ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι δικαιολογώντας την απάντησή σας. Στις περιπτώσεις που θα απαντήσετε καταφατικά προσδιορίστε µία βάση. (i) V {(, ) R : } (ii) V {(,, z) R : } (iii) V {(,, z) R : z + } (i) εν είναι υπόχωρος αφού (,), (,) V αλλά (,) + (,) (,) V. (ii) εν είναι υπόχωρος αφού (,,) V αλλά - (,,) (-,-,) V. (iii) Αν θεωρήσουµε u(,,z ), v(,,z ) δύο στοιχεία του υπό µελέτη συνόλου, οπότε θα ισχύουν οι σχέσεις z - + z - +, παρατηρούµε ότι: u+v ( +, +,z +z ), το οποίο επίσης ανήκει στο V αφού: (z +z )-( + )+( + ) (z - + ) + (z - + ) +. Επίσης, για κάθε πραγµατικό αριθµό λ έχουµε: λu λ(,,z ) (λ,λ,λz ), το οποίο ανήκει στο V γιατί: λz -λ +λ λ(z - + ) λ. Αποδείξαµε έτσι ότι ο V είναι ένας διανυσµατικός υπόχωρος του R και άρα διανυσµατικός χώρος. Εναλλακτικά µπορεί να τεκµηριώσει κανείς ότι το V είναι υπόχωρος παρατηρώντας ότι πρόκειται για το σύνολο των λύσεων ενός οµογενούς συστήµατος Σ οι οποίες ικανοποιούν την ιδιότητα το άθροισµα τους και το γινόµενο τους µε πραγµατικό αριθµό να είναι επίσης λύσεις του συστήµατος Σ. Αυτό άλλωστε επαληθεύσαµε προηγουµένως. Προχωρώντας στον προσδιορισµό µιας βάσης του V παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο του u(,,z) αναλύεται στη µορφή:

2 u (,,z) (,,-) (,,-) + (,,) (,,-) + (,,). ηλαδή τα διανύσµατα {(,,-), (,,)} είναι γεννήτορες του V και ως γραµµικά ανεξάρτητα (αφού προφανώς είναι µη συγγραµµικά) αποτελούν µια βάση του υπό µελέτη χώρου. Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα + + z + λ + z λ + + λz Να βρεθούν οι τιµές του λ για τις οποίες αυτό έχει: (i) µοναδική λύση (ii) άπειρες λύσεις (iii) καµία λύση Επίσης να προσδιορίσετε τις λύσεις του συστήµατος στις περιπτώσεις που υπάρχουν. έχουµε: Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι: λ λ λ Μετασχηµατίζουµε σε τριγωνικό πίνακα µε πράξεις µεταξύ των γραµµών: η γραµµή ίσον η γραµµή µείον η γραµµή λ λ λ η γραµµή ίσον η γραµµή µείον η γραµµή λ λ λ Εδώ πρέπει να διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: (Ι) Αν λ, τότε ο πίνακας γίνεται 4-z, -+z, z R (απλή απειρία λύσεων)., οπότε έχουµε αόριστο σύστηµα: (ΙΙ) Αν λ, τότε, προχωρώντας ένας βήµα ακόµη τις πράξεις µεταξύ των γραµµών,

3 η γραµµή ίσον η γραµµή επί (-λ) µείον η γραµµή λ λ 4 ( λ )( λ ) ( λ) Από την τριγωνική µορφή είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι για λ δεν υπάρχει λύση, οπότε το σύστηµα γίνεται αδύνατο, ενώ για τις υπόλοιπες τιµές του λ η λύση είναι 4 4 µοναδική: z,, λ λ Άσκηση. ( µον.) Ελέγξτε ποιοι από παρακάτω πίνακες µπορούν να διαγωνοποιηθούν και εκτελέστε την διαγωνοποίηση όποτε αυτό είναι δυνατόν: 5/ / 4 (i) Α (ii) Β (iii) Γ 5. 4/ / (i) Για τον πίνακα Α έχουµε χαρακτηριστικό πολυώνυµο: Έχουµε, εποµένως, διπλή ρίζα το και ένα µόνο ιδιοδιάνυσµα το (, ). Έτσι ο πίνακας δεν γίνεται διαγώνιος, (ii) Για τον Β έχουµε χαρακτηριστικό πολυώνυµο: 4 ( )( ) Ρίζες - ιδιοτιµές εδώ είναι οι 6,. Το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή 6 ικανοποιεί το σύστηµα που είναι ισοδύναµο µε το της µορφής c(, ). Το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή ικανοποιεί το σύστηµα και αυτό έχει λύσεις

4 4 που είναι ισοδύναµο µε το µορφής c(-, ). και αυτό έχει λύσεις της Ο πίνακας Β εποµένως διαγωνοποιείται µε αντίστοιχο διαγώνιο πίνακα τον αλλαγής βάσης Ρ. 6 και πίνακα (iii) Τέλος για τον πίνακα Γ έχουµε: det ( )( 5 )( 4 ) ( 5 ) 8( ) 9( 4 ) + + ( )( ) Μία ρίζα είναι η - (η οποία προκύπτει αν δοκιµάσουµε διαιρέτες του σταθερού όρου). ιαιρώντας έχουµε ( ) ( 8) Το τριώνυµο + + εύκολα διαπιστώνουµε ότι έχει ρίζες τις 4 και - (η οποία είναι εποµένως διπλή ρίζα). 8 Έτσι οι ιδιοτιµές του πίνακα Γ είναι οι 4 και - µε ιδιοδιανύσµατα που υπολογίζονται ως εξής: Για την 4: 4 + z 4 Γ z 4 z z z 4z 6 6 4z 4z + z 6 z z 6 R Έτσι τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή 4 έχουν τη µορφή: Αντίστοιχα, για την ιδιοτιµή - έχουµε: (,, ) (,, ) + z Γ ( ) 5 5+ z z z z z 6 6 4z z + + R 5+ R z z

5 Εποµένως, τα ιδιοδιανύσµατα της - είναι (,, ) (,, ) + (,, ) (,, ) + (,,) και ο πίνακας Γ διαγωνοποιείται µε αντίστοιχο διαγώνιο πίνακα τον αλλαγής τον Ρ. 4 και πίνακα Άσκηση 4. ( µον) ίνεται η απεικόνιση: f z z z : R R :(,, ) ( +, + 4 ) (i) Αποδείξτε ότι είναι γραµµική και βρείτε τον πίνακά της ως προς τις κανονικές βάσεις του πεδίου ορισµού και του πεδίου τιµών της. (ii) Βρείτε βάσεις του πυρήνα Kerf και της εικόνας Imf της f. (i) Για κάθε επιλογή διανυσµάτων u (,, z), v ( ', ', z') του πεδίου ορισµού R έχουµε: f( u+ v) f((,, z) + ( ', ', z')) f( + ', + ', z+ z') (( + ') + ( + ') ( z+ z'),( + ') ( + ') + 4( z+ z')) (+ z+ ' + ' z', + 4z+ ' ' + 4 z') ( + z, + 4 z) + ( ' + ' z', ' ' + 4 z') f( u) + f( v) Επίσης: f( λu) f( λ(,, z)) f( λ, λ, λz) ( λ + λλz,λ λ+ 4 λz) λ( + z, + 4 z) λ f( u) Έτσι αποδείξαµε ότι η f είναι πράγµατι γραµµική απεικόνιση. Για τις κανονικές βάσεις {(,,),(,,),(,,)} και {(,),(,)} των R και R αντίστοιχα, παρατηρούµε ότι:

6 f (,,) ( +, + 4 ) (,) (,) + (,) f (,,) ( +, + 4 ) (, ) (,) (,) f (,,) ( +, + 4 ) (,4) (,) + 4 (,) Εποµένως, ο πίνακας της f ως προς τις προηγούµενες βάσεις είναι ο (ii) Για τον πυρήνα της f έχουµε: 4 ( z,, ) Kerf f( z,, ) (,) ( + z, + 4 z) (,) + z z + + 4z + 4( + ) 7 z z + z, R + Έτσι τα στοιχεία του Kerf έχουν τη µορφή: 7 7 (,, ) (,, ), 7 µε το διάνυσµα (,, ) να αποτελεί βάση. Πρόκειται, δηλαδή για έναν υπόχωρο του διάστασης. Αντίστοιχα, για την εικόνα Imf της γραµµικής απεικόνισης f έχουµε: v Im f v f(,, z) v ( + z, + 4 z) v (, ) + (, ) + ( z,4 z) v (,) + (, ) + z (,4) Πρόκειται δηλαδή για τον υπόχωρο του (,), (, ), (, 4) R που παράγεται από τα διανύσµατα. Επειδή όµως κάθε ζευγάρι από αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα, ο χώρος που παράγουν είναι ένας υπόχωρος του R διάστασης, δηλαδή ο ίδιος ο R. Έτσι Imf R και ως βάση της µπορούµε να θεωρήσουµε οποιοδήποτε ζευγάρι από τα (,), (, ), (, 4) ή, γενικότερα, οποιοδήποτε ζευγάρι µη συγγραµµικών, και άρα γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων, του R. R

7 Άσκηση 5. (8 µον) Με τη βοήθεια του Θεωρήµατος Cale-Hamilto αποδείξτε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και βρείτε τον αντίστροφό του. Εύκολα υπολογίζουµε την ορίζουσα αναπτύσσοντας την τρίτη στήλη που έχει µόνο ένα µη µηδενικό στοιχείο. Η ορίζουσα είναι ίση µε, άρα µη µηδενική και εποµένως υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι ίσο µε det ( + ) ( )( + ) + ( ) ( ) ( )( ) det +. ηλ. ο πίνακας ικανοποιεί την εξίσωση A + A A+ I, άρα και την ( ) A A+ I A I. Από την τελευταία σχέση έχουµε ότι ο αντίστροφος του Α είναι ο A A I +.

8 Άσκηση 6. ( µον) α) (9 µον.) Υπολογίστε τα όρια: i) iii) e e lim si + l(si ) lim + l(ta ) ii) lim( ) e β) ( µον.) Βρείτε τις τιµές των παραµέτρων ab, R έτσι ώστε lim( a b) α) Εφαρµόζουµε τον κανόνα de l Hospital: i) / e + e ( e + e ) e e e e lim lim lim lim / si (si ) sicos si ( e + e ) ( ) e e e + e e e e e lim lim lim lim lim (si ) cos cos 4si 4si e + e lim 8cos 8 4 ( ) ( e ) ( ) ( ) ( ) ii) e e e e lim( ) lim lim lim lim ( ) e e e e ( ) + e lim e + e + e iii) ( ) cos ( ) ( e + e ) l(si ) ( l(si ) ) ta cos ta cos cos lim lim lim si lim lim lim cos / β) Για l(ta ) > έχουµε: l(ta ) (ta ) si cos ta a b a b a si b ( ) ( ) ( +)( α)

9 Έτσι, αν a, το όριο της ανωτέρω παράστασης απειρίζεται, άρα είναι διαφορετικό του απαιτούµενου. Εποµένως θα πρέπει a και τότε η υπό µελέτη συνάρτηση γίνεται: ( + b) ( b) ( + b ) ( + ) + ( + b) + ( +b) b b + b + b ( b ) b b b ( + + ) + + Όταν το + η ανωτέρω παράσταση τείνει στο b 9 b b. Άρα πρέπει Άσκηση 7. ( µον) α) ίνεται η συνάρτηση a f( ) + a (α µη µηδενική σταθερή πραγµατική παράµετρος). Αποδείξτε ότι τα σηµεία καµπής της βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία την οποία να προσδιορίσετε. β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση Asi(k)+Bcos(k) επαληθεύει την (διαφορική) εξίσωση d k d +. γ) Ένα κλειστό κυλινδρικό δοχείο µε κυκλική βάση έχει χωρητικότητα 64 cm. Βρείτε τις διαστάσεις του ώστε το ποσό του µετάλλου που χρειάζεται για τα τοιχώµατά του να είναι ελάχιστο. (α) Παρατηρούµε ότι ' ( a ) ' ( + a ) ( a )( + a ) ' a f ( ) + a ( + a ) a a+ a a ( + a ) ( + a ) ( a ) ( a ) ( + a ) +

10 ' ' ( ) ( ) ( ) ( 4 ( + a ) ( a)( + a ) ( a a ) ( + a ) 4 ( + a ) a a f ( ) ( + a ) ( )( + ) 4( ) ( + a ) ' ( ) ) a a + a a a + a ( ) ( ) a a a a a a + a + a Μία ρίζα είναι το -a (διαιρέτης του σταθερού όρου), διαιρώντας έχουµε ( ) a a + a ( + a)( 4 a + a ). Ρίζες του δευτεροβάθµιου παράγοντα είναι οι a ( ± ). Έτσι, τα σηµεία καµπής της f() είναι τα : a, a (, ) (, ), ( ), a ( ), a a ( + ) + ( 8 4 ) ( ) ( 8+ 4 ) +, a. Για να αποδείξουµε ότι τα τρία αυτά σηµεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία, αρκεί να ελέγξουµε ότι τα πηλίκα, είναι ίσα. Πράγµατι,, ( + ) a a ( 8+ 4 ) 9+ 5 a a( + ) a ( )( 8 4 ) ( 8 4 ) ( ) a + a a 9 5. a a a a ( )( ) ηλ. τα σηµεία καµπής ανήκουν στην ευθεία µε κλίση 4a a, a.. η οποία περιέχει το σηµείο

11 a Γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο f( ) + a για a. β) Είναι A k cos (k) B k si (k), -A k si (k) - B k cos (k). Με αντικατάσταση έχουµε: d k Ak si( k) Bk cos( k) Ak si( k) Bk cos( k) d γ) Για να ελαχιστοποιήσουµε το ποσό του µετάλλου αρκεί να ελαχιστοποιήσουµε την επιφάνεια του κυλινδρικού δοχείου. Έστω rhve,,, η ακτίνα της βάσης, το ύψος, ο όγκος και το εµβαδό της επιφάνειας του δοχείου αντίστοιχα. Έχουµε: 64 V πr h πr h 64 h π r 64 8 E πrh+ πr πr + πr + πr, r > π r r Το κρίσιµο σηµείο της συνάρτησης του εµβαδού είναι: / π r 4 E ( r) + 4πr 4( πr ) r r r π π Θα εξετάσουµε τώρα, µελετώντας την παράγωγο ης τάξης, αν το κρίσιµο σηµείο που βρήκαµε είναι θέση ολικού ελαχίστου. // / / E r r πr r π r ( ) ( 8 ) + (4 ) >, > Εποµένως r 4 είναι θέση ολικού ελαχίστου. Για την τιµή αυτή της ακτίνας το ύψος είναι π h 64π r 64 π ( ) ]. π. π.. π r. π π

12 Άσκηση 8. (8 µον) Ελέγξτε ως προς τη σύγκλιση τις σειρές: i) ( + )( + )! ii) k ( + )!! iii) iv) (για τις διαφορες τιµες του R) + + (i) Το κριτήριο του λόγου δίνει για a + / a ( + )( + ) ( +! ) ( )(! + + ) ( )!( + )( + ) +!( + )( + ) a ( + )( + ) + ( + )( + ),! Το όριο αυτού του λόγου είναι µηδέν άρα µικρότερο από την µονάδα και εποµένως η σειρά συγκλίνει.. (ii) a + a ( + )! ( + )( + )( + ). Με το κριτήριο του λόγου έχουµε! / a ( + )( + )( + 4) + ( + )( + )( + ) όριο είναι /, άρα η σειρά συγκλίνει. ( + )( + )( + 4) ( + 4). Το ( + )( + )( + ) ( + ) + (iii) Παρατηρούµε ότι < και επειδή η σειρά συγκλίνει, το ίδιο θα ισχύει και + για την υπό µελέτη. + (iv) Για την a + έχουµε: + ( + ) a+ ( + ) + ( + )( + ) a ( + + ) Εποµένως:

13 Αν <, η σειρά συγκλίνει. Αν >, η σειρά αποκλίνει,. για η σύγκριση µε την αρµονική σειρά δίνει: a >. Έτσι, > και αφού η αρµονική σειρά αποκλίνει το ίδιο θα ισχύει και για την υπό µελέτη σειρά. + Τέλος για -, η σειρά γίνεται εναλλάσσουσα: ( ), όπου η ακολουθία + a + είναι (προφανώς) µηδενική και φθίνουσα αφού: + + a+ < a < < < + + ( + ) < + το οποίο ισχύει. Άρα σε αυτήν την περίπτωση η σειρά συγκλίνει (Κριτήριο Leibitz έχει δοθεί στην η εργασία). Άσκηση 9. ( µον) Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα: d i) (χρησιµοποιώντας αρχικά την αντικατάσταση si και στη συνέχεια cos ανάλυση σε απλά κλάσµατα) d ii) 5 ( + ) iii) + 6 d + 6 d cos d (i) cos. Με την αντικατάσταση si έχουµε d cos d και cos cos d d cos. Αναλύουµε το κλάσµα σε απλά κλάσµατα λύνοντας την A B εξίσωση + και προσδιορίζοντας τα Α, Β. Οι τιµές που προκύπτουν είναι + Α/, Β/. Εναλλακτικά

14 + + + ολοκλήρωµα γράφεται ( l l ) + d + ( ) ( + ) +. Εκφράζοντας την παράσταση ώστε να εµφανίζεται µόνο το έχουµε d ( l si + l + si ) +c. cos ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( ) ( + ).Το ii) Το κλάσµα γράφεται σε απλά κλάσµατα: ( )( ) 5 ( + ) 5 + ( + ) 5 ( + ) ( + 8)( a b a + ( ) + b ( + 8 ). ( + 8)( ) ( + 8) ( ) ( + 8)( ). Αναλύουµε ) ηλ. έχουµε a ( ) + b ( + 8). είναι a /, b /. ηλ. έχουµε. Το ολοκλήρωµα εποµένως γίνεται: ( + 8)( ) ( + 8) ( ) d d d 5 ( + ) + 8 l + 8 l + c. ( ) iii) Με την αντικατάσταση ( ) + 6 έχουµε d / d + 6, d + 6 d. To ολοκλήρωµα γίνεται d (/) / + c. Εκφράζοντας την παράσταση αυτή ώστε να εµφανίζεται µόνο το έχουµε + 6 d / ( 6 ) c.

15 Άσκηση. ( µον) α) Αναπτύξτε σε σειρά Talor κέντρου την συνάρτηση f( ), ( ) <, αναλύοντάς την πρώτα σε απλά κλάσµατα και στη συνέχεια χρησιµοποιώντας κατάλληλα τη + γεωµετρική σειρά, <. β) Αναπτύξτε σε σειρά Fourier την συνάρτηση f(), -π<<π. α) Αναλύουµε το κλάσµα ( ) σε απλά: a b + ( ) ( ) a ( ) + b. ( ) Λύνουµε το σύστηµα ως προς a, b και βρίσκουµε α -/, β /. Εναλλακτικά έχουµε ( ) ( ). Αναλύουµε τις παραστάσεις και σε δυναµοσειρές µε κέντρο το. ( ( )) ( ) ( ) + ( ( )) ( ). + ( ) Συνδυάζοντας τις προηγούµενες σχέσεις παίρνουµε: ( ) +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ος τρόπος: ( ) ( ) (( ) ) ( ) + β) Επειδή f ( ) f( ) η συνάρτηση είναι άρτια και εποµένως αναπτύσσεται µόνο µέσω των συνηµιτονικών αρµονικών + f ( ) a cos(σελ.9).

16 π π π π π π a d ( d + d). d d π π π π π π π π π Για έχουµε: π π π π si / a cos d cos d cos d ( ) d π π π π π π π π si π si cos πsi π si d + + (cos π ) π π π, αv k (cos π ) 4 4 π, av k + π π(k+ ) k,,,... + π 4 cos(k+ ) Συνεπώς το ανάπτυγµα της f σε σειρά Fourier είναι f( ) π (k + ) k