Παράδειγμα 3.1. O περιστρεφόμενος βρόχος με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω μέσα σε σταθερό ομογενές μαγνητικό πεδίο είναι το πρότυπο μοντέλο ενός τύπου γεννήτριας εναλλασσόμενου ρεύματος, του εναλλάκτη. Αναπτύσσει ΗΕΔ σε εξωτερικό κύκλωμα με τη βοήθεια δύο δακτυλίων επαφής S, οι οποίοι περιστρέφονται με το βρόχο (Σχ. 3.4). Σταθερές επαφές που ονομάζονται ψήκτρες ολισθαίνουν στους δακτυλίους και είναι συνδεδεμένες με τα άκρα εξόδου a και b. Σχήμα 3.4. (α) Σχηματικό διάγραμμα απλού εναλλάκτη, όπου ένας αγώγιμος βρόχος περιστρέφεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο. (β) Γραφική παράσταση της επαγόμενης ΗΕΔ στα άκρα ab, που συνοδεύεται από τους αντίστοιχους προσανατολισμούς του βρόχου κατά τη διάρκεια μιας πλήρους περιστροφής. Η ροή Φ Β μέσα από το βρόχο είναι ίση με το γινόμενο της επιφάνειας Α με τη συνιστώσα Β που είναι κάθετη στης επιφάνεια : Τότε Acos Acos t d E Asin t Η επαγόμενη ΗΕΔ, Ε ΗΕΔ, μεταβάλλεται ημιτονοειδώς με τον χρόνο (Σχ. 3.4 β). Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια παρόμοια διάταξη για να εξασφαλίσουμε ΗΕΔ που έχει πάντα το ίδιο πρόσημο, Σχ. 3.5 α. H διάταξη αυτή ονομάζεται συλλέκτης
Σχήμα 3.5. (α) Σχηματικό διάγραμμα γεννήτριας συνεχούς ρεύματος που χρησιμοποιεί συλλέκτη (δακτύλιο με δύο εγκοπές). (β) Γραφική παράσταση της επαγόμενης ΗΕΔ στα άκρα ab. και αντιστρέφει τις συνδέσεις με το εξωτερικό κύκλωμα στις γωνιακές θέσεις όπου αντιστρέφεται η ΗΕΔ. Το Σχ. 3.5 β δείχνει την ΗΕΔ που προκύπτει. Αυτή η συσκευή είναι το πρότυπο της γεννήτριας συνεχούς ρεύματος.
Παράδειγμα 3.. Ένα πηνίο που αποτελείται από 500 βρόχους σύρματος με ακτίνα 4,00 cm είναι τοποθετημένο ανάμεσα στους πόλους ενός μεγάλου ηλεκτρομαγνήτη. Το μαγνητικό πεδίο είναι σταθερό με κατεύθυνση 60 ο από το επίπεδο του πηνίου (Σχ. 3.6) και ελαττώνεται με ρυθμό 0,00 Τ/s. Να βρεθεί η απόλυτη τιμή της επαγόμενης ΗΕΔ. Λύση. Διαλέξτε για το Α την κατεύθυνση που έχει στο Σχ. 3.6, τότε φ είναι η γωνία μεταξύ των Α και Β. Η ροή Φ Β σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι Φ Β = ΒΑcosφ, και ο ρυθμός μεταβολής της ροής είναι d d Acos d Στην περίπτωση αυτή d / =-0,00 T / s, A = π(0,0400m) =0,00503 m, φ=30 ο (και όχι 60 ο ), και d T m 0,000871 s A cos30 ( 0,00T / s) (0,00503m Wb 0,000871 s ) (0,866) Σχήμα 3.6. Το μέτρο του Β μειώνεται. Με την κατεύθυνση που έχει το Α, η ροή που διαπερνά το πηνίο ελαττώνεται με αποτέλεσμα η Ε να είναι θετική. Αυτό αντιστοιχεί σε ΗΕΔ και ρεύμα που έχει φορά αυτήν των δεικτών του ρολογιού για παρατήρηση από αριστερά κατά την κατεύθυνση του Α. Το πρόσθετο Β που προκαλείται από το επαγόμενο ρεύμα τείνει να αντισταθμίσει τη μείωση της ροής. Εφαρμόζοντας την Εξ. (3.4), η επαγόμενη ΗΕΔ είναι d Wb E N ( 500) ( 0,000871 ) 0, 435V s Όταν παρατηρούμε από τα αριστερά, προς την κατεύθυνση του διανύσματος της επιφάνειας (30 ο πάνω από το μαγνητικό πεδίο Β), η θετική φορά για την Ε ΗΕΔ είναι η φορά των δεικτών του ρολογιού. Η ΗΕΔ είναι θετική και άρα έχει φορά των δεικτών του
ρολογιού. Αν στα άκρα του σύρματος συνδεθούν με έναν αντιστάτη, η φορά του ρεύματος στο πηνίο έχει την ίδια φορά. Ένα τέτοιο ρεύμα δίνει πρόσθετη μαγνητική ροή μέσα από το πηνίο στην ιδία κατεύθυνση με τη ροή από την ηλεκτρομαγνήτη και άρα τείνει να αντιτεθεί στη μείωση της ολικής ροής. Παράδειγμα 3.3. Ο δίσκος του Faraday. Ένας δίσκος με ακτίνα που φαίνεται στο Σχ. 3.7. βρίσκεται στο επίπεδο xy και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον άξονα z. Ο δίσκος είναι τοποθετημένος σε ομογενές, σταθερό πεδίο Β παράλληλο προς τον άξονα z. Να βρεθεί η επαγόμενη ΗΕΔ μεταξύ του κέντρου και της περιφερείας του δίσκου. Λύση. Θεωρούμε ως κύκλωμα το περίγραμμα της σκούρας περιοχής του Σχ. 3.7. Δεν υπάρχει ροή μέσα από το ορθογώνιο τμήμα στο επίπεδο yz, επειδή το Β είναι παράλληλο με αυτό το επίπεδο. Τα σκούρο μέρος του δίσκου στο επίπεδο xy είναι ένας κυκλικός τομέας, το εμβαδόν του είναι Σχήμα 3.7. Ο δίσκος του Faraday. Η μαγνητική ροή αυξάνει επειδή η σκούρα περιοχή αυξάνει. και η ροή που περνά από αυτό είναι Καθώς περιστρέφεται ο δίσκος, η σκούρα περιοχή μεγαλώνει. Σε χρονικό διάστημα η γωνία αυξάνει κατά dθ=ω και η ροή αυξάνει κατά 1 1 1 1 d d
Η επαγόμενη ΗΕΔ είναι d 1 Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη συσκευή ως πηγή ΗΕΔ σε κύκλωμα αν το συμπληρώσουμε με ολισθαίνουσες επαφές ή ψήκτρες (b στο σχήμα). Σχήμα 3.10. Ο περιστρεφόμενος δίσκος του Faraday. Η ΗΕΔ επάγεται κατά μήκος ακτινικών γραμμών του περιστρεφόμενου δίσκου. Ο δίσκος συνδέεται στο εξωτερικό κύκλωμα με δύο ολισθένουσες επαφές b Παράδειγμα 3.5. Θεωρήστε και πάλι τον περιστρεφόμενο δίσκο του Σχ.3.7 του παραδείγματος 3.3. Ισχύουν οι ίδιες συνθήκες όπως σε εκείνο το παράδειγμα. Να βρεθεί η ΗΕΔ που επάγεται μεταξύ του κέντρου και της περιφέρειας του δίσκου, χρησιμοποιώντας την έννοια της ΗΕΔ λόγω κίνησης. Λύση. Τμήματα του δίσκου που βρίσκονται σε διαφορετικές αποστάσεις από το κέντρο κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες, και δεν μπορούμε απλώς να πολλαπλασιάσουμε το u με την ακτίνα. Θεωρούμε ότι ένα απειροελάχιστο ακτινικό μήκος dr σε απόσταση r από το κέντρο αποτελεί έναν κινούμενο αγωγό. Η ταχύτητα u του dr είναι u = ωr και η ΗΕΔ λόγω κίνησης dε ΗΕΔ που επάγεται στο dr είναι Η ολική ΗΕΔ μεταξύ του κέντρου και της περιφέρειας είναι το άθροισμα όλων αυτών των συνεισφορών: de E u dr r dr r dr 0 1
Αυτό το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με εκείνο που βρήκαμε χρησιμοποιώντας τον νόμο του Faraday. Παράδειγμα 3.4. Το Σχ. 3.8. δείχνει έναν αγωγό με σχήμα U σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β κάθετο στο επίπεδο του σχήματος και με κατεύθυνση προς τη σελίδα. Τοποθετούμε μεταλλική ράβδο με μήκος L κάθετα στις δύο παράλληλες πλευρές του αγωγού, ώστε να σχηματίζεται βρόχος, και κινούμε τη ράβδο προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα u. Να βρεθεί το μέτρο και η φορά της επαγόμενης ΗΕΔ που θα προκύψει. Σχήμα 3.8. Το μαγνητικό πεδίο Β καθώς και το διάνυσμα της επιφάνειας Α έχουν φορά κάθετη στη σελίδα προς τα μέσα. Η αύξηση της μαγνητικής ροής επάγει την ΗΕΔ και το ρεύμα που δείχνει το σχήμα. Λύση. Η μαγνητική ροή μέσα στο βρόχο μεταβάλλεται επειδή αυξάνει η επιφάνειά του. Σε χρονικό διάστημα η ράβδος διανύει απόσταση u και η επιφάνεια αυξάνει κατά da=lu. Θεωρήστε ότι η θετική φορά για τη διάνυσμα της επιφάνεια Α είναι προς το σχήμα παράλληλη με το Β. Τότε, η μαγνητική ροή μέσα από το βρόχο είναι θετική, και αυξάνει σε χρονικό διάστημα κατά d da Lu Η επαγόμενη ΗΕΔ είναι
d L u Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η επαγόμενη ΗΕΔ έχει φορά αντίθετη από αυτή της φοράς των δεικτών του ρολογιού (που ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού) όπως φαίνεται και στο σχήμα. Την ίδια φορά έχει και το επαγόμενο ρεύμα. Παράδειγμα 3.6. Όταν η ράβδος του Σχ. 3.9 κινείται προς τα δεξιά, επάγεται στον βρόχο ρεύμα Ι με φορά αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού. Το οποίο δίνεται από τη σχέση: I E u L Όπου η αντίσταση του βρόχου. Η μαγνητική δύναμη που ασκείται στην κινούμενη ράβδο λόγω αυτού του ρεύματος έχει κατεύθυνση προς τα αριστερά και αντιτίθεται στην κίνηση της ράβδου, σύμφωνα με τον νόμο του Lenz και δίνεται από τη σχέση με μέτρο F I L Σχήμα 3.11. Η δύναμη αριστερά, αντίθετη στη u. F I L I F I L sin 90 που προκαλεί το επαγόμενο ρεύμα έχει κατεύθυνση προς τα u