جلسه دوم سوم چهارم: مقدمه اي بر نظریه میدان

هو الحق دانشکده ي مهندسی کامپیوتر کدگذاري شبکه Coding) (Network سه شنبه 21 اسفند 1393 جلسه دوم سوم چهارم: مقدمه اي بر نظریه میدان استاد: مهدي جعفري نگارنده: علیرضا حیدري خزاي ی در این نوشته مقدمه اي بر انواع مختلفی از ساختارهاي مجرد جبري به خصوص گروهها میدان ها و چند جمله اي را فراهم میکنیم. هدف اصلی ما این است که با میدان هاي متناهی به عنوان مثال میدان هاي با یک تعداد متناهی از عناصر (که میدان گالوایی نیز نامیده می شود) آشنا شویم. در آینده میدان هاي متناهی براي توسعه کد (RS) Reed-Solomon مورد استفاده خواهند بود.که یک رده از مفیدترین کدهاي جبري میباشند.مفهوم گروه ها و چندجمله اي براي درك میدان هاي متناهی لازم میباشد. یک میدان بیش از یک مجموعه می باشد در واقع یک مجموعه تحت دو عمل است که آنها را جمع و ضرب میگویند که این اعمال بروي اعضاي این مجموعه داراي خاصیت هاي معینی می باشند. این اعمال یک سري اعمال معکوس را نیز ایجاد میکنند که آنها را بترتیب تفریق و تقسیم میگوییم. مثال 1 مجموعه اعداد گویا Q مجموعه اعداد مختلط C مجموعه اعداد حقیقی مثال هایی از میدان می باشند. 1 اعداد صحیح یک عدد صحیح n را مقسوم علیه عدد i میگویند اگر به ازاي یک عدد صحیح q داشته باشیم. i = q.n بدیهی است که هر عددي مقسوم علیه صفر می باشد.اعداد صحیحی که داراي معکوس باشند را واحدهاي Z میگویند. اگر u یک واحد باشد و n مقسوم علیه i باشد آنگاه un نیز یک مقسوم علیه براي i میباشد همچنین n نیز مقسوم علیه براي ui است. در نتیجه می توان تجزیه را تنها براي اعداد مثبت در حوزه اعداد مثبت انجام داد. هر عدد صحیح i دو مقسوم علیه بدهی 1 و i دارد. یک عدد n را عامل عدد i می گویند اگر مقسوم علیه غیربدیهی آن باشد. عدد 1 هیچ مقسوم علیه غیر بدیهی ندارد در نتیجه عامل ندارد. یک عدد صحیحی که هیچ مقسوم علیه غیربدیهی ندارد را عدد اول میگویند بعبارت دیگر هیچ عاملی ندارد. 1. 1 محاسبات به هنگ n فرض کنید عدد مثبت صحیحی مانند n داده شده است براي هر عدد صحیح i می توان آن را بصورت یکتا بصورت i = nq + r نمایش داد که r یک عدد صحیح در بازه 1 n r 0 و q یک خارج قسمت صحیح است.که الگوریتم تقسیم اقلیدس ثابت میکند که تا وقتی است n را از i کم میکنیم شرط برقرار نباشد آنگاه مقدار بدست آمده باقی مانده و تعداد تکرار کم کردن خارج قسمت است. مجموعه R n را مجموعه باقی مانده ها به هنگ n میگویند که بصورت زیر می باشند : R n = {0, 1,..., n 1} (1) 1-1

حال در این مجموعه جمع و ضرب را بصورت زیر تعریف میکنیم. براي جمع دو عضو را با هم جمع کرده سپس به هنگ n باقی مانده میگیریم: r s = (r + s) mod n (2) براي ضرب نیز دو عضو را در هم ضرب کرده سپس به هنگ n باقی مانده میگیریم: r s = (rs) mod n (3) با انجام اعمال جمع و ضرب بر روي اعضاي R n عضوي از همین مجموعه بدست می آید که اصطلاحا میگویند که این مجموعه تحت این اعمال بسته است. هر عدد صحیح مثبت دلخواه را می توان بصورت یکتا به عوامل اول کوچکتر از آن تجزیه نمود. منظور از یکتایی تعداد دفعات تکرار هر یک از این عوامل اول است نه مکان آنها در نمایش تجزیه. 2 گروه ها تعریف 1 مجموعه {...,c G =,a},b و عمل را گروه میگوییم اگر خواص زیر را دارا باشد : الف) بستار : مجموعه G تحت عمل بسته باشد. ب) خاصیت انجمنی: براي هر a, b, c G داشته باشیم: c) (a b) c = a (b پ) عضو خنثی : یک عضو 0 وجود داشته باشد که براي هر a G داشته باشیم : a a 0 = 0 a = ت)معکوس پذیري: براي هر a G یک عضو معکوس a G وجود داشته باشد که : 0 = ( a) a تعریف 2 به گروهی که به ازاي هر دو عضو b a داشته باشیم a a b = b گروه آبلی یا جابجایی میگویند. نکته 1 در حالت کلی هر گروهی خاصیت آبلی ندارد مانند ماتریس هاي مربعی تحت ضرب ماتریسی. نکته 2 اگر یک گروه آبلی باشد ضرب اعضا را میتوان به هر ترتیبی نمایش داد. معمولا در نمادگذاري ها سعی میشود مفاهیم جبري به جبر اعداد حقیقی نزدیک باشد بنابراین زمانی که عمل گروه را با ضرب نشان میدهند عضو خنثی را با 1 و معکوس اعضا را بصورت 1 a نشان میدهند. مثال 2 مجموعه اعداد صحیح تحت جمع یک گروه آبلی تشکیل میدهند. مثال 3 مجموعه اعداد حقیقی غیر صفر تحت ضرب گروه آبلی تشکیل میدهند. اگر به اعداد حقیقی توجه کنیم متوجه میشویم که تحت جمع و ضرب بروي کل اعضا و اعضاي غیر صفر تشکیل گروه میدهند که این خاصیت مفهوم پیچیده تري را می طلبد که این دو عمل را بر هم در آمیزد مطمي نا ساختار جدیدي که معرفی شود از گروه پیچیده تر خواهد بود و تاثیرات این دوعمل بر روي هم را معرفی خواهد کرد. یادآوري : ما عکس عمل + را با و عکس عمل * را با / نشان خواهیم داد. نکته 3 با استفاده از قانون حذف از طرفین و برهان خلف میتوان ثابت کرد که هر عضو وارون و عضو خنثی یکتا است. تعریف 3 فرض کنید } n G = a} 1, a 2,,... a یک گروه باشد آنگاه n را مرتبه گروه میگویند و آن را با نماد G نشان میدهند. یک نمایش رایج براي یک گروه ایجاد یک جدول n n می باشد است که در واقع اعضا اعمالشان بروي یکدیگر را باهم نشان میدهد. اعضاي داخل جدول حاصل عمل عضو سطر با عضو ستون می باشد. اعضاي یک سطر جدول را میتوان بصورت {G a+g = {a b b نشان داد. که درواقع همان اعضاي G با ترتیب متفاوت میباشند.با توجه به این خاصیت میتوان تعریف جایگزینی براي گروه ها اراي ه نمود که به صورت زیر است. 1-2

قضیه {... 1,c G =,a},b یک مجموعه با عملگر را گروه میگویند اگر و تنها اگر خواص زیر را داشته باشد : الف ( خاصیت انجمنی: براي هر a, b, c G داشته باشیم: c) (a b) c = a (b ب) عضو خنثی : یک عضو 0 وجود داشته باشد که براي هر a G داشته باشیم : a a 0 = 0 a = پ) خاصیت جایگشتی : براي هر a + G = {a b b G} a G یک جایگشتی از G باشد. براي اثبات قضیه بالا میتوان ثابت کرد که دو تعریف اراي ه شده معادل هم هستند. مثال 4 گروه اعداد حقیقی R تحت جمع براي هر a R با a + R معادل است. 1. 2 گروه هاي دوري {1 n R n =,0},1,... معروفترین گروه آبلی متناهی می باشد که تحت جمع به هنگ n تعریف میشود و n یک عدد مثبت است این گروه را معمولا با Z n نشان میدهند که Z 1 گروه بدیهی {0} است. یک گروه متناهی را دوري میگویند اگر یک عضو g G وجود داشته باشد هر یک از اعضاي گروه را بتوان بصورت g... g نمایش داد بعبارت دیگر هر عضو را بتوان بصورت تکرار چندبار عمیات ig را میتوان بصورت G نشان داد.بطور خلاصه هر عضو G = {g, g g, g g g میتوان بصورت G بر خودش نشان داد.بنابراین g نشان داد. فرض کنید با استفاده از g اعضا را میسازیم چون این گروه را دوري در نظر گرفتیم به ازاي یک n خواهیم داشت = 0 ng آنگاه این n همان دوره تناوب و مرتبه گروه است. و می توان گروه دوري را بصورت شکل زیر در نظر گرفت. در شکل نمایشی از الگوریتم تقسیم دیده میشود با شمارش تا n یک واحد اضافه میشود بنابراین می توان نمایش هر عضو را باقیمانده تقسیم بر n در نظر گرفت. در نتیجه براي هر عدد i میتوان نوشت. i = qn + r حال با توجه به شکل جمع در Z n جمع در این گروه دوري بصورت زیر تعریف میشود. ig jg = (i + j mod n)g (4) این شکل جمع در Z n نشان میدهد که هر گروه دوري با مرتبه n با Z n یکریخت است. و درواقع هم ارزي این دو را میتوان بصورت زیر نشان داد : ig G i Z n (5) بنابراین این موضوع را میتوان بصورت رسمی بیان نمود. قضیه 2 اعضاي یک گروه دوري G با مرتبه n و مولد g بصورت {g(1 G =,0g},1g,2g,... n) هستند که قانون جمع در آنها بصورت ig jg = (i + j mod n)g و عضو خنثی آن 0g و معکوس 0g ig بصورت (n i)g و گروه G با Z n یکریخت است. مثال 5 همانطور که میدانیم ریشه n ام یک عدد در میدان ختلط بصورت یک گروه دوري است که با Z n یکریخت است. 1-3

2. 2 زیر گروه زیر گروه یک گروه G یک زیر مجموعه S از G است که تحت اعمال گروه G خود یک گروه باشد.بنابراین زیر گروه یک گروه شامل عضو خنثی آن گروه و اعضاي دیگر آن است.براي اینکه یک زیر مجموعه از G یرگروه باشد باید به ازاي هردوعضو دلخواه از آن جمعشان نیز عضو مجموعه باشد همچنین وارون هر عضو نیز در خود زیر مجموعه قرار داشته باشد. مثال 6 مجموعه اعداد Z یک زیر گروه از مجموعه اعداد حقیقی R تحت جمع است. تعریف 4 فرض کنید G یک گروه آبلی باشد آنگاه اگر S زیرگروهی از G باشد آن نیز آبلی است حال براي براي هر عضو دلخواه a G همدسته این عضو را بصورت a تعریف میکنیم. لم 3 دو همدسته S g و S h برابر هستند اگر داشته باشیم g h S و جدا از هم هستند اگر. g h / S حال باتوجه به اینکه هر عضو G در یکی از همدسته ها قرار دارد در نتیجه مجموعه همدسته ها G را افراز میکنند از طرفی براي هر دو همدسته یک نگاشت یک به یک a + s a + s وجود دارد بنابراین تعداد اعضاي همدست ها برابر است پس اندازه یک زیرگروه مرتبه گروه را میشمارد. G = S. C (6) قضیه 4 اگر S یک زیرگروه گروه G باشد آنگاه S G را عاد میکند. مقدار مضرب همانطور که در رابطه ( ) دیده میشود تعداد همدسته ها می باشد. 3. 2 زیرگروه دوري یک زیرگروه را دوري میگویند اگر خود یک گروه دوري باشد. مثال 7 یک گروه Z n که n غیر اول باشد را در نظر بگیرید یکی از اعضاي آن را آن قدر با خودش جمع کنیم تا به صفر برسیم آنگاه این یک زیر گروه از گروه Z n است اگر اعضاي آن n بود با یک عضو دیگر این کار را انجام دهید تا به یک زیرگروه غیر بدیهی برسی ثابت میشود که چنین زیرگروهی وجود دارد. نکته 4 عضوي از گروه Z n که نسبت به n اول باشد عضو مولد گروه خواهد بود. که تعداد این اعضا براي یک گروه عدد اویلر آن گروه نام دارد و با ϕ(n) نشان داده میشود. 3 میدان ها تعریف 5 یک مجموعه متشکل از حداقل دو عضو به همراه دو عملگر و را میدان میگویند اگر شرایط زیر براي آن برقرار باشد: الف) F تحت یک گروه آبلی بسازد. ب) مجموعه {0} F F = تحت یک گروه آبلی بسازد پ) قانون پخش : براي هر a, b, c G داریم : c) (a b) c = (a c) (b به عمل جمع و به ضرب میدان میگویند معمولا با ایجاد اولویت از پرانتز گذاري نیز می پرهیزند. مثال 8 ساده ترین مثال میدان F 2 است که And بعنوان ضرب و XOR بعنوان جمع میدان است جدول عملیاتی آن بصورت زیر است : 1-4

1. 3 میدان هاي اول اگر در میدان Z p که p عدد اول است یک ضرب به هنگ p همانطور که در قبل معرفی شد تعریف کنیم یک میدان ایجاد میشود که آن را با F p نشان میدهند. قضیه 5 براي هر عدد اول p مجموعه {1 p R p =,0},1,2,... با ضرب و جمع به هنگ p تشکیل یک میدان میدهند. خاصیت انجمنی جابجایی و حالت پخشی عملیات به هنگ p از ضرب و تقسیم معمولی به آن به ارث میرسد. حال میتوان نشان داد که F p تنها وقتی که p اول است تشکیل میدان میدهد و همه میدان ها نیز با آن یکریختند. تعریف 6 دو میدان F و G را یکریخت میگویند اگر یک نگاشت معکوس پذیر h : F G وجود داشته باشد که براي هر α F داشته باشیم β = h(α) G و همچنین داشته باشیم ) h(α h(α α ) = h(α) و ) h(α. h(α α ) = h(α) بعبارت دیگر اگر یک تبدیل یک به یک وجود داشته باشد که بتوان هر حرف الفباي یک میدان را به یک حرف میدان دیگر تبدیل کرد بطوري که حساب عملگر ها در هیچ یک تغییر نکند. قضیه 6 (یکتایی میدان هاي اول) هر میدان F با تعداد عدد اول p عضو با F p یکریخت است با استفاده از تناظر. 1 1... 1 F i F }{{} p iبار اثبات : با فرض میدان بودن عضو خنثی ضرب و جمع بترتیب 1 و 0 خواهد بود. زیر گروه دوري (1)S را بصورت 1,1} = (1)S {...,1 1 1,1 تولید میکنیم. حال چون این یک زیر گروه است پس تعداد اعضاي گروه F را میشمارد و از آنجا که p اول است پس یا یک عضوي است یا p عضوي چون عضو غیر خنثی را انتخاب کردیم براي تولید بنابراین میدان F را می توان بصورت {...,1 1 1,1 1,1} = F نمایش داد. دو عمل جمع و ضرب در این دو میدان را می توان بصورت زیر تعریف نمود ودر نتیجه قضیه ثابت میشود. (1 1... 1) (1 1... 1) (i + j)mod p (7) }{{}}{{} iتا jتا (1 1... 1) (1 1... 1) (ij)mod p (8) }{{}}{{} iتا jتا 2. 3 زیرمیدان میتوانیم مانند زیرگروه براي یک میدان زیر میدان تعریف کنیم. مثال 9 مجموعه اعداد حقیقی R زیر میدانی از مجموعه اعداد مختلط است. نکته 5 هر میدان متناهی F q داراي یک زیر میدان اول F p می باشد. روش ساخت آن به این صورت است که عضو خنثی جمع را با هم جمع کرده تا به صفر برسند سپس چون مجموعه تولید شده با جمع و ضرب میدان اصلی خود تشکیل میدان میدهد در نتیجه یک یر میدان میدان اصلی است حال طبق قضیه لاگرانژ این گروه مرتبه گروه اصلی را میشمارد در نتیجه مرتبه زیر میدان تولید شده عاملی از میدان اصلی است حال اگر زیر میدان تولید شده اول بود که قضیه اثبات میشود اگر نبود براي زیر یمیدا ن تولید شده یک زیر میدان دیگر تولید میکنیم تا جایی که اول باشد حال چن سلسله زیرمیدان بودن حفظ میشود زیر میدان اولی که در آخر پیدا میشود خود زیر میدانی از میدان اصلی اولیه خواهد بود. قضیه 7 در یک میدان F q مجموعه...} 1, 1 1 1, 1 {1, یک زیر میدان F p می سازد که p اول است و p یک مشخصه F q است. 1-5

4 چندجمله اي ها چندجمله اي تحت میدان F p چند جمله اي است که ضرایب آن از میدان F p می آید بطور کلی چند جمله اي را بصورت زیر نشان میدهند : f(x) = f 0 + f 1 x + f 2 x 2 +... + f m x m (9) که i m, f i F 0 و اگر 0 m f درجه چند جمله اي را m می گویند و با نماد degf(x) = m نشان میدهند. نکته 6 دو چند جمله اي با هم متفاوت هستند اگر ضرایب آنها با هم متفاوت باشند. براي صفر استثنا یک درجه مجزا تعریف میکنیم تا ساختار حفظ شود = deg0.حال تمام چند جمله اي هایی که بر روي میدان F تعریف میشوند را بصورت F[x] نشان میدهیم.جمع و ضرب نیز در این میدان همان جمع و ضرب بر میدان F است. فرض کنید دو چند جمله اي h(x) و g(x) داده شده اند آنگاه اگر g(x)h(x) f(x) = ضرایب f(x) بصورت زیر تعریف میشوند که همان رابطه پیچش می باشد. i f i = h j g i j (10) j=0 در ضرب درجه چند جمله اي درجه چند جمله اي حاصل تغییر میکند و داریم : deg(f(x) g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x)) (11) در این میدان معرفی شده چند جمله اي = 1 f(x) بعنوان عضو خنثی ضرب می باشد. تعریف 7 چند جمله اي g(x) را مقسوم علیه چندجمله اي f(x) میگویند اگر یک چند جمله اي مانند q(x) وجود داشته باشد که f(x) = q(x)g(x) تعریف 8 چندجمله اي مانیک : چند جمله اي f(x) = f 0 + f 1 x + f 2 x 2 +... + f m x m از درجه m را مانیک میگویند اگر = 1 m f 1. 4 محاسبه به مد چندجمله اي g(x) فرض کنید g(x) یک چندجمله اي مانیک از درجه m باشد آنگاه هر چندجمله اي f(x) را می توان بصورت g(x)q(x)+r(x) f(x) = نمایش داد که r(x) بصورت degr(x) < m است و چندجمله اي q(x) را خارج قسمت این رابطه میگویند. می توان با استفاده از الگوریتم تقسیم اقلیدس نشان داد که r(x) و q(x) بصورت یکتا براي هر تابع f بدست می آیند. می توان باقی مانده r(x) را بصورت g(x) r(x) = f(x) mod نشان داد مجموعه همه باقی مانده هاي این تقسیم را می توان بصورت = F,m R 1} m {r 0 + r 1 x +... + r m 1 x m 1 r j F, 0 j نشان داد که اندازه آن برابر تعداد حالاتی است که ضرایب آن می توانند بگیرند و برابر R F,m = F m است. مجموعه باقی مانده 1} m R F,m = {r 0 + r 1 x +... + r m 1 x m 1 r j F, 0 j و محاسبات به هنگ g(x) یک میدان ایجاد میکند که آن را میدان مد g(x) میگویند. بطور دقیقتر جمع و ضرب در این میدان را بصورت زیر تعریف میکنیم : r(x) s(x) = (r(x) + s(x)) mod g(x) (12) r(x) s(x) = (r(x)s(x)) mod g(x) (13) که با تعریف این جمع و ضرب هر دو عضو مجموعه R F,m را بگیریم و اعمال کنیم عضوي داخل همان مجموعه را بدست می آوریم بقیه خواص میدان بودن نیز از میان ضرایب چند جمله اي به ارث برده میشود. تعریف 9 یک چند جمله اي مانیک را غیر قابل تجزیه میگویند اگر نتوان آن را بصورت ضرب دو چند جمله اي مانیک با درجه کمتر از خودش نوشت. 1-6

حال با استفاده از چندجمله اي هاي غیر قابل تجزیه می توان یک نمایش یکتا براي هر چندجمله اي ایجاد نمود که این موضوع به تجزیه یکتاي چند جمله اي معروف است. قضیه 8 هر چندجمله اي مانیک میدان f(x) F را میتوان بصورت یکتا بصورت ضرب چند جمله اي هاي مانیک غیرقابل تجزیه نوشت.بعبارت دیگر چند جمله اي f(x) را می توان بصورت زیر نوشت : f(x) = k a i (x) (14) i=0 که براي هر a i,(x) 1 i k داریم چند جمله اي غیر تجزیه پذیر یا اول در F[x] می باشد. براي اثبات قضیه بالا می توان از استقرا استفاده کرد و یک اثبات ساختاري نوشت از چند جمله اي هاي اول شروع کرده و و بافرض استقرا حکم استقرا را ثابت میکینم اگر فرض کنیم یک چند جمله اي درجه m داراي دو تجزیه است آنگاه می توان به این نتیجه رسید یک چند جمله اي درجه پایینتر وجود دارد که داراي دو نمایش است.که این کار با حذف یک جمله اول از دو نمایش متفاوت انجام میشود. 2. 4 ساخت میدان با تعداد اعضاي p m در اینجا نحوه ساخت یک میدان با p m عضو که p یک عدد اول است را مورد بررسی قرار می دهیم براي انجام اینکار یک چند جمله اي g(x) را عضو مجموعه R F,m در نظر میگیریم که در واقع مجموعه چندجمله اي هاي مانیک به هنگ m میباشد آنگاه براي ضرایب آن از میدان F p استفاده میکنیم و به این صورت میدان [x] F p طبق نکته اي که گفته شد داراي p m عضو می باشد.نکته اي براي ساخت این است چندجمله اي را که میخواهیم براي ساخت میدان انتخاب کنیم باید اول باشد. مثال 10 میخواهیم یک میدان با 4 عضو بسازیم براي این کار چند جمله اي درجه دو که ضرایب آن از میدان دوتایی بولین می آیند را در نظر میگیریم و همه چند جمله اي ها را به هنگ [x] g(x) = x 2 + x + 1 F 2 در نظر بگیریم حال با استفاده از باقیمانده گیري می توانیم جدول زیر را بدست آوریم : وقتی که از چند جمله اي ها براي ساخت یک میدان از مرتبه p m باید نوعی تناظر بین تمام میدان ها از مرتبه p m و g(x) F برقرار کنیم که این موضوع در ادامه اثبات خواهد شد. قضیه 9 قضیه اساسی جبر : بر روي هر میدان F اگر F[x] f(x) یک چند جمله اي مانیک از درجه m حداکثر m ریشه میتواند داشته باشد و در صورتی که m ریشه آن بصورت } m {β 1, β 2,..., β باشد می توان آن را بصورت ) m f(x) = (x β 1 )...(x β تجزیه نمود. قضیه 10 فرض کنید F q یک میدان باشد آنگاه {0} q F تحت ضرب میدان یک زیرگروه دوري دارد. فرض کنید یک عضو β از {0} q F را در اختیار داریم آنگاه مجموعه S(β) را بصورت {..., 2 S(β) =,1},β β تعریف میکنیم. تعریف 10 عضو اولیه میدان F q یک عضو مانند α است که S(α) برابر 1 q است. 1-7

حال با استفاده از قضیه لاگرانژمی دانیم که هر زیر گروه اندازه گروه اصلی را عاد میکند حال چون هر یک از اعضاي {0} q F می تواند یک گروه دوري به اندازه مثلا d بسازد از قبل میدانیم تعداد اعضایی که این ویژگی را دارند برابر ϕ(d) است پس {0} q F حداکثر مقدار رابطه زیر عضو داشته باشد. ϕ(d) (15) بنابراین می توانیم در قضیه زیر را بیان کنیم. d:d (q 1),d q 1 قضیه 11 اعضاي غیرصفر هر میدان داده شده F q با q عضو یک گروه دوري می سازند و براي هر d که از مقسوم علیه هاي 1 q به تعداد ϕ(d) عضو از مرتبه d وجود دارد.و هیچ عضوي از مرتبه دیگر وجود ندارد. مثال 11 فرض کنید F 5 را داریم آنگاه = 4 1 q داراي مقسوم علیه هاي 1 و 2 و 4 است که به ترتیب (1)ϕ (2)ϕ و (4)ϕ عضو با مرتبه 1 (عضو 1) و 2 (عضو 4) و 4 (اعضاي 2 و 3 ) دارد. مثال 12 میدان 4} F 1 6 = {0, 1, α, α 2,..., α 1 را در نظر بگیرید که 16 عضو دارد : = 1 (1)ϕ عضو با مرتبه 1 وجود دارد (عضو 1) (α 5, عضو با مرتبه 3 وجود دارد ) اعضاي α 10 ϕ(3) = 2 (α 3, α 6, α 9, عضو با مرتبه 5 وجود دارد ) اعضاي α 12 ϕ(5) = 4 (α, α 2, α 4, α 7, α 8, α 11, α 13, α 14 ) عضو با مرتبه 15 وجود دارد ϕ(15) = 8 در ادامه قصد به این نکته اشاره کنیم که هر میدان متناهی با g(x) F یکریخت است. که این موضوع در قضیه زیر بیان شده است. قضیه 12 هر میدان متناهی F q از مشخصه p با q عضو با میدان چندجمله اي باقی مانده هاي g(x) F که g(x) یک چندجمله اي اول در [x] F p از درجه m است. بنابراین q = p m براي یک m مثبت. مباحث مربوط به میدان ها را با دو قضیه اساسی به پایان میرسانیم : قضیه 13 به ازاي هر عدد اول p یک میدان با تعداد اعضاي p m براي هر m دلخواه وجود دارد. قضیه 14 براي هر میدان با p m عضو زیر میدانی با p n عضو با هر n که m عاد کند وجود دارد. با جمع بندي قضایاي بالا به این نتیجه میرسیم که هر میدانی که وجود دارد حتما p m عضو دارد که + Z m و p عدد اول است و براي هر عدد اول و توانهایش یک میدان میتوان با آن تعداد عضو ایجاد کرد و غیر این حالات میدانی وجود ندارد. 1-8