ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ TAΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ TAΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα Σύστημα «μάζα-ελατήριο» ταλαντώνεται με απλή αρμονική κίνηση πάν σε οριζόντια επιφάνεια με πλάτος c. α) Ποια η ολική ενέργεια του συστήματος αν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5N/; β) Ποια η κινητική και η δυναμική ενέργεια του συστήματος, όταν η μάζα απέχει 9c από τη θέση ισορροπίας; γ) Ποια η μέγιστη ταχύτητα υa και η μέγιστη επιτάχυνση αa αν η μάζα είναι,5gr; (Τμήμα Αγρονόμν Τοπογράφν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) F α) Εφαρμόζοντας το ο νόμο του Newton για την κίνηση της μάζας προκύπτει: F α Δηλαδή το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με κυκλική συχνότητα /. Η γενική λύση της παραπάν διαφορικής εξίσσης παρέχει τη θέση της μάζας συναρτήσει του χρόνου και δίνεται από τη σχέση: Οπότε η ταχύτητα της μάζας είναι: υ(t) Άρα η κινητική της ενέργεια είναι: (t) = Acos(t + φ) () d Asin( t φ) () υ () A sin (t φ) A [ cos (t φ] [ () cos (t φ)] (A ) κι επειδή / είναι : (A ) (3) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος οφείλεται στη δύναμη που ασκεί το ελατήριο στη μάζα (F = -) και προκύπτει ς εξής: dv F dv Fd d v dv ( )d V d V (4) Άρα η ολική ενέργεια του συστήματος είναι: E V (3)(4) (A ) E A 5 N, E,36 Joule β) Όταν η μάζα απέχει =,9 από τη θέση ισορροπίας, η κινητική και η δυναμική ενέργεια του συστήματος, σύμφνα με τις (3) και (4) είναι: 5 N (,,9 V 5 ) N 5(,44,8)J,6,9 V, γ) Από την () φαίνεται ότι η μέγιστη ταχύτητα είναι: Joule Joule υ a A A, 5,5, υ a, / sec Η επιτάχυνση της μάζας είναι: Άρα η μέγιστη επιτάχυνση είναι: () dυ α(t) A cos(t φ) α a A, α a / sec ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα Μια μάζα είναι συνδεδεμένη σε ένα σταθερό σημείο με ένα αβαρές ελατήριο σταθεράς. Να γραφούν και να επιλυθούν οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης για: α) την περίπτση μηδενικής τριβής μεταξύ μάζας και οριζοντίου επιπέδου β) την περίπτση που η δύναμη τριβής είναι ανάλογη της ταχύτητας, δηλαδή T = -bυ (όπου b σταθερά). (Τμήμα Αγρονόμν Τοπογράφν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) T F α) Όταν δεν υπάρχει τριβή ο ος νόμος του Newton δίνει: d F α d () Η χαρακτηριστική εξίσση της παραπάν ομογενούς διαφορικής εξίσσης είναι: λ με μιγαδικές ρίζες λ i, λ i Οπότε η γενική λύση της () είναι: (t) c cos t c sin t () Η παραπάν λύση μπορεί να γραφεί και υπό τη μορφή: (t) A cos t φ (t) A cos(t φ) (3) όπου η κυκλική συχνότητα, φ η αρχική φάση και Α το πλάτος της ταλάντσης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 β) Αν στο σύστημα υπάρχει και απόσβεση, δηλαδή αν ασκείται και η δύναμη τριβής T = - bυ, ο ος νόμος του Newton δίνει: F α b d d d b d (4) Θέτοντας γ = b/ και o / (φυσική συχνότητα) η προηγούμενη γράφεται: d d γ ο Η χαρακτηριστική εξίσση της παραπάν διαφορικής εξίσσης είναι: λ γλ ο Αν 4γ 4ο δηλαδή για γ < ο (που αντιστοιχεί στην περίπτση μικρής απόσβεσης) η παραπάν έχει μιγαδικές ρίζες : λ β i γ i 4ο 4γ, λ, γ i ο γ α Οπότε η γενική λύση της διαφορικής εξίσσης (4) είναι: γt (t) c e cos γt ο γ t ce sin ο γ t γt (t) e [c cos(t) c sin( t)] όπου ο γ η κυκλική συχνότητα της φθίνουσας ταλάντσης. Η προηγούμενη σχέση όπς και στο ερώτημα (α) μπορεί να πάρει τη μορφή: γt (t) e cos(t φ) όπου Α και φ σταθερές, οι οποίες προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 3 Η εξίσση κίνησης ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική κίνηση είναι: (t) cos( t φ). Να δειχτεί ότι η εξίσση κίνησης μπορεί να πάρει τη μορφή: (t) cost sint και να υπολογιστούν οι σταθερές Β, συναρτήσει τν Α, φ και αντίστροφα. (Τμήμα Ηλεκτρολόγν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) Χρησιμοποιώντας το γνστό τριγνομετρικό τύπο cos (α+β) = cosα cosβ-sinαsinβ προκύπτει: (t) = Acos(t + φ) = Αcos tcosφ - Αsintsinφ (t) = Bcos t + sint όπου Β=Αcosφ και = - Asinφ Προσθέτοντας τα τετράγνα και διαιρώντας κατά μέλη τις () αντίστοιχα υπολογίζοντας τα Α, φ συναρτήσει τν Β,. Δηλαδή : και tan φ - Β φ tan ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 4 Μια μάζα Μ έχει συνδεθεί από τις δυο πλευρές της με δυο ελατήρια σταθερών, αντίστοιχα και κινείται σε οριζόντιο επίπεδο χρίς τριβές. Στη θέση ισορροπίας τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. α) Να υπολογιστεί η κυκλική συχνότητα της ταλάντσης που δύναται να εκτελέσει η μάζα Μ. β) Αν το πλάτος της αρμονικής ταλάντσης της μάζας Μ είναι Α και τη στιγμή που αυτή περνάει από τη θέση ισορροπίας πέσει κατακόρυφα μάζα πάν της και συσσματθεί σε αυτή, να υπολογιστεί η νέα συχνότητα και το νέο πλάτος Α της αρμονικής ταλάντσης. (Τμήμα Ηλεκτρολόγν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) F F M α) Έστ ότι η μάζα Μ απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας προς τα δεξιά κατά. Τότε το ελατήριο σταθεράς συσπειρώνεται κατά και το ελατήριο σταθεράς επιμηκύνεται κατά. Άρα η μάζα M δέχεται τις δυνάμεις ίδιας φοράς : F=- και F=-. Επομένς ο ος νόμος του Newton δίνει : ( F α - ) Άρα η μάζα Μ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με κυκλική συχνότητα: () β) Ακολουθώντας τη διαδικασία του ερτήματος (α) όταν η μάζα του συστήματος γίνεται (Μ+) προκύπτει ότι η νέα κυκλική συχνότητα της ταλάντσης του συστήματος είναι : () Όταν η μάζα Μ περνά από τη θέση ισορροπίας έχει μέγιστη ταχύτητα ίση με Α, όπου Α το πλάτος της ταλάντσης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Επειδή τη στιγμή της συσσώρευσης στο σύστημα δεν ασκούνται δυνάμεις ( η αρχή διατήρησης της ορμής. Δηλαδή: F ), ισχύει p αρχ. p τελ. (Μ )Α Α ΜΑ (Μ ) (),() το νέο πλάτος της ταλάντσης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 5 Ένα βάρος κρέμεται από ελατήριο και το επιμηκύνει κατά Δ = c. Αν τραβήξουμε το σώμα προς τα κάτ και στη συνέχεια το αφήσουμε ελεύθερο, ποια θα είναι η περίοδος της ταλάντσης; Δίνεται: g = /sec. (Τμήμα Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) Το Σχήμα Ι δείχνει το ελατήριο στο φυσικό του μήκος o. Στο Σχήμα ΙΙ έχει κρεμαστεί η μάζα και το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά Δ, καθώς η μάζα ισορροπεί. (Ι) (ΙΙ) (ΙΙΙ) Έτσι, στη θέση αυτή ισορροπίας οι δυνάμεις που ασκούνται στη μάζα είναι το βάρος της g και η δύναμη του ελατηρίου F = Δ, όπου η σταθερά του ελατηρίου. Επειδή το σύστημα ο ισορροπεί ισχύει: g F y g F F y g g () Στο Σχήμα ΙΙΙ η μάζα κινείται απομακρυνόμενη κατά y από τη θέση ισορροπίας και οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτή είναι το βάρος της g και η δύναμη του ελατηρίου, που τώρα είναι F = (Δ +y). Εφαρμόζοντας το ο νόμο του Newton για την κίνηση του συστήματος προκύπτει: () d y d y Fy α g ( y) g y d y d y y y Άρα το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με κυκλική συχνότητα Η περίοδος της ταλάντσης του συστήματος είναι: π T T π () Αλλά από την () προκύπτει ότι: οπότε η () γίνεται: g /. T π g π, π,,68sec ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 6 Να υπολογιστεί η περίοδος Τ τν απλών αρμονικών ταλαντώσεν της μάζας Μ στις περιπτώσεις (α) και (β). Θερήστε ότι τα ελατήρια έχουν σταθερές και αντίστοιχα. (Τμήμα Αγρονόμν Τοπογράφν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) (α) (β) F F M F Mg M Mg α) Έστ Δ η επιμήκυνση τν ελατηρίν όταν το σύστημα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας. Λόγ ισορροπίας ισχύει: Mg = ( + )Δ () Κατά τη διέγερση του συστήματος κατά y από τη θέση ισορροπίας οι δυνάμεις τν ελατηρίν είναι: F = (Δ +y) και F = (Δ +y) Άρα ο ος νόμος του Newton δίνει: F y Mα Mg ( ( y) () d y ( y) M y d y d y )y M M Δηλαδή το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με ένα ελατήριο σταθεράς + και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με κυκλική συχνότητα : και περίοδο: T π T π M β) Στην περίπτση αυτή η ίδια δύναμη F ασκείται σε καθένα από τα ελατήρια που είναι συνδεδεμένα σε σειρά και τα επιμηκύνει διαφορετικά, κατά y και y αντίστοιχα. Επομένς ισχύει: F = y = y () Αλλά είναι: y y y () y F F (3) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 Για το ισοδύναμο σύστημα ενός ελατηρίου σταθεράς ισχύει: F y y F (4) Άρα η (3) λόγ της (4) δίνει: F F F Δηλαδή η περίπτση (β) αντιστοιχεί στην περίπτση που υπάρχει ένα μόνο ελατήριο σταθεράς. Αποδεικνύεται ότι το σύστημα αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με περίοδο: ) M( π T M π T

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 7 Ένα σώμα μάζας πέφτει από ύψος yo σ ένα δίσκο που συγκρατείται από ένα ελατήριο σταθεράς, όπς φαίνεται στο σχήμα και προσκολλάται στο δίσκο. Υποθέτοντας ότι οι μάζες του ελατηρίου και του δίσκου είναι πολύ μικρές και επομένς μπορούν να αγνοηθούν: α) Να υπολογίσετε το μέγιστο μήκος y, κατά το οποίο θα κατεβεί ο δίσκος. β) Να δείξετε ότι ο δίσκος θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντση και να υπολογίσετε τη θέση y γύρ από την οποία θα γίνει η ταλάντση. γ) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντσης. (Τμήμα Ηλεκτρολόγν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) (A) y ο α) Στο μέγιστο μήκος y κατά το οποίο θα κατέβει ο δίσκος, το ελατήριο θα έχει επιμηκυνθεί κατά y και το σύστημα θα ακινητοποιηθεί στιγμιαία. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μεταξύ της αρχικής θέσης (Α) και της τελικής (Γ) προκύπτει: (Γ) y y Οι λύσεις της παραπάν είναι: (Β) y K A V g (y o A K V y gy gy ο ) y y g g 4 ( gy o ) y g g gy o Η αρνητική λύση απορρίπτεται οπότε τελικά είναι: y g g gy o ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 β) Στη θέση y στην οποία το σύστημα ισορροπεί ισχύει: F y g y g y y g () Τη στιγμή που το σώμα κινείται απομακρυνόμενο κατά y από τη θέση ισορροπίας y, ο ος νόμος του Newton δίνει: F y α g (y () d y y) d y d y y y () Δηλαδή το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με κυκλική συχνότητα /. γ) Η θέση του συστήματος συναρτήσει του χρόνου είναι η γενική λύση της (): y(t) = Acos(t + φ) (3) όπου Α το πλάτος της ταλάντσης. Η ταχύτητα του συστήματος είναι: υ(t) y Η (3) δίνει: cos (t φ) A dy Asin( t φ) (4) υ και η (4) δίνει: sin (t φ) A Προσθέτοντας τις παραπάν κατά μέλη προκύπτει: y A υ A y υ A y υ υ A y (5) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Επομένς για τον υπολογισμό του πλάτους Α αρκεί για κάποια θέση y να βρεθεί η ταχύτητα υ. Επειδή είναι γνστή η θέση ισορροπίας y, σχέση (), αρκεί να υπολογιστεί η ταχύτητα υ στη θέση αυτή. Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας μεταξύ της αρχικής θέσης (Α) και της θέσης ισορροπίας (Β) προκύπτει: K A V A K B V B g (y o y ) υ y () g y o g υ g υ gy o g Άρα από την (5) προκύπτει: g g υ gy o υ gy o (6) A y υ (),(6) A g gy o g A g gy o ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 8 Ένας ομογενής συμπαγής δίσκος μάζας Μ και ακτίνας R ταλαντώνεται ς φυσικό εκκρεμές περί οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο του δίσκου σε απόσταση r από το κέντρο του. α) Να αποδείξετε με την ενεργειακή μέθοδο ότι για μικρές γνίες εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση. β) Να υπολογίσετε την περίοδο ταλάντσης και το μήκος του ισοδύναμου απλού εκκρεμούς. γ) Να βρείτε την τιμή του λόγου r/r που ελαχιστοποιεί την περίοδο. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ς προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο του και κάθετο στο επίπεδό του είναι Ιc=MR /. (Τμήμα Ηλεκτρολόγν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) rcosθ Α θ r α) Στη θέση ισορροπίας το κέντρο μάζας βρίσκεται κατακόρυφα κάτ από το Α. Σε μια τυχαία θέση ο δίσκος έχει περιστραφεί κατά γνία θ. Θερώντας ς επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το Α, η δυναμική ενέργεια του δίσκου λόγ του βάρους είναι: V Mgrcosθ ενώ η περιστροφική του κινητική ενέργεια είναι: Κ Άρα η ολική ενέργεια του δίσκου είναι: K V θ gr cosθ () Επειδή δεν υπάρχουν απώλειες πρέπει η ολική ενέργεια να παραμένει χρονικά σταθερή, οπότε: de () d θ d ( ) gr (cos θ) θθ gr ( sin θ)θ θ gr θ M sin θ () ΙΑ Εφαρμόζοντας το θεώρημα Steiner υπολογίζεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ς προς άξονα που περνά από το Α: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 cr R r (R r ) (3) Επομένς η () λόγ της (3) και λαμβάνοντας την προσέγγιση ότι για μικρές γνίες ισχύει sin θ θ, γίνεται: gr θ θ R r Η παραπάν εξίσση συμπίπτει με τη διαφορική εξίσση της απλής αρμονικής ταλάντσης (9-), οπότε ο δίσκος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με κυκλική συχνότητα: gr (4) R r \β) Η περίοδος ταλάντσης του δίσκου είναι: ( 4) π π R r gr Για τον υπολογισμό του μήκους του ισοδύναμου εκκρεμούς εξισώνουμε την περίοδο του φυσικού εκκρεμούς του δίσκου με αυτή του απλού εκκρεμούς. Δηλαδή: (5) R r R r π π (6) g gr r Άρα, όσον αφορά την περίοδο ταλάντσης, η μάζα του φυσικού εκκρεμούς του δίσκου μπορεί να θερηθεί συγκεντρμένη σε ένα σημείο του οποίου η απόσταση από τον άξονα Α δίνεται από τη σχέση (6). Το σημείο αυτό λέγεται κέντρο ταλαντώσες του φυσικού εκκρεμούς. γ) Το ελάχιστο της περιόδου υπολογίζεται με μηδενισμό της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης Τ(r). Δηλαδή: 4rgr g(r r dt (5) (gr ) π r R dr R r gr ) r R r R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 9 Λεπτή ράβδος μήκους μπορεί να περιστρέφεται χρίς τριβές γύρ από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο, ο οποίος περνάει από το ένα της άκρο Ο. Η ράβδος έχει γραμμική πυκνότητα που δίνεται από τη σχέση: όπου είναι η απόσταση από το ( ) 3 άκρο Ο. α) Δείξτε ότι η συνολική μάζα της ράβδου είναι ίση με, το κέντρο μάζας της βρίσκεται 5 στο σημείο c και η ροπή αδρανείας της ς προς τον άξονα περιστροφής είναι 9 7 ίση με Io. 8 β) Η ράβδος εκτελεί ταλαντώσεις γύρ από τον οριζόντιο άξονα. Διατυπώστε την εξίσση κίνησης της ράβδου συναρτήσει της γνίας απόκλισης θ της ράβδου από την κατακόρυφη ευθεία που περνά από το άκρο Ο. Δείξτε ότι για μικρές τιμές της γνίας θ, η ταλάντση είναι απλή αρμονική και βρείτε τη γνιακή συχνότητα της ταλάντσης. (Σχολή Εφαρμοσμένν Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.) d O θ 5 9 d cosθ V= α) Από τον ορισμό της γραμμικής πυκνότητας μάζας με ολοκλήρση θα προκύψει η συνολική μάζα της ράβδου. Δηλαδή: λ () M d d d M 3 d 3 λ() d d 3 3 M 3 Η συντεταγμένη του κέντρου μάζας της ράβδου δίνεται από τη σχέση: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 c d λ()d d 3 3 d 3 3 3 3 3 5 3 3 6 c 5 9 Η ροπή αδράνειας της ράβδου ς προς τον άξονα περιστροφής της δίνεται από τη σχέση: I o d λ()d 3 d 3 3 d 3 4 3 4 7 3 7 Io 3 3 4 3 3 4 () 3 8 β) Σε μια τυχαία θέση, όπου η ράβδος αποκλίνει κατά γνία θ, θερώντας ς επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το Ο, η δυναμική ενέργεια της ράβδου είναι: και η κινητική ενέργεια της ράβδου είναι: 5 V g cosθ 9 K I o () 7 8 K 7 36 dθ Άρα η ολική της ενέργεια είναι: E K V 7 36 dθ 5 g cosθ 9 Επειδή στο σύστημα δεν υπάρχουν απώλειες, η ολική ενέργεια είναι σταθερή κι επομένς ισχύει: de 7 dθ d θ 5 dθ g ( sin θ) 36 9 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 dθ 7 8 d θ 5 gsin θ 9 d θ 7 g sin θ ος τρόπος: Η μόνη δύναμη που ασκείται στη ράβδο είναι το βάρος της g στο κέντρο μάζας της, δηλαδή σε απόσταση 5 c 9 από τον άξονα περιστροφής Ο. Άρα ο θεμελιώδης νόμος της περιστροφικής κίνησης για την κίνηση της ράβδου δίνει: τ 5 Io g sin θ 9 () ο 7 8 d θ d θ 7 g sin θ Η τελευταία εξίσση αποτελεί την εξίσση κίνησης της ράβδου συναρτήσει της γνίας απόκλισης θ της ράβδου. Για μικρές τιμές της γνίας απόκλισης θ, σύμφνα με το ανάπτυγμα Mac Laurin είναι, οπότε η εξίσση κίνησης γίνεται: sin θ θ d θ g θ 7 Άρα η ράβδος, υπό την προϋπόθεση αυτή, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με γνιακή συχνότητα g / 7. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα Ευθύγραμμη λεπτή ομοιογενής ράβδος, μάζας Μ και μήκους, φέρει στο ένα της άκρο σημειακή μάζα Μ. Το σύστημα ράβδος σημειακή μάζα εκτελεί ταλαντώσεις στο κατακόρυφο επίπεδο, περιστρεφόμενο χρίς τριβές, γύρ από οριζόντιο άξονα που περνά από το άλλο άκρο της ράβδου και είναι κάθετος σε αυτήν. Τη στιγμή t = το σώμα περνά από την κατακόρυφο και έχει γνιακή ταχύτητα ο. α) Να βρεθεί η γνιακή ταχύτητα του σώματος συναρτήσει της γνιακής απόκλισής του θ από την κατακόρυφο. β) Να βρεθεί η γνιακή επιτάχυνση του σώματος συναρτήσει της γνίας θ και η συχνότητα για ταλαντώσεις μικρού πλάτους. (Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) O θ / cosθ Mg cosθ V= α) Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μεταξύ της αρχικής (κατακόρυφης) θέσης και της τυχαίας θέσης απόκλισης, θερώντας ς επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από τον άξονα περιστροφής Ο προκύπτει: K αρχ V αρχ K τελ V τελ όπου M ο Mg ο ο ο υ υ ο Mg Mg Mg cosθ Mg cosθ ο και υ ο o, υ η γραμμική ταχύτητα της σημειακής μάζας. 3 Άρα: ο M 3 ο 3 Mg M 3 3 Mg cosθ 3 9 g g( cosθ) ο ο ( cosθ) () 3 3 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 β) Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα είναι το βάρος της ράβδου που εφαρμόζεται στο κέντρο μάζας της και το βάρος της σημειακής μάζας. Επομένς από τη θεμελιώδη εξίσση της περιστροφικής κίνησης προκύπτει: τ ο I συστ Mg sin θ Mgsin θ M 3 M 3 4 9 g Mgsin θ M sin θ () 3 8 ος τρόπος: Από τον ορισμό της γνιακής επιτάχυνσης και τη σχέση () προκύπτει: d d dθ dθ () d dθ 9 g sin θ 4 9 g o ( cosθ) 4 o 9 g ( cosθ) 4 9 g sin θ () 8 Επειδή η σχέση () δίνει την εξίσση κίνησης του συστήματος: d θ/ d θ 9 g sin θ 8 Για ταλαντώσεις μικρού πλάτους, δηλαδή για μικρές γνίες απόκλισης θ ισχύει d θ 9 g οπότε η παραπάν δίνει: θ 8 Δηλαδή τότε το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με συχνότητα sin θ 9g /8. θ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα Μια λεπτή και ομοιόμορφη μεταλλική ράβδος μάζας Μ και μήκους μπορεί να περιστρέφεται χρίς τριβές γύρ από άξονα που περνά από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος σε αυτήν. Ένα ελατήριο σε οριζόντια διεύθυνση, με σταθερά ελατηρίου και φυσικού μήκους d, έχει συνδεδεμένο το ένα άκρο του με το κάτ άκρο της ράβδου, ενώ το άλλο άκρο του είναι συνδεδεμένο με σταθερό στήριγμα. Αν η ράβδος μετατοπιστεί κατά μια μικρή γνία θ από την κατακόρυφο και αφεθεί ελεύθερη να δείξετε ότι: α) η ράβδος εκτελεί απλή αρμονική κίνηση β) Ποια είναι η περίοδος αυτής της αρμονικής κίνησης; (Τμήμα Μηχανικών Μεταλλείν Μεταλλουργών Ε.Μ.Π.) d Ο Mg θ / π/-θ F α) Οι δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο είναι το βάρος της Mg που εφαρμόζεται στο κέντρο της Ο και η δύναμη του ελατηρίου F = που εφαρμόζεται στο άκρο της. Εφαρμόζοντας τη θεμελιώδη εξίσση της περιστροφικής κίνησης προκύπτει: τ I ο o Αλλά: Αλλά: sin( π / θ) cosθ, F = και F sin( π / θ) Io () I o M οπότε η () δίνει: d θ cosθ M cosθ M () 6 sin θ sin θ οπότε η () γίνεται: / sin θ cosθ 6 d θ M sin θ cosθ M 3 d θ d θ 3 sin θ cosθ (3) M ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Για μικρές γνίες απόκλισης θ ισχύουν: sinθ θ και cosθ οπότε η (3) γίνεται: d θ 3 θ M Άρα το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με συχνότητα 3 / M. β) Η περίοδος αυτής της αρμονικής κίνησης είναι: π T π 3 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα Ένα φυσικό εκκρεμές έχει το σχήμα συμπαγούς δίσκου ακτίνας R. Το εκκρεμές ταλαντώνεται γύρ από άξονα κάθετο στο επίπεδο του δίσκου και σε απόσταση από το κέντρο του δίσκου. α) Δείξτε ότι η συχνότητα τν ταλαντώσεν του εκκρεμούς είναι R β) Για ποια τιμή του το εκκρεμές αποκτά μέγιστη συχνότητα ταλάντσης; (Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) g / cosθ P θ α) Ο θεμελιώδης νόμος της περιστροφικής κίνησης δίνει: τ P I P Mgsin θ I P d θ Mg d θ Mg sin θ I P () ος τρόπος: Για τον υπολογισμό της εξίσσης κίνησης του δίσκου μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ολική του ενέργεια. Θερώντας ς επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο, που διέρχεται από τον άξονα περιστροφής Ρ η δυναμική ενέργεια του δίσκου λόγ του βάρους είναι: V = - Mg cosθ Ενώ η περιστροφική του κινητική ενέργεια είναι: K I Άρα η ολική ενέργεια του δίσκου είναι: P K I P dθ E K V I P dθ Mg cosθ Επειδή δεν υπάρχουν απώλειες πρέπει η ολική ενέργεια να παραμένει χρονικά σταθερή, οπότε: de dθ d θ dθ IP Mg ( sin θ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 sin θ Mg θ d I P sin θ I Mg θ d P () Σύμφνα με το θεώρημα Steiner κι επειδή c MR I η ροπή αδράνειας ς προς τον άξονα περιστροφής Ρ είναι: c P M MR M I I Επομένς η εξίσση κίνησης () γίνεται: sin θ R g θ d sin θ M MR Mg θ d Για μικρές γνίες απόκλισης ισχύει sinθ θ οπότε η παραπάν γίνεται: θ R g θ d Άρα ο δίσκος για μικρές γνίες απόκλισης εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με συχνότητα / R g. β) Για τον προσδιορισμό της τιμής του για την οποία η συχνότητα γίνεται μέγιστη, αρκεί να προσδιοριστεί το μέγιστο της παραπάν συνάρτησης ( ) ή ισοδύναμα της ( ) για απλούστευση πράξεν. Δηλαδή: R g R g R g d d d d R R R g g R g Κι επειδή αν γίνουν οι πράξεις προκύπτει ότι d d R / η τιμή R / αντιστοιχεί στο μέγιστο της συνάρτησης ( ) άρα και της ( ).

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 3 Ομογενής κυκλικός δίσκος ακτίνας r ισορροπεί σε κάποιο σημείο της περιφέρειάς του. Αν μετακινήσουμε το δίσκο από τη θέση ισορροπίας κατά μικρή γνία, αποδείξτε ότι το σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο. Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ς προς το κέντρο μάζας του: c r /. (Κατατακτήριες εξετάσεις για Χημείας Ε.Κ.Π.Α.) P θ r Στην περίπτση αυτή ο άξονας περιστροφής του δίσκου βρίσκεται σε ένα σημείο πάν στην περιφέρειά του, δηλαδή σε απόσταση r από το κέντρο μάζας του. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με το προηγούμενο θέμα (υπάρχουν πάλι δύο τρόποι) προκύπτει η εξίσση κίνησης του δίσκου ς: Από το θεώρημα του Steiner είναι: I P I c r d θ gr I r P sin θ r I P 3 r d θ g Άρα: sin θ 3r Και επειδή για μικρές γνίες απόκλισης ισχύει sinθ θ τελικά προκύπτει: d θ g θ 3r Δηλαδή ο δίσκος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με συχνότητα περίοδος της ταλάντσης του δίσκου είναι: g /3r. Η T π / π 3r / g ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 4 Δίσκος με μάζα Μ και ακτίνα R, μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρ από οριζόντιο άξονα Α, που απέχει απόσταση R/ από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. α) Να αποδειχθεί ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ς προς τον άξονα Α είναι IA (3/ 4) MR. β) Να διατυπθεί η εξίσση κίνησης του δίσκου για ελεύθερη περιστροφή περί τον άξονα Α και να βρεθεί η γνιακή συχνότητα για μικρές περιστροφικές ταλαντώσεις του δίσκου. (Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) Ο Α R/ r O R dr Σχήμα Σχήμα α) Αρχικά θα υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του δίσκου ς προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του, που διέρχεται από το κέντρο του. Θερώντας ένα στοιχειώδη κυκλικό δακτύλιο του δίσκου μάζας d, ακτίνας r και πλάτους dr είναι: d σds σπrdr (όπου η στοιχειώδης επιφάνεια ds υπολογίζεται εύκολα με διαφόριση της επιφάνειας κύκλου ακτίνας r, δηλαδή S πr ds πrdr ). Αλλά: M M M σ οπότε: d rdr () S πr R Άρα η ροπή αδράνειας του δίσκου ς προς τον άξονα Ο είναι: I o r d () M R R 3 r dr I o MR Επομένς σύμφνα με το θεώρημα Steiner, η ροπή αδράνειας του δίσκου ς προς τον παράλληλο του Ο άξονα Α είναι: I A I o R M MR MR 4 I A 3 4 MR ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 β) Ακολουθώντας έναν από τους δύο τρόπους, όπς έγινε προηγούμενα, προκύπτει η εξίσση κίνησης του δίσκου για ελεύθερη περιστροφή περί τον άξονα Α ς: d θ Mg sin θ I A Αλλά στην περίπτση αυτή είναι γίνεται: R / και A I (3/ 4) MR οπότε η εξίσση κίνησης d θ g sin θ () 3 R Για μικρές περιστροφικές ταλαντώσεις του δίσκου ισχύει sinθ θ, οπότε η () γίνεται: d θ g θ 3R Δηλαδή ο δίσκος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με γνιακή συχνότητα g /3R. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 5 Κύλινδρος μάζας Μ ακτίνας R, στηρίζεται σε τραχεία οριζόντια επιφάνεια συγκρατούμενος από ελατήριο σταθεράς. Αν ο κύλινδρος κυλίεται χρίς να ολισθαίνει να υπολογιστεί η περίοδος της ταλάντσης που εκτελεί το κέντρο μάζας του. Δίνεται: c R /. (Τμήμα Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) ος τρόπος Θερούμε τυχαία θέση όπου το κέντρο μάζας του κυλίνδρου έχει μετατοπιστεί κατά από τη θέση ισορροπίας του. Ο κύλινδρος εκτελεί σύνθετη κίνηση. Για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας ισχύει: F Mα F T T M () Τ F N Mg υ c Για την περιστροφική κίνηση ισχύει: τc c R R () Αλλά λόγ κύλισης χρίς ολίσθηση είναι : υ c dυ R c d R R (3) Οπότε η () γίνεται λόγ της (3): R MR T (4) R Τελικά αντικαθιστώντας την (4) στην () προκύπτει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 3 3 Δηλαδή το κέντρο μάζας του κυλίνδρου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με κυκλική συχνότητα: 3 Οπότε η περίοδος της ταλάντσης είναι: ος τρόπος (ενεργειακή μέθοδος) π 3 π Επειδή ο κύλινδρος εκτελεί σύνθετη κίνηση, η κινητική του ενέργεια είναι: υc c R θ (5) 4 Αλλά λόγ κύλισης χρίς ολίσθηση είναι υ θr θ c R /R και η (5) γίνεται : 3 4 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος ισούται με τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου: V Οπότε η ολική ενέργεια είναι : Fd d V 3 V (6) 4 Επειδή η ολική ενέργεια παραμένει χρονικά σταθερή ισχύει: de (6 ) 3 3Μ Άρα : και 3 π 3 π ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 6 Σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας r κυλίεται χρίς ολίσθηση σε κυκλική επιφάνεια ακτίνας R. Να υπολογιστεί η περίοδος της ταλάντσης που εκτελεί η σφαίρα όταν απομακρυνθεί ελαφρά από τη θέση ισορροπίας της. Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ς προς το κέντρο μάζας της r / 5. (Τμήμα Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) c Ο θ (R-r)cosθ R-r υc Το κέντρο μάζας της σφαίρας εκτελεί κυκλική κίνηση με κέντρο το Ο και ακτίνα (R-r). Επομένς η γραμμική ταχύτητα του είναι: υ θ ( R - r) () c σφαίρας είναι: Επίσης λόγ της κύλισης χρίς ολίσθηση της σφαίρας, η σχέση που συνδέει τη γραμμική ταχύτητα του με τη γνιακή ταχύτητα της περιστροφικής κίνησης της υc r () Από τις (), () προκύπτει ότι: R r θ (3) r Η κινητική ενέργεια της σύνθετης κίνησης της σφαίρας είναι: (),(3) c c ( θ R - r υ R - r) r θ 5 r 7 (R r) θ (4) Θερώντας ς επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο από το O, η δυναμική ενέργεια της σφαίρας στην τυχαία θέση είναι: V Mg( R - r) cosθ (5) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Επειδή η ολική ενέργεια παραμένει χρονικά σταθερή ισχύει: de (4),(5) d 7 ( R - r) θ g( R - r) cosθ Κι επειδή θ 7 ( R - r) 5 και για μικρές γνίες θ Mg( R - r) sin θ θ sin θ θ 5g θ θ 7(R r) η παραπάν γράφεται: η οποία είναι διαφορική εξίσση απλής αρμονικής ταλάντσης με κυκλική συχνότητα 5g και περίοδο 7(R - r) π 7( R - r) π 5g ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 7 Ένα στροφικό εκκρεμές αποτελείται από σύρμα με συντελεστή στρέψης D, δίσκο μάζας Μ και ακτίνας R και 4 σημειακές μάζες που είναι τοποθετημένες συμμετρικά στην περιφέρεια του δίσκου. Αν ο δίσκος εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας του στρεφόμενος κατά γνία θο, σε πόσο χρόνο θα επανέλθει στην αρχική του θέση; Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου /. (Τμήμα Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) θο c R Το στροφικό αυτό εκκρεμές θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντση, η διαφορική εξίσση της οποίας είναι: d θ D θ όπου για το σύστημα δίσκου μαζών είναι: c R Άρα η περίοδος ταλάντσης του συστήματος είναι: 4R c ( / 4) R π π ( / 4)R D Επομένς αφού η περίοδος είναι ο χρόνος στον οποίο το σύστημα θα κάνει μια πλήρη ταλάντση από την αρχική εκτροπή θο, ο δίσκος θα επανέλθει στην αρχική του θέση (θέση ισορροπίας) σε χρόνο: t 4 π ( / 4)R D ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 8 Ένας ομογενής κύλινδρος ακτίνας R και ύψους Η ισορροπεί εντός υγρού όταν είναι βυθισμένος κατά το ήμισυ του ύψους του. Η πυκνότητα του κυλίνδρου είναι ρκ και αυτή του υγρού ρυ. α) Βρείτε τη σχέση μεταξύ ρκ και ρυ. β) Βυθίζουμε τον κύλινδρο κατά μια μικρή επιπλέον απόσταση zο και εν συνεχεία τον αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Γράψτε τη διαφορική εξίσση κίνησης του κυλίνδρου (κατά την κατακόρυφη διεύθυνση), υποθέτοντας ότι οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο είναι το βάρος του και η άνση. Δείξτε ότι υπό την επίδραση τν αντέρ δυνάμεν, το σώμα θα αρχίσει να εκτελεί ταλαντώσεις της μορφής z = zocost και βρείτε τη συχνότητα ταλάντσης. γ) Γνρίζουμε ότι στην πράξη το σώμα δεν ταλαντώνεται επ άπειρον αλλά αργά ή γρήγορα έρχεται σε κατάσταση ηρεμίας στη θέση ισορροπίας. Γιατί; (Τμήμα Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) H/ g A R ρ κ υγρό πυκνότητας ρ υ α) Οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο είναι το βάρος του B = g και η άνση Α. Επειδή ο κύλινδρος είναι ομογενής η μάζα του είναι = ρκv = ρκπr οπότε: Β = ρκπr Hg () z o Σύμφνα με την αρχή του Αρχιμήδη, η δύναμη της άνσης είναι ίση με το βάρος του υγρού που το σώμα εκτοπίζει. Στη θέση ισορροπίας το μήκος του κυλίνδρου που είναι βυθισμένο μέσα στο υγρό είναι Η/ κι επομένς η μάζα του υγρού που εκτοπίζεται από το H βυθισμένο κύλινδρο είναι: ρ υv ρ υπr. Άρα η δύναμη της άνσης που ασκείται στο σώμα στη θέση ισορροπίας είναι: H A g A ρ υπr g () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Έτσι λόγ ισορροπίας ισχύει: (),() F A B ρ υ πr H ρυ g ρκπr Hg ρ κ (3) β) Όταν ο κύλινδρος βυθίζεται κατά μια επιπλέον απόσταση zο η δύναμη της άνσης μεταβάλλεται, γιατί εκτοπίζεται περαιτέρ υγρό. Τη στιγμή που ο κύλινδρος κινείται απομακρυνόμενος κατά z από τη θέση ισορροπίας η δύναμη της άνσης είναι: H A ρ υπr zg (4) Επομένς σύμφνα με το ο νόμο του Newton η εξίσση κίνησης του κυλίνδρου είναι: F α B A α ρ κ (),(4) κ ρ πr Hg ρ πr πr Hg ρ κ υ H zg ρ H πr zg ρ κ κ (3) d z πr H d z πr H ρ κ πr zg ρ κ d z πr H d z d z g zg H z (5) H g Δηλαδή ο κύλινδρος θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντση με συχνότητα. H Κι επειδή για t = η απόσταση από τη θέση ισορροπίας είναι zο η γενική λύση της (5) έχει τη μορφή: z(t) = zocost γ) Επειδή στην πραγματικότητα ασκούνται και δυνάμεις τριβής μεταξύ του υγρού και της επιφάνειας του κυλίνδρου (τις οποίες δεν λάβαμε υπόψη στα παραπάν), αυτό έχει ς συνέπεια να φθίνει το πλάτος ταλάντσης και μετά από ορισμένο χρόνο το σώμα να έρχεται σε κατάσταση ηρεμίας στη θέση ισορροπίας. Δηλαδή στην πράξη είναι φθίνουσα ταλάντση, λόγ τν τριβών. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θέμα 9 Σλήνας σχήματος U περιέχει ποσότητα υδραργύρου με συνολικό μήκος L. Ο υδράργυρος, που αρχικά ισορροπεί, μετατοπίζεται (με συμπίεση του ενός σκέλους) από τη θέση ισορροπίας. α) Να δειχθεί ότι ο υδράργυρος θα κάνει απλή αρμονική κίνηση. β) Να υπολογιστεί η περίοδος της κίνησης, αν L = c. Δίνεται: g = /sec. (Τμήμα Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) Hg α) Συμπιέζοντας την ελεύθερη επιφάνεια του υδραργύρου κατά από τη θέση ισορροπίας, το βάρος του υδραργύρου ύψους αποτελεί τη δύναμη επαναφοράς του συστήματος. Η μάζα του υδραργύρου μήκους είναι: ρv ρs () όπου ρ η πυκνότητα του υδραργύρου και S η διατομή του σλήνα. Ενώ η ολική μάζα του υδραργύρου είναι: ρv ρsl () Επομένς υπό την επίδραση της δύναμης επαναφοράς F g F ρsg κινείται όλη η μάζα του υδραργύρου και όταν κινείται απομακρυνόμενο από τη θέση ισορροπίας ο ος νόμος του Newton δίνει: () d d d g F α F ρsg ρsl L Επειδή η παραπάν σχέση αποτελεί τη διαφορική εξίσση της απλής αρμονικής κίνησης, προκύπτει ότι ο υδράργυρος θα εκτελέσει απλή αρμονική κίνηση με κυκλική συχνότητα: g (3) L () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 β) Η περίοδος της κίνησης είναι: T (3) π π L g π, / sec π, T,π sec ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778