6. Περίθλαση. Το φως αλληλεπιδρά µε τα εµπόδια! Μαθήµατα Οπτικής

ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Μαθήµατα Οπτικής 6. Περίθλαση Το φως αλληλεπιδρά µε τα εµπόδια! Στο κεφάλαιο της Γεωµετρικής Οπτικής εξετάσαµε πάρα πολλές περιπτώσεις διάδοσης του φωτός µέσα από διάφορα οπτικά µέσα, ακόµα και µέσα από το ίδιο αλλά µη οµογενές οπτικό µέσο. Η διάθλαση αναφέρεται σε ό,τι συµβαίνει στη διάδοση του φωτός µέσα από διάφορα οπτικά µέσα µε κάποιες προϋποθέσεις, όπως για παράδειγµα τα εµπόδια ή περάσµατα από τα οποία περνά το φως να είναι πολύ µεγαλύτερα από το µήκος κύµατος. Στην πράξη, στη Γεωµετρική Οπτική µπορούµε να αγνοήσουµε ορισµένες συνέπειες της κυµατικής φύσης του φωτός: αν θεωρήσουµε ένα άνοιγµα αρκετά µεγαλύτερο από το µήκος κύµατος, τότε το µέτωπο κύµατος πέρα από το άνοιγµα θα εξακολουθήσει να είναι επίπεδο, και σε µια οθόνη παρατήρησης θα εµφανιστεί η γεωµετρική σκιά του ανοίγµατος. Η Περίθλαση ασχολείται µε εκείνα τα φαινόµενα στα οποία τα εµπόδια ή ανοίγµατα µέσα από τα οποία θα περάσει το φως είναι συγκρίσιµης τάξης µεγέθους µε το µήκος κύµατος, και έτσι η αλληλεπίδραση της κυµατικής φύσης µε το άνοιγµα παίζει σηµαντικότατο ρόλο στη τη διάδοσή του. Σε ένα πέτασµα παρατήρησης δεν έχουµε πλέον µε τη γεωµετρική σκιά του ανοίγµατος: έχουµε την περιθλαστική κατανοµή φωτεινής έντασης. Οι πρώτες παρατηρήσεις περίθλασης έγιναν από τον Francesco Maria Grimaldi και µάλιστα αναφέρονται στο Opticks του Newton. Έχουµε ήδη γνωρίσει φαινόµενα περίθλασης: αν ένα επίπεδο µέτωπο κύµατος προσπέσει πάνω σε ένα πολύ µικρό εµπόδιο ή άνοιγµα που µπορεί να προσεγγιστεί από ένα σηµειακό πέρασµα, τότε το σηµείο αυτό καθίσταται πηγή δευτερευόντων σφαιρικών κυµάτων προς όλες τις κατευθύνσεις. Αυτή είναι η πιο στοιχειώδης έκφραση περίθλασης: το φως αλλάζει πορεία επειδή πέρασε από ένα σηµειακό, απειροστού µεγέθους άνοιγµα, και η αλλαγή αυτή δεν µπορεί να περιγραφεί από τους νόµους της Γεωµετρικής Οπτικής. Το κεφάλαιο αυτό της Περίθλασης ασχολείται µε τις περιπτώσεις, όπου το άνοιγµα -ή εµπόδιο- έχει διαστάσεις µε τάξη µεγέθους συγκρίσιµη µε το µήκος κύµατος του φωτός, το οποίο είναι τάξης µεγέθους µικροµέτρων. Η θεώρηση σε πολλά σηµεία µοιάζει µε τη θεώρηση που αναπτύχθηκε στο κεφάλαιο της Συµβολής, γιατί όπως θα δούµε, η περίθλαση δεν είναι παρά συµβολή από άπειρες -γειτονικέςσηµειακές πηγές.

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ 6.1. Το Γενικευµένο Πρόβληµα Περίθλασης Στην περίπτωση που ένα κύµα προσπέσει σε ένα αδιαφανές πέτασµα µε ένα µεγάλο -σε σύγκριση µε το µήκος κύµατος- άνοιγµα, η θεώρηση της γεωµετρικής οπτικής προβλέπει ευθύγραµµη διάδοση πέρα από αυτό ανεξάρτητα από το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας. Θα θεωρήσουµε ένα προσπίπτον επίπεδο κύµα πριν από το πέτασµα, που το ηλεκτρικό του πεδίο εκφράζεται από µια σχέση της µορφής : E = E expi ωt k r + ϕ (6.1.1) o ( ) Στο χώρο µετά από το πέτασµα το διερχόµενο κύµα θα εκφράζεται ως : E = Eo expi( ωt k r + ϕ ), στο χώρο πέρα από το άνοιγµα E =0, στο χώρο που εµποδίζεται (6.1.2) δηλαδή θα έχουµε ευθύγραµµη διάδοση πέρα από το άνοιγµα, και στο πέτασµα παρατήρησης θα δούµε τη γεωµετρική σκιά του ανοίγµατος. Ðñïóðßðôïí êýìá ÐÝôáóìá Äéåñ üìåíï êýìá ÐÝôáóìá ÐáñáôÞñçóçò íïéãìá Σχήµα 6-1-1 : ιάδοση ενός επίπεδου µέτωπου κύµατος µέσα από µεγάλο πέρασµα. Αντίθετα, στην περίπτωση που το άνοιγµα είναι σχεδόν σηµειακό, τότε το σηµείο εκείνο γίνεται πηγή εκποµπής δευτερογενών κυµάτων, προς όλες τις κατευθύνσεις, σύµφωνα µε την αρχή του Huygens. Για οµογενές και ισότροπο µέσο, τα µέτωπα κύµατος γίνονται σφαιρικά, όπως ακριβώς θα ήταν αν στο άνοιγµα είχαµε ακριβώς µια σηµειακή πηγή. Ðñïóðßðôïí êýìá ÐÝôáóìá ÐÝôáóìá ÐáñáôÞñçóçò Äéåñ üìåíï êýìá íïéãìá Σχήµα 6-1-2 : ιάδοση ενός επίπεδου µέτωπου κύµατος µέσα από µικρό πέρασµα. Σελίδα 6.2

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Το πεδίο σε κάποιο σηµείο Ρ 0 (x 0,y 0 ) στην περιοχή παρατήρησης που απέχει απόσταση r 01 από τη σηµειακή φωτεινή πηγή που εκπέµπει το σφαιρικό κύµα µε συχνότητα ω, θα δίνεται από τη σχέση : E 01 1 1 EP = expi( ωt k r + ϕ) = expi( ωt k r + ϕ) (6.1.3) r01 iλ r01 όπου Ε 01 το πλάτος στη µονάδα της απόστασης από την πηγή, που είναι ανάλογο του προσπίπτοντος αρχικού πλάτους και του συντελεστή 1/iλ. Ο συντελεστής αυτός προκύπτει γιατί το δευτερεύον σφαιρικό κύµα έχει καθυστέρηση φάσης π/2 σε σχέση µε το αρχικό κύµα 1/i=exp(-iπ/2), και πλάτος ίσο µε 1/λ του αρχικού κύµατος. Έτσι, το κύµα που προέρχεται από το σηµείο Ρ 1 (x 1,y 1 ) του ανοίγµατος στο οποίο προσπίπτει κύµα Ε 1 (x 1,y 1 ) θα γραφεί ως : Ex (, y) = hx, x; y, y E x, y, (6.1.4) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 1 1 1 1 όπου η έκφραση h είναι ο παράγοντας ή συνάρτηση µεταφοράς (transfer function). Ο παράγοντας µεταφοράς εκφράζει την εξάρτηση του πεδίου σε κάθε ένα σηµείο του πετάσµατος παρατήρησης -σύστηµα αναφοράς (x 0, y 0 )- από κάθε ένα σηµείο δευτερογενούς εκποµπής του πεδίου στην διαφάνεια εισόδου. Έτσι, συγκρίνοντας τις σχέσεις (6.1.3) και (6.1.4) προκύπτει ότι : i exp( ik r01) h( x0, x1; y0, y1) = (6.1.5) λ r01 Σε ένα πέτασµα παρατήρησης δεν θα δούµε τη γεωµετρική σκιά του ανοίγµατος, που είναι ένα σηµείο, αλλά µια πολύ εκτεταµένη κυκλική κατανοµή φωτεινής έντασης, η οποία φθίνει παραβολικά µε την ακτίνα παρατήρησης. Όσο πιο πολύ απέχει το πέτασµα παρατήρησης από το άνοιγµα, -η απόσταση r 01 -, τόσο πιο λίγο θα εξασθενίζει η ακτινική κατανοµή. Λύσαµε λοιπόν ένα στοιχειώδες πρόβληµα περίθλασης, και βρήκαµε την κατανοµή της φωτεινής έντασης που προέρχεται από περίθλαση από ένα σηµειακό άνοιγµα σε ένα πέτασµα παρατήρησης. Πώς θα είναι όµως η διάδοση του µετώπου αυτού και ποια θα είναι η κατανοµή φωτεινότητας σε ένα πέτασµα από ένα µη σηµειακό άνοιγµα; την απάντηση θα δώσει η Περίθλαση (Diffraction) : Περίθλαση είναι το φαινόµενο που εµφανίζεται όταν φως διαδίδεται µέσα από ανοίγµατα ή γύρω από εµπόδια των οποίων οι διαστάσεις έχουν συγκρίσιµη τάξη µεγέθους µε το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας. Ως ανοίγµατα ή εµπόδια θεωρούµε οποιαδήποτε διάταξη που µεταβάλλει µέρος από το πλάτος ή τη φάση ενός κύµατος. Είναι ενδιαφέρον ότι ο Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld όρισε την περίθλαση ως any deviation of light rays which cannot be interpreted as reflection or refraction. Ασφαλώς φαινόµενα περίθλασης εµφανίζονται σε κάθε µορφή κύµατος, όταν σε κάποιο µέρος του µετώπου του αλλάξει το πλάτος ή η φάση του. Σελίδα 6.3

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ?? Σχήµα 6-1-3 : ιάδοση ενός επίπεδου µέτωπου κύµατος από ένα µη σηµειακό άνοιγµα H πρώτη παρατήρηση είναι ότι στο άνοιγµα έχουµε αρκετές, πλέον, γειτονικές σηµειακές πηγές. Επίσης, οι πηγές αυτές είναι σύµφωνες, µιας και προέρχονται από ακριβώς το ίδιο µέτωπο κύµατος. Έτσι, για να λύσουµε το πρόβληµα της περίθλασης, Για κάθε σηµείο παρατήρησης βρίσκουµε τα -ηλεκτρικά- πεδία από κάθε πιθανή πηγή εκποµπής. Γίνεται γραµµική -διανυσµατική- άθροιση των εντάσεων των ηλεκτρικών πεδίων από τις όλες τις πιθανές σηµειακές πηγές. Βρίσκουµε τη φωτεινή ένταση του κύµατος µε το τετράγωνο της µέσης τιµής του αθροίσµατος των εντάσεων ηλεκτρικών πεδίων. Ασφαλώς, αν οι πιθανές σηµειακές πηγές είναι άπειρες τον αριθµό, τότε δεν γίνεται άθροιση αλλά ολοκλήρωση των αναλυτικών εκφράσεων για τα ηλεκτρικά πεδία από όλες τις πηγές. ηλαδή η λύση της γενικής περίπτωσης του προβλήµατος της περίθλασης είναι η συµβολή όλων των στοιχειωδών κυµάτων από κάθε γειτονικό σηµείο εισόδου στο σηµείο παρατήρησης. Έτσι θα θεωρήσουµε ένα άνοιγµα τυχαίας µορφής στο χώρο (x 1, y 1 ), και µια περιοχή παρατήρησης στο χώρο (x 0, y 0 ) που απέχουν µια διαµήκη απόσταση z. Για να υπολογίσουµε το µέτρο και τη φάση του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σηµείο Ρ 0 (x 0, y 0 ) στην περιοχή παρατήρησης που προέρχεται από ένα σηµείο Ρ 1 (x 1, y 1 ) στο άνοιγµα εισόδου, θα χρειαστούµε : Το µέτρο και φάση του πεδίου στο σηµείο Ρ 1, Ε 1 (x 1, y 1 )=Ε 01 (x 1, y 1 ) exp iφ 0 (x 1, y 1 ) Το µήκος κύµατος λ της ακτινοβολίας, και τέλος, 2 2 Την απόσταση r 01 µεταξύ των σηµείων Ρ 1 και Ρ 0, z ( x x ) + ( y y ) 2 +. 0 1 0 1 y1 y0 Åßóïäïò x1 r 01 P0 x0 P1 z Ðåñéï Þ ÐáñáôÞñçóçò Σχήµα 6-1-4 : Γενικευµένο πρόβληµα υπολογισµού πεδίου σε σηµείο παρατήρησης. Σελίδα 6.4

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Οι κυµατικές διαταραχές που φθάνουν στο Ρ 0 διαφέρουν κατά πλάτος και κατά φάση γιατί (α) οι στοιχειώδεις πηγές Ρ 1 βρίσκονται σε διαφορετικές αποστάσεις - οπτικούς δρόµους- από το Ρ 0, και (β) το φως σχηµατίζει διαφορετικές γωνίες πρόσπτωσης. Όλες αυτές οι διαταραχές θα ολοκληρωθούν για όλα τα πιθανά σηµεία του ανοίγµατος. Έτσι, το κύµα στο σηµείο Ρ 0 (x 0,y 0 ) γράφεται ως : (, ) = (, ;, ) (, ) E x y h x x y y E x y dxdy, (6.1.6) 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 όλα τα σηµεία του ανοίγµατος πεδίο στην είσοδο όπου η έκφραση h είναι ο παράγοντας µεταφοράς ή παράγοντας κλίσης : 1 exp( ik r01) h( x0, x1; y0, y1) = (6.1.7) iλ r01 Η παραπάνω σχέση είναι µια απλοποιηµένη µορφή του ολοκληρώµατος Fresnel-Kirchhoff. Στην πράξη δεν είναι παρά µια έκφραση της αρχής του Huygens. Οι υπολογισµοί που χρειάζονται για να βρούµε το ολικό ηλεκτρικό πεδίο στο σηµείο Ρ 0, µπορεί να είναι απλοί στη λογική τους, αλλά είναι σχεδόν αδύνατο να επιλυθούν στην πράξη χωρίς κάποιες προσεγγίσεις. Ο υπολογισµός πρέπει να επαναλαµβάνεται για κάθε σηµείο της περιοχής παρατήρησης για όλες τις στοιχειώδεις πηγές δευτερογενούς εκποµπής. Είναι φανερό ότι χρειάζεται να προβούµε σε κάποιες απλοποιήσεις για να επιλύσουµε αναλυτικά ορισµένες περιπτώσεις. 6.1.1. Περίθλαση Fresnel Μπορούµε, για παράδειγµα, να θεωρήσουµε ότι το προσπίπτον φως στο περιθλόν άνοιγµα έχει σταθερό µέτρο, και ότι θα θεωρήσουµε ότι δεν υπάρχουν µεταβολές φάσης στην είσοδο. Αυτό θα απλοποιήσει πολύ την έκφραση για το πεδίο στο άνοιγµα εισόδου, δηλαδή την έκφραση για το Ε(x 1, y 1 ) =Ε 0 (x 1, y 1 ) exp iφ 0 (x 1, y 1 ). Αυτή η προσέγγιση είναι η περίθλαση κοντινού πεδίου (near-field diffraction) ή προσέγγιση Fresnel, προς τιµή του Augustin Jean Fresnel. Οι ισοφασικές επιφάνειες δεν είναι κατ ανάγκη επίπεδες, αλλά αν η αρχική πηγή είναι αρκετά µακριά (ώστε όταν κύµα της συναντήσει το περιθλόν άνοιγµα να έχει µικρή στερεά γωνία -µια παρόµοια προσέγγιση µε αυτή της παραξονικής), τότε µπορούµε να θεωρήσουµε ότι κάθε φορά µια µόνο ισοφασική περνά από το περιθλόν άνοιγµα. Έτσι, ο παράγοντας µεταφοράς h θα προσεγγιστεί : ( 1 exp ik r01) h( x0, x1; y0, y1) = (6.1.8) iλ z και προχωρώντας ένα βήµα ακόµα θέτουµε : 2 2 2 2 2 1 0 1 1 0 1 01 ( 0 1) ( 0 1) 1 x x y y r = z + x x + y y z + + 2 z 2 z και το πεδίο στο σηµείο Ρ 0 (x 0,y 0 ) γράφεται ως : (6.1.9) Σελίδα 6.5

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ ( ikz) 1 exp k 2 2 E( x0, y0) = E( x1, y1) exp i ( x0 x1) ( y0 y1) dxdy 1 1 iλ z + 2z (6.1.10) Οι τετραγωνικοί όροι στο εκθετικό µέρος µπορούν να διαχωριστούν και έτσι : ( ikz) exp ik 2 2 E( x0, y0) = exp ( x0 + y0 2 ) iλ z z ik 2 2 i2π E( x, y ) exp ( x1 + y1 ) exp ( xx+ yy) dx dy 2z λz 1 1 διαµόρφωση πλάτους εισόδου διαµόρφωση φάσης εισόδου 0 1 0 1 1 1 (6.1.10)α Έτσι το ολοκλήρωµα γίνεται πιο βατό. Ουσιαστικά αθροίζονται στο σηµείο παρατήρησης άπειρα διανύσµατα φάσης, που το καθένα τους έχει διαφορετικό µέτρο αλλά και διαφορετική φάση, λόγω του διαφορετικού οπτικού δρόµου από το αντίστοιχο σηµείο του ανοίγµατος. Ωστόσο, έχουν ξεκινήσει από την ίδια αρχική κατάσταση. Παρατηρούµε ότι ο παράγοντας φάσης µέσα στο ολοκλήρωµα είναι πολλαπλασιασµένος µε µια παραβολική σχέση µε την εγκάρσια αποµάκρυνση στο σηµείο παρατήρησης. Επίσης έχουµε επεκτείνει τα όρια της ολοκλήρωσης από τα όρια του περιθλώντος ανοίγµατος στα όρια - έως +, θέτοντας τις τιµές του πεδίου εισόδου να µηδενίζονται έξω από τα όρια του ανοίγµατος. Ένα τέτοιο πρόβληµα επιλύεται γραφικά µε µια µέθοδο που αποδίδεται στον Marie Alfred Cornu. Κατασκευάζουµε ένα διανυσµατικό διάγραµµα (phasor array) µε τον περιορισµό ότι η σχετική γωνία των διανυσµάτων φάσης αυξάνεται µε το τετράγωνο της εγκάρσιας αποµάκρυνσης για το σηµείο αναφοράς. ηλαδή η καµπυλότητα σε κάθε σηµείο αυξάνεται µε το τετράγωνο της απόστασης του σηµείου. Κάθε διάνυσµα αποτελεί τη συνεισφορά της στοιχειώδους πηγής από το περιθλόν άνοιγµα. Έτσι προκύπτει η σπείρα ταλαντώσεως Cornu, ή Κλοθοειδές (από τη Μοίρα Κλοθώ) που έχει την εξής µορφή στις καρτεσιανές συντεταγµένες : τετµηµένη: C(x) = a x 2 π cos π s ds 2 & 0 2 τεταγµένη: S(x) = a π sin π s ds 2 0 (6.1.11) Κάθε σηµείο στη σπείρα αντιστοιχεί σε µια παράµετρο x, µε πραγµατικά και φανταστικά µέρη όπως στην (6.1.11). Η σπείρα ξεκινά από το σηµείο καµπής (inflection point) (0,0), γύρω από το οποίο έχει συµµετρία αναστροφής, και είναι ασυµπτωτική στα + (a π/2, a π/2) & - (-a π/2, a π/2), που λέγονται µάτια. Πως τη χρησιµοποιούµε; Θέλουµε να υπολογίσουµε το µέτρο και τη φάση του πεδίου σ ένα σηµείο Ρ 0 (x 0,y 0 ) που βρίσκεται σε εγκάρσια αποµάκρυνση q από το κέντρο συµµετρίας απέναντι του σηµείου Ρ(0,0) και απέχει διαµήκη απόσταση z. Aθροίζουµε όλα τα ανύσµατα από το κέντρο συµµετρίας ως το σηµείο που αντιστοιχεί στο Β, το όριο του ανοίγµατος AB πλάτους s, και επαναλαµβάνουµε από το ίδιο σηµείο για το σηµείο Α, το άλλο όριο του ανοίγµατος. Η διαφορά των ανυσµάτων Ρ(0,0)Β και Ρ(0,0)Α µας δίνει το διάνυσµα ΑΒ. x Σελίδα 6.6

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Αν δεν υπάρχει εµπόδιο στο χώρο (x 1,y 1 ) τότε στο πέτασµα παρατήρησης Ρ 0 (x 0,y 0 ) θα ενώσουµε τα σηµεία (-, + ). Το µέτρο του ΑΒ είναι το µέτρο του πεδίου στο Ρ 0 και η γωνία µε τον άξονα τεταγµένων η φάση του. Η φωτεινή ένταση της περιθλαστικής κατανοµής είναι το τετράγωνο του µέτρου του πεδίου. Η αντιστοιχία ενός σηµείου στο περιθλόν άνοιγµα µε ένα σηµείο στο κλοθοειδές καθορίζεται από την παράµετρο V που εξαρτάται από σχετική εγκάρσια αποµάκρυνση, την ακτίνα καµπυλότητας α του εισερχόµενου µετώπου στο άνοιγµα, και το µήκος κύµατος λ. Η παράµετρος V µπορεί να εκφράσει, µέσω του µιγαδικού C(Vx) + is(vx) την περιθλαστική κατανοµή Fresnel. Για παράδειγµα, η παράµετρος V για τα σηµεία Α και Β έχει τη µορφή : s a a+ z VA = + q 2 2 a z + az λ s a a+ z και VB = + q 2 2 a z + az λ (6.1.12) ÐçãÞ A B ÐÝôáóìá Eéóüäïõ s ÐÝôáóìá ÐáñáôÞñçóçò q P(0,0) P 0 B Ñ(0,0) A V=1,17 V V=0,62 a z Σχήµα 6-1-5 : Γραφική επίλυση προβλήµατος περίθλασης Fresnel. Έτσι µπορούµε να υπολογίσουµε την περιθλαστική κατανοµή που προκύπτει αν φωτίσουµε µε σύµφωνη ακτινοβολία µία ακµή, θέτοντας το σηµείο Α στο +. Η περίθλαση από ακµή είναι φαινόµενο που συναντάται συχνά: αν φωτίσουµε µε µια σύµφωνη πηγή ένα αντικείµενο µε σαφείς ακµές, τότε σε σχετικά κοντινή απόσταση θα δούµε το περίγραµµά του οµόκεντρα µε χαρακτηριστικά µέγιστα και ελάχιστα. Τα δευτερεύοντα κύµατα Huygens από την ακµή συµβάλλουν µεταξύ τους και δίνουν περιθλαστικές κατανοµές όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήµα : ðåñéèëáóôéêþ êáôáíïìþ ÃåùìåôñéêÞ ÓêéÜ ÁêìÞò Σχήµα 6-1-6 : Περίθλαση Fresnel από ακµή. Η διακύµανση της περιθλαστικής κατανοµής προκύπτει από τα διαφορετικά µέτρα διανυσµάτων που προκύπτουν αν η αρχή και το τέλος του διανύσµατος τοποθετηθεί σε διάφορα σηµεία στη σπείρα. Για το σηµείο ακριβώς απέναντι από την Σελίδα 6.7

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ ακµή, η αρχή του διανύσµατος είναι το κέντρο της σπείρας. Το τέλος του, που προκύπτει αν απουσίαζε η περίθλαση (0,- ), είναι ένα από τα δύο µάτια. Το µέτρο του είναι ½, και έτσι η φωτεινή ένταση είναι το ¼ της προσπίπτουσας! Η περιθλαστική κατανοµή εξαρτάται από το πεδίο στην είσοδο, από το µέγεθος και το σχήµα του ανοίγµατος στο χώρο (x 1, y 1 ), αλλά και από την απόσταση του πετάσµατος, z. Παρατηρώντας την εξέλιξη της περιθλαστικής κατανοµής (Σχ. 6-1-7α) διαπιστώνουµε ότι οι περιθλαστικές κατανοµές, ενώ παρουσιάζουν έντονες αλλαγές για µικρές αποστάσεις, βαθµιαία τείνουν προς µία σταθερή διαµόρφωση, ένα σταθερό σχήµα, καθώς η απόσταση z µεταξύ του πετάσµατος παρατήρησης παίρνει ολοένα και µεγαλύτερες τιµές. Σχήµα 6-1-7α : Εξέλιξη περιθλαστικής κατανοµής µε την απόσταση από το περιθλόν άνοιγµα. Σχήµα 6-1-7β : Περιθλαστική εικόνα Fresnel από εµπόδιο OPTICS. 6.1.2. Περίθλαση Fraunhofer Το ότι οι περιθλαστικές κατανοµές τείνουν σε µια σταθερή διαµόρφωση για µεγάλες αποστάσεις από το περιθλόν άνοιγµα µας οδηγεί στο να απλοποιήσουµε περισσότερο τις υποθέσεις µας. Έτσι θα υποθέσουµε ότι έχουµε : Επίπεδο κύµα στην είσοδο, Σταθερή φάση στην είσοδο, και Απόσταση υπολογισµού αποµακρυσµένη µακριά από την είσοδο. Η απόσταση υπολογισµού z θεωρείται αποµακρυσµένη αν ικανοποιεί τη συνθήκη : k z π x y D (6.1.13) ( ) ( ) 2 2 2 1 + 1 2 MAX λ όπου D η µέγιστη αποµάκρυνση στην είσοδο. Αυτή είναι η προσέγγιση µακρινού πεδίου (far-field) ή προσέγγιση Fraunhofer προς τιµή του Joseph von Fraunhofer. Για παράδειγµα, αν η µέγιστη αποµάκρυνση D στο άνοιγµα εισόδου είναι 1 mm και λ Σελίδα 6.8

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ = 0.5 µm, τότε z p 6 m. Αν και η περίθλαση Fraunhofer είναι µια οριακή περίπτωση της γενικότερης περίθλασης Fresnel, είναι µια σηµαντική οριακή περίπτωση και είναι αρκετά πιο εύκολος ο µαθηµατικός χειρισµός της. Η απόσταση z που αναφέρεται ως όριο δεν αποτελεί ένα αυστηρό όριο ανάµεσα στις δύο περιοχές στην πράξη ο σχηµατισµός περίθλασης αλλάζει βαθµιαία από τη µία µορφή στην άλλη. Ðåñßèëáóç Fresnel Ðåñßèëáóç Fraunhofer Σχήµα 6-1-8 : Βαθµιαία εξέλιξη περίθλασης Fresnel σε περίθλαση Fraunhofer. Σε µια τέτοια µεγάλη απόσταση, σε κάθε σηµείο του πετάσµατος παρατήρησης συµβάλλουν ακτίνες από τα διάφορα σηµεία του περιθλώντος ανοίγµατος και είναι παράλληλες µεταξύ τους. Έτσι τα πλάτη των δευτερευόντων κυµάτων είναι σχεδόν ίσα µε τα αντίστοιχα του προσπίπτοντος και η φάση τους -λόγω της ίδιας κλίσης των ακτίνων- ακολουθεί µια γραµµική σχέση. Μαθηµατικά, αυτό εκφράζεται από την προσέγγιση ότι ο παράγοντας διαµόρφωσης φάσης εισόδου µέσα στο ολοκλήρωµα της περιθλαστικής κατανοµής (6.1.10)α είναι ουσιαστικά µονάδα : ik 2 2 exp ( x 1 + y 1 ) 1 2z (6.1.14) οπότε πολλαπλασιαστικά αγνοείται, και η περιθλαστική κατανοµή (6.1.10)α γίνεται : ( ikz) exp k 2 2 E( x0, y0) = exp i ( x0 + y0 ) iλ z 2z 2π E( x, y ) exp i ( x x + y y ) dxdy λ z 1 1 διαµόρφωση πλάτους εισόδου 0 1 0 1 1 1 (6.1.15) Η µορφή αυτή είναι, εκτός από µια πολλαπλασιαστική σταθερά πριν από το ολοκλήρωµα, ο µετασχηµατισµός Fourier της κατανοµής του πεδίου στην είσοδο. Οι συζυγείς µεταβλητές είναι οι συντεταγµένες εισόδου (x 1, y 1 ) µε τις χωρικές συχνότητες f x = x 0 /λ z και f y = y 0 /λ z. Άλλα παραδείγµατα µετασχηµατισµών έχουν συζυγείς µεταβλητές χρόνο (t) µε γωνιακή συχνότητα (ω), ή χωρική µεταβολή (x) µε κυµαταριθµό (k). Για κάθε µετασχηµατισµό Fourier υπάρχει ο αντίστροφος. Έτσι, µπορούµε να εκφράσουµε µια έκφραση f(t) στη συνάρτηση φάσµατός της F(ω), αλλά και το αντίστροφο, από τη συνάρτηση φάσµατος F(ω) να υπολογίσουµε τη χρονική έκφραση f(t). Η συνάρτηση F(ω) = F {f(t)} λέγεται µετασχηµατισµός Fourier της f(t), και η συνάρτηση f(t) = F -1 {F(ω)} είναι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της F(ω). Οι σχέσεις που τις συνδέουν, όπως διατυπώθηκαν από τον Jean Joseph Fourier, είναι : Σελίδα 6.9

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ ( ω) = ( ) exp( ω ) και () = ( ) exp( ) F f t i t dt 1 f t F ω iωt dω 2π (6.1.16) Jean Baptiste Joseph Fourier Μια εξαιρετικά απλή περίπτωση µετασχηµατισµού Fourier είναι αυτή της συνάρτησης cos(ω 0 t). Γνωρίζουµε τη συνάρτηση πολύ καλά στο χώρο του χρόνου (t), µια περιοδική συνάρτηση µε περίοδο Τ=2π/ω 0, εκτεινόµενη από το - στο +. cos(ω 0 t) t -3T 0-2T 0 -T 0 0 T 0 2T 0 3T 0 Σχήµα 6-1-9α : Μια συνηµιτονική συνάρτηση στο χώρο του χρόνου. Έχουµε αναρωτηθεί ποτέ πως θα απεικονίζαµε την ίδια συνάρτηση στο χώρο των συχνοτήτων; Η απάντηση είναι µια εξαιρετικά απλή: η συνάρτηση αυτή έχει ακριβώς µία συχνότητα. Από τις σχέσεις (6.1.16) θα βρούµε την έκφραση : 1 { cos( ω0 )} cos( ω0 ) exp( ω ) exp( ω0 ) + exp( ω0 ) exp( ω ) F t = t i t dt = i t i t i t dt = 2 1 = 2 = π δ ω ω δ ω ω exp( i( ω ω0) t) dt exp( i( ω + + ω0) t) dt (6.1.17) ( ( 0) + ( + 0) ) Η τελευταία έκφραση είναι δύο συµµετρικές ως προς την αρχή των αξόνων συναρτήσεις delta -Dirac function- (Παράρτηµα 6.1.) και απεικονίζεται στο σχήµα 6-1-9β. Η συνάρτηση δεν άλλαξε, απλώς είναι εκφρασµένη σε δύο διαφορετικούς χώρους, τον ευθύ χώρο του χρόνου και τον αντίστοφο χώρο των συχνοτήτων. Αν και είµαστε µάλλον συνηθισµένοι σε απεικονίσεις στο χώρο του χρόνου, πολλές φορές η συζυγής απεικόνιση είναι πιο χρήσιµη. Ο µετασχηµατισµός Fourier που εφαρµόσαµε µας έδειξε ότι πράγµατι, η συνάρτηση cos(ω 0 t) έχει µία µόνο συχνότητα (ω 0, για θετικά t, και -ω 0 για αρνητικά t). ω 0 cos(ω 0 t) ω -ω 0 Σχήµα 6-1-9β : Η συνηµιτονική συνάρτηση εκφρασµένη στο χώρο των συχνοτήτων. Σελίδα 6.10

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Αν η συνάρτηση έχει διπλάσια συχνότητα, στο χώρο των χρόνων θα είναι πιο συµπυκνωµένη, αλλά στο χώρο των συχνοτήτων οι θέσεις των delta αποµακρύνονται. Η συνάρτηση cos(2ω 0 t) περιγράφεται στους χώρους χρόνου και συχνοτήτων ως : -3T 0-2T 0 -T 0 0 T 0 2T 0 3T 0 cos(2ω 0 t) t cos(2ω 0 t) -ω 0 ω 0 ω Σχήµα 6-1-10 : Η συνηµιτονική συνάρτηση διπλάσιας συχνότητας στο χώρο χρόνου και συχνοτήτων. Αυτό είναι ακριβώς το ίδιο φαινόµενο που συναντήσαµε στη Συµβολή από δύο σχισµές (σχήµα 5-2-7)! ηλαδή η περιοδικότητα των κροσσών βρίσκεται σε σχέση αντίστροφης αναλογίας µε την απόσταση των πηγών d, και προκύπτει από ένα µετασχηµατισµό Fourier της φωτεινής συνάρτησης του πεδίου στην είσοδο, δηλαδή των δύο φωτεινών σχισµών. Έτσι λοιπόν έχουµε ήδη συναντήσει το φαινόµενο, που µε πολύ απλά λόγια λέει ότι : Για µια σύµφωνη κατανοµή ακτινοβολίας που διαδίδεται στο χώρο, σε απόσταση αρκετά µακριά από τη µεγαλύτερη διάσταση της κατανοµής θα σχηµατιστεί µια περιθλαστική κατανοµή που αντιστοιχεί στο µετασχηµατισµό Fourier της κατανοµής εισόδου. Η αρχή αυτή είναι η βασική αρχή που διέπει την περίθλαση Fraunhofer. Για να υπολογίσουµε την περιθλαστική κατανοµή σε ένα πέτασµα θα βρούµε το µετασχηµατισµό Fourier της κατανοµής εισόδου Ε(x 1,y 1 )=Ε 0 (x 1,y 1 ) expiφ 0 (x 1,y 1 ) υπολογισµένο στις αντίστοιχες χωρικές συχνότητες f x = x 0 /λ z και f y = y 0 /λ z. (, ) ( x1, 1) exp 2π ( x 1+ f y 1) E x y = A E y i f x y dx dy 0 0 1 1 σταθερά περιθλαστικό πεδίο πεδίο εισόδου παράγοντας µεταφοράς (6.1.18) Από το τετράγωνο του µέτρου της κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου στο πέτασµα παρατήρησης θα υπολογίσουµε την κατανοµή της φωτεινής περιθλαστικής έντασης. Η συνάρτηση εισόδου (pupil function) Ε(x 1,y 1 ) καθορίζεται από τη µορφή του περιθλαστικού ανοίγµατος ή την κατανοµή της έντασης πεδίου στην είσοδο. Οι χωρικές συχνότητες αντιστοιχούν στις εκφράσεις : x0 k 0 sin 0 0 sin x x kx θ y ky y ky θ f x = = & f y = = λ z 2π z 2π λ z 2π z 2π χωρικές συχνότητες x χωρικές συχνότητες y (6.1.19) Οι χωρικές συχνότητες έχουν διαστάσεις αντίστροφου µήκους, όπως και το κυµατάνυσµα. Οι συζυγείς µεταβλητές είναι το µήκος στον ευθύ χώρο ή χώρο θέσεων -πεδίο εισόδου- και οι χωρικές συχνότητες στον αντίστροφο χώρο ή χώρο ορµών -περιθλαστικό πεδίο. Στις εκφράσεις (6.1.19) η γωνία θ σχηµατίζεται από τον οπτικό άξονα και την ακτίνα στο επίπεδο της περιθλαστικής κατανοµής. Έτσι, οι χαµηλές συχνότητες αντιστοιχούν σε κυµατανύσµατα κοντά στον οπτικό άξονα (θ^, Σελίδα 6.11

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ sinθ^), και εκφράζουν τα αδρά χαρακτηριστικά του σήµατος, κυρίως τη φωτεινότητά του, ενώ οι υψηλές συχνότητες αντιστοιχούν σε κυµατανύσµατα µακριά από τον οπτικό άξονα (θp, sinθp) και εκφράζουν τα λεπτά χαρακτηριστικά του σήµατος. Σχήµα 6-1-11 : Ανάλυση δισδιάστατου οπτικού σήµατος σε αρµονικές συναρτήσεις. Όπως ο µετασχηµατισµός Fourier µιας συνάρτησης µε χρονική παράµετρο f(t) µας δίνει τις αρµονικές συχνότητες οι οποίες την απαρτίζουν, δηλαδή τη φασµατική της κατανοµή F(ω), έτσι και ο µετασχηµατισµός Fourier µιας δισδιάστατης χωρικής συνάρτησης f(x,y) -όπως η κατανοµή εισόδου Ε(x 1,y 1 )- µας δίνει την έκφραση στις χωρικές συχνότητές της F(f x, f y ). Το φυσικό νόηµα των χωρικών συχνοτήτων µπορεί να γίνει κατανοητό µε ένα παράδειγµα από την ακουστική. Γνωρίζουµε ότι, ένα οποιοδήποτε ακουστικό σήµα - ας πούµε ένα κοµµάτι µουσικής- που είναι ένα µονοδιάστατο σήµα στο χρόνο, αποτελείται από υψηλές -πρίµα- και χαµηλές συχνότητες -µπάσα. Η επανασύνθεση όλων των αρµονικών µας δίνει το ακουστικό σήµα που απολαµβάνουµε. Ωστόσο, µέσα από οποιοδήποτε σύστηµα αναπαραγωγής ήχου, ακόµα και αν πρόκειται για ένα πολύ καλής πιστότητας συγκρότηµα, ένα αρχικό κοµµάτι ποτέ δεν είναι το ίδιο. Αν και µπορούµε να αναγνωρίσουµε το σήµα ακόµα και µέσα από ένα κακής ποιότητας σύστηµα αναπαραγωγής, η απώλεια ποιότητας σήµατος οφείλεται στο ότι κάποιες συχνότητες, κυρίως τα πρίµα έχουν αλλοιωθεί, χαθεί. Ένα καλό σύστηµα αναπαραγωγής διατηρεί περισσότερες από τις υψηλές συχνότητες, και αυτό επιδρά στην ποιότητα του ακουστικού σήµατος που παράγει. Σε αντιστοιχία µε το ακουστικό σήµα, και σε ένα οπτικό σήµα, το οποίο είναι ένα δισδιάστατο σήµα στο χώρο, αντιστοιχούν χωρικές συχνότητες. Ένα σύστηµα απεικόνισης, στην πιο απλή περίπτωση ένας συγκλίνων φακός στην πορεία ενός οπτικού σήµατος, θα αποκόψει, λόγω του περιορισµένης του έκτασης, κάποιες υψηλές συχνότητες. Γενικότερα, κάθε συνάρτηση εισόδου όπως εκφράζεται αναλυτικά στο χώρο (x 1, y 1 ) θα λειτουργήσει ως φίλτρο χωρικών συχνοτήτων. ηλαδή η κατανοµή εισόδου θα αποκόψει -δεν θα επιτρέψει διάδοση- τις χωρικές συχνότητες που εκτείνονται πέρα από τη γεωµετρική της έκταση. Mε τη µεθοδολογία αυτή µελετούµε την περιθλαστική κατανοµή Fraunhofer από µια διαταραχή πεδίου µε -αρχικά- σταθερό πλάτος και σταθερή φάση, η οποία συναντά µια διαφάνεια εισόδου όπου τοπικά µεταβάλλει το πλάτος ή τη φάση του διερχόµενου κύµατος. Μπορεί απλώς να µεταβάλλει µόνο το πλάτος, π.χ. µε ένα εµπόδιο ή ένα µικρό άνοιγµα, ή η µερική σκίαση µέσα σε ένα άνοιγµα. Σελίδα 6.12

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Για να ισχύει η προσέγγιση Fraunhofer πρέπει και η πηγή αλλά και η οθόνη παρατήρησης να βρίσκονται σε πολύ µεγάλη απόσταση από το περιθλόν άνοιγµα, αρκετά µέτρα ίσως. Η συνθήκη αυτή µπορεί πρακτικά να πραγµατοποιηθεί σε πολύ µικρότερο χώρο στο εργαστήριο µε δύο συγκλίνοντες φακούς: ένα παραλληλιστή φακό που τοποθετείται µετά την πηγή σε απόσταση ίση µε την εστιακή του απόσταση και έτσι παραλληλίζει τη δέσµη της. Έτσι για την περιοχή που η ένταση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας είναι σταθερή και το µέτωπο κύµατος παράλληλο ικανοποιείται το πρώτο ζεύγος συνθηκών Fraunhofer. Για να ικανοποιήσουµε τη συνθήκη ότι σε κάθε σηµείο του πετάσµατος παρατήρησης συµβάλλουν παράλληλες ακτίνες από τα διάφορα σηµεία του περιθλώντος ανοίγµατος, πρέπει να τοποθετήσουµε την οθόνη παρατήρησης αρκετά µακριά από το περιθλόν άνοιγµα. Ωστόσο, αν στην πορεία των παράλληλων ακτίνων που εξέρχονται από το περιθλόν άνοιγµα τοποθετήσουµε ένα συγκλίνοντα φακό, τότε στο εστιακό επίπεδο του θα σχηµατιστεί ο περιθλαστικός σχηµατισµός µε κέντρο συµµετρίας τον οπτικό άξονα, δηλαδή το σηµείο που θα σχηµατιζόταν το εστιακό σηµείο της αρχικής παράλληλης δέσµης αν δεν παρεµβαλλόταν το περιθλόν άνοιγµα. ÐáñáëëçëéóôÞò Öáêüò Óýìöùíç ÐçãÞ Óõãêëßíùí Öáêüò Ïèüíç ÐáñáôÞñçóçò f ÐáñÜëëçëç äýóìç Ðåñéèëüí íïéãìá f Σχήµα 6-1-12 : Πειραµατική διάταξη εφαρµογής περίθλασης Fraunhofer. Στην πράξη λοιπόν ένας συγκλίνων φακός µεταφέρει το επίπεδο Fraunhofer στο εστιακό του επίπεδο, που απέχει απόσταση f. 6.1.3. Αρχή Babinet Η αρχή του Babinet είναι µια άµεση συνέπεια της γραµµικής επαλληλίας πεδίων, αλλά και του θεωρήµατος επαλληλίας ή γραµµικότητας µετασχηµατισµών Fourier (Παράρτηµα 6.2). Θεωρούµε ένα περιθλόν άνοιγµα Α, που δηµιουργεί σε πέτασµα παρατήρησης (x 0, y 0 ) ένα πεδίο Ε Α (x 0, y 0 ), δηλαδή το µετασχηµατισµό Fourier της κατανοµής εισόδου. Αν χωρίσουµε το άνοιγµα σε δύο συµπληρωµατικά εµβαδά Α1 και Α2 ώστε να είναι Α=Α1+Α2, τότε η γραµµικότητα επιβάλλει ότι Ε Α (x 0, y 0 ) = Ε Α1 (x 0, y 0 ) + Ε Α2 (x 0, y 0 ), όπου Ε Α1 (x 0, y 0 ) και Ε Α2 (x 0, y 0 ) είναι τα ανεξάρτητα πεδία στο σηµείο παρατήρησης όταν χρησιµοποιούµε ως περιθλόντα ανοίγµατα τα Α1 και Α2 αντίστοιχα. Αντίστοιχα, µπορούµε να υπολογίσουµε την περιθλαστική κατανοµή από µια επιφάνεια Α1, αν αφαιρέσουµε δύο περιθλαστικούς σχηµατισµούς που προέρχονται από τις επιφάνειες Α και Α2, αντίστοιχα. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι η Σελίδα 6.13

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ επιφάνεια Α είναι ένα άπειρης έκτασης άνοιγµα. Τότε η Α2 είναι το αρνητικό της Α1. Αν η επιφάνεια Α, που είναι ένα άπειρης έκτασης άνοιγµα, φωτιστεί από ένα επίπεδο µέτωπο κύµατος σταθερής έντασης, τότε ο περιθλαστικός µετασχηµατισµός είναι ένα σηµείο -γιατί αυτό;. A A1 A2 = + A1 A = - A2 Σχήµα 6-1-13 : Συµπληρωµατικές επιφάνειες εισόδου. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, για τους περιθλαστικούς σχηµατισµούς των επιφανειών Α2 και Α1 θα ισχύει Ε Α1 (x 0, y 0 ) + Ε Α2 (x 0, y 0 ) = 0 και έτσι θα έχουν ακριβώς το ίδιο πλάτος αλλά αντίθετη φάση: Ε Α1 (x 0, y 0 ) = Ε Α2 (x 0, y 0 ). Οι φωτεινές εντάσεις των περιθλαστικών κατανοµών τους, που είναι το µέτρο του πεδίου στο τετράγωνο, θα είναι ακριβώς ίδιες. Η αρχή αυτή, που αποδίδεται στον Jacques Babinet, µας λέει ότι συµπληρωµατικά περιθλώντα ανοίγµατα δίνουν ίδια ακριβώς κατανοµή έντασης στον περιθλαστικό µετασχηµατισµό τους. Η αρχή αυτή βρίσκει εφαρµογές σε πολλά συστήµατα εκποµπής ακτινοβολίας και σχεδιασµού κεραιών. Η κατανοµή ακτινοβολίας από µια σχισµή της µορφής Α1 θα είναι ακριβώς η ίδια (µε αντίθετη φάση) από την περιθλώµενη ακτινοβολία από µια λεπτή ράβδο της µορφής Α2. Μια προέκταση της αρχής του Babinet µας λέει ότι δύο κατανοµές περίθλασης από δύο κατανοµές εισόδου που είναι γεωµετρικά όµοιες θα είναι και αυτές όµοιες. Σύµφωνα µε το θεώρηµα της οµοιότητας (6.7.7), οι περιθλαστικές κατανοµές θα είναι ακριβώς ίδιες αν η αδιάστατη ποσότητα : 2 x αριθµός Fresnel N = (6.1.20) λ z -όπου z η απόσταση από την κατανοµή εισόδου-έχει την ίδια τιµή. Ο αριθµός Fresnel χαρακτηρίζει την περιθλαστική ισχύ ενός περιθλαστικού σχηµατισµού µεγέθους x στον ευθύ χώρο. Σελίδα 6.14

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 6.2. Περίθλαση από Σχισµή Το περιθλόν άνοιγµα είναι µία σχισµή, που στη µία διάσταση, έστω την x, έχει πλάτος a, ενώ εκτείνεται άπειρα στην y διάσταση. Είναι σαν ένα ορθογώνιο άνοιγµα, όπου η µία διάσταση είναι πολύ µεγαλύτερη από την άλλη. Θα υποθέσουµε ότι ισχύουν οι συνθήκες περίθλασης Fraunhofer. Στο άνοιγµα προσπίπτει σύµφωνη ακτινοβολία µε µήκος κύµατος λ, επίπεδο µέτωπο κύµατος, και σταθερό πλάτος. Έτσι η κατανοµή πεδίου στην είσοδο θα έχει µονοδιάστατη διαµόρφωση : x1 E ( x1, y1) = E0 expiϕ 0 rect (6.2.1) a Η µορφή της συνάρτησης rect(x/a) είναι ένα µονοδιάστατο βήµα, που έχει τιµές 0 για - x < -a/2 και για x > a/2 και τιµές 1 για -a/2< x< a/2 : 1 rect(x/a) -a/2 a/2 Σχήµα 6-2-1 : Μορφή πεδίου στην είσοδο, συνάρτηση rect(x/a). Η περιθλαστική κατανοµή Fraunhofer σε ένα πέτασµα παρατήρησης που απέχει απόσταση z υπολογίζεται εφαρµόζοντας τη σχέση (6.1.18) : x a /2 x1 2π E( x, y ) = A rect exp i ( x0x1) dx exp( 2π ifxx ) dx a λ z 0 0 1 1 1 a /2 περιθλαστικό πεδίο πεδίο εισόδου (6.2.2) όπου f x =x 0 /λ z οι χωρικές συχνότητες. Το ολοκλήρωµα είναι η συνάρτηση a sinc(a f x ): a /2 (, ) exp( x ) E x y if x dx = sinc(a f x ) = sinc (αx 0 / λ z) (6.2.3) 0 0 1 1 a /2 περιθλαστικό πεδίο Η συνάρτηση sinc, µε πλήρες όνοµα Cardinal Sine function, έχει τον εξής ορισµό : lim sinc(t) = 1, για t=0, και sinc(t) = (sin πt)/(πt), για t 0 (6.2.4) Εκφράζουµε την παράµετρο α, τη γωνιακή παράµετρο περίθλασης που αντιστοιχεί στο πλάτος σχισµής α, µήκος κύµατος λ, και απόσταση παρατήρησης z ως : α = ½ k αx 0 / z = π αx 0 / λ z = π(α/λ) sinθ x (6.2.5) όπου θ x είναι η γωνία µεταξύ της κάθετης στο άνοιγµα και της ακτίνας παρατήρησης. Έτσι το περιθλαστικό πεδίο θα εκφράζεται από τη σχέση : περιθλαστικό πεδίο ~ sinc(α/π) = (sin α)/α (6.2.6) Η συνάρτηση (sin α)/α έχει περιοδικά ισαπέχοντα µέγιστα και ελάχιστα κάθε φορά που η γωνιακή παράµετρος α παίρνει τιµές ακέραιων πολλαπλάσιων του π(rad): Σελίδα 6.15

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ sinc (áx 0 /ëz) = 1 sinc (á/ð) = (siná)/á -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 áx 0 /ëz Σχήµα 6-2-2 : Συνάρτηση sinc(α/π). Ενδιάµεσα εµφανίζονται εναλλαγές φάσης. Η φωτεινή ένταση του περιθλαστικού σχηµατισµού προκύπτει από το µέτρο του περιθλαστικού πεδίου στο τετράγωνο -δηλαδή το µέτρο του πεδίου επί το µιγαδικό συζυγές του. Έτσι: φωτεινή ένταση περιθλαστικής κατανοµής Ι(x 0, y 0 ) ~ (sin 2 α) /(α) 2 (6.2.7) 1 ÐåñéèëáóôéêÞ ÊáôáíïìÞ (êáíïíéêïðïéçìýíç) Ðåäßï ÖùôåéíÞ íôáóç -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7ð áx 0 /ëz Σχήµα 6-2-3 : Περιθλαστική κατανοµή φωτεινής έντασης από απλή σχισµή. Η φωτεινή ένταση της περιθλαστικής κατανοµής έχει µονοδιάστατη ανάπτυξη στο επίπεδο xz και είναι συµµετρική ως προς το επίπεδο που ορίζει ο µεγάλος άξονας της σχισµής µε τον άξονα z. Εξασθενίζει γρήγορα µε τη γωνιακή αποµάκρυνση σχηµατίζοντας µέγιστα -λοβούς- και ελάχιστα -µηδενική ένταση. Η µέγιστη τιµή της έντασης παρατηρείται ακριβώς στο κέντρο της περιθλαστικής κατανοµής. Το πρώτο ελάχιστο παρουσιάζεται για τιµές της χαρακτηριστικής γωνιακής παραµέτρου α = π rad. Συµµετρικά, το πρώτο ελάχιστο παρουσιάζεται για α = π rad. ηλαδή το πάχος του κεντρικού µέγιστου λοβού (main lobe) αντιστοιχεί σε εύρος της γωνιακής παραµέτρου 2π. Σε κάθε πλευρά της περιθλαστικής κατανοµής παρουσιάζονται περιοδικά µέγιστα και ελάχιστα που ισαπέχουν κατά γωνιακή παράµετρο π. Έτσι ο κεντρικός λοβός έχει πάχος διπλάσιο των πλαγίων λοβών. Μπορούµε να εκφραστούµε είτε σε µονάδες γωνιακής παραµέτρου περίθλασης α, σε αποστάσεις x 0 στο πέτασµα ή σε γωνία θ x µεταξύ της κάθετης στο άνοιγµα και της ακτίνας παρατήρησης, µε την προσέγγιση sinθ θ (γωνία εκφρασµένη σε rad), όπως απεικονίζεται στο παρακάτω σχήµα και συνοψίζεται στον παρακάτω πίνακα : Σελίδα 6.16

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Ó éóìþ θ x z x 0 sinè x = 2ë/á sinè x = ë/á sinè x = 0 sinè x =-ë/á ÐëÜãéïò Ëïâüò 1 0 ÅëÜ éóôï Êåíôñéêüò Ëïâüò sinè x =-2ë/á Σχήµα 6-2-4 : Περιθλαστική κατανοµή απλής σχισµής. γωνιακή παράµετρος περίθλασης α µήκος x 0 στο πέτασµα γωνιακό εύρος θ x (sinθ θ, rad) πάχος κεντρικού λοβού 2π 2λ z/a 2λ/a πάχος πλάγιου λοβού Π λ z/a λ/a 1 ο ελάχιστο Π λ z/a λ/a m ο ελάχιστο m π m λ z/a m λ/a Πίνακας 6-2-1 : Χαρακτηριστικά περιθλαστικής κατανοµής απλής σχισµής. Για εκφράσεις σε γωνία παρατήρησης θ x, η χαρακτηριστική ποσότητα είναι η γωνία λ/a, που παραµένει σταθερή, ανεξάρτητα από την απόσταση παρατήρησης z. Έτσι η γωνιακή διαµόρφωση της φωτεινής έντασης στο περιθλαστικό σχηµατισµό είναι σταθερή και απλώς µεγεθύνεται για µεγαλύτερες αποστάσεις από το άνοιγµα. Η γωνία λ/a έχει µια ιδιαίτερα απλή έκφραση, και δίνει το γωνιακό διαχωρισµό των ελαχίστων, το γωνιακό πάχος των πλαγίων λοβών, και το µισό του γωνιακού πλάτους του κεντρικού λοβού. Ελάχιστα έντασης εµφανίζονται σε m λ/a, όπου ο ακέραιος m=0, ±1, ±2, εκφράζει την τάξη περίθλασης. Το γωνιακό εύρος λοβού λ/a εξαρτάται µόνο από δύο παράγοντες, το µήκος κύµατος λ και το πλάτος a της σχισµής. Έτσι η διαµόρφωση περίθλασης έχει µικρότερο γωνιακό άνοιγµα για µικρότερο λόγο λ/α. a è x = ë/á a' è x = ë/á Σχήµα 6-2-5 : Εξάρτηση περιθλαστικής κατανοµής απλής σχισµής από το πλάτος (α) περιθλαστική κατανοµή από σχισµή µικρού και (β) µεγάλου πλάτους. Σελίδα 6.17

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ á=1.5ë á=2ë -20 0-10 0 0 0 10 0 20 0-20 0-10 0 0 0 10 0 20 0 á=5ë á=8ë -20 0-10 0 0 0 10 0 20 0-20 0-10 0 0 0 10 0 20 0 Σχήµα 6-2-6 : Εξάρτηση περιθλαστικής κατανοµής από το πλάτος της σχισµής για διάφορες τιµές του λόγου λ/α. Αν το µήκος κύµατος είναι πολύ µικρότερο από το πλάτος της σχισµής (ή ισοδύναµα το πλάτος του ανοίγµατος είναι πολύ µεγαλύτερο από το µήκος κύµατος) τότε η χαρακτηριστική γωνία λ/a θα είναι πολύ µικρή και έτσι ο περιθλαστικός σχηµατισµός τείνει προς τη γεωµετρική σκιά του ανοίγµατος. Στο όριο lim λ 0 η περιθλαστική κατανοµή δίνει τη γεωµετρική σκιά του ανοίγµατος! Αντίθετα όσο µικραίνει το εύρος του ανοίγµατος σε σχέση µε το µήκος κύµατος, στο όριο lim α λ τείνουµε στο όριο της σηµειακής πηγής, και η χαρακτηριστική γωνία αυξάνει. a è x = ë/á a è x = ë /á ë êüêêéíï = 650 nm ë ìðëå = 435 nm Σχήµα 6-2-7 : Εξάρτηση περιθλαστικής κατανοµής απλής σχισµής από το µήκος κύµατος : (α) κόκκινη και (β) µπλε ακτινοβολία. Τι είδους κατανοµή θα έχουµε αν φωτίσουµε τη σχισµή µε πολυχρωµατική ακτινοβολία; Μπορούµε να αναζητήσουµε την απάντηση πειραµατικά: σχηµατίζουµε µε τα βλέφαρα του µατιού µας µια πολύ στενή σχισµή και παρατηρούµε µέσα από αυτή µια µακρινή πηγή λευκού φωτός -π.χ. µια οποιαδήποτε ανάκλαση του ήλιου από κάποιο τζάµι ή τα κύµατα της θάλασσας. Θα δούµε να προβάλλονται γύρω από τη σχισµή σκοτεινοί δακτύλιοι περίθλασης µε ανάλυση χρωµάτων! Όπως µπορούµε να έχουµε πολυχρωµατικούς κροσσούς συµβολής, έτσι µπορούµε να έχουµε πολυχρωµατικούς λοβούς περίθλασης. Το κεντρικό µέγιστο είναι ίδιο για όλες τις χρωµατικές συνιστώσες, αλλά στον πρώτης τάξης λοβό το µέγιστο για το µπλε εµφανίζεται πρώτο, για µικρότερη γωνία δηλαδή, και µετά ακολουθούν τα υπόλοιπα χρώµατα µε µεγαλύτερο λ. Αυτό επαναλαµβάνεται και σε ανώτερης τάξης λοβούς, και µάλιστα µε µεγαλύτερο γωνιακό διαχωρισµό, αλλά εξασθενίζει γρήγορα γιατί µια τέτοια πολυχρωµατική πηγή έχει αρκετά µικρό µήκος συµφωνίας. Σελίδα 6.18

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Είναι ενδιαφέρον να συγκρίνουµε την περιθλαστική κατανοµή φωτεινής έντασης που προκύπτει από µια σχισµή πλάτους α µε την κατανοµή έντασης που προκύπτει από συµβολή δύο οπών που απέχουν απόσταση d του πειράµατος Young: Ó éóìþ a θ x z λz/α 2λz/α 2 ïðýò d θ z λz/d Σχήµα 6-2-8 : Σύγκριση περιθλαστικών κατανοµών απλής σχισµής πάχους α (επάνω) και κατανοµής έντασης από δύο οπές που απέχουν απόσταση d (κάτω). Είναι φανερό ότι τα δύο φαινόµενα έχουν µεγάλο βαθµό συγγένειας και εµφανίζουν αρκετά κοινά στοιχεία. Είναι και τα δύο εκδηλώσεις της κυµατικής φύσης του φωτός, και για να εκδηλωθούν απαιτείται κάποιος βαθµός συµφωνίας στο προσπίπτον κύµα. Το πόσο εκτείνεται ο περιθλαστικός σχηµατισµός βρίσκεται σε άµεση σχέση µε το βαθµό συµφωνίας του προσπίπτοντος κύµατος. Για µικρό βαθµό συµφωνίας θα υπάρχουν λίγοι κροσσοί στη συµβολή και λίγοι λοβοί στην περίθλαση -ο κεντρικός και πιθανόν λίγοι ακόµα µε µικρό m-, σε σχέση µε το µαθηµατικά προβλεπόµενο, όπου δεν υπάρχει περιορισµός στο πόσο εκτείνονται οι λοβοί. Μπορούµε να θεωρήσουµε το πείραµα Young ως φαινόµενο περίθλασης, αν θέσουµε ως περιθλόν άνοιγµα το σχήµα των δύο µικρών σχισµών. Έτσι στην οθόνη παρατήρησης το περιθλαστικό πεδίο είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της κατανοµής εισόδου, και η φωτεινή ένταση είναι το τετράγωνο του πεδίου. Ισοδύναµα, η περίθλαση από σχισµή µπορεί να θεωρηθεί ως φαινόµενο συµβολής, αν θεωρήσουµε ότι το κύµα που αναδύεται από τη σχισµή είναι άπειρα γειτονικά κύµατα από κάθε απειροστό τµήµα της σχισµής, τα οποία όλα µαζί συµβάλλουν. Στο πείραµα των δύο σχισµών έχουµε δύο µόνο πηγές και εφαρµόζουµε την αρχή της γραµµικής επαλληλίας προσθέτοντας γραµµικά τα ηλεκτρικά πεδία σύµφωνα µε την αρχή του Fresnel. Στο πείραµα της περίθλασης από σχισµή έχουµε άπειρες τέτοιες πηγές. Έτσι, στο πέτασµα παρατήρησης θα ολοκληρώσουµε τις συνεισφορές από όλες αυτές τις πηγές, θέτοντας τις κατάλληλες οριακές συνθήκες που επιβάλλει η γεωµετρία -π.χ. το πάχος σχισµής. Σελίδα 6.19

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ αποτέλεσµα περίθλασης µορφή φωτεινής κατανοµής δύο σηµειακές πηγές, απόσταση d ηµιτονοειδής πέτασµα σε απόσταση z 2 cos π xd λ z ισοµεγέθεις κροσσοί Σχισµή πλάτους α (sin 2 α)/α 2 όπου α = π x 0 α/λ z Ισοµεγέθεις πλάγιοι λοβοί, κεντρικός λοβός µε διπλάσιο εύρος διαµόρφωση έντασης σταθερή διαµόρφωση κροσσών έντονος κεντρικός λοβός, φθίνουσα ένταση στους πλάγιους λοβούς Απόσταση ελαχίστων λ z/d λ z/a, 2λ z/a για κεντρικό Πίνακας 6-2-2 : Συγκριτικά χαρακτηριστικά κατανοµής περίθλασης απλής σχισµής και συµβολής από δύο σηµειακές πηγές. Στην ειδική αυτή περίπτωση της σχισµής πάχους α, ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της περιθλαστικής διαµόρφωσης βασίζεται στη σκέψη ότι αν διαιρέσουµε το εύρος της σχισµής σε δύο ίσα µέρη, τότε µπορούµε να θεωρήσουµε τη συµβολή από τα δύο αυτά µέρη σαν να ήταν δύο οπές που απέχουν απόσταση d= α/2. ó éóìþ ó éóìþ ðü ïõò á = äýï ïðýò áðüóôáóçò á/2 a/2 θ x διαφορά οπτικού δρόµου Σχήµα 6-2-9 : Εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού ελαχίστων. Για ελάχιστο έντασης, θα πρέπει η διαφορά οπτικού δρόµου να είναι λ/2 : Συνθήκη πρώτου ελάχιστου a λ sin a x λ θ = = x = λ z (6.2.8) 2 2 2 z 2 a Πράγµατι, στο πείραµα των δύο σχισµών το πρώτο ελάχιστο εµφανίζεται όταν λ z/2d= λ z/α. Είναι δηλαδή ακριβώς η ίδια έκφραση του πρώτου ελαχίστου που προκύπτει από την αναλυτική έκφραση της συνάρτησης sinc (αx 0 /λz). Η θεώρηση αυτή µπορεί να επεκταθεί και να διαιρέσουµε το άνοιγµα εισόδου όχι πλέον σε δύο, αλλά σε 2m µέρη, θέτοντας πάλι τη συνθήκη ότι για να πάρουµε το m-στό ελάχιστο θα πρέπει η διαφορά οπτικού δρόµου µεταξύ των στοιχειωδών τµηµάτων να είναι λ/2. Αν διαιρέσουµε το άνοιγµα σε τέσσερα µέρη θα πάρουµε τη συνθήκη µηδενισµού x 4 = 4 λ D/α και για τα ελάχιστα περίθλασης ανώτερης τάξης m: x m = m λ D/α z Σελίδα 6.20

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ a λ z Συνθήκη ελάχιστου τάξης m sinθm = xm = mλ (6.2.9) 2m 2 a Εκτός από τον παραπάνω τρόπο υπολογισµού, υπάρχει και ένας ενδιαφέρον για την απλότητά του τρόπος µε προσθέσεις διανυσµάτων φάσης (Serway 38.2). 6.2.1. Περίθλαση από Ορθογώνιο Άνοιγµα Το περιθλόν άνοιγµα είναι ένα ορθογώνιο, το οποίο στη µία διάσταση, έστω την x, έχει πλάτος a, ενώ στη y διάσταση έχει πλάτος b. Το άνοιγµα αυτό µπορεί να προσδιοριστεί από δύο σχισµές µε διαστάσεις a και b κατά µήκος των ανεξάρτητων αξόνων. Έτσι η κατανοµή πεδίου στην είσοδο θα έχει δισδιάστατη διαµόρφωση : ( ) = ( ) ( ) 1 1 1 1 1 = E0 iϕ 0 rect E x, y E x E y exp x a διάσταση x y1 rect b διάσταση y (6.2.10) Συγκρίνουµε την παραπάνω έκφραση µε τη σχέση (6.2.1). Παρατηρούµε ότι είναι ουσιαστικά εκφράσεις δύο επάλληλων ορθογωνίων σχισµών κατά µήκος των ανεξάρτητων αξόνων x και y. Σύµφωνα µε το θεώρηµα της ορθογωνιότητας (6.7.6), ο περιθλαστικός σχηµατισµός είναι το γινόµενο των αντίστοιχων ανεξάρτητων (ορθογώνιων) περιθλαστικών σχηµατισµών σχισµής κατά µήκος των αντίστοιχων αξόνων. Έτσι, η κατανοµή φωτεινής έντασης του περιθλαστικού σχηµατισµού είναι : I ( x, y ) 2 π a 2 πb sin sinθ x sin sinθ y λ λ 2 π a πb sinθ x sinθ y λ λ 0 0 2 διάσταση x διάσταση y (6.2.11) δηλαδή µια έκφραση της µορφής (sin 2 α) /(α) 2 (sin 2 β) /(β) 2, όπου θα έχουµε δύο χαρακτηριστικές γωνιακές παραµέτρους περίθλασης, α και β : α = ½ k αx 0 /z = παx 0 /λ z = π(α/λ) sinθ x και β = ½ k by 0 / z = π by 0 / λ z = π(b/λ) sinθ y (6.2.12) sinc(α/π) = (sinα)/α sinc(β/π) = (sinβ)/β Σχήµα 6-2-10 : Περιθλαστική κατανοµή ορθογωνίου ανοίγµατος α b= αποτέλεσµα δύο επάλληλων σχισµών. Σελίδα 6.21

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Η δισδιάστατη κατανοµή της περιθλαστικής έντασης γύρω από τον οπτικό άξονα έχει συµµετρία που αντανακλά τη συµµετρία του περιθλώντος ανοίγµατος, µε σχέσεις αντίστροφης αναλογίας. Όπως και στον περιθλαστικό σχηµατισµό µιας σχισµής, το εύρος του κεντρικού λοβού κατά το επίπεδο xz θα είναι 2λz/a ενώ κατά το επίπεδο xy θα είναι 2zλ/b, δηλαδή αν a >b θα ισχύει 2λ/a < 2λ/b. Έτσι ο κεντρικός ορθογώνιος λοβός θα είναι επιµηκυµένος κατά τη διάσταση εκείνη που το ορθογώνιο περιθλόν άνοιγµα είναι στενότερο. 2λ z/a 2λ z/b Σχήµα 6-2-11 : Περιθλαστική κατανοµή ορθογωνίου ανοίγµατος α b. Σελίδα 6.22

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 6.3. Περίθλαση από Κυκλικό Άνοιγµα Στην επιφάνεια εισόδου έχουµε ένα κυκλικό άνοιγµα διαµέτρου D. Φωτίζουµε αυτό το άνοιγµα µε σύµφωνο φως µήκους κύµατος λ, επίπεδο µέτωπο κύµατος, και σταθερό πλάτος. Η κατανοµή πεδίου στην είσοδο έχει την ακτινική διαµόρφωση : r = /2 1 ( ) exp ϕ E r1 E0 i 0 circ D (6.3.1) Η µορφή της συνάρτησης circ(r/(d/2)) είναι κυλινδρική, µε τιµές 0 για r>d/2 και 1 για r<d/2. Εκφραζόµαστε σε πολικές συντεταγµένες αντί για τις καρτεσιανές. 1 circ(r/(d/2)) D/2 Σχήµα 6-3-1 : Μορφή πεδίου στην είσοδο, συνάρτηση circ(r/(d/2)). Ο µετασχηµατισµός Fourier της κατανοµής εισόδου θα µας δώσει την κατανοµή του ηλεκτρικού πεδίου στον περιθλαστικό χώρο, που είναι : r ( ρ ) 2 D Dr0 / z J1 E( r0) π λ J1 2 Dr0 /2λz ρ (6.3.2) και την κατανοµή της φωτεινής έντασης είναι το τετράγωνο του µέτρου του πεδίου : 2 ( ρ ) ( π / λ ) 2 J 1 J1 Dr0 z I( r0 ) = (6.3.3) ρ πdr0 / λz Η ποσότητα ρ =π Dr 0 /λz είναι η ακτινική γωνιακή παράµετρος περίθλασης κυκλικού ανοίγµατος διαµέτρου D για µ.κ. λ, σε ένα πέτασµα παρατήρησης που απέχει απόσταση z, στο οποίο µετράµε ακτινικές αποστάσεις r 0 : Dr0 Dr0 D ρ = ½ z k = π = π sinθ (6.3.4) z λz λ Η συνάρτηση J 1 είναι η συνάρτηση Bessel πρώτης τάξης, και ορίζεται από τις σχέσεις: 1 J1 x xjo x dx x ( ) = ( ), και ( ) exp( cosϑ ) o 2π J x = ix dϑ (6.3.5) όπου η J o είναι η συνάρτηση Bessel µηδενικής τάξης. Η κατανοµή της περιθλαστικής φωτεινής έντασης, που εκφράζεται από τη (6.3.3), είναι ο δίσκος του Airy, προς τιµή του George Biddell Airy. Η έκφραση αυτή έχει ακτινική συµµετρία µε κεντρικό µέγιστο Ι ο για ρ = 0. Σε αναλογία µε τη σχέση (6.2.4), το µέγιστο αυτό είναι : 1 ( ) lim J ρ = 1 (6.3.6) ρ 0 ρ ο Σελίδα 6.23

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ J 1 (ñ ) ñ J 1 (ñ ) ñ 2 ñ 1.22 ð 2.23 ð 3.24 ð Σχήµα 6-3-2 : Περιθλαστική κατανοµή έντασης ηλεκτρικού πεδίου (κόκκινο) και φωτεινής έντασης (µπλε) για κυκλικό άνοιγµα. Ο πρώτος µηδενισµός της φωτεινής έντασης παρατηρείται όταν ρ = (1.22 π), και έτσι καθορίζεται η ακτίνα του Airy, η ακτίνα του κεντρικού δίσκου, αντίστοιχου του κεντρικού λοβού της περιθλαστικής κατανοµής σχισµής. Για εκφράσεις σε γωνία παρατήρησης θ r, η χαρακτηριστική ποσότητα είναι η γωνία θ 0 µε την οποία φαίνεται η ακτίνα του κεντρικού δίσκου από το κέντρο του κυκλικού ανοίγµατος : D ρ k 1.22 λ = sinθ0 = 1.22 π ή sinθ0= θ0 (rad) (6.3.7) 2 D Η γωνία αυτή του πρώτου µηδενισµού παραµένει σταθερή (1.22 λ/d) ανεξάρτητα από την απόσταση παρατήρησης z. Έχει µια ιδιαίτερα απλή έκφραση, και δίνει το γωνιακό άνοιγµα του κεντρικού δίσκου, που είναι ανάλογος του µήκους κύµατος και αντίστροφα ανάλογος της διαµέτρου του περιθλαστικού ανοίγµατος, όπως είδαµε σε όλα τα προηγούµενα φαινόµενα περίθλασης. 2.44 λ z/d 6-3-3 : ίσκος Airy, Περιθλαστική κατανοµή κυκλικού ανοίγµατος. Η διάµετρος του πρώτου µηδενισµού θα είναι αντίστοιχα : λz = (6.3.8) D διάµετρος δίσκου µηδενισµού Airy : 2 1.22 2.44 λ ( F #) όπου F# είναι ο αριθµός F του περιθλώντος ανοίγµατος, σχέση (2.2.16). Αν στο χώρο πέρα από το κυκλικό άνοιγµα υπάρχει µέσο µε δ.δ. n, τότε η διάµετρος δίσκου Airy για πρώτο µηδενισµό γίνεται 2.44 λ f/n. Σελίδα 6.24

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Στον παρακάτω πίνακα παραθέτουµε συγκριτικά χαρακτηριστικά µεγέθη από περιθλαστικούς σχηµατισµούς φωτεινής έντασης για σχισµή πλάτους α και κυκλικό άνοιγµα διαµέτρου D. Ορθογώνια σχισµή πλάτους α κυκλικό άνοιγµα διαµέτρου D αποτέλεσµα περίθλασης κατανοµή (sin 2 α)/α 2 α= π x 0 α/λ z ισοµεγέθεις πλάγιοι λοβοί, κεντρικός λοβός µε διπλάσιο εύρος J 1 2 (ρ) /ρ 2 ρ = πr 0 D/λz µη ισαπέχοντες δακτύλιοι, κεντρικός δίσκος µε έντονη φωτεινότητα διαµόρφωση έντασης φθίνουσα ένταση πολύ φθίνουσα ένταση Πάχος κεντρικού λοβού 2λ z/a 2 1.22 λ z/d γωνιακό εύρος κεντρικού λοβού 2λ/a 2 1.22 λ/d Πίνακας 6-3-1 : Συγκριτικά χαρακτηριστικά περίθλασης ορθογώνιας σχισµής και κυκλικού ανοίγµατος. Οι ακτίνες των δακτυλίων ελαχίστων καθορίζονται από τις τιµές της ακτινικής γωνιακής παραµέτρου περίθλασης ρ που µηδενίζουν τη συνάρτηση (6.3.2). Αυτό συµβαίνει για τις τιµές ρ 1 = 1.22 π (1 ος µηδενισµός), ρ 2 = 2.233 π (2 ος ), ρ 3 = 3.238 π (3 ος ), κλπ. Το άµεσο συµπέρασµα είναι ότι οι δακτύλιοι δεν ισαπέχουν, αντίθετα µε τα ελάχιστα της περιθλαστικής κατανοµής ορθογωνίου που ισαπέχουν. Τα δευτερεύοντα µέγιστα γύρω από τον κεντρικό δίσκο αντιστοιχούν σε πολύ µικρότερη σχετική ένταση και εξασθενίζουν πολύ γρήγορα όσο αποµακρυνόµαστε από το κεντρικό µέγιστο. Ως αποτέλεσµα, ο κεντρικός δίσκος περικλείει περίπου το 85% της περιθλώµενης φωτεινής ενέργειας. Στο Παράρτηµα 6.4. παρουσιάζεται ένας εκτενής συγκριτικός πίνακας περιθλαστικών χαρακτηριστικών από κυκλικό και ορθογώνιο άνοιγµα, όπως σηµεία µηδενισµού, θέσεις µεγίστων/ελαχίστων, σχετική φωτεινή ένταση, και ποσοστό φωτεινής ενέργειας στο λοβό. 6.3.1. Πόσο Καλή Είναι η Όρασή µας; Στη Γεωµετρική Οπτική µπορεί να θεωρήσαµε το εστιακό σηµείο ως σηµείο, ένα µαθηµατικό κατασκεύασµα, ωστόσο τονίσαµε ότι η κυµατική φύση του φωτός δεν επιτρέπει αυτή τη µαθηµατική εξιδανίκευση. Ας φανταστούµε για µια στιγµή ότι αφαιρούµε από το φακό το γυαλί και αντικαθιστούµε το φακό µε ένα κυκλικό άνοιγµα σε ένα διάφραγµα, και ότι φωτίζουµε αυτό το άνοιγµα µε ένα επίπεδο µέτωπο κύµατος. Έτσι κάθε φακός ενεργεί ως ένα κυκλικό περιθλόν άνοιγµα -σε απόσταση ίση µε την εστιακή του απόσταση θα σχηµατιστεί ο περιθλαστικός σχηµατισµός που αντιστοιχεί στη διάµετρο του ανοίγµατός του, µια περιθλαστική κατανοµή Airy που αντιστοιχεί στο αντίστροφο της ακτίνας d του κυκλικού ανοίγµατος που ορίζει την κατανοµή εισόδου της φωτεινής δέσµης (pupil function). Σελίδα 6.25

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ ÄéÜìåôñïò åéóüäïõ D Ìåôáó çìáôéóìüò Fourier ÄéÜìåôñïò äßóêïõ Airy Ðåñéèëáóôéêü åßäùëï Σχήµα 6-3-4 : Εστιακή κατανοµή τέλειου φακού = δίσκος Airy. D Ìåôáó çìáôéóìüò Fourier ÄéÜìåôñïò åéóüäïõ D Ìåôáó çìáôéóìüò Fourier ÄéÜìåôñïò äßóêïõ Airy ÄéÜìåôñïò åéóüäïõ ÄéÜìåôñïò äßóêïõ Airy Σχήµα 6-3-5 : Μεταβολή δίσκου Airy µε τη διάµετρο εισόδου. Το κυκλικό άνοιγµα -όπως και κάθε άνοιγµα εισόδου- θα φιλτράρει τις χωρικές συχνότητες ενός θεωρητικά απείρως εκτεινόµενου µετώπου κύµατος. Όσο πιο µικρό είναι το γεωµετρικό άνοιγµα της κατανοµής εισόδου, τόσο πιο λίγες χωρικές συχνότητες θα διέλθουν, και άρα τόσο πιο εκτεταµένο θα είναι το είδωλο δηλαδή ο µετασχηµατισµός Fourier, που στην περίπτωσή µας είναι ο δίσκος Airy. Αντίθετα, ένα µεγάλο άνοιγµα εισόδου θα επιτρέψει περισσότερες χωρικές συχνότητες, και έτσι το είδωλο θα είναι αρκετά πιο συγκεκριµένο, δηλαδή ο δίσκος Airy θα είναι αρκετά πιο περιορισµένος. Aκόµα και αν είµαστε πλήρως απαλλαγµένοι από κάθε είδους εκτροπές -κάτι που ισοδυναµεί µε το να πούµε ότι το προσπίπτον µέτωπο κύµατος είναι ιδεατά επίπεδο ( 2.5.4.)- το µικρότερο σηµείο στον εστιακό σχηµατισµό ενός οπτικού συστήµατος δεν µπορεί να είναι µικρότερης έκτασης από ένα δίσκο του Airy. Με µοναδική εξαίρεση τα τεχνητά υλικά µε αρνητικό δείκτη διάθλασης (Παρ. 4.1.), η κυµατική φύση του φωτός, µέσω του φαινοµένου της περίθλασης, είναι το τελευταίο σύνορο που καθορίζει το πόσο µικρό µπορεί να είναι το σηµείο εστίασης σε ένα σύστηµα απεικόνισης. Ένας τέτοιος τέλειος φακός λέγεται diffraction-limited. Óýóôçìá Åóôßáóçò ùñßò óöüëìáôá ÅëÜ éóôç ÓçìåéáêÞ Êçëßäá = Äßóêïò Airy Óýóôçìá Åóôßáóçò ìå óöüëìáôá ÅëÜ éóôç ÓçìåéáêÞ Êçëßäá >> Äßóêïò Airy Σχήµα 6-3-6 : Ελάχιστη σηµειακή κηλίδα (α) χωρίς σφάλµατα και (β) µε σφάλµατα. Σελίδα 6.26

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Η ύπαρξη εκτροπών στο φακό θα συντελέσει σε διεύρυνση της ελάχιστης σηµειακής κηλίδας. Γνωρίσαµε στη Γεωµετρική Οπτική αρκετές εκτροπές που είτε οφείλονται στη γεωµετρία είτε στη φύση του φωτός. Εκτροπές από το τέλειο θα εµφανιστούν και αν το προσπίπτον µέτωπο κύµατος δεν είναι απόλυτα επίπεδο, και οι εκτροπές του φακού µπορούν να µελετηθούν ισοδύναµα ως αποκλίσεις από το τέλειο επίπεδο µέτωπο κύµατος. Το άµεσο αποτέλεσµα είναι ότι επηρεάζεται προς το αρνητικότερο (διευρύνεται) το ελάχιστο µέγεθος του περιθλαστικού σχηµατισµού. Η διακριτική ικανότητα (resolving power) αναφέρεται στην ικανότητα ενός οπτικού συστήµατος να διακρίνει δύο ανεξάρτητα σηµεία, π.χ. δύο γειτονικές κουκκίδες. Αν θεωρήσουµε δύο τέτοια γειτονικά (ανεξάρτητα = ασύµφωνα) σηµεία S 1 και S 2 στη θέση του αντικειµένου, αυτά θα σχηµατίσουν δύο ανεξάρτητους κύκλους Airy, οι οποίοι θα διακρίνονται σαν χωριστοί µόνο όταν η απόσταση των κέντρων τους είναι µεγαλύτερη από την ακτίνα του κεντρικού δίσκου (κριτήριο Rayleigh). Έτσι η γωνιακή διακριτική ικανότητα του µατιού, όπως και κάθε οπτικού συστήµατος, περιορίζεται, σε τελική ανάλυση, από την περίθλαση. Tο όριο της διακριτικής ικανότητας καθορίζεται από τη σχέση θ MIN =0.61 λ/nd, όπου d είναι η ακτίνα του κυκλικού ανοίγµατος που περιορίζει τη φωτεινή δέσµη (entry pupil) και n ο δείκτης διάθλασης του µέσου στο χώρο της περίθλασης. Στο απλοποιηµένο πρότυπο για το µάτι θεωρούµε δεξιά του µατιού το υαλώδες υγρό µε δ.δ. n=1.336. Η ενεργός διάµετρος του φακού του µατιού αλλάζει από τη διάµετρο της κόρης, που µπορεί να φθάσει και τα 8 mm, ανάλογα µε τη φωτεινότητα. Για συνθήκες µε φως ηµέρας η διάµετρος µπορεί να είναι 1 mm. Θα θεωρήσουµε ένα µέσο µ.κ. ορατής ακτινοβολίας 0.55 µm, που αντιστοιχεί στο µέγιστο της φασµατικής κατανοµής του ηλιακού φωτός. Έτσι ένας κανονικός ανθρώπινος οφθαλµός µπορεί να διακρίνει αντικείµενα που διαχωρίζονται από την ελάχιστη γωνία : θ MIN 0.61 λ 0.61 0.55µ m = = 0.25 mrad 0.86 arc min nd 1.336 1 mm (6.3.9) Το όριο της διακριτικής ικανότητας στο είδωλο που σχηµατίζεται στον αµφιβληστροειδή, ακόµα και αν το οπτικό σύστηµα έχει την πρέπουσα προσαρµογή, εξαρτάται σε τελική ανάλυση από όλους τους παράγοντες που επιβαρύνουν το ελάχιστο σχηµατισµό. Ο βαθµός της οξύτητας της όρασης, το πόσο καλά βλέπουµε, επηρεάζεται και από άλλους παράγοντες, όπως τη λειτουργία των αισθητήρων ως συλλέκτες πληροφορίας και της νευροφυσιολογικής λειτουργίας της όρασης. S1 S1 S2 S2 Σχήµα 6-3-7 : ύο πλήρως διακριτά στίγµατα (α), και (β) κριτήριο Rayleigh. Σελίδα 6.27