9// ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 3 - η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσµία παράδοσης 6// Άσκηση A) Θεωρούµε x την απόσταση της µάζας m από το σηµείο ισορροπίας της και x, x3 τις αποστάσεις των µαζών m και m3 από το σηµείο ισορροπίας της m, όπως στο Σχήµα. Στη µάζα m ενεργεί το βάρος της m g το οποίο εξουδετερώνεται από την αντίδραση του επιπέδου N (στον κάθετο άξονα) και η δύναµη του x 3 m 3 m 3 g ελατηρίου (στον οριζόντιο άξονα). Εποµένως από το ο Νόµο του Νεύτωνα η εξίσωση κίνησης της µάζας m θα είναι mɺɺ x x ( x x ) () Για τη µάζα m, στον κάθετο άξονα, η αντίδραση του επιπέδου εξουδετερώνει το βάρος και την κάθετη συνιστώσα της τάσης T, N mg + T cosθ ενώ στον οριζόντιο ασκείται η δύναµη του ελατηρίου + ( x x) και η παράλληλη συνιστώσα της τάσης T sinθ Συνεπώς mɺɺ x + ( x x ) + T sin θ () x x N m m Για τη µάζα m3 έχουµε για µικρές γωνίες ταλάντωσης στον κάθετο άξονα T cos θ m3g (3) ενώ στον οριζόντιο mɺɺ x3 T sin θ () m3g Από την (3) βρίσκουµε T και συνεπώς αντικαθιστώντας στις () και (3) cosθ παίρνουµε x3 x mɺɺ x + ( x x) + m3 g tan θ mɺɺ x + ( x x) + m3 g l x3 x mɺɺ 3x3 m3 g tanθ m3 g l g Αντικαθιστώντας τις τιµές των µαζών και τη συνθήκη ω έχουµε τελικά m l m g m g N µ T T g
ɺɺ x ω ( 3 x + x ) x 3x ɺɺ x ω + x3 ɺɺ x ω x x ( ) 3 3 B) Σε µορφή πίνακα οι εξισώσεις κίνησης γράφονται 3 x x d 3 x ω x (5) dt x 3 x 3 Εισάγοντας τη γενική µορφή ενός κανονικού τρόπου ταλάντωσης x A cos ω t + φ, i,,3, η (5) γράφεται ως i i ( ) 3ω + ω ω A ω 3ω + ω ω A A3 ω ω + ω η οποία έχει λύσεις όταν 3ω + ω ω 3 det ω ω + ω ω ω ω + ω 3ω ω 3ω + ω ω + ω ω ω ω ω + ω ω + ω ( ) 3ω ( ω ) ( ) 3ω ( + ω + ω ) ω + ω ω ω + ω 5 6 ( ω 3ω ) ω ω ω + ω + ω ω ω 6 5 6 ω ω ω + ω ω ω 6 7 6 ω ω ω ω ω + ω ω + ω ω ω 7 ω ( ω ω ) ω ω ( ω ω ) + ω ( ω ω ) 7 ( ω ω ) ω ω ω + ω και συνεπώς οι γωνιακές συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης είναι 7 7 ω ω, ω ω.3 ω, ω3 + ω 6.7ω
Άσκηση Θεωρούµε ότι το έντοµο κινείται αποµακρυνόµενο από τη νυχτερίδα όπως στο Σχήµα. Επίσης θεωρούµε θετική φορά από την πηγή προς τον παρατηρητή σύµφωνα µε το βιβλίο των Alonso-Finn. Η v b v i συχνότητα f που ακούει ένας παρατηρητής όταν κινείται µε ταχύτηταυ προερχόµενη από µια πηγή που εκπέµπει συχνότητα ταχύτητα υs δίνεται από υ υ f fs υ υ S f S και κινείται µε όπου υ η ταχύτητα του ήχου. Στην περίπτωσή µας µπορούµε να θεωρήσουµε δύο φάσεις στο φαινόµενο Doppler. Κατά την πρώτη, πηγή είναι η νυχτερίδα και παρατηρητής το έντοµο, το οποίο σύµφωνα µε την () δέχεται ήχο συχνότητας υ υi f fb () υ υb Στη δεύτερη φάση παρατηρητής είναι η νυχτερίδα και πηγή το έντοµο το οποίο επανεκπέµπει λόγω ανάκλασης ήχο συχνότητας f. Εδώ η θετική φορά είναι από το έντοµο (πηγή) προς τη νυχτερίδα (παρατηρητή). Η νυχτερίδα σύµφωνα µε την () δέχεται ήχο συχνότητας υ + υb fr f (3) υ + υi Απαλείφοντας την f από τις (),(3) βρίσκουµε υ + υb υ υi fr fb () υ + υ υ υ η οποία επιλυόµενη ως προς υi δίνει f υi υ f i ( υ + υ ) f ( υ υ ) ( υ υ ) + f ( υ + υ ) b b r b r b b b Αντικαθιστώντας τα δεδοµένα του προβλήµατος παίρνουµε υ i 8.8m/s. Το (-) σηµαίνει πως η ταχύτητα του εντόµου έχει φορά αντίθετη από αυτήν που υποθέσαµε δηλαδή κινείται προς την νυχτερίδα. Άσκηση 3 Α) Σύµφωνα µε το εδάφιο 8.6 του βιβλίου των Alonso-Finn το πλάτος του κύµατος πίεσης είναι Ρ p p. Συνεπώς εδώ P.7 Pa, ω 3π rad/sec, f ω / ( π ) 7 Hz, π υ ω / 3 π / π 3m/s m 3.m λ π / π / π b m, Β) Από παράδειγµα 8.6 Alonso-Finn υ a T όπου a.55. Άρα / 87. o K T v a () 3
Γ) Από ρ ρ ρ ξ x κ p ρ ρ ρ / κ / υ Άρα κ ξ παίρνουµε ρ ρ x, p p ρ p µε κ γ p Από Alonso Finn σελ. παίρνουµε κ γ p, υ Που δίνουν ρ ρ γ p p ρ ρ sin( ) + p + x ωt κ υ υ που δίνει 3 ρ.99 g/ m ρ.5 5 g/ m 3 και Άσκηση Η γενική µορφή του στάσιµου κύµατος σύµφωνα µε την.3 του βιβλίου των Alonso και Finn είναι ξ x, t Asin( x) + B cos( x) cos ωt + φ (a) Τα δύο άκρα είναι ελεύθερα συνεπώς ξ (, t) A ( ) ( ) ( ) nπ ξ (, t) Bsin( ) nπ, n, Εποµένως nπ x ξ ( x, t) B cos cos( ωt + φ) Επιπλέον σύµφωνα µε το Σχήµα 3 3,, cos n π t t cos n π ξ ξ n m +, m,,. Η ελάχιστη τιµή είναι η n η οποία ικανοποιείται για ( ) π π π λ λ και αντιστοιχεί σε βασική συχνότητα υ υ f λ όπου υ η ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυµάτων στη ράβδο. Μεταξύ των σταθερών σηµείων δεν έχουµε άλλους δεσµούς και έχουµε µέγιστα για x, /,. (b) Έχουµε το ένα άκρο πακτωµένο και το ένα ελεύθερο συνεπώς ξ (, t) B π π ξ (, t) Acos( ) (n + ) (n + ), n,, Εποµένως π x ξ ( x, t) Asin (n + ) cos( ωt + φ) Επιπλέον σύµφωνα µε το Σχήµα π ξ, t sin ( n + ) 5 5
η οποία ικανοποιείται για n + 5 m, m,,. Το ελάχιστο n είναι το n 5π π 5π λ λ 5 και αντιστοιχεί στην ελάχιστη συχνότητα υ 5υ f λ Έχουµε ένα επιπλέον δεσµό για x / 5 και µέγιστα για x / 5,3 / 5,. (c) Έχουµε και τα δύο άκρα πακτωµένα συνεπώς ξ (, t) B nπ ξ (, t) Asin( ) nπ, n, Εποµένως nπ x ξ ( x, t) Asin cos ( ωt + φ) Επιπλέον σύµφωνα µε το Σχήµα nπ ξ, t sin 5 5 η οποία ικανοποιείται για n 5 m, m,,. Το ελάχιστο n είναι το n 5 5π π 5π λ λ 5 και αντιστοιχεί στην ελάχιστη συχνότητα υ 5υ f λ Έχουµε 3 επί πλέον δεσµούς για x / 5, / 5,3 / 5 και µέγιστα όταν x /,3 /,5 /,7 /,9 /. (d)σύµφωνα µε το (a) nπ x ξ ( x, t) B cos cos( ωt + φ) και επιπλέον από το Σχήµα 3 3,, cos n π t t cos n π ξ ξ Η οποία ισχύει µόνο για n 6(m + ), m,,, Η ελάχιστη τιµή είναι n 6 6π π 6π λ λ 3 και αντιστοιχεί στην ελάχιστη συχνότητα υ 3υ f λ Έχουµε επί πλέον δεσµούς για x /,5 /,7 /,9 / και µέγιστα όταν x, /, /, 6 /,8 /, /, / Τα στιγµιότυπα φαίνονται στο Σχήµα 5
Άσκηση 5 A) Η επιφανειακή πυκνότητα σ g/(*3cm )/3 g/m. Η τάση Τ gr (m/s )/3cm N/3cm/3 Ν/m, εποµένως η δύναµη η οποία τείνει την πλευρά των cm είναι F T cm 6.67N ( ) ( ) /3 gm/ sm Η ταχύτητα v Τ m/ s σ /3 g/ m Η συχνότητα ( ) v n n 5 n n 5 f 9 n n, n, n,,3... a + b s + 9 6s +, όπου κανένα εκ των δύο δεν µπορεί να είναι και µηδέν. Η βασική ιδιοσυχνότητα είναι για n, n, f5/6 3 Hz 3.Hz. B) Οι επόµενες ιδιοσυχνότητες βρίσκονται κατατάσσοντας κατά µέγεθος τα αθροίσµατα9n+ n. n 3 9n 9 36 8 n n 3 85 6 5 5 97 3 36 5 7 7 Η χαµηλότερες είναι για 3, 5,, άρα η 3 η είναι για. ήτοι n, n. 5 Τότε f 5.7Hz 6s v m/ s 6 Από v λf λ m 9.cm. f 5 /6s 5 6
Η άµµος συσσωρεύεται σε θέσεις ακινησίας, δηλαδή στις δεσµικές (κοµβικές) γραµµές. Η πλευρά a των cm χωρίζεται σε n µέρη, ενώ η b των 3cm σε n µέρος. Άρα, εκτός από τα πακτωµένα άκρα, η άµµος συσσωρεύεται στην µεσοκάθετο της πλευράς a των cm (στα cm). Άσκηση 6 Για x < < είναι ξ() x ξ sin( x) Για x (ηµιτονοειδής µε αρχή το )., ( ) ( ( )) < < + είναι ξ ( x) asin( x ) + bcos x Αφού το x είναι κόµβος, πρέπει ξ ( ) b, οπότε ξ ( x) asin( x ) ( ) ηµιτονοειδής µε αρχή το, αφού εκεί είναι κόµβος, µε a ρυθµιζόµενο από την συνέχεια της παραγώγου ( dξ/ dx) οπότε ξ x cos a cos a cos, ( ) ( ) ( ) ξ ( ),, ξ( x) ξ cos sin ( ) ( ) ( x ), όπου η συχνότητα ωπ f είναι κοινή, π.χ. sinω t. Για κάθε κοµµάτι, (αντιστοίχως ) είναι () π/ λ(), v() G() / ρ() λ() f λ G / ρ () () () Και τα δύο κοµµάτια αρχίζουν και καταλήγουν σε κόµβο, άρα λ() n() () n(), όπου n () ακέραιοι. λ Εποµένως n n () () G/ ρ G / ρ f n n G/ ρ πρέπει να είναι ακέραιος, () G/ ρ η συνθήκη επιτεύξεως αυτού του στάσιµου κύµατος. Τότε π πn λ πn πn G/ ρ πn G/ ρ G / ρ G / ρ πn ω πf G/ ρ Οπότε, αν ισχύει η συνθήκη (), για < x< είναι f 7
nπx πn ξ(,) xt ξ sin sin G/ ρt,, και για < x< + είναι G/ ρ πn G / ρ πn ξ(,) xt ξ,cos( nπ) sin ( x ) sin G/ ρt G/ ρ G/ ρ n όπου cos( nπ ) ( ) ±, αναλόγως της τιµής του n. Εποµένως για < x< + είναι n G / ρ πn G / ρ πn ξ(,) xt ( ) ξ, sin ( x ) sin G/ ρt G/ ρ G/ ρ Άσκηση 7 Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης, είτε να φέρουµε τις εκφράσεις στη µορφή f ( x + υ t) + g( x υ t) οι οποίες γνωρίζουµε ότι είναι λύσεις της κυµατικής, είτε να αντικαταστήσουµε στην κυµατική εξίσωση και να δούµε αν επαληθεύεται. sin( x)cos( a t) cos( x) sin( a t) sin x a t, εποµένως είναι αρµονικό κύµα µε Α) ( ) ταχύτητα a ( + ) ( + ) a 3a t x a t 3x Β), συνεπώς δεν 3 3 3 3 t x a t ( x at) ( at + x) x x a t ( x at) ( at + x) είναι κύµα Γ) ( a abt + ax + b t btx + x ) b, ( a abt + ax + b t btx + x ) t x και συνεπώς είναι κύµα µε ταχύτητα b, αλλά όχι αρµονικό. Άσκηση 8 Α) Η γενική έκφραση της ταχύτητας φάσης των επιφανειακών κυµάτων είναι g λ π T π υ + tanh h π ρλ λ x x x πh e e e Για µικρές τιµές του λ h, x tanh x και επίσης x x x λ e + e e g λ π T π T ρ g λ π + ~ T π ρλ ρλ + π T ρλ καθώς λ T ρgλ ρg T Εποµένως σε αυτό το όριο υ Β) πt ρλ 8
dυ d πt d T T υg υ + υ + υ + υ + d d ρλ d ρ ρ T 3 υ + υ + υ υ ρ Άσκηση 9 Έστω x, x, x 3 οι αποµακρύνσεις των µαζών m, m, m 3 από την ισορροπία. A) Οι εξισώσεις κίνησης είναι m d x dt (x x ) m d x dt (x x ) + (x 3 x ) (x + x 3 x ) () m d x 3 dt (x 3 x ) B) Για να βρούµε τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης θέτουµε x n ϕ n e iωt, n,,3 και έχουµε αντίστοιχα ( mω )ϕ + ϕ ( mω )ϕ + ( ϕ + ϕ 3 ) ( mω )ϕ 3 + ϕ Η ορίζουσα είναι mω ( ) ( mω ) ( mω ) () (3) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι mω ( m ω 7mω + ) και οι λυσεις της ω, 7 7 m, 7 + 7 m () Κατά συνέπεια, οι συχνότητες ταλάντωσης είναι ω, ω ± 7-7 m, ω 3 ± 7 + 7 m (5) Οι αρνητικές συχνότητες δεν έχουν φυσική σηµασία. Γ) Για να βρούµε τα πλάτη των τρόπων ταλάντωσης αντικαθιστούµε ω ω n, n,,3 στο σύστηµα () και βρίσκουµε 9
( mω n ) ( mω n ) ( mω n ) ϕ ϕ ϕ 3 (6) (i) Γιά ω έχουµε ϕ ϕ ϕ 3 (ii) Γιά ω 5-7 - + 7 (7) 7 7 /m.88 /m έχουµε 3-7 δηλ. ϕ 5 7 ϕ και ϕ 3 (iii)για ω 3 ϕ ϕ ϕ 3 7 ϕ ή ϕ.38ϕ και ϕ 3.565ϕ. 7 + 7 /m.6675 /m έχουµε 5 + 7 - - 7 3 + 7 ϕ ϕ ϕ 3 Και βρίσκουµε ϕ 5 + 7 ϕ και ϕ 3 ήϕ.565ϕ και ϕ 3.565ϕ (8) + 7 ϕ ) Η συχνότητα ω αντιστοιχεί σε µεταφορική κίνηση ολόκληρου του µορίου. Στην ω όταν το πρώτο άτοµο µετατοπίζεται προς τα δεξιά, το δεύτερο και τρίτο είναι εκτός φάσης µε πλάτη περίπου -.3 και -.56 αντίστοιχα. Στην ω 3 όταν το πρώτο άτοµο µετατοπίζεται προς τα δεξιά, το δεύτερο είναι εκτός φάσης µε πλάτος περίπου -.56 ενώ το τρίτο είναι σε φάση µε το πρώτο µε σχετικό πλάτος.56 περίπου.
Άσκηση Α) Σε έναν κανονικό τρόπο ταλάντωσης όλα τα σηµεία της χορδής ταλαντώνονται µε την ίδια συχνότητα. Η γενική έκφραση θα είναι της µορφής ξ(x,t) A(x)cos(ωt + ϕ) () Αντικαθιστώντας στην κυµατική εξίσωση ξ T ξ T d A d A µω ω A A A( x) C cos( x) + D sin( x) (.) t µ x µ dx dx T µ µε ω T Οι συνοριακές συνθήκες επιβάλουν στα δυο ελεύθερα άκρα να µηδενίζεται η δύναµη ξ F T δηλαδή η παράγωγος του πλάτους. Ισχύει x A'(x) C sin(x) + D cos(x) () A'() D, αρα D A'() Csin() (3) Συνεπώς n nπ, n,,.. και άρα ω n nπ µ T, n,,.. Β) Η γενική έκφραση για τον κάθε κανονικό τρόπο ταλάντωσης είναι ξ(x,t) C n cos( n x)cos(ω n t + ϕ n ) για x (γ) Ισχύει τωρα A'( /) A'( /), δηλαδή C sin( ) + D cos( ) C sin( ) + D cos( ) () Η ορίζουσα του οµογενούς συστήµατος των συντελεστών πρέπει αν είναι µηδέν για να υπάρχει λύση, δηλ.
sin( ) cos( ) -sin( ) cos( ) Βρίσκουµε sin(), δηλαδή n nπ συστήµατος () έχουµε (5), n,,.. ενώ από την επίλυση του D n C n tan( n ) (6) Τελικά A n (x) C n cos( n x) + D n sin( n x) C' n cos( n (x + )) C n cos( (cos( n x)cos( n n ) ) sin( n x)sin( ) n ) Η γενική έκφραση για τον κάθε τρόπο ταλάντωσης είναι τώρα ξ(x,t) C' n cos( n (x + ))cos(ω nt + ϕ n ) για / x / (8) Παρατηρούµε ότι αν κάνουµε µετατόπιση στον άξονα x κατά /, δηλ αντικαταστήσουµε x x / βρίσκουµε την προηγούµενη σχέση του (β) για τους τροπους ταλάντωσης. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ) Το µήκος κύµατος είναι λ υ 5m/s.83m f 3 / s. Ένα µήκος κύµατος αντιστοιχεί σε διαφορά φάσης π δηλαδή 36. Εποµένως διαφορά φάσης 3 αντιστοιχεί σε απόσταση λ.83m 6.9cm ) I P Η ακουστότητα δίνεται από β log, µε I I υρ Αν διπλασιάσουµε το πλάτος της πίεσης η ένταση τετραπλασιάζεται I I και I I I β log log log + log β + 6.db I I I Συνεπώς, όταν το πλάτος της πίεσης διπλασιάζεται, η ακουστότητα αυξάνεται κατά 6.db 3) Η ταχύτητα δίνεται από τη σχέση της σελίδας του βιβλίου των Alonso-Finn (7)
γ RT υ M όπου R 8.37J/ ( mol K), C αντιστοιχούν σε T 93.5 K και M η µάζα ενός γραµµοµορίου του αερίου. Έτσι έχουµε: M.79 υ 3m/s M M ) H N O.67 υ 39m/s 5.9993 υ 37m/s H Ισχύει F T ξ ξ, όπου Τ η τάση και υ x t N O P T ξ ξ x t TωA cos (x ωt) Η µέση τιµή του τετραγώνου του συνηµιτόνου είναι ½ ενω ω / υ, c η φασική ταχύτητα του κύµατος. Έχουµε P µυω A 5) Τα δύο αρµονικά κύµατα είναι το ξ x t A ( x ω t) (, ) sin π ξ x t A x ω t + (, ) sin και καθώς τα δύο κύµατα διαδίδονται σε αντίθετες ω κατευθύνσεις µε ταχύτητα µέτρου υ. Για απλοποίηση των πράξεων, τα κύµατα µπορούν να γραφούν χρησιµοποιώντας εκθετικά ως ( ω ) ξ( x, t) Asin x t AIm e i( x ω t) π π i x ω t+ ξ( x, t) Asin x ω t + AIm e Η επαλληλία τους δίνει π i x ω t i( x ω t) + ξ ( x, t) ξ( x, t) + ξ( x, t) AIm e + e π π π π i x i x i x i t i x + ω iω t + 8 8 8 AIm e + e e AIm e + e e π π i ω t+ 8 π π Acos x Im e Acos x sin ω t + 8 8 8 Το παραπάνω είναι ένα στάσιµο κύµα (δεν έχουµε διάδοση) συχνότητας ω και πλάτους Α. 3