ΝΟΜΟΙ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ

Transcript

1 ΝΟΜΟΙ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 Μία θερμική μηχανή λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών T h 400 Κ και T c με T c < T h Η μηχανή έχει απόδοση e 0,2 και αποβάλλει στη δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας θερμότητα με σταθερό ρυθμό ΔQ / Δt J / s Να υπολογιστεί η ωφέλιμη μηχανική ισχύς Ρ ωφ που αποδίδει η μηχανή Αν για την απόδοση e της μηχανής ισχύει ότι e (2 / 3) e c όπου e c είναι η απόδοση της μηχανής Carnot που λειτουργεί μεταξύ των ίδιων θερμοκρασιών, να υπολογιστεί η τιμή της θερμοκρασίας Τ c Αν ο ρυθμός διατηρηθεί ο ίδιος, ποια θα είναι η ωφέλιμη ισχύς της μηχανής Carnot; Η θερμική μηχανή θεωρούμε ότι χρησιμοποιεί μία ποσότητα n mol ιδανικού αερίου, το οποίο βρίσκεται σε αρχική κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας (Ρ 0, T 0 ) H κυκλική μεταβολή που εκτελεί το αέριο αποτελείται από τις παρακάτω αντιστρεπτές μεταβολές: 1 Ισόχωρη θέρμανση από Ρ 0 σε 2 Ρ 0 2 Ισοβαρή εκτόνωση από 2 Ρ 0 σε 2 Ρ 0, 2 V 0 3 Ισόχωρη ψύξη από 2 Ρ 0, 2 V 0 σε Ρ 0, 2 V 0 4 Ισοβαρή συμπίεση από Ρ 0, 2 V 0 σε Ρ 0 Να κατασκευαστούν τα διαγράμματα Ρ V, P T γι αυτήν την κυκλική μεταβολή Αρχή διατήρησης της ενέργειας : Q h W + Q c W Q h Q c (στη σχέση ενεργειών, παίρνουμε τους ρυθμούς μεταβολής (εκφράζουν το πόσο γρήγορα αλλάζει ένα φυσικό μέγεθος) και στα δύο μέλη, ουσιαστικά παραγωγίζουμε (το Δt είναι μικρό, το dt είναι απειροελάχιστο, το Δ / Δt τότε γίνεται d / dt) ΔW / Δt (ΔQ h / Δt) (Δ Q c / Δt) Ρ ωφ Ρ h Ρ c (Ι) Ο συντελεστής απόδοσης μιας θερμικής μηχανής : e W / Q h e (ΔW / Δt) / (ΔQh / Δt) e Ρ ωφ / Ρ h Ρ h Ρ ωφ / e (II) Από την σχέση (Ι) με την βοήθεια της (ΙΙ Ρ ωφ (Ρ ωφ / e) Ρ c Ρ c (Ρ ωφ / e) Ρ ωφ e)) Ρ c Ρ ωφ (0,2 / (1 0,2)) 16 10³ Ρ ωφ 4 10³ joule / s Ρc Ρωφ ((1 e) / e) Ρ ωφ (e / (1 Δίνεται ότι e (2 / 3) e c e (2 / 3) (1 (T c )) (3 / 2) e 1 (T c ) (T c ) 1 (3 / 2) e T c (1 (3 / 2) e) T h T c (1 (0,6 / 2)) 400 T c 280 K Από την σχέση που δίνεται : e c (3 / 2) e e c (3 / 2) 0,2 e c 0,3 Η σχέση που υπολογίσαμε για το Ρ ωφ : Ρ ωφ (e / (1 e)) Ρ c ισχύει και την μηχανή Carnot το μόνο που αλλάζει είναι ο συντελεστής, δηλαδή αντί το e θα έχουμε e c : Ρ ωφ (e c / (1 e c )) Ρ c Ρ ωφ (0,3 / (1 0,3)) 16 10³ Ρ ωφ (48 / 7) 10³ joule / s A B ισόχωρη θέρμανση (V A Ρ Α Ρ B T A (Ρ B / Ρ Α ) T 0 (2 Ρ 0 / Ρ 0 ) 2 T 0 B Γ ισοβαρή εκτόνωση (Ρ Β Ρ Γ V B T Γ T B (V Γ / V B ) T Γ 2 T 0 (2 V 0 / V 0 ) T Γ 4 T 0 Γ Δ ισόχωρη ψύξη (V Γ V Δ Ρ Γ Ρ Δ / T Δ T Δ T Γ (Ρ Δ / Ρ Γ ) T Δ 4 T 0 (Ρ 0 / (2 Ρ 0 )) T Δ 2 T 0 1

2 Με τις παραπάνω τιμές δημιουργούμε τον πίνακα : A B Γ Δ Ρ Ρ 0 2 P 0 2 P 0 P 0 V V 0 V 0 2 V 0 2 V 0 T T 0 2 T 0 4 T 0 2 T 0 Με τις τιμές του πίνακα σχεδιάζουμε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις : Το διάγραμμα πίεσης Ρ όγκου V : Το διάγραμμα πίεσης Ρ θερμοκρασίας Τ : ΑΣΚΗΣΗ 2 Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου, μεταβαίνει αντιστρεπτά από την κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α (P Α N / m 2, V A m 3 ) στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Γ (P Γ N / m 2, V Γ m 3 ), περνώντας ενδιάμεσα από μια κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Β Η μεταβολή από την Α στη Β είναι ισοβαρής ψύξη και ακολουθείται από ισόχωρη θέρμανση, που οδηγεί το αέριο στην κατάσταση Γ Να παρασταθεί η μεταβολή σε διάγραμμα Ρ V, με κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες Να δειχθεί ότι η ποσότητα του αερίου μπορεί να μεταβεί από την κατάσταση Γ στην κατάσταση Α υποκείμενη σε μία ισόθερμη εκτόνωση ΓΑ Να υπολογιστούν, για κάθε μια από τις μεταβολές ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ, η θερμότητα και το έργο που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον, καθώς και η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας Να υπολογιστεί η απόδοση e της θερμικής μηχανής, το αέριο της οποίας εκτελεί τον αντιστρεπτό κύκλο ΑΒΓΑ (H απόδοση να εκφραστεί ως κλάσμα) Δίνεται για το αέριο η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα υπό σταθερό όγκο C v 3 R / 2 και ότι ln 2 0,7 Α Β ισοβαρής ψύξη (Ρ A P B V A (V B / V A ) T Α ((V A / 2) / V A ) T Α T Α / 2 B Γ ισόχωρη θέρμανση (V B V Β / T Β Συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα : A B Γ P (10 5 N / m 2 ) V (10-3 m 3 ) T T A T A / 2 Τ Α Με τις τιμές του πίνακα σχεδιάζουμε το διάγραμμα πίεσης Ρ όγκου V : 2

3 Υπολογίζουμε τα γινόμενα : Ρ Γ V Γ Ρ Γ V Γ 1200 joule Ρ A V A Ρ A V A 1200 joule Ισχύει Ρ Γ V Γ Ρ A V A, οι καταστάσεις ισορροπίας Α και Γ είναι πάνω στην ίδια ισόθερμη, επειδή V Γ < V A από την Γ Α έχουμε ισόθερμη εκτόνωση Η θερμότητα στην ΑΒ ισοβαρής ψύξη : Q AB n C p ΔT AB Q AB n (5 R / 2) (T B T A (5 / 2) n R (- T A / 2 (5 / 4) Ρ A V A Q AB (5 / 4) 1200 Q AB 1500 joule To έργο στην ΑΒ ισοβαρής ψύξη : W AB P A (V B V A ) W AB ( ) W AB 600 joule 1ος θερμοδυναμικός νόμος : Q AB W AB + ΔU AB ΔU AB Q AB W AB ΔU AB 1500 (- 600) ΔU AB 900 joule Η θερμότητα στην ΒΓ ισόχωρη θέρμανση : Q BΓ n C v ΔT BΓ Q BΓ n (3 R / 2) (T Γ T Β ) Q BΓ (3 / 2) V A (P Γ P Β (3 / 2) ( ) Q BΓ 900 joule To έργο στην ΒΓ ισόχωρη θέρμανση :W BΓ 0 1ος θερμοδυναμικός νόμος :Q BΓ W BΓ + ΔU BΓ ΔU BΓ Q BΓ 0 ΔU BΓ 900 joule Άλλος τρόπος : To έργο στην ΒΓ ισόχωρη θέρμανση : W BΓ 0 1ος θερμοδυναμικός νόμος :Q BΓ W BΓ + ΔU BΓ ΔU BΓ Q BΓ 0 Q BΓ ΔU BΓ Ισχύει στην ΑΒΓ : ΔU ολ ΔU ΑΒ + ΔU ΒΓ + ΔU ΓΑ 0 ΔUΑΒ + ΔU ΒΓ + 0 ΔU ΒΓ ΔU ΑΒ ΔU ΒΓ 900 joule Άρα Q BΓ 900 joule Έργο στη ΓΑ :W ΓΑ n R T Α ln (V Α / V Γ ) W ΓΑ Ρ Α V Α ln 2 W ΓΑ ,7 W ΓΑ 840 joule H ΓΑ είναι ισόθερμη εκτόνωση, άρα ΔU ΓΑ 0 1ος θερμοδυναμικός νόμος στη ΓΑ :Q ΓΑ W ΓΑ + ΔU ΓΑ Q ΓΑ W ΓΑ Q ΓΑ 840 joule To ολικό έργο στη διάρκεια της κυκλικής μεταβολής : W ολ W ΑB + W BΓ + W ΓΑ W ολ W ολ 240 joule H θερμότητα της θερμής δεξαμενής είναι : Q h Q ΒΓ + Q ΓΑ Q h Q h 1740 joule Συντελεστής απόδοσης της θερμικής μηχανής : e W / Q h e 240 / 1740 e 4 / 29 ΑΣΚΗΣΗ 3 Ορισμένη ποσότητα του μονοατομικού ιδανικού αερίου ηλίου (He) βρίσκεται σε δοχείο σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α καταλαμβάνοντας όγκο 2 L, σε θερμοκρασία 27 o C και πίεση 0,1 N / m 2 Να υπολογισθεί ο αριθμός των μορίων του αερίου που περιέχονται στο δοχείο Στη συνέχεια το αέριο πραγματοποιεί διαδοχικά μια ισόθερμη αντιστρεπτή συμπίεση ΑΒ, μέχρι ο όγκος να γίνει 1 L, και μια ισοβαρή θέρμανση ΒΓ, μέχρι ο όγκος του να γίνει 4 L Να υπολογισθεί ο λόγος των ενεργών ταχυτήτων των μορίων του αερίου στις καταστάσεις Α και Β (υ ενα / υ ενβ ), καθώς και στις καταστάσεις Β και Γ (υ ενβ / υ ενγ ) Από την κατάσταση Γ με μία ισόχωρη αντιστρεπτή μεταβολή ΓΔ επανέρχεται στην αρχική θερμοκρασία Να υπολογισθεί η θερμότητα που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον κατά την μεταβολή ΓΔ Από την κατάσταση Δ επανέρχεται στον αρχικό όγκο Α με μία ισοβαρή μεταβολή ΔΕ Να υπολογισθεί η θερμότητα που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον κατά την μεταβολή ΔΕ και να γίνει το διάγραμμα πίεσης και όγκου για όλες τις μεταβολές 3

4 Δίνεται η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα του αερίου υπό σταθερό όγκο C v 3 R / 2, η σταθερά των ιδανικών αερίων R 8,314 J / mol K, ο αριθμός Avogadro N A άτομα / mol, και η γραμμοατομική μάζα του He είναι 4 g / mol Επίσης ότι 1 L 10-3 m 3 Οι μεταβολές : Α Β ισόθερμη συμπίεση (Τ A Τ Β Ρ A V A V Β Ρ Β Ρ A V A / V Β Ρ Β 0, / 10-3 B Γ ισοβαρής θέρμανση (Ρ Β Ρ Γ Ρ Β 0,2 Ν / m² V Β / Τ Β / Τ Γ Τ Γ (V Γ / V Β ) Τ Β Τ Γ (4 V Β / V Β ) Τ Β Τ Γ 4 Τ Β Τ Γ Τ Γ 1200 K Γ Δ ισόχωρη ψύξη (V Γ V Δ Ρ Γ / Τ Γ Ρ Δ / Τ Δ Ρ Δ Ρ Γ (Τ Δ / Τ Γ ) Τ Β Ρ Δ Ρ Γ (Τ Α / (4 Τ Α )) Ρ Δ Ρ Γ / 4 Ρ Δ 0,2 / 4 Ρ Δ 0,05 Ν / m² Δ Ε ισόβαρης ψύξη (Ρ Δ Ρ Ε V Δ / Τ Δ V Ε / Τ Ε Τ Ε (V Ε / V Δ ) Τ Δ Τ Ε (V Α / V Γ ) Τ Δ Τ Ε Τ Β / 2 Τ Ε 300 / 2 Τ Γ 150 K Με τις παραπάνω τιμές δημιουργούμε τον πίνακα : A B Γ Δ Ε Ρ (Ν / m 2 ) 0,1 0,2 0,2 0,05 0,05 V (10-3 m 3 ) T (K) Καταστατική εξίσωση στην κατάσταση Α : Ρ A V A n R T A n Ρ A V A / R T A (I) Ο αριθμός των mol, n :(Ν ο αριθμός των μορίων και N A ο αριθμός Avogadro) n N / N A N n NA (II) συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις έχουμε : (Ι) και (ΙΙN N A (Ρ A V A / R T A ) N (0, / (8, )) N 4, μόρια Οι ενεργές ταχύτητες στις καταστάσεις Α και Β : υ εν,α (3 R T Α ) και υ εν,β (3 R T Β ) Διαιρούμε κατά μέλη : υ εν,α / υ εν,β (3 R T Α ) / (3 R T Β ) υ εν,α / υ εν,β (T Α / T Β ) (ισχύει T Α T Β ) υ εν,α / υ εν,β 1 Οι ενεργές ταχύτητες στις καταστάσεις Β και Γ :υ εν,β (3 R T Β ) και υ εν,γ (3 R T Γ ) Διαιρούμε κατά μέλη : υ εν,β / υ εν,γ (3 R T Β ) / (3 R T Γ ) υ εν,β / υ εν,γ (T Β ) υ εν,β / υ εν,γ (300 / 1200) υ εν,β / υ εν,γ ½ Q ΓΔ n C v ΔΤ ΓΔ Q ΓΔ n (3 R / 2) (T Δ T Γ ) Q ΓΔ (3 / 2) V Γ (P Δ Ρ Γ ) Q ΓΔ (3 / 2) ( ) Q ΓΔ joule Ισχύει σε κάθε μεταβολή : C p C v + R C p (3 R / 2) + R C p 5 R / 2 H θερμότητα στην ισοβαρή μεταβολή ΔΕ : Q ΔΕ n C p ΔΤ ΔE Q ΔΕ n (5 R / 2) (T Ε T Δ ) Q ΔΕ (5 / 2) Ρ Δ (V Ε V Δ ) Q ΔΕ (5 / 2) ( ) Q ΔΕ joule 4

5 ΑΣΚΗΣΗ 4 Ποσότητα ιδανικού αερίου n 1 / R mol (όπου το R είναι αριθμητικά ίσο με τη σταθερά των ιδανικών αερίων σε μονάδες του SI) καταλαμβάνει όγκο V A m 3 σε πίεση P Α 10 5 N / m 2 Το αέριο πραγματοποιεί την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ που αποτελείται από τις παρακάτω διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές ΑΒ: ισοβαρής θέρμανση μέχρι τη θερμοκρασία 600 Κ ΒΓ: ισόχωρη ψύξη μέχρι τη θερμοκρασία 400 Κ ΓΔ: ισοβαρής ψύξη και ΔΑ: ισόθερμη συμπίεση Να αναπαραστήσετε τις μεταβολές σε διάγραμμα P V Να υπολογισθούν οι θερμότητες που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον σε κάθε μεταβολή Να υπολογισθεί ο συντελεστής απόδοσης της κυκλικής μεταβολής (ο συντελεστής απόδοσης να εκφραστεί ως κλάσμα) Να υπολογισθεί πόσο θα διέφερε ο συντελεστής απόδοσης μιας θερμικής μηχανής Carnot που θα λειτουργούσε μεταξύ των ίδιων ακραίων θερμοκρασιών, από το συντελεστή απόδοσης μιας μηχανής, το αέριο της οποίας λειτουργεί με βάση τον κύκλο ΑΒΓΔΑ Δίνεται C v 3 R / 2, ln 2 0,69 και ln 3 1,09 Καταστατική εξίσωση στην κατάσταση Α : Ρ Α V A n R T A T A Ρ Α V A / n R A B ισοβαρής θέρμανση (Ρ Α T A / ((1 / R) R) T A 300 K V Α / T Α V B V Α (T B ) V B V Α (600 / 300) V B 2 V Α V B V B m³ B Γ ισόχωρη ψύξη (V B Ρ Β / T Β Ρ Γ Ρ Γ (T Γ / T Β ) Ρ Γ 10 5 (400 / 600) Ρ Γ (2 / 3) 10 5 Ν / m² Γ Δ ισοβαρής ψύξη (Ρ Γ Ρ Δ V Γ V Δ / T Δ V Δ (T Δ ) V Δ (300 / 400) V Δ (3 / 4) V Γ V Δ (3 / 4) V Δ 4, m³ Δ Α ισόθερμη συμπίεση (Τ Δ Τ Α Ρ Δ V Δ Ρ Α V A Από τις παραπάνω τιμές συμπληρώνουμε τον πίνακα : A B Γ Δ Ρ (10 5 Ν / m 2 ) / 3 2 / 3 V (10-3 m 3 ) ,5 T (K) Με τις τιμές του πίνακα σχεδιάζουμε το διάγραμμα πίεσης Ρ όγκου V : H θερμότητα στην ΑΒ ισοβαρή θέρμανση : Q ΑB n C p ΔT ΑB Q ΑB n (5 R / 2) (T B T A ) Q ΑB (1 / R) (5 R / 2) ( ) Q ΑB 750 joule H θερμότητα στην ΒΓ ισοβαρή θέρμανση : Q BΓ n C v ΔT BΓ Q BΓ n (3 R / 2) (T Γ T Β ) Q BΓ (1 / R) (3 R / 2) ( ) Q BΓ 300 joule H θερμότητα στην ΓΔ ισοβαρή ψύξη : Q ΓΔ n C p ΔT ΓΔ Q ΓΔ n (5 R / 2) (T Δ T Γ ) Q ΓΔ (1 / R) (5 R / 2) ( ) Q ΓΔ 250 joule H θερμότητα στην ΔΑ ισόθερμη συμπίεση : Q ΔΑ n R T A ln (V A / V Δ ) Q ΔΑ (1 / R) R 300 ln ( / 4, ) Q ΔΑ 300 (ln 2 ln 3) Q ΔΑ 120 joule Η ολική θερμότητα στην κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ : 5

6 Q ολ Q AB + Q BΓ + Q ΓΔ + Q ΔA Q ολ Q ολ 80 joule 1ος θερμοδυναμικός νόμος στην κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ :Q ολ W + ΔU ολ (σε μια κυκλική μεταβολή ΔU ολ 0) W Q ολ W 80 joule H θερμότητα της θερμής δεξαμενής Q h :Q h Q AB Q h 750 joule Oρισμός του συντελεστή απόδοσης της θερμικής μηχανής :e W / Q h e 80 / 750 e 8 / 75 O συντελεστής της θερμικής μηχανής Carnot : e c 1 (T c ) e c 1 (300 / 600) e c 1 ½ e c ½ H διαφορά των συντελεστών απόδοσης : Δe e c e Δe (1 / 2) (8 / 75) Δe 59 / 150 ΑΣΚΗΣΗ 5 Θερμική μηχανή υφίσταται την κυκλική μεταβολή που παριστάνεται στο παραπάνω διάγραμμα P T Να παραστήσετε την παραπάνω μεταβολή σε διάγραμμα P V, εάν δίνεται ότι V A 1 L, και να υπολογίσετε για κάθε επιμέρους μεταβολή, τη θερμότητα Q, το έργο W και τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ΔU του αερίου Να υπολογίσετε τον συντελεστή απόδοσης της θερμικής αυτής μηχανής καθώς επίσης και τον συντελεστή απόδοσης μιας μηχανής Carnot που θα λειτουργούσε μεταξύ των ίδιων ακραίων θερμοκρασιών της παραπάνω κυκλικής μεταβολής Εάν η μηχανή πραγματοποιεί 120 κύκλους σε 1 λεπτό να υπολογίσετε την μηχανική ισχύ που αποδίδει η μηχανή Εάν αυτή η θερμική μηχανή κινεί όχημα μάζας m 300 kg, πόσα λίτρα βενζίνης θα καταναλώσει το όχημα ξεκινώντας από την ακινησία μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα μέτρου 72 km / h; Να θεωρήσετε ότι όλη η μηχανική ενέργεια που αποδίδει η μηχανή μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια του οχήματος χωρίς απώλειες Δίνονται: Cv 3 R / 2, ln 2 0,7, θερμότητα που παράγεται κατά την καύση της βενζίνης ανά μονάδα μάζας είναι J / kg και η πυκνότητα βενζίνης ρ 800 kg / m 3 Από το διάγραμμα που δίνεται ονομάζουμε τις μεταβολές και γράφουμε τους νόμους του ιδανικού αερίου : Α Β ισοβαρής θέρμανση (ή εκτόνωση) (Ρ Α V Α / T Α V B V A (T B ) V B V A (2 T A ) V B 2 V A B Γ ισόχωρη ψύξη (V B P B P Γ Γ Α ισόθερμη συμπίεση (Τ Γ Τ Α Ρ Γ V Γ Ρ A V A V Γ V A Ρ A / Ρ Γ V Γ V A / V Γ 2 V A Δίνεται το έργο στη ΓΑ ισόθερμη : W ΓA n R T A ln (V Α / V Γ ) W ΓA Ρ Γ V Γ ln (V Α / V Γ ) V Γ ln ( V A / 2 V A ) V Γ ln 2 V Γ m³ Mε τις παραπάνω τιμές συμπληρώνουμε τον πίνακα : A B Γ Ρ ( 10 5 Ν / m 2 ) V ( 10-3 m 3 ) T Τ 1 2 Τ 2 Τ 1 Με τις τιμές του πίνακα σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση : 6

7 H θερμότητα στην ΑΒ : (Ισχύει C p C v + R C p (3 R / 2) + R C p 5 R / 2) Q AB n C p ΔΤ AB Q AB n (5 R / 2) (T B T A (5 / 2) (P B V B P A V A (5 / 2) P B (V B V A (5 / 2) ( joule Το έργο στην ΑΒ : (μια επιλογή είναι W AB εμβαδό P V (2 1) 10-3 (10 5) 10 5 W AB 1000 joule) W AB Ρ A (V B V A ) W AB (2 1) 10-3 W AB 1000 joule 1ος θερμοδυναμικός νόμος στην ΑΒ : Q AB ΔU AB + W AB ΔU AB Q AB W AB ΔU AB ΔU AB 1500 joule To έργο στην ΒΓ μεταβολή : W BΓ 0, η ΒΓ είναι ισόχωρη μεταβολή Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στη ΒΓ : ΔU BΓ n C v ΔΤ BΓ ΔU BΓ n (3 R / 2) (T Γ T Β ) ΔU BΓ (3 / 2) (Ρ Γ V Γ Ρ Β V Β ) ΔU BΓ (3 / 2) V Γ (P Γ P Β ) ΔU BΓ (3 / 2) ( ) ΔU BΓ 1500 joule 1ος θερμοδυναμικός νόμος στη ΒΓ μεταβολή : Q BΓ W BΓ + ΔU BΓ Q BΓ joule Q BΓ 1500 joule 1ος θερμοδυναμικός νόμος στη ΒΓ μεταβολή : (ΔU ΓΑ 0, η ΓΑ είναι ισόθερμη μεταβολή ) Q ΓΑ W ΓΑ + ΔU ΓΑ Q ΓΑ W ΓΑ + 0 Q ΓΑ 700 joule H θερμότητα της θερμής δεξαμενής είναι : Q h Q AB Q h 2500 joule Η θερμότητα της ψυχρής δεξαμενής είναι : Q c Q BΓ + Q ΓΑ Q c Q c 2200 joule Ο συντελεστής απόδοσης της θερμικής μηχανής : e 1 ( Q c / Q h ) e 1 (2200 / 2500) e 1 0,88 e 0,12 O συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot : e c 1 (T c ) e c 1 (T 1 / 2 T 1 ) e c 1 / 2 To ωφέλιμο έργο σε κάθε κύκλο είναι : ΑΣΚΗΣΗ 6 Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου μιας θερμικής μηχανής εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒΓΑ, η οποία αποτελείται από τις παρακάτω επιμέρους αντιστρεπτές μεταβολές: από την κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α με Ρ A N / m 2 και V A 1 L, εκτονώνεται ισοβαρώς στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Β με V B 2 L, από την κατάσταση Β εκτονώνεται αδιαβατικά στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Γ με V Γ 4 2 L, και τέλος από την κατάσταση Γ επανέρχεται ισόθερμα στην κατάσταση Α Να απεικονίσετε την κυκλική μεταβολή σε διάγραμμα Ρ V σημειώνοντας τα δεδομένα για την πίεση και τον όγκο Να υπολογίσετε, για κάθε επιμέρους μεταβολή, τη θερμότητα Q, το έργο W και τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ΔU του αερίου Να υπολογίσετε τον συντελεστή απόδοσης της θερμικής αυτής μηχανής, καθώς επίσης και τον συντελεστή απόδοσης μιας μηχανής Carnot που θα λειτουργούσε μεταξύ των ίδιων ακραίων θερμοκρασιών της παραπάνω κυκλικής μεταβολής 7

8 Δίνονται: γ 5 / 3, ln 2 0,7, ln (4V2) (5 / 2) 0,7 Οι μεταβολές του ιδανικού αερίου : Α Β ισοβαρής θέρμανση (ή εκτόνωση) (Ρ Α V A (T A V B ) / V A (T A ) / T A B Γ αδιαβατική εκτόνωση (Q ΑB 0 P Β V Β γ P Γ V Γ γ Γ Α ισόθερμη συμπίεση (Τ Α Τ Β P Γ V Γ P Α V Α P Γ P Α V Α / V Γ P Γ ( ) / ( ) P Γ (5 / 4) Ν / m² Mε τις τιμές δημιουργούμε τον πίνακα : A B Γ P (5 / 4) V T Τ Α 2 Τ Α Τ Α Με τις τιμές του πίνακα σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση πίεσης Ρ όγκου V : Θεωρούμε γνωστά τα C v (3 / 2) R και C p (5 / 2) R Η θερμότητα στην ΑΒ αδιαβατική εκτόνωση : Q AB n C p ΔT ΑΒ Q AB (5 / 2) n R ΔT AB Q AB (5 / 2) (n R T B n R T A (5 / 2) (P B V B P Α V Α (5 / 2) P Α (V B V Α (5 / 2) ( joule To έργο στην ΑΒ : W AB P Α (V B V Α ) W AB ( ) W AB 1000 joule 1oς θερμοδυναμικός νόμος στην ΑΒ : (μια άλλη έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας) Q AB W AB + ΔU AB ΔU AB Q AB W AB ΔU AB ΔU AB 1500 joule Μια διαφορετική αντιμετώπιση για τη μεταβολή ΒΓ: Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στη διάρκεια του κυκλικής μεταβολής : ΔU ολ 0 ΔU ΑΒ + ΔU ΒΓ + ΔU ΓΔ 0 (Όμως το ΔU ΓA 0, η μεταβολή ΓΑ είναι ισόθερμη) ΔU ΑΒ + ΔU ΒΓ ΔU ΒΓ ΔU ΑΒ ΔU ΒΓ 1500 joule, λογικό αφού επιστρέφει στην ίδια θερμοκρασία και 1ος θερμοδυναμικός στην ΒΓ : Q ΒΓ W ΒΓ + ΔU ΒΓ (Q ΒΓ 0, η μεταβολή ΒΓ είναι αδιαβατική)w ΒΓ ΔU ΒΓ W ΒΓ joule H θερμότητα της θερμής και της ψυχρής δεξαμενής Q c και Q h : Q c Q ΓΑ και Q h Q ΑB O συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανής : e 1 ( Q c / Q h ) e 1 (1750 / 2500) e 0,3 O συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot : (T c T A και T h T B ) e c 1 (T c ) e 1 (T A / 2 T A ) e 0,5 8

9 ΑΣΚΗΣΗ 7 Ορισμένη ποσότητα μονατομικού ιδανικού αερίου που βρίσκεται στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α (P 0, T 0 ), υπόκειται στην παρακάτω αντιστρεπτή κυκλική μεταβολή: ΑΒ ισοβαρής εκτόνωση μέχρι να τετραπλασιαστεί ο όγκος του, ΒΓ αδιαβατική μεταβολή μέχρι τη θερμοκρασία Τ 0, ΓΑ ισόθερμη μεταβολή Να γίνει η γραφική παράσταση των μεταβολών σε άξονες P V, όπου θα φαίνονται οι τιμές της πίεσης, του όγκου και της θερμοκρασίας του αερίου στις καταστάσεις Α, Β, και Γ, συναρτήσει των P 0, T 0 (Οι τιμές της θερμοκρασίας θα σημειωθούν πάνω στις ισόθερμες καμπύλες) Να υπολογιστεί ο λόγος των έργων που ανταλλάσσεται μεταξύ αερίου και περιβάλλοντος για τις μεταβολές ΒΓ και ΑΒ, W BΓ / W AB Να υπολογιστεί ο λόγος των θερμοτήτων που ανταλλάσσεται μεταξύ αερίου και περιβάλλοντος για τις μεταβολές ΑΒ και ΓΑ, Q AB / Q ΓΑ Να υπολογίσετε την απόδοση μηχανής Carnot που λειτουργεί μεταξύ των ακραίων θερμοκρασιών του παραπάνω κύκλου καθώς και την απόδοση θερμικής μηχανής που λειτουργεί σύμφωνα με την παραπάνω αντιστρεπτή κυκλική μεταβολή (οι αποδόσεις να εκφραστούν ως κλάσματα) Δίνονται η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα του αερίου υπό σταθερό όγκο C v 3 R / 2, ln 2 0,7 και ο αδιαβατικός συντελεστής γ 5 / 3 Οι μεταβολές του ιδανικού αερίου : Α Β ισοβαρής εκτόνωση (Ρ Α Ρ B V A T A (V B / V A ) T 0 (4 V 0 / V 0 ) 4 T 0 B Γ αδιαβατική εκτόνωση (Q BΓ 0 (V B ) γ-1 T B (V Γ ) γ-1 T Γ (4 V0 )(5 / 3) -1 4 T 0 (V Γ ) (5 / 3) -1 T / 3 4 V 0 V Γ 32 V 0 Γ Α ισόθερμη συμπίεση (Τ Γ Τ Α Ρ Γ V Γ Ρ A V A Ρ Γ 32V 0 Ρ 0 V 0 Ρ Γ Ρ 0 / 32 Mε τις σχέσεις που υπολογίσαμε συμπληρώνουμε τον πίνακα : A B Γ Ρ Ρ 0 Ρ 0 Ρ 0 / 32 V V 0 4 V 0 32 V 0 T T 0 4 T 0 T 0 Με τις τιμές του πίνακα σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση πίεσης Ρ όγκου V : To έργο στη μεταβολή ΒΓ : W BΓ (Ρ Γ V Γ Ρ B V B ) / (1 γ) W BΓ (Ρ 0 V 0 4 Ρ 0 V 0 ) / (1 (5 / 3)) W BΓ (9 / 2) Ρ 0 V 0 Το έργο στη μεταβολή ΑΒ : W ΑΒ Ρ Α (V Β V Α ) W ΑΒ Ρ 0 (4 V 0 V 0 ) W ΑΒ 3 Ρ 0 V 0 Το πηλίκο των δύο έργων : W BΓ / W ΑΒ (9 / 2) Ρ 0 V 0 / 3 Ρ 0 V 0 W BΓ / W ΑΒ 3 / 2 Η θερμότητα στην μεταβολή ΑΒ : (ισχύει στη σχολική ύλη C p C v + R C p (3 / 2) R + R C p (5 / 2) R ) Q AB n C p ΔΤ AB Q AB n (5 / 2) R (T B T A (5 / 2) P 0 (4 V 0 V 0 (15 / 2) P 0 V 0 H θερμότητα στην μεταβολή ΓΑ : Q ΓΑ n R T 0 ln (V A / V B ) Q ΓΑ P 0 V 0 ln (V 0 / 32 V 0 ) Q ΓΑ P 0 V 0 ln 2-5 Q ΓΑ 5 P 0 V 0 ln 2 Q ΓΑ 3,5 P 0 V 0 9

10 To πηλίκο των θερμοτήτων Q ΑB / Q BΓ (7,5 P 0 V 0 ) / (3,5 P 0 V 0 ) Q ΑB / Q BΓ 15 / 7 Το μείον οφείλεται στο γεγονός ότι Q ΓA < 0 Ο συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής Carnot : e c 1 (T c ) e c (T h T c ) e c (4 T 0 T 0 ) / (4 T 0 ) e c 3 / 4 Ο συντελεστής απόδοσης μιας θερμικής μηχανής : e 1 ( Q c / Q h ) e (Q AΓ Q ΓΑ ) / Q AΒ e (7,5 P 0 V 0 3,5 P0 V 0 ) / (7,5 P0 V 0 ) e 8 / 15 ΑΣΚΗΣΗ 8 Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου,που βρίσκεται στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α (P 0, T 0 ), υπόκειται στην παρακάτω αντιστρεπτή κυκλική μεταβολή: ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση μέχρι να τετραπλασιαστεί ο όγκος του, ΒΓ: ισόχωρη μεταβολή μέχρι τη θερμοκρασία Τ 0, ΓΑ: ισόθερμη μεταβολή Να γίνει η γραφική παράσταση των μεταβολών σε άξονες P V, όπου θα φαίνονται οι τιμές της πίεσης, του όγκου και της θερμοκρασίας του αερίου στις καταστάσεις Α, Β, και Γ, συναρτήσει των P 0, T 0 (Οι τιμές της θερμοκρασίας να σημειωθούν πάνω στις ισόθερμες καμπύλες) Να υπολογιστεί η θερμότητα που αποβάλλει το αέριο στην κυκλική μεταβολή συναρτήσει των P 0, T 0 Να υπολογιστεί το ολικό έργο στην κυκλική μεταβολή συναρτήσει των P 0, T 0 Να υπολογίσετε την απόδοση μηχανής Carnot που λειτουργεί μεταξύ των ακραίων ισόθερμων του παραπάνω κύκλου, καθώς και την απόδοση θερμικής μηχανής που λειτουργεί σύμφωνα με την παραπάνω αντιστρεπτή κυκλική μεταβολή (οι αποδόσεις να εκφραστούν ως κλάσματα) Δίνονται η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα του αερίου υπό σταθερό όγκο C v 3 R / 2 και ότι ln 2 0,7 Oι μεταβολές : Α Β ισοβαρής εκτόνωση (Ρ Α V Α V 0 / T 0 4 V 0 4 T 0 B Γ ισόχωρη ψύξη (V B Ρ Β / T Β Ρ Γ Ρ 0 / (4 T 0 ) Ρ Γ / T 0 Ρ Γ Ρ 0 / 4 Γ Α ισόθερμη συμπίεση (Τ Γ Τ Α Ρ Γ V Γ Ρ Δ V Δ Οι παραπάνω τιμές δημιουργούν τον πίνακα : A B Γ Ρ Ρ 0 Ρ 0 P 0 / 4 V V 0 4 V 0 4 V 0 T T 0 4 T 0 T 0 Με τις τιμές του πίνακα σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση πίεσης Ρ όγκου V : H θερμότητα Q c Q BΓ + Q ΔA Η θερμότητα στη ΒΓ : Q BΓ n C v ΔΤ BΓ Q BΓ n (3 R / 2) (T Γ T Β ) Q BΓ (3 / 2) (P Γ V Γ P Β V Β ) Q BΓ (3 / 2) ((P 0 / 4) 4 V 0 P 0 4 V 0 ) Q BΓ 4,5 P 0 V 0 Στη ΓΑ ισόθερμη μεταβολή ΔU ΓΑ 0, 1ος θερμοδυναμικός νόμος στη ΓΑ : Q ΓΑ W ΓΑ + ΔU ΓΑ Q ΓΑ W ΓΑ + 0 Q ΓΑ W ΓΑ Q ΓΑ n R T Γ ln (V Α / V Γ ) Q ΓΑ Ρ Γ V Γ ln (V Α / V Γ ) Q ΓΑ (P 0 / 4) 4 V 0 ln (V 0 / 4 V 0 ) Q ΓΑ P 0 V 0 ln (¼) Q ΓΑ P 0 V 0 ( ln 2²) Q ΓΑ 1,4 P 0 V 0 10

11 H θερμότητα Q c Q BΓ + Q ΔA Q c 4,5 P 0 V 0 1,4 P 0 V 0 Q c 5,9 P 0 V 0 To έργο στην ΑΒ ισοβαρή μεταβολή : W ΑB P Α (V B V A ) W ΑB P 0 (4 V 0 V 0 ) W ΑB 3 P 0 V 0 To έργο στην ΒΓ μεταβολή : W BΓ 0, η ΒΓ είναι ισόχωρη Το έργο στην ΓΑ μεταβολή :W ΓΑ 1,4 P 0 V 0, έχει ήδη υπολογιστεί W ολ W ΑB + W BΓ + W ΓΑ W ολ 3 P 0 V ,4 P 0 V 0 W ολ 1,6 P 0 V 0 Η απόδοση της μηχανής Carnot : e c 1 (T c ) e c 1 (T 0 / 4 T 0 ) e c 1 ¼ Iσχύει :C p C v + R C p (3 / 2) R + R C p 5 R / 2 e c ¾ H θερμότητα στη μεταβολή ΑΒ, η θερμότητα Q h : Q AB n C p ΔΤ ΑΒ Q AB n (5 R / 2) (T Β T A (5 / 2) (P B V B P A V A (5 / 2) (P 0 4 V 0 P 0 V 0 7,5 P 0 V 0 H απόδοση θερμικής μηχανής : e 1 Q c / Q h e 1 (5,9 P 0 V 0 / 7,5 P 0 V 0 ) e 16 / 75 ΑΣΚΗΣΗ 9 Ένα ιδανικό αέριο εκτελεί την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ του σχήματος Αν P Α 4 atm, V Α 2L,T Α 400 Κ, V B 4 L, Τ Γ 200 Κ Να υπολογίσετε τις πιέσεις Ρ Γ και Ρ Δ και τη θερμοκρασία Τ Β Να ονομάσετε κάθε μια από τις αντιστρεπτές μεταβολές του σχήματος και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της κυκλικής μεταβολής σε βαθμολογημένους άξονες Ρ V και Ρ T Να υπολογίσετε τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στις μεταβολές ΓΔ, ΔΑ και ΑΒ Να υπολογίσετε το συντελεστή απόδοσης μια μηχανής Carnot που θα λειτουργούσε μεταξύ των ακραίων θερμοκρασιών της πιο πάνω κυκλικής μεταβολής Δίνεται ότι 1 atm 10 5 N / m 2, ln 2 0,7 και ότι C v 3 R / 2 Οι μεταβολές είναι: Α Β ισοβαρής θέρμανση (ή εκτόνωση) (Ρ Α V Α / T Α T A (V B / V A ) 400 ( / ) 800 K B Γ ισόχωρη ψύξη (V B Ρ Β / T Β Ρ Γ Ρ Γ (Τ Γ / Τ Β ) Ρ Γ (200 / 800) Ρ Γ Ν / m² Γ Δ ισόθερμη συμπίεση (Τ Γ Τ Δ Ρ Γ V Γ Ρ Δ V Δ Ρ Δ Ρ Γ (V Γ / V Δ ) Ρ Δ ( / ) Δ Α ισόχωρη θέρμανση (V Δ V Α Ρ Δ / T Δ Ρ Α / T Α Ρ Δ N / m² 11

12 Με τις τιμές δημιουργούμε τον πίνακα : A B Γ Δ Ρ V T Με τις τιμές του πίνακα σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις : Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στη ΓΔ : ΔU ΓΔ 0, είναι ισόθερμη μεταβολή Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στη ΔΑ : ΔU ΔΑ n C v ΔΤ ΔΑ ΔU ΔΑ n (3 R / 2) (T A Τ Δ ) ΔU ΔΑ (3 / 2) (Ρ Α V Α Ρ Δ V Δ ) ΔU ΔΑ (3 / 2) ( ) ΔU ΔΑ 600 joule Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στη ΑB : ΔU ΑB n C v ΔΤ ΑB ΔU ΑB n (3 R / 2) (T B Τ A ) ΔU ΑB (3 / 2) (Ρ B V B Ρ A V A ) ΔU ΑB (3 / 2) ( ) ΔU ΑB 1200 joule O συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής Carnot : e c 1 (T c ) e c 1 (200 / 800) e c 1 ¼ e c ¾ ΑΣΚΗΣΗ 10 Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου που βρίσκεται σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας με όγκο V 1 2 L θερμοκρασία θ 1 20 ο C θερμαίνεται αντιστρεπτά υπό σταθερή πίεση P 2 atm, οπότε η απόλυτη θερμοκρασία του αερίου αυξάνεται κατά 50 % Να βρεθεί o νέος όγκος του V 2 Να παρασταθεί γραφικά, σε άξονες P V η μεταβολή και να υπολογιστεί το έργο που παράγεται κατά την εκτόνωση του αερίου Να υπολογιστεί η επί της εκατό (%) μεταβολή της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων του αερίου Όταν αυξηθεί η θερμοκρασία ενός άλλου ιδανικού αερίου, το οποίο είναι κλεισμένο σε δοχείο σταθερού όγκου, κατά 150 ο C η πίεσή του αυξάνεται κατά 40% Θεωρούμε και αυτή τη νέα μεταβολή της ποσότητας του άλλου ιδανικού αερίου αντιστρεπτή Να υπολογιστούν η αρχική και η τελική θερμοκρασία του αερίου σε ο C Δίνεται ότι: 1 atm 10 5 N / m 2 και 1 L 10-3 m 3 Μετατρέπουμε τις θερμοκρασίες κελσίου σε απόλυτες θερμοκρασίες: T 1 θ T Κ Δίνεται Τ 2 Τ 1 + (50 / 100) Τ 1 Τ 2 1,5 Τ 1 Τ 2 1, ,5 Κ Α Β ισοβαρής θέρμανση (Ρ 1 Ρ 1 V 1 / T 1 V 2 / T 2 V 2 V 1 (T 2 / T 1 ) V (1,5 T 1 / T 1 ) V m³ To Ρ V διάγραμμα είναι:το έργο είναι το εμβαδό στο P V διάγραμμα: W εμβαδό στο P V (3 2) joule H μέση κινητική ενέργεια: Κ (3 / 2) k T Θα υπολογίσουμε το ποσοστό μείωσης της μέσης κινητικής ενέργειας : (ΔΚ / Κ 1 ) % ((Κ 2 Κ 1 ) / Κ 1 ) 100% (ΔΚ / Κ 1 ) % ((T 2 T 1 ) / T 1 ) 100% (ΔΚ / Κ 1 ) % (1,5 T 1 ) / T 1 ) 100% (ΔΚ / Κ 1 ) % 50% 12

13 Δίνεται το Δθ 150 C άρα ΔΤ 150 Κ (Ας το αποδείξουμε: ΔΤ Τ τελ Τ αρχ ΔΤ (273 + θ τελ ) (273 + θ αρχ ) ΔΤ θ τελ θ αρχ ΔΤ Δθ) ΔΡ 40% Ρ αρχ ΔΡ (40 / 100) Ρ αρχ Ρ τελ Ρ αρχ 0,4 Ρ αρχ Ρ τελ 1,4 Ρ αρχ Η μεταβολή είναι ισόχωρη : Ρ τελ / Τ τελ Ρ αρχ / Τ αρχ Τ τελ Τ αρχ (Ρ τελ / Ρ αρχ ) Τ τελ Τ αρχ (1,4 Ρ αρχ / Ρ αρχ ) Τ τελ 1,4 Τ αρχ ΔΤ Τ τελ Τ αρχ ΔΤ 1,4 Τ αρχ Τ αρχ ΔΤ 0,4 Τ αρχ Τ αρχ ΔΤ / 0,4 Τ αρχ 150 / 0,4 Τ αρχ 375 Κ Ισχύει Τ αρχ θ αρχ θ αρχ Τ αρχ 273 θ αρχ C Ισχύει Τ τελ θ τελ θ τελ Τ τελ 273 θ τελ C ΑΣΚΗΣΗ 11 Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου πραγματοποιεί την αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ του σχήματος από την κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Β Να βρεθεί η πίεση του αερίου στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α Να υπολογισθεί το παραγόμενο έργο Να υπολογισθεί η θερμότητα που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον Να βρεθεί πόσες φορές είναι μεγαλύτερη η μέση κινητική ενέργεια των μορίων στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Β από την αντίστοιχη στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α Δίνεται ότι: C v 3 R / 2, όπου R είναι η σταθερά των ιδανικών αερίων και 1 L 10-3 m 3 τα ποσά είναι ανάλογα, άρα: Ρ Α / V A Ρ B / V B Ρ Α Ρ B V A / V B Ρ Α 1, ( / ) Ρ Α 0, N / m² To έργο της Α Β μεταβολής μπορούμε να το υπολογίσουμε από το εμβαδό στο Ρ V διάγραμμα: W ΑB εμβαδό τραπεζίου ½ (1,8 + 0,9) 10 5 (4 2) 10-3 W ΑB 270 joule H μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στην Α Β : ΔU ΑB n C v ΔΤ ΑB ΔU ΑB n (3 R / 2) (T B T A ) ΔU ΑB (3 / 2) (n R T B n R T A ) ΔU ΑB (3 / 2) (P B V B P A V A ) ΔU ΑB (3 / 2) (1, , ) ΔU ΑB 810 joule O 1oς θερμοδυναμικός νόμος στην Α Β μεταβολή: (ο 1ος θερμοδυναμικός νόμος είναι μια άλλη έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας, η ενέργεια μεταφέρεται και μετασχηματίζεται αλλά ούτε δημιουργείται ούτε καταστρέφεται) Q ΑB W ΑB + ΔU ΑB Q ΑB Q ΑB 1080 joyle Μας ζητάει να συγκρίνουμε την μέση κινητική ενέργεια των μορίων στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Β με την αντίστοιχη στην κατάσταση Α Κ μ (3 / 2) k T η μέση κινητική ενέργεια (εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία), άρα στις καταστάσεις Α και Β θα δίνεται: Κ μ,α (3 / 2) k T Α και Κ μ,β (3 / 2) k T Β, (όταν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο μεγέθη στη φυσική, τα διαιρούμε μεταξύ τους) Κ μ,β / Κ μ,α (3 / 2) k T Β / (3 / 2) k T Α Κ μ,β / Κ μ,α T Β / T Α Από την καταστατική εξίσωση Ρ Α V A n R T A T A Ρ Α V A / n R ανάλογα T Β V Β / n R, άρα Κ μ,β / Κ μ,α T Β / T Α Κ μ,β / Κ μ,α (Ρ Β V Β / n R) / (Ρ Α V A / n R) Κ μ,β / Κ μ,α V Β / Ρ Α V A Κ μ,β / Κ μ,α 1, / 0, Κ μ,β / Κ μ,α 4 Κ μ,β 4 Κ μ,α 13

14 ΑΣΚΗΣΗ 12 Μια ποσότητα n 10 mol ιδανικού αερίου μιας θερμικής μηχανής, βρίσκεται στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Α όπου P A 10 atm και V A 4,1 L Το αέριο υφίσταται κυκλική μεταβολή αποτελούμενη από μια ισοβαρή θέρμανση ΑΒ, στο τέλος της οποίας είναι V B 8,2 L, μια ισόθερμη εκτόνωση ΒΓ, μετά το πέρας της οποίας είναι P Γ 5 atm, μια ισοβαρή ψύξη ΓΔ και μια ισόθερμη συμπίεση ΔΑ Όλες οι μεταβολές είναι αντιστρεπτές και το αέριο διέρχεται μόνο από καταστάσεις θερμοδυναμικής ισορροπίας Να σχεδιαστεί ποιοτικά (χωρίς αριθμούς) η κυκλική μεταβολή σε άξονες P V και P T Να υπολογίσετε τις απόλυτες θερμοκρασίες στις οποίες πραγματοποιούνται οι ισόθερμες μεταβολές Να υπολογίσετε το συνολικό έργο της κυκλικής μεταβολής Να υπολογίσετε το συντελεστή απόδοσης της θερμικής μηχανής Δίνονται η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα υπό σταθερό όγκο C v 3 R / 2, η σταθερά των ιδανικών αερίων R 0,082 L atm / (mole K) 8,314 J / (mole K) ότι 1 L atm 101 J και ln 2 0,7 Από τις μεταβολές που περιγράφονται στην εκφώνηση: ισοβαρή θέρμανση Α Β, ισόθερμη εκτόνωση Β Γ, ισοβαρή ψύξη Γ Δ και ισόθερμη συμπίεση Δ Α Σχεδιάζουμε τα ποιοτικά διαγράμματα P V και P T : Καταστατική εξίσωση στην Α κατάσταση ισορροπίας του αερίου όπου αντικαθιστούμε την σταθερά των ιδανικών αερίων με την τιμή R 0,082 L atm / (mole K) Ρ Α V Α n R T Α T Α Ρ Α V Α / n R T Α (10 4,1) / (10 0,082) T Α 50 K Εφαρμόζουμε τους νόμους των ιδανικών αερίων σε κάθε μεταβολή: Α Β : ισοβαρής θέρμανση (Ρ Α ): V A T A ( V B / V A ) 50 (8,2 / 4,1) 100 K B Γ : ισόθερμη εκτόνωση (Τ Β Τ Γ ): Ρ B V B P Γ V Γ V Γ (Ρ B / P Γ ) V Γ 8,2 (10 / 5) V Γ 16,4 L Γ Δ : ισοβαρής ψύξη (Ρ Γ Ρ Δ ): V Γ V Δ / T Δ Δ Α : ισόθερμη συμπίεση (Τ Δ Τ Α ): Ρ Δ V Δ P Α V Α V Δ V Α (Ρ Α / P Δ ) V Δ 4,1 (10 / 5) 8,2 L Οι παραπάνω τιμές δημιουργούν τον παρακάτω πίνακα: A B Γ Δ P V 4,1 8,2 16,4 8,2 T Οι ζητούμενες θερμοκρασίες βρίσκονται στον πίνακα Θα υπολογίσουμε το έργο σε κάθε μεταβολή: W AB P A (V B V A ) W AB 10 (8,2 4,1) joule W BΓ n R T B ln (V Γ / V B ) W BΓ P B V B ln (V Γ / V B ) W BΓ 10 8, ln (16,4 / 8,2) W BΓ 8314 ln ,8 joule W ΓΔ P Γ (V Δ V Γ ) W ΓΔ 5 (8,2 16,4) joule W ΔΑ n R T Δ ln (V Α / V Δ ) W ΔΑ P Δ V Δ ln (V Α / V Δ ) W ΔΑ 10 8, ln (4,1 / 8,2) W ΔΑ 4157 ln (1 / 2) 2909,9 joule To συνολικό έργο της κυκλικής μεταβολής είναι: W ολ W AB + W BΓ + W ΓΔ + W ΔΑ W ολ , ,9 W ολ 2909,9 joule Nα τονίσουμε ότι στα έργα W AB και W ΓΔ έχουμε τα γινόμενα Ρ V αλλά η πίεση δίνεται σε atm και ο όγκος σε L, πρέπει λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε την σχέση μετατροπής που δίνεται: 1 L atm 101 J, για να βρούμε το έργο σε joule Το R αντικαθίσταται με 8,314 J / (mole K) για τον ίδιο λόγο 14

15 Ο συντελεστής απόδοσης της θερμικής μηχανής: e 1 Q c / Q h, όπου Q h : η θερμότητα της θερμής δεξαμενής και Q c : η θερμότητα της ψυχρής δεξαμενής Q h Q ΑΒ + Q ΒΓ και Q c Q ΓΔ + Q ΔΑ Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στην Α Β μεταβολή: ΔU ΑΒ n C v ΔΤ ΑΒ ΔU ΑΒ n (3 R / 2) (T Β T A ) ΔU ΑΒ 10 (3 8,314 / 2) (100 50) 6235,5 joule H μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στις ισόθερμες μεταβολές ΒΓ και ΔΑ είναι μηδέν Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας σε μια κυκλική μεταβολή: ΔU ολ ΔU ΑΒ + ΔU ΒΓ + ΔU ΓΔ + ΔU ΔΑ 0 ΔU ΑΒ ΔU ΓΔ + 0 ΔU ΓΔ ΔU ΑΒ ΔU ΓΔ 6235,5 joule Ο 1ος θερμοδυναμικός νόμος στις μεταβολές: Q ΑΒ W ΑΒ + ΔU ΑΒ Q ΑΒ , ,5 joule Q ΒΓ W ΒΓ + ΔU ΒΓ Q ΒΓ 5819, ,8 joule Q ΓΔ W ΓΔ + ΔU ΓΔ Q ΓΔ , ,5 joule Q ΔA W ΔA + ΔU ΔA Q ΔA -2909,9 joule Άρα Q h Q ΑΒ + Q ΒΓ Q h 10376, , ,3 joule Q c Q ΓΔ + Q ΔΑ Q c 10376,5 2909, ,4 joule H ζητούμενη απόδοση: e 1 Q c / Q h e 1 (13286,4 / 16196,3) e 1 0,82 0,18 15