ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Απλός αρμονικός ταλανττής Η κίνηση ενός συστήματος με ένα βαθμό ελευθερίας γύρ από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας του λέγεται απλή αρμονική ταλάντση. Ο αριθμός τν ανεξάρτητν συντεταγμένν, τν αναγκαίν για τον προσδιορισμό της θέσης ενός υλικού συστήματος, ονομάζεται αριθμός τν βαθμών ελευθερίας του συστήματος. Για παράδειγμα η κίνηση μιας μάζας που έχει στερεθεί στο άκρο ενός ελατηρίου κινείται πάν σε ένα οριζόντιο επίπεδο χρίς τριβές μπορεί να χαρακτηριστεί ς ένα σύστημα με ένα κινητό μέρος (τη μάζα ένα βαθμό ελευθερίας στη διεύθυνση, μια απαιτείται μόνο μια μεταβλητή για την περιγραφή της θέσης της μάζας. Αν η κίνηση της μάζας είναι δυνατή σε δυο ή τρεις διευθύνσεις, τότε το σύστημα θα διαθέτει δυο ή τρεις βαθμούς ελευθερίας αντίστοιχα, καθώς θα απαιτούνται δυο ή τρεις μεταβλητές για την περιγραφή της θέσης της μάζας. Έστ ένα σύστημα με ένα βαθμό ελευθερίας που κινείται ώστε η τυχαία θέση του να καθορίζεται από τη μεταβλητή q ( t. Αν η διαφορική εξίσση που διέπει την κίνηση του συστήματος αυτού είναι της μορφής: d dt q q 0 ( τότε έχει αποδειχθεί ότι το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση με κυκλική συχνότητα. Η διαφορική εξίσση ( περιγράφει πολλά φυσικά φαινόμενα όταν η μεταβλητή q περιγράφει κάποια μεγέθη (,y,z,θ. Η γενική λύση της παραπάν διαφορικής εξίσσης έχει τη μορφή : q ( t cos( t φ ( όπου η θέση q 0 λέγεται θέση ισορροπίας, το Α πλάτος, το κυκλική συχνότητα, το φ αρχική φάση, το πηλίκο T π/ περίοδος το πηλίκο ν = /Τ συχνότητα της ταλάντσης. Από τα παραπάν συμπεραίνεται ότι κάθε σύστημα με ένα βαθμό ελευθερίας ταλαντώνεται με μια μοναδική συχνότητα κι επομένς χαρακτηρίζεται από ένα μοναδικό κανονικό τρόπο ταλάντσης. Από την ( προκύπτει ότι η ταχύτητα η επιτάχυνση του απλού αρμονικού ταλανττή είναι : dq υ Αsin(t φ ( 3 dt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ dυ d q α cos( t φ q ( 4 dt dt Eπίσης σύμφνα με το ο νόμο του Newton η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στον απλό αρμονικό ταλανττή είναι : όπου η σταθεράς επαναφοράς. F α cos( t φ q ( 5 Eνέργεια απλού αρμονικού ταλανττή Η κινητική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλανττή είναι : υ 3 sin ( t φ cos ( t φ ( q ( 6 ενώ η δυναμική του ενέργεια είναι : v 0 q (5 dv F dv Fdq V qdq V q dq 0 q 0 q ( 7 Τέλος η ολική του ενέργεια είναι : E V σταθ. ( 8 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εφαρμογή Να εκφραστεί το πλάτος Α η αρχική φάση φ της απλής αρμονικής ταλάντσης y ( t cos( t φ συναρτήσει της αρχικής θέσης της αρχικής ταχύτητας y (0 υ ο. y(0 Λύση Είναι : y ( t cos( t φ ( dy υ ( t sin ( t φ dt ( y ο Αρχικά για t 0 η ( δίνει : y(0 cos φ yο cos φ (3 η ( δίνει : υ(0 y(0 sin φ υο sinφ (4 Επομένς λύνοντας την (3 ς προς cosφ την (4 ς προς sinφ, υψώνοντας στο τετράγνο προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει : (3 cosφ yo cos υo (4 sin φ sin y φ o υο φ ( cos φ sin φ y ο υο ο υο y υ υ yο yο ο ο Επίσης διαιρώντας κατά μέλη τις (4 (3 προκύπτει : sin tn tan tan cos y y y y ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Σύνθεση ή συμβολή απλών αρμονικών ταλαντώσεν Η συνισταμένη κίνηση δυο ή περισσότερν απλών αρμονικών ταλαντώσεν λέγεται σύνθεση ή συμβολή απλών ταλαντώσεν. Διακρίνονται οι εξής χαρακτηριστικές περιπτώσεις : α Σύνθεση δυο απλών αρμονικών ταλαντώσεν με ίδιες διευθύνσεις συχνότητες Έστ δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίδιες διευθύνσεις, ίδιες συχνότητες, πλάτη αρχικές φάσεις.δηλαδή :, φ, φ cos(t φ cos(t φ Η συνιστάμενη ταλάντση δίνεται από τη σχέση : cos(t φ cos(t φ (cos t cosφ sin tsin φ (cost cosφ sin tsin φ ( cosφ cosφ cost ( sin φ sin φ sin t ( 9 Επομένς η συνιστάμενη ταλάντση θα έχει διεύθυνση συχνότητα ίδιες με αυτές τν απλών ταλαντώσεν πλάτος : ( cosφ cosφ ( sin φ sin φ φ (cos φ cosφ sin φ sin cos( φ φ ( 0 Παρατηρείται ότι το συνιστάμενο πλάτος εξαρτάται από τα πλάτη, τη διαφορά φάσης φ φ τν δυο ταλαντώσεν. φ Επομένς αν φ φ τότε φ 0, δηλαδή οι δυο ταλανττές βρίσκονται σε φάση το πλάτος Α γίνεται μέγιστο :, ενώ αν φ φ π τότε φ φ π, δηλαδή οι δυο ταλανττές βρίσκονται σε αντίθεση φάσης το πλάτος γίνεται ελάχιστο. : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β Σύνθεση δυο απλών αρμονικών ταλαντώσεν με ίδιες διευθύνσεις διαφορετικές συχνότητες Έστ δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίδιες διευθύνσεις, συχνότητες ίδια πλάτη αρχικές φάσεις φ φ 0. Δηλαδή :, cos t cos t Η συνιστάμενη ταλάντση δίνεται από τη σχέση : (cos t cos t ( t t cos ( cos ( Δηλαδή η προκύπτουσα κίνηση είναι ταλάντση με συχνότητα ίση με τη μέση τιμή τν δυο ταλαντώσεν ( / διαμορφμένο πλάτος Α, που μεταβάλλεται δηλαδή μεταξύ Α 0 με μια πολύ χαμηλότερη συχνότητα ίση με την ημιδιαφορά ( / τν συχνοτήτν τν δυο ταλαντώσεν. Η αυξομείση αυτή του πλάτους ονομάζεται διακρότημα (beat. Παρατηρείται ότι όταν οι είναι σχεδόν ίσες, ο όρος / είναι πολύ μικρός το πλάτος μεταβάλλεται αργά, ενώ γίνεται μέγιστο ίσο με Α όταν ( t cos. Η σύνθεση τν δυο αυτών ταλαντώσεν η δημιουργία του διακροτήματός τους παριστάνεται στο ακόλουθο σχήμα : ( Α -Α Α ( t cos + t t -Α ( t cos Σχήμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ γ Σύνθεση δυο απλών αρμονικών ταλαντώσεν με κάθετες διευθύνσεις ίδιες συχνότητες Έστ δυο κάθετες απλές αρμονικές ταλαντώσεις, με ίδιες συχνότητες, πλάτη αρχικές φάσεις Δηλαδή : φ, φ., cos( t φ cos( t φ y Η συνιστάμενη κίνηση βρίσκεται με απαλοιφή του χρόνου t από τις εξισώσεις αυτές, ώστε να προκύψει μια σχέση μεταξύ τν, y τν σταθερών φ,φ. Από τις παραπάν σχέσεις αναπτύσσοντας τα συνημίτονα προκύπτει : cos( t φ cos t cosφsin tsinφ y y cos( t φ costcosφ sin t sinφ Απαλείφοντας το χρόνο από τις δυο παραπάν μετά από αρκετές πράξεις προκύπτει : sin φ y y sin φ cos cos φ φ 0 η οποία τελικά δίνει την γενική εξίσση της έλλειψης : y y φ cos( φ φ sin ( φ ( Παρατήρηση : Στη γενικότερη περίπτση οι άξονες της έλλειψης έχουν μια κλίση ς προς τους άξονες τν y, ενώ όταν η διαφορά φάσης είναι φ φ π/ τότε αυτοί γίνονται οι κύριοι άξονες η εξίσση ( παίρνει την απλή μορφή : y δηλαδή μιας έλλειψης με ημιάξονες. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Επίσης αν Α=Α=Α τότε αυτή δίνει τον κύκλο : y Όταν η διαφορά φάσης είναι φ φ 0,π,4π,... η εξίσση ( απλοποιείται στην : y δηλαδή είναι μια ευθεία που περνά από την αρχή τν αξόνν με κλίση /. Ενώ όταν είναι φ φ π,3π,5π,... προκύπτει : y δηλαδή είναι μια ευθεία που περνά από την αρχή τν αξόνν έχει αντίθετη κλίση. / Οι τροχιές του σματιδίου για διάφορες τιμές του δ φ φ για ίσα πλάτη παριστάνονται στο ακόλουθο σχήμα επιδεικνύονται εύκολα με έναν παλμογράφο. δ=0 δ=π/4 δ=π/ δ=3π/4 δ=π y=cos(t+φ δ=5π/4 δ=3π/ δ=7π/4 δ=π δ=9π/4 Σχήμα. =cos(t+φ Σημείση: Από τα παραπάν παρατηρείται ότι όταν φ φ 0, π,π,3π,... η έλλειψη εκφυλίζεται σε ευθεία γραμμή, η δόνηση που προκύπτει κείται εξ ολοκλήρου σε ένα επίπεδο οι ταλαντώσεις λέγονται γραμμικά πολμένες. Ενώ οι άλλες τιμές του φ-φ δίνουν κυκλική ή ελλειπτική πόλση. Το επίπεδο πόλσης είναι πάντα κάθετο στο επίπεδο πάν στο οποίο εκτελούνται οι ταλαντώσεις. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ δ Σύνθεση δυο απλών αρμονικών ταλαντώσεν με κάθετες διευθύνσεις διαφορετικές συχνότητες Όταν οι συχνότητες τν δυο καθέτν απλών αρμονικών ταλαντώσεν δεν είναι ίσες, τότε η μορφή της τροχιάς είναι πιο περίπλοκη καθορίζεται επιπλέον από το πηλίκο τν συχνοτήτν. Τα σχήματα τν τροχιών που διαγράφονται κατά την κίνηση του σματιδίου λέγονται εικόνες Lissajous παραδείγματα τέτοιν σχημάτν φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα. / / δ 0 π/4 π/ /3 /3 Σχήμα.3 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Συζευγμένες ταλαντώσεις Όταν δύο ή περισσότερες ταλαντώσεις εξαρτώνται η μία από την άλλη ονομάζονται συζευγμένες. Η κίνηση τν δύο μαζών του Σχήματος.4 που είναι προσδεμένες στα ακλόνητα τοιχώματα μέσ τν τριών ελατηρίν αποτελεί συζευγμένη ταλάντση. Το σύστημα αυτό διαθέτει δύο βαθμούς ελευθερίας, αφού η κίνηση είναι μονοδιάστατη απαιτείται μια μεταβλητή για να καθοριστεί η θέση της κάθε μάζας. Θερώντας ότι οι δύο μάζες κινούνται μονοδιάστατα χρίς τριβή σε κάποια χρονική στιγμή οι μετατοπίσεις τν Σχήμα.4 μαζών από τις θέσεις ισορροπίας τους (όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος είναι (0, τότε το πρώτο ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά, ( - ( - το δεύτερο κατά, ενώ το τρίτο έχει συμπιεστεί κατά Επομένς η πρώτη μάζα δέχεται από το πρώτο ελατήριο μία δύναμη προς τα αριστερά από το δεύτερο μια δύναμη (- προς τα δεξιά, ενώ η δεύτερη μάζα δέχεται από τα δύο ελατήρια τις δυνάμεις (- προς τα αριστερά. Άρα οι εξισώσεις κίνησης τν δύο μαζών, σύμφνα με τον ο νόμο του Newton είναι: F α ( ( 3 F α (. όπου d / dt d / dt είναι οι επιταχύνσεις τν δύο μαζών. Οι εξισώσεις ( 3 αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης του συστήματος είναι ένα διαφορικό σύστημα με άγνστες τις συναρτήσεις (t (t. Παρατηρείται ότι οι εξισώσεις ( 3 περιέχουν τους συνήθεις όρους απλής αρμονικής ταλάντσης της κάθε μάζας συν ένα όρο σύζευξης (, λόγ του μεσαίου ελατηρίου. Υπάρχουν δύο μέθοδοι για την επίλυση του διαφορικού συστήματος ( 3, οι οποίες καταλήγουν σε ταυτόσημα αποτελέσματα. Η πρώτη ονομάζεται μέθοδος τν κανονικών τρόπν ταλάντσης (μαθηματική μέθοδος, ενώ η δεύτερη μέθοδος τν κανονικών συντεταγμένν (φυσική μέθοδος. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Κανονικοί τρόποι ταλάντσης Δεχόμαστε ότι στο σύστημα έχει διεγερθεί ένας μόνο τρόπος ταλάντσης που χαρακτηρίζεται από συχνότητα φάση φ, δηλαδή οι κινήσεις τν δύο μαζών είναι αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας ίδιας φάσης φ, οπότε οι λύσεις του συστήματος ( 3 είναι της μορφής: φ (t cos(t φ (t Bcos(t ( 4 όπου Α Β τα πλάτη της κίνησης τν δύο μαζών. Παραγγίζοντας δύο φορές ς προς το χρόνο τις εξισώσεις ( 4 προκύπτει: cos(t φ B cos(t ( 5 φ αντικαθιστώντας τις ( 4 ( 5 στο σύστημα ( 3 προκύπτει: cos(t φ [Bcos(t φ cos(t φ] Bcos(t φ [Bcos(t φ cos(t φ] B cos(t φ cos(t φ B B ( B 0 B ( B 0 ( 6 Δηλαδή προκύπτει ένα γραμμικό ομογενές αλγεβρικό σύστημα με άγνστους τα πλάτη Α Β. Συνεπώς για να έχει το σύστημα αυτό μη μηδενική λύση (δηλαδή για να είναι 0 0 θα πρέπει η ορίζουσα τν συντελεστών του να είναι μηδενική, οπότε: 0 ( 0 ( ( 0 ( ( Άρα οι λύσεις της παραπάν εξίσσης είναι: Οι συχνότητες, με τις οποίες οι μάζες μπορούν να εκτελούν αρμονικές ταλαντώσεις, ονομάζονται ιδιοσυχνότητες του συστήματος ή συχνότητες κανονικών τρόπν ταλάντσης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Προκειμένου να περιγραφούν τα σχήματα τν κανονικών τρόπν ταλάντσης γίνεται αντικατάσταση τν τιμών διαδοχικά σε μια από τις γραμμικά εξαρτημένες εξισώσεις ( 6. Έτσι τελικά προκύπτει ο λόγος τν πλατών τν ταλαντώσεν τν δύο μαζών: Για είναι : ος τρόπος B 3 για είναι : ος τρόπος B Αν τέλος αντικατασταθεί στις σχέσεις ( 4 B B προκύπτουν οι δύο τρόποι ταλάντσης ς: ος τρόπος: ος τρόπος: (t (t (t (t cos( t φ cos( t φ cos( t φ cos( t φ ( 8 Οι ταλαντώσεις ( 8 ονομάζονται κανονικοί τρόποι ταλάντσης του συστήματος (noral odes. Στη γενικότερη περίπτση όπου έχουν ταυτόχρονα διεγερθεί οι δύο τρόποι ταλάντσης, οι σχέσεις που περιγράφουν την κίνηση τν μαζών του συστήματος θα δίνονται από την υπέρθεση τν σχέσεν που περιγράφουν την κίνηση σε κάθε κανονικό τρόπο, δηλαδή: (t (t cos( t φ cos( t φ cos( t φ cos( t φ ( 9 Οι σταθερές, για τα πλάτη φ,φ για τις φάσεις μπορούν να υπολογιστούν από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος, δηλαδή από τις αρχικές θέσεις τις αρχικές ταχύτητες τν δύο μαζών. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Κανονικές συντεταγμένες Προσθέτοντας αφαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις ( 3 προκύπτει το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεν : ( ( ( 3( ( 0 Οπότε ορίζοντας τις νέες μεταβλητές y y ( αντικαθιστώντας τις στις ( 0 προκύπτει το ισοδύναμο σύστημα y y y 3y y y y 3 y 0 0 ( Παρατηρείται ότι ενώ οι αρχικές εξισώσεις κίνησης ( 3 αποτελούν ένα σύστημα συζευγμένν διαφορικών εξισώσεν, οι εξισώσεις ( είναι ασύζευκτες, αφού κάθε μία περιέχει μόνο μια μεταβλητή. Οι μεταβλητές με τη βοήθεια τν οποίν οι αρχικές εξισώσεις κίνησης μετασχηματίστηκαν στην απλούστερη μορφή τν εξισώσεν ( ονομάζονται κανονικές συντεταγμένες στην περίπτση του προβλήματος αυτού έχουν συγκεκριμένη φυσική σημασία: η y συστήματος, ενώ η y y περιγράφει τη θέση του κέντρου μάζας του y τη σχετική θέση της μίας μάζας ς προς την άλλη. Κάθε εξίσση από τις ( περιγράφει την κίνηση ενός αρμονικού ταλανττή προφανώς η λύση τους είναι: y φ (t cos( t φ y ( t cos( t ( 3 όπου 3 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Δηλαδή είναι οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης, εκείνες ακριβώς που προέκυψαν με την μέθοδο τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. Από τις εξισώσεις ( προκύπτουν οι αρχικές μεταβλητές του προβλήματος ς: y y y y ( 4 σύμφνα με τις εξισώσεις ( 3 οι συναρτήσεις σχέσεις: θα δίνονται από τις (t (t cos( t φ cos( t φ cos( t φ cos( t φ ( 5 Οι συναρτήσεις αυτές υποδεικνύουν το σχήμα τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος. Επομένς αν έχει διεγερθεί μόνο ο τρόπος ταλάντσης με συχνότητα, θα πρέπει το πλάτος που αντιστοιχεί στον τρόπο ταλάντσης με συχνότητα να είναι μηδενικό, ενώ αντίστοιχα αν διεγερθεί μόνο ο τρόπος ταλάντσης με συχνότητα πρέπει το πλάτος να είναι μηδενικό. Έτσι από τις σχέσεις ( 5 προκύπτουν οι δύο κανονικοί τρόποι ταλάντσης του συστήματος ς: θα ος τρόπος: Για : (t (t cos( t φ cos( t φ ος τρόπος: Για 3 : (t (t cos( t φ cos( t φ Παρατηρείται ότι στον πρώτο τρόπο ταλάντσης τα πλάτη είναι ίσα οι δύο μάζες του συστήματος κινούνται στην ίδια κατεύθυνση, ενώ στο δεύτερο τρόπο ταλάντσης, οι μάζες κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις με ίσα αλλά αντίθετα πλάτη. Εναλλακτικά εστιάζοντας την προσοχή όχι στις ταλαντούμενες μάζες, αλλά στο ελατήριο που τις συνδέει, παρατηρείται ότι στον τρόπο ταλάντσης με συχνότητα το ελατήριο εκτελεί παλινδρομική κίνηση χρίς να παραμορφώνεται, ενώ στην ταλάντση με συχνότητα το ελατήριο παραμορφώνεται, αλλά με το κέντρο μάζας του σταθερό. Δηλαδή τα ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ αποτελέσματα αυτά ταυτίζονται με τα αποτελέσματα της μεθόδου τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. Παρατηρήσεις:. Το πλήθος τν τρόπν ταλάντσης ενός συστήματος συζευγμένν ταλανττών είναι ίσο με τον αριθμό τν βαθμών ελευθερίας του συστήματος.. Σε κάθε κανονικό τρόπο ταλάντσης όλα τα κινητά μέρη του συστήματος ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα την ίδια φάση που είναι χαρακτηριστικές αυτού του συγκεκριμένου τρόπου. 3. Αν στο σύστημα έχουν διεγερθεί όλοι οι τρόποι ταλάντσης, τότε η γενική κίνηση του συστήματος προκύπτει ς υπέρθεση όλν τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος. Μεθοδολογία Με τον τρόπο που αναπτύχθηκε στην παράγραφο αυτή προσδιορίζονται οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης ενός συστήματος οι αντίστοιχοι λόγοι τν πλατών. Συνοπτικά ακολουθείται η παρακάτ διαδικασία: Σύμφνα με τον ο νόμο του Newton γράφονται οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης του συστήματος. Προσέξτε ότι οι διαφορικές αυτές εξισώσεις είναι τόσες, όσοι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος, δηλαδή όσες οι μεταβλητές που περιγράφουν τη θέση τν κινητών μερών του συστήματος. Στη συνέχεια κάθε μεταβλητή θέσης q αντικαθίσταται στις παραπάν διαφορικές εξισώσεις με μια σταθερή η επιτάχυνση με i έτσι προκύπτει ένα αλγεβρικό σύστημα με αγνώστους τις σταθερές, που εκφράζουν τα πλάτη κάθε κινητού μέρους του συστήματος. i q i 3 Απαιτώντας η ορίζουσα τν συντελεστών τν αγνώστν του συστήματος να είναι μηδενική προσδιορίζονται οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήματος. 4 Για καθεμία από τις παραπάν συχνότητες υπολογίζονται από το σύστημα οι αντίστοιχοι λόγοι τν πλατών. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Απλά συστήματα συζευγμένν μηχανικών ταλανττών Στην παράγραφο αυτή εξετάζονται πέντε απλά συστήματα ταλανττών, όπου εφαρμόζονται οι μέθοδοι αναζήτησης τν κανονικών τρόπν ταλάντσης που αναπτύχθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο. α Συζευγμένα εκκρεμή θ θ Τ Τ Τ θ Τ y F ελ F ελ Τ θ Τ y Θ.Ι. g Θ.Ι. g Σχήμα.5 Το σύστημα του Σχήματος.5 αποτελείται από δύο όμοια εκκρεμή μάζας μήκους, τα οποία έχουν συζευχθεί με ένα ελατήριο σταθεράς. Για τη μελέτη της κίνησης τν δυο μαζών τν εκκρεμών επιλέγονται ς συντεταγμένες οι απομακρύνσεις (> από τη θέση ισορροπίας. Οι δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα φαίνονται στο σχήμα επειδή > το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί ασκεί στις δυο μάζες δυνάμεις (- που κατευθύνονται προς αυτό. Άρα σύμφνα με το ο νόμο του Newton οι εξισώσεις κίνησης τν δυο μαζών είναι : Για το δεξί εκκρεμές : F α F F y α 0 y F ελ α g cosθ sinθ g T ( g cos θ Οπότε η ( λόγ της ( δίνει : gt αnθ ( Αλλά λόγ μικρών απομακρύνσεν στην προσέγγιση μικρών γνιών είναι : ( ( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ tαnθ sinθ / οπότε : g g ( (3 Για το αριστερό εκκρεμές : F α F F y α 0 y F ελ α g cosθ sinθ g T ( g cos θ (4 (5 Οπότε η (4 λόγ της (5 δίνει : gtα nθ ( Αλλά λόγ τν μικρών απομακρύνσεν είναι : tαnθ sinθ / g g οπότε : ( (6 Εφαρμόζοντας τη μέθοδο τν κανονικών συντεταγμένν, δηλαδή προσθέτοντας αφαιρώντας τις σχέσεις (3 (6 προκύπτει το σύστημα: y y g y 0 g y 0 (7 όπου οι νέες μεταβλητές y δίνονται από τις σχέσεις: y είναι οι κανονικές συντεταγμένες του προβλήματος y y (8 ενώ οι συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης είναι: g g (9 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η γενική λύση τν διαφορικών εξισώσεν (7 είναι: y (t y (t cos( t φ cos( t φ (0 Άρα στη γενική περίπτση διέγερσης, η θέση τν δύο μαζών θα δίνεται από την υπέρθεση τν σχέσεν (0, δηλαδή: (t y (t y (t y (t y (t (t (t (t cos( t φ cos( t φ cos( t φ cos( t φ ( Ενώ για τους κανονικούς τρόπους ταλάντσης ισχύει: ος τρόπος: Για g είναι : (t (t cos( t φ cos( t φ ος τρόπος: Για g είναι : (t (t cos( t φ cos( t φ Σχηματικά οι δύο αυτοί κανονικοί τρόποι ταλάντσης φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα: ος τρόπος ος τρόπος Σχήμα.6 Παρατηρείται ότι στον πρώτο τρόπο ταλάντσης δεν έχουμε παραμόρφση του ελατηρίου τα δύο εκκρεμή ταλαντώνονται με την ίδια φάση πλάτος σαν να ήταν ελεύθερα, ενώ στο δεύτερο τρόπο η ταλάντση χαρακτηρίζεται από το ίδιο πλάτος, αλλά αντίθετη φάση. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β Διπλό εκκρεμές Ο φ Τ Τ g y φ Τ g Σχήμα.7 Το σύστημα αυτό αποτελείται από δύο μάζες, όπου η πρώτη κινείται σε σταθερή απόσταση από το σημείο αναρτήσες Ο, ενώ η δεύτερη κινείται σε σταθερή απόσταση από την πρώτη μάζα. Η κίνηση του συστήματος θερείται ότι γίνεται μόνο στο κατακόρυφο επίπεδο έχει δύο βαθμούς ελευθερίας, αφού οι γνίες καθορίζουν τις θέσεις τν μαζών. Στην τυχαία θέση του συστήματος η δεύτερη μάζα δέχεται την τάση του νήματος το βάρος g, ενώ στην πρώτη μάζα ασκείται το βάρος της g οι τάσεις από τα δύο νήματα. φ φ Θερώντας ς μεταβλητές του προβλήματος τις αποστάσεις τν δύο μαζών από την κατακόρυφο αναλύοντας τις δυνάμεις στους άξονες y, ο ος νόμος του Newton δίνει: Για την πρώτη μάζα: Τ Τ cosφ φ Τ sinφ Τ sinφ φ Τ cosφ Τ g F F α F y α 0 T T cos φ sin φ T T sin φ cosφ g 0 ( ( ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Για τη δεύτερη μάζα: Τ Τ cosφ φ Τ sinφ g F F α F y α 0 T T cos φ sin φ g 0 (3 (4 Από τη σχέση (4 προκύπτει ότι T g / cos φ η ( δίνει: T g / cos φ. Επομένς αντικαθιστώντας αυτές στις ( (3 προκύπτει: gt αnφ gt αnφ gt αnφ (5 Αλλά επειδή οι γνίες απόκλισης φ φ είναι πολύ μικρές ισχύουν οι σχέσεις: tαnφ sin φ tαnφ sin φ (6 Άρα αντικαθιστώντας τις (6 στις (5 προκύπτει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( g ( g g g ( 3g g 0 0 (7 Σύμφνα με τη μέθοδο τν κανονικών τρόπν ταλάντσης υποθέτοντας ότι (t cos(t φ, (t cos(t αντικαθιστώντας στις (7 προκύπτει: φ 3g g ( g 3g 0 g 0 g g 0 0 (8 Συνεπώς ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς αυτού συστήματος δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης ς: 3g g g g g ( 0 4 4g g g ( 0 Ο λόγος τν πλατών ταλάντσης βρίσκεται με αντικατάσταση τν τιμών διαδοχικά σε μια από τις εξισώσεις (8 ς: Για g ( είναι : ος τρόπος για g ( είναι : ος τρόπος Άρα τα σχήματα τν κανονικών τρόπν ταλάντσης είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ος τρόπος: ος τρόπος: (t (t ( (t (t ( cos( t φ cos( t φ cos(t φ cos( t φ Σχηματικά οι δύο αυτοί κανονικοί τρόποι ταλάντσης φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα: φ φ φ φ ος τρόπος ος τρόπος ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ γ Διατομικό μόριο Έστ το μοντέλο ενός διατομικού μορίου που αποτελείται από δύο μάζες οι αλληλεπιδράσεις τν ατόμν αυτών προσεγγίζονται από ένα ελατήριο σταθεράς. Επιλέγοντας ς συντεταγμένες τις απομακρύνσεις τν ατόμν από τη θέση ισορροπίας τους αν υποτεθεί χρίς βλάβη της γενικότητας ότι, τότε το ελατήριο θερείται επιμηκυμένο ασκεί στις δύο μάζες δυνάμεις ( που κατευθύνονται προς αυτό. ( - ( - Συνεπώς ο ος νόμος του Newton για τις δύο μάζες δίνει:, F α F α ( 0 ( 0 ( Σύμφνα με τη μέθοδο τν κανονικών τρόπν ταλάντσης, θερώντας λύσεις της μορφής (t cos(t φ, (t Bcos(t φ αντικαθιστώντας στο σύστημα ( προκύπτει: B B 0 B 0 B 0 B 0 ( Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς αυτού συστήματος δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης ς: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ μ ( 0 0 ( όπου μ μ η ανηγμένη μάζα του συστήματος τν δύο μαζών. Αντικαθιστώντας τις τιμές τν διαδοχικά σε μια από τις εξισώσεις ( προκύπτει ο λόγος τν πλατών ταλάντσης ς εξής: Για 0 είναι: B (δηλαδή το σύστημα εκτελεί μεταφορική κίνηση σαν ένα στερεό σώμα. Οπότε : t cos( (t t cos( (t φ φ ος τρόπος Ενώ για ( είναι: B οπότε : t cos( (t t cos( (t φ φ ος τρόπος Εναλλακτικά σύμφνα με τη μέθοδο τν κανονικών συντεταγμένν, προσθέτοντας αφαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις ( προκύπτει το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεν:

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ ( 0 dt d 0 (3 Ορίζοντας τις νέες μεταβλητές ξ ξ (κανονικές συντεταγμένες οι εξισώσεις (3 δίνουν: 0 ξ ξ 0 ξ περιγράφουν αντίστοιχα τους δύο κανονικούς τρόπους ταλάντσης με 0 (. Σχηματικά οι δύο αυτοί κανονικοί τρόποι ταλάντσης φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα. 0,, ( ος τρόπος ος τρόπος Σχήμα.0

26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ δ Τριατομικό μόριο ( - ( - ( 3 - ( 3 - M 3 Σχήμα. Έστ το μοντέλο ενός γραμμικού συμμετρικού τριατομικού μορίου π.χ. του μορίου του διοξειδίου του άνθρακα Ο C O. Στο μόριο αυτό στη θέση ισορροπίας του, τα δύο άτομα του οξυγόνου βρίσκονται συμμετρικά εκατέρθεν σε ίσες αποστάσεις από το άτομο του άνθρακα. Η αλληλεπίδραση τν ατόμν του οξυγόνου θερούνται αμελητέες έτσι θερούνται μόνο οι εγγύτατες αλληλεπιδράσεις τν ατόμν του μορίου, οι οποίες προσεγγίζονται με δύο ελατήρια σταθεράς. Σε μια τυχαία θέση του συστήματος αν είναι οι μετατοπίσεις τν ατόμν από,, 3 τη θέση ισορροπίας τους με 3, τότε το πρώτο ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά, ενώ το δεύτερο κατά 3. Επομένς οι δυνάμεις που ασκούνται στα τρία άτομα από τα ελατήρια είναι αυτές που φαίνονται στο σχήμα ο ος νόμος του Newton για την κίνηση του κάθε ατόμου στον άξονα της κίνησης δίνει: F α F Mα F α 3 ( ( 3 ( 3 ( M 3 3 ( ( 3 0 M 0 M M 3 0 ( Σύμφνα με τη μέθοδο τν κανονικών τρόπν ταλάντσης, θερώντας λύσεις της μορφής (t cos(t φ, (t Bcos(t φ, 3 (t Ccos(t φ αντικαθιστώντας στο σύστημα ( προκύπτει: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

27 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (B 0 B 0 B M B M M C 0 M M B M C 0 ( C (C B 0 B C 0 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς αυτού συστήματος δίνει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: 0 M M M 0 0 M M M M M M M 0 M M 0 M M ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

28 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ M 0, 3 M Αντικαθιστώντας τις τιμές τν, λόγος τν πλατών ταλάντσης ς εξής: 3 διαδοχικά στις εξισώσεις ( προκύπτει ο ος τρόπος Για 0 είναι: =B=C δηλαδή: οπότε : B C (t cos( t φ,(t cos( t φ 3(t cos( t φ ος τρόπος Για οπότε : B C είναι: B=0 C=- δηλαδή: 0 (t cos( t φ,(t 0 3(t cos( t φ 3 ος τρόπος Για 3 B C είναι: C δηλαδή M M M οπότε : (t cos(3t φ3, (t cos(3t φ3 M 3(t cos( 3t φ3 Δηλαδή ο πρώτος τρόπος ταλάντσης με 0 αντιστοιχεί στην απλή μεταφορική κίνηση του μορίου χρίς εστερικές ταλαντώσεις, ο δεύτερος τρόπος ταλάντσης με / αντιστοιχεί στο κεντρικό σματίδιο να παραμένει ακίνητο τα άλλα δύο να ταλαντώνονται με ίσα πλάτη αντίθετη φάση, ενώ ο τρίτος τρόπος ταλάντσης με 3 / / M αντιστοιχεί στα δύο ακραία άτομα να έχουν ίσα πλάτη την ίδια φάση, ενώ το κεντρικό να κινείται με αντίθετη φάση προς τα ακραία με πλάτος /M φορές το πλάτος αυτών. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

29 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Οι φυσικές κινήσεις που συνδέονται με τις ιδιοσυχνότητες στο ακόλουθο σχήμα., 3 παριστάνονται 0 ος τρόπος / ος τρόπος 3 / /M 3 ος τρόπος Σχήμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

30 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ε Χορδή με σφαιρίδια y α α α Τ Τ Τ 3 y Τ y θ θ θ 3 Σχήμα.3 y αντίστοιχα από τη θέση ισορροπίας (με α Το σύστημα του Σχήματος.3 αποτελείται από μια ομογενή ελαστική χορδή που τείνεται με τάση Τ φέρει δύο σφαιρίδια μάζας που απέχουν μεταξύ τους, αλλά από τα τοιχώματα, απόσταση α. Θερείται ότι οι δύο μάζες μπορούν να εκτελούν εγκάρσιες ταλαντώσεις, δηλαδή κινούνται μόνο σε διευθύνσεις κάθετες προς τη χορδή. Έστ η τυχαία θέση του συστήματος, όπου οι μάζες έχουν μετατοπιστεί κατά, y, οπότε οι γνίες y θ, θ θ3 θερούνται πολύ μικρές. Σε κάθε μάζα ασκείται μια δύναμη επαναφοράς που είναι ίση με το άθροισμα τν κάθετν συνιστσών τν τάσεν τν εκατέρθεν τμημάτν της χορδής, ενώ η δύναμη του βάρους κάθε σφαιριδίου αμελείται. Έτσι οι δυνάμεις επαναφοράς που ασκούνται στις δύο μάζες είναι: F sin T sin θ T θ T sin θ T3 sin θ3 F ( Λόγ όμς ισορροπίας τν δύο μαζών κατά την οριζόντια διεύθυνση κάθε οριζόντια συνιστώσα της τάσης Ti cos θ i είναι ίση με την τάση Τ που είχε αρχικά τεντώσει τη χορδή. Δηλαδή: cos θ T cos θ T cos θ T cos θ T T T 3 3 Από τις παραπάν προκύπτει ότι T T / cos θ, T T / cos θ T3 T / cos θ3 αντικαθιστώντας στις ( προκύπτει: F sin Ttαnθ T θ Ttαnθ Ttαnθ 3 F ( Επίσης από το σχήμα εύκολα προκύπτει ότι: y y y tan θ, tαnθ tαnθ3 α α y α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

31 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ T T T Οπότε οι ( γίνονται: F y (y y ( y y α α α T T T F (y y y (y y α α α Συνεπώς σύμφνα με τον ο νόμο του Newton οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης τν μαζών είναι: F F α α ( y α (y α y y y y y y T α T α ( y (y y y 0 0 (3 Σύμφνα με τη μέθοδο τν κανονικών τρόπν ταλάντσης, θερώντας λύσεις της μορφής y (t cos(t φ, y(t Bcos(t φ αντικαθιστώντας στο σύστημα (3 προκύπτει: B T α T α ( B 0 ( B 0 T α T T α T α B 0 B 0 (4 Ο μηδενισμός της ορίζουσας τν συντελεστών του ομογενούς αυτού συστήματος παρέχει τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης: α α α α 0 T α T α 0 4 4T α 3T α 0 T α 3T α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

32 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Οι αντίστοιχοι λόγοι πλατών προκύπτουν με αντικατάσταση τν σε μια από τις σχέσεις (4: Για T B είναι: α y φ οπότε (t cos( t φ y (t cos( t ος τρόπος Για 3T α είναι: B οπότε : y(t=cos(t + φ y(t= cos(t + φ ος τρόπος Δηλαδή παρατηρείται ότι στον πρώτο τρόπο ταλάντσης οι μάζες ταλαντώνονται έτσι ώστε να βρίσκονται οι δύο προς την ίδια πλευρά σε σχέση με τη θέση ισορροπίας τους, ενώ στο δεύτερο τρόπο ταλαντώνονται έτσι ώστε να βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές. Σχηματικά οι δύο αυτοί τρόποι ταλάντσης φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα. ος τρόπος ος τρόπος Σχήμα.4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

33 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Διακροτήματα Κοινό χαρακτηριστικό όλν τν συστημάτν με δύο βαθμούς ελευθερίας που μελετήθηκαν στα προηγούμενα είναι η συμπεριφορά τους, όταν έχουν διεγερθεί ταυτόχρονα οι δυο τρόποι ταλάντσης. Όπς έχει αποδειχθεί οι μεταβλητές του προβλήματος τότε, εκφράζονται με τις συναρτήσεις (-5: (t cos( t φ cos( t φ (t cos( t φ cos( t φ Για απλούστευση αν επιλεγούν κατάλληλα οι αρχικές συνθήκες, έτσι ώστε οι φάσεις να είναι μηδενικές ( φ φ 0 τα πλάτη να είναι ίσα ( τότε οι παραπάν σχέσεις γίνονται : (t (cos t cos t (t (cos t cos t ( 6 Χρησιμοποιώντας τις τριγνομετρικές ταυτότητες: cosα cosβ α cos β α β cos α β α β β α α β cosα cosβ sin sin sin sin, οι σχέσεις (-6 μετασχηματίζονται σε μορφή γινομένου στις: (t cos (t sin t cos t sin t t ( 7 Παρατηρείται δηλαδή ότι κάθε μια μεταβλητή εξαρτάται από δύο συχνότητες: το ημιάθροισμα τν συχνοτήτν τν δύο κανονικών τρόπν ταλάντσης την ημιδιαφορά τους. Επομένς κάθε μια από τις μεταβλητές (t (t περιγράφει μια ταλάντση με συχνότητα ίση με το ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

34 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ημιάθροισμα τν συχνοτήτν, που ονομάζεται μέση συχνότητα μ = + / πλάτος που μεταβάλλεται περιοδικά με συχνότητα ίση με την ημιδιαφορά τν συχνοτήτν, που ονομάζεται συχνότητα διαμόρφσης δ = ( - /. Αυτή η μεταβολή του πλάτους ονομάζεται διαμόρφση κάθε μια από τις σχέσεις ( 7 παριστάνει ένα διακρότημα. Η μορφή τν δύο διακροτημάτν ( 7 παριστάνεται στο ακόλουθο σχήμα: O δ t μ δ O t μ Σχήμα.5 Παρατηρείται ότι η βασική διαφορά τν δύο διακροτημάτν είναι ότι κάθε ένα φτάνει σε μέγιστο πλάτος όταν το πλάτος του άλλου μηδενίζεται, δηλαδή τα δύο πλάτη παρουσιάζουν μια διαφορά φάσης που είναι ίση με π/. Αυτό οφείλεται στην εναλλασσόμενη ροή ενέργειας μεταξύ τν δύο ταλανττών του συστήματος. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

35 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αναρμονικός ταλανττής Οι ταλαντώσεις οι οποίες παρουσιάστηκαν στα προηγούμενα ήταν όλες περιορισμένες ς προς το πλάτος ώστε να ικανοποιούν την εξίσση κίνησης στην οποία η δύναμη επαναφοράς είναι γραμμική συνάρτηση της μετατόπισης. Υπάρχουν όμς ταλαντώσεις που δεν είναι αρμονικές, όπς π.χ. η ταλάντση ενός σματίου που δέχεται συνιστάμενη δύναμη η οποία δεν είναι ανάλογη της μετατόπισης 3 του, δηλαδή έστ ότι είναι της μορφής F λ, όπου λ θετικές σταθερές. Η εξίσση κίνησης του σματιδίου αυτού είναι: 3 λ ( 8 Εύκολα αποδεικνύεται ότι η παραπάν σχέση δεν επαληθεύεται από λύση της μορφής (t=cos(t+φ για καμία τιμή της. Αυτό οφείλεται στην ύπαρξη μη γραμμικών όρν, γι αυτό οι όροι αυτοί λέγονται αναρμονικοί το σύστημα αναρμονικός ταλανττής. Παρόλο που το παραπάν σύστημα δεν εκτελεί αρμονικές κινήσεις, εκτελεί περιοδικές κινήσεις γύρ από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας. Αυτό μπορεί να δειχθεί εύκολα αν παρατηρηθεί ότι η δυναμική ενέργεια του σματίου είναι: V dv 3 4 F dv ( λ d V( λ ( 9 d Το διάγραμμα της δυναμικής αυτής ενέργειας φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα: V E O Σχήμα.6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

36 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Επομένς ανάλογα με την αρχική διέγερση το σματίδιο θα έχει ολική ενέργεια Ε=Κ+V, ενώ η κινητική του ενέργεια θα είναι K E V 0 η κίνηση (μη αρμονική ταλάντση του σματιδίου θα γίνεται μέσα στην περιοχή για την οποία ισχύει η παραπάν συνθήκη, δηλαδή όπς φαίνεται στο σχήμα. Ωστόσο για μικρές μετατοπίσεις γύρ από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας, η ταλάντση δεν διαφέρει πολύ από την αντίστοιχη της απλής αρμονικής ταλάντσης. Αυτό γίνεται εύκολα φανερό αν η δυναμική ενέργεια αναπτυχθεί σε σειρά Taylor γύρ από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας =0 ς: dv d V V( V(0... d ( 30 d 0 0 dv Αλλά επειδή στη θέση ισορροπίας =0 είναι V(0=0 F( 0 0 επίσης d 0 επειδή για μικρές μετατοπίσεις μπορούν ν αγνοηθούν οι όροι 3 ης τάξης άν, η σχέση ( 30 προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την έκφραση της δυναμικής ενέργειας της απλής αρμονικής ταλάντσης : d V V( d 0 ( 3 Άρα για μικρές απομακρύνσεις από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας το σματίδιο εκτελεί αρμονική ταλάντση σύμφνα με την ( 7 η ιδιοσυχνότητα ταλάντσης του σματίου είναι / η περίοδός του είναι T π / π /. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ