åßíáé dq ë d ë d d V = = = 4ðå 4ðå + y 4ðå L + y Ïëïêëçñþíïíôáò ôçí ðñïçãïýìåíç ó Ýóç ðñïêýðôåé ( ) ( + ) L L ë d ë d d V = dv = 4ðå L = + L + y 4ðå L L + y + y äçëáäþ êáé ôåëéêü L { } L ë = + + + 4ðå L V y y = ë ðå L + V L y y ÐáñÜäåéãìá.7 Ôï äõíáìéêü åíüò çëåêôñïóôáôéêïý ðåäßïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç 3 6 V(,y,z) = V yz /L, üðïõ L ìéá óôáèåñü ìå äéáóôüóåéò ìþêïõò. Íá âñåèåß ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ. Ëýóç ¼ðùò ãíùñßæïõìå áðü ôç èåùñßá åßíáé (,y,z) = V(,y,z), äçëáäþ V V V (,y,z) = eˆ + eˆ + eˆ = eˆ eˆ eˆ y y z z y z, ïðüôå y z V V V = = yz = yz L L 3 3 6 6 V V V = = yz = z y y L L 3 3 y 6 6 V V V = = yz = 3 yz z z L L 3 z 6 6
5 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ ÔåëéêÜ V = + + L ( ˆ ˆ ˆ y z) (,y,z) z yze ze 3ye 6 ÐáñÜäåéãìá.8 ñçóéìïðïéþóôå ôï çëåêôñéêü äõíáìéêü ãéá ôçí åýñåóç ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óå óçìåßï Ñ ðüíù óôïí Üîïíá (á) åíüò ïìïéüìïñöá öïñôéóìýíïõ äáêôõëßïõ, áêôßíáò R, ìå öïñôßï Q êáé (â) åíüò ïìïéüìïñöá öïñôéóìýíïõ äßóêïõ, áêôßíáò R, ìå öïñôßï Q. Ó Þìá.5 Ëýóç (á) Ãéá ôï äõíáìéêü ôïõ äáêôõëßïõ, ó..5, óå áðüóôáóç áðü ôá óçìåßá ôçò ðåñéöýñåéáò ôïõ êáé ðüíù óôïí Üîïíá éó ýåé ôóé, dq Q V = q 4ðå = d = 4ðå ( + R ) 4ðå ( + R ) V Q = = 3 4ðå ( + R ) åíþ ïé õðüëïéðåò óõíéóôþóåò åßíáé ßóåò ìå ìçäýí. (â) Óôï ðáñüäåéãìá.5 âñþêáìå üôé ôï çëåêôñéêü äõíáìéêü óå Ýíá óçìåßï P óôïí Üîïíá ôïõ äßóêïõ êáé óå áðüóôáóç áðü ôï êýíôñï ôïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç (Ð.5-) Q V = ( R ) ðå R + Ç Ýíôáóç ôïõ ðåäßïõ óôï Ñ èá åßíáé V Q = = åíþ ïé õðüëïéðåò óõíéóôþóåò åßíáé ßóåò ìå ìçäýí. ðå R ( + R ) Óôá óçìåßá ðïëý êïíôü óôï äßóêï, üðïõ << R èá åßíáé
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 5 Q Q /R = = ðå R ( + R ) ðå R ( /R + ) êáé ôåëéêü üðïõ Q ó =, ðå R å ó = Q ðr åßíáé ç åðéöáíåéáêþ ðõêíüôçôá öïñôßïõ. ÐáñÜäåéãìá.9. Ôá "ìéêñü" êáé ôá "ìåãüëá" Ôï óôïé åéþäåò öïñôßï åßíáé ðïëý ìéêñü, áëëü ôá óôïé åéþäç óùìáôßäéá óôç óõíþèç ýëç åßíáé ðüñá ðïëëü, Ýôóé ôá "ìéêñü" êáé ôá "ìåãüëá" áíôéóôáèìßæïíôáé. Ãéá íá ðüñïõìå ìéü éäýá, èá õðïèýóïõìå üôé èá Þôáí äõíáôü (ðïõ äýí åßíáé) íá ùñßóïõìå üëá ôá çëåêôñüíéá åíüò mole õäñïãüíïõ (äýï ãñáììáñßùí Ç, äçëáäþ) áðü ôïõò ðõñþíåò, êáé íá ôïðïèåôþóïõìå ôá ìåí óôç Öëþñéíá, ôïõò äå óôç Ñüäï. Áí õðïèýóïõìå üôé ç áðüóôáóç Öëþñéíáò - Ñüäïõ åßíáé 9 éëéüìåôñá, ìå ðüóç äýíáìç èá Ýëêïíôáé ìåôáîý ôïõò; Ãéá íá ðñïóèýóïõìå åíôõðùóéáóìü, èá îåêéíþóïõìå õðïëïãßæïíôáò ôçí åëêôéêþ äýíáìç ìåôáîý åíüò ìüíï ðñùôïíßïõ ðïõ âñßóêåôáé óôç Öëþñéíá êé åíüò çëåêôñïíßïõ ðïõ åßíáé óôç Ñüäï, ôï ìýôñï ôçò ïðïßáò èá åßíáé 9 qq Ö Ñ 9 (.6 ) 4 F = = 9 =.8 N Φ Ρ 5 4ðå (9 ) Ðåñéôôü íá ðïýìå, üôé ç äýíáìç áõôþ äå ìðïñåß êáí íá ìåôñçèåß! Ãéá íá âñïýìå, ôþñá ôç äýíáìç ðïõ ìáò æçôüåé ç Üóêçóç, èá ðñýðåé íá ðïëëáðëáóéüóïõìå ôï öïñôßï åíüò ðñùôïíßïõ ìå ôïí áñéèìü ôùí ðñùôïíßùí áíü mole (äçë. ôïí áñéèìü ôïõ ÁâïãêÜíôñï), êáé íá êüíïõìå ôï ßäéï êáé ìå ôá çëåêôñüíéá. Áõôü óçìáßíåé ðùò ôï ôåëéêü ìáò áðïôýëåóìá èá åßíáé ï áñéèìüò ðïõ âñþêáìå ðñéí, ðïëëáðëáóéáóìýíïò åðß ôï ôåôñüãùíï ôïõ áñéèìïý ôïõ ÁâïãêÜíôñï: = = éëéüäåò ôüííïé! 4 3 6 F.8 (6.3 ).6 N Åëðßæåôáé üôé Ýãéíå êáôáíïçôü, ðþò ôá ðïëý ìéêñü ìåãýèç áíôéóôáèìßæïíôáé áðü ôá ðïëý ìåãüëá.
5 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ ÐñïâëÞìáôá.. Äýï óçìåéáêü öïñôßá Q êáé Q âñßóêïíôáé óå áðüóôáóç d. Íá âñåèåß ç èýóç óôçí ïðïßá ðñýðåé íá ôïðïèåôçèåß Ýíá ôñßôï óçìåéáêü öïñôßï Q, þóôå ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé åðüíù ôïõ íá åßíáé ìçäýí. Íá ëõèåß ôï ðñüâëçìá êáé ãéá ôçí ðåñßðôùóç üðïõ êáé ôá ôñßá öïñôßá åßíáé èåôéêü... ÔÝóóåñá öïñôßá ßóïõ áðüëõôïõ ìåãýèïõò ôïðïèåôïýíôáé óôéò ãùíßåò åíüò ôåôñáãþíïõ. Ðïéá äéüôáîç ôùí öïñôßùí èá Ý åé óáí áðïôýëåóìá ôçí ìýãéóôç ôéìþ ôçò Ýíôáóçò ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï êýíôñï ôïõ ôåôñáãþíïõ; ÅðéëÝîôå áðü ôéò áêüëïõèåò äéáôüîåéò êáé äéêáéïëïãåßóôå ôçí áðüíôçóþ óáò: (á) ôýóóåñá èåôéêü öïñôßá, (â) ôýóóåñá áñíçôéêü öïñôßá, (ã) ôñßá èåôéêü êáé Ýíá áñíçôéêü, (ä) äýï èåôéêü êáé äýï áñíçôéêü êáé (å) ôñßá áñíçôéêü êáé Ýíá èåôéêü;.3. Äýï ðáñüëëçëïé êõêëéêïß äáêôýëéïé áêôßíáò R Ý ïõí ôá êýíôñá ôïõò óôïí Üîïíá, ôá ïðïßá áðý ïõí áðüóôáóç l, üðùò öáßíåôáé óôï ó..6. Áí êüèå äáêôýëéïò öýñåé öïñôßï Q, ïìïéüìïñöá êáôáíåìçìýíï, íá õðïëïãßóåôå óôá óçìåßá ôïõ Üîïíá. ôï çëåêôñéêü ðåäßï ( ) Ó Þìá.6..4. Ìßá ëåðôþ ìç-áãþãéìç ñüâäïò Ý åé ó Þìá çìéêõêëßïõ ìå êýíôñï Ñ êáé áêôßíá ßóç ìå R, ó..7. Ç ñüâäïò öýñåé ìéá ìç-ïìïéüìïñöç êáôáíïìþ öïñôßïõ ìå ãñáììéêþ ðõêíüôçôá ë = ë sinè, üðïõ ë åßíáé ìéá èåôéêþ óôáèåñü. Íá õðïëïãßóåôå ôçí Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï Ñ. [Õðüäåéîç: Åßíáé sin ( è) = sinè, ïðüôå ôá äýï ôåôáñôïêýêëéá ôçò ñüâäïõ öýñïõí áíôßèåôá öïñôßá.].5. íá èåôéêü öïñôßï q åßíáé ôïðïèåôçìýíï óôï êýíôñï åíüò êõêëéêïý äáêôõëßïõ áêôßíáò R, ó..8. Ï äáêôýëéïò öýñåé ìéá ïìïéüìïñöç êáôáíïìþ áñíçôéêïý öïñôßïõ, óõíïëéêïý ìåãýèïõò Q. (á) Áí ôï öïñôßï q ìåôáôïðéóôåß áðü ôï êáôü ìéá ìéêñþ áðüóôáóç, üðùò öáßíåôáé óôï ó Þìá, íá äåßîåôå üôé èá êüíåé ìéá áðëþ áñìïíéêþ ôáëüíôùóç. (â) Áí ç ìüæá ôïõ åßíáé ßóç ìå m, íá õðïëïãßóåôå ôçí ðåñßïäï ôçò ôáëüíôùóçò.
. HËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ - ÍÏÌÏÉ & ÂÁÓÉÊÁ ÌÅÃÅÈÇ 53 Ó Þìá.7. Ó Þìá.8..6. Ç äéüôáîç ôùí öïñôßùí ôïõ ó..9 áðïôåëåß Ýíá åßäïò çëåêôñéêïý ôåôñáðüëïõ. Íá õðïëïãßóåôå ôçí Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óôá óçìåßá ôçò ìåóïêáèýôïõ óôï åõèýãñáììï ôìþìá, ðïõ ïñßæåôáé áðü ôá äýï èåôéêü öïñôßá. Óôç óõíý åéá, íá áðïäåßîåôå, üôé ç Ýíôáóç óå ôõ áßï óçìåßï ôïõ 4 þñïõ åßíáé áíüëïãç ôïõ /, ãéá >> l, üðïõ ôï ôï ìåôñüìå áðü ôç èýóç ôïõ êåíôñéêïý öïñôßïõ. Ó Þìá.9..7. íáò ëåðôüò êõêëéêüò äáêôýëéïò áêôßíáò R, ó..3, Ý åé öïñôßï + Q/ êáôáíåìçìýíï ïìïéüìïñöá óôï ðüíù çìéêýêëéï, êáé öïñôßï Q/ êáôáíåìçìýíï ïìïéüìïñöá óôï êüôù çìéêýêëéï. (á) Ðïéü åßíáé ôï äõíáìéêü óôï óçìåßï Ñ ôïõ Üîïíá ôïõ êüèåôïõ óôï åðßðåäï ôïõ äáêôõëßïõ ðïõ ðåñíü áðü ôï êýíôñï ôïõ; (â) Ðüóç åßíáé Ýíôáóç óôï ßäéï óçìåßï; Ó Þìá.3. Ó Þìá.3..8. Ôñßá óçìåéáêü öïñôßá åßíáé ôïðïèåôçìýíá óå ôñåéò êïñõöýò åíüò ôåôñáãþíïõ ðëåõñüò l, üðùò öáßíåôáé óôï ó..3. Íá õðïëïãßóåôå ôçí
54 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÊÁÉ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÕ - ÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÕ Ýíôáóç êáé ôï äõíáìéêü óôçí ôýôáñôç êïñõöþ..9. íáò åðßðåäïò äáêôýëéïò ìå åóùôåñéêþ áêôßíá R êáé åîùôåñéêþ R, ó..3, åßíáé ïìïéüìïñöá öïñôéóìýíïò ìå åðéöáíåéáêþ ðõêíüôçôá öïñôßïõ ßóç ìå ó. Ðïéü åßíáé ôï äõíáìéêü óôá óçìåßá ôïõ Üîïíá- ôïõ êüèåôïõ óôï åðßðåäï ôïõ äáêôõëßïõ ðïõ ðåñíü áðü ôï êýíôñï ôïõ; Ó Þìá.3. Ó Þìá.33... íáò åðßðåäïò êõêëéêüò äßóêïò áêôßíáò R, ó..33, öýñåé ìçïìïéüìïñöá êáôáíåìçìýíï öïñôßï ìå åðéöáíåéáêþ ðõêíüôçôá ó = ár, üðïõ R ç áðüóôáóç áðü ôï êýíôñï ôïõ äßóêïõ. Íá õðïëïãßóåôå ôçí Ýíôáóç ( ) êáé ôï äõíáìéêü V( ) óôá óçìåßá ôïõ Üîïíá- ôïõ êüèåôïõ óôï åðßðåäï ôïõ äáêôõëßïõ ðïõ ðåñíü áðü ôï êýíôñï ôïõ. Ôé äéáóôüóåéò Ý åé ç óôáèåñü á;