1 O ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ) ( ) = ) ( ) = 2 3, ) ( ) = 4, i f x x x x ii f x x iii f x x. x 4x. iv f x x v f x x vi f x vii f x

Transcript

1 1 O ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΕ ΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ, ΤΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. ίνονται τα σύνολα A= (,5], B= [2,7], Γ= (6, + ) µε σύνολο αναφοράς το R Να βρείτε τα σύνολα : A, B, A B, A Β,( B Γ), A Γ 2. ίνεται η συνάρτηση f(x)=x 2 -x-1. Να βρείτε τα: f ( 2) f (3), f ( x+ 2), f ( α 1),, f ( f (2)) f ( 3) 3. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων i f x x x x ii f x x iii f x x 3 2 ) ( ) = ) ( ) = 2 3, ) ( ) = 4, 5x 3 5x 3 iv f x x v f x x vi f x vii f x x + 5 x + 4x+ 3 4 ) ( ) = 4 + ) ( ) = 4 +, ) ( ) =, ) ( ) =, x 6 1 x 1+ 6 x viii) f ( x) =, ix) f ( x) = x 5 +, x) f ( x) = 2 2 x 16 8 x x 4x 5 4. Έστω f(x)=x 3 +kx. α) Να βρείτε το κ αν : f(2)=4 β) Να λύσετε την εξίσωση : f(χ)= γ) Να λύσετε την εξίσωση : f(χ-1) f(χ)= δ) Να λύσετε την ανίσωση : f(2χ)-8f(χ)<χ 2, στο (, + ) 5. Έστω f(χ)=(α 2-1)χ 2 +(α-1)χ+3α Να βρείτε το α ώστε η f(χ) να είναι σταθερή και στη συνέχεια να βρείτε το f(8) και f(1956) 6. Έστω 2 α x x, x f ( x) = 3x 1., x< 2 α) να βρείτε : ι)το πεδίο ορισµού της ιι) το α αν : f(2)= -f(-1) β) να λύσετε την εξίσωση : f(x)=2 7. Έστω α x 1, x 1 f ( x) = 2 4 α x β, x> 1 1

2 ι) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f ιι) Να βρείτε τα α,β ώστε f()+ f(1)= και f(2)=64 ιιι) Αν α=4 και β= να λύσετε την εξίσωση: f ( 1) x = f (3/ 2) Γ Ρ Α Φ Η Μ Α 1.. ίνεται η συνάρτηση f(x)=χ 2-7χ+1 να εξετάσετε αν τα σηµεία : Α(2,1), Β(,1), Γ( 5,6-7 5 ) είναι σηµεία της γραφικής της παράστασης. α x 4, x< 2. Έστω f ( x) = x β 1 + α x, x Αν η γραφική της παράσταση τέµνει τον χχ στο -2 και τον ψψ στο 3,να βρείτε ι) τα α και β ιι) τον τύπο της ιιι) το λ ώστε το σηµείο Α(λ 2, -2)εC f 3. ίνονται τα σηµεία Α(λ+3,λ) και Β(2λ+1,3λ-2). Να βρείτε το λ ώστε: α) το Α να βρίσκεται στον ηµιάξονα Οχ β) το Β να βρίσκεται στον ηµιάξονα Οψ γ) το Β να βρίσκεται στο 4 ο τεταρτηµόριο 4. ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=3x-2α και g(x)=x 2 +8x και Α(1,-1)εC f.να βρεθούν: ι) το α ιι) τα κοινά σηµεία των f,g. ιιι) τα κοινά σηµεία της g µε τους άξονες 5. Έστω f(χ)=3χ-7 και g(χ)= 2χ+4.Να βρείτε ι) τα κοινά σηµεία των συναρτήσεων ιι) τα διαστήµατα του χ που η f βρίσκεται : α) πάνω από τη g β) κάτω από τη g γ) πάνω από τον χχ 2

3 6. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης φ. ψ 4 3 2,5 2 1 x x -2,5-1,5 -,5 3,5. -1 Να βρείτε τα παρακάτω: το πεδίο ορισµού της φ το σύνολο τιµών της φ τις ρίζες της φ ψ φ(-3),φ(-1,5), φ(1), φ(), φ(-,5), φ(φ(3,5)) τη λύση της ανίσωσης : φ(χ) τη λύση της ανίσωσης : φ(χ) τα διαστήµατα του χχ που η φ είναι πάνω από τον χχ τα διαστήµατα του χχ που η φ είναι κάτω από τον χχ το α αν φ(α)=4 το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης φ(χ) = -1/2 7.Στο διπλανό σχήµα δίνεται το γράφηµα µιας συνάρτησης φ. Να σχεδιάσετε το γράφηµα των: ψ -φ(χ), φ(-χ), φ ( x) χ χ 3

4 8. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση δύο συναρτήσεων f, g. ψ Να βρείτε τα κοινά σηµεία των δύο συναρτήσεων f 2 g Να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x) Να λύσετε την ανίσωση f(x)>g(x) 1 Να λύσετε την ανίσωση f(x) g(x) χ ψ 9. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση από τις παρακάτω στη σωστή της γραφ. παρ. ψ = x, ψ=2χ 2, ψ= -2/χ, ψ = x, ψ = x, ψ=-2χ 2 ψ=2/χ, ψ = x ψ=χ 2 -χ, ψ=χ 2 +χ, ψ=χ 3 -χ 4

5 Μ Ο Ν Ο Τ Ο Ν Ι Α - A K Ρ O T A T A 1. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα,ν.δ.ο. α) f(x 2 +1)>f(-5) b) f ( 7) < f ( 5+ 2) c)f(6k) f(k 2 +9) 2. Aν f είναι γνησίως φθίνουσα, να λύσετε τις ανισώσεις: α) f(x)>f(4) b) f(2x-3)<f(x+1) c) f( 3x 2 ) f(4) 3. Aν f είναι γνησίως αύξουσα και τέµνει τον ψψ στο 2, να λύσετε την : f(2x-4)>2 4. Έστω f γνησίως µονότονη. Αν f(3)>f(6) και το σηµείο Α(1,3)εC f,ν.δ.ο. ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και να λύσετε την ανίσωση f(3-2x)>3 5. Αν η f περνά από τα σηµεία Α(3,2) και Β(1,-4) και είναι γνησίως µονότονη, να λύσετε την ανίσωση f(x)>2. 6.Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε: α) η f ( x) = (2λ 3) x 7να είναι γνησίως αύξουσα β) η f ( x) = (3λ 8) x+ 6να είναι γνησίως φθίνουσα 7. Να βρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων α) f ( x) = 3x 7, xε[5,8] β) f ( x) = 2x+ 5, xε[2,6] 8. Έστω συνάρτηση f µε µέγιστη τιµή το 8 και ελάχιστη το2. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της g(x)=3-2f(x) 9. Αν 3 f ( x) 4 5 για κάθε χεr, να βρείτε τα ακρότατα της f. 5

6 1. Έστω µία συνάρτηση f :R R. Α Ρ Τ Ι Α Π Ε Ρ Ι Τ Τ Η Ν.δ.ο. ότι η g(x)=f(3+x)-f(3-x) είναι περιττή και η h(x)= f (5-x)+f(5+x) είναι άρτια. 2. Αν η f είναι περιττή ν.δ.ο η g(x)=f(x)+(f(x)) 3 -x 5 είναι περιττή και η 4 6 h( x) = f ( x) ( f ( x)) 4x 5άρτια. 3. Έστω f περιττή µε D f =[-α,α], α>. Ν.δ.ο. f()= 4. Έστω f :R R περιττή, γνησίως µονότονη και Α(2,-5)εC f. α) ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα β) να λυθεί η ανίσωση f(5x-3)>5 Ε Υ Θ Ε Ι Α 1. ίνονται οι ευθείες (ε): ψ=(λ 2-4)χ+λ-2 και (δ): ψ=(4λ-7)χ+1. Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε; α) ε//δ β) ε//χχ γ) η ε να τέµνει τον χχ στο 1 δ) η ε να τέµνει τον ψψ στο Να βρείτε τις εξισώσεις των παρακάτω ευθειών (ε) ε ε 2 ε 3 ο -1-1 ε δ -2 δ//ε ο -,5 2 ε 3 Να αντιστοιχίσετε σωστά τους παρακάτω τύπους ευθειών µε τα γραφήµατα που ακολουθούν Α οµάδα: (ε 1 ): ψ=2χ-4 (ε 2 ): ψ=χ-4 (ε 3 ): ψ= -2χ-4 (ε 4 ): ψ=2χ+4 6

7 α β γ δ Β οµάδα (ε 1 ): ψ=-2 (ε 2 ): χ=3 (ε 3 ): ψ=2 (ε 4 ): χ=-3 α β γ δ Γ οµάδα (ε 1 ): ψ = -3χ (ε 2 ): ψ = 3χ (ε 3 ): ψ = χ (ε 4 ): ψ = -,5χ (ε 5 ): ψ = -χ (ε 6 ): ψ =,5χ α ψ β γ δ ε ζ χ χ ψ 7

8 ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗ 1. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής µε κορυφή το (,) και άξονα συµµετρίας τον ψψ όταν: α) περνά από το Α(-1,3) β) περνά από το σηµείο Β(1,λ),ΟΒ= 5 και είναι γνησίως αύξουσα στο (,] 2. Να σχεδιάσετε τις παραβολές ψ=,5χ 2, ψ=χ 2, ψ=2χ 2, ψ=3χ 2 Τι συµπεραίνετε για τη µορφή της παραβολής ψ=αχ 2 ανάλογα µε το α; 3. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει κέντρο συµµετρίας το (,), όταν: α) περνά από το Α(-1,3) β) περνά από το σηµείο Β(1,λ),ΟΒ= 5 και είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα (,) και (, + ) 4.. Να σχεδιάσετε τις υπερβολές : ψ=,5/χ, ψ=1/χ, ψ=2/χ, ψ=4/χ Τι συµπεραίνετε για τη µορφή της υπερβολής ψ = α /χ ανάλογα µε το α; 5. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των f (χ)= 2χ 2 και g(χ)=16/χ 8