ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.

Transcript

1 ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4 + i), 2+3i 4+i, i (2 + 3i)(4 + i), iv. (2 + i) 2 óêçóç.2. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò 2 = 3 4i, 3 = 0, i ( + ) 2 = 3 4i óêçóç.3. Äåßîôå üôé ãéá ôá ; w 0 C éó ýåé üôé arg() = arg()+2êð êáé arg( ) = arg() arg(w) + 2êð ãéá êüðïéï ê Z. w óêçóç.4. Íá äåßîåôå üôé áí ôï C åßíáé ñßæá åíüò ðïëõùíýìïõ ìå ðñáãìáôéêïýò óõíôåëåóôýò, ôüôå êáé ôï åßíáé ñßæá ôïõ. óêçóç.5. Áí =, íá âñåèåß ç ìýãéóôç ôéìþ ôïõ 2 + i. óêçóç.6. Áí ôï C åßíáé ñßæá ôïõ ðïëõùíýìïõ p(x) = x n + a n x n + : : : + a 0, ôüôå íá äåé èåß üôé < + a n + : : : + a 0..2 ÂáóéêÝò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò óêçóç.7. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b Rïé áñéèìïß: e 2 5i, cos( i), i e e+i, iv. log( i),

2 v. log( + i) óêçóç.8. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò sin = i, cos = 4 óêçóç.9. Ãéá ðïéýò ôéìýò ôïõ ìéãáäéêïý áñéèìïý éó ýåé: e i = e i ; óêçóç.0. Íá åîåôáóôåß ç óõìðåñéöïñü ôçò ðáñüóôáóçò e x+iy êáèþò x ± êáé y ±. óêçóç.. Íá äåé èåß üôé ãéá êüèå ìéãáäéêïýò áñéèìïýò ; w éó ýåé: cos 2 + sin 2 =, sin( ) = sin, i cos( ) = cos, iv. sin( + 2) = sin, v. cos( + 2) = cos, v sin( + w) = cos sinw + sin cosw, v cos( + w) = cos cosw + sin sinw óêçóç.2. óôù f() = e. Äåßîôå üôé ãéá êüèå å > 0; f(ä(0; å) \ {0}) = C \ {0}. (Õðüäåéîç: ëýóôå ôçí åîßóùóç e = w.) óêçóç.3. Äåßîôå üôé áí ôï ìéãáäéêü áñéèìü cos +isin =, ôüôå R. (Õðüäåéîç: ñçóéìïðïéþóôå ôç ó Ýóç ôïõ Euler e = cos + isin.).3 Ôïðïëïãßá ôïõ C - áêïëïõèßåò - óåéñýò óêçóç.4. Íá äåé èåß üôé ôï Üíù çìéåðßðåäï { C : Im > 0} åßíáé áíïéêôü óýíïëï. óêçóç.5. Íá åîåôüóåôå ðïõ åßíáé óõíå Þò ç óõíüñôçóç f() = óêçóç.6. Íá äåßîåôå üôé áí ç óõíüñôçóç f : C C åßíáé óõíå Þò êáé f( 0 ) = 0 ãéá êüðïéï 0 C, ôüôå õðüñ åé ðåñéï Þ ôïõ 0 óôçí ïðïßá ç óõíüñôçóç f äåí ìçäåíßæåôáé. óêçóç.7. Íá õðïëïãéóôïýí, áí õðüñ ïõí, ôá üñéá: lim n + n i n+, lim n + ( + n )ei n, ( ) i lim n + arg ( ) n n 2

3 óêçóç.8. Íá åîåôáóôåß áí óõãêëßíïõí ïé óåéñýò: + n= ein n 2 + n= ein n i + n= ein n n (Õðüäåéîç: ñçóéìïðïéþóôå ôçí éóüôçôá e in = cosn + isinn) 2 ÐáñÜãùãïò ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí 2. Ïñéóìüò ìéãáäéêþò ðáñáãþãïõ - óýìïñöåò áðåéêïíßóåéò óêçóç 2.. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôá óýíïëá óôá ïðïßá åßíáé ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò ïëüìïñöåò êáé íá âñåèïýí ïé ðáñüãùãïé ôïõò. f() = ( + ) 3, f() = 2 +, i f() = + 2 +, iv. f() = 3 i 2 +i óêçóç 2.2. Íá ìåëåôçèåß ç óõìðåñéöïñü ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí ôïðéêü óôá áíôßóôïé á óçìåßá 0. f() = + 3; Z 0 = 2 + i, f() = 2 i; 0 = 0, i f() = 2 ++ ; 0 = 0, iv. f() = ; 0 = i 2.2 Åîéóþóåéò Cauchy - Riemann óêçóç 2.3. Íá äåßîåôå üôé ç óõíüñôçóç f() = 2 + éêáíïðïéåß ôéò óõíèþêåò Cauchy - Riemann óå üëï ôï ìéãáäéêü åðßðåäï. óêçóç 2.4. Íá äåé èåß üôé ç óõíüñôçóç f() = äåí åßíáé áíáëõôéêþ. óêçóç 2.5. Íá åîåôüóåôå áí õðüñ åé ïëüìïñöç óõíüñôçóç óå üëï ôï C f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y) ìå u(x; y) = e x (xsiny ycosy) êáé v(x; y) = x 2 2y 2 + 4xy. óêçóç 2.6. óôù üôé ç f åßíáé ïëüìïñöç åðß ôïõ äßóêïõ <, êáé üôé Ref = 3 ãéá üëá ôá óôï äßóêï áõôü. Íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé óôáèåñþ åðß ôïõ äßóêïõ áõôïý. 3

4 óêçóç 2.7. Íá áðïäåé èåß üôé áí ç ìéãáäéêþ óõíüñôçóç f åßíáé ïëüìïñöç óå Ýíá áíïéêôü, óõíåêôéêü óýíïëï Á êáé éó ýåé Imf = 0, ôüôå åßíáé óôáèåñþ óôï Á. Éó ýåé ôï èåþñçìá áí ôï óýíïëï äåí åßíáé óõíåêôéêü; óêçóç 2.8. Íá äåé èåß üôé áí ç f åßíáé ïëüìïñöç óå üëï ôï ìéãáäéêü åðßðåäï, ôüôå êáé ç g ìå g() = f() åßíáé áíáëõôéêþ. óêçóç 2.9. Íá áðïäåé èåß üôé áí ç ìéãáäéêþ óõíüñôçóç f åßíáé ïëüìïñöç óå Ýíá áíïéêôü, óõíåêôéêü óýíïëï Á êáé éó ýåé f() ãéá êüèå A, ôüôå åßíáé óôáèåñþ óôï Á. óêçóç 2.0. óôù f() = +. Íá âñåèåß óå ðïéï óýíïëï åßíáé ïëüìïñöç. Åßíáé óýìïñöç ç óõíüñôçóç óôï = 0; i Ðïéåò åßíáé ïé åéêüíåò ôùí áîüíùí x'x êáé y'y ìýóù ôçò f; iv. Ðïéá åßíáé ç ãùíßá ôïìþò ôùí ðáñáðüíù åéêüíùí; óêçóç 2.. Íá âñåèåß ç ïëüìïñöç ìéãáäéêþ óõíüñôçóç f áí ãíùñßæïõìå üôé Ref(x + iy) = 3e x cosy êáé f(0) = ÁñìïíéêÝò óõíáñôþóåéò óêçóç 2.2. Íá âñåèåß óå ðïéá óýíïëá åßíáé ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò áñìïíéêýò. u(x; y) = Re u(x; y) = Im i u(x; y) = x+iy (x+iy) 3, ( x + iy + x+iy y (x ) 2 +y 2 ), óêçóç 2.3. Íá äåßîåôå üôé ç óõíüñôçóç u(x; y) = e x cosy åßíáé áñìïíéêþ óôï C. Íá âñåèåß ìéá óõæõãþò áñìïíéêþ ôçò u. óêçóç 2.4. ¼ìïéá ãéá ôçí u(x; y) = x 3 3xy 2. 3 ÌéãáäéêÜ ïëïêëçñþìáôá É 3. Ïñéóìüò - êëáóéêü èåùñþìáôá óêçóç 3.. Íá õðïëïãéóôïýí ôá ðáñáêüôù ïëïêëçñþìáôá ìå ôç ñþóç ôïõ ïñéóìïý Red üðïõ åßíáé ôï åõèýãñáììï ôìþìá áðü ôï 0 óôï + i, 2 d üðïõ åßíáé ôï åõèýãñáììï ôìþìá áðü ôï 0 óôï + i, i d üðïõ åßíáé ï ìïíáäéáßïò êýêëïò êýíôñïõ 0 ìå èåôéêþ öïñü, 4

5 iv. d üðïõ åßíáé ï ìïíáäéáßïò êýêëïò êýíôñïõ 2 ìå èåôéêþ öïñü, v. Red üðïõ åßíáé ç ðåñßìåôñïò ôïõ ôåôñáãþíïõ [0; ] [0; ], v e d üðïõ åßíáé ôï ðüíù çìéêýêëéï ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ êýíôñïõ0 áðü ôï óôï. óêçóç 3.2. Íá âñåèåß ôï ìþêïò ôçò êáìðýëçò (t) = cost + isint; t [0; 2]. óêçóç 3.3. Íá äåßîåôå üôé d e e üðïõ åßíáé ôï ðüíù çìéêýêëéï ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ êýíôñïõ 0 áðü ôï óôï. óêçóç 3.4. Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá ï ìïíáäéáßïò êýêëïò êýíôñïõ 0 ìå èåôéêþ öïñü, d üôáí ç êáìðýëç åßíáé: ìéá êëåéóôþ êáìðýëç ðïõ äåí ôýìíåôáé áðü ôïí áñíçôéêü çìéüîïíá ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí. Ãéáôß óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç ôï áðïôýëåóìá äåí åßíáé ìçäýí; Åöáñìüæåôáé ôï èåìåëéþäåò èåþñçìá ôïõ áðåéñïóôéêïý ëïãéóìïý ãéá ôá åðéêáìðýëéá ïëïêëçñþìáôá; Ãéáôß ü é; óêçóç 3.5. Íá áðïäåßîåôå üôé äåí õðüñ åé ïëüìïñöç óõíüñôçóç f óå üëï ôï C \ {0} ìå f () =. (Õðüäåéîç ñçóéìïðïéþóôå ôçí ðñïçãïýìåíç Üóêçóç.) óêçóç 3.6. óôù ï ìïíáäéáßïò êýêëïò êýíôñïõ 0 ìå èåôéêþ öïñü. Íá õðïëïãéóôåß ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôïõ öõóéêïý áñéèìïý í ôï ïëïêëþñùìá d. í 3.2 Èåþñçìá Cauchy - ïëïêëçñùôéêüò ôýðïò ôïõ Cauchy óêçóç 3.7. Íá äåßîåôå üôé ôï óýíïëï Á = { C : < < 4} äåí åßíáé áðëü óõíåêôéêü. óêçóç 3.8. Íá õðïëïãéóôïýí ôá ïëïêëçñþìáôá: i iv. 2 d, üðïõ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2, sin 2 d, üðïõ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò, 2 + d, üðïõ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2, cose d,üðïõ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò. óêçóç 3.9. óôù ; ; 2 ïé êýêëïé èåôéêþò öïñüò, êýíôñùí 0,-, êáé áêôßíùí 2,, áíôßóôïé á. Áí ç f åßíáé ìéá ïëüìïñöç óõíüñôçóç óå üëï ôï ìéãáäéêü åðßðåäï åêôüò ôùí óçìåßùí - êáé, ôüôå íá äåé ôåß üôé: f()d = f()d + f()d: 2 5

6 óêçóç 3.0. Íá õðïëïãéóôïýí ôá ïëïêëçñþìáôá: 2 d, üðïõ 2 åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2, + sin d, üðïõ 2 åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2, i d, üðïõ 2 åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò ++ 2, iv. d,üðïõ 2 åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2. 8 óêçóç 3.. Íá õðïëïãéóôïýí ôá ðáñáêüôù ïëïêëçñþìáôá: 2 (+) 2 d, üðïõ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2, sin d, üðïõ (+) 3 åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2, i d, üðïõ ( 2 ++) 2 åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2. óêçóç 3.2. óôù ï èåôéêü ðñïóáíáôïëéóìýíïò êýêëïò C = { C : Z = 2} êáé ç óõíüñôçóç f : C \ C C ìå ôýðï e 2 f() = d: Íá õðïëïãéóôïýí ïé ôéìýò f(i); f( i); f() ãéá > 2. C óêçóç 3.3. óôù f ìéá ïëüìïñöç óõíüñôçóç óå Ýíá áðëü óõíåêôéêü ðåäßï D, C ìéá áðëþ, êëåéóôþ, êáôü ôìþìáôá ëåßá, èåôéêü ðñïóáíáôïëéóìýíç êáìðýëç ðïõ ðåñéý åôáé óôï D êáé 0 D Ýíá óçìåßï óôï åóùôåñéêü ôçò C. Íá áðïäåßîåôå ôï èåþñçìá ôïõ ïëïêëçñùôéêïý ôýðïõ ôïõ Cauchy. Äåßîôå üôé ãéá êüèå öõóéêü áñéèìü n éó ýåé: ( ) f() n d = 2i 0 2i C C (f()) n 0 d: i Áí ôï 0 âñßóêåôáé óôï åîùôåñéêü ôçò C íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá C f() 0 d. óêçóç 3.4. Íá õðïëïãéóôåß ôï sin2 d, üðïõ åßíáé ç êáìðýëç ìå (t) = t + icost; t [ 2 ; 2 ]. óêçóç 3.5. Íá õðïëïãéóôåß ôï d, üðïõ åßíáé ç êáìðýëç ìå (t) = cost + isint; t [ 2 ; 3 2 ]. óêçóç 3.6. óôù f : C C, ïëüìïñöç óõíüñôçóç. Ãéá êüèå ; 2 C êáé R > 0 ìå R ; 2, èýôïõìå É(R; ; 2 ) = f() C ( )( 2 ) d üðïõ C åßíáé ï èåôéêü ðñïóáíáôïëéóìýíïò êýêëïò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò R. Äåßîôå üôé: max{ f() : C} É(R; ; 2 ) 2R R R 2, áí R > max{ ; 2 }, ôüôå É(R; ; 2 ) = 2i f( 2) f( ) 2. 6

7 3.3 Áíéóüôçôåò Cauchy- áñ Þ ìåãßóôïõ - èåþñçìá Liouville óêçóç 3.7. Íá âñåèïýí ôá ìýãéóôá ôùí ðáñáêüôù ðáñáóôüóåùí óôá áíáöåñüìåíá óýíïëá: e óôïí êõêëéêü äßóêï <, sin óôï ôåôñüãùíï [0; 2] [0; 2], i óôï Á = { C : 2 = }. óêçóç 3.8. óôù f : A C ìéá ïëüìïñöç óõíüñôçóç åðß åíüò áíïéêôïý óõíüëïõ A C. Áí f() 0 ãéá êüèå A, ôüôå íá äåßîåôå üôé äåí õðüñ åé 0 A þóôå f( 0 ) < f() ãéá êüèå A; 0. óêçóç 3.9. óôù f; g äýï áêýñáéåò óõíáñôþóåéò þóôå f() < g() ; C. Íá äåßîåôå üôé f(0)g() = f()g(0); C. (Õðüäåéîç: äåßîôå üôé ç f g åßíáé óôáèåñþ.) óêçóç Áí ãéá ôç óõíüñôçóç f : C C Ý ïõìå ãíùñßæïõìå üôé åßíáé áíáëõôéêþ óôï < êáé f (), ôüôå íá åêôéìçèåß ç f (0). óêçóç 3.2. Áí ãéá ôçí áêýñáéá óõíüñôçóç f éó ýåé üôé lim + f() = 0, ôüôå íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé óôáèåñþ. óêçóç óôù f; g äýï óõíáñôþóåéò ïñéóìýíåò åðß ôïõ êëåéóôïý äßóêïõ. Áí f() = g() ãéá êüèå C ìå =, ôüôå íá äåßîåôå üôé f() = g() ãéá. óêçóç óôù f ìéá áêýñáéá óõíüñôçóç. Áí ç f äåí ðáßñíåé ôéìýò óôï óýíïëï { C : a < r} ãéá a C êáé r > 0, ôüôå íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé óôáèåñþ. óêçóç óôù f ïëüìïñöç óõíüñôçóç óå üëï ôï C. Áí ç f åßíáé öñáãìýíç, ôüôå íá äåßîåôå üôé õðüñ ïõí ìéãáäéêïß áñéèìïß a; b þóôå f() = a+b. 4 ÁíáðáñÜóôáóç ìå äõíáìïóåéñýò 4. Ïìïéüìïñöç óýãêëéóç - (äõíáìï)óåéñýò óêçóç 4.. Íá äåé ôåß üôé ç áêïëïõèßá ðñáãìáôéêþí óõíáñôþóåùí f(x) = sin ( x n) óõãêëßíåé ïìïéüìïñöá óôç f(x) = 0, ãéá x [0; ]. óêçóç 4.2. óôù ç áêïëïõèßá ðñáãìáôéêþí óõíáñôþóåùí f(x) = x n, x [0; ]. Íá äåßîåôå üôé: ç áêïëïõèßá óõíáñôþóåùí f n óõãêëßíåé êáôü óçìåßï óôç { 0, áí 0 x <, f(x) =, áí x = 0, ç f n äåí óõãêëßíåé ïìïéüìïñöá óôçí f ñçóéìïðïéþíôáò ôï ãåãïíüò üôé ç ôåëåõôáßá åßíáé áóõíå Þò, 7

8 i sup{ f(x) f n (x) : x [0; ]} 0 êáèþò n +. óêçóç 4.3. Äåßîôå üôé ç óåéñü + n=0 n óõãêëßíåé ãéá < óôç. Äåßîôå üôé ç óýãêëéóç åßíáé ïìïéüìïñöç êáé áðüëõôç óå êüèå êëåéóôü äßóêï r <. óêçóç 4.4. Äåßîôå üôé ç óåéñü + n= nn óõãêëßíåé ãéá < óôç ( ) 2. Äåßîôå üôé ç óýãêëéóç åßíáé ïìïéüìïñöç êáé áðüëõôç óå êüèå êëåéóôü äßóêï r <. óêçóç 4.5. Íá äåßîåôå üôé ç f() = + n= n åßíáé áíáëõôéêþ åðß ôïõ n 2 D = { C : < }. Íá âñåèåß ôï áíüðôõãìá ôçò f. óêçóç 4.6. Íá äåé ôåß üôé ç óåéñü + n= n óõãêëßíåé ïìïéüìïñöá óôï óýíïëï Á = { C : < } êáé íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá ( + n= n) d üðïõ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò ìéêñüôåñçò ôï. óêçóç 4.7. Äåßîôå üôé ç + n=0 óõãêëßíåé óå ìéá ïëüìïñöç óõíüñôçóç åðß ôïõ óõíüëïõ Á = n { C : > }, ç + n=0 óõãêëßíåé óå ìéá ïëüìïñöç óõíüñôçóç åðß ôïõ óõíüëïõ C. n! n óêçóç 4.8. Íá âñåèåß ç áêôßíá óýãêëéóç ôùí ðáñáêüôù äõíáìïóåéñþí: + n=0 nn, + n=0 n e n, i + n=0 n n, iv. + n=0 n2 n, v. + n=0 2n 4 n óêçóç 4.9. Íá âñåèåß ç ðåñéï Þ óôçí ïðïßá ç + n= ïëüìïñöç óõíüñôçóç. (2 ) n n óõãêëßíåé óå óêçóç 4.0. Áí ç äõíáìïóåéñü + n=0 a n n Ý åé áêôßíá óýãêëéóçò r, ôüôå íá äåßîåôå üôé ç äõíáìïóåéñü + n=0 Re(a n) n Ý åé áêôßíá óýãêëéóçò ìåãáëýôåñç ôïõ r. 5 Áíáðôýãìáôá Taylor - Laurent, áíùìáëßåò óêçóç 5.. Íá âñåèïýí ôá áíáðôýãìáôá Taylor êýíôñïõ 0 êáèþò êáé ç áêôßíá óýãêëéóþò ôïõò, ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí: f() =, f() = 4+ 2, i f() =, 8

9 iv. f() = ex, v. f() = 2 5+6, v f() = log( + ). óêçóç 5.2. óôù ïé äõíáìïóåéñýò + n=0 a n n, + n=0 b n n ìå áêôßíá óýãêëéóçò r êáé c k = k n=0 a kb n k. Íá äåßîåôå üôé ç äõíáìïóåéñü + n=0 c n n Ý åé áêôßíá óýãêëéóçò r êáé ðùò ãéá < r éó ýåé ( + + ) ( + ) c n n = a n n b n n n=0 n=0 óêçóç 5.3. Íá âñåèïýí ôá áíáðôýãìáôá Taylor êýíôñïõ êáèþò êáé ç áêôßíá óýãêëéóþò ôïõò, ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí: f() = e, f() =. Áíáðôýîôå óå óåéñü Taylor ìå êýíôñï 0 ôç óõíüñôçóç f() =. Êáôüðéí + 2 íá õðïëïãßóåôå ôéò ðáñáãþãïõò f (2n) (0); f 2n+ (0) ãéá êüèå n N. óêçóç 5.4. Íá âñåèåß ôï áíüðôõãìá Laurent ôçò f() óôï óýíïëï { C : r 0 < 0 < r }, üôáí: f() = + ; 0 = 0; r 0 = 0; r = +, f() = +i ; 0 = i; r 0 = 0; r =, i f() = 2 + ; 0 = i; r 0 = 0; r = 2, iv. f() = cos 2 ; 0 = 0; r 0 = 0; r = +, v. f() = sin ( ) ; 0 = 0; r 0 = 0; r = +, v f() = e 2 ; 0 = i; r 0 = 0; r =. óêçóç 5.5. Íá âñåèåß ç ôüîç ôïõ ðüëïõ óå êüèå ìéá áðü ôéò ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò óôçí áíùìáëßá óôï 0. cos 2, e 2, i sin, iv. e. óêçóç 5.6. Ðïéá áðü ôéò ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò Ý åé áéñüìåíç áíùìáëßá óôï 0 : n=0 cos( ) ; 0 = 0, 9

10 i ; 0 =, e. óêçóç 5.7. Íá âñåèïýí ïé ðüëïé êáé ç ôüîç ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí: 2 sin, +e, i sin 2. óêçóç 5.8. Íá âñåèåß ôï áíüðôõãìá Laurent ôçò óõíüñôçóçò f() = ãéá > a üðïõ a <. a Ìå ôç âïþèåéá ôïõ ðñïçãïýìåíïõ åñùôþìáôïò íá äåßîåôå üôé: + a n cosn = n= acos a2 2acos + a 2 óêçóç 5.9. Áíáðôýîôå óå óåéñü Laurent ôç óõíüñôçóç f() = + 2 óå êáèýíá áðü ôïõò äáêôýëéïõò < < 2 êáé > 2. 6 ÌéãáäéêÜ ïëïêëçñþìáôá ÉÉ 6. ÏëïêëçñùôéêÜ õðüëïéðá óêçóç 6.. Íá õðïëïãéóôïýí ôá ïëïêëçñùôéêü õðüëïéðá ôùí ðáñáêüôù óôá áíáöåñüìåíá óçìåßá. e 2 ; 0 = 0, e ; 0 =, i e sin ; 0 = 0, iv. e 2 ; 0 = 2. óêçóç 6.2. Ïìïßùò e 2 ; 0 = 0, e = 0, i e 2 ; 0 =. óêçóç 6.3. íá âñåèïýí ôá ïëïêëçñùôéêü õðüëïéðá ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí óôá áíþìáëá óçìåßá. 0

11 3 (+), 3, i e, iv. sin v. ( ) Õðïëïãéóìüò ïëïêëçñùìüôùí ìå ôç ñþóç ïëïêëçñùôéêþí õðïëïßðùí óêçóç 6.4. Íá õðïëïãéóôïýí ôá ðáñáêüôù ïëïêëçñþìáôá: d, üðïõ 2 åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2, + d, üðïõ 2 åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò ++ 2, i 2, iv. v. v 2, v d, üðïõ 2 åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò ++ (+) 3 d, üðïõ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2, e d, üðïõ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò, ( ) 3 d, üðïõ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò e e d, üðïõ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ 0 êáé áêôßíáò 2,. óêçóç 6.5. Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá êýêëïò èåôéêþò öïñüò êýíôñïõ á) 3 2, â) 3. e d, üôáí 2 åßíáé ï 3+2 óêçóç 6.6. Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá ( 2)(+) d, üôáí åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò = 4. óêçóç 6.7. Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá e d, üôáí n+ åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò =. Óôç óõíý åéá äåßîôå üôé 2 0 e cos cos(n sin)d = 2 n!. óêçóç 6.8. Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá èåôéêþò öïñüò = 3. e sin d, üôáí 3 åßíáé ï êýêëïò óêçóç 6.9. Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá e i d, üôáí åßíáé ï êýêëïò èåôéêþò öïñüò =. Óôç óõíý åéá íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá 2 0 e sin2 cos (cos2) d: