Προτιμήσεις εκπαιδευτικών στην επίλυση προβλημάτων με συμμετρία Πουλιτσίδου Νιόβη- Χριστίνα Τζιρτζιγάνης Βασίλειος Φωκάς Δημήτριος Στόχος έρευνας Να διερευνηθούν οι παράγοντες, που επηρεάζουν την επιλογή στρατηγικής στην επίλυση προβλήματος και να μελετηθεί το πώς η σχεδιασμένη δραστηριότητα, ώστε να παρακινεί τους εκπαιδευτικούς, να επιλέξουν τη συμμετρία ως στρατηγική επίλυσης 1
Οι εκπαιδευτικοί Τείνουν να εφαρμόζουν στερεότυπες λύσεις, με βάση την εμπειρία τους (π.χ. ελάχιστη απόσταση συνδέεται με παράγωγο από καθηγητές λυκείου και με κάθετα τμήματα από καθηγητές γυμνασίου) Επιλέγουν στρατηγικές με βάση αντιλήψεις που έχουν ως προς την φύση των μαθηματικών, αλλά και του τι είναι καλό για τους μαθητές (π.χ. ωραία λύση αλλά όχι πειστική, δεν είναι λύση αλλά μόνο απεικόνιση, καλό για εκπαιδευτικό όχι για μαθητή) Γενικότερα: Οι εκπαιδευτικοί δεν επιλύουν στην τάξη προβλήματα με διαφορετικού τρόπους Δεν αποδέχονται λύσεις εκτός πλαισίου Δημιουργούν την αντίληψη μοναδικά αποδεκτής λύσης Χαρακτηριστική των παραπάνω είναι η έκφραση μαθητή που αναφέρει: «Μπορώ να λύσω το πρόβλημα με τον τρόπο που έχω διδαχθεί, αλλά χρησιμοποιώντας συμμετρία καταλαβαίνω καλύτερα τη λύση» 2
Θεωρητικό πλαίσιο: Τονίζεται η σημαντικότητα της διδασκαλίας και κατανόησης διαφορετικών μεθόδων επίλυσης προβλήματος. Προκειμένου να αποκτήσει νόημα η διαδικασία επίλυσης προβλήματος ο εκπαιδευτικός πρέπει να είναι και ο ίδιος καλά καταρτισμένος. Η ευχέρεια του εκπαιδευτικού συνδέεται με τις γνώσεις του ως προς το περιεχόμενο. Στην ικανότητα επίλυσης προβλήματος περιλαμβάνεται η επίλυση με διαφορετικούς τρόπους. Η απόδειξη μαθηματικών θεωρημάτων με δυο τρόπους συμβάλει στην δημιουργία διαφορετικών τροχιών μάθησης. Η επίγνωση της ύπαρξης διαφορετικών τρόπων επίλυσης προβλήματος κάνει τους μαθητές να μην παρατάνε την προσπάθεια. 40 εκπαιδευτικοί συμμετείχαν: Πιλοτική έρευνα: 8 με συνέντευξη 6 παρατηρήθηκαν ενώ εργάστηκαν σε δυάδες 22 εκπαιδευτικοί έλυσαν προβλήματα σε μικρές ομάδες 4 με συνέντευξη και παρατήρηση της διδασκαλίας τους Αντικείμενο: Η επίλυση 2 προβλημάτων, χαρακτηριστικά παραδείγματα επίλυσης μέσω συμμετρίας Αποτελέσματα: 38 στους 40 δεν χρησιμοποίησαν συμμετρία Όταν τους παρουσιάστηκε η λύση μέσω συμμετρίας, εξέφρασαν αμφιβολίες, για το κατά πόσο ήταν αποδεκτή 3
Κύρια έρευνα Στόχοι: Να διερευνηθούν οι παράγοντες, που επηρεάζουν την επιλογή τρόπου επίλυσης προβλήματος από τους καθηγητές Να διερευνηθούν τα αποτελέσματα της δραστηριότητας στη μεταστροφή των εκπαιδευτικών στη χρήση συμμετρίας Έτσι: Δημιουργήθηκε δραστηριότητα, σχετική με την επίλυση προβλήματος με δύο τρόπους. Οι εκπαιδευτικοί είχαν την ευκαιρία να βελτιώσουν τις γνώσεις τους, σχετικά με το αντικείμενο και την επίλυση προβλήματος. Πρώτο στάδιο Αναγνωρίστηκαν τα κύρια στοιχεία διάφορων στρατηγικών επίλυσης, όπως τα αντιλαμβάνονται οι εκπαιδευτικοί. Κατασκευάστηκε το εργαλείο του δεύτερου σταδίου. 100 εκπαιδευτικοί συμμετείχαν σε ένα δίωρο επιμόρφωσης, οι οποίοι εργάστηκαν σε δυάδες, συμπληρώνοντας στο τέλος ερωτηματολόγιο. 4
Συλλογή δεδομένων και ανάλυση Συλλέχτηκαν στοιχεία από: Ερευνητικά ερωτηματολόγια Βιντεοσκοπήσεις Ομαδικές συζητήσεις Και κάποια συμπληρωματικά δεδομένα Ερευνητικά ερωτηματολόγια Ερωτηματολόγιο ανοιχτής απάντησης (πρώτο στάδιο): Ζητήθηκαν πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα μιας κλασικής λύσης και μιας λύσης με συμμετρία. Όπως προέκυψε, κάποια πλεονεκτήματα για κάποιους, ήταν μειονεκτήματα για άλλους. Οι τρόποι επίλυσης κατηγοριοποιήθηκαν από τις απαντήσεις ως: δύσκολος, ενδιαφέρον, συμβατικός, πειστικός, εμπνευσμένος (δημιουργική σκέψη), προκλητικός, όμορφος. 5
Ερωτηματολόγιο χαρακτηρισμού Ανάλυση σχέσης χαρακτηριστικών των εκπαιδευτικών για τις διαφορές στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων και τις προτιμήσεις τους για τη χρήση αυτών των στρατηγικών. Όσοι δάσκαλοι υποστήριξαν ότι η λύση με υπολογιστικό τρόπο ήταν εύκολη, τόσοι ήταν και αυτοί οι οποίοι υποστήριξαν την λύση με συμμετρία. Ερωτηματολόγια προτιμήσεων Εξετάστηκαν: Επίλυση προβλήματος Εξήγηση λύσης προβλήματος Ομορφιά λύσης Διδασκαλία για λύση προβλήματος Στόχοι: 1. Διερεύνηση μεταξύ τρόπων που οι εκπαιδευτικοί χαρακτηρίζουν την επίλυση προβλημάτων και προτιμήσεων εκπαιδευτικών σχετικά με αυτές τις στρατηγικές 2. Παρακολούθηση αλλαγών στις προτιμήσεις των εκπαιδευτικών για στρατηγικές λύσεων 6
Βιντεοσκόπηση και Συμπληρωματικά δεδομένα Βιντεοσκοπήθηκαν ομάδες με ζεύγη έμπειρων και ζεύγη ανταλλαγής γνώσεων και μετά χωρίστηκαν για να μοιραστούν τις γνώσεις με τους υπόλοιπους. Συμπληρωματικά δεδομένα: Οι περισσότεροι δάσκαλοι συνέχισαν να παρακολουθούν επαγγελματική ανάπτυξη για δύο χρόνια, οπότε και συλλεχτήκαν και άλλα δεδομένα. Σχέση προτιμήσεων και χαρακτηρισμών (1) Προτίμηση σε ευκολότερο τρόπο Προτίμηση στην εξήγηση με τρόπο πιο εύκολο, ενδιαφέρον, πειστικό, όμορφο, προκλητικό Θυμούνται αυτό που είναι πιο όμορφο και εύκολο να κατανοηθεί Διδάσκουν με τον τρόπου που θεωρούν πιο πειστικό Παρατηρήθηκε ότι οι προτιμήσεις για διαφορετικούς τρόπους λύσης δεν έχουν καμία σχέση με τρόπους που πιθανόν να αναπτύξουν μαθηματική σκέψη 7
Σχέση προτιμήσεων και χαρακτηρισμών (2) Κάποιοι δάσκαλοι αν και γνωρίζουν την λύση με συμμετρία δεν έχουν θετική στάση σε αυτό τον τρόπο λύσης. Αυτοί οι οποίοι δεν μπορούσαν να λύσουν με συμμετρία, τελικά χρησιμοποιούσαν περισσότερο την συμμετρία γιατί την βρήκαν πιο ενδιαφέρον, προκλητική και ότι βοηθά στην ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης. Κάποιοι δάσκαλοι είχαν αμφιβολίες για την λύση με συμμετρία και ήθελαν να εξετάσουν και τους δύο τρόπους γα να είναι σίγουροι. Άλλοι είπαν ότι η λύση συμμετρίας ήταν «φιλοσοφική» και «όχι τόσο μαθηματική» Όταν άλλαξαν ζευγάρια επηρέασαν ο ένας τον άλλο και αυτοί που έλυσαν με συμμετρία άρχισαν να αμφιβάλουν για την μαθηματική φύση της δικής τους λύσης. Εξοικείωση με συμμετρία Η γεωμετρική συμμετρία είναι πιο γνωστή γενικότερα Την αλγεβρική συμμετρία κάποιοι δεν την έχουν ξανά ακούσει Μετά από συζητήσεις οι δάσκαλοι προτιμούν να λύνουν με γεωμετρική συμμετρία. Το θέμα βέβαια κατέχει έναν σημαντικό ρόλο στο αν θα κάνουν χρήση συμμετρίας ή όχι. 8
Υπολογισμός αλλαγών προτίμησης των εκπαιδευτικών Για να παρατηρηθούν οι αλλαγές στις προτιμήσεις των εκπαιδευτικών, σχετικά με την επίλυση ενός προβλήματος, υπολογίστηκε το ποσοστό των εκπαιδευτικών που προτιμούσαν: 1) Τη λύση χωρίς τη χρήση συμμετρίας 2) 2 τρόπους λύσης 3) Τη λύση που βασιζόταν στη συμμετρία. Αυτός ο υπολογισμός βασίστηκε σε ερωτηματολόγια, χωρίζοντας κάθε τύπο προτίμησης, για κάθε ενότητα. Αποτελέσματα έρευνας (1) Στην αρχή της έρευνας, οι εκπαιδευτικοί δεν αισθανόντουσαν αυτοπεποίθηση να χρησιμοποιήσουν τη συμμετρία. Το 36% των εκπαιδευτικών που απάντησαν ότι προτιμούν, να λύνουν ένα πρόβλημα, χρησιμοποιώντας τη συμμετρία, είχαν τη περιέργεια να συγκρίνουν 2 τρόπους λύσεων, αλλά και να «τσεκάρουν την ορθότητα της λύσης, που βασίζεται στη χρήση συμμετρίας, χρησιμοποιώντας τον παραδοσιακό τρόπο λύσης». 9
Αποτελέσματα έρευνας (2) Οι εκπαιδευτικοί εξηγούσαν, γιατί άλλαξε η άποψή τους για τη χρήση των 2 τρόπων επίλυσης ενός προβλήματος, λέγοντας πως «το έβρισκαν ενδιαφέρον, να λύνουν ένα πρόβλημα με 2 διαφορετικούς τρόπους και να τους συγκρίνουν», αλλά και ότι «τώρα καταλαβαίνουν, γιατί είναι σημαντικό, να μαθαίνουν στους μαθητές τους διαφορετικές στρατηγικές επίλυσης προβλήματος». Ρυθμός μεταβολής προτιμήσεων επίλυσης προβλήματος από ενότητα σε ενότητα Το ποσοστό των εκπαιδευτικών που προτιμούσε τη συμμετρία αυξήθηκε από 44.8% στην 1 η ενότητα σε 63.3% στη 2 η ενότητα. Το ποσοστό που προτιμούσε να λύνει προβλήματα χρησιμοποιώντας τη συμμετρία αυξήθηκε από 24.1% στη 1 η ενότητα σε 27% στη 2 η ενότητα και 61% στην 3 η ενότητα. Από τις παρατηρήσεις, τα ερωτηματολόγια και τις βιντεοσκοπήσεις φάνηκε ότι πάνω από το 70% των εκπαιδευτικών άρχισαν να λύνουν προβλήματα χρησιμοποιώντας τη συμμετρία. 10
Βασικοί παράγοντες που επηρεάζουν τις προτιμήσεις των εκπαιδευτικών (1) 1) 2 μοτίβα συμπεριφορών εκπαιδευτικών για την επίλυση προβλήματος (η τάση των καθηγητών να εφαρμόζουν μία στερεοτυπική λύση σε ένα πρόβλημα και η τάση να ενεργούν με βάση τις πεποιθήσεις τους πάνω στην επίλυση προβλήματος): Η μαθηματική συμπεριφορά των εκπαιδευτικών βασίστηκε στην εντύπωσή τους για το «τι είναι τα σχολικά μαθηματικά» ή «τι είναι καλό για τους μαθητές», πιστεύοντας ότι «η χρήση της συμμετρίας θα μπορούσε να είναι καλή για τους εκπαιδευτικούς, αλλά όχι και για τους μαθητές». Βασικοί παράγοντες που επηρεάζουν τις προτιμήσεις των εκπαιδευτικών (2) 2) Ο τρόπος με τον οποίο οι εκπαιδευτικοί χαρακτηρίζουν μία στρατηγική επίλυσης προβλήματος: Η συμβατικότητα της λύσης, η δυσκολία διδασκαλίας και η έμπνευση δε φάνηκε να σχετίζονται σημαντικά με κανέναν τύπο προτίμησης επίλυσης προβλήματος. 11
Βασικοί παράγοντες που επηρεάζουν τις προτιμήσεις των εκπαιδευτικών (3) 3) Η οικειότητα των εκπαιδευτικών με τη συμμετρία και τη μαθηματική ενότητα, στην οποία ανήκει ένα πρόβλημα: Οι εκπαιδευτικοί επιλέγουν να λύσουν ένα πρόβλημα με τρόπο που θεωρούν «ευκολότερο να λυθεί» και να εξηγήσουν το πρόβλημα με τρόπο που είναι «ευκολότερο να εξηγηθεί». Περαιτέρω αξιολόγηση Μειονέκτημα έρευνας: Η περιορισμένη εφαρμογή της στην τάξη. Σε μελλοντική έρευνα καλό θα ήταν να ερευνηθούν τα εξής: 1) Οι εκπαιδευτικοί όντως δίδαξαν τους μαθητές τους να λύνουν προβλήματα με διαφορετικούς τρόπους σε διαφορετικές μαθηματικές ενότητες; 2) Εάν το έκαναν, πως οι μαθητές τους έμαθαν μ αυτό τον τρόπο; 3) Πως επηρεάζουν οι προτιμήσεις των εκπαιδευτικών για την επίλυση προβλημάτων, με τη χρήση διαφορετικών στρατηγικών και κατά πόσο βασίζονται στην απόδοση των μαθητών τους και στις προτιμήσεις τους για την επίλυση του προβλήματος; 12
Συμπεράσματα Κάποιοι εκπαιδευτικοί άρχισαν να χρησιμοποιούν τη συμμετρία από μόνοι τους και να ψάχνουν περιπτώσεις που μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Οι εκπαιδευτικοί συχνά εξέπλητταν τους εαυτούς τους, που χρησιμοποιούσαν τη συμμετρία, ακόμα και όταν δεν το σχεδίαζαν. Η συμπεριφορά των εκπαιδευτικών απέναντι στη συμμετρία είχε αλλάξει. Οι περισσότεροι εκπαιδευτικοί άρχισαν να πιστεύουν στη συμμετρία, ως ένα δυνατό μαθηματικό εργαλείο. Σας ευχαριστούμε πολύ για την προσοχή και το χρόνο σας! 13