, και μια (συνολική) δύναμη δεσμού, F ci. Το δυνατό έργο που εκτελείται κατά τη δυνατή μετατόπιση, πάνω σε κάθε ένα σωμάτιο, είναι 0. (2.

ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LAGRANGE Αρχή D Aembert Μια τέτοια αρχή διατύπωσε πρώτα ο James Berou αλλά αναπτύχτηκε στη συνέχεια από τον D Aembert Στην αρχή χρησιμοποιούμε καρτεσιανές συντεταγμένες Η ιδέα της ανωτέρω αρχής ξεκινά από τη Στατική Όταν ένα σύστημα από N υλικά σημεία ισορροπεί, τότε η συνολική δύναμη που ασκείται σε κάθε σημείο του συστήματος είναι μηδέν, F 0,,, N () Παριστάνομε με δr την απειροστή δυνατή (εικονική) μετατόπιση του υλικού σημείου Αυτή είναι μετατόπιση από το σημείο ισορροπίας του, η οποία γίνεται «παγώνοντας» το χρόνο ( dt 0) Τονίζομε ότι οι ταχύτητες παγώνουν, διατηρώντας κατά τη δυνατή μετατόπιση, τις τιμές που έχουν τη στιγμή t Το δυνατό έργο της ολικής δύναμης πάνω σε κάθε ένα υλικό σημείο θα είναι μηδέν, διότι από την Εξ () προκύπτει, κατά προφανή τρόπο, ότι ισχύουν F δr 0,,, N () Έστω ότι υπάρχουν M δεσμοί, οπότε σύμφωνα με τα προηγούμενα, υπάρχουν, γενικώς, οι ασκούμενες (ενεργητικές) δυνάμεις και οι δυνάμεις των δεσμών (παθητικές δυνάμεις) Η συνολική δύναμη πάνω σε κάθε υλικό σημείο μπορεί να αναλυθεί σε μια (συνολική) ενεργητική, F a, και μια (συνολική) δύναμη δεσμού, F c, οπότε F F F (3) a c Το δυνατό έργο που εκτελείται κατά τη δυνατή μετατόπιση, πάνω σε κάθε ένα σωμάτιο, είναι F δr F δr F δr 0 (4) Η συνολική δύναμη δεσμού, a c F c, πάνω στο σωμάτιο, που οφείλεται στους δεσμούς, είναι το άθροισμα των δυνάμεων από τον κάθε έναν δεσμό, F c,,, M, M Fc Fc Αν αθροίσομε τα δυνατά έργα για όλα τα υλικά σημεία του συστήματος, θα έχομε για το συνολικό δυνατό έργο όλων των δυνάμεων επί του συστήματος, N N F δr F δr 0 (5) a c Υποθέτομε ότι κάθε ένας δεσμός είναι ιδανικός δεσμός, οπότε για κάθε έναν δεσμό, το δυνατό συνολικό έργο των δυνάμεων του δεσμού πάνω σε όλα τα σωμάτια είναι μηδέν, N δηλαδή F c δr 0, επομένως M

Έτσι η (5) δίνει N N M N F a F δr F δr 0 (6) c c δr 0 (7) Αυτό σημαίνει ότι κάθε χρονική στιγμή, κατά την ισορροπία, το συνολικό δυνατό έργο επί του συστήματος των ενεργητικών (ασκούμενων) δυνάμεων είναι μηδέν Η Εξ (7) αναφέρεται ως Αρχή των Δυνατών Έργων Οι δυνατές μετατοπίσεις δ r,,, N, όταν υπάρχουν δεσμοί, δεν είναι αυθαίρετες, δηλαδή δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, γι αυτό από τη σχέση (7) δεν μπορούμε να συμπεράνομε ότι F a 0 Η σχέση (7) είναι κάτι χρήσιμο που μπορεί να εφαρμοστεί σε συστήματα σε ισορροπία και να βοηθήσει στη λύση προβλημάτων στατικής Σε στοιχειώδες επίπεδο εφαρμόζεται στις απλές μηχανές με τροχαλίες, μοχλούς κτλ Στη συνέχεια, έγινε η προσπάθεια να αναχθούν τα προβλήματα της Δυναμικής σε προβλήματα Στατικής και να γενικευτεί η Αρχή των Δυνατών έργων και για τη Δυναμική Ο θεμελιώδης νόμος της δυναμικής για κάθε υλικό σημείο ενός συστήματος γράφεται, dp F p,,, N (8) dt Από αυτή τη σχέση καταλήγομε στη σχέση F p =0,,, N (9) Ο όρος p λέγεται αντίστροφη ενεργός δύναμη (reversed effectve force) ή αδρανειακή δύναμη ή δύναμη D Aembert Η Εξ (9) μας λέει ότι για ένα σύστημα υλικών σημείων που, γενικώς, δεν βρίσκεται σε ισορροπία, κάθε στιγμή το διανυσματικό άθροισμα των πραγματικών δυνάμεων και των αντίστροφων ενεργών δυνάμεων, σε κάθε ένα σημείο είναι μηδέν, δηλαδή αυτές οι δυνάμεις ισορροπούν Αν φανταστούμε δυνατές μετατοπίσεις (ο χρόνος παγώνει), από την Εξ (9) βρίσκομε F δr p δr 0 (0) Στη συνέχεια κάνομε την ανάλυση των πραγματικών δυνάμεων, όπως και στα προηγούμενα Υποθέτομε ότι έχομε ιδανικούς δεσμούς και καταλήγομε στη σχέση, N F a p δr 0 Για ευκολία αλλάζομε συμβολισμό, δηλαδή παραλείπομε τον δείκτη a στην ενεργητική δύναμη και γράφομε αντί F a απλώς F Έτσι έχομε F p δr F r δr 0 () N N Έχομε στη Στατική και στη Δυναμική, ότι το δυνατό έργο δw όλων των πραγματικών δυνάμεων στο σύστημα, είναι το άθροισμα των έργων των ενεργητικών (ασκούμενων) δυνάμεων και των δυνάμεων των δεσμών Εφόσον οι δεσμοί είναι ιδανικοί, το δυνατό έργο τους είναι μηδέν, οπότε το συνολικό δυνατό έργο όλων των πραγματικών δυνάμεων στο σύστημα, ισούται με το έργο (μόνον) όλων των ενεργητικών δυνάμεων Έτσι καταλήγομε στη σχέση,

3 N δw F δr () Η σχέση () είναι η Αρχή (του) D Aembert, που είναι γενίκευση της Αρχής των Δυνατών Έργων, Εξ(7) Σημειώνομε, όπως και πριν, ότι από την Εξ () δεν μπορούμε να συμπεράνομε ότι F p F m r 0 διότι όταν υπάρχουν δεσμοί, τα δr δεν μπορεί το καθένα να ληφθεί αυθαίρετα σε σχέση με τα άλλα, διότι αλληλοεξαρτιόνται, όπως είπαμε προηγουμένως Φορμαλισμός χωρίς δεσμούς Θα εξετάσομε την περίπτωση που δεν υπάρχουν δεσμοί Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν δυνάμεις δεσμών (δηλαδή παθητικές δυνάμεις), υπάρχουν μόνο ασκούμενες (δηλαδή ενεργητικές) δυνάμεις και μπορεί κάποιος να προχωρήσει χωρίς χρήση της αρχής D Aembert Θα δούμε ότι με μετασχηματισμό των συντεταγμένων από καρτεσιανές σε οποιεσδήποτε άλλες (γενικευμένες) συντεταγμένες, καταλήγομε στις εξισώσεις (του) Lagrage που έχουν ίδια μορφή ανεξάρτητα από το ποιες είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες Μερική περίπτωση (γενικευμένων) συντεταγμένων, είναι και οι καρτεσιανές συντεταγμένες Οι δυνάμεις μετασχηματίζονται σε γενικευμένες δυνάμεις που κάθε μια σχετίζεται με μια γενικευμένη συντεταγμένη και λέγεται συνιστώσα γενικευμένης δύναμης, συγκεκριμένης γενικευμένης συντεταγμένης Έστω ότι οι σχέσεις μετασχηματισμού συντεταγμένων είναι 3N r r ( q, q,, q, t),,, N q q ( r, r,, r, t),,, N (3) Σημειώστε ότι μπορεί να υπάρχει και άμεση εξάρτηση από το χρόνο Εννοείται ότι για την περιοχή ισχύος αυτού του μετασχηματισμού πρέπει οι σχέσεις αυτές να μπορούν να αντιστραφούν Αυτό σημαίνει ότι, η ιακωβιανή μήτρα (acoba matrx) του μετασχηματισμού πρέπει να μην είναι ανώμαλη Θυμίζομε ότι εδώ η ιακωβιανή είναι η μήτρα που σχηματίζεται με στοιχεία τα q, (, k),,, x k (4) όπου τα x k είναι οι =3N καρτεσιανές συντεταγμένες των Ν διανυσμάτων θέσης r, ( r, r,, rn ) ( x, x,, x) Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι δεδομένη ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς στο οποίο η περιγραφή γίνεται με καρτεσιανές συντεταγμένες, σε καρτεσιανούς άξονες στερεά συνδεδεμένους με το αδρανειακό σύστημα Ξεκινούμε με την κινητική ενέργεια του συστήματος των σωματίων Για τα δυο συστήματα συντεταγμένων ισχύουν οι σχέσεις των Εξ (3) Έχομε για την κινητική ενέργεια

4 N T m dr r r r q dt q t (5) Οι εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα (στο αδρανειακό σύστημα και) με τις ανωτέρω καρτεσιανές συντεταγμένες είναι m r F,,, N (6) Τις πολλαπλασιάζομε επί r q N N qk k και αθροίζομε στα οπότε έχομε r r m r F k,,, (7) q k Όμως ισχύουν r r r r q qk q k q t qk r r d r d r r r r r qk q k dt q k dt qk d r r r r r q dt q k q q k tqk d r r r r dt q k qk d ( r ) ( r ) dt q k qk Επομένως έχομε ότι N N N r d r r mr m ( ) m ( ) qk dt q k qk (8) d T T dt q k qk Στην τελευταία σχέση έχομε μεταθέσει την άθροιση με την παραγώγιση και εισαγάγαμε την κινητική ενέργεια, αφού κάνοντας χρήση των Εξ (3) και Εξ(5) θεωρούμε ότι εκφράζεται ως συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων, των γενικευμένων

5 ταχυτήτων και του χρόνου, T T ( q, q, t), βλ παράρτημα Π Η παράσταση στο δεξί μέλος των Εξ(7), ορίζει την γενικευμένη συνιστώσα δύναμης της συντεταγμένης k, που παριστάνεται με Q, δηλαδή k N r Qk F k,,, q k (9) Από τις Εξ (7), Εξ(8) και Εξ(9) καταλήγομε στις εξισώσεις d T T Qk k,,, (0) dt q k qk Όταν όλες οι δυνάμεις προέρχονται από βαθμωτή δυναμική συνάρτηση V ( r, r,, rn, t), δηλαδή F V, τότε έχομε για τις γενικευμένες δυνάμεις r r Q F V k,,, q N N k qk k Η τελευταία έκφραση είναι η μερική παράγωγος της συνάρτησης V ως προς q k, όπου V V ( q, t), δηλαδή τα r έχουν αντικατασταθεί με τις εκφράσεις τους, συναρτήσει των q Επομένως Q k V () q Εφόσον το V δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, οι Εξ(0) γίνονται k d ( T V ) ( T V ) 0 k,,, dt q k qk Ορίζεται η συνάρτηση (του) Lagrage, λαγκρανζιανή (agraga), από τη σχέση L( q, q, t) T ( q, q, t) V ( q, t) Θα δούμε παρακάτω την περίπτωση όπου η δυναμική συνάρτηση έχει μιαν ειδική μορφή εξάρτησης από τις ταχύτητες, οπότε U U ( q, q, t) και τότε L( q, q, t) T( q, q, t) U ( q, q, t) Αυτή είναι η «φυσιολογική» λαγκρανζιανή Oι εξισώσεις κίνησης γίνονται d L L 0 k,,, dt q k qk () Από κάποιους μόνο οι εξισώσεις () της Αναλυτικής Δυναμικής, αναφέρονται ως εξισώσεις (των) Euer- Lagrage ή απλώς εξισώσεις (του) Lagrage ή (του) Euer Άλλοι αναφέρονται και στις (0) με το ίδιο όνομα, εμείς θα ακολουθήσομε αυτή τη συνήθεια Προς τιμήν του Lagrage, χρησιμοποιείται και ο όρος Λαγκρανζιανή Μηχανική (Lagraga Mechacs)

6 Είναι ευνόητο ότι οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης για συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα, προκύπτουν από τις ανωτέρω γενικής μορφής εξισώσεις Lagrage, αφού δοθεί η μορφή της λαγκρανζιανής ή/και οι ενεργητικές γενικευμένες συνιστώσες δύναμης, για το μηχανικό σύστημα που εξετάζεται Δηλαδή οι εξισώσεις του Λαγκράνζ είναι ένα είδος «συνταγής» που οδηγεί στις ειδικές (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης για κάθε συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα Μηχανικό σύστημα του οποίου η κίνηση καθορίζεται από λαγκρανζιανή, χωρίς πρόσθετες γενικευμένες συνιστώσες δύναμης, συνήθως λέγεται λαγκρανζιανό σύστημα Τα παραπάνω που αναφέρονται στην περίπτωση μη ύπαρξης δεσμών, έχουν την αξία τους, εκτός των άλλων και ένεκα του γεγονότος ότι η μορφή των εξισώσεων Euer- Lagrage δεν εξαρτάται από το ποιες είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες Η αξία όμως της ύπαρξης τέτοιων εξισώσεων είναι μεγαλύτερη όταν υπάρχουν δεσμοί Στην περίπτωση ύπαρξης ολόνομων δεσμών μπορούμε να έχομε τις εξισώσεις Lagrage και τις ειδικές για το σύστημα εξισώσεις κίνησης, ανεξάρτητες των δυνάμεων των δεσμών Συμπληρώνομε εδώ ότι, στα πλαίσια της Κλασικής Μηχανικής, μπορούμε να βρούμε λαγκρανζιανές με τη συνταγή της φυσιολογικής λαγκρανζιανής, L T V ή L T U, για τις συνήθεις βασικές μακροσκοπικές δυνάμεις του ηλεκτρομαγνητισμού και της (νευτώνειας) βαρύτητας Αυτό γίνεται διότι αυτές οι δυνάμεις μπορούν να προκύψουν με τον γνωστό τρόπο, από δυναμική συνάρτηση, V ( q, t) ή U ( q, q, t) Αυτό δεν μπορεί να γίνει για όλες τις περιπτώσεις μη βασικών μακροσκοπικών δυνάμεων Όμως μπορεί να δειχτεί ότι υπό ορισμένες προϋποθέσεις, μπορούμε να βρούμε λαγκρανζιανές και για συστήματα στα οποία δεν μπορεί να εφαρμοστεί η συνταγή L T V, L T U Και σε αυτή την περίπτωση οι (ειδικές) εξισώσεις κίνησης του συστήματος προκύπτουν από τις εξισώσεις Lagrage Θα δούμε κάποιες λεπτομέρειες παρακάτω Σημειώνομε το εξής: Έστω ότι για κάποιες γενικευμένες συντεταγμένες ισχύουν οι εξισώσεις Lagrage, αν χρησιμοποιηθεί μετασχηματισμός μεταξύ αυτών των συντεταγμένων και νέων γενικευμένων συντεταγμένων ίδιου πλήθους (όπου μπορεί να εισέρχεται και ο χρόνος) τότε ισχύουν οι εξισώσεις Lagrage και στο νέο σύστημα Δηλαδή δεν είναι ανάγκη να ξεκινά κάποιος από καρτεσιανές συντεταγμένες, αρκεί φυσικά να ξέρει τις εκφράσεις για την λαγκρανζιανή και τις γενικευμένες δυνάμεις στις αρχικές συντεταγμένες Αυτό είναι αναμενόμενο αφού οι εξισώσεις έχουν την ίδια μορφή για κάθε σύνολο συντεταγμένων Είναι καλό να κάνομε κάποια σχόλια για τις διάφορες παραγώγους και τα σύμβολά τους d Το σύμβολο της παραγώγισης, στη συνήθη πρακτική, δηλώνει την παράγωγο ως dx προς x συνάρτησης G G( x) η οποία εξαρτάται από μια μόνο μεταβλητή, την x Αν η συνάρτηση εξαρτάται από πολλές μεταβλητές τότε χρησιμοποιείται το σύμβολο της μερικής παραγώγου που σχετίζεται με μια συγκεκριμένη μεταβλητή (οι άλλες θεωρούνται σταθερές) Για τη συνάρτηση δυο μεταβλητών G G( x, y) έχομε τις μερικές G( x, y) G( x, y) παραγώγους, x y Στην Αναλυτική Μηχανική τα πράγματα είναι λίγο διαφορετικά Ας υποθέσομε ότι έχομε μονοδιάστατο θεσικό χώρο και ότι υπάρχει μια δυναμική συνάρτηση, δηλαδή μια συνάρτηση της θέσης, του χρόνου και της ταχύτητας, F F( q, q, t) Τέτοια συνάρτηση είναι και η λαγκρανζιανή, L L( q, q, t) Τα μεγέθη q, q είναι, άγνωστες στην αρχή, συναρτήσεις του χρόνου Η συγκεκριμένη εξάρτησή τους από το χρόνο θα προσδιοριστεί από τη λύση του προβλήματος Έχομε q q( t), q q ( t), αυτό σημαίνει ότι για τη

7 συνάρτηση F έχομε, F F q( t), q( t), t), δηλαδή η F εξαρτάται άμεσα από τον F χρόνο και έμμεσα από αυτόν μέσω των q( t), q ( t) Η έκφραση δηλώνει την μερική q παράγωγο της F( q, q, t) F q( t), q ( t), t) ως προς q, των μεταβλητών q, t ή της F θεωρουμένων σταθερών Η έκφραση δηλώνει τη μερική παράγωγο ως προς το χρόνο t της F( q, q, t), των μεταβλητών q, q θεωρουμένων σταθερών Μέχρι εδώ κινούμαστε στα γνωστά περί παραγώγων Ας έλθομε τώρα στην έκφραση d F ( q, q, t ) Στην περίπτωση dt της Αναλυτικής Δυναμικής η έκφραση αυτή δεν σημαίνει ότι υπάρχει εξ αρχής εξάρτηση μόνο από το χρόνο, αλλά ότι αυτό συμβαίνει, αφού ληφθούν υπόψη και η άμεση και οι έμμεσες εξαρτήσεις από αυτόν Γι αυτό αυτή λέγεται ολική παράγωγος ως προς το χρόνο d F q( t), q ( t), t F F F Προφανώς έχομε τη σχέση q q dt q q t Θα δούμε παρακάτω ότι τα πράγματα γίνονται λίγο πιο πολύπλοκα αν υπάρχει εξάρτηση (δεσμευτική σχέση) μεταξύ των συντεταγμένων θέσης και ίσως και του χρόνου Αξίζει να τονίσομε ότι, η «συνταγή» L T U, όταν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, αυτό μπορεί να γίνει, ανεξάρτητα από το αν το σύστημα περιγραφής είναι αδρανειακό ή όχι Όμως πρέπει να ξέρομε πώς να υπολογίσομε το U και το στο μη αδρανειακό σύστημα Επίσης τονίζομε ότι, ανεξάρτητα από το σύστημα αναφοράς και την επιλογή των συντεταγμένων, η λαγκρανζιανή έχει την ίδια τιμή στα ίδια σημεία του χώρου την ίδια χρονική στιγμή, δηλαδή είναι αναλλοίωτη ποσότητα ως προς την τιμή, ενώ η μορφή της, γενικώς, αλλάζει Θα δούμε ότι πολλές λαγκρανζιανές οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις κίνησης, αλλά αυτό είναι άλλο θέμα Επειδή το μέγεθος U είναι γνωστό, συνήθως, σε αδρανειακά συστήματα, προτιμούμε πρώτα να γράφομε την λαγκρανζιανή σε αδρανειακό σύστημα και μετά με μετασχηματισμό να τη βρίσκομε για οποιοδήποτε σύστημα, αδρανειακό ή όχι Πολλές φορές ξεκινούμε και με καρτεσιανές συντεταγμένες, παρόλο που ούτε αυτό είναι απαραίτητο 3 Φορμαλισμός με δεσμούς Α Δυνάμεις δεσμών Όπως είπαμε, οι δεσμοί ασκούν δυνάμεις και περιορίζουν την κίνηση μηχανικού συστήματος Οι δυνάμεις αυτές των δεσμών, δεν έχουν γνωστή άμεση εξάρτηση από τη θέση, τις ταχύτητες και το χρόνο, ενώ αυτό ισχύει για τις ενεργητικές δυνάμεις, οι οποίες είναι γνωστές συναρτήσεις της γενικής μορφής, F F ( r, r, t) Θα δούμε ότι από τις

8 σχέσεις των δεσμών (για την περίπτωση ολόνομων ή ανολόνομων δεσμών) μπορούμε να έχομε την άμεση εξάρτηση των δυνάμεων των δεσμών μόνο από τη θέση ενώ η εξάρτηση από το χρόνο δεν προσδιορίζεται από τις σχέσεις των δεσμών αλλά για την εύρεση αυτής της εξάρτησης χρειάζεται η λύση του συστήματος Σε αυτή την περίπτωση θα δούμε ότι δεν εμφανίζεται άμεση εξάρτηση από τις ταχύτητες, αλλά σε μια γενίκευση εξισώσεων δεσμών όπου υπάρχουν ταχύτητες όχι σε ανολόνομη μορφή, τότε μπορούμε να βρούμε και την άμεση εξάρτηση από τις ταχύτητες, χωρίς τη λύση του προβλήματος Με αυτή την έννοια οι δυνάμεις δεσμών λέμε ότι εξαρτώνται από την συγκεκριμένη πραγματική κίνηση που εκτελεί το σύστημα, επομένως πρέπει να βρεθεί η συγκεκριμένη λύση του συστήματος για να προσδιοριστούν οι δυνάμεις των δεσμών Σημειώστε ότι αν δοθούν η θέση, οι ταχύτητες και ο χρόνος τότε οι ενεργητικές δυνάμεις είναι καθορισμένες, για τον προσδιορισμό τους δε χρειάζεται να βρεθεί συγκεκριμένη πραγματική κίνηση του συστήματος Όμως, για κάποιο σύστημα υλικών σημείων όπου υπάρχουν δεσμοί, αυτό δεν ισχύει Δηλαδή για τις ίδιες θέσεις, ταχύτητες και χρόνο οι δυνάμεις των δεσμών μπορεί να είναι διαφορετικές Θυμηθείτε ότι μπορεί στο ίδιο σύστημα σωματίων οι δεσμοί να είναι ίδιοι αλλά οι ενεργητικές δυνάμεις να είναι διαφορετικές και επομένως, ακόμη και για ίδιες αρχικές συνθήκες, οι κινήσεις είναι διαφορετικές Οφείλομε να τονίσομε ότι οι δυνάμεις των δεσμών, σε αντίθεση με τις ενεργητικές δυνάμεις, μηδενίζονται όταν δεν υπάρχουν δεσμοί Επίσης οι θέσεις και ταχύτητες που υπάρχουν στις σχέσεις που δίνουν τις δυνάμεις δεσμών, είναι τέτοιες που να πληρούν τις σχέσεις των δεσμών, δηλαδή δεν είναι τόσο αυθαίρετες όπως είναι στην περίπτωση των ενεργητικών δυνάμεων Όπως και στα προηγούμενα, θα ξεκινήσομε με καρτεσιανές συντεταγμένες Ας υποθέσομε ότι έχομε σύστημα Ν σωματίων που περιγράφονται με Ν διανύσματα θέσης ( r, r,, r N ) Υποθέτομε ότι υπάρχουν K ολόνομοι και K μη ολόνομοι δεσμοί Οι δεσμευτικές σχέσεις είναι K K το πλήθος, ισχύει K K 3N Τις κατατάσσομε έτσι που οι πρώτες K να είναι αυτές των μη ολόνομων δεσμών και οι υπόλοιπες K αυτές των ολόνομων Οι σχέσεις για τους ολόνομους δεσμούς σε ολοκληρωμένη μορφή (γεωμετρική μορφή) είναι, f ( r, r,, r, t) 0 K, K,, K K K K 3N N (3) Οι εξισώσεις μπορούν να γραφούν ως συναρτήσεις των καρτεσιανών συνιστωσών θέσης και του χρόνου αφού έχομε, ( r, r,, r, t) x ( x, x,, x, t) (4) N 3N Θα περιοριστούμε στην περίπτωση που οι K μη ολόνομοι δεσμοί εκφράζονται με διαφορικές εξισώσεις γραμμικές ως προς τις παραγώγους πρώτης τάξεως ή στην αντίστοιχη μορφή με εξισώσεις Pfaff (είναι ανολόνομοι δεσμοί)

9 Μπορούμε να γράψομε τις δεσμευτικές σχέσεις με τις καρτεσιανές συντεταγμένες στην ολοκληρωμένη μορφή για την περίπτωση των ολόνομων δεσμών, και για τα δυο είδη δεσμών στη μορφή με παραγώγους πρώτης τάξεως (ή στη μορφή Pfaff): f ( x, x,, x, t) 0 3N f f x = A ( x, t) x A ( x, t) 0 3N 3N x t f f dx d t= A ( x, t)d x A ( x, t)dt 0 3N 3N x t f f A ( x, t) A ( x, t) K, K,, K K x t (5) 3N 3N A ( x, t) x A ( x, t)=0 A ( x, t)d x A ( x, t)dt 0,,, K K K 3 N Διαλέξαμε την παραπάνω αρίθμηση των δεσμευτικών σχέσεων αλλά κάποιος μπορεί να διαλέξει κάποιαν άλλη Το σύνολό των δεσμευτικών σχέσεων είναι K K Οι K το πλήθος μη ολόνομες σχέσεις δεν είναι ολοκληρώσιμες Οι σχέσεις της πρώτης σειράς αποτελούν γεωμετρικούς δεσμούς και οι αντίστοιχες δυνάμεις δεσμών λέγονται δυνάμεις γεωμετρικού δεσμού, μπορούμε να τις λέμε και γεωμετρικές δυνάμεις Όλες οι άλλες σχέσεις δεσμών αποτελούν κινηματικούς δεσμούς και οι αντίστοιχες δυνάμεις δεσμών λέγονται δυνάμεις κινηματικού δεσμού ή κινηματικές δυνάμεις Στην περίπτωση ολόνομων δεσμών οι δεσμοί μπορεί να είναι γεωμετρικοί ή κινηματικοί και αντίστοιχα οι δυνάμεις των δεσμών, είναι δυνάμεις γεωμετρικού δεσμού (γεωμετρικές) ή δυνάμεις κινηματικού δεσμού (κινηματικές) Στην περίπτωση των μη ολόνομων δεσμών, οι δεσμοί είναι μόνο κινηματικοί και οι αντίστοιχες δυνάμεις είναι μόνο δυνάμεις κινηματικού δεσμού (κινηματικές) Τονίζομε ξανά, ότι στην περίπτωση των ολόνομων δεσμών οι ολοκληρωμένες εκφράσεις των δεσμών (γεωμετρικές μορφές) είναι ισοδύναμες με τις αντίστοιχες διαφορικές μορφές τους (κινηματικές μορφές) Το πολύ που μπορεί να διαφέρουν είναι κατά μια σταθερά Δηλαδή από τις γεωμετρικές μορφές μπορούμε να βρούμε με παραγώγιση ή διαφόριση τις κινηματικές μορφές Αντίστροφα, με ολοκλήρωση μπορούμε να κάνομε το αντίθετο οπότε το πολύ να έχομε και μια προσθετική σταθερά Η σταθερά έχει τιμή που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες του χρονικά εξελισσόμενου συστήματος Εννοείται ότι κατά

0 την ανωτέρω διαδικασία, μπορεί οι δεδομένες κινηματικές μορφές να μην είναι ολικά διαφορικά ή ολοκληρώσιμες Σε αυτή την περίπτωση θα χρειαστεί να πολλαπλασιαστούν επί ολοκληρωτικούς παράγοντες πριν την ολοκλήρωση ή ακόμη αν έχομε πολλές εξισώσεις, να χρειαστεί να ληφθούν και συνδυασμοί τους και μετά να ολοκληρωθούν Δηλαδή στην περίπτωση που υπάρχει ολοκληρωσιμότητα πάντα μπορούμε να καταλήξομε σε σχέσεις που περιέχουν ολικά διαφορικά και τελικώς σε γεωμετρικές μορφές Ας ξεκινήσομε με την περίπτωση ολόνομου δεσμού, όπου έχομε μόνο ένα σωμάτιο το οποίο μπορεί να κινείται στον τρισδιάστατο (θεσικό) χώρο και είναι δέσμιο να βρίσκεται συνεχώς πάνω σε μια δισδιάστατη επιφάνεια αυτού του θεσικού χώρου (γεωμετρικός δεσμός) και δεν υπάρχει τριβή Η μη ύπαρξη τριβής σημαίνει ότι η δύναμη ένεκα του δεσμού, είναι κάθετη στην δισδιάστατη επιφάνεια, και κατά τις δυνατές μετατοπίσεις το έργο της δύναμης του δεσμού είναι μηδέν, επομένως ισχύει η αρχή D Aembert Αυτή η επιφάνεια παριστάνεται με μια μοναδική δεσμευτική σχέση την f ( r, t) f ( x, x, x3, t) 0 και έχομε το Σχ() Η επιφάνεια στο θεσικό χώρο, γενικώς, κινείται και μπορεί να μεταβάλλει σχήμα με το χρόνο Το Σχ () αναφέρεται σε δυο διαφορετικές σταθερές τιμές του χρόνου t, t t t Σχήμα Δισδιάστατη επιφάνεια δεσμού σε τρισδιάστατο θεσικό χώρο για ένα (δέσμιο) σωμάτιο

f f f Το διάνυσμα με τις τρεις συνιστώσες,, είναι διάνυσμα κάθετο στην x x x3 επιφάνεια στη θέση που φαίνεται στο σχήμα, υπό την προϋπόθεση ότι στη συγκεκριμένη επιφάνεια και θέση τη δεδομένη χρονική στιγμή, οι παραπάνω μερικές παράγωγοι δεν είναι όλες μηδέν και επίσης όλες είναι πεπερασμένες Μπορούμε πάντα να γράψομε τη σχέση του συνδέσμου έτσι που αυτές οι παράγωγοι να μην είναι μηδέν Για παράδειγμα, η σχέση fa ( x, x, x3) ( sx sx s3x3 ) 0 και η σχέση fb ( x, x, x3) ( sx sx s3x3 ) 0 με ( s, s, s3 ) σταθ, παριστάνουν και οι δυο τον ίδιο γεωμετρικό δεσμό, δεσμεύουν το σωμάτιο να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετο στο διάνυσμα ( s, s, s 3) Όμως πάνω στη συγκεκριμένη επιφάνεια ενώ fb x fa s 0,,3 (6) x 3 3 ( s x s x s x ) x 0,,3 (7) Επομένως για το σκοπό μας είναι χρήσιμη για την περιγραφή του παραπάνω δεσμού, μόνο η μια από τις δυο παραπάνω εκφράσεις, δηλαδή η έκφραση, f ( x, x, x ) ( s x s x s x ) 0 a 3 3 3 Μια άλλη έκφραση, η f x x x s x s x s x δε μπορεί να / c(,, 3) ( 3 3) 0 χρησιμοποιηθεί διότι οι παράγωγοί της ως προς τα x απειρίζονται Η δύναμη του δεσμού F c, θα είναι συγγραμμική με το κάθετο διάνυσμα και θα ισχύει f Fc ( t),,3 ή Fc ( t) f Βλέπομε ότι κάναμε ένα βήμα για τον x προσδιορισμό παθητικής δύναμης δηλαδή δύναμης δεσμού Η δύναμη είναι ίση με το γινόμενο μιας άγνωστης συνάρτησης του χρόνου (πολλαπλασιαστής Λαγκράνζ) ( t) επί την κλίση της δεδομένης (γνωστής) έκφρασης της οποίας ο μηδενισμός καθορίζει τον ολόνομο δεσμό Αυτά γενικεύονται και για σύστημα πολλών σωματίων και με πολλούς ολόνομους δεσμούς Τώρα θα δούμε τι ισχύει για τις παθητικές δυνάμεις στην κάπως πιο γενική περίπτωση που οι δεσμοί μπορεί να είναι ολόνομοι αλλά μπορεί να είναι και ανολόνομοι Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι εξισώσεις των δεσμών και στις δυο αυτές περιπτώσεις, μπορεί να γραφτούν στην κινηματική τους μορφή, 3N A ( x, t)d x A ( x, t)dt 0,,, M M είναι το πλήθος των δεσμών Θα δούμε παρακάτω ότι αν ένα σύστημα αποτελείται από N σωμάτια τα οποία υπόκεινται σε δεσμούς με δεσμευτικές ανολόνομες (ή ολόνομες) σχέσεις (κινηματικοί

δεσμοί), τότε αν οι 3N συνιστώσες δύναμης για κάθε δεσμό είναι F c, θα ισχύουν: Fc Fc Fc 3N ( t) ή Fc ( x, t) ( t) A ( x, t) =,,,3 N,,, M A A A 3N Από την κάθε μια σχέση για τους δεσμούς θέτομεdt 0 οπότε έχομε τις σχέσεις 3N A ( x, t)δx 0,,, M Αυτές είναι σχέσεις δυνατών μεταβολών αφού dt 0 Στην περίπτωση των ολόνομων ή ανολόνομων δεσμών στη μορφή εξισώσεων Pfaff, αυτές οι σχέσεις είναι οι κατάλληλες σχέσεις που μαζί με τις εξισώσεις Λαγκράνζ, μας λύνουν το μηχανικό πρόβλημα Πρόκειται για δεσμευτικές σχέσεις μόνο μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων Κάτι τέτοιο δεν ισχύει αν οι δεσμοί δεν είναι της μορφής Pfaff ή δεν μπορούν να αναχθούν σε τέτοια μορφή Συγκεκριμένα, ενώ για περιπτώσεις εκτός Μηχανικής οι σχέσεις δυνατών μεταβολών είναι οι κατάλληλες να χρησιμοποιηθούν με τις εξισώσεις Λαγκράνζ, αυτό δεν ισχύει γενικώς για τη Μηχανική Τονίζομε ότι στη Μηχανική χρειάζεται η δεσμευτική σχέση, δυνατή μεταβολή, η οποία θα βρεθεί με χρήση των εξισώσεων των δεσμών, αλλά λαμβάνοντας υπόψη ότι το συνολικό έργο των δυνάμεων δεσμού για κάθε έναν δεσμό είναι μηδέν, δηλαδή 3N Fc ( x, t)δx 0,,, M Επομένως το πρόβλημα που τίθεται στη Μηχανική είναι, με χρήση των δεσμευτικών σχέσεων, να βρούμε τις αποδεκτές σχέσεις δυνατών μεταβολών, που στην ουσία είναι σχέσεις μεταξύ μόνον δυνατών μετατοπίσεων Στην ουσία χρειάζεται να βρούμε πως σχετίζονται οι δυνάμεις των δεσμών με γνωστές εκφράσεις που υπολογίζονται από τις δεδομένες δεσμευτικές (με πολλαπλασιαστικούς άγνωστους παράγοντες, ( t) ) Για το σκοπό αυτό ακολουθούμε την ακόλουθη διαδικασία: Πολλαπλασιάζομε την κάθε μια από τις προηγούμενες σχέσεις επί μια αυθαίρετη συνάρτηση του χρόνου ( t) και αφαιρούμε το αποτέλεσμα από την κάθε μια από τις τελευταίες, οπότε βρίσκομε, 3N F ( x, t) ( t) A ( x, t) δx 0 =,,, M Επειδή για κάθε δεσμό ισχύει μια c δεσμευτική σχέση μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων δx, αυτό σημαίνει ότι μόνο 3N από τις μετατοπίσεις δx είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες Επομένως μια από αυτές τις δυνατές μετατοπίσεις θα εξαρτάται από τις άλλες Ας λάβομε την πρώτη, δηλαδή την δx να εξαρτάται από τις υπόλοιπες Αφού το ( t) είναι αυθαίρετο μπορούμε να το διαλέξομε έτσι ώστε να ισχύει Fc ( x, t) ( t) A( x, t) 0, οπότε 3N καταλήγομε στη σχέση F ( x, t) ( t) A ( x, t) δx 0 c Σε αυτή τη σχέση τα δx είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα, επομένως με τη γνωστή μεθοδολογία, εύκολα συμπεραίνομε ότι F ( x, t) ( t) A ( x, t) 0 =,3,,3N Δηλαδή τελικώς ισχύουν c F ( x, t) ( t) A ( x, t) =,,,3 N,,, M c

3 Αυτές είναι οι σχέσεις μεταξύ των δυνάμεων των δεσμών και μεγεθών που βρίσκονται από τις δεδομένες δεσμευτικές σχέσεις Αυτό σημαίνει πως αντί να έχομε τις δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μεταβολών 3N Fc ( x, t)δx 0,,, M, στις οποίες οι δυνάμεις δεσμών δεν μας είναι γνωστές συναρτήσεις, καταλήγομε στις παρακάτω δεσμευτικές σχέσεις για τις δυνατές μετατοπίσεις 3N A ( x, t)δx 0,,, M (8) όπου τα υπόλοιπα μεγέθη είναι γνωστές συναρτήσεις Αυτές είναι οι λεγόμενες πρόσθετες ή βοηθητικές συνθήκες (sde codtos, auxary codtos) που συνδέουν τις δυνατές μετατοπίσεις Τονίζομε ότι, η Αναλυτική Μηχανική ασχολείται κυρίως με συστήματα για τα οποία οι δυνάμεις του κάθε δεσμού δεν παράγουν έργο κατά μια δυνατή μετατόπιση του συστήματος Επίσης, συνήθως, οι δεσμοί μπορεί να εκφράζονται με διαφορικές εξισώσεις που εξαρτώνται γραμμικά από τις ταχύτητες ή έχουν την ισοδύναμη μορφή εξισώσεων Pfaff Υπάρχει γενίκευση στη Μηχανική που οι εξισώσεις των δεσμών είναι πιο γενικές, της μορφής g ( q, q, t) 0, όπου η εξάρτηση από τις ταχύτητες μπορεί να είναι μη γραμμική Σε αυτή την περίπτωση η δυνατή μεταβολή που προκύπτει άμεσα από τις εξισώσεις αυτές θέτοντας απλώς dt 0, μπορεί να μην είναι η κατάλληλη να χρησιμοποιηθεί ως βοηθητική σχέση Πρέπει με κάποιο τρόπο να βρούμε πως από τη σχέση του δεσμού θα βρούμε τη δύναμη του δεσμού, με έναν άγνωστο παράγοντα που εξαρτάται από το χρόνο, όπως αναφέραμε στα προηγούμενα Θα αναφερθούμε σε αυτό το θέμα αργότερα Η τελευταία γενίκευση μπορεί να περιλάβει ως μερική περίπτωση και τους δεσμούς που είναι γραμμικοί ως προς τις ταχύτητες Β Μετάβαση σε γενικευμένες συντεταγμένες Στη συνέχεια θα δείξομε ότι για κάθε έναν ολόνομο δεσμό, οι δυνάμεις του δεσμού, δηλαδή οι παθητικές δυνάμεις, μπορεί να απαλειφθούν από τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης, πράγμα που απλουστεύει κατά πολύ την αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων Συγχρόνως, για κάθε ολόνομο δεσμό, μπορεί να μειωθεί κατά ένα η διάσταση του θεσικού χώρου, οπότε έχομε λιγότερες γενικευμένες συντεταγμένες Θα υποθέσομε και πάλι ότι έχομε N σωμάτια και M σχέσεις δεσμών του παραπάνω τύπου, εκ των οποίων οι K είναι ολόνομοι και οι K είναι μη ολόνομοι, M K K 3N Έχομε δει ότι οι ολόνομοι δεσμοί πλήθους K περιορίζουν τον προσβάσιμο θεσικό χώρο ενός συστήματος και τον κάνουν να έχει διάσταση 3N K Με άλλα λόγια, ο αναγκαίος και ικανός αριθμός (γενικευμένων) συντεταγμένων που χρειάζεται για να καθορίσει τη θέση ενός συστήματος είναι 3N K Αυτές οι συντεταγμένες λέγονται από μερικούς, γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες, αυτός ο όρος είναι βολικός και θα τον χρησιμοποιούμε σε αυτό το σύγγραμμα Πιο απλά, αυτές οι συντεταγμένες αποτελούν το ελάχιστο πλήθος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης του συστήματος Τέτοιες συντεταγμένες μπορεί να είναι διάφορα φυσικά μεγέθη, όχι κατ ανάγκη με διαστάσεις μήκους Ενώ το πλήθος τους για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση είναι το

4 παραπάνω, πρακτικώς, δεν υπάρχει περιορισμός για την επιλογή αυτών των συνόλων συντεταγμένων Ξεκινούμε και πάλι από καρτεσιανές συντεταγμένες και για τους K ολόνομους δεσμούς κρατούμε μόνο τη γεωμετρική σχέση Σύμφωνα με τα προηγούμενα έχομε f ( x, x,, x, t) 0,,, K 3N 3N 3N A ( x, t) x A ( x, t)=0 (9) A ( x, t)d x A ( x, t)dt 0,,, K K K 3 N Στην περίπτωση των ολόνομων δεσμών, είναι δυνατόν να θεωρήσει κάποιος το σύστημα των εξισώσεων των γεωμετρικών δεσμευτικών σχέσεων πλήθους K (και αν αυτό είναι δυνατόν), να λύσει αυτό το σύστημα έτσι ώστε να εκφραστούν K από τις καρτεσιανές συντεταγμένες συναρτήσει των υπόλοιπων 3N K Στη συνέχεια αντικαθιστά στη λαγκρανζιανή και έτσι η λαγκρανζιανή γίνεται συνάρτηση λιγότερων συντεταγμένων Αυτή είναι άμεση ενσωμάτωση των (ολόνομων) δεσμευτικών σχέσεων Ανεξάρτητα από το αν ακολουθηθεί αυτή η μέθοδος ή όχι, οι απαραίτητες (γνήσιες) συντεταγμένες που χρειάζονται για τον καθορισμό της θέσης του συστήματος στον θεσικό χώρο είναι λιγότερες από τις αρχικές, όπως ήδη ξέρομε από τα προηγούμενα Με αυτές τις λιγότερες συντεταγμένες και με τη χρήση των σχέσεων των δεσμών μπορούμε να βρούμε τη θέση οποιουδήποτε σωματίου του συστήματος Αυτό, σε πολλές περιπτώσεις, δεν είναι απαραίτητο να γίνει Είναι ευνόητο ότι ο χώρος των γνήσιων συντεταγμένων θέσης είναι υπόχωρος του αρχικού (πλήρους) θεσικού χώρου Μπορεί να γίνει μετάβαση σε άλλες γενικευμένες συντεταγμένες πριν από οποιαδήποτε διαδικασία που θα οδηγήσει στη μείωση του πλήθους των συντεταγμένων θέσης Αν ακολουθηθεί αυτή τη διαδικασία, πρέπει να γίνει και μετασχηματισμός των σχέσεων των δεσμών Στη συνέχεια μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος που αναφέραμε στην αρχή για τις καρτεσιανές συντεταγμένες Όμως αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται σε απλές περιπτώσεις αλλά δεν χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις με πολλές γεωμετρικές δεσμευτικές σχέσεις 0 Φανταστείτε ένα στερεό σώμα το οποίο έχομε προσεγγίσει να αποτελείται από N 0 υλικά σημεία Αν γράψομε όλους τους γεωμετρικούς δεσμούς μεταξύ όλων των σημείων που σχετίζονται με το γεγονός ότι οι αποστάσεις τους είναι σταθερές ανεξάρτητα από τη θέση του συστήματος στο χώρο, καταλαβαίνετε ότι θα έχομε ένα τεράστιο πλήθος σχέσεων, είναι αδύνατο να εργαστούμε με κάτι τέτοιο Θυμηθείτε ότι η θέση ενός στερεού σώματος στο χώρο των τριών διαστάσεων καθορίζεται από έξι ανεξάρτητες 0 συντεταγμένες, δηλαδή οι εξισώσεις δεσμών είναι 30 6 Κανείς δεν ενδιαφέρεται να ξέρει τη θέση του καθενός υλικού σημείου του στερεού, παρόλο που μπορεί να τη βρει Δίνομε απλώς τη διαδικασία για αυτή την περίπτωση Η μέθοδος που θα αναπτύξομε είναι πιο βολική Θυμίζομε ότι οι μη ολόνομοι δεσμοί περιορίζουν την κινηματική του συστήματος αλλά δεν περιορίζουν το θεσικό χώρο Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να χρησιμοποιηθούν οι κινηματικές εξισώσεις των μη ολόνομων δεσμών για να περιορίσομε το πλήθος των απαραίτητων συντεταγμένων για τον καθορισμό της θέσης του συστήματος κάθε χρονική

5 στιγμή Το πλήθος των συντεταγμένων είναι το ίδιο με ή χωρίς τους μη ολόνομους δεσμούς Εισάγομε τους σχετικά αυθαίρετους καλά συμπεριφερόμενους αντιστρεπτούς μετασχηματισμούς συντεταγμένων θέσης: q q ( x, x,, x, t) 3N x x ( q, q,, q, t),,,3 N 3N (30) Εφόσον υπάρχουν K ανεξάρτητοι ολόνομοι γεωμετρικοί δεσμοί και αντίστοιχες εξισώσεις, είναι βολικό να διαλέξομε K γενικευμένες συντεταγμένες με τέτοιο τρόπο που να εξαρτώνται από τις x,,,3n μόνον μέσω των γεωμετρικών σχέσεων των δεσμών Επιλέγομε να διαλέξομε τις K τελευταίες συντεταγμένες έτσι που να ισχύουν, q x x x f f f K (3) 3N K (,,, 3N ) K, K,, K K,,, () είναι αυθαίρετες, καλά συμπεριφερόμενες, συναρτήσεις Μπορεί κάποιος να διαλέξει τις () να συμπίπτουν με τις fk, αλλά αυτό δεν είναι πολλές φορές το πιο βολικό Δηλαδή, υπάρχουν πολλοί τρόποι να διαλέξει κάποιος αυτές τις συναρτήσεις, οπότε διαλέγει τις πιο κατάλληλες για την περίπτωση Πρέπει να τονίσομε ξανά ότι στην πράξη σχεδόν ποτέ δε χρειάζεται να γραφτούν οι παραπάνω σχέσεις, μας αρκεί το ότι υπάρχουν τέτοιες σχέσεις Το ότι δεν χρειάζεται να γραφτούν είναι και ένα από τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθοδολογίας Υποθέτομε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις ώστε οι (3) να μπορεί να αντιστραφούν, οπότε καταλήγομε στις σχέσεις f f q q q K (3) ( K, K,, K K ),,, Επιλέγομε τις γενικευμένες συντεταγμένες που ορίζονται από τις (3) οπότε, εφόσον ισχύουν οι γεωμετρικοί δεσμοί που φαίνονται στην πρώτη σειρά των (9), βρίσκομε q 0,0,,0,,, K (33) K Αυτό σημαίνει ότι οι K τελευταίες γενικευμένες συντεταγμένες είναι σταθερές, δηλαδή είναι ανεξάρτητες του χρόνου, άρα δεν μεταβάλλονται κατά την κίνηση του συστήματος Επομένως, καταλήξαμε στο ότι χρειάζεται να βρούμε πως εξελίσσονται στο χρόνο οι άλλες, πρώτες 3N K, συντεταγμένες, q, q,, q Αν ενδιαφερόμαστε για τις θέσεις όλων των σωματίων του συστήματος, μπορούμε να χρησιμοποιήσομε τη δεύτερη σειρά από τις σχέσεις (30) Όπως είπαμε, αυτό συνήθως δε χρειάζεται να γίνει Ουσιαστικά με τον παραπάνω τρόπο, έγινε απαλειφή συντεταγμένων και ο θεσικός χώρος τώρα έχει διάσταση 3N K 3N, δηλαδή μικρότερη από τη διάσταση 3N, του αρχικού «πλήρους» χώρου Αυτό είναι ένα είδος ενσωμάτωσης των δεσμών (embeddg of costrats), όπου γίνεται μείωση του πλήθους των συντεταγμένων θέσης Παραμένουν οι μη ολόνομοι δεσμοί του συστήματος οι οποίοι δεν μπορούν να ενσωματωθούν με τον ανωτέρω τρόπο, δηλαδή δεν μπορούν να περιορίσουν τη διάσταση του θεσικού χώρου, διότι δεν υπάρχουν για αυτούς γεωμετρικές σχέσεις οι οποίες να χρησιμοποιηθούν για την παραπάνω διαδικασία που ακολουθήθηκε για τους ολόνομους

6 δεσμούς Συνοψίζομε λέγοντας ότι, ξεκινήσαμε με σύστημα που είχε ολόνομους και μη ολόνομους δεσμούς, ενσωματώσαμε τους ολόνομους δεσμούς, ουσιαστικά τους απαλείψαμε, και καταλήξαμε σε περιγραφή της εξέλιξης του συστήματος με λιγότερες γενικευμένες συντεταγμένες Οι θεσικοί βαθμοί ελευθερίας περιορίστηκαν στους 3N K 3N Στο νέο θεσικό χώρο οι (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες δεν υπόκεινται στους ολόνομους δεσμούς αλλά μόνο στους μη ολόνομους Στη συνέχεια θα μετασχηματίσομε διάφορες σχέσεις έτσι ώστε να περιέχουν μόνο τις νέες (γνήσιες) συντεταγμένες Εφόσον οι τελευταίες K γενικευμένες συντεταγμένες είναι σταθερές μπορούμε να γράψομε, q,,, K, οπότε από τις δεύτερες των σχέσεων (30) βρίσκομε K x x ( q, q,, q,,,,, t),,,3n (34) K Μπορεί κάποιος να καταλάβει από την αντιστροφή των (34), ότι οι σταθερές είναι δυνατόν να προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες Διαφορίζοντας αυτές τις σχέσεις καταλήγομε στις x x dx dqk d t,,,3n q t (35) k k Παγώνομε το χρόνο οπότε από τις τελευταίες βρίσκομε για τις δυνατές μετατοπίσεις: x δx δ qk,,,3n (36) q k k Οι πιθανές μετατοπίσεις δίνονται από τις σχέσεις των μη ολόνομων δεσμών τύπου Pfaff που φαίνονται στις (9), δηλαδή 3N A ( x, t)d x A ( x, t)dt 0,,, K (37) Λαβαίνομε υπόψη τις (35) και μετά από κάποιες πράξεις βρίσκομε τη μορφή των μη ολόνομων εξισώσεων των δεσμών στις γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες: B ( q, t)d q B ( q, t)dt 0,,, K ή B ( q, t) q B ( q, t) 0,,, K (38) x x όπου B A, B A A 3N 3N k qk t Από την πρώτη σειρά συμπεραίνομε ότι οι δυνατές μετατοπίσεις ικανοποιούν τις σχέσεις,

7 B ( q, t)δq 0,,, K (39) Στα επόμενα θα αλλάξομε συμβολισμό και στη θέση των B, B θα χρησιμοποιούμε ξανά τα σύμβολα που είχαμε με τις καρτεσιανές συντεταγμένες, δηλαδή τα A, A Αν δεν υπάρχουν μη ολόνομοι δεσμοί το σύστημα με τους ενσωματωμένους ολόνομους δεσμούς λέγεται ότι είναι ένα ολόνομο σύστημα με βαθμούς ελευθερίας (δηλαδή χωρίς δεσμούς) Θυμίζομε ότι, μπορεί να δειχτεί πως για το σύμβολο δ, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις, για οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες, συμπεριλαμβανομένων των καρτεσιανών: dδq dq dδq δd q, δ δq dt dt δq είναι οι δυνατές (vrtua) ταχύτητες Οι σχέσεις με τα διανύσματα θέσης των καρτεσιανών συντεταγμένων και τις (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες είναι προφανώς, r r ( q, q,, q, t),,, N (40) q q ( r, r,, r, t),,, N Στην Αναλυτική Μηχανική, μπορούμε να ξεκινήσομε από τη μορφή των μεγεθών, T, V, U, L, Q, συναρτήσει των καρτεσιανών συντεταγμένων σε αδρανειακό σύστημα και να τα μετασχηματίσομε στη μορφή με γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες Φυσικά το ίδιο γίνεται για τους μη ενσωματωμένους δεσμούς Έτσι όλα εκφράζονται συναρτήσει των γνήσιων συντεταγμένων Δεν είναι ανάγκη να ξεκινούμε από καρτεσιανές συντεταγμένες, πολλές φορές έχομε ένα μηχανικό σύστημα εκφρασμένο ήδη σε γενικευμένες συντεταγμένες και στη συνέχεια μπορούμε να προσθέσομε επιπλέον δεσμούς στο σύστημα Γ Αρχή D Aembert σε γενικευμένες συντεταγμένες Η σχέση () είναι η αρχή D Aembert σε καρτεσιανές συντεταγμένες, την N N F p δr F r δr 0 ξαναγράφομε Υποθέτομε ότι οι ολόνομοι δεσμοί έχουν ενσωματωθεί με τον παραπάνω τρόπο, ενώ μπορεί να υπάρχουν μη ολόνομοι δεσμοί Οι θεσικοί βαθμοί ελευθερίας είναι και τόσες είναι και οι (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες Θα μετασχηματίσομε την παραπάνω αρχή ώστε να ισχύει για οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες Για το σκοπό αυτό τα r, F,δr πρέπει να γραφτούν ως συναρτήσεις των q,,,,

8 Ας αρχίσομε με τα δr (δυνατές μετατοπίσεις) Ξεκινούμε από τις Εξ(40) και βρίσκομε r δr δ qα,,, N (4) q α α Αντικαθιστούμε στην παραπάνω ξαναγραμμένη σχέση () και καταλήγομε στην N r δ q ( mr F ) 0 (4) q Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τον όρο που έχει τη δύναμη στην Εξ(4) Ο όρος αυτός είναι το δυνατό έργο των ενεργητικών δυνάμεων Πράγματι από την Εξ(), N δηλαδή την δw F δr, αντικαθιστώντας τις δυνατές μετατοπίσεις από την εξίσωση (4) βρίσκομε, r δw q F q N δ α α α (43) Εννοείται ότι όλα, όπως και οι δυνάμεις, έχουν εκφραστεί συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων q Στη συνέχεια η διαδικασία είναι ίδια με αυτή της παραγράφου Ορίζομε ως γενικευμένη συνιστώσα δύναμης που σχετίζεται με τη συντεταγμένη q την ποσότητα r, N Q F q δw Q δq (44) Στην (44) φαίνεται και η μορφή για το δυνατό έργο με γενικευμένες δυνάμεις και δυνατές μετατοπίσεις Τώρα στην Εξ(4) θα ασχοληθούμε με τον όρο που περιέχει τις επιταχύνσεις (ο όρος αυτός περιέχει τις αναφερόμενες ως αδρανειακές δυνάμεις), έχομε r d r d r r r r (45) q dt q dt q Για τις ταχύτητες έχομε d r r r r q οπότε ισχύουν dt q t r r q q q (46) Για τον τελευταίο όρο στο δεξί μέλος της Εξ(45) έχομε

9 d r r r q dt q q q t q r r (47) q q q t q Εισάγομε τα αποτελέσματα των Εξ(46) και Εξ(47) στην Εξ(45), πολλαπλασιάζομε επί m και αθροίζομε ως προς, οπότε βρίσκομε r d d T T, dt q q N N mr m m q dt q q N η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος των σωματίων είναι T m Εδώ την έχομε μετασχηματίσει ώστε να είναι συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων, T T( q, q, t), βλ παράρτημα Π Η Εξ(4) γίνεται, d T T δ q Q =0 dt q q (48) Αυτή είναι η αρχή του D Aembert για γενικευμένες συντεταγμένες Ξαναθυμίζομε μια γνωστή για την περίπτωση διαδικασία: Αν τα δq είναι όλα αυθαίρετα, μπορούμε να πάρομε ανεξάρτητα σύνολα των δq έτσι που το πρώτο σύνολο να έχει μόνο το δq μη μηδενικό ενώ όλα τα άλλα μηδέν, το δεύτερο σύνολο να έχει το δq μη μηδενικό και όλα τα άλλα μηδέν, κοκ Αυτό οδηγεί σε ανεξάρτητες εξισώσεις Lagrage, της μορφής d T T Q,,,, dt q q (49) Αν οι ασκούμενες (ενεργητικές) δυνάμεις προκύπτουν από δυναμική συνάρτηση που δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, μπορούμε με τον τρόπο που βρήκαμε την Εξ(), να καταλήξομε στις σχέσεις με τη λαγκρανζιανή, Εξ(50) L( q, q, t) T ( q, q, t) V ( q, t) d L L 0,,, dt q q (50)

0 Οι εξισώσεις κίνησης είναι, το πολύ, δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις ως προς το χρόνο Αυτό φαίνεται αν αναπτύξομε τις παραγώγους ως προς το χρόνο Έχομε για την Εξ(49) (ανάλογα ισχύουν για την Εξ(50)), T T T T q q Q ( q, q, t) q q q q tq q (5) Για να είναι δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις πρέπει T det 0 Είναι ευνόητο q q ότι αν δεν προέρχονται όλες οι δυνάμεις από δυναμική συνάρτηση τότε μπορούμε να γράψομε τις εξισώσεις κίνησης στη μορφή L( q, q, t) T( q, q, t) V ( q, t) d L L Q,,, dt q q (5) Θυμίζομε ξανά ότι για το δυνατό έργο των ασκούμενων γενικευμένων δυνάμεων ισχύει αυτό που φαίνεται στη δεύτερη από τις σχέσεις της Εξ(44), που την ξαναγράφομε: δw Q δq (53) Παρατηρούμε και πάλι ότι ένα χαρακτηριστικό των εξισώσεων Euer-Lagrage είναι ότι η μορφή τους δεν εξαρτάται από το ποιες είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες Το άλλο σημαντικό, που έχομε ήδη αναφέρει, είναι το χαρακτηριστικό ότι στην περίπτωση ύπαρξης ολόνομων δεσμών μπορούμε να έχομε τις εξισώσεις κίνησης ανεξάρτητες των δυνάμεων των δεσμών Θα δούμε παρακάτω ότι η λαγκρανζιανή συγκεκριμένου μηχανικού προβλήματος, μπορεί να μετασχηματιστεί κατά τρόπο που να μεταβάλλεται και η τιμή της, εκτός από τη μορφή της, και όμως να οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις κίνησης, δηλαδή περιγράφει το ίδιο πρόβλημα (το ίδιο μηχανικό σύστημα) Ξανατονίζομε ότι δεν είναι εύκολο να προσδιορίσει κάποιος τη λαγκρανζιανή ως προς μη αδρανειακά συστήματα, γι αυτό είναι καλύτερα να ξεκινά από αδρανειακό σύστημα, να προσδιορίζει τα T και V ως προς συντεταγμένες του αδρανειακού συστήματος, στη συνέχεια να εφαρμόζει τον κατάλληλο μετασχηματισμό συντεταγμένων μεταξύ αδρανειακού και μη αδρανειακού συστήματος και να εκφράζει τα T και V συναρτήσει των συντεταγμένων του μη αδρανειακού Μετά εφαρμόζει τη «συνταγή» L T V (54) για να προσδιορίσει τη λαγκρανζιανή Παρόλο που σύμφωνα με όσα είπαμε είναι αυτονόητο ότι οι εξισώσεις Euer-Lagrage έχουν την ίδια μορφή ανεξάρτητα από τις γενικευμένες συντεταγμένες, μπορεί κάποιος να δείξει αυτό με απευθείας υπολογισμό Δηλαδή μα δείξει ότι, κάθε μετασχηματισμός μεταξύ (γενικευμένων) συντεταγμένων,

όπου μπορεί να υπεισέρχεται και ο χρόνος, αφήνει αναλλοίωτη τη μορφή των εξισώσεων Euer-Lagrage 4 Δυναμικά που εξαρτώνται από τις ταχύτητες Ας υποθέσομε ότι έχομε δυναμική συνάρτηση (δυναμικό) που εξαρτάται από τις ταχύτητες (γενικευμένο δυναμικό) και ότι οι γενικευμένες δυνάμεις που προέρχονται από αυτό υπολογίζονται ως εξής U U ( q, q, t) U d U Q,,,, q dt q (55) Η λαγκρανζιανή υπολογίζεται από τη γνωστή σχέση και εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrage, δηλαδή έχομε την αντίστοιχη της Εξ(5), όπου υπάρχουν και δυνάμεις που δεν προέρχονται από την εν λόγω δυναμική συνάρτηση L( q, q, t) T( q, q, t) U ( q, q, t) d L L Q,,, dt q q (56) Οι δυνάμεις που γενικώς προέρχονται από δυναμικό και που μπορεί να εξαρτώνται από τις ταχύτητες ή να μην εξαρτώνται από αυτές, λέγονται μονογενείς δυνάμεις σε αντίθεση με όλες τις άλλες που λέγονται πολυγενείς Με δεδομένο ότι οι δυνάμεις δε μπορεί να εξαρτώνται από τις επιταχύνσεις, προκύπτει πως η εξάρτηση της U από τις ταχύτητες μπορεί να είναι μόνο γραμμική, δηλαδή έχομε τη σχέση U a ( q, t) q a0( q, t) Αντίστροφα, ας υποθέσομε ότι για ένα σύστημα υπάρχει Λαγκρανζιανή της μορφής L T U ( q, q, t) οι προκύπτουσες από αυτήν εξισώσεις Λαγκράνζ είναι: d L L d T T d U U 0 dt q q dt q q dt q q Από αυτές προκύπτουν οι επιμέρους εξισώσεις κίνησης του συστήματος Είναι ευνόητο ότι, επίσης, πρέπει να ισχύουν: d Q dt q q όπου οι δυνάμεις Q προκύπτουν από την U ( q, q, t)

Είναι ευνόητο ότι από τα προηγούμενα προκύπτει ότι, πράγματι, οι δυνάμεις πρέπει να υπολογίζονται από τις Q U d U q dt q 5 Ηλεκτρομαγνητική δύναμη Αδρανειακές δυνάμεις Χαρακτηριστική περίπτωση μονογενούς δύναμης που εξαρτάται από την ταχύτητα είναι η δύναμη Loretz σε φορτισμένο σωμάτιο που κινείται μέσα σε εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Υποθέτομε ότι δεν υπάρχουν άλλου είδους δυνάμεις Αυτή η δύναμη μπορεί να προέλθει από την παρακάτω δυναμική συνάρτηση U U ( q, q, t) και την αντίστοιχη λαγκρανζιανή U eq eq A L m eq eq A (57) όπου e q είναι το φορτίο του σωματίου, η ταχύτητά του, είναι το βαθμωτό δυναμικό και A το διανυσματικό δυναμικό του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου Παίρνοντας ως γενικευμένες συντεταγμένες τις καρτεσιανές συντεταγμένες του σωματίου σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς και γράφοντας τις εξισώσεις του Lagrage, καταλήγομε σε εξισώσεις κίνησης όπου εμφανίζεται η γνωστή δύναμη Loretz F e E ( B) Δηλαδή, αφού λάβομε υπόψη ότι q A E, B A t βρίσκομε ότι mr F e E ( B) (58) q Σημειώνομε πως ανάλογα ισχύουν για τις αδρανειακές δυνάμεις Συγκεκριμένα, αν έχομε ένα σωμάτιο του οποίου η κίνηση περιγράφεται με τις συντεταγμένες ως προς περιστρεφόμενο (μόνο) σύστημα αξόνων (δηλαδή μη αδρανειακό σύστημα), τότε έχομε την παρακάτω δυναμική συνάρτηση και αντίστοιχη λαγκρανζιανή

3 ( ) U m r m r (59) ( ) L m m r m r Βλέπομε και εδώ γραμμική εξάρτηση από τις ταχύτητες, όπως και στην περίπτωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου Υποθέσαμε ότι δεν ασκούνται συνήθεις δυνάμεις στο σωμάτιο, αν υπάρχουν και προέρχονται από δυναμική συνάρτηση αυτή πρέπει να ληφθεί υπόψη κατάλληλα στις ανωτέρω σχέσεις Η ταχύτητα είναι η ταχύτητα ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα, είναι η γωνιακή ταχύτητα του στρεφόμενου συστήματος ως προς το (ακίνητο) αδρανειακό σύστημα και r το διάνυσμα θέσεις ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα Αυτά οδηγούν στις γνωστές εξισώσεις κίνησης, όπου εμφανίζονται το φαινόμενο Coros (χρησιμοποιείται και ο όρος δύναμη Coros) και η φυγόκεντρος δύναμη 6 Ισοδύναμες λαγκρανζιανές Η λαγκρανζιανή καθορίζει κατά μοναδικό τρόπο τις εξισώσεις κίνησης μηχανικού συστήματος αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει Δηλαδή, υπάρχουν πολλές λαγκρανζιανές που οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις κίνησης, αυτές είναι ισοδύναμες λαγκρανζιανές Αυτό είναι αντικείμενο μαθηματικής μελέτης μέχρι τις μέρες μας Εδώ θα περιοριστούμε σε μιαν απλή περίπτωση Θα δείξομε ότι αν σε κάποια λαγκρανζιανή προσθέσομε μια συνάρτηση η οποία είναι ολική παράγωγος ως προς το χρόνο κάποιας συνάρτησης (μόνο) των q, t τότε οι τελικές εξισώσεις κίνησης παραμένουν οι ίδιες Σημειώνομε όμως ότι αν δυο λαγκρανζιανές δίνουν τις ίδιες εξισώσεις κίνησης αυτό δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι διαφέρουν κατά τη συνάρτηση που αναφέραμε παραπάνω Τέτοιο παράδειγμα αποτελεί το ζευγάρι (ισοδύναμων) λαγκρανζιανών Η L q q qq, L ( q ) ( q ) ( q) ( q) L είναι φανερό ότι περιγράφει δυο μη αλληλεπιδρώντες αρμονικούς ταλαντωτές μέσα σε ίδιο δυναμικό Παρόλο που δεν είναι προφανές και η L περιγράφει την ίδια περίπτωση Θα επανέλθομε σε αυτή την περίπτωση παρακάτω Ένα άλλο τέτοιο ζευγάρι ισοδύναμων λαγκρανζιανών είναι το ζευγάρι L q q, L q q 4 3 6 Εύκολα διαπιστώνεται ότι το κάθε ένα από τα δυο παραπάνω ζευγάρια λαγκρανζιανών, οδηγεί σε ίδιες εξισώσεις κίνησης χωρίς να διαφέρουν κατά μια ολική παράγωγο κάποιας συνάρτησης των q, t Έστω τώρα ότι έχομε τις λαγκρανζιανές d G( q, t) L L( q, q, t), L L (60) dt

4 Θα δείξομε ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι (αμφιμονοσήμαντα) ίδιες για τις δυο αυτές λαγκρανζιανές, δηλαδή δεν υπάρχουν εξισώσεις κίνησης που αντιστοιχούν στην L και δεν αντιστοιχούν στην L και αντιστρόφως Οι εκφράσεις Euer είναι το αρνητικό του πρώτου μέλους των εξισώσεων Lagrage, Εξ(5), επομένως για να είναι οι εξισώσεις κίνησης αμφιμονοσήμαντα ίδιες, για την περίπτωσή μας, πρέπει οι αντίστοιχες εκφράσεις Euer να είναι ταυτοτικά ίδιες, δηλαδή ανεξάρτητα από τη μορφή των q q( t) Θα αναπτύξομε τις εκφράσεις Euer L d L Eα, α,,, qα dt q α για τη λαγκρανζιανή L L( q, q, t) Έχομε E q q d L( q, q, t) L L L L L α β β dt qα q α β qβ q α β qβq α tq α qα (6) Οι τελικές εξισώσεις κίνησης, αν υπάρχουν και μη μονογενείς δυνάμεις, είναι d L L Qα Eα Qα 0 dt qα qα L L L L άρα q β qβ Qα ( q, q, t) β qβ q (6) α β qβ q α tq α qα α,,, Θα δείξομε ότι οι τελικές εξισώσεις κίνησης είναι ίδιες αν χρησιμοποιήσομε τη λαγκρανζιανή d G( q, t) L ( q, q, t) L( q, q, t) (63) dt Δηλαδή θα δείξομε ότι οι αντίστοιχες εκφράσεις Euer είναι ταυτοτικά ίσες, E Οι εκφράσεις Euer για την L ( q, q, t) είναι E L d L Eα, α,,, qα dt q α

5 Προφανώς, η έκφραση d G ( q, t ) dt θα εξαρτάται μόνο από τα q, q, t, αφού έχομε d G( q, t) G G g( q, q, t) q (64) dt q t Η ανάπτυξή των E α δίνει E E q q g g g g α α β β β qβ q α β qβq α tq α qα (65) Ισχύουν g q q β α =0, g G q q q q β α β α, g tq α G tq α, q q q q t g G G q α α α Αν αντικαταστήσομε στην Εξ (65) βρίσκομε ότι το άθροισμα των όρων που περιέχουν το g είναι ταυτοτικά μηδέν, δηλαδή είναι μηδέν ανεξάρτητα από τις συναρτήσεις q q( t) Δηλαδή οι εκφράσεις για τα E α και E α είναι ταυτοτικά ίδιες, E E Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από την ισχύ ή όχι των εξισώσεων Lagrage Τελικώς, οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν από τις L και L με τη μέθοδο Lagrage είναι αμφιμονοσήμαντα ίδιες, δηλαδή περιγράφουν το ίδιο φυσικό σύστημα Ουσιαστικά δείξαμε ότι αν έχομε d G( q, t) g( q, q, t) dt Τότε θα ισχύουν ταυτοτικά, δηλαδή για κάθε συνάρτηση q q( t), οι σχέσεις d g( q, q, t) g( q, q, t) 0,,, (66) dt q q Με βάση τα προηγούμενα μπορεί να βρεθεί γενικό κριτήριο που για δεδομένες L ( q, q, t), L ( q, q, t) μπορεί να ελεγχθεί αν διαφέρουν κατά d G ( q, t ) Αυτό είναι χρήσιμο, dt κυρίως σε περίπτωση πολύπλοκων εκφράσεων όπου μπορεί να μην «φαίνεται» εύκολα d G( q, t) ότι L ( q, q, t) L ( q, q, t) dt

6 Αυτή η περίπτωση είναι ένα είδος μετασχηματισμού βαθμίδας (gauge trasformato) Σε αυτή την κατηγορία υπάγεται η περίπτωση του ηλεκτρομαγνητισμού, όπου ο μετασχηματισμός του διανυσματικού και του βαθμωτού πεδίου ( r, t) t όπου αυθαίρετη (διαφορίσιμη) συνάρτηση, δεν επηρεάζει τη δύναμη Loretz και προφανώς τις εξισώσεις κίνησης φορτισμένου σωματίου 7 Μη ολόνομοι δεσμοί-υπολογισμός δυνάμεων δεσμών Εισαγάγαμε τις γενικευμένες συντεταγμένες υποθέτοντας ότι έχομε ολόνομους δεσμούς και ότι ξέρομε την ολοκληρωτική τους μορφή την οποία χρησιμοποιούμε για να μειώσομε το πλήθος των συντεταγμένων του δυναμικού συστήματος που εξετάζομε Εδώ θα δούμε τι κάνομε στην περίπτωση που μπορεί να υπάρχουν και μη ολόνομοι δεσμοί που εκφράζονται με κινηματικές εξισώσεις, δηλαδή με διαφορικές εξισώσεις Pfaff, ή με τις αντίστοιχες που περιέχουν τις ταχύτητες, θυμίζομε ότι αυτοί οι δεσμοί λέγονται ανολόνομοι Ενώ αυτοί οι δεσμοί περιορίζουν την κινητικότητα του συστήματος δεν περιορίζουν τη διάσταση του θεσικού χώρου, άρα δεν μπορεί να χρησιμοποιηθούν για να εισαχθούν λιγότερες το πλήθος γενικευμένες συντεταγμένες, όπως μπορεί να γίνεται με ολόνομους δεσμούς Σημειώνομε ότι ο περιορισμός της διάστασης του θεσικού χώρου εξαρτάται από τις ολόνομες δεσμευτικές σχέσεις, ανεξάρτητα από το ειδικό δυναμικό σύστημα που μελετούμε Πολλές φορές ενώ ξέρομε ότι κάποιοι δεσμοί είναι ολόνομοι, δεν λαβαίνομε υπόψη τις ολοκληρωμένες σχέσεις τους ώστε να διώξομε τις δυνάμεις των δεσμών αυτών και να μειώσομε το πλήθος των συντεταγμένων με την εισαγωγή των (γνήσιων) γενικευμένων συντεταγμένων, δηλαδή δεν κάνομε αυτό το είδος ενσωμάτωσης (embeddg) δεσμών Συνήθως δεν κάνομε αυτή την ενσωμάτωση δεσμών όταν θέλομε να προσδιορίσομε τις δυνάμεις αυτών των ολόνομων δεσμών με τη μέθοδο που θα αναπτύξομε για μη ολόνομους και για ολόνομους δεσμούς Θα δεχτούμε λοιπόν ότι αφήνομε μερικούς δεσμούς που εκφράζονται με τις γνωστές κινηματικές εξισώσεις τους, ενώ για μερικούς από τους ολόνομους δεσμούς ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία ενσωμάτωσης και εισάγομε γενικευμένες συντεταγμένες Θα έχομε επομένως τη σχέση της αρχής του D Aembert, Εξ(48), μαζί με δεσμευτικές διαφορικές εξισώσεις μεταξύ των γενικευμένων συντεταγμένων και του χρόνου, dt q q k d L L δq Q 0 A ( q, t)d q A ( q, t)dt 0,,,, M k k (67)

7 Πρέπει να τονίσομε ότι εδώ τα δq, οι δυνατές μετατοπίσεις, δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, άρα δεν μπορούμε να καταλήξομε στις εξισώσεις κίνησης, Εξ(5) Πρέπει με χρήση των δεσμευτικών σχέσεων να προσδιορίσομε τις δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δq α, πρόσθετες ή βοηθητικές σχέσεις ή συνθήκες (sde codtos, auxary codtos ) Όπως έχομε ξαναπεί, αυτές οι δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων σχετίζονται με το γεγονός ότι κατά τις δυνατές μετατοπίσεις το έργο των δυνάμεων των δεσμών είναι μηδέν Όπως θα δούμε αργότερα, μπορούμε να προχωρήσομε διαλέγοντας κάποιες δυνατές μετατοπίσεις δq α, ( M ) το πλήθος, ως ανεξάρτητες, στη συνέχεια να εκφράσομε τις υπόλοιπες ως συναρτήσεις αυτών, έτσι τελικώς καταλήγομε σε εκφράσεις με μόνο ανεξάρτητες δυνατές μετατοπίσεις, οπότε μπορούμε να βρούμε τις εξισώσεις εξέλιξης με το χρόνο του συστήματος Αυτό είναι ένα άλλο είδος ενσωμάτωσης, είναι ενσωμάτωση των δυνατών μετατοπίσεων Αντί για αυτό θα κάνομε χρήση της διαδικασίας των πολλαπλασιαστών του Lagrage και των βοηθητικών σχέσεων Θυμίζομε ότι κατά τις δυνατές μετατοπίσεις πρέπει το έργο των δυνάμεων των δεσμών να είναι μηδέν για τον καθένα δεσμό χωριστά Στη Μηχανική οι σχέσεις που προκύπτουν μεταξύ των δq (δυνατές μετατοπίσεις) από τις διαφορικές εξισώσεις των δεσμών των Εξ(67), είναι ( dt 0) : Ak ( q, t)δqk 0,,,, M (68) k Σύμφωνα με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrage, πολλαπλασιάζομε τις Εξ(68) επί ( t),,, M οι οποίες είναι γενικώς Μ συναρτήσεις του χρόνου που πρέπει να προσδιοριστούν και αφού αθροίσομε στα βρίσκομε M ( t) Ak ( q, t)δqk 0 (69) k Στη συνέχεια αφαιρούμε κατά μέλη την Εξ(69) από την πρώτη από τις Εξ(67) και βρίσκομε τελικώς M d L L δ q ( t) A ( q, t) Q 0 dt q q (70) Αφού έχομε κρατήσει M δεσμευτικές σχέσεις, συμπεραίνομε ότι μεταξύ των δυνατών μεταβολών υπάρχουν μόνο m M ανεξάρτητες τέτοιες μεταβολές Στη συνέχεια ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία, μπορούμε να διαλέξομε τις πρώτες στη σειρά δυνατές μεταβολές πλήθους m ως αυθαίρετες (ανεξάρτητες) δυνατές μεταβολές και τις επόμενες M ως εξαρτημένες Στη συνέχεια διαλέγομε τους Μ πολλαπλασιαστές ( t) να πληρούν τις Μ το πλήθος σχέσεις M d L L ( t) A ( q, t) Q 0, = m+, m+,, dt q q (7)