Εισαγωγή Από τη συμπεριφοριστική οπτική στη μάθηση και τη διδασκαλία στο σήμερα
Αντί προλόγου.μια μελέτη περίπτωσης
Κάνοντας κριτική στα νέα βιβλία του Δημοτικού: Πρόλογος «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μοι την θύρα» (sic). Η φράση αυτή ανήκει στον Πλάτωνα, ο οποίος προφανώς δεν εννοούσε ότι... «απαγορεύει την είσοδο σ όποιον δεν ξέρει γεωμετρία», αλλά ότι απαιτεί απ τους συνομιλητές του να έχουν αναλυτικό και επαγωγικό τρόπο σκέψης, αυστηρότητα στην κρίση του και στην διατύπωση συμπερασμάτων, απόλυτη ακρίβεια και σιγουριά στην επιλογή της αλήθειας απ το ψέμα, του σωστού απ το λάθος. Αυτές (είναι) οι αυτονόητες αξίες, που καλλιεργούνται πρώτα απ όλα απ τα μαθηματικά και που είναι ζητούμενες από κάθε μορφωτική διαδικασία που έχει σχέση με μαθηματικά εδώ και αιώνες ( ).
Τα μαθηματικά του... περίπου (Τα βιβλία) Είναι όλα γεμάτα με ασκήσεις όπου ο μαθητής καλείται να «εκτιμήσει» το αποτέλεσμα και να πει «πόσο περίπου είναι». Και τα μαθηματικά που ξέραμε, που έχουν ανάγκη απ την αυστηρότητα στη διατύπωση ;
Το χειρότερο όμως απ όλα είναι οι λεγόμενες «ανοιχτές ασκήσεις». Ασκήσεις δήθεν μαθηματικών όπου η απάντηση κάποιου που ξέρει μαθηματικά θα μπορούσε να είναι «ίσως», «μπορεί και τόσο», «ποιος ξέρει». Ασκήσεις που δέχονται περισσότερα από ένα αποτελέσματα και που κάνουν τα μαθηματικά να μοιάζουν με «προσωπική άποψη» όπου ο καθένας λέει ότι θέλει. H υποκειμενική «γνώμη» θεωρείται «γνώση». Η αυστηρότητα, η ακρίβεια, η επαγωγική σκέψη και διατύπωση, «ο στόχος» και «το αποτέλεσμα» της άσκησης δεν έχουν θέση σ αυτά τα βιβλία.
Προκειμένου τα παραδείγματα των βιβλίων να είναι «διαθεματικά», ( ) γεμίζουν τις σελίδες με κείμενα άσχετα με τα μαθηματικά, σε βάρος της ανάλυσης, της μεθοδολογίας, της εξάσκησης με πολλές ασκήσεις. ( ) δίνεται δυσανάλογο βάρος σε επουσιώδεις ή άχρηστες πληροφορίες, χαρίζοντας δεκάδες σελίδες των βιβλίων σε ταγκράμ, παζλ, ( ), μοτίβα ( ) [Κι αυτό] στα μαθηματικά, που η αξία τους ως διακριτό μάθημα είναι προφανής, αυταπόδεικτη και πανθομολογούμενη.
Έχει πολύ λίγα ή και καθόλου παραδείγματα Δεν υπάρχουν κανόνες. Ορισμοί δεν υπάρχουν. [ ] θα περίμενε κανείς απ τα νέα βιβλία να έχουν κάποια μέριμνα γι αυτό. Για να φεύγει ο μαθητής απ το Δημοτικό και να ξέρει προπαίδεια και τις τέσσερις πράξεις με ακέραιους, κλάσματα και δεκαδικούς.
Σ άλλο σημείο ( ) έχει δυο διαιρέσεις, που η «επαλήθευσή τους» είναι «σωστή». Οι δυο διαιρέσεις είναι μια σωστή και μια λάθος. Πουθενά δεν λέει ποιο είναι το λάθος και γιατί. Πουθενά δε διατυπώνεται κάποιος κανόνας ( «το υπόλοιπο πρέπει είναι μικρότερο απ το διαιρέτη» )
Σ άλλο σημείο ( ) έχει δυο διαιρέσεις, που η «επαλήθευσή τους» είναι «σωστή». Οι δυο διαιρέσεις είναι μια σωστή και μια λάθος. Πουθενά δεν λέει ποιο είναι το λάθος και γιατί. Πουθενά δε διατυπώνεται κάποιος κανόνας ( «το υπόλοιπο πρέπει είναι μικρότερο απ το διαιρέτη» )
Κάποτε ξέραμε ότι στα μαθηματικά χρειάζεται ο μαθητής να καταλάβει τη θεωρία, να του δείξεις δυο τρία παραδείγματα και να του βάλεις μερικές ασκήσεις για το σπίτι, για να ασχοληθεί, να τριφτεί, να καταλάβει, να κατακτήσει την γνώση σ αυτό το κεφάλαιο. Τώρα αυτά δεν είναι προτεραιότητες
Τι υπόκεινται των επιλογών για τη Μαθηματική Παιδεία και την έρευνά της; Η διδακτική πρακτική, τα μαθησιακά περιβάλλοντα που σχεδιάζουμε, οι επιλογές που κάνουμε «εν θερμώ» την ώρα της διδασκαλίας Η επιλογή του περιεχομένου και ο σχεδιασμός των αναλυτικών προγραμμάτων Η επιλογή των φαινομένων που επιλέγουμε να ερευνήσουμε, η μεθοδολογία που υιοθετούμε, τα έργα που χρησιμοποιούμε αντανακλούν πεποιθήσεις για το αντικείμενο πεποιθήσεις για τη μάθηση πεποιθήσεις για τους σκοπούς της μαθηματικής παιδείας.
Τι είναι μάθηση; Διαφορετικές «σχολές», διαφορετικές υποθέσεις
Διαφορετικές προσεγγίσεις στην εκπαίδευση Συμπεριφοριστικές (π.χ. Β.F. Skinner) Γνωστικές (γνωστικο-) κονστρουκτιβιστικές (π.χ. J. Bruner) Ανθρωπιστικές (π.χ. C. Rogers) Κοινωνικο-πολιτισμικές (π.χ.j. Lave)
Τι είναι μάθηση; Συμπεριφορισμός H αλλαγή στην παρατηρήσιμη συμπεριφορά Γνωστικισμός Η αλλαγή στις νοητικές δομές Κοινωνικο/πολιτισμική προσέγγιση Η αλλαγή στον τρόπο και την ποιότητα της συμμετοχής σε μια κοινότητα πρακτικής/μάθησης H επικοινωνιακή προσέγγιση (communicational approach) Η αλλαγή στο λόγο (discourse) Ανθρωπιστική προσέγγιση Προσωπική δράση με στόχο την αυτοπραγμάτωση, την αξιοποίηση του προσωπικού δυναμικού
Και ποια είναι η πιο «σωστή» προσέγγιση; Η μάθηση είναι ένα σύνθετο φαινόμενο Η στράτευση σε μια «σχολή» μπορεί να αποδειχθεί τρομερά επιζήμια Οι παρενέργειες της στράτευσης στο συμπεριφορισμό Οι παρενέργειες της στράτευσης στο «γνωστικισμό» Ο περιορισμός της νόησης στο «κεφάλι» του μαθητή Οι παρενέργειες της στράτευσης στην εμπλαισιωμένη μάθηση Το μεγάλο θέμα της μεταφοράς της γνώσης (απo-πλαισίωση) (Anderson, Reder, & Simon,1996; Bereiter,1997; Vosniadou, 2005, in press; Vosniadou & Vamvakoussi, 2006)
Προς τα πού οδεύουμε; Σε επίπεδο βασικής έρευνας Μπορεί να είναι χρήσιμο και ίσως αναπόφευκτο- να επιλέγει κανείς «στρατόπεδα» προκειμένου να ξεκινά με τις παραδοχές που ταιριάζουν στα φαινόμενα που στοχεύει να μελετήσει Σε θεωρητικό επίπεδο Απόπειρες «γεφύρωσης του χάσματος» μεταξύ γνωστικών και κοινωνικο-πολιτισμικών προσεγγίσεων (π.χ. Saxe, 1991; Hutchins, 1995; Nersessian, in press; Steinbring, 2005; Vosniadou, in press) Στο επίπεδο της εκπαίδευσης Υπάρχουν διαφορετικές εξηγήσεις γιατί «ο Γιάννης δεν μπορεί να κάνει πρόσθεση»
[knowledge] is constructed by means of social activities and individual interpretations. (Steinbring, 2005, p. 7)
Επιστρέφοντας στη μελέτη περίπτωσης Ποιες πεποιθήσεις για τη μάθηση στα Μαθηματικά μπορείτε να ανιχνεύσετε;
Κάποτε ξέραμε ότι στα μαθηματικά χρειάζεται ο μαθητής να καταλάβει τη θεωρία, να του δείξεις δυο τρία παραδείγματα και να του βάλεις μερικές ασκήσεις για το σπίτι, για να ασχοληθεί, να τριφτεί, να καταλάβει, να κατακτήσει την γνώση σ αυτό το κεφάλαιο. Τώρα αυτά δεν είναι προτεραιότητες
Συμπεριφορισμός Κυρίαρχο θεωρητικό πλαίσιο στην Ψυχολογία περίπου από το 1930 μέχρι το 1960 Βασική πηγή: Βοσνιάδου, Σ. (2007). Εισαγωγή στην Ψυχολογία (1 ος τόμος). Αθήνα: Gutenberg
Κατά το Συμπεριφορισμό Η συμπεριφορά είναι αντιδράσεις σε ερεθίσματα Η μάθηση είναι η παρατηρήσιμη και μετρήσιμη αλλαγή στη συμπεριφορά Κεντρικός μηχανισμός μάθησης είναι η σύνδεση αντιδράσεων με εξωτερικά ερεθίσματα Βασική αρχή του συνειρμισμού
Συμπεριφορισμός: Σημαντικά πρόσωπα και γεγονότα Edward Lee Thorndike (1874-1949) 1898: Διατύπωση του νόμου του αποτελέσματος στη βάση πειραμάτων για τη μάθηση στα ζώα Ivan Pavlof (1849-1936) 1906: Δημοσίευση των μελετών για το μηχανισμό της εξαρτημένης (κλασικής) εξάρτησης John Watson (1878-1958) 1913: Το μανιφέστο του συμπεριφορισμού Burrhus F. Skinner (1904-1990) 1938: Δημοσιεύονται οι έρευνες για τη λειτουργική (συντελεστική) εξάρτηση
Ivan Pavlof (1849-1936) 1906: Δημοσίευση των μελετών για το μηχανισμό της εξαρτημένης (κλασικής) εξάρτησης
Ο (διάσημος) σκύλος του Pavlov Έκκριση σιέλου κατά την εμφάνιση του βοηθού του εργαστηρίου και πριν την τοποθέτηση τροφής στο στόμα του σκύλου
Η ιδέα της κλασικής εξάρτησης στην Ψυχολογία Τα πειράματα του Pavlov έδειξαν ότι μια έμφυτη αντανακλαστική συμπεριφορά είναι δυνατόν να προκληθεί από νέα ερεθίσματα που μπορεί να έχουν μικρή «φυσική» σχέση με τη συγκεκριμένη αντίδραση
John Watson (1787-1958) 1913: Το μανιφέστο του συμπεριφορισμού
Συμπεριφορισμός: Βασικές αρχές Η Ψυχολογία οφείλει να ασχολείται μόνο με την παρατηρίσιμη συμπεριφορά (πρόβλεψη, έλεγχος) των ανθρώπων και των ζώων Εξοβελισμός των μη παρατηρήσιμων νοητικών φαινομένων από το ερευνητικό πεδίο των ενδιαφερόντων της Ψυχολογίας Η εξήγηση της συμπεριφοράς δεν μπορεί να βασίζεται στη βιολογία και τη νευροφυσιολογία Η μάθηση είναι ο πιο σημαντικός παράγοντας στη διαμόρφωση της συμπεριφοράς Αντικείμενο μελέτης αποτελούν οι εξωτερικοί παράγοντες που συντελούν στη μάθηση Έμφαση στην επίδραση του περιβάλλοντος στη μάθηση
Edward Lee Thorndike (1874-1949) 1898: Διατύπωση του νόμου του αποτελέσματος στη βάση πειραμάτων για τη μάθηση στα ζώα
H γάτα του Thorndike Αύξηση του πλήθους των δοκιμών, μείωση του χρόνου διαφυγής
Ο νόμος του αποτελέσματος: Σχέση ανάμεσα στην αντίδραση και το αποτέλεσμά της Ερμηνεία του πειράματος Δοκιμές και λάθη, τυχαία εκδήλωση αντίδρασης που παράγει θετικό αποτέλεσμα, αύξηση της πιθανότητας επανάληψης της συγκεκριμένης συμπεριφοράς (ενίσχυση) Η μάθηση ως συντελεστική εξάρτηση Σύνδεση ανάμεσα σε μια συμπεριφορά και τα επακόλουθά της
B. F. Skinner (1904-1990) 1938: Δημοσιεύονται οι έρευνες για τη λειτουργική εξάρτηση
Λειτουργική εξάρτηση: Η εκμάθηση μιας νέας συμπεριφοράς στα πλαίσια του περιβάλλοντος Ενδιαφέρον για τα ερεθίσματα που προκαλούν μια συμπεριφορά, αλλά και για τα γεγονότα που έπονται και την ενδυναμώνουν ή τη μειώνουν (ενίσχυση/εξασθένηση) Εφαρμογή της συμπεριφοριστικής προσέγγισης στην ανθρώπινη συμπεριφορά και για σύνθετες λειτουργίες (π.χ. λύση προβλήματος).
Διαμόρφωση της συμπεριφοράς Θετική ενίσχυση Αρνητική ενίσχυση Τιμωρία Διάκριση ερεθισμάτων Γενίκευση ερεθισμάτων Διαμόρφωση μιας σύνθετης συμπεριφοράς
Θετική ενίσχυση Η παρουσία ενός θετικού ενισχυτή (π.χ. τροφή) μετά την αντίδραση (π.χ. το πάτημα ενός μοχλού)
Αρνητική ενίσχυση Απομάκρυνση ενός αρνητικού ενισχυτή (π.χ. ένας ενοχλητικός ήχος) μετά από μία αντίδραση (π.χ. το πάτημα ενός μοχλού)
Τιμωρία Αύξηση της συχνότητας μιας αντίδρασης με την απομάκρυνση ενός θετικού ερεθίσματος ή την παρουσία ενός αρνητικού ερεθίσματος
Διάκριση ερεθισμάτων Η εκδήλωση μιας αντίδρασης στην παρουσία κάποιου συγκεκριμένου ερεθίσματος, αλλά όχι κάποιου άλλου
Γενίκευση ερεθισμάτων Εκδήλωση μιας αντίδρασης στην παρουσία ενός ερεθίσματος παρόμοιου με το αρχικό που ενισχύθηκε
Διαμόρφωση σύνθετης συμπεριφοράς Εκδήλωση μιας αντίδρασης στην παρουσία ενός ερεθίσματος παρόμοιου με το αρχικό που ενισχύθηκε
Εφαρμογές των συμπεριφοριστικών αρχών στην ανθρώπινη συμπεριφορά γενικά στο χώρο της εκπαίδευσης
4 συμπεριφοριστικές αρχές για την εκπαίδευση (Hartley, 1998) Η δραστηριότητα είναι σημαντική: Η μάθηση είναι πιο αποτελεσματική όταν ο μαθητής δραστηριοποιείται, παρά όταν είναι παθητικός ακροατής. Η συχνή εξάσκηση είναι απαραίτητη για τη μάθηση. Η ενίσχυση είναι το βασικό κίνητρο. Η θετική ενίσχυση είναι προτιμότερη από την τιμωρία. Η μάθηση διευκολύνεται όταν οι στόχοι είναι ξεκάθαροι.
Πώς σχεδιάζεται η διδασκαλία; Καθορισμός του κύριου διδακτικού στόχου Ανάλυσή του σε επιμέρους στόχους Καθορισμός των αλλαγών που αναμένονται στη συμπεριφορά των μαθητών Παρουσίαση της ύλης σε τμήματα, σε μια λογική ακολουθία Εξάσκηση των μαθητών σε κάθε επιμέρους τμήμα/ Ενίσχυση των επιθυμητών συμπεριφορών Παρατήρηση για αλλαγές στη συμπεριφορά Διορθωτική διδασκαλία όταν χρειάζεται. Επιπλέον εξάσκηση Αξιολόγηση βάσει προκαθορισμένων κριτηρίων ίδια αξιολόγηση για όλους
Διαχείριση του λάθους στο συμπεριφοριστικό πλαίσιο To λάθος ως «ανεπιθύμητη συμπεριφορά»
Κριτικές στο συμπεριφορισμό (Ι 1 ) Αναπαραστάσεις και εσωτερικά κίνητρα Μάθηση χωρίς ενίσχυση Ποντίκια που είχαν εξερευνήσει ένα λαβύρινθο έβρισκαν την τροφή πιο γρήγορα από ποντίκια που είχαν ενισχυθεί, αλλά δεν τον είχαν εξερευνήσει (Tolman & Honzig, 1930) Αναπαραστάσεις Σύνδεση μιας αντίδρασης με την αναπαράσταση του αποτελέσματός της Ποντίκια δεν εκδηλώνουν μια συμπεριφορά που ενισχύεται από τους πειραματιστές, αν αναμένουν ότι θα έχει ένα βλαβερό αποτέλεσμα (Adams & Dickinson, 1981) Αναπαραστάσεις
Κριτικές στο συμπεριφορισμό (Ι 2 ) Αναπαραστάσεις και εσωτερικά κίνητρα Χιμπαντζήδες έλυναν πολύπλοκα προβλήματα (π.χ. να ανοίγουν κλειδαριές) χωρίς ενίσχυση, εκτός από την ευχαρίστηση που αποκόμιζαν από τη δραστηριότητα (Harlow, 1950) Εσωτερικά κίνητρα
Κριτικές στο συμπεριφορισμό (ΙΙ) Βιολογικοί παράγοντες Βιολογικοί παράγοντες στη μάθηση Γλώσσα (Chomsky) Βιολογική προδιάθεση για μάθηση, μάθηση χωρίς ενίσχυση
Κριτικές στο συμπεριφορισμό (ΙΙΙ) Η ενίσχυση συγκεκριμένων και προκαθορισμένων συμπεριφορών ενδέχεται να έχει αρνητικά αποτελέσματα (καταβολή της ελάχιστης προσπάθειας) Η εξωτερική ενίσχυση μπορεί να καταπνίξει τα εσωτερικά κίνητρα Ανάπτυξη συμπεριφορών αποφυγής των δυσάρεστων ερεθισμάτων
Η τιμωρία δεν αναιρεί, απλώς καταστέλλει μια ανεπιθύμητη συμπεριφορά ενδέχεται να ενισχύσει μια ανεπιθύμητη συμπεριφορά (παιδιά που επιζητούν προσοχή) μπορεί να οδηγήσει στην επιθετικότητα δεν διαφωτίζει ως προς την επιθυμητή συμπεριφορά μπορεί να προκαλέσει σωματική ή ψυχολογική βλάβη
Κριτικές στο συμπεριφορισμό (ΙV) Απομνημόνευση Περιορισμένη μεταφορά της γνώσης σε νέες καταστάσεις Κατακερματισμένη γνώση (δεν γίνονται συνδέσεις) Η χρησιμότητα της σχολικής ύλης στην καθημερινή ζωή δεν γίνεται εμφανής Η αξιολόγηση καθορίζει τα αναλυτικά προγράμματα Δεν μπορεί να διευκολύνει σύνθετες δραστηριότητες, όπως την επίλυση προβλήματος
Δύο ερωτήματα Γιατί ο συμπεριφορισμός είχε και συνεχίζει να έχει τόση επιρροή στη μαθηματική εκπαίδευση; Είναι ο συμπεριφορισμός «για πέταμα»;
Με ποια αντίληψη για τα Μαθηματικά συνάδει η Συμπεριφοριστική αντίληψη για τη μάθηση; «Φιλοσοφία» των Μαθηματικών και «Ψυχολογία» των Μαθηματικών
Ernest, 2010
Πού πετυχαίνει ο Συμπεριφορισμός Eννοιολογική και διαδικαστική γνώση: Μια χρήσιμη διάκριση
Eννοιολογική & Διαδικαστική γνώση Εννοιολογική γνώση Πλούσια, σύνθετα δίκτυα αλληλοσυνδεόμενων ιδεών Διαδικαστική γνώση Γνώση συμβολισμού, κανόνων, διαδικασιών Να συγκριθούν τα κλάσματα 14/17 και 3/2 «Για να συγκρίνω το 14/17 με το 3/2, πρέπει να τα κάνω ομώνυμα. Θα βρω το Ε.Κ.Π., και μετά» «Το 14/17 είναι μικρότερο από το 3/2, γιατί το 1 ο είναι μικρότερο από την μονάδα, ενώ το 2 ο είναι μεγαλύτερο»
Λόγος: Δίκτυο συνδέσεων Κλάσμα Πηλίκο Κλίμακες Κλίση Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Όμοια σχήματα Η ταχύτητα Σύγκριση Διαφορετικές αναπαραστάσεις Διαφορετικά νοήματα.
Σχέση μεταξύ εννοιολογικής και διαδικαστικής γνώσης Διαφορετικές απόψεις για την ανάπτυξή τους Πρώτα οι εννοιολογικές αρχές, μετά οι διαδικασίες Πρώτα οι διαδικασίες, μετά οι εννοιολογικές αρχές Παράλληλη ανάπτυξη θετική συσχέτιση Υπάρχουν εμπειρικά δεδομένα υπέρ όλων των (αντικρουόμενων) απόψεων Είναι δυνατή η ύπαρξη της μιας, ακόμη και με την απουσία της άλλης Bempeni & Vamvakoussi, 2012; Rittle-Johnson & Siegler, 2001
Φαίνεται ότι υπάρχουν ατομικές διαφορές στον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές συνδυάζουν τα δυο είδη γνώσης τα δυο είδη γνώσης εν γένει συσχετίζονται θετικά, αλλά η εννοιολογική γνώση έχει μεγαλύτερη επίδραση στη διαδικαστική, απ ό,τι το αντίστροφο. Σε κάθε περίπτωση, και τα δύο γνώσης είναι απαραίτητα για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης DeCorte, 2004; Hallet, Nunes, & Bryant, 2010,2012 ;Schneider &Stern, 2010
Πηγή: Κουλαϊδής, Β. (Επιμ.) (2007). Σύγχρονες διδακτικές προσεγγίσεις για την ανάπτυξη κριτικής-δημιουργικής σκέψης. Αθήνα: ΟΕΠΕΚ.
Πέντε+1 πράγματα που άλλαξαν τον τρόπο που βλέπουμε τη μάθηση και τη διδασκαλία και πώς συνδέονται με τη σύγχρονη έρευνα στη μαθηματική παιδεία
Πέντε +1 Μνήμη και γνωστικές δομές Η μνήμη και ο ρόλος της στην οργάνωση πληροφορίας σε δομές που υπόκεινται της κατανόησης και της σκέψης Επίλυση προβλήματος και συλλογισμός (reasoning) Στην experts vs. novices ερευνητική παράδοση Μικρά παιδιά και νόηση Μεταγνωστικές διαδικασίες και αυτορρύθμιση Πρόβλεψη, σχεδιασμός, καταμερισμός χρόνου, self-explanation, εντοπισμός κενών στην κατανόηση, ενεργοποίηση γνώσης Πολιτισμική εμπειρία και συμμετοχή σε «κοινότητες» Πέρα από την ψυχρή νόηση: Στάσεις, συναισθήματα, κίνητρα, επιστημολογικές πεποιθήσεις, πεποιθήσεις για τα μαθηματικά. J.D. Bransford, A.L. Brown, &R.R. Cocking (Eds.). (1999). How people learn. Washington, D.C.: National Academy Press.
Πέντε +1 Μνήμη και γνωστικές δομές Επίλυση προβλήματος και συλλογιστική σκέψη (reasoning) Γνωσιακή Επιστήμη (Cognitive Science) (Γνωστική) Ψυχολογία, Τεχνητή Νοημοσύνη, Φιλοσοφία του Νου,. Λέξεις-κλειδιά Μνήμη, οργάνωση πληροφορίας, προϋπάρχουσα γνώση, έννοιες, συλλογιστική σκέψη, στρατηγικές, «ειδημοσύνη» (expertise)
Πέντε +1 Μικρά παιδιά και νόηση Γνωστική και Αναπτυξιακή Ψυχολογία Λέξεις-κλειδιά Τι μπορούν να κάνουν τα μικρά παιδιά, έρευνες με βρέφη, ειδική κατά πεδίο γνώση (domain-specific knowledge), άτυπη γνώση (informal knowledge)
Πέντε +1 Μεταγνωστικές διαδικασίες και αυτορρύθμιση (Γνωστική, Αναπτυξιακή, Εκπαιδευτική) Ψυχολογία Λέξεις-κλειδιά Έλεγχος, παρακολούθηση (monitoring), μετα-εννοιολογική επίγνωση (meta-conceptual awareness), thinking skills
Πέντε +1 Πολιτισμική εμπειρία και συμμετοχή σε «κοινότητες» Ανθρωπολογία, Κοινωνική Ψυχολογία Λέξεις-κλειδιά Κοινωνικο-πολιτισμικό περιβάλλον, εμπλαισιωμένη νόηση/μάθηση (situated cognition/learning) εργαλεία/τεχνουργήματα (tools, artifacts), επικοινωνία
Πέντε +1 Πέρα από την ψυχρή νόηση Στάσεις, συναισθήματα, κίνητρα, πεποιθήσεις, διάθεση (mood)
Πέντε +1 και πώς επηρεάζουν την έρευνα για τη Μαθηματική Παιδεία