Δίλεηαη όηη ζηα ηδαληθά κνλναηνκηθά αέξηα C v = θαη όηη ln 5 1.6

ΘΕΜΑ Δ Πνζόηεηα ηδαληθνύ αέξηνπ ίζε κε /R ml, βξίζθεηαη αξρηθά ζε θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο ζηελ νπνία έρεη πίεζε 10 N/m θαη ζεξκνθξαζία 100 Κ. Τν αέξην πθίζηαηαη ηηο παξαθάησ αληηζηξεπηέο κεηαβνιέο: Θεξκαίλεηαη ηζνβαξώο κέρξη ν όγθνο ηνπ λα γίλεη 10 - m. Αθνινύζσο ςύρεηαη ηζόρσξα κέρξη λα απνθηήζεη ζεξκνθξαζία ίδηα κε ηελ αξρηθή. Τέινο ην αέξην ζπκπηέδεηαη ηζόζεξκα κέρξη λα βξεζεί ζηελ αξρηθή ηνπ θαηάζηαζε. Δ1) Να θαηαζθεπάζεηε ην δηαγξάκκαηα ζε βαζκνινγεκέλνπο άμνλεο. Δ) Να θαηαζθεπάζεηε ηα δηαγξάκκαηα Τ θαη - T ζε βαζκνινγεκέλνπο άμνλεο. Μονάδες 8 Δ) Υπνινγίζηε ηε ζεξκόηεηα πνπ απνβάιιεη ην αέξην ζπλνιηθά θαηά ηελ θπθιηθή κεηαβνιή. Μονάδες Δ4) Υπνινγίζηε ηε κεηαβνιή ηεο εζσηεξηθήο ελέξγεηαο ηνπ αεξίνπ ζε θάζε κεηαβνιή μερσξηζηά. Δίλεηαη όηη ζηα ηδαληθά κνλναηνκηθά αέξηα C v = θαη όηη ln 1.6

GI FYSP_4_1949 Δ1. Αρχικά σχηματίζουμε τον πίνακα τιμών για την πίεση, τον όγκο και τη θερμοκρασία του αερίου, στις καταστάσεις θερμοδυναμικής ισορροπίας. Από την καταστατική εξίσωση υπολογίζουμε τον όγκο στην αρχική κατάσταση (κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α). R 100 nrt R nrt 10 m 10 Ισοβαρής εκτόνωση B (κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Β): T T 10 100 00 K B B TB T T B B 10 Ισόχωρη ψύξη (κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Γ): T T 100 B 10 0,4 10 N/m T T 00 B B B Ισόθερμη συμπίεση επιστροφή στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α. Πίνακας Τιμών (x 10 n/m ) (x 10 m ) T (K) Α 1 100 Β 00 Γ 0,4 100 Α 1 100 Με βάση τις τιμές του παραπάνω πίνακα, σχηματίζουμε το διάγραμμα σε βαθμολογημένους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Δ. Τα διαγράμματα T και T φαίνονται στη συνέχεια (με βάση τον πίνακα τιμών του Δ1).

GI FYSP_4_1949 Δ. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι αποβολή (έκλυση) θερμότητας έχουμε κατά τις αντιστρεπτές μεταβολές B και. Η μεταβολή B είναι ισόχωρη. Οπότε: R QB nc TB (100 00) ( 400) QB 100 J. R Η μεταβολή είναι ισόθερμη. Οπότε 1 10 1 ln 100 ln 00ln 00 1,6 0 J R 10 Q nrt R Q Επομένως, η θερμότητα που αποβάλλει το αέριο στην κυκλική μεταβολή είναι: Q Q Q 100 ( 0) Q 10 J. B Δ4. Υπολογισμός της μεταβολής της εσωτερικής ενέργειας σε κάθε μεταβολή του αερίου. Η μεταβολή B είναι ισοβαρής. Από τον 1 ο Θερμοδυναμικό νόμο έχουμε: Q W U (1) B B B B B 10 ( 10 1 10 ) 10 4 10 B 800 J W W () Q nc T () B P B Αλλά: CP C R R R CP R (4) Από τις σχέσεις () και (4) προκύπτει ότι: QB R (00 100) 400 QB 000 J () R Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) τις τιμές των () και () προκύπτει: 000 800 U U 100 J. Η μεταβολή B είναι ισόχωρη, επομένως το έργο είναι μηδέν και η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ισούται με το ποσόν της θερμότητας. Το ποσόν αυτό έχει υπολογισθεί στο ερώτημα Δ. Επομένως: U Q U 100 J. B B B Η μεταβολή είνα ισόθερμη, και επομένως η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι μηδέν. Δηλαδή: 0 J. U B

ΘΕΜΑ Δ Οριζμένη ποζόηηηα ιδανικού αερίοσ σθίζηαηαι ανηιζηρεπηή κσκλική μεηαβολή, η οποία αποηελείηαι από ηις παρακάηω ανηιζηρεπηές μεηαβολές: Αρτικά ιζότωρη μεηαβολή καηά ηην οποία προζθέρεηαι ζηο αέριο θερμόηηηα 00 J, ζηη ζσνέτεια ιζόθερμη μεηαβολή καηά ηην οποία ηο αέριο παράγει έργο 10 J και ηελικά επιζηρέθει ζηην αρτική καηάζηαζη μέζω μιας ιζοβαρούς μεηαβολής αποδίδονηας ζηο περιβάλλον θερμόηηηα 0 J. Δ1) Να καηαζκεσάζεηε ποιοηικά διαγράμμαηα (δηλαδή τωρίς αριθμούς) και - T Μονάδες 7 Δ) Υπολογίζηε ηο ζσνολικό μητανικό έργο ποσ αποδίδει ηο αέριο ζε ασηή ηην κσκλική μεηαβολή. Δ) Υπολογίζηε ηο ζσνολικό ποζό θερμόηηηας ποσ αποβάλει ηο αέριο ζηο περιβάλλον ζε ασηή ηην κσκλική μεηαβολή. Δ4) Υπολογίζηε ηο ζσνηελεζηή απόδοζης μιας θερμικής μητανής η οποία θα λειηοσργούζε με βάζη ηον παραπάνω ανηιζηρεπηό κύκλο.

GI FYSP_4_190 Δ1. Για να σχηματίσουμε το διάγραμμα πρέπει να γνωρίζουμε το είδος κάθε μεταβολής. Αρχικά ας θεωρήσουμε ότι το αέριο βρίσκεται στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α. Σύμφωνα με την εκφώνηση υφίσταται ισόχωρη μεταβολή με προσφορά θερμότητας. Έτσι αυξάνεται η εσωτερική ενέργεια του αερίου, άρα και η θερμοκρασία του. Δηλαδή τελικά αυξάνεται η πίεση του αερίου (κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Β). Κατά την επόμενη μεταβολή (ισόθερμη) το αέριο παράγει έργο. Επομένως ο όγκος του αυξάνεται και η πίεσή του μειώνεται. Πόσο όμως; Αυτό προκύπτει από την τρίτη μεταβολή (ισοβαρή συμπίεση). Αφού είναι ισοβαρής σημαίνει ότι η πίεση που απέκτησε κατά την ισόθερμη μεταβολή, ισούται με την αρχική του πίεση. Επομένως ο πίνακας τιμών θα έχει ως εξής: Πίνακας Τιμών Πίεση Όγκος Θερμοκρασία Α T Β B B TB T Γ T Τα ζητούμενα διαγράμματα και T θα έχουν ως εξής: Δ. Θα εφαρμόσουμε τον 1 ο Θερμοδυναμικό νόμο σε κάθε μεταβολή. Για την ισόχωρη μεταβοή B γνωρίζουμε ότι Q 00 J. Επειδή όμως στην ισόχωρη μεταβολή το έργο είναι μηδέν, έπεται ότι U B 00 J. Για την ισόθερμη μεταβολή B γνωρίζουμε ότι WB 10 J. Επειδή στην ισόθερμη μεταβολή η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι μηδέν, έπεται ότι QB 10 J. Συνοπτικά οι πληροφορίες που έχουμε είναι: Q W U B +00 0 +00 B +10 +10 0 0 Γνωρίζουμε ότι σε κάθε κυκλική μεταβολή Q W. Αλλά Q Q Q Q 00 10 0 Q 100 J. B B B Επομένως W 100 J. Δ. Όπως φαίνεται από τον πίνακα του ερωτήματος Δ, η μεταβολή στην οποία έχουμε αποβολή θερμότητας είναι η. Άρα το ζητούμενο ποσό θερμότητας είναι 0 J.

GI FYSP_4_190 Δ4. Γνωρίζουμε ότι ο συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής δίνεται από τη σχέση: W e Q Από τον πίνακα του ερωτήματος Δ προκύπτει ότι το προσφερόμενο ποσό θερμότητας είναι Q 00 10 Q 0 J. Επομένως: W 100 e e. Q 0 7

ΘΕΜΑ Δ Οπιζμένη ποζόηηηα μοναηομικού ιδανικού αεπίος πος βπίζκεηαι ζηην καηάζηαζη θεπμοδςναμικήρ ιζοπποπίαρ Α ( 0, 0, T 0 ), ςπόκειηαι ζηην παπακάηυ ανηιζηπεπηή κςκλική μεηαβολή: ΑΒ-ιζοβαπήρ εκηόνυζη μέσπι να διπλαζιάζει ηον όγκο ηος, ΒΓ-ιζόθεπμη θέπμανζη μέσπι να διπλαζιάζει ηον όγκο πος έσει ζηην καηάζηαζη Β, ΓΓ-ιζόσυπη τύξη μέσπι ηο αέπιο να αποκηήζει ηη θεπμοκπαζία πος είσε ζηην καηάζηαζη θεπμοδςναμικήρ ιζοπποπίαρ Α, ΓΑ-ιζόθεπμη ζςμπίεζη ώζηε να επανέλθει ζηην καηάζηαζη θεπμοδςναμικήρ ιζοπποπίαρ Α. Δ1) Να γίνει η γπαθική παπάζηαζη ηυν μεηαβολών ζε άξονερ -, όπος θα θαίνονηαι οι ηιμέρ ηηρ πίεζηρ, ηος όγκος και ηηρ θεπμοκπαζίαρ ηος αεπίος ζηιρ καηαζηάζειρ Α, Β, Γ και Γ, ζςναπηήζει ηυν 0, 0, T 0. (Οι ηιμέρ ηηρ θεπμοκπαζίαρ θα ζημειυθούν πάνυ ζηιρ ιζόθεπμερ καμπύλερ.) Δ) Να ςπολογίζεηε ηιρ μεηαβολέρ ηηρ εζυηεπικήρ ενέπγειαρ ηος αεπίος ΔU ΑΒ, ΔU ΓΓ και ΔU ΓΑ πος ανηιζηοισούν ζηιρ μεηαβολέρ ΑΒ, ΓΓ και ΓΑ. Μονάδες Δ) Να ςπολογίζεηε ηη θεπμόηηηα και ηο έπγο πος ανηαλλάζζει ηο αέπιο με ηο πεπιβάλλον ηος ζε έναν κύκλο. Μονάδες 7 Δ4) Να ςπολογίζεηε ηην απόδοζη μησανήρ Carnt πος λειηοςπγεί μεηαξύ ηυν ιζόθεπμυν ηος παπαπάνυ κύκλος καθώρ και ηην απόδοζη θεπμικήρ μησανήρ πος λειηοςπγεί ζύμθυνα με ηην παπαπάνυ ανηιζηπεπηή κςκλική μεηαβολή. Μονάδες 7 Γίνονηαι η γπαμμομοπιακή ειδική θεπμόηηηα ηος αεπίος ςπό ζηαθεπό όγκο C v = R/ και ln=0,7.

GI FYSP_4_19 Δ1. Για κάθε μεταβολή που περιγράφεται θα υπολογίσουμε τις θερμοδυναμικές παραμέτρους της αντίστοιχης κατάστασης στην οποία μεταβαίνει το αέριο. TB B TB B Ισοβαρής θέρμανση TB T T T B Ισόθερμη εκτόνωση Ισόχωρη ψύξη B BB T T 4 Ισόθερμη συμπίεση Αρχικές συνθήκες Από τις παραπάνω πληροφορίες σχηματίζουμε τον πίνακα τιμών τον οποίο θα χρησιμοποιήσουμε για να κατασκευάσουμε το διάγραμμα. Α Β Πίνακας Τιμών Πίεση Όγκος Θερμοκρασία T T Γ 4 T Δ Α 4 4 T T Το ζητούμενο διάγραμμα φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Δ. Υπολογισμός μεταβολών εσωτερικής ενέργειας σε κάθε μεταβολή. B (Ισοβαρής θέρμανση) Q W U U Q W nc B B B B B B P B U nc nr U ( C R) n B P B P Αλλά ισχύει ότι: CP C R CP R C () Επομένως: U B nc n R( TB T) n R( T T ) U B nrt () Εφαρμόζοντας την καταστατική εξίσωση για την κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α έχουμε: nrt (4) (1)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) προκύπτει ότι: B (Ισόθερμη εκτόνωση) 0 U U B (Ισόχωρη εκτόνωση) U Q nc T n R( T0 T ) nrt U (Ισόθερμη συμπίεση) 0 U Δ. B (Ισοβαρής θέρμανση) W ( ) ( ) W B B 0 B Q W U Q Q B B B B B B (Ισόθερμη εκτόνωση) 4 Q W nrt ln nrt ln nrt ln 0,7 1, 4 B B B (Ισόχωρη εκτόνωση) Q W 0 (από το ερώτημα Δ) (Ισόθερμη συμπίεση) 1 Q W nrt ln nrt ln nrt ln 4 0,7 Q W 1,4 4 Υπολογίζουμε το έργο και τη θερμότητα που ανταλλάσσεται σε κάθε κύκλο της μηχανής: W WB W W W 1,4 0 1,4 W Η μεταβολή είναι κυκλική οπότε U 0 και Q W οπότε Q Δ4. Η απόδοση της μηχανής Carnt εξαρτάται από την υψηλή και τη χαμηλή θερμοκρασία της κυκλικής μεταβολής. Επομένως Tc T 1 e 1 1 1 e 0, T T h Η απόδοση της θερμικής μηχανής δίνεται από τη σχέση: W e Q Το ολικό έργο υπολογίζεται από το ερώτημα Δ: W W W W W 1,4 0 1,4 W Το προσφερόμενο ποσό θερμότητας ισούται: Q Q Q 1,4 Q,4 B B B B Επομένως ο συντελεστής απόδοσης της θερμικής μηχανής είναι: W 1 10 e e Q,4,4 4 1

ΘΕΜΑ Δ (L) 4 Γ B Δ T 1 4 T 1 T(K) Μία θεπμική μησανή πος σπηζιμοποιεί ιδανικό αέπιο λειηοςπγεί με ηον ανηιζηπεπηό κύκλο πος θαίνεηαι ζηο διάγπαμμα. Σηην απσική καηάζηαζη Α η πίεζη ηος ιδανικού αεπίος είναι ίζη με = 4 10 N/m. Δ1) Να ςπολογίζεηε ηην απόδοζη μίαρ θεπμικήρ μησανήρ Carnt πος λειηοςπγεί μεηαξύ ηων ίδιων ιζόθεπμων, με αςηέρ ζηιρ οποίερ λειηοςπγεί η θεπμική μησανή πος ζαρ δίνεηαι. Μονάδες Δ) Να ζσεδιάζεηε ηο διάγπαμμα P- ηηρ κςκλικήρ μεηαβολήρ ζε βαθμολογημένο ζύζηημα αξόνων. Μονάδες 7 Δ) Να ςπολογίζεηε ηο ωθέλιμο έπγο πος αποδίδει η μησανή ζε κάθε κύκλο λειηοςπγίαρ ηηρ. Δ4) Να ςπολογίζεηε ηο ζςνηελεζηή απόδοζηρ ηηρ θεπμικήρ μησανήρ. Μονάδες 7 Δίνονται: ln = 0,7 και C = R/

GI FYSP_4_197 Δ1. TC Ο συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής Carnt δίνεται από τη σχέση: e 1 όπου T C η T θερμοκρασία της δεξαμενής χαμηλών θερμοκρασιών και T H η θερμοκρασία της δεξαμενής υψηλών θερμοκρασιών. Σύμφωνα με τον κύκλο που δίνεται TC T1 και TH 4 T1. Επομένως: TC T1 1 e 1 1 1 e. T 4T 4 4 H 1 H Δ. Από το διάγραμμα που δίνεται θα υπολογίσουμε τις άγνωστες θερμοδυναμικές παραμέτρους, θα σχηματίσουμε τον αντίστοιχο πίνακα τιμών και θα σχεδιάσουμε το διάγραμμα. B (Ισόθερμη μεταβολή) B (Ισόχωρη μεταβολή) (Ισόθερμη μεταβολή) 410 10 N/m B B B B B 4 T T T B 10 0, 10 Ν/m T T T B B B 1 4 1 4 0,10 10 N/m Από τις τιμές που υπολογίσθηκαν σχηματίζουμε τον πίνακα τιμών. Το διάγραμμα θα είναι ως εξής: Πίεση ( 10 N/m ) Όγκος ( 10 m ) Θερμοκρασία Α 4 4T 1 Β 4 4T 1 Γ 0, 4 T 1 Δ 1 T 1 Δ. Υπολογίζουμε το έργο που παράγεται ή καταναλώνεται σε κάθε αντιστρεπτή μεταβολή. B B 4 B WB nrt ln WB ln 410 10 ln 800 0,7 WB 60 J B W 0 W nrt ln ln 0, 10 410 ln 00 0,7 W 140 J 4 W 0 Επομένως: W W W W W 60 0 140 0 W 40 J. B Δ4. Ο συντελεστής απόδοσης της θερμικής μηχανής δίνεται από τη σχέση: W e Q

Υπολογίζουμε τη θερμότητα που προσφέρεται στην κυκλική μεταβολή. Οι μεταβολές που περιλαμβάνουν προσφορά θερμότητας από το περιβάλλον στη θερμική μηχανή είναι οι και. Q W 60 J (από το ερώτημα Δ). B B Q nc n R( T ) ( nrt nrt ) ( ) 600 (4 10 10 1 10 10 ) (800 00) Q 900 J Επομένως Q Q Q 60 900 Q 1460 J. Άρα ο συντελεστής απόδοσης της θερμικής μηχανής είναι: W 40 61 e e. Q 1460 7

ΘΕΜΑ Δ Οπιζμένη ποζόηηηα ιδανικού αεπίος ςθίζηαηαι ηιρ παπακάηω ανηιζηπεπηέρ μεηαβολέρ: ΑΒ ιζόθεπμη εκηόνωζη, ΒΓ ιζοβαπήρ ζςμπίεζη και ΓΑ ιζόσωπη θέπμανζη. Γίνονηαι για ηιρ καηαζηάζειρ θεπμοδςναμικήρ ιζοπποπίαρ Α και Β: Α 10 m, Β 410 m. Α 410 N/m, Α Γ Β Δ1) Να βπείηε ηο έπγο πος ανηαλλάζζεηαι μεηαξύ αεπίος και πεπιβάλλονηορ για κάθε μία από ηιρ παπαπάνω ανηιζηπεπηέρ μεηαβολέρ. Δ) Για κάθε μία μεηαβολή να βπείηε ηη μεηαβολή ηηρ εζωηεπικήρ ενέπγειαρ ηος αεπίος και ηο ποζό θεπμόηηηαρ πος ανηαλλάζζεηαι μεηαξύ αεπίος και πεπιβάλλονηορ. Μονάδες 9 Δ) Δάν μια μησανή λειηοςπγεί με ηο ιδανικό αέπιο πος εκηελεί ηον παπαπάνω κύκλο, να βπείηε ηην απόδοζη αςηήρ ηηρ μησανήρ. Μονάδες Δ4) Να βπεθεί η απόδοζη μιαρ ιδανικήρ μησανήρ Carnt η οποία λειηοςπγεί μεηαξύ ηων ίδιων ακπαίων θεπμοκπαζιών. Γίνονηαι: Για ηο ιδανικό αέπιο η γπαμμοπιακή ειδική θεπμόηηηα ςπό ζηαθεπό όγκο ln 0,7. Μονάδες C R και

GI FYSP_4_1977 Δ1. Υπολογισμός του έργου στην ισόθερμη μεταβολή B. W ln B B nrt (1) Επειδή δεν γνωρίζουμε τη θερμοκρασία T, θα χρησιμοποιήσουμε την καταστατική εξίσωση για τη θέση Α: nrt () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουμε: B 410 WB ln 410 10 ln 800 ln 800 0,7 W 60 J B 10 Υπολογισμός του έργου στην ισοβαρή μεταβολή B. W ( ) B B Υπολογίζουμε την πίεση στην κατάσταση Β, από την ισόθερμη μεταβολή B. 10 B B B 410 10 N/m B B 410 Και επειδή θα έχουμε: W ( ) ( ) 10 (10 410 ) W 400 J B B B B Τέλος, επειδή η αντιστρεπτή μεταβολή είναι ισόχωρη, το έργο θα είναι μηδέν, δηλ. W 0 J Δ. Μεταβολή B Επειδή η μεταβολή είναι ισόθερμη, η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας θα είναι μηδέν, δηλαδή U B 0 J οπότε η θερμότητα που ανταλλάσσεται με το περιβάλλον θα προκύψει από τον 1 ο θερμοδυναμικό νόμο, χρησιμοποιώντας την τιμή του έργου από το ερώτημα Δ1. Q W U Q W Q 60 J B B B B B B Μεταβολή B Επειδή η μεταβολή είναι ισοβαρής, θα υπολογίσουμε και τη θερμότητα και τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας. Q ( ) ncpt ncp T () Αλλά C C R R R CP R (4) η σχέση () γίνεται: Q ncp( T ) n R( T ) Q ( nrt nrtb) () Εφαρμόζοντας την καταστατική εξίσωση για τα σημεία Β και Γ έχουμε: Για το σημείο Β: BB nrtb και για το σημείο Γ: nrt B nrt (αφού και B ). Έτσι η σχέση () γίνεται: Q ( nrt nrtb ) ( B BB ) B ( B ) 10 (10 410 ) Q 10 ( 10 ) Q 1000 J Επειδή στο ερώτημα Δ1 υπολογίσαμε το έργο κατά τη μεταβολή B, εφαρμόζοντας τον 1 ο θερμοδυναμικό νόμο έχουμε: Q W U U Q W 1000 ( 400) U 600 J Μεταβολή Η μεταβολή είναι ισόχωρη. Θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την θερμότητα που απορροφάται σε αυτή τη μεταβολή από τη σχέση Q nc T. Ωστόσο, θα χρησιμοποιήσουμε μια διαφορετική

προσέγγιση. Επειδή η μεταβολή B είναι κυκλική, γνωρίζουμε ότι U 0, δηλ. ισχύει ότι U B U U 0 0 ( 600) U 0 U 600 J και επειδήw 0 J από τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο θα έχουμε ότι: Q W U 0 600 Q 600 J Δ. Η απόδοση μιας θερμικής μηχανής δίνεται από τη σχέση: W e Q Το ολικό έργο μπορεί να υπολογιστεί από τις τιμές του ερωτήματος Δ1. Δηλαδή W W W W 60 400 0 W 160 J ενώ το προσφερόμενο ποσό θερμότητας από τις τιμές του ερωτήματος Δ. Δηλαδή Q Q Q 60 600 Q 1160 J B Επομένως: W 160 4 e e Q 1160 9 Δ4. Η απόδοση μιας ιδανικής μηχανής Carnt που δουλεύει στις παραπάνω θερμοκρασίες θα δίνεται Tc από τη σχέση: e 1. Th Το διάγραμμα της κυκλικής μεταβολής B εξελίσσεται μεταξύ δύο ακραίων θερμοκρασιών: της T TB η οποία αντιστοιχεί στην T h και της T η οποία αντιστοιχεί στην c. Επειδή δεν γνωρίζουμε αυτές τις θερμοκρασίες, θα τις υπολογίσουμε μέσω της καταστατικής εξίσωσης. Δηλαδή: nrt nrth Th nr B nrt B nrtc Tc nr Επομένως ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnt θα είναι: B Tc 10 1 1 1 nr B e 1 1 e. T h 410 nr

ΘΕΜΑ Δ Γίνονηαι ζηο παπακάηω ζσήμα κάποιερ ανηιζηπεπηέρ μεηαβολέρ ηιρ οποίερ ςθίζηαηαι ποζόηηηα ιδανικού, μονοαηομικού αεπίος. Γίνεηαι επίζηρ όηι η μεηαβολή ΓΓ είναι αδιαβαηική, όηι η πίεζη ζηην καηάζηαζη θεπμοδςναμικήρ ιζοπποπίαρ Γ είναι ίδια με ηην πίεζη ζηιρ καηαζηάζειρ θεπμοδςναμικήρ ιζοπποπίαρ Α και Β (όπωρ θαίνεηαι και από ηο ζσήμα). N m 4 Γ 1 Α Β Γ 1 ( m ) Να ςπολογιζηούν: Δ1) Ο όγκορ ηος αεπίος ζηην καηάζηαζη ιζοπποπίαρ Γ. Δ) Το έπγο πος ανηαλλάζζει ηο αέπιο με ηο πεπιβάλλον για κάθε μία μεηαβολή ξεσωπιζηά. Δ) Η μεηαβολή ηηρ εζωηεπικήρ ενέπγειαρ ηος αεπίος ζε κάθε μία από ηιρ μεηαβολέρ. Μονάδες 7 Δ4) Η θεπμόηηηα πος ανηαλλάζζεηαι μεηαξύ αεπίος και πεπιβάλλονηορ ζε κάθε μία από ηιρ μεηαβολέρ. Γίδεηαι όηι για ηα ιδανικά μονοαηομικά αέπια ιζσύει:. Δπίζηρ θεωπήζηε όηι 4,.

GI FYSP_4_1981 Δ1. Επειδή γνωρίζουμε ότι η μεταβολή είναι αδιαβατική, θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο του Pissn για να υπολογίσουμε τον όγκο του αερίου στην κατάσταση Δ. 1 1 4 4, 6,9 m 1 Δ. Υπολογίζουμε το έργο για κάθε μεταβολή που περιγράφεται στο σχήμα: B Η μεταβολή είναι ισοβαρής και το έργο θα είναι: W ( ) 1 (1) W 1 J B B B B Η μεταβολή αυτή δεν εμπίπτει σε κάποια από τις γνωστές μεταβολές. Επομένως θα υπολογίσουμε το έργο που παράγεται από τη γραφική παράσταση καθώς γνωρίζουμε ότι το έργο δίνεται από το εμβαδόν της γραφικής παράστασης, το οποίο στην προκειμένη περίπτωση αντιστοιχεί σε ένα τραπέζιο. 41 WB ( ) WB, J Η μεταβολή είναι αδιαβατική και επομένως το έργο θα υπολογιστεί από την αντίστοιχη σχέση της αδιαβατικής μεταβολής. 16, 4 (6,91),7 W W 7,6 J 1 1 Δ. Υπολογισμός των μεταβολών εσωτερικής ενέργειας. B Η μεταβολή είναι ισοβαρής οπότε θα ισχύει: UB nrt ( B ) 1 (1) UB 1, J B Η μεταβολή αυτή δεν εμπίπτει σε κάποια από τις γνωστές μεταβολές. Επομένως: U nrt nr( T B) ( nrt nrtb) ( BB) U (4 1 ) U 1 J Η μεταβολή είναι αδιαβατική, δηλαδή Q 0 και επομένως ισχύει ότι: W U U W 7,6) U 7,6 J Δ4. Εφόσον γνωρίζουμε το έργο και τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας σε όλες τις μεταβολές, ο υπολογισμός της θερμότητας θα γίνει με τη βοήθεια του 1 ου θερμοδυναμικού νόμου. B Q W U 11,Q,J B B B B B Q W U, 1 Q 17, J Q 0 B B B B

ΘΕΜΑ Δ Οπιζμένη ποζόηηηα ιδανικού αεπίος ςθίζηαηαι ηιρ παπακάηυ ανηιζηπεπηέρ μεηαβολέρ: Α Β: αδιαβαηική εκηόνυζη από ηην καηάζηαζη θεπμοδςναμικήρ ιζοπποπίαρ Α όγκος 10 m ζηην καηάζηαζη ιζοπποπίαρ Β όγκος 10 m και πίεζηρ 10 N/m. Β Γ: ιζόσυπη τύξη, μέσπι ηην καηάζηαζη θεπμοδςναμικήρ ιζοπποπίαρ Γ για ηην οποία 10 N/m. Γ Γ: αδιαβαηική ζςμπίεζη, μέσπι ηην καηάζηαζη θεπμοδςναμικήρ ιζοπποπίαρ Γ η οποία έσει όγκο ίζο με Α. Γ Α: ιζόσυπη θέπμανζη μέσπι ηην απσική καηάζηαζη Α. Δ1) Να ςπολογίζεηε ηην πίεζη ηος αεπίος ζηιρ καηαζηάζειρ θεπμοδςναμικήρ ιζοπποπίαρ Α και Γ. Δ) Να βπείηε ηο έπγο πος παπάγει ηο αέπιο ζε κάθε αδιαβαηική μεηαβολή. Δ) Να βπείηε ηην απόδοζη μιαρ μησανήρ πος θα λειηοςπγούζε με ηο ζςγκεκπιμένο κύκλο. Δ4) Να βπείηε ηην απόδοζη μιαρ μησανήρ Carnt πος θα λειηοςπγούζε μεηαξύ ηυν ίδιυν ακπαίυν θεπμοκπαζιών, όπυρ η μησανή ηος πποηγούμενος επυηήμαηορ. Μονάδες 7 Γίνονηαι: Για ηο ιδανικό αέπι η γπαμμομοπιακή ειδική θεπμόηηηα ςπό ζηαθεπό όγκο C R και όηι:,.

GI FYSP_4_198 Δ1. Σχηματίζουμε έναν πίνακα με τις τιμές των θερμοδυναμικών παραμέτρων στις αντίστοιχες καταστάσεις ισορροπίας. ( 10 N/m ) ( 10 m ) Α 1 Β Γ 1 Δ 1 Α 1 Επειδή η μεταβολή B είναι αδιαβατική, χρησιμοποιούμε τον νόμο του Pissn για να υπολογίσουμε την πίεση του αερίου στην κατάσταση Α. Πριν όμως θα υπολογίσουμε το συντελεστή Pissn για το ιδανικό αέριο: C R CP C R R R CP R οπότε C R B 10 10 10, 9,6 10 N/m 110 Ομοίως θα εργασθούμε για την αδιαβατική μεταβολή. 10 110 1 10,, 10 N/m 110 Δ. W W B BB 10 10 9,6 10 110 610 9,6 10 WB 40 J 1 1, 10 110 110 10, 10 10 W 180 J 1 1 Δ. Η απόδοση μιας θερμικής μηχανής δίνεται από τη σχέση: W Q Ο κύκλος της μηχανής αποτελείται από δύο αδιαβατικές και δύο ισόχωρες μεταβολές. Κατά την ισόχωρη μεταβολή το έργο ισούται με μηδέν. Επομένως το ολικό έργο που παράγεται κατά τον κύκλος λειτουργίας της μηχανής θα ισούται με το άθροισμα των έργων κατά τις αδιαβατικές μεταβολές, τιμές που υπολογίσθηκαν στο ερώτημα Δ. W W W 40 180 W 60 J B Το προσφερόμενο ποσό θερμότητας θα ισούται με τη θερμότητα που απορροφάται κατά την ισόχωρη θέρμανση καθώς στις αδιαβατικές μεταβολές το ποσόν θερμότητας είναι μηδέν, ενώ κατά την ισόχωρη ψύξη B έχουμε αποβολή θερμότητας. Q Q nc n R( ) ( nrt nrt ) ( ) Q ( ) 110 (9,6 10, 10 ) Q 960J Επομένως: W 60 a 0,7 Q 960 8

Δ4. Για να βρούμε τον συντελεστή μιας μηχανής Carnt που θα λειτουργούσε στις ίδιες ακραίες θερμοκρασίες, θα πρέπει να γνωρίζουμε αυτές τις θερμοκρασίες. Σύμφωνα με τον κύκλο που περιγράφεται, η υψηλή θερμοκρασία θα είναι η T ενώ η χαμηλή θερμοκρασία θα είναι η T. Αυτό συμβαίνει γιατί κατά την αδιαβατική εκτόνωση η θερμοκρασία θα είναι μικρότερη της T και λόγω της ισόχωρης ψύξης B η θερμοκρασία T θα είναι ακόμη μικρότερη. Έτσι, ο συντελεστής της μηχανής Carnt θα δίνεται από τη σχέση: Tc T e 1 1 Th Επειδή δεν γνωρίζουμε τις αντίστοιχες θερμοκρασίες, θα χρησιμοποιήσουμε την καταστατική εξίσωση για τις αντίστοιχες μεταβολές ώστε να δημιουργήσουμε μια σχέση μεταξύ των θερμοκρασιών T και T. nrt T T nrt T 9,6 10 1 10 T 9,6 110 10 Επομένως ο συντελεστής απόδοσης θα είναι T 9, 6 19 e1 1 e 9,6 7,6 4