ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε διαδοχικά ένα νόµισµα και ένα ζάρι ιιι) Ρίχνουµε ένα άσπρο και ένα κόκκινο ζάρι ιv) Από µία κάλπη που περιέχει ελαττωµατικά και καλά CD παίρνουµε CD µέχρι να πάρουµε καλό και µέχρι 3 φορές. Έστω ένα π.τ. µε δ.χ. Ω{ 0,1,,3,4,5,6} και τα ενδεχόµενα Α{ 0,3,5,6} και Β{ 1,5,4}. Να βρείτε τα παρακάτω καθώς και τις πιθανότητές τους. A, B, A B, ( A B), A B, A B, A B, ( A B) ( B A) 1 3. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύουν Ρ(Α )1/3, P( A B) 5/ 6 και Ρ(Β)/5. Να βρείτε τις πιθανότητες: Ρ(Α), P( A B), Ρ(Α-Β) 4. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύουν Ρ(Α )/3, P( A B) 1/ 6 και Ρ(Β)/5. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: ι) να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α, Β. ιι) να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα Α, Β ιιι) να πραγµατοποιηθεί µόνο το Α. iv) να µην πραγµατοποιηθεί το Β και να πραγµατοποιηθεί το Α. v) να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα Α, Β εφαρµογή της παραπάνω άσκησης: Σε µία µάντρα µεταχειρισµένων αυτοκινήτων τα /3 δεν έχουν τζάµια, τα /5 έχουν λάστιχα και το 1/6 έχουν λάστιχα και τζάµια.. Επιλογή ενός αυτοκινήτου στην τύχη. Σε ένα λύκειο τα /3 των αγοριών δεν παίζουν ποδόσφαιρο /5 παίζουν µπάσκετ και το 1/6 παίζουν και τα δύο αθλήµατα. Επιλογή ενός αγοριού από το λύκειο στην τύχη. Σε ένα τµήµα λυκείου τα /3 των µαθητών δεν έγραψαν πάνω από τη βάση στα Μαθηµατικά, τα /5 αρίστευσαν στα Αρχαία και το 1/6 έγραψε πάνω από τη βάση στα Μαθηµατικά και αρίστευσε στα Αρχαία. Επιλογή ενός µαθητή από το λύκειο στην τύχη. 5. Έστω ο δ.χ. Ω{ ω 1, ω, ω 3, ω 4 } ενός π.τ. και τα ενδεχόµενα Α{ ω 1, ω } και Β{ ω, ω 3, ω 4 } µε Ρ(Α)3/8, Ρ(Β)7/8 και Ρ(ω 3 )1/. να βρείτε τις πιθανότητες : Ρ(ω 1 ), Ρ(ω ), Ρ(ω 4 )

6. Έστω ένα π.τ. µε δ.χ. Ω{ -0, -19, -18,, 0}. Να γράψετε µε αναγραφή τα παρακάτω ενδεχόµενα του Ω και να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί καθένα από αυτά. Α{ χ Ω / x 5 10 } Β{ χ Ω / x 5 > 10 } Γ{ λ Ω / η εξίσωση χ -λχ-10 να είναι αδύνατη στο R} { λ Ω / η εξίσωση χ -λχ-10 να έχει δύο πραγµατικές ρίζες} Ε{χ Ω / χ-5>0 και 3χ<15+4χ } Ζ{ χ Ω / χ D f όπου f x ( ) x 16 } Η{ χ Ω / x 3 } 1 Θ{ χ Ω / χ D f όπου } Ι{ χ Ω / χ πολλαπλάσιο του και του 3 } x + 4 Ακολουθίες 1. Στις ακολουθίες : (αν):, 5/, 3, και (β ν ): -, 4, -8, να βρείτε : τη διαφορά ω και το λόγο λ, τον νοστό όρο, το άθροισµα των 10 πρώτων όρων, τον όρο α ν που ισούται µε 1, τον όρο β ν που ισούται µε 64, το άθροισµα +5/ +3+ +17 το άθροισµα -+4-8+ -048, το άθροισµα των όρων της (αν) µεταξύ του 10 ου και του 1 ου όρου της. 3. Να βρείτε την Α.Π. µε α 10-5 και α 15-4. Να βρείτε τη Γ.Π. µε α 4 15 και α 10 15/64 5. Να βρείτε το χ ώστε: α) οι χ-4, χ+1, 3χ-19 να είναι διαδοχικοί όροι µιας Α.Π. Β) οι -, χ, χ-4 να είναι διαδοχικοί όροι σε Γ.Π. Εξισώσεις ανισώσεις απόλυτα ρίζες - συναρτήσεις 1. Να γίνουν οι πράξεις : (χ-) - (χ+1)(χ-1) +χ(χ-3). Να λύσετε τις εξισώσεις: α) χ 3-100χ0 β) χ +4χ 5 γ) (χ-)(χ+1) 3 +(-4χ+8)(χ+1)0 3. Αν η εξίσωση : (λ-)χκ+1 έχει άπειρες λύσεις ως προς χ, ν.δ.ο. η εξίσωση (3λ-6)χκ-3 δεν έχει λύσεις ως προς χ. 4. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων x 1 x και χ<5 3 5. Αν - χ 4 και 1 ψ να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της παράστασης : 1 χ-7ψ+5 α b 6. Αν 0 a b νδο... < 1+ a 1+ b 7. Αν 1<χ<3 να απλοποιήσετε την παράσταση: Α x 1 + 3 x + x 5 + x 8. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x +1 0 β) x + 4 x+ 1 γ) x 1 δ) x 1 x + 6 0 ε) x 4 + x x 0 στ) x 1+ x 9. Να λύσετε τις ανισώσεις α) d (x, 0) < β) d (x, 1) γ) x +5<0 δ) d (x+1, 3) < ε) 1 + x x 1 x 3 3

10. Να απλοποιηθούν οι ρίζες: ς 3 Α 3 4 ( 5), Β 46 5, Γ 6 35. 6+ 35, 34+ + 3 16 11. Να δείξετε ότι τετραγωνική ρίζα του 11+ 4 6 είναι ο αριθµός 3+ 8 1.. Να γίνουν οι πράξεις: + 3 + 6 3 3 13. Να αποδείξετε ότι: ( 8 3)( 18+ 1) 6+ 6 14. Ν.δ.ο. 1 0 16+ 98 9 + 3 a) 16 b) 3 11 6 50 3 9 + 7 15. Να λυθούν οι εξισώσεις x 5 43 x 7-3 x 6 56 x 8-4 x 5-3x 0 (3x-1) 5-3(3x-1) 0 16. ) Να λυθούν οι εξισώσεις : α) 9χ -6χ+10 β) χ -5χ+60 γ) (x-1) +3 x 1-40 δ) x + ( 3 ) x 6 0 ε) χ 1-4χ 6 +40 17. Να βρείτε την εξίσωση µε ρίζες α) τους αριθµούς 3 και 5. β) τους αριθµούς χ 1 + και χ + όπου χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης χ -5χ-30 18. Να λυθούν οι ανισώσεις χ -5χ+6<0 9χ -6χ+1>0 χ -3χ+5<0 χ -4<0 χ +4>0 (χ-)(χ+1)<0 -χ +χ>0 19. Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας 1. που περνά από τα σηµεία: α) Α(1, -) και Β(,3) β) Α(,1) και Β(,-4) γ) Α(3,5) και Β(1,5). που έχει κλίση ¾ και περνά από το Α(1,4) 3. που σχηµατίζει γωνία 135 ο µε τον χ χ και τέµνει τν ψ ψ στο Α(0,) 4. που είναι // µε την ευθεία ψχ-1 και περνά από το Α(1,) 5. που περνά από τα σηµεία τοµής της f(x)χ -6χ+9 µε τους άξονες 0. ίνονται τα σηµεία Α(λ+3,λ) και Β(λ+1,3λ-). Να βρείτε το λ ώστε: α) το Α να βρίσκεται στον ηµιάξονα Οχ β) το Β να βρίσκεται στον ηµιάξονα Οψ γ) το Β να βρίσκεται στο 4 ο τεταρτηµόριο 1. Έστω f(χ)3χ-7 και g(χ) χ+4.να βρείτε ι) τα κοινά σηµεία της g µε τους άξονες ii) τα κοινά σηµεία των συναρτήσεων iιι) τα διαστήµατα του χ που η f βρίσκεται : α) πάνω από τη g β) κάτω από τη g γ) πάνω από τον χχ

. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση δύο συναρτήσεων f, g. Ψ Να βρείτε τα κοινά σηµεία των δύο συναρτήσεων f g Να λύσετε την εξίσωση f(x)g(x)...1. Να λύσετε την ανίσωση f(x)>g(x) 4-3 0 1 3 4 χ Να λύσετε την ανίσωση f(x) g(x) χ 3. Να συµπληρώσετε την φ(χ) ώστε να είναι άρτια και στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα την φ(χ) φ(χ) χ 0 χ 4. Να σχεδιάσετε τις γραµµές α)ψ-3χ+ β) ψ -3χ γ) ψ5/χ σε διαφορετικά συστήµατα αξόνων. (δεν είναι απαραίτητος ο πίνακας τιµών) 5. a) Αν f(x)x -5x+1, να βρείτε το f(3) και να εξετάσετε αν το σηµείο Α(1,) βρίσκεται στη γραφική παράσταση της f(x) b) Αν h(x)αχ-4, να βρείτε το α αν h()6 c) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των φ(χ) χ 3 +χ -χ και σ(χ) χ 3

Β ΟΜΑ Α 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση η οποία και να υπολογιστεί. 5. Έστω οι ευθείες ε: ψ3(-λ )χ++7λ και δ: ψ(λ +)χ-5. Να βρείτε το λ ώστε ε//δ. 3. Να βρεθεί το λ ώστε το σύστηµα : ( χ-λψλ, λχ-ψ0 ) να έχει τη µοναδική λύση (χ ο,ψ ο ) (1,) 4. ίνεται το σύστηµα : (λ-1)χ+ψ3 και (λ +λ-)χ+λψλ+ α) να βρείτε τις τιµές του λ ώστε το σύστηµα να έχει µία µόνο λύση β) να βρείτε τη µοναδική λύση του συστήµατος όταν λ γ) να εξετάσετε αν υπάρχει τιµή του λ ώστε το σύστηµα να είναι αόριστο 5. α) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε: λχ+ψ και δ: χ-λψ-1 τέµνονται για κάθε λεr και να βρεθεί το σηµείο τοµής τους (χ ο, ψ ο ). β) Να βρείτε το λ ώστε χ ο +ψ ο 1. 6. α) Να βρείτε το πρόσηµο του χ+5χ+7 για τις διάφορες τιµές του χ. β) Να βρείτε το Π.Ο. της f x x x x ( ) + 5 + 7 3 + 1 γ) Να λυθεί η εξίσωση [ + 3x 1] 7 7. α) Να βρεθεί το πρόσηµο του -3χ +6χ για τις διάφορες τιµές του χ β) να βρεθεί το Π.Ο. της 8 x x 3 γ) αν χε[0,] να λυθεί η εξίσωση : [( x 3) ] 3x + 6x + 3x 8. ίνονται οι ευθείες (ε): ψ(λ -1)χ +λ και (δ): ψ(-3λ-3)χ-. Α. να βρείτε το λ ώστε: α) (ε)//χ χ β) (δ)//(ε) γ) η (ε) να περνά από το σηµείοα(1,1) δ) αν 1<λ<1 και η (ε) τέµνει τον χ χ στο Β και τον ψ ψ στο Γ, τότε το εµβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ να είναι τ.µ. Β. για λ0 να βρεθεί η απόσταση του Μ(,-1) από το σηµείο τοµής Κ των ε, δ Γ. να βρείτε την ευθεία που περνά από τα σηµεία Κ,Μ. να βρεθεί η ευθεία που περνά από το Α και σχηµατίζει µε τον χ χ γωνία 45 ο x 9. Έστω ανίσωση f(x) 1 x+ x x 1,να βρείτε το Π.Ο.,να απλοποιήσετε τον τύπο της και να λύσετε την 10. Έστω ( x 1) x 1+ α) να βρεθεί το Π.Ο. β) να βρείτε τα κοινά σηµεία της f µε την ευθεία ψ1 γ) ν.δ.ο. f(-x)f(x+)

δ) να λυθεί η ανίσωση f(-x)+f(x+)> 11. α) Να βρεθεί το πρόσηµο του χ +5χ-6 β) να βρεθεί το Π.Ο. της x 3 1 x + 5x 6 4 + x 1 γ) να λυθεί η εξίσωση ( ) x 4 1 δ) να λυθεί η εξίσωση ( ) 6 x x 4 1. Έστω οι συναρτήσεις f(x)x -3,g(x)5x-9 α) να βρείτε τα σηµεία τοµής τους µε τους άξονες β) να βρείτε τα σηµεία τοµής των f,g 6 γ) να βρείτε τα διαστήµατα που η C f είναι κάτω από τη C g 13. Αν χ 1,χ ρίζες της εξίσωσης χ -3χ-50 να βρεθεί η εξίσωση µε ρίζες τις: ρ 1 χ 1-4 και ρ χ -4 14. Έστω η εξίσωση x x λ 3 + 1 0 α) να βρεθεί το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες χ 1,χ άνισες β) αν χ 1 χ να βρεθούν τα χ 1,χ,λ. 15. Έστω f x x + + x x ( ) ( 1)) 6 α) να βρείτε το Π.Ο. β) να βρείτε το πρόσηµο του χ -χ-6 για τις διάφορες τιµές του χ γ) να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης δ) να λυθεί η εξίσωση f(x)-x+7 16. Έστω ( x 1 ) + x 3 x 5 α) να βρεθεί το Π.Ο. β) να λυθεί η εξίσωση f(x)1 17. Μία βιοµηχανία παράγει χ µονάδες ενός προϊόντος ηµερησίως µε κέρδος σε εκατοντάδες ευρώ που δίνεται από τη συνάρτηση : f(x)-x +400x. α) να βρείτε πόσες µονάδες χ πρέπει να παράγει ώστε να έχει µέγιστο κέρδος και ποιο είναι το µέγιστο κέρδος. β) να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση του ηµερησίου κέρδους. γ) να βρείτε µέχρι πόσες µονάδες χ το πολύ πρέπει να παράγει ηµερησίως ώστε να µην έχει ζηµιά 18. ίνεται η συνάρτηση f x t x tx ( ) ( 6) 3 + 8 α) να λυθεί η εξίσωση f ( x ) 0 αν t 1 β) ν.δ.ο. για κάθε tε R η εξίσωση f ( x ) 0έχει δύο λύσεις γ) να βρείτε αν υπάρχει tε Rώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες αντίθετες δ) να βρείτε αν υπάρχει tε Rώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες αντίστροφες 19. ίνεται η ευθεία (ε) : ψ+5λχλ χ+3 α) αν το σηµείο Α(1,-1) ανήκει στην ευθεία να βρείτε το λ β) για τις τιµές του λ που βρήκατε στο α ερώτηµα: β 1 )ν.δ.ο. η (ε) ψ 1 4 χ+006

β )να βρείτε το κ ώστε η ευθεία (δ): ψ--κ 5χ να είναι παράλληλη στην (ε). 7 0. Έστω f x x x ( ) 3 5 + α) Να βρεθεί το Π.Ο. β) Ν.δ.ο. ( f (5) + f ( ))( 13 6) [ f (3)] γ) Ν.δ.ο. f () 3 ( )(5+ ) 3 f (0) 1 f (0) + 1 δ) να βρείτε την εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθµούς f(0)+1 και f(0)-1 1. α) Να γράψετε το χ +3χ- σαν γινόµενο δύο παραγόντων 1 4x 1 β) Να λύσετε την εξίσωση x 3x + 4x 1 + x +. Έστω η 6x x 9x 4 Να βρεθεί το Π.Ο., να απλοποιηθεί ο τύπος της και να λυθεί η ανίσωση 1 3. ίνεται η x+ + x x+ x Να βρείτε το Π.Ο., ν.δ.ο. είναι περιττή και να γράψετε τον τύπο της χωρίς τα απόλυτα. 4. Ένα πλοίο κινείται σε ευθεία γραµµή και οι συντεταγµένες του ως προς ένα ορθοκανονικό σύστηµα µε αρχή των αξόνων τον θάλαµο επιχειρήσεων του Υπουργείου Ναυτιλίας, είναι : (6t,8t+3), όπου t ο χρόνος σε ώρες από τη στιγµή της αναχώρησης του από το λιµάνι Λ. α) να βρείτε τη θέση του λιµανιού Λ β) να βρείτε την απόσταση του πλοίου από το λιµάνι µία ώρα µετά την αναχώρηση του ( η µονάδα µέτρησης στο σύστηµα είναι το µίλι) γ) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας της πορείας του πλοίου 4 ε) αν η πορεία ενός άλλου πλοίου δίνεται από την εξίσωση ψ 14 3 x +, υπάρχει περίπτωση να συγκρουστούν τα πλοία; 5. Έστω η συνάρτηση f x α) να βρείτε το Π.Ο. της f(x) β) να βρείτε το ρ ώστε : ε//χ χ ( ) x 9 f (5) f ( 5) και η ευθεία (ε): ψ... x+ 7 ρ 1 γ) αν g(x) (λ-)χ + (µ-λ-f(3))χ + [f(4)] -κ, να βρείτε τους κ,λ, µ ώστε η g(x) να είναι i) σταθερή ii) ταυτοτική 6. ίνεται η εξίσωση (1): χ -(λ+)χ+λ-10,λεr. α) ν.δ.ο. έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε λεr β) αν χ 1,χ ρίζες της (1),να βρεθεί το λ ώστε να ισχύει: (χ 1 + χ ) 3χ 1 χ +9

γ) αν λ να βρείτε εξίσωση µε ρίζες : ρ 1 1/ χ 1 και ρ 1/ χ 8 7. ίνεται το τριώνυµο φ(χ)(κ-λ-1)χ +(3λ-)χ+κ-3 Αν το φ(χ) έχει µοναδική ρίζα το 1 να αποδείξετε ότι κ και λ1 8. Έστω f(x)x -4x+3 Α) Να βρείτε το πρόσηµο της f(x) για τις διάφορες τιµές του χ Β) Αν χε[,3) και A Γ) Να λύσετε την ανίσωση Α< -1 ) Να αποδείξετε ότι x x x 4 + 3+ 3 x 9 να αποδείξετε ότι [ f ( )] 19 f ( f (3)) 40 x A x+ 3 9. Έστω 3 3 A 4. 4+ + ( 6 ) και Α) Να αποδείξετε ότι A 3 και B 1 3 Β) Να λύσετε την εξίσωση B( x 1) 4 3 Γ) Να σχεδιάσετε την ευθεία ψ ( B+ 3) x 3 B 11 A + 1 30**. ίνονται οι ευθείες (ε): ψ(λ -λ)x+λ και (δ): ψ λ λ ( + + ) x Α) Να βρείτε το λ ώστε : ε // χ χ Β) Να εξετάστε αν υπάρχει λ<0 έτσι ώστε ε // δ Γ) Για λ- να βρείτε τα σηµεία τοµής (δ) µε τους άξονες και στη συνέχεια την απόσταση των παραπάνω σηµείων ) Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε τα σηµεία Μ της ευθείας (δ) που έχουν τετµηµένη χ1 να βρίσκονται στο 1 ο τεταρτηµόριο των αξόνων 31. ίνεται η συνάρτηση f(x)x -x-1. Να βρείτε τα: f ( ) f (3), f ( x+ ), f ( α 1),, f ( f ()) f ( 3) 3. Έστω f(x)x 3 +kx. α) Να βρείτε το κ αν : f()4 β) Να λύσετε την εξίσωση : f(χ)0 γ) Να λύσετε την εξίσωση : f(χ-1) f(χ)0 δ) Να λύσετε την ανίσωση : f(χ)-8f(χ)<χ, στο (0, + ) 33. Έστω f(χ)(α -1)χ +(α-1)χ+3α Να βρείτε το α ώστε η f(χ) να είναι σταθερή και στη συνέχεια να βρείτε το f(8) και f(1956)

34. Έστω α x 1, x 1 4 α x β, x> 1 ι) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f ιι) Να βρείτε τα α,β ώστε f(0)+ f(1)0 και f()64 ιιι) Αν α4 και β0 να λύσετε την εξίσωση: f ( 1) x f (3/ ) 9 α x 4, x< 0 35. Έστω x β 1 + α x, x 0 Αν η γραφική της παράσταση τέµνει τον χχ στο - και τον ψψ στο 3,να βρείτε ι) τα α και β ιι) τον τύπο της ιιι) το λ ώστε το σηµείο Α(λ, -)εc f 36. Ποιές από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις δεν είναι συναρτήσεις και γιατί; (µον 16) Α ψ Β ψ ψ Γ χ 0 χ χ 0 χ χ 0 χ ψ 0 x ψ Ε 0 χ Από αυτές που είναι συναρτήσεις να αντιστοιχίσετε τα γραφήµατά τους µε τους σωστούς τύπους α) x+ β) f(x) -x +x γ) f(x) x 3 -x

37. Στο παρακάτω σχήµα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις έξι ευθειών. Να αντιστοιχίσετε την κάθε ευθεία στο σωστό της τύπο ΤΥΠΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ε 1 ε ψ ε 3 ε 4 α : ψχ β : ψ - ε 5 γ : ψ χ-3 χ 0 χ δ : ψ ε : ψ-χ-5 στ : χ -1 10 ε 6 ψ Ευθεία ε 1 ε ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 Τύπος ευθείας 38. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης φ. Να συµπληρώσετε τη σωστή απάντηση στα παρακάτω 5 ψ χ -6-5 -4-0 1 3 6 7 χ - - 3 ψ α) το πεδίο ορισµού της φ είναι το β) το σύνολο τιµών είναι το γ) οι ρίζες της συνάρτησης είναι οι. δ) φ(3). φ(0) φ(7).. ε) αν φ(α) τότε α.. στ) η εξίσωση φ(χ)4 έχει : µία - δύο - τρείς - ή τέσσερις λύσεις ; ζ) η λύση της ανίσωσης φ(χ)>0 είναι :. η) η λύση της ανίσωσης φ(χ) είναι :. θ) η φ είναι γν. αύξουσα στα διαστήµατα και γν φθίνουσα στα ι) η φ παρουσιάζει ελάχιστο στο χ. το.. και µέγιστο στο χ.. το.

39. ΓΕΝΙΚΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 η ίνονται οι συναρτήσεις f(x)x -4x+3, g(x)(x-1) +(x-)(x+), h(x)x +x-8 1. N.d.o. g(x)x -x-5. Να βρείτε τα σηµεία τοµής της f(x) µε τους άξονες 3. Να βρείτε το πρόσηµο της f(x) για τις διάφορες τιµές του x 4. Να βρείτε τα διαστήµατα του χ χ που η f(x) είναι πάνω από αυτόν. 5. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των g kai h 6. Να βρείτε τα διαστήµατα του χ χ που η g είναι πάνω από την h. 7. Να βρείτε το κ ώστε η f(x) να περνά από το σηµείο Α(, 3κ-4). 8. Ν.δ.ο. η συνάρτηση t( x) x+ 5 είναι σταθερή για κάθε χ 1 x 1 9. Να λύσετε την εξίσωση 7+ 4x όταν 1<x<3 11 10. Ν.δ.ο. (1 + h( )) (4 g( )) 17 η. ψ f(x) (ε) χ - -1 0 1 χ -1 ψ Στο παραπάνω δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f(x) και µιας ευθείας (ε) Αφού το µελετήσετε προσεκτικά, να απαντήσετε στα παρακάτω µε δικαιολόγηση. 1. να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι η : ψ x+. να υπολογίσετε το f(1) 3. να βρείτε τις ρίζες της f(x) 4. να λύσετε την ανίσωση : f(x)<0 5. να λύσετε την ανίσωση : f(x)<x+ 6. να βρείτε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης : f(x)4 7. να γράψετε τη µονοτονία της f(x) 8. να γράψετε το ακρότατο της f(x) 9. να γράψετε αν η f(x) είναι άρτια ή περιττή ή τίποτα από τα δύο.

40. ίνεται το τριώνυµο φ(χ)λχ (λ-1)χ + λ-1, λ 0 Α. Να βρείτε τη διακρίνουσα και να τη γράψετε σαν γινόµενο παραγόντων Β. Να βρείτε το πρόσηµο της για τις διάφορες τιµές του λ. Γ. Να βρείτε τις τιµές του λ έτσι ώστε: το τριώνυµο φ(χ) : 1. να έχει δύο ρίζες άνισες. να έχει µία διπλή ρίζα η οποία και να υπολογιστεί 3. να µην έχει πραγµατικές ρίζες 4. να αναλύεται σε γινόµενο δύο πρωτοβάθµιων παραγόντων 5. να είναι τέλειο τετράγωνο και να γράψετε τη µορφή του 6. να είναι πάντα θετικό 7. να είναι πάντα αρνητικό 8. να είναι µη αρνητικό 9. να έχει ετερόσηµες ρίζες 10. να έχει αντίθετες ρίζες 11. να έχει ρίζα το χ 1. να έχει µοναδική ρίζα η οποία και να υπολογιστεί. Να βρείτε τις τιµές του λ έτσι ώστε: η παραβολή ψφ(χ) 1.να τέµνει τον χ χ σε δύο σηµεία.να µην τέµνει τον χ χ 3.να είναι πάνω από τον χ χ 4.να είναι κάτω από τον χ χ 5.να µην είναι πάνω από τον χ χ 6.να µην είναι κάτω από τον χ χ 7.να είναι γνησίως αύξουσα στο (-οο, 5] 8.να είναι γνησίως αύξουσα στο [5,+οο) 9.να έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία χ7 10. να έχει ελάχιστο στο χ10 11.να έχει µέγιστο στο χ10 1.να έχει µέγιστο το ψ0 13.να έχει ελάχιστο το ψ0 14.να περνά από το σηµείο Α(1,) 15.να εφάπτεται στον χ χ και να βρεθεί το σηµείο επαφής 16.να έχει σύνολο τιµών το (-οο, 1/4λ] 17.να έχει σύνολο τιµών το [0, +οο) 18.να έχει κορυφή το σηµείο Κ(,0) 1

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 13 ΘΕΜΑ 1 ίνεται το σύστηµα λχ+4ψ8 και χ+λψ4 α) Για ποιες τιµές του λ το σύστηµα έχει µοναδική λύση β) >> >> >> η µοναδική λύση (χ ο,ψ ο ) ικανοποιεί την εξίσωση χ+ψλ+1 ΘΕΜΑ ίνεται το φ(χ)-χ +3χ-3 α) Ν.δ.ο. φ(χ)<0 για κάθε χεr b) Να λυθεί η ανίσωση x + 3x 3 x 3 ΘΕΜΑ 3 ίνεται η συνάρτηση x x 3 1 x α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της β) Να λυθεί η εξίσωση f(x)0 γ) Να λυθεί η εξίσωση 4 x 6x+ 1 1 x ΘΕΜΑ 4 ίνεται η συνάρτηση φ(χ)λχ +κ α) ΝΑ βρεθούν τα κ,λ ώστε η γραφ. παρ. της φ να περνά από σηµεία Α(-1,-3) και Β(-1/,-) β) Για λ και κ-1 να βρείτε τα σηµεία στα οποία τέµνει η φ τους άξονες γ) Να βρεθεί η εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς κ,λ του ερωτήµατος α) ΘΕΜΑ 5 ίνεται η εξίσωση x x λ 3 + 1 0 (1) α) Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε η (1) να έχει πραγµατικές ρίζες β)αν χ 1,χ οι ρίζες της (1) και ισχύει χ 1 χ,να βρείτε τις ρίζες ΘΕΜΑ 6 ίνεται η συνάρτηση f x ( ) ( x+ ) 1 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της β) Να γράψετε την f(x) σε πιο απλή µορφή γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)0 ΘΕΜΑ 7 Α) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης x x x x 6 + 9 + 8 + 16 αν x x 3 x+ 4 3 Β) Να λυθεί η ανίσωση ( x) 7 ΘΕΜΑ 8 Έστω το φ(χ)-3χ +9χ-6 α) Να λυθεί εξίσωση φ(χ)0

β) Να βάλετε το κατάλληλο σύµβολο <, >, στα παρακάτω µε αιτιολόγηση σε κάθε περίπτωση φ(004).0 φ ( )...0 γ) Να λυθεί η ανίσωση φ(χ).(χ+3) 0 ΘΕΜΑ 9 ίνονται οι συναρτήσεις x 4x+ 3 και g( x) x 1 004 φ ( )...0 φ(1)..0 00 14 α) να βρεθεί το πεδίο ορισµού της ΘΕΜΑ 10 ίνεται η ευθεία (ε) : ψ λχ +µ h( x) β) αν x 1να απλοποιηθεί η h(x) g( x) α) να βρεθούν τα λ,µ αν η ευθεία περνά από τα σηµεία Α(1,5) και Β(-,-1) β) να βρεθεί το κ ώστε η ευθεία µε εξίσωση : ψ(κ -5κ+)χ+κ+3 να είναι // µε την (ε) ΘΕΜΑ 11 ίνεται η συνάρτηση 10 x + x + 3 10 9 α) να βρείτε το πεδίο ορισµού της β) ν.δ.ο. f (0) 1 10+ 1 γ) να λυθεί η εξίσωση ( x 5)[ ] 1 ΘΕΜΑ 1 ίνονται οι συναρτήσεις f x x g x x ( ), ( ) 9 Να βρείτε το πεδίο ορισµού τους και να λύσετε την εξίσωση [ ] [ g( x)] 13 ΘΕΜΑ 13 x 4 ίνεται το σύστηµα + ψ λ x + λψ και η ανίσωση x < λ+ 5 Α) Για ποιες τιµές του λ το σύστηµα έχει µοναδική λύση η οποία και να βρεθεί Β) Για την τιµή του λ που το σύστηµα δεν έχει µοναδική λύση να λύσετε την παραπάνω ανίσωση ΘΕΜΑ 14 Έστω Α(χ) χ +6χ+9 και Β(χ) -χ -7χ-1 Α) Να γίνουν γινόµενα τα Α(χ) και Β(χ) Β) Αν Α( x) να βρεθεί το π.ο. και να απλοποιηθεί ο τύπος της Β ( x) Γ) Να λυθεί η ανίσωση Α ( x) < 008 ) Να λυθεί η ανίσωση 0

ΘΕΜΑ 15 Έστω οι ευθείες (ε): ψ(λ -5λ -)χ + µ 3 (δ): ψ(λ +4)χ-00 και (η): χ+ψ λ,µεr 15 Α) Να βρείτε το λ ώστε ε // δ Β) Να βρείτε το µ ώστε η ε να περνά από το σηµείο Μ(0,5) Γ) Υπάρχει τιµή του λ ώστε η δ // χ χ ; ) Σε ποια σηµεία τέµνει η ευθεία (η) τους άξονες και ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσής της ; ΘΕΜΑ 16 α) Να λυθεί η εξίσωση : χ -5χ+40 β) Αν ρ 1 η µικρότερη και ρ η µεγαλύτερη ρίζα της παραπάνω εξίσωσης και το ζεύγος (χ,ψ)(ρ 1, ρ ) είναι λύση του συστήµατος : ΘΕΜΑ 17 α x+ βψ 3α, να βρείτε τα α, β. α x βψ 5β+ 4 Α) Να λυθεί η ανίσωση ( x 1) < Β) Γι α -1<χ<3 να απλοποιηθεί η παράσταση : A x + x+ x + 1 3 1 x+ 1 + ( x 4) ΘΕΜΑ 18 Έστω + x x 7x 6 και το σηµείο Α(3, -1) Α) να βρεθεί το Π.Ο. και να απλοποιηθεί ο τύπος της f(x) Β) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το Α και είναι // στην ευθεία ψ -χ+3 Γ) να βρείτε το µ ώστε η συνάρτηση ΘΕΜΑ 19 f (0) µ g( x) x+ 007 να είναι σταθερή f (3) 4 Έστω η εξίσωση χ -(λ -3λ)χ-λ+10 (1). Να βρείτε το λ ώστε: Α) η (1) να έχει δύο ρίζες ετερόσηµες Β) µία ρίζα της (1) να είναι 0 αριθµός - Γ) αν χ 1,χ οι ρίζες της (1) να ισχύει: 1 1 + > 1 x x 1

Θέµα 0 Έστω f η συνάρτηση της ο οίας η γραφική αράσταση φαίνεται στο σχήµα. 16 Να βρείτε: α) το πεδίο ορισµού της f β) το σύνολο τιµών της f γ) τους αριθµούς f (0), f (8), f (4) δ) το µήκος του τµήµατος ΑΒ ε) την τιµή του λ για την ο οία το σηµείο Κ(16, λ -1) ανήκει στη γραφική αράσταση της f. Θέµα 1 ίνεται το τριώνυµο x + x 15, x R. α) Να βρεθεί το πρόσηµο του τριωνύµου. x β) Να λυθεί η ανίσωση: 0 x + x 15 γ) Να λυθεί η εξίσωση: (x 1) x 1 15 0 +. Θέµα ίνεται η συνάρτηση 3x 5x+. α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. β) Να αποδείξετε ότι : ( f (5) f ( ))( 13 6) [ f (3)] +. γ) Να βρείτε την εξίσωση η οποία έχει ρίζες τους αριθµούς : ρ 1 1 f (0) 1 και ρ 1 f (0).

Θέµα 3 17 Έστω η συνάρτηση x 9 1 x 3 Να βρείτε το πεδίο ορισµού της, να την απλοποιήσετε καi να λυθεί η f(x)>5 Θέµα 4 ίνεται η εξίσωση χ +χ-κ 0 (1),κεR Ν.δ.ο.η (1) έχει δύο πραγµατικές ρίζες για κάθε τιµή του κ Αν ρ 1, ρ οι ρίζες της (1) τότε: Ν.δ.ο. ρ 1 + ρ -1 και ρ 1.ρ -κ και να βρείτε το αν ρ 1 (κ+ρ )+κρ >-6 Θέµα 5 ίνεται το τριώνυµο f(x)x +5x-3 1. Να λυθεί η ανίσωση f(x)<0. Aν χε(-3,1/) να λυθεί η εξίσωση x + 7 + 0 (x 6) 3. Αν χ<-3 να απλοποιήσετε το κλάσµα ( x 9)(1 x) Θέµα 6 ίνονται τα σηµεία Κ(0,) και Λ(-1,3) Α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΚΛ Β) Αν η ΚΛ έχει εξίσωση ψ -χ+ και τα Κ,Λ, Μ είναι συνευθειακά και Μ(1-λ, 4λ-3), α) ν.δ.ο. λ β) υπολογίσετε τη γωνία που σχηµατίζει η ευθεία ε: ψ+8χλ 3 χ-5 µε τον χ χ. Θέµα 7 Έστω η συνάρτηση x 4 x + x 6 Α. Να βρείτε το π.ο. της f(x). Β. Ν.δ.ο. x+ x+ 3 Γ. Να λυθεί η εξίσωση ( x + 3) 3. Να λυθεί η ανίσωση 10 x + 6 Θέµα 8 ίνονται οι συναρτήσεις f(x)x +5x-3, g(x)x -9, h(x)4x+1 1. Να γίνει το f(x) γινόµενο παραγόντων. Να βρείτε το π.ο. της 3. Να απλοποιήσετε την Κ(χ) K ( x) 4. Να λύσετε την εξίσωση K( x ) 3/ 4 5. Να λύσετε την ανίσωση 4 K( x) 5 g( x) h( x)

18 Θέµα 9 Έστω οι ευθείες ε: ψ(λ +4)χ+4 και δ: ψ0χ+λ,λεr 1. Να βρεθεί το λ αν ε//δ 6. Για λ -4 ν.δ.ο. 3 6 6+ λ Θέµα 30 ίνεται η συνάρτηση f x x x ( ) + + 1. Να βρεθεί το π.ο. της. Αν x < 1να απλοποιήστε την παράσταση Θέµα 31 και να λυθεί η εξίσωση Α(χ)7-4χ A x f x x x ( ) [ ( )] + 3 + + 1. Για την τιµή του λ που η εξίσωση (λ -4)λλ -3λ+ είναι αόριστη, να λυθεί η ανίσωση d(x,λ)<5. Αν α η µεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης χ 5-81χ0, ν.δ.ο. Θέµα 3 Έστω το σηµείο Μ(λ -7λ+6, λ 1-3) 1. Να βρεθεί το λ ώστε το Μ να ανήκει στον θετικό ηµιάξονα Οψ. 1 1 + α + 1 α 1. Να βρεθεί το λ ώστε το Μ να βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο των αξόνων 3. Αν λ να βρείτε: Θέµα 33 Α) Το συµµετρικό του Μ ως προς τον ψ ψ Β) Το συµµετρικό του Μ ως προς τη διχοτόµο ψχ Γ) Την απόσταση του Μ από το σηµείο Α(8, -7) ίνεται η συνάρτηση f(x)(λ+)χ -5λχ - µε λ Α) Αν λ1 : να λυθεί η ανισότητα 0 και να βρείτε τα πρόσηµα των f(-),f(-/3), f(5/), f (1/ ) Β) Αν χ 1, χ οι ρίζες της f(x)0 και S, P το άθροισµα και το γινόµενό τους τότε: 1. Ν.δ.ο. (S- χ 1 )(S- χ )P. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε να ισχύει : (S- χ 1 )(S- χ ) S α

ΘΕΜΑ 34 f x λ+ 1 x λ+ 1 x+ λ µε λ 1. ίνεται το τριώνυµο ( ) ( ) ( ) 1. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) 0 για τις διάφορες τιµές του λ R..Αν η εξίσωση ( ) 0 ( x x x x) 1 1 f x έχει δυο ρίζες x1, x, να απλοποιηθεί η παράσταση 19 Μονάδες 9 + λ 1 λ 5λ+ 6. Μονάδες 8 3. Για 0 λ, να λυθεί η ανίσωση f ( x) x + 1 0 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 35 Β1. Να λύσετε την ανίσωση Β. Αν 3 x 9 x 3< 1. 4 1 < < να δείξετε ότι η συνάρτηση x 3 x 9 x 10 1 Β3. Να βρείτε την αριθµητική τιµή της παράστασης f ( x ) 15. ΘΕΜΑ 36 Μονάδες 8 + + + είναι σταθερή. 3 f Β 0 f x ( ) (,010) 5 όπου Μονάδες 9 Μονάδες 8 ίνεται η συνάρτηση f( x) λ x ( λ 1) x +λ 1, λ R. 010 f( x) Α. Αν λ0, να βρείτε για ποιες τιµές του x ορίζεται το κλάσµα : Κ(x), και στη συνέχεια να x + 9x 5 το απλοποιήσετε. Β. Έστω λ 0. Να δείξετε ότι αν η εξίσωση f( x) 0 έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες,τότε λ< 1. Γ. α)αν λ R { 0} και λ< 1,να υπολογίσετε το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών της f( x) 0 ως συνάρτηση του λ. β) Αν x1, x µε x1 xείναι οι ρίζες της εξίσωσης f( x) 0, να βρείτε για ποιες τιµές του λ R { 0}, ισχύει : x1 + x x1x > 0. ΘΕΜΑ 36. ίνεται η συνάρτηση f µε x f ( ) f ( 3) Λ +. f ( 3) f ( ) f ( 3) + f ( ) Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Β. Να αποδείξετε ότι Κ και Λ 5. Γ. Να προσδιορίσετε το R y Κ x+λ. Μονάδες 6+6+5+85 και οι παραστάσεις f ( ) f ( ) f ( ) µ ώστε το σηµείο Μ( 1, ) Κ + και µ µ να ανήκει στην ευθεία ε :

. Να προσδιορίσετε το R 010 λ ώστε η ευθεία η µε εξίσωση y ( λ ) + 1 x+ 009 να είναι παράλληλη µε την ευθεία ε. Μονάδες 4+6+8+75 0