5 نشریه دانشکده فنی جلد 40 شماره 4 مهرماه 85 از صفحه 5 تا 5 روشی جدید برای تخمین میانگین و واریانس زمان فعالیت در شبکه پرت چکیده مسعود ربانی دانشیار گروه مهندسی صنایع پردیس دانشکده های فنی - دانشگاه تهران رضا توکلی مقدم دانشیار گروه مهندسی صنایع پردیس دانشکده های فنی - دانشگاه تهران سعید داودا بادی فراهانی فارغ التحصیل کارشناسی ارشد مهندسی صنایع پردیس دانشکده های فنی - دانشگاه تهران (تاریخ دریافت 8/7/ تاریخ دریافت روایت اصلاح شده 85/4/ تاریخ تصویب 85/7/8 پرت روشی برای تخمین زمان مورد نیاز تکمیل یک پروژه است. میانگین و واریانس زمان ختم هر فعالیت بر اساس مفروضات در سطح فعالیت محاسبه میگردد و زمان ختم پروژه با میانگین و واریانس محاسبه شده کلیه فعالیتها و بر اساس مفروضات در سطح شبکه محاسبه میگردد. این مقاله روشی برای تخمین میانگین و واریانس زمان ختم فعالیت معرفی مینماید که هیچ فرضی در مورد پارامترهای توزیع قاي ل نمیشود و با دریافت دو پارامتر از خبره انجام کار تخمینی را برای میانگین و واریانس زمان تکمیل فعالیت اراي ه میکند. با استفاده از ا زمون فرض t دو نمونهای و ا زمون ا نالیز واریانس روش جدید با روشهای موجود مقایسه گردیده است. با خطای پذیرش غلط % (خطای نوع اول میانگین خطای مطلق روش جدید از میانگین خطای مطلق کلیه روشهایی که از پارامترهای موضوعی استفاده میکنند کمتر است. مقدمه واژههای کلیدی: توزیع بتا پرت تخمین میانگین و واریانس زمان تکمیل فعالیت مدیریت پروژه پس از معرفی روش پرت که یک روش شناخته شده در کنترل پروژهها و تخمین مقادیر پارامترها این است روش بارها مورد سي وال واقع شده است. این سي والات بستر تحقیق بیشتر بر روی این روش را فراهم نموده به نحوی که روشهای بهبودیافته بسیاری پس از ا ن اراي ه شده که در بخش مرور ادبیات به طور مفصل بدان پرداخته میشود. روشهای مذکور در بالا در دو کلاس متفاوت قابل دستهبندی میباشد(کیفر و وردینی []. کلاس اول را روشهای موضوعی تشکیل میدهند. روشهای این کلاس دارای دقت پایینتری میباشند لکن فهم و درک پارامترهای بکار گرفته شده در ا ن برای تخمینزننده با سهولت بیشتری صورت میگیرد. به طور مثال در این روشها از تخمینهای سهگانه بدبینانه محتملترین و خوشبینانه استفاده میشود. کلاس دوم روشهای پرت را روشهایی تشکیل میدهند که از تخمین صدک استفاده مینمایند. روشهای این کلاس دارای دقت زیادی هستند لکن پارامترهای بکار گرفته شده در ا ن دارای مفهوم روشن و مشخص تجربی برای تخمینزننده نیست. به طور مثال 0 مقدار زمانی است که یک فعالیت با احتمال ده درصد در ا ن زمان به پایان میرسد. ا نچه که این مقاله در پی ا ن است اراي ه روشی است که در ا ن از پارامترهای موضوعی استفاده شود (مزیت کلاس اول و دقت ا ن روش با روشهای کلاس دوم پرت (روشهای صدک قابل مقایسه باشد و در صورت امکان از تعداد پارامترهای کمتری برای تخمین استفاده نماید. مرور ادبیات روش پرت و اصلاحات بعدی علیرغم ا نکه سالها از زمان ایجاد روش پرت PERT میگذرد هنوز مقالات بسیاری در این زمینه در تحقیقات علمی روز دنیا مشاهده میگردد. ا نچه که علاقه محققان را برای کار بر روی این موضوع توجیه مینماید سهولت کاربرد این روش است. اگرچه روشهای بسیاری در این سالها ایجاد شده که دقت محاسباتی بیشتری نسبت به
نشریه دانشکده فنی جلد 40 شماره 4 مهرماه 85 54 روش پرت اصلی دارند در عمل کمتر از این روشها استفاده میگردد. زیرا کاربردی بودن روش اراي ه شده از نظر دور مانده است. بنابراین کاربردی بودن یک روش از اهمیت بسزایی برخوردار است. روش پرت بر پایه مفروضات زیر محاسبات خود را بنا نهاده است : را تابع توزیع احتمال زمان ختم فعالیت بتا است. انحراف استاندارد توزیع یکششم دامنه میباشد. تخمینهای a و b به ترتیب تخمینهای خوشبینانه محتملترین و بدبینانه از زمان تکمیل یک فعالیت به طور دقیق توسط تخمین زننده صورت گرفته است. طراحان این روش [] اظهار نمودند که ما این تقریبها به دلیل دقت کافی ا نها میپذیریم و بر اساس این مفروضات فرمول زیر را برای میانگین زمان ختم فعالیت بر حسب سه تخمین موضوعی,a, b اراي ه نمودند. ( a + 4 + b ( پس از ا ن مککریمون و ریاوک[ ]با یک بررسی ریاضی بر فرضیههای بکار گرفته شده در محاسبات روش پرت نشان دادند که روش پرت در تخمین میانگین تا % و انحراف استاندارد تا %7 دارای خطای ناشی از محاسبات باشد. میتواند این خطاها خطای تخمین میانگین و تخمین انحراف استاندارد زمان تکمیل یک فعالیت است و هنگامی محاسبه میانگین و انحراف استاندارد شبکه فعالیتها این خطاها میتواند خنثی یا تشدید شود. کلارک [4] گرابس [5] و ساسینی [] کمبود یک رابطه محکم ریاضی را برای به دست ا وردن رابطه ( یکی از نکات مبهم روش پرت مورد بحث قرار دادند. ساسینی [] پس از ا نکه فرمول میانگین را بر حسب میانه حل نمود یک معادله درجه سه بدست ا ورد. وی عنوان نمود که برای رسیدن به فرمول میانگین روش پرت بایستی مجموع دو پارامتر توزیع بتا را برابر با 4 در نظر گرفت و هیچ دلیل ریاضی محکم برای این منظور وجود ندارد. به عبارت دیگر روش پرت برای رسیدن به فرمول میانگین خود را به خانواده توزیعهای بتا با مجموع پارامترهای 4 محدود مینماید. دو پاسخ بلافاصله توسط لیتلفیلد و راندولف [7] و گالاگر [8] اراي ه گردید. لیتلفیلد و راندولف [7] با استفاده از فرضیههای پرت و با فرض اضافی برقراری رابطه خطی بین میانگین و میانه توزیع با ضریب همبستگی خطی 0,998 فرمول میانگین پرت را به دست ا وردند. گالاگر [8] از برابری مجموع پارامترهای توزیع بتا با 4 که ساسینی ا ن را بدون دلیل ریاضی محکم میدانست به برابری انحراف استاندارد با یک ششم دامنه توزیع (فرض دوم پرت رسید و نشان داد که این دو ارز هم فرض یکدیگر میباشند و از هر یک میتوان به دیگری رسید. وی انتخاب این فرض (فرض دوم پرت را موجب شباهت این خانواده از توزیع بتا به توزیع نرمال مطرح نمود و سالها بعد از ا ن کامبروسکی [9] نیز اعتبار ریاضی برای شباهت تابع توزیع بتا با مجموع پارامترهای با توزیع 4 نرمال به دست ا ورد. اسکولی [0] تاریخچه پرت را یادا وری نمود و دلایلی که فرضیههای پرت را توجیه میکند را مطرح کرد. گلنکو گینزبرگ [] با استفاده از فرض جدیدی یک تخمین بدست ا ورد. وی به جای فرض برابری انحراف استاندارد تابع توزیع با یک ششم دامنه توزیع (فرض دوم پرت متوسط ا ن را روی کلیه مقادیر میانه برابر یک ششم دامنه توزیع قرار داد و فرمولهای زیر را اراي ه نمود: (a + 9 + b b a 8 a a [ + 8( 8( b a b a ( ] ( ( فارنوم و استنتون [] از فرض برابری واریانس توزیع بتای α و β با توزیع بتای -α وβ- و برابری میانه اولی با میانگین دومی فرمولی را برای میانگین در فاصله 0. 0.87 اراي ه نمودند و به دلیل ا نکه فرمول اخیر در دو بازه انتهایی بسیار ضعیف است دو تخمین دیگر نیز برای فاصله ابتدایی و انتهایی اراي ه نمودند. پریماکانرا [] در مقالهای اخیرا روش دیگری برای تخمین میانگین معرفی نموده است. وی معتقد است که فرمول وی برای میانگین پارامترهای تابع توزیع بتا بدون هیچ فرضی به دست ا مده در مورد لیکن وی از فرض دوم روش پرت استفاده نموده و رابطه خود را بدست و است ا ورده روش پرت با همانطور که پارامترهای تابع توزیع گالاگر دوم فرض نشان داد 4 β α + هم ارز است که فرضی در مورد است و بر خلاف ادعای وی
55 روشی جدید برای... میباشد. کیفر و وردینی [] بین روشهای موجود مقایسه عددی انجام دادند و دقیقترین روشها را تعیین نمودند. ا نها با استفاده از 78 زوج عدد برای دو پارامتر توزیع بتا نمونهای عددی از مقادیر مختلف توزیع بتا را اندازه گرفتند و بر این اساس روش پرت و روش اصلاح شده ا ن از پس را با یکدیگر مقایسه نمودند. با توجه به این مقایسه روش پیرسون- توکی [4] و روش سوا نسون- مگیل [5] از دقیقترین روشها میباشد. کلاس یک: تقریبهایی که بر اساس تخمینهای موضوعی صورت گرفته است. این روشها از تخمینهای موضوعی استفاده مینمایند. روشهای این کلاس سهولت بیشتری برای کاربرد دارند. کلیه روشهایی که تاکنون مورد بحث قرار گرفت در زمره روشهای کلاس اول هستند. کلاس دو: تقریبهایی که بر اساس تخمین سه پنج و یا هفت صدک از تابع توزیع صورت گرفته است. روشهای این کلاس بر اساس صدکهای تابع توزیع صورت میگیرد. روشهای این کلاس از دقیقترین روشها برای تخمین پرت میباشد. لیکن از نظر کاربردی ا سان نیست. لاي و و دیگران [] روش دیگری در زمره روشهای کلاس دوم اراي ه نمودند که این روش نیز از دقت کافی برخوردار است لیکن همانند دیگر روشهای کلاس دوم از تقریب صدکها استفاده مینماید و نیز صدک برای تخمین از پنج یا هفت صدک استفاده میشود که در کاربرد استفاده از ا ن دشوار و هزینهبر است. نکات کاربردی موجود در ادبیات پرت مهم همانطور که اسکولی[ 0 ] نیز متذکر شد فاکتور در کاربردی بودن یک روش زمانبندی فعالیتها سهولت دریافت اطلاعات ا ن است. برای این منظور بایستی اراي ه اطلاعات برای خبره انجام کار ا سان باشد و هزینههای اجرایی ا ن برای هزاران فعالیت قابل قبول باشد. برای این منظور بایستی از اطلاعاتی استفاده نمود که برای خبره انجام کار دارای معنای تجربی باشد. از طرفی اراي ه اطلاعات میانگین و واریانس به سادگی صورت نمیپذیرد. زیرا این اطلاعات بایستی توسط کارشناسی اراي ه گردد که از توزیعهای احتمال اطلاع کافی ندارد و تنها تجربه انجام کار را دارد. وقتی در مورد زمان تکمیل فعالیتی در ا ینده صحبت میشود اولین زمانی که به ذهن میرسد زمانی است که بیشترین احتمال وقوع را دارد و این زمان مد تابع توزیع است. بنابراین پارامتری با سهولت درک میشود و قابل تخمین است مد یا محتملترین زمان تکمیل فعالیت است. (اسکولی [0] ویلیامز[ ] نیز متذکر شده که پارامترهای انتخاب شده برای تخمینزننده میبایست میانه یا محتملترین زمان دارای مفهوم تجربی باشد. این خصوصیت را دارد. وی همچنین دلیل موفقیت روش پرت را در انتخاب «پارامترهای موضوعی» میداند. در تخمینهای صدک یا کلاس دوم روش پرت مودر و راجرز [8] و پری [9] پیشنهاد نمودند که به جای صدک صفر و صد از صدکهای پنج و نود و پنج استفاده گردد. ا لپرت [0] و سلویچ [] و داویدسون [] نشان دادند که ارزیابی صدکها بخصوص در نقاط انتهایی ساده نیست و ارزیابی صدکهای نزدیک به نقاط انتهایی بسیار دشوارتر از ارزیابی سایر صدکها است. لیتلفیلد و راندولف [] نشان دادند که موفقیت در کاربرد پرت به فرایند تخمین موضوعی ا ن مربوط است و به همین دلیل روشهای موجود هر دو کلاس دارای اهمیت بالایی برای استفاده هستند. روش توسعه یافته تقریب واریانس تعریف :پارامتر d γ را به شرح زیر تعریف مینماییم: پارامتر d γ به عنوان طول بازه حاوی زمان تکمیل فعالیت با احتمال (-γ% در نظر گرفته میشود. مقدار d γ را به نمایش گزارده است. شکل شکل : طول بازه حاوی زمان ختم فعالیت با احتمال ( γ d γ. (-γ% γ
نشریه دانشکده فنی جلد 40 شماره 4 مهرماه 85 Z. Z. Z ( Z ( 5 وجود رابطهای خطی بین واریانس تابع و مجذور مقدار d γ را بررسی میکنیم: a * d γ (4 000 زوج عدد تصادفی بین تا 5 ایجاد گردید که این زوجها برای پارامترهای تابع به دلیل تقارن تابع توزیع (α و β استفاده شدند. نسبت به پارامترهایش مقادیر تصادفی به نحوی تولید میگردد که α<β باشد. رابطه زیر با استفاده از رگرسیون خطی با ضریب 0,99 و % γ به دست میا ید. یعنی 545* d.0 (5 که میتوان ا ن را با تقریب خوبی به شکل زیر نوشت: 5 * d.0 ( در مرحله بعد برای اینکه نشان داده شود تعداد اعداد تصادفی تولید شده و محدوده در نظر گرفته شده برای پارامترها تاثیری در نتیجه به دست ا مده ندارد 000 زوج عدد تصادفی بین تا 5 با همان روش تولید گردید و مبنای محاسبات زیر قرار گرفت: 5* d.0 (7 همانطور که مشاهده میگردد فرمول به دست ا مده ( تقریب خوبی برای رابطه (4 و (7 میباشد. تقریب میانگین با فرض Ζ α+β و با استفاده از (8 داریم: αζ. و βz-ζ. (8 و با استفاده از (8 و ( خواهیم داشت: Z. + Z + ( Z. + ( Z Z. + یا ( Z + ( Z + + Z + Z. Z. Z + 7Z + Z + ( 9 (0 که با تقریب خوبی میتوان (0 را به شکل سادهتر زیر بازنویسی کرد: در نهایت با استفاده از ( و (9 : یا یا ( / + ( / + ( + ( +. ( بنابراین با محاسبه واریانس از ( میانگین قابل محاسبه میباشد. ارزیابی روش توسعه یافته در این ارزیابی روش جدید با کلیه روشهای بکار گرفته شده در مقایسه کیفر و وردینی [] و روش پریماکانرا [] که پس از مقایسه کیفر و وردینی اراي ه شده است مقایسه گردیده است فرمولهای ا نها ذکر شده است. ( جدول که در برای اثبات دقت روش جدید نسبت به روشهای دیگر از دو اثبات ا ماری استفاده گردیده که به این منظور از 4000 زوج عدد تصادفی بین تا 50 به دلیل ا ن که در عمل به ندرت مقادیر بالاتر از 50 برای این دو پارامتر اتفاق میافتد (لاي و و دیگران [4] تولید گردیده است. از ا نجا که در این ارزیابی از یک نمونه داده برای مقایسه همه روشها شده استفاده نتیجه تخمینهای روشهای مختلف به یکدیگر وابسته است. در این بخش ا زمونهایی که با وجود این وابستگی پاسخهای نزدیک به واقعیت اراي ه میکنند در نظر گرفته شد. بدین منظور ا زمون فرض t دونمونهای و ا زمون تحلیل 4 واریانس (رتبهبندی فریدمن ( انتخاب شد. لازم به ذکر است که در هر دو ا زمون خطای پذیرش غلط % (خطای نوع اول مورد استفاده قرار گرفت. ا زمون t دونمونهای این ا زمون در زمانی که دادههای ا زمون به یکدیگر وابسته است کاربرد دارد. در این ا زمون متغیر ا زمون به صورت e در نظر گرفته شده که در ا ن میانگین واقعی و میانگین محاسبه شده در روش مورد نظر میباشد. ا زمون فرضی برای مقایسه به شرح زیر تعریف گردید: H 0 : e9 ei H : e9 ei, i,...,8
H H 0 : e9 ei 0 : e e 0 9 i, i,..,8 یا روشی جدید برای... که در ا ن i شماره روش در جدول ( میباشد. با توجه به ا نکه فرض عدم برابری میانگین خطاهای مطلق در فرض یک قرار داده شده ا زمون به طور سختگیرانه صورت پذیرفته است. (در پیوست در مورد ا زمون 57 سختگیرانه و سهلگیرانه توضیح داده شده است مقدار ا ماره ا زمون (t دونمونهای برحسب مقادیر نمونه تصادفی و بازه پذیرش فرض H 0 محاسبه گردیده است. جدول ( مقدار تفاوت میانگینها و بازه پذیرش ا زمون فرض t دونمونهای را نمایش داده است. جدول : روشهایی که در مقایسه بکار گرفته شدهاند. ردیف نام روش تخمین میانگین تخمین واریانس (.0 (.99.0 0. ( ˆ + 0.85 [( ˆ.50 + ( 95 ˆ ] ˆ 0.(.50 + 0.4[(.0.05 ˆ + ( ˆ ]. 90 ( 0.0 +. 0 + 4 0 + 4 + 0.. (.. 99. 50 0.85.( 05 + 95 0... 50 + 0.4.(.0 +. 90 + پرت اصلی پرت اصلاح شده پیرسون-توکی سوانسون-مگیل 4 Not applicable (.0 ( ( + [ + 4..50 +. 0] ( + ( ( + ( + ( + / تروت فارنوم-استنتون و برای 0, و برای 0, 5 (.0 ( [ + 8 8 (.0 ( 8 ( 0.0 ] (.0 ( 0.0.0 0.0 [ + 9 +. 0] ( ( + + گلنکو گینزبرگ پریماکانرا 7 8. 0(.99 ( + ( +. 9 روش این تحقیق جدول : بازه پذیرش و تفاوت میانگینهای روشهای مختلف در مقایسه با روش جدید. ردیف نام روش مورد مقایسه در مقابل روش جدید بازه پذیرش برابری میانگین روش جدید و روش مورد مقایسه میانگین تفاوت میانگین خطای روش مورد مقایسه در مقایسه با روش جدید 4 008 7 0 5 9-005 -005 (, (0,0 (,9 (9, (0, (8,0 (-0,00 (-0,00 روش پرت اصلی روش پرت اصلاح شده روش تروت روش فارنوم-استنتون روش گلنکو گینزبرگ روش پریماکانرا روش پیرسون- توکی روش سوانسون- مگیل 4 5 7 8
نشریه دانشکده فنی جلد 40 شماره 4 مهرماه 85 58 0.40000 000 Maiu Absolute Err Averaged Absolute Err شکل : مقایسه میانگین و بیشترین خطای مطلق روشهای مختلف موجود پرت. 0000 80000 0000 40000 0000 00000 Proposed Method Swanson - Megil Pearson - Tukey Preachandra Golenko -Ginzburg Farnu - Stanton Troutt Modified PERT Original PERT ارزیابی نتیجه ا زمون t دونمونهای با توجه به ا نکه در ا زمون صورت گرفته مقادیر خطای میانگین روش مورد مقایسه از روش توسعه یافته شده کسر هرگاه بازه مورد نظر دارای دو مختلفالعلامه باشد حاوی مقدار صفر هست و نیز سر اگر مقدار صفر (که نشان دهنده برابری دو میانگین خطاست در بازه پذیرش قرار گیرد فرض H 0 پذیرفته میشود. بعبارت دیگر دو میانگین خطا با یکدیگر برابرند. در غیر اینصورت دو حالت وجود دارد. اگر هر دو سر بازه مثبت باشد روش جدید میانگین خطای کمتری دارد و در صورت منفی بودن دو سر بازه روش مورد مقایسه دارای میانگین خطای کمتری است. با توجه به این ا زمون با خطای پذیرش غلط (خطای نوع اول % با سختگیری میتوان گفت روش اراي ه شده در این تحقیق از کلیه روشهای هم کلاس خود پرت (کلاسi میانگین خطای مطلق کمتری را دارا میباشد و دقت این روش با دقت روشهای کلاس دوم پرت نیز قابل مقایسه است. میانگین و بیشترین خطای مطلق هر روش در شکل ( نمایش داده شده است. ا زمون رتبهبندی تحلیل واریانس در ا زمون تحلیل واریانس مقادیر میانگین خطای مطلق همه روشها به یکباره با یکدیگر مقایسه میشود و ا زمون بر اساس کلیه دادههای حاصل از روشهای مختلف صورت میپذیرد. از مزایای این ا زمون رتبهبندی روشها بر اساس کل دادههاست که دقت بیشتر ا زمون و نتیجه کسب شده از ا ن را موجب میگردد. روشهای جدول ( با روش رتبهبندی فریدمن (ا زمون تحلیل واریانس نرمافزار (SPSS رتبهبندی گردیده است. جدول ( خلاصه نتایج این ا زمون را اراي ه نموده است. ملاحظه میگردد که روش مورد نظر در رتبه دوم قرار میگیرد. ردیف جدول : نام روش رتبه بندی روشهاباتحلیل واریانس. روش پرت اصلی رتبهبندی با استفاده از تحلیل واریانس فریدمن 7,55 روش پرت اصلاح شده,8 روش تروت 8,84 4 روش فارنوم و استنتون 7,4 5 روش گلنکو گینزبرگ,0 روش پریماکانرا 5,0 روش 7 پیرسون- توکی,94 8 روش سوانسون- مگیل,40 9 روش مورد نظر این تحقیق,99
59 روشی جدید برای... ارزیابی نتیجه ا زمون رتبهبندی این نتیجه به معنای ا نست که روش مورد نظر در رتبه دوم و حتی بالاتر از روش سوانسون-مگیل قرار میگیرد. لازم به ذکر است که این روش رتبهبندی بر اساس کلیه دادههای ا زمون صورت میگیرد و دارای دقت بیشتری نسبت به سایر روشهاست. نتیجهگیری این مقاله روشی جدید برای محاسبه میانگین و واریانس زمان تکمیل فعالیت در شبکههای پرت اراي ه مینماید که بر خلاف سایر روشها هیچ فرضی در مورد پارامترهای توزیع بتا قاي ل نشده است. افزایش تعداد پارامترها موجب افزایش هزینه بکارگیری روش میگردد و پارامترهای موضوعی سهولت کاربردی بیشتری دارند. روش جدید میانگین و واریانس زمان تکمیل فعالیت را با دریافت دو پارامتر موضوعی از خبره انجام کار تخمین میزند. در این مقاله پارامتر جدید d γ به عنوان طول بازه حاوی زمان تکمیل فعالیت با احتمال %(-γ معرفی گردیده این است. پارامتر جدید توسط خبره انجام کار پس از درک مفهوم ا ن تخمین زده میشود و بر اساس مقدار این پارامتر و بر اساس محتملترین زمان میانگین و واریانس زمان تکمیل فعالیت محاسبه میگردد. در این مقاله از دو ا زمون t دو نمونهای و ا زمون تحلیل واریانس برای مقایسه روشها استفاده گردیده است. % روش جدید با خطای پذیرش غلط به طور سختگیرانه دارای خطای کمتری نسبت به روشهای هم کلاس خود یا ملاحظهای بین نیست. کلاس اول پرت است و این روش قابل خطای با روشهای کلاس دوم پرت مراجع Keefer, D. L. and Verdini, W. A. (99. "Better estiation of PERT activity tie paraeters." Mgt Sci., Vol. 9, PP.08-9. - Malcol, D. G., Roseboo, J. H., Clark, C. E. and Fazer, W. (959. "Aplication of a technique for research and developent progra evaluation." Opl. Res., Vol. 7, PP.4-9. - MacCrion, K. R. and Ryavec, C. A. (94. "An analytical study on the PERT assuptions. Opr. Res., Vol., PP.-7. 4 - Clark, C. E. (9. "The PERT odel for the distribution of an activity tie. Opr. Res., Vol. 0, PP.405-40. 5 - Grubbs, F. E. (9. Attepts to validate certain PERT statistics or 'picking on PERT.' Oprs. Res., Vol. 0, PP.9-95. - Sasieni, M. W. (98. "A note on PERT ties." Mgt Sci., Vol., PP.5-5. 7 - Littlefield, T. K. and Randolph, P. H. (987. An answer to Sasieni s question On PERT ties. Mgt Sci., Vol., PP.57-59. 8 - Gallagher, C. (987. A note On PERT ties. Mgt Sci., Vol., PP.0. 9 - Kaburoski, J. (997. "New validation of PERT ties." Int. J. Mgt Sci., Vol. 5, No., PP.- 8. 0 - Sculli, D. (989. A historical note on PERT ties. Int. J. of Mgt Sci., Vol. 7, No., PP.95-9. - Golenko-Ginzburg, D. (988. On the distribution of activity tie in PERT. Oprs. Res. Soc., Vol. 9, No. 8, PP.77-77. - Farnu, N. R. and Stanton L. W. (987. "Soe Results concerning the estiation of Beta Distribution Paraeters in PERT." J. of Opr Res. Soc., Vol. 8, PP.87-90.
نشریه دانشکده فنی جلد 40 شماره 4 مهرماه 85 50 - Preachandra, I. M. (00. An approiation of the activity duration distribution in PERT. Coputers & Operations Research, Vol. 8, PP.44-45. 4 - Pearson, E. S. and Tukey, J. W. (95. Approiate eans and standard diviations based on distances between percentage points of frequency. Bioetrics, Vol. 5, PP.5-54. 5 - Megill, R. E. (977. An Introduction to risk analysis. Tulsa, Ok, Petroleu publishing copany. - Lau, A. H., Lau, H. S. and Zhang, Y. (99. A siple and logical alternative for aking PERT tie estiates. IIIE Transactions, Vol. 8, PP.8-9. 7 - Willias, T. M. (99. Practical use of distributions in network analysis. J. Oprs Res. Soc., Vol. 4, No., PP.5-70. 8 - Moder, J. and Rodgers, E. (98. Judgent estiates of the oents of PERT type distributions. Mgt Sci., Vol. 5, PP.B7-8. 9 - Perry, C. and Grieg, I. D. (975. Estiating the ean and variance of subjective distributions in PERT and decision analysis. Mgt Sci., Vol., PP.477-480. 0 - Alpert, M. and Raiffa, H. (98. A progress report on the training of probability assessors. In: Kahnean D., Solvic P, Tversky A, editors. Judgent under Uncertainty: heuristics and biases. New York :Cabridge University Press, PP.94-05. - Selvidge, J. E. (980. Assessing the etrees of probability distributions by the fractile ethod. Decision Sci., Vol., PP.49-50. - Davidson, L. and Cooper, D. (980. Ipleenting effective risk analysis at Getty oil copany. Interfaces, Vol. 0, PP.-75. - Littlefield, T. K. and Randolph, P. H. (99. PERT duration ties. Matheatics or MBO. Interfaces, Vol., PP.9-95. 4 - Lau, H. S. and Soarajan, C. (995. A proposal on iproved procedures for estiating task-tie distributions in PERT. Eurp J. of oprs Res, Vol. 85, PP.9-5. - Subjective - Percentile - Progra Evaluation and Review Technique 4 - Friedan f y p p + q ( y a.( b y ( y. p+ q p q ( b a واژه های انگلیسی به ترتیب استفاده در متن تابع توزیع احتمال بتا به شکل زیر است: پیوست ها پیوست : خواص تابع توزیع بتا q, a < y < b, p, q > 0 ( y a, α p, β q ( b a با تغییر متغیرهای زیر (4 را به شکل سادهتر ( تبدیل میگردد. f α + β + α β (..(, 0 < <, α, β > α + β +
5 α + α + β + روشی جدید برای... میانگین و واریانس و میانه ( از فرمولهای زیر محاسبه میگردد: ( α + ( β + ( α + β + ( α + β + پیوست : شرحی کوتاه بر ا زمونهای ا ماری سختگیرانه و سهل گیرانه در ا زمونهای ا ماری دو فرض وجود دارد که فرض میشود. در صورتی که در فرض دلخواه در فرض α α + β H H 0 و نامیده میشوند. فرض H نقیض فرض H 0 H 0 H در نظر گرفته فرض دلخواه قرار داده شود ا زمون سهلگیرانه انجام گرفته و در صورتی که فرض مطلوب و قرار داده شود ا زمون سختگیرانه صورت گرفته است. در ا زمون سختگیرانه فرض بر ا نست که مقدار میانگین روش اراي ه شده خطای بیشتری نسبت به سایر میانگینها دارد. با این نوع فرض در پذیرش بهتر بودن روش اراي ه شده سختگیری شده است. در صورتی که ا زمون به صورت سهلگیرانه انجام گیرد و فرض این باشد که روش جدید بهتر از روشهای مورد مقایسه است در پذیرش بهتر بودن روش اراي ه شده در این مقاله سهلگیری صورت پذیرفته است.