Συναρτήσεις. Αν λοιπόν έχουμε μια συνάρτηση f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β γράφουμε f Α Β και χ f (χ)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συναρτήσεις. Αν λοιπόν έχουμε μια συνάρτηση f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β γράφουμε f Α Β και χ f (χ)"

Transcript

1 Συναρτήσεις Ορισμός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία σε κάθε στοιχείο χ του συνόλου Α αντιστοιχίζεται ένα και μόνο στοιχείο ψ του συνόλου Β. Η μεταβλητή χ λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή γιατί δεν εξαρτάται από πουθενά παρά μόνο από την αυθαίρετη επιλογή μας (η οποία συνήθως γίνεται στην τύχη). Η μεταβλητή ψ λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή γιατί η τιμή της εξαρτάται από την επιλογή της αντίστοιχης τιμής χ. Συμβολισμός Μια συνάρτηση συμβολίζεται συνήθως με ένα λατινικό γράμμα όπως f, g, h, F. Αν λοιπόν έχουμε μια συνάρτηση f τότε πολλές φορές τη μεταβλητή ψ τη συμβολίζουμε και f (χ) δηλώνοντας έτσι την εξάρτησή της από το χ. Στο εξής το f (χ) και το ψ θα είναι το ίδιο πράγμα.. Αν λοιπόν έχουμε μια συνάρτηση f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β γράφουμε f Α Β και χ f (χ) Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού ή σύνολο ορισμού. Το σύνολο Β λέγεται σύνολο αφίξεως. Το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Β τα οποία αποτελούν και τιμή της συνάρτησης f συμβολίζεται με f (Α) και λέγεται σύνολο τιμών. f (Α) = ψ Β / υπάρχει χ Α με f (χ) = ψ και f(α) Β Παρατήρηση Στον ορισμό της συνάρτησης έχουμε τονίσει δύο φράσεις. Η φράση σε κάθε τιμή της μεταβλητής χ σημαίνεί ότι αν η μεταβλητή χ μπορεί να πάρει 10 τιμές τότε η συνάρτηση πρέπει να τις πάρει και τις 10 και να τις αντιστοιχήσει. Δεν μπορεί λοιπόν μια διαδικασία για να είναι συνάρτηση να αφήσει μια τιμή του χ χωρίς να την αντιστοιχίσει. Η φράση σε μία και μόνο τιμή της μεταβλητής ψ σημαίνει ότι το κάθε χ η συνάρτηση πρέπει να το αντιστοιχήσει σε ένα μόνο ψ. Δεν μπορεί λοιπόν μια διαδικασία για να είναι συνάρτηση να πάρει ένα χ και να το αντιστοιχήσει σε δύο διαφορετικά ψ. Αν παραβιάζεται ένας από τους δύο αυτούς κανόνες τότε δεν είναι συνάρτηση παρά μόνο μια απλή διαδικασία αντιστοίχησης. Μια συνάρτηση όμως μπορεί να πάρει δύο διαφορετικά χ και να τα αντιστοιχήσει στο ίδιο ψ, όπως επίσης μπορεί να περισσέψουν κάποιες τιμές του ψ οι οποίες δεν έχουν αντιστοιχηθεί από κάποια χ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 1

2 Σχηματικά τα παραπάνω έχουν ως εξής Τύπος συνάρτησης Ένα από τα στοιχεία που πρέπει να ξέρουμε για μια συνάρτηση είναι να γνωρίζουμε σε ποιο ψ αντιστοιχίζεται το κάθε χ, δηλαδή να γνωρίζουμε το f (χ) για κάθε χ. Αυτή η πληροφορία μπορεί να δοθεί με διάφορους τρόπους. Ένας από αυτούς είναι να ξέρουμε τον τύπο της δηλαδή την ισότητα που την περιγράφει.έτσι για παράδειγμα η ισότητα ψ=3χ είναι ο τύπος της συνάρτησης που παίρνει μια τιμή και την τριπλασιάζει.λέμε λοιπόν ότι έχουμε τη συνάρτηση f με τύπο ψ = f (χ) =3χ ή πιο απλά ότι έχουμε τη συνάρτηση f (χ) =3χ. Συντομογραφία συνάρτησης Για να οριστεί πλήρως μια συνάρτηση πρέπει να ξέρουμε 1) το πεδίο ορισμού Α, ) το σύνολο αφίξεως Β, 3) το f (χ) για κάθε χ Εμείς θα ασχοληθούμε με πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής δηλαδή με συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει Α και Β. Αν δεν μας δίνεται το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, τότε για τέτοιο θεωρούμε το ευρύτερο από τα υποσύνολα του στα οποία το (χ) έχει νόημα Αν δεν μας δίνεται το σύνολο αφίξεως της, τότε για τέτοιο θεωρούμε το. Ισότητα συναρτήσεων Δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ισχύει f (χ) = g (χ) για κάθε χ Α. Σε μια τέτοια περίπτωση γράφουμε f = g Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

3 Παραδείγματα 1) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = 1. Να βρείτε τα f (0), f (1), f (-1), f (), f (α+1), f (α) Όταν δίνεται ο τύπος μιας συνάρτησης και μας ζητούν να βρούμε το f (1) τότε πάμε στον τύπο της συνάρτησης και βάζουμε όπου χ το 1. Γενικά f ( κάτι ) σημαίνει όπου χ το κάτι. f (0) = f (1) = f (-1) = ( 1) ( 1) f () = f ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) f ( ) ( ) ) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) =. α) Να βρείτε για ποια τιμή του χ δεν ορίζεται η συνάρτηση. f (3) 19 f (1) f (0) β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α) Επειδή ο τύπος της συνάρτησης περιέχει κλάσμα δεν μπορούμε να δώσουμε όποια τιμή θέλουμε στην μεταβλητή χ, αλλά μόνο αυτές για τις οποίες ο παρονομαστής δεν γίνεται 0.Ο παρονομαστής όμως γίνεται 0 όταν το χ γίνει. Επομένως η συνάρτηση δεν ορίζεται για χ =. β) Πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τα f (3), f (1), f (0) Είναι f (3)= 1, f (1)= f (0)= 0 Έτσι η παράσταση γίνεται 3 (1 19) ( 5) ( ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

4 ) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) =. Να βρείτε το α αν ισχύει f (α) = 0 Θα αντικαταστήσουμε στον τύπο της συνάρτησης το χ με α και το f (χ) με 0 και θα λύσουμε την εξίσωση που θα προκύψει.τονίζουμε ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται για χ=.είναι ( 10 ) ( )( 3) 0 δηλαδή α = - ή α = -3. Επομένως f (-) = f (-3) = 0. Τονίζουμε ότι αυτό γίνεται, δηλαδή και το και το 3 να αντιστοιχίζονται στο 0. 4) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων 1 ) f ( ) 3, ) f ( ) 5, ) f ( ) ) f ( ), ) f ( ), ) f ( ) α) Πρέπει και Συνεπώς Α =,3 1 β) Πρέπει 0 και Συναληθεύοντας βρίσκουμε ότι πρέπει 5. Συνεπώς Α =. Συνεπώς Α =,3. γ) Πρέπει δ) Πρέπει 0 και 1 0 1,5. και Συνεπώς Α= 1,,3. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

5 ε) Πρέπει ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0 ( 1)( 1)( 1) 0 ( 1) ( 1) Συνεπώς Α = 1,1. στ) Πρέπει και και και και το οποίο ισχύει πάντα Συνεπώς Α= 1,, 3. 5) Ορίζεται συνάρτηση με τύπο f ( ) 3 5 Για να ορίζεται μια τέτοια συνάρτηση πρέπει και Επομένως δεν ορίζεται τέτοια συνάρτηση. 3, 4 6) Δίνεται ο τύπος f ( ), α) Να βρείτε τα α και δ ώστε ο παραπάνω τύπος να είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το. β) Να βρείτε τα β και γ αν f ( 1) f (1). γ) Να βρείτε τα f (3), f (3 4 3), f ( ). α) Για να έχει πεδίο ορισμού το πρέπει , 0 Ο τύπος γίνεται f ( ), 0 Παρατηρούμε ότι ο τύπος αυτός δίνει για χ = 0 δύο τιμές. Για να είναι συνάρτηση πρέπει η τιμή χ = 0 να αντιστοιχίζεται σε ένα f (χ). Πρέπει λοιπόν Άρα πρέπει α = και δ = 3. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

6 3, 0 Ο τύπος γίνεται f ( ) 3, 0 β) f ( 1) ( 1) f (1) Άρα β = γ =1 3, 0 Ο τύπος γίνεται f ( ) 3, 0 γ) Για χ = 3 έχουμε Για χ = f (3) έχουμε f ( 3) Για 1, 41 έχουμε f ( ) 3 ( ) 3 1 7) Εξετάστε αν ο τύπος f ( ) εκφράζει συνάρτηση. Για να είναι συνάρτηση πρέπει για κάθε χ να έχουμε ένα ακριβώς f (χ). Στο συγκεκριμένο τύπο για χ = 0 έχουμε f (0) 0 f (0) f (0) Βλέπουμε λοιπόν ότι για χ = 0 έχουμε δύο f (0) και επομένως δεν είναι συνάρτηση. 8) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = χ 1 Να βρείτε τα α) f (f (f (χ))) και β) f (f (f (0))) α) Είναι f ( f ( )) f ( ) 1 11 και f (f (f (χ))) = f ( f ( )) Επομένως f (f (f (χ))) = χ 3. β) Η τελευταία σχέση μας δίνει για χ = 0 f (f (f (0))) = 0 3 = -3. 9) Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες 1 f ( ) και g( ) 1 ( 1)( ) Παρατηρούμε ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο. Όμως το πεδίο ορισμού της f είναι το 1 ενώ της g είναι το 1, Επομένως δεν είναι ίσες γιατί δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού.. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

7 10) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α) Να λυθεί η εξίσωση f ( 1) f ( 1) 8 β) Να αποδείξετε ότι f ( ) 4 α) Είναι f ( 1) f ( 1) 8 ( 1) ( 1) 8 1 ( 1) β) Είναι f ( ) 4 ( ) ( ) 0 που ισχύει. Συντεταγμένες στο επίπεδο Σύστημα ορθογωνίων αξόνων Θεωρούμε δύο άξονες χ χ και ψ ψ οι οποίοι τέμνονται κάθετα και το σημείο τομής τους είναι η κοινή αρχή τους. Το σχήμα αυτό λέγεται σύστημα ορθογωνίων αξόνων. Αν επιπλέον επιλέξουμε και στους δύο άξονες την ίδια μονάδα μέτρησης τότε έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Εμείς θα ασχοληθούμε με ορθοκανονικά συστήματα αξόνων, με τη βοήθεια των οποίων μπορούμε να βρούμε την ακριβή θέση ενός σημείου στο επίπεδο. Διατεταγμένο ζεύγος Για να τοποθετήσουμε ένα σημείο πάνω σε έναν άξονα αρκεί η γνώση ενός μόνο αριθμού.για να τοποθετήσουμε όμως ένα σημείο σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, δεν φτάνει να γνωρίζουμε ένα μόνο αριθμό.χρειαζόμαστε δύο αριθμούς (ένα για κάθε άξονα ) ή όπως λέμε ένα ζεύγος αριθμών (χ,ψ). Έχουμε συμφωνήσει ότι όταν έχουμε ένα ζεύγος αριθμών (χ, ψ), ο πρώτος χ να αναφέρεται στον άξονα χ χ και ο δεύτερος ψ στον άξονα ψ ψ.με αυτή τη συμφωνία καθορίζουμε ποιο στοιχείο θα είναι πρώτο και ποιο δεύτερο, για αυτό λέμε ότι έχουμε ένα διατεταγμένο ζεύγος. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

8 Τοποθέτηση σημείου σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και ένα σημείο Μ του επιπέδου. Από το Μ φέρνουμε δύο κάθετες, μία στον άξονα χ χ που τον τέμνει στο σημείο που παριστάνεται ένας αριθμός χ και μία στον άξονα ψ ψ που τον τέμνει στο σημείο που παριστάνεται ένας αριθμός ψ. Με αυτόν τον τρόπο αντιστοιχίζουμε στο σημείο Μ δύο αριθμούς,τους χ και ψ ή ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (χ, ψ). Ο αριθμός χ λέγεται τετμημένη του Μ. Ο αριθμός ψ λέγεται τεταγμένη του Μ.Και οι δύο μαζί λέγονται συντεταγμένες του Μ. Αντίστροφα, αν έχουμε ένα σημείο Μ με συντεταγμένες ( α,β ) τότε για να προσδιορίσουμε τη θέση του Μ στο επίπεδο κάνουμε το εξής.βρίσκούμε το σημείο που παριστάνεται ο αριθμός α πάνω στο χ χ και φέρνουμε από το σημείο αυτό κάθετη στο χ χ.βρίσκούμε το σημείο που παριστάνεται ο αριθμός β πάνω στο ψ ψ και φέρνουμε από το σημείο αυτό κάθετη στο ψ ψ.το σημείο στο οποίο τέμνονται οι δύο αυτές κάθετες είναι η θέση του δοσμένου σημείου Μ στο επίπεδο. Παρατήρηση 1)Αν ένα σημείο έχει τετμημένη 0 τότε βρίσκεται πάνω στον άξονα ψ ψ Και αντίστροφα κάθε σημείο που βρίσκεται πάνω στον ψ ψ έχει τετμημένη 0. )Αν ένα σημείο έχει τεταγμένη 0 τότε βρίσκεται πάνω στον άξονα χ χ Και αντίστροφα κάθε σημείο που βρίσκεται πάνω στον χ χ έχει τεταγμένη 0. 3) Η κοινή αρχή των αξόνων έχει συντεταγμένες (0,0). 4) Δοσμένου ενός διατεταγμένου ζεύγους αριθμών (χ,ψ), υπάρχει ένα σημείο του επιπέδου και είναι και το μοναδικό, με συντεταγμένες το συγκεκριμένο ζεύγος. 5) Ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε 4 ορθές γωνίες που κάθε μια λέγεται τεταρτημόριο. Ανάλογα με το πρόσημο των συντεταγμένων του, ένα σημείο βρίσκεται και στο αντίστοιχο τεταρτημόριο. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

9 Συμμετρικά σημεία Δίνεται σημείο Α(α, β). Το συμμετρικό του Α ως προς χ χ είναι το Α Χ ( α, -β). Το συμμετρικό του Α ως προς ψ ψ είναι το Α Ψ ( -α, β). Το συμμετρικό του Α ως προς Ο είναι το Α ο (-α, -β). Το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της 1 ης και 3 ης γωνίας δηλαδή της ευθείας ψ = χ είναι το Α (β, α). Το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της ης και 4 ης γωνίας δηλαδή της ευθείας ψ = -χ είναι το Α (-β, -α). Απόσταση σημείων Δίνονται δύο σημεία Α ( χ 1, ψ 1 ) και Β(χ, ψ ). Η απόστασή τους (ΑΒ) δίνεται από τον τύπο Αν ψ 1 = ψ τότε (ΑΒ) = χ -χ 1. Αν χ 1 = χ τότε (ΑΒ) = ψ -ψ 1. ( ) ( ) ( ) 1 1 Παραδείγματα 1) Να τοποθετήσετε σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων τα παρακάτω σημεία Α(1, ) Β(, 1 ) Γ( -1, ) Δ( -1, - ) Ε( 1, -) Ζ( 1,1) Η(-1,-1) Θ( 1,-1) Ι(-1,1) Κ(,0) Λ(0,) Ο(0,0) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

10 ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων του παρακάτω σχήματος Α(,1) Β(0,4) Γ(-1,) Δ(-,1) Ε(-4,0) Ζ(-3,-) Η(3,0) Θ(,-1) Ι(0,-3) Κ(4,-4) Λ(-,-4) 3) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ με Α(6,5) και Β( 4,) Η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τον τύπο ( ) (6 4) (5 ) ) Αν Α(3,5), Β(6,), Γ(6,8) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές Για να αποδείξω το ζητούμενο πρέπει πρώτα να υπολογίσω τα μήκη την πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 10

11 ( ) (6 3) ( 5) , ( ) (6 3) (8 5) ( ) 8 6 Αφού (ΑΒ)=(ΑΓ) είναι ισοσκελές. Για να αποδείξω ότι είναι και ορθογώνιο θα πρέπει να ελέγξω αν ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Επειδή 18 < 6 η ΒΓ είναι η μεγαλύτερη πλευρά και είναι ΒΓ = 6 =36 και ΑΒ + ΑΓ = =36 Ισχύει δηλαδή ότι ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη ΒΓ. Τελικά το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 5) Να βρεθούν τα α και β ώστε το σημείο με συντεταγμένες ( α 1, 3-6β) α) να βρίσκεται πάνω στο χ χ, β) να βρίσκεται πάνω στο ψ ψ γ) να είναι η αρχή των αξόνων α) Για να βρίσκεται πάνω στο χ χ πρέπει να έχει τεταγμένη 0 δηλαδή 3-6β=0 δηλαδή -6β = -3 δηλαδή β = 1 β) Για να βρίσκεται πάνω στο ψ ψ πρέπει να έχει τετμημένη 0 δηλαδή α -1=0 δηλαδή α = 1 δηλαδή α = 1 γ) Για να είναι η αρχή των αξόνων πρέπει οι συντεταγμένες του να είναι 0 δηλαδή α = β = 1 6) Δίνεται ένα σημείο με συντεταγμένες ( α, β ). Τι συμπέρασμα βγάζετε για το σημείο αυτό αν Α) α>0 και β<0 Β) α=0 και β>0 Γ) α<0 και β=0 Δ) α>0 Ε) β 0 ΣΤ) αβ>0 Ζ) αβ<0 Η) αβ=0 Θ) α=3 Ι) β= - Α) βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο Β) βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα Οψ Γ) βρίσκεται στον αρνητικό ημιάξονα Οχ Δ) βρίσκεται στο 1 ο ή στο 4 ο τεταρτημόριο ( όχι όμως στον ψ ψ ) Ε) βρίσκεται στο ο ή στο 4 ο τεταρτημόριο ( ενδεχομένως και στον χ χ ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 11

12 ΣΤ) οι α, β είναι ομόσημοι, δηλαδή ή και οι δύο θετικοί οπότε βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο ή και οι δύο αρνητικοί οπότε βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο Ζ) οι α, β είναι ετερόσημοι, δηλαδή α>0 και β<0 οπότε βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο ή α<0 και β>0 οπότε βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο. Η) κάποιος από τους δύο είναι 0. Αν α=0 βρίσκεται στον ψ ψ. Αν β=0 βρίσκεται στον χ χ Αν α=β=0 είναι η αρχή των αξόνων. Θ) η τετμημένη του 3 δηλαδή βρίσκεται σε μια ευθεία κάθετη στον χ χ στο 3 Ι) η τεταγμένη του - δηλαδή βρίσκεται σε μια ευθεία κάθετη στον ψ ψ στο. 7) Δίνεται το σημείο Α(-, 3). Να βρείτε το συμμετρικό του Α α) ως προς χ χ β) ως προς ψ ψ γ) ως προς Ο δ) ως προς τη ψ = χ ε ) ως προς τη ψ = -χ α) ως προς χ χ είναι Α χ ( -, -3 ) β) ως προς ψ ψ είναι Α ψ (, 3 ) γ) ως προς Ο είναι Α ο (, -3) δ) ως προς τη ψ = χ Α ( 3, - ) ε ) ως προς τη ψ = -χ Α (-3, ) 8) Να βρεθούν τα α,β ώστε τα σημεία Α( α-, 3) και Β( -1, 4-β) να είναι συμμετρικά α) ως προς χ χ β) ως προς Ο. α) Πρέπει α- = -1 δηλαδή α=1 και 4-β = -3 δηλαδή β=1. β) Πρέπει α- = 1 δηλαδή α=3 και 4-β = -3 δηλαδή β=1. 10) Εξετάστε αν τα σημεία Α(,3 ), Β( 3, 4 ), Γ( 5,6 ) είναι συνευθειακά. Υπολογίζω τις αποστάσεις (ΑΒ), (ΒΓ), (ΑΓ). ( ) (4 3) (3 ) 11 ( ) (5 3) (6 4) ( ) (5 ) (6 3) Επειδή (ΑΒ) + (ΒΓ) = 3 = (ΑΓ) συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και μάλιστα το Β είναι ανάμεσα των Α και Γ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 1

13 11) Εξετάστε αν το Β είναι το μέσο του ΑΓ όπου Α(,3 ), Β( 3, 4 ), Γ( 4,5 ). Υπολογίζω τις αποστάσεις (ΑΒ), (ΒΓ), (ΑΓ). ( ) (4 3) (3 ) 11 ( ) (4 3) (5 4) 11 ( ) (4 ) (5 3) Επειδή (ΑΒ) + (ΒΓ) = 3 = (ΑΓ) συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Επειδή είναι και επιπλέον (ΑΒ) = (ΒΓ) συμπεραίνουμε ότι το Β είναι και μέσο του ΑΓ. Παρατήρηση Αν δεν ξέραμε ότι είναι συνευθειακά η ισότητα (ΑΒ) = (ΒΓ) μόνη της δεν σημαίνει ότι το Β είναι μέσο, αλλά ότι το Β ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΓ 1) Να βρεθεί το χ ώστε η απόσταση των σημείων Α( χ, 3 ) και Β( -1, -1 ) να είναι 5 Είναι ( ) ( ( 1)) (3 ( 1)) ( 1) 16 και (ΑΒ) = 5. Συνεπώς έχουμε ( 1) 16 5 ( 1) 16 5 ( 1) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 13

14 Πίνακας τιμών συνάρτησης Σε μια συνάρτηση μπορούμε να δίνουμε αυθαίρετα μια τιμή στην μεταβλητή χ και να βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή του ψ.αν το κάνουμε αυτό για μερικές τιμές του χ και τοποθετήσουμε τα αποτελέσματα που βρίσκουμε σε ένα πίνακα φτιάχνουμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση ψ = χ+1. Να φτιάξετε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης αυτής. Δίνουμε αυθαίρετα κάποιες τιμές στο και έχουμε Για χ = 0 έχουμε ψ = Για χ = 1 έχουμε ψ = Για χ = -1 έχουμε ψ = ( 1) Για χ = έχουμε ψ = Για χ = - έχουμε ψ = ( ) Για χ = 3 έχουμε ψ = Για χ = -3 έχουμε ψ = ( 3) χ ψ Γραφική παράσταση συνάρτησης Είδαμε παραπάνω πως μπορούμε να δίνουμε μια τυχαία τιμή στη μεταβλητή χ και να βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής ψ.με αυτό τον τρόπο μπορούμε να φτιάχνουμε ζευγάρια τιμών (χ,ψ).με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων μπορούμε να παραστήσουμε κάθε ζεύγος τιμών (χ,ψ) με ένα σημείο του επιπέδου.αν αυτό γίνει για όλα τα ζεύγη τιμών (χ, ψ) μιας συνάρτησης τότε το σύνολο των σημείων που βρίσκουμε λέγεται γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. Ανάλογα με την συνάρτηση έχουμε και την αντίστοιχη γραφική παράσταση, η οποία είναι χαρακτηριστικό γνώρισμα της συνάρτησης αυτής. Δεν υπάρχει δηλαδή άλλη συνάρτηση με την ίδια ακριβώς γραφική παράσταση. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να είναι κάποια σημεία σκόρπια στο επίπεδο, μπορεί όμως και να σχηματίζουν μια ευθεία ή μια καμπύλη. Πρακτικά είναι αδύνατο να τοποθετήσουμε όλα τα ζευγάρια τιμών μιας συνάρτησης πάνω στο επίπεδο, γιατί αυτά είναι πολλά ενδεχομένως και άπειρα. Αυτό που κάνουμε για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, είναι να βρίσκουμε μερικά μόνο σημεία και να μαντεύουμε τη μορφή που θα έχει η γραφική παράσταση, ενώνοντας τα σημεία αυτά με μια συνεχή γραμμή. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 14

15 Παράδειγμα Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (χ) =χ+1. Έχουμε φτιάξει παραπάνω ένα πίνακα τιμών της συνάρτησης αυτής. χ ψ Τοποθετούμε τα ζευγάρια τιμών πάνω σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και έπειτα ενώνουμε τα σημεία αυτά με μια συνεχή γραμμή. Ερώτηση 1 η Τι σημαίνει η φράση το σημείο Α(α,β) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f ή ισοδύναμα η φράση η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α (α, β). Απάντηση Σημαίνει ότι f (α) = β, δηλαδή αν βάλουμε στον τύπο της συνάρτησης όπου χ το α και όπου ψ το β θα έχουμε ισότητα. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 15

16 Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = 5. Το σημείο Α(α, 3) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. Να βρείτε το α. 5 Είναι f (α) = 3 δηλαδή 3 που είναι μια κλασματική εξίσωση ως προς α την οποία θα λύσουμε για να βρούμε το α. Πρέπει και αν κάνουμε χιαστί έχουμε ( ) Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f (χ) =. Να βρείτε το α αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α ( 3,4 ) Είναι f (3) = Ερώτηση η Πως θα βρούμε σε ποιο σημείο τέμνει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τον άξονα ψ ψ. Απάντηση Το σημείο στο οποίο η f τέμνει τον άξονα ψ ψ θα έχει τετμημένη 0 ( αφού θα βρίσκεται πάνω στον ψ ψ ) Θα βάλουμε λοιπόν στον τύπο της συνάρτησης όπου χ το 0 και η τιμή που θα βρούμε θα είναι η τεταγμένη του ζητούμενου σημείου. Επομένως το ζητούμενο σημείο θα έχει συντεταγμένες ( 0, f (0) ). Αν η συνάρτηση δεν ορίζεται για χ=0 τότε δεν τέμνει πουθενά τον άξονα ψ ψ. Μια γραφική παράσταση δεν μπορεί να τέμνει τον άξονα ψ ψ ( όπως και κάθε άλλη κατακόρυφη γραμμή ) σε παραπάνω από ένα σημεία. Παράδειγμα Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 16

17 Να βρείτε σε ποιο σημείο τέμνουν οι παρακάτω συναρτήσεις τον άξονα ψ ψ. α) f (χ ) = χ+5 β) f (χ ) = α) Η συνάρτηση ορίζεται για χ=0 και επομένως για χ=0 έχουμε f (0 ) = 0 +5=5 Επομένως το σημείο που τέμνει τον ψ ψ είναι το σημείο με συντεταγμένες ( 0, 5 ) β) Η συνάρτηση δεν ορίζεται για χ=0 και επομένως δεν τέμνει τον άξονα ψ ψ. Ερώτηση 3 η Πως θα βρούμε σε ποιο τέμνει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f άξονα χ χ. τον Απάντηση Το σημείο στο οποίο η f τέμνει τον άξονα χ χ θα έχει τεταγμένη 0 ( αφού θα βρίσκεται πάνω στον χ χ ) Θα βάλουμε λοιπόν στον τύπο της συνάρτησης όπου ψ το 0 και θα λύσουμε την εξίσωση που θα προκύψει. Οι λύσεις της εξίσωσης εφόσον ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι και οι τετμημένες των ζητούμενων σημείων και οι τεταγμένες τους φυσικά 0.Όσες δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού απορρίπτονται και αν απορρίπτονται όλες, τότε δεν τέμνει τον χχ. Όσο είναι το πλήθος των λύσεων που θα έχει η εξίσωση θα είναι και το πλήθος των σημείων τομής με τον άξονα χ χ ( τώρα σε αντίθεση με πριν μπορεί να έχω και παραπάνω από ένα σημεία,ακόμα και άπειρα). Αν η εξίσωση είναι αδύνατη τότε δεν τέμνει τον άξονα χ χ. Παράδειγμα Να βρεθούν τα σημεία τομής των παρακάτω συναρτήσεων με τον άξονα χ χ. α) f (χ) = 5 6, β) f (χ) = 4 4, β) f (χ) = 9 α) Βάζουμε ψ = f (χ) =0 και έχουμε 5 6 =0 ( )( 3) 0 3 δεκτές αφού Α=R Επομένως τέμνει τον άξονα χ χ σε δύο σημεία με συντεταγμένες (-, 0 ) και (-3, 0 ). β) Βάζουμε ψ = f (χ) =0 και έχουμε 4 4 =0 ( ) 0 δεκτή αφού Α=R. Επομένως τέμνει τον άξονα χ χ σε ένα σημείο με συντεταγμένες (-,0) γ) Βάζουμε ψ = f (χ) =0 και έχουμε Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη, πράγμα που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής δεν τέμνει τον άξονα χ χ. Ερώτηση 4 η Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 17

18 Δίνονται δύο συναρτήσεις f, g. Πως θα βρούμε σε ποιο σημείο τέμνονται οι γραφικές τους παραστάσεις. Απάντηση Το σημείο τομής θα ανήκει στη γραφική παράσταση και των δύο συναρτήσεων. Σύμφωνα λοιπόν με την ερώτηση 1 θα πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου αυτού ( α, β ) να επαληθεύουν και τους δύο τύπους των f, g. Θα πρέπει λοιπόν f (α) = g (α ) = β. Αυτό λοιπόν που κάνουμε για να βρούμε το σημείο τομής είναι να εξισώνουμε τους δύο τύπους δηλαδή να λύνουμε την εξίσωση f (χ ) = g (χ ) Οι λύσεις της εξίσωσης εφόσον ανήκουν στο πεδίο ορισμού και των δύο συναρτήσεων, θα είναι οι τετμημένες των σημείων τομής που μπορεί να είναι παραπάνω από ένα. Για να βρούμε και τις αντίστοιχες τεταγμένες θα αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρήκαμε από την εξίσωση σε μια από τις f, g. Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης είναι και το πλήθος των σημείων τομής. Αν η εξίσωση είναι αδύνατη τότε οι γραφικές παραστάσεις δεν τέμνονται. Αν η εξίσωση είναι αόριστη τότε οι δύο γραφικές παραστάσεις ταυτίζονται. Παράδειγμα Δίνονται οι συναρτήσεις f (χ) = χ+3 και g (χ) = 7 9 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεών τους. Θα λύσουμε την εξίσωση g (χ) = f (χ) δηλαδή την εξίσωση 7 9 =χ ( )( 3) 0 3 δεκτές αφού f g Επομένως έχουμε δύο σημεία τομής.αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές σε μια από τις δύο (π.χ. στην f που έχει και λιγότερες πράξεις ) και έχουμε f (-) =(-)+3= = -1 και f (-3) =(-3)+3= = -3 Τελικά τα σημεία τομής είναι τα ( -, -1) και (-3,-3) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 18

19 Πληροφορίες που μπορούμε να πάρουμε από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Έστω ότι μας δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Από τη γραφική παράσταση μπορούμε να βγάλουμε σημαντικά συμπεράσματα που αφορούν στη συνάρτηση, ακόμα και να μαντέψουμε τον τύπο της. Πληροφορία 1 Για κάθε τιμή του χ μπορούμε να βρούμε το αντίστοιχο ψ δηλαδή το f(χ). Ο τρόπος είναι ο εξής Βρίσκουμε πάνω στον χ χ τη τιμή του χ της οποίας ζητούμε να βρούμε το αντίστοιχο ψ.από το σημείο αυτό φέρνουμε μια παράλληλη στο ψ ψ που τέμνει τη γραφική παράσταση σε ένα σημείο ( αν δεν τη τέμνει τότε δεν ορίζεται η συνάρτηση για αυτό το χ).από το σημείο που τέμνει τη γραφική παράσταση φέρνουμε παράλληλη στο χ χ που τέμνει το ψ ψ σε ένα σημείο. Η τιμή που παριστάνει το σημείο αυτό πάνω στο ψ ψ είναι το ζητούμενο ψ.τονίζουμε ότι για κάθε χ μπορούμε να βρούμε ένα μόνο ψ, γιατί διαφορετικά δεν θα πρόκειται για γραφική παράσταση συνάρτησης. Ένας λοιπόν τρόπος για να διαπιστώσουμε ότι ένα σχήμα δεν αποτελεί γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης, είναι να βρούμε μια παράλληλη στον ψ ψ που να τέμνει το σχήμα αυτό σε παραπάνω από ένα σημεία. Πληροφορία Μπορούμε να βρούμε για κάθε ψ από ποια χ προέρχεται. Ο τρόπος είναι ο εξής Βρίσκουμε πάνω στον ψ ψ τη τιμή του ψ της οποίας ζητούμε να βρούμε τα αντίστοιχα χ.από το σημείο αυτό φέρνουμε μια παράλληλη στο χ χ που τέμνει τη γραφική παράσταση σε κάποια σημεία ( αν δεν τη τέμνει τότε δεν αποτελεί τιμή της συνάρτησης).από το σημεία αυτά φέρνουμε παράλληλες στο ψ ψ που τέμνουν το χ χ σε ισάριθμα σημεία. Οι τιμές που παριστάνουν τα σημεία αυτά πάνω στο χ χ είναι τα ζητούμενο χ.τονίζουμε ότι ένα ψ μπορεί να προέρχεται από πολλά χ, γιατί διαφορετικά χ μπορούν να αντιστοιχίζονται στο ίδιο ψ.επομένως σε αντίθεση με πριν μια παράλληλη στον χ χ μπορεί να τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε περισσότερα από ένα σημεία.ένα ψ προέρχεται από τόσα χ όσα και τα σημεία τομής της παράλληλης προς το χ χ από το ψ αυτό με τη γραφική παράσταση. Πληροφορία 3 Μπορούμε να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες ψ ψ και χ χ. Είναι προφανές ότι εκεί που τέμνονται η γραφική παράσταση και οι άξονες είναι τα ζητούμενα σημεία. Επίσης μπορεί η γραφική παράσταση και οι άξονες να μην τέμνονται όποτε δεν υπάρχουν και σημεία τομής. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 19

20 Πληροφορία 4 Μπορούμε να προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης. Οι τετμημένες των σημείων που βρίσκονται αριστερότερα και δεξιότερα από όλα τα άλλα σημεία της γραφικής παράστασης αποτελούν τα άκρα του διαστήματος του πεδίου ορισμού. Οι τεταγμένες των σημείων που είναι χαμηλότερα και ψηλότερα από όλα τα άλλα σημεία της γραφικής παράστασης, αποτελούν τα άκρα του διαστήματος του συνόλου τιμών. Αν η γραφική παράσταση επεκτείνεται αριστερά και δεξιά προς το άπειρο τότε έχει πεδίο ορισμού όλο το R. Αν η γραφική παράσταση επεκτείνεαι πάνω και κάτω προς το άπειρο τότε έχει σύνολο τιμών όλο το R. Αν η γραφική παράσταση κόβεται σε κάποιο σημείο και συνεχίζεται από ένα άλλο σημείο και μετά τότε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών είναι ένωση διαστημάτων που προσδιορίζονται όπως πριν. Παράδειγμα Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. α) Να βρεθούν τα f (-5), f (), f (0), f (11) β) Να βρείτε για ποια χ έχουμε ψ = -1 και για ποια ψ = 3 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης α) f (-5) =1.3, f ()=0, f (0) = 1.8, f (11) δεν ορίζεται β) Το ψ = -1 το έχουμε για χ=3 και για χ=9 Το ψ =3 δεν αποτελεί τιμή της συγκεκριμένης συνάρτησης γ) Το σημείο τομής με τον ψ ψ είναι το Ζ ( 0, 1.8 ) Τα σημεία τομής με τον χ χ είναι τα Γ (-6,0 ), Δ (,0), Ε (10,0) δ) Πεδίο ορισμού είναι το -6, 10. Σύνολο τιμών είναι το -,. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 0

21 Παράδειγμα Εξετάστε αν το παρακάτω σχήμα αποτελεί γραφική παράστασης κάποιας συνάρτησης Δεν αποτελεί γιατί μπορούμε να βρούμε μια ευθεία παράλληλη στο ψ ψ που να τη τέμνει σε δύο σημεία. Σχετική θέση της γραφικής παράστασης με τον χ χ Τα διαστήματα του χ για τα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι πάνω από τον χχ, είναι οι λύσεις της ανίσωσης f ( x) 0. Αντίστοιχα κάτω από τον χχ της ανίσωσης f ( x) 0 Σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων Τα διαστήματα του χ για τα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, είναι οι λύσεις της ανίσωσης f ( x) g( x). Αντίστοιχα κάτω της ανίσωσης f ( x) g( x) Λυμένες ασκήσεις 1) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = ( 1) 4. Να βρείτε το λ αν διέρχεται από το σημείο (, -1). Να βρείτε που τέμνει τους άξονες. Αφού διέρχεται από το σημείο (3, 4) είναι f (3)= 4. Επομένως ( 1) ( 1) Άρα f (χ) = 6 4. Για χ=0 έχουμε f (0) = δηλαδή τέμνει το ψ ψ στο ( 0, 4 ). Για ψ = 0 έχουμε ( 3 ) 0 ( )( 1) 0 δηλαδή χ= ή χ=1.επομένως τέμνει το χ χ σε δύο σημεία τα (, 0) και (1,0 ). Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 1

22 ) Να βρείτε τα σημεία τομής των συναρτήσεων f ( χ ) = χ+1, g ( χ ) = χ + χ-3 Οι τετμημένες των σημείων τομής είναι οι λύσεις της εξίσωσης g(χ) =f (χ) ( )( ) 0 Συνεπώς τέμνονται σε δύο σημεία.αντικαθιστούμε τις τιμές που βρήκαμε σε μία από τις δύο (όποια έχει λιγότερες πράξεις ) για να βρούμε και τις τεταγμένες των σημείων τομής. Για χ = έχουμε f ( ) = 1 5 Για χ=- έχουμε f ( - ) =(-)+1= -3 Επομένως τα σημεία τομής είναι τα (, 5 ) και ( -, -3 ). 3) Να βρεθούν τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες, α) f (χ )=( 4) 1, β) g (χ )= ( 4) 1 1 α) Πρέπει Συνεπώς Α =, Για χ = 0 έχουμε ότι f (0) = -4. Συνεπώς τέμνει το ψψ σ το ( 0,-4) f (χ ) = 0 ( 4) Η τιμή - απορρίπτεται γιατί δεν ανήκει στο Π.Ο και έτσι τα σημεία τομής είναι 1 (,0 ), (,0). β) Πρέπει 0 1 1, 1. Συνεπώς Α = Το 0 δεν ανήκει στο Π.Ο και συνεπώς δεν τέμνει το ψψ. f (χ ) = 0 ( 4) Η τιμή - απορρίπτεται γιατί δεν ανήκει στο Π.Ο και έτσι τα σημεία τομής είναι (,0 ), (1,0). 4) Δίνεται η συνάρτηση f ( ). α) Να βρείτε την τιμή του α αν είναι γνωστό ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο ( -1, 5 ). Για την τιμή του α που βρήκατε β) ελέγξτε αν διέρχεται από το σημείο (, 3 ) γ) Αν το σημείο ( β,1 ) ανήκει στη γραφική της παράσταση να βρείτε την τιμή του β. δ) Βρείτε τα σημεία τομής της f με τους άξονες ψψ και χχ ε) Βρείτε τα σημεία τομής της f με την g(χ) = χ+1 α) Πρέπει f ( 1) 5 ( 1) ( 1) β)για να διέρχεται πρέπει να ισχύει f () 3. Είναι f () και συνεπώς δεν διέρχεται. γ) Πρέπει f ( ) ( 1) 0 β = 0 ή β = 1. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

23 δ) Πεδίο ορισμού : D f Για χ = 0 είναι f (0) που σημαίνει ότι τέμνει τον ψψ στο (0,1). f ( ) ( 1) 0 και άρα αδύνατη. Αυτό σημαίνει ότι δεν τέμνει καθόλου τον χχ. D D ε) f g f ( ) g( ) ( ) 0 χ = 0 ή χ = Για χ = 0 είναι g(0) 1 και για χ = είναι g() 1 5. Συνεπώς υπάρχουν δύο σημεία τομής τα : (0, 1) και (,5 ). Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = α χ είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Για να τη σχεδιάσουμε χρειαζόμαστε δύο σημεία. Το ένα το ξέρουμε και είναι η αρχή των αξόνων. Το άλλο το βρίσκουμε βάζοντας μια αυθαίρετη τιμή στο χ και βρίσκοντας το αντίστοιχο ψ. Αν α > 0 τότε η ευθεία βρίσκεται στο 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο. Αν α < 0 τότε η ευθεία βρίσκεται στο ο και 4 ο τεταρτημόριο. Η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα χ χ μια γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι ίση με α. Αν μια συνάρτηση έχει για γραφική παράσταση μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε σίγουρα η συνάρτηση αυτή έχει εξίσωση της μορφής ψ = α χ Παραδείγματα 1) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων α) ψ = χ β) ψ = -χ Όλες είναι της μορφής ψ = α χ.είναι επομένως ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων.χρειαζόμαστε δύο σημεία για να τις σχεδιάσουμε. Το ένα το ξέρουμε και είναι η αρχή των αξόνων. Το άλλο το βρίσκουμε δίνοντας μια τυχαία τιμή στο χ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

24 α) Για χ=1 έχουμε ψ = 1=. Άρα το άλλο σημείο είναι το ( 1, ) Η γραφική παράσταση λοιπόν είναι η εξής β) Για χ = -1 έχουμε ψ = -(-1) =. Άρα το άλλο σημείο είναι το ( -1, ) Η γραφική παράσταση λοιπόν είναι η εξής ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο (1, 3 ). Αφού πρόκειται για ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων θα είναι της μορφής ψ = α χ.αρκεί λοιπόν να βρούμε το α. Ξέρουμε όμως ότι περνάει και από το ( 1, 3 ). Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου αυτού επαληθεύουν την εξίσωση ψ = α χ. Επομένως έχουμε ότι 3 = α 1 δηλαδή α =3. Τελικά η εξίσωση της ευθείας είναι ψ = 3 χ. 3) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων α) ψ = χ και β) ψ = -χ και να δικαιολογήσετε ότι διχοτομούν τις γωνίες των αξόνων. α) Για χ = 1 έχουμε ψ = 1 δηλαδή το άλλο σημείο είναι το (1, 1). Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 1. Στο τρίγωνο ΟΑΒ οι πλευρές ΟΑ και ΑΒ έχουν και οι δύο μήκος 1. Άρα ΟΑ=ΑΒ πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Είναι όμως και ορθογώνιο και επομένως η γωνία ω είναι ίση με 45. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία διχοτομεί την γωνία του 1 ου και 3 ου τεταρτημορίου. β) Για χ = -1 έχουμε ψ = 1 δηλαδή το άλλο σημείο είναι το (-1, 1). Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα. Στο τρίγωνο ΟΓΔ οι πλευρές ΟΔ και ΓΔ έχουν και οι δύο μήκος 1. Άρα ΟΔ=ΓΔ πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Είναι όμως και ορθογώνιο και επομένως η Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

25 γωνία φ είναι ίση με 45. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία διχοτομεί την γωνία του ου και 4 ου τεταρτημορίου. Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ + β Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ+β είναι μια ευθεία (δεν περνάει από την αρχή των αξόνων εκτός αν β=0 ) Είναι παράλληλη προς την ευθεία ψ = α χ Για να τη σχεδιάσουμε χρειαζόμαστε δύο σημεία, τα οποία τα βρίσκουμε δίνοντας δύο διαφορετικές τιμές στο χ και βρίσκοντας τα αντίστοιχα ψ. Σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι ίση με α. Οι ευθείες ψ = αχ +β και ψ = αχ + γ είναι παράλληλες γιατί έχουν το ίδιο α. Το α λέγεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας. Για χ=0 έχουμε ψ = α 0 +β = β. Επομένως τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο (0, β) Για ψ = 0 έχουμε 0 = αχ +β δηλαδή χ = Επομένως τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο (, 0 ). Αν μια συνάρτηση έχει για γραφική παράσταση μια ευθεία που δεν είναι παράλληλη στο ψ ψ τότε σίγουρα θα είναι της μορφής ψ = α χ + β. Η εξίσωση ψ = β είναι συνάρτηση και έχει γραφική παράσταση μια ευθεία παράλληλη στο χ χ που τέμνει το ψ ψ στο β.έτσι ο χ χ έχει εξίσωση ψ = 0. Η εξίσωση χ = γ δεν είναι συνάρτηση (γιατί σε ένα χ έχω άπειρα ψ). Παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στο ψ ψ και τέμνει το χ χ στο γ. Έτσι ο ψ ψ έχει εξίσωση χ = 0. Κάθε εξίσωση της μορφής αχ + βψ = γ παριστάνει μια ευθεία και αντίστροφα Παρακάτω παρουσιάζουμε τη μορφή της ευθείας ανάλογα με το πρόσημο των α και β. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

26 Σχετικές θέσεις δύο ευθειών Δίνονται δύο ευθείες (ε 1 ) ψ = α 1 χ + β 1 και (ε ) ψ = α χ + β Αν α 1 = α και 1 τότε 1 // Αν α 1 = α και 1 τότε οι 1, ταυτίζονται Αν α 1 α τότε οι 1, τέμνονται ( ένα σημείο τομής ) Αν α 1 α = -1 τότε οι 1, τέμνονται κάθετα Σημείωση : Ισχύουν και τα αντίστροφα των παραπάνω προτάσεων Παραδείγματα 1) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = χ+1 όταν α) χ είναι πραγματικός αριθμός β) χ γ) χ>- δ) ε) - < χ < στ) - χ < α) Η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία και για να τη σχεδιάσουμε χρειαζόμαστε δύο σημεία. Για χ=0 έχουμε ψ = 0+1=1 δηλαδή ένα σημείο είναι το ( 0, ) Για χ=1 έχουμε ψ= 1+1=3 δηλαδή το άλλο σημείο είναι το ( 1, 3) Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 1. β) Τώρα ο χ δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή αλλά μόνο αυτές που είναι μικρότερες του και τη.αυτό σημαίνει ότι η ευθεία μου δεν θα επεκτείνετε μέχρι το άπειρο αλλά θα σταματάει στο σημείο με τετμημένη. Έτσι λοιπόν η μια τιμή που θα δώσουμε στο χ είναι σίγουρα η για να δούμε που σταματάει. Για χ= έχουμε ψ = +1=5 δηλαδή το τέλος της ευθείας είναι το σημείο (, 5 ) Επειδή μπορεί να πάρει τη τιμή στο σημείο με τετμημένη βάζουμε κυκλάκι ζωγραφιστό.η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα. γ) Τώρα ο χ δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή αλλά μόνο αυτές που είναι μεγαλύτερες του - χωρίς τη -.Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία μου δεν θα ξεκινάει από το άπειρο αλλά από το σημείο με τετμημένη -. Έτσι λοιπόν η μια τιμή που θα δώσουμε στο χ είναι σίγουρα η - για να δούμε από που ξεκινάει.για χ = - έχουμε ψ= (- )+1= -3 δηλαδή η αρχή της ευθείας είναι το σημείο ( -, -3 )Επειδή δεν μπορεί να πάρει τη τιμή - στο σημείο με τετμημένη - βάζουμε σκέτο κυκλάκι.η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 3 δ) Τώρα ο χ δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή αλλά μόνο αυτές που είναι μικρότερες του και μεγαλύτερες του - και τις - και.αυτό σημαίνει ότι η ευθεία μου δεν θα επεκτείνετε μέχρι το άπειρο αλλά θα σταματάει στο σημείο με τετμημένη και δεν θα ξεκινάει από το άπειρο αλλά από το σημείο με τετμημένη -. Έτσι λοιπόν οι τιμές που θα δώσουμε στο χ είναι οι - και για να δούμε από που ξεκινάει και που σταματάει.επειδή μπορεί να πάρει τις τιμές - και στο σημεία με τετμημένες - και βάζουμε κυκλάκι ζωγραφιστό. Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 4. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

27 ε) Όπως στο δ) μόνο που στα σημεία με τετμημένες - και θα βάλουμε σκέτα κυκλάκια γιατί τώρα δεν μπορεί να πάρει τις τιμές αυτές. Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 5. στ) Όπως στο δ) μόνο που στο σημείο με τετμημένη θα βάλουμε σκέτο κυκλάκι γιατί τώρα δεν μπορεί να πάρει τη τιμή. Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 6. ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία ψ = χ και διέρχεται από το σημείο ( 1, 4 ). Αφού είναι εξίσωση ευθείας θα είναι της μορφής ψ = αχ +β. Αρκεί λοιπόν να βρούμε τα α και β. Αφού είναι παράλληλη στη ψ =χ θ έχουμε ότι α =. Έτσι η εξίσωση γίνεται ψ = χ + β. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

28 Αφού διέρχεται από το σημείο ( 1, 4 ) θα πρέπει οι συντεταγμένες του να ικανοποιούν την εξίσωση και επομένως έχουμε ότι 4 = 1 + β δηλαδή β = Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι ψ = χ +. 3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία ( 0, ) και ( 1, 5) Αφού είναι εξίσωση ευθείας θα είναι της μορφής ψ = αχ +β. Αρκεί λοιπόν να βρούμε τα α και β. Αφού διέρχεται από το σημείο ( 0, ) θα πρέπει οι συντεταγμένες του να ικανοποιούν την εξίσωση και επομένως έχουμε ότι = α 0 + β δηλαδή β = Αφού διέρχεται από το σημείο ( 1, 5 ) θα πρέπει οι συντεταγμένες του να ικανοποιούν την εξίσωση και επομένως έχουμε ότι 5 = α 1 + β και αφού β= έχουμε 5 = α 1 + δηλαδή α = 3 Τελικά η εξίσωση της ευθείας είναι ψ = 3χ +. 4) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών α) ψ = χ+3 και ψ = χ- β) ψ = χ και ψ = χ+004 α) Αν ( α, β ) το σημείο τομής των ευθειών τότε αφού ανήκει και στις δύο ευθείες θα πρέπει οι συντεταγμένες του να ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις. Επομένως έχουμε ότι β = α +3 και β = α- Από τις δύο αυτές σχέσεις συμπεραίνουμε ότι α +3 = α δηλαδή α = -5 Με αντικατάσταση σε μία από τις δύο σχέσεις ( π.χ. στη η ) βρίσκουμε β = -5-=-7 Τελικά το σημείο τομής είναι το ( 5, -7 ) β) Παρατηρούμε ότι οι δύο αυτές συναρτήσεις έχουν το ίδιο συντελεστή διεύθυνσης ( το ίδιο α ) και επομένως είναι παράλληλες.συνεπώς δεν υπάρχει σημείο τομής. 5) Να σχεδιάσετε τις ευθείες που παριστάνουν οι παρακάτω εξισώσεις και σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η κάθε ευθεία με τους άξονες. α) ψ = -χ + 5, β) ψ = -, γ ) χ = -3 α) Για χ=0 έχουμε ψ = 5 δηλαδή ένα σημείο είναι το ( 0,5 ) Για χ=1 έχουμε ψ = 3 δηλαδή το δεύτερο σημείο είναι το ( 1, 3) Η ζητούμενη ευθεία δίνεται από το παρακάτω σχήμα Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

29 Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΟΑΒ Είναι ΟΒ= 5 και 5,5 ΟΑ=,5 αφού έχουμε αποδείξει ότι τέμνει το χ χ στο σημείο,55 Άρα 6, 5 β) Η ευθεία ψ = - είναι παράλληλη στο χ χ και επομένως δεν σχηματίζει τρίγωνο με τους άξονες.η ευθεία αυτή δίνεται στο παρακάτω σχήμα. γ) Η ευθεία χ = -3 είναι παράλληλη στο ψ ψ και επομένως δεν σχηματίζει τρίγωνο με τους άξονες.η ευθεία αυτή δίνεται στο παρακάτω σχήμα. 6) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία ψ = χ-3 και διέρχεται από το σημείο (,6 ). Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

30 Αφού πρόκειται για εξίσωση ευθείας θα έχει εξίσωση της μορφής ψ = αχ+ β. Αρκεί να βρούμε τα α, β.αφού είναι κάθετη στην ψ = χ-3 πρέπει Συνεπώς η εξίσωση γίνεται. Επειδή διέρχεται από το σημείο (,6) έχουμε ότι Επομένως η ζητούμενη εξίσωση είναι η 7. 7) Να βρεθεί ο λ αν είναι γνωστό ότι οι παρακάτω ευθείες ψ = χ + 3 και ψ = ( ) 1 α) είναι παράλληλες β) ταυτίζονται γ ) είναι κάθετες α) Για να είναι παράλληλες πρέπει 4 και. Επομένως η ζητούμενη τιμή για το λ είναι η λ = -. β) Για να ταυτίζονται πρέπει 1 3 δηλαδή 1 3 δηλαδή 4 και λ=. Επομένως η ζητούμενη τιμή για το λ είναι η λ =. γ) Για να είναι κάθετες πρέπει ( 1) ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τον χ χ γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι και διέρχεται από το σημείο ( 3, 10 ). Αφού πρόκειται για εξίσωση ευθείας θα έχει εξίσωση της μορφής ψ = αχ+ β. Αρκεί να βρούμε τα α, β.αφού σχηματίζει γωνία με εφαπτομένη έχουμε ότι α =. Συνεπώς η εξίσωση γίνεται ψ = χ+β.αφού διέρχεται από το σημείο ( 3,10 ) έχουμε ότι Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η ψ = χ+ 4. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 30

31 9) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση 1, f ( ) 3, 3 3, 3. Η συνάρτηση αποτελείται από 3 κλάδους που ο καθένας έχει τη δική του γραφική παράσταση και επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησής μου αποτελείται από ημιευθείες και ένα ευθύγραμμο τμήμα που δίνονται στο παρακάτω σχήμα. αν χ < - Για χ = - είναι f ( - ) = 1 (-) = 1+ = 3 Για χ = -3 είναι f ( -3 ) = 1 (-3) = 1+3 = 4 Συνεπώς για χ < - είναι μια ημιευθεία που διέρχεται από τα σημεία ( -, 3 ) ( το οποίο δεν ανήκει στην ημιευθεία αυτή ) και ( -3, 4 ) αν 3 Στο διάστημα αυτό έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f (χ) = 3 και έχει γραφική παράσταση ένα ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο στον χ χ που τέμνει το ψ ψ στο 3. αν χ > 3 Για χ = 3 είναι f ( 3 ) = 3 3 = 6-3 = 3 Για χ = 4 είναι f ( 4 ) = 4 3 = 8-3 = 5 Συνεπώς για χ < - είναι μια ημιευθεία που διέρχεται από τα σημεία ( 3, 3 ) και ( 4, 5 ).Με βάση τα παραπάνω έχουμε την εξής γραφική παράσταση Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 31

32 10) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: x 1 f ( x) x, x 1 x 1 Βρίσκουμε πρώτα τον τύπο τις συνάρτησης χωρίς απόλυτα. Φτιάχνουμε πρώτα πίνακα μεταβολών προσήμου για τις παραστάσεις χ + και χ -1. Έχουμε: χ χ χ Αν χ < - τότε x 1 ( x 1) f ( x) x. x. x 1 x 1 x.( 1) x x Αν - χ < 1 τότε f x x Αν 1 < χ τότε f x ΠΡΟΣΕΞΕ: Στα παραπάνω διαστήματα δεν συμπεριλάβαμε τη τιμή χ = 1 γιατί από τους περιορισμούς είναι χ 1. x 1 ( ). x.( 1) x 4 x 1 x 1 ( ) x. x. 1 x x 1 Οπότε ο τύπος της f(x) είναι f ( x) x, x x 4, x 1 x, 1 x Στη συνέχεια σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη άσκηση. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

33 10) Να βρείτε τη συνάρτηση που έχει για γραφική παράσταση αυτή του παρακάτω σχήματος Η γραφική παράσταση αποτελείται από 3 κομμάτια και επομένως η συνάρτησή μου θα αποτελείται από 3 κλάδους. αν χ < -3 Είναι ευθεία και επομένως θα έχει μορφή ψ = αχ+β Διέρχεται από το σημείο ( -3, 3 ) που σημαίνει ότι 3 = -3 α +β (1) Διέρχεται από το σημείο ( -4, 4 ) που σημαίνει ότι 4 = -4 α +β () Αφαιρώντας τις (1), () κατά μέλη έχουμε ότι 3-4 = -3 α +β ( -4 α +β ) -1 = -3 α +β +4 α β -1 = α Με αντικατάσταση στην (1) έχουμε ότι 3 = - 3 ( -1 ) +β 3 = 3+β β=0 Συνεπώς για χ < -3 η συνάρτηση είναι ψ = -χ αν 3 4 Είναι μια ευθεία παράλληλη στο χ χ που τέμνει το ψ ψ στο 3 Πρόκειται λοιπόν για τη σταθερή συνάρτηση ψ = 3 αν χ > 5 Είναι ευθεία και επομένως θα έχει μορφή ψ = αχ+β Διέρχεται από το σημείο ( 5, 0 ) που σημαίνει ότι 0 = 5 α +β (3) Διέρχεται από το σημείο ( 6, -3 ) που σημαίνει ότι -3 = 6 α +β (4) Αφαιρώντας τις (3), (4) κατά μέλη έχουμε ότι 0-(-3) = 5α +β ( 6α +β ) 3 = 5α +β - 6α β 3 = -α α = -3 Με αντικατάσταση στην (3) έχουμε ότι 0 = 5( -3 ) +β 0 = -15+β β=15 Συνεπώς για χ < 5 η συνάρτηση είναι ψ = -3χ+15 Στο διάστημα 4, 5 ) δεν έχουμε γραφική παράσταση και επομένως δεν ορίζεται η συνάρτηση στο διάστημα αυτό Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η εξής, 3 f ( ) 3, , 5 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 33

34 11)Να βρείτε τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, f ( ), 1, 1. Εύρεση των α και β : Διέρχεται από τα σημεία ( -,-) και (1, ). Συνεπώς είναι Μετατόπιση γραφικής παράστασης Γενικά αν δίνεται μια συνάρτηση f ( χ ) τότε : Α) Η γραφική παράσταση της φ(χ) = f ( χ - α ) προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ( χ ) κατά α μονάδες προς τα δεξιά αν α > 0 ή προς τα αριστερά αν α < 0. Β) Η γραφική παράσταση της φ(χ) = f ( χ ) +α προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ( χ ) κατά α μονάδες προς τα πάνω αν α > 0 ή προς τα κάτω αν α < 0. Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C f, μιας συνάρτησης f μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f. α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x x, της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σημεία M ( x, f ( x)) που είναι συμμετρικά των M ( x, f ( x)), ως προς τον άξονα x x. (Σχ. 9). y O Μ(x,f(x)) Μ (x,f(x)) 9 y=f(x) x y=f(x) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 34

35 β) Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της C f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x x, των τμημάτων της C f που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. (Σχ. 10). y y= f(x) O 10 y=f(x) x Μελέτη συνάρτησης Συμμετρίες Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται άρτια αν και μόνο αν για κάθε χ και -χ και f ( x) f ( x) Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον ψ ψ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιττή αν και μόνο αν για κάθε χ και -χ και f ( x) f ( x) Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Παράδειγμα 1) Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές α) f ( ) β) f ( ) γ) f ( ) δ) f ( ) 1 3 ε) f ( x) x 3 x 3, στ) f ( x) x 3x 1 α) Πρέπει, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι. Επειδή το - ανήκει στο Π.Ο. και ο αντίθετός του το δεν ανήκει η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. β) Πρέπει, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι. Συνεπώς για κάθε χ και -χ. ( ) 3 3 Επίσης f ( ) f ( ). Επομένως είναι άρτια. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 35

36 γ) Πρέπει 1 1, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι 1. Συνεπώς για κάθε χ και -χ. 3 3 Είναι f ( ) ( ) 1 1. Παρατηρούμε ότι f ( ) f ( ) και f ( ) f ( ). Επομένως η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. δ) Πρέπει 0, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι 0. Συνεπώς για κάθε χ και -χ. ( ) Είναι f ( ) f ( ), και άρα είναι περιττή. ε) f ( x) x 3 x 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α = R Οπότε για κάθε χα θα ισχύει -χα. Επίσης έχουμε: f ( x) x 3 x 3 x 3 x 3 f ( x) Δηλαδή ισχύει f ( x) f ( x). Άρα η συνάρτηση είναι άρτια στ) f ( x) x 3x 1 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α = R Οπότε για κάθε χα θα ισχύει -χα. Επίσης έχουμε: f ( x) ( x) 3( x) 1 ( x ) 3x 1 x 3x 1 ( x 3x 1) Από τη τελευταία σχέση παρατηρούμε ότι είναι f ( x) f ( x) καθώς επίσης και ότι f ( x) f ( x). Οπότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. ) Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αναφέρεται το είδος της αντίστοιχης συνάρτησης. Εσείς να συμπληρώσετε τις γραφικές τους παραστάσεις. ψ 0 x Σχ. 1 περιττή Σχ. άρτια Σχ. 4 άρτια Θυμίζουμε ότι η άρτια συνάρτηση έχει άξονα συμμετρίας τον ψψ ενώ η περιττή κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 36

37 3)Υπάρχει συνάρτηση που να είναι άρτια και περιττή συγχρόνως ; ΝΑΙ Για να είναι μία συνάρτηση άρτια και περιττή πρέπει να ισχύουν συγχρόνως οι εξής σχέσεις: f(-χ) = f(χ) και f(-χ) = -f(χ) Τα πρώτα μέλη είναι ίσα άρα και τα δεύτερα, έτσι έχουμε f(χ) = -f(χ) f(χ) + f(χ) = 0. f(χ) = 0 f(χ) = 0. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι υπάρχει συνάρτηση η οποία είναι άρτια και περιττή συγχρόνως η f(χ) = 0. Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν για κάθε 1, με 1 είναι και f ( ) f ( ). 1 Αυτό που λέει ο ορισμός είναι ότι καθώς αυξάνει το χ αυξάνει και το f(χ), δηλαδή κοιτάζοντας τη γραφική της παράσταση από τα αριστερά προς τα δεξιά νιώθουμε ότι ανεβαίνει. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν για κάθε 1, με 1 είναι και f ( ) f ( ). 1 Αυτό που λέει ο ορισμός είναι ότι καθώς αυξάνει το χ το f(χ) μειώνεται, δηλαδή κοιτάζοντας τη γραφική της παράσταση από τα αριστερά προς τα δεξιά νιώθουμε ότι κατεβαίνει. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη. Υπάρχουν συναρτήσεις που σε κάποιο διάστημα του Π.Ο. είναι γνησίως αύξουσες και σε άλλο γνησίως φθίνουσες.αυτές φυσικά δεν είναι γνησίως μονότονες. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι γνησίως αύξουσες ή φθίνουσες σε καθένα από τα διαστήματα (, ), (, ), χωρίς όμως να είναι γνησίως αύξουσες ή φθίνουσες σε όλο το Π.Ο. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 37

38 Αυτό συμβαίνει με συναρτήσεις που δεν είναι συνεχής, δηλαδή που η γραφική τους παράσταση διακόπτεται σε κάποιο σημείο και ξεκινάει από κάποιο άλλο. Π.χ. η συνάρτηση f ( ) Παραδείγματα 1) Να καθορίσετε το είδος μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων 1 i) f ( x) x 5, ii) f ( x) 0, 3 x, iii f x ) ( ) 3x 4, iv f x ) ( ) 5x v) f ( x), x 0 x 4 x, 0 x x( x 4), x vi) f ( x) x 1, x x 3, x 3 x 6x, 3 x 1 i) f ( x) x 5. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R. Πως το βρήκαμε; Πρόσεξε τα παρακάτω. α τρόπος: Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R. Έστω χ 1, χ R με χ 1 < χ. Με διαδοχικές πράξεις θα δημιουργήσουμε τις τιμές των f(χ 1 ) και f(χ ) [κτίσιμο της συνάρτησης] ως εξής: Έχουμε χ 1 < χ (πολλαπλασιάζουμε με 1 που είναι θετικό οπότε δεν αλλάζει φορά η ανίσωση) 1 χ 1 < 1 χ 1 χ < 1 χ + 5 f(χ 1 ) < f(χ ). Άρα η f(χ) είναι γνησίως αύξουσα στο R. β τρόπος: Έστω χ 1, χ R με χ 1 < χ. Τότε έχουμε: f(χ 1 ) - f(χ ) = ( 1 χ 1 + 5) - ( 1 χ + 5) = 1 χ χ - 5= 1 χ 1-1 χ = 1 ( χ 1 -χ ) < 0 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 38

39 (γιατί χ 1 < χ χ 1 - χ < 0 ). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(χ 1 ) - f(χ ) < 0 f(χ 1 ) < f(χ ). Άρα η f(χ) είναι γνησίως αύξουσα στο R. γ τρόπος: Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση ψ = αχ +β όταν έχει α > 0 είναι γνησίως αύξουσα στο R. α < 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο R. α = 0 είναι σταθερή στο R. Επειδή η 1 f ( x) x 5 έχει α = 1 > 0 θα είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii) f ( x), x 0 3. Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α = R οπότε για κάθε χ 1, χ R με χ 1 < χ έχουμε διαδοχικά. χ 1 < χ -0,3.χ 1 > -0,3.χ -0,3.χ 1 + > -0,3.χ + f(χ 1 ) > f(χ ) Άρα η f(χ) είναι γνησίως φθίνουσα στο R. iii) f ( x) 3x 4, x R. Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης χωριστά σε κάθε ένα από τα διαστήματα (-,0] και [0, +) Έστω χ 1, χ (-,0] με χ 1 < χ < 0. Έχουμε διαδοχικά f(χ 1 ) - f(χ ) = ( 3x 4 ) ( 3x 4 ) 3x 4 3x 4 3( x x ) ( x x )( x x ) 0 γιατί είναι x x 0 x x επίσης είναι x 1 < x < 0 (αρνητικά και τα δύο) οπότε θα είναι και x 1 + x < 0 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(χ 1 ) - f(χ ) < 0 f(χ 1 ) < f(χ ) Άρα η συνάρτηση f στο διάστημα (-,0] είναι γνησίως αύξουσα. Έστω χ 1, χ [0, +) με χ 1 < χ. Έχουμε διαδοχικά f(χ 1 ) - f(χ ) = ( 3x 4 ) ( 3x 4 ) 3x 4 3x 4 3( x x ) ( x x )( x x ) 0 γιατί είναι x x 0 x x 1 1 επίσης είναι x 1 + x > 0 γιατί χ 1, χ [0, +) 1 1 ( θετικά και τα δύο). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(χ 1 ) - f(χ ) > 0 f(χ 1 ) > f(χ ) Άρα η συνάρτηση f στο διάστημα [0, +) είναι γνησίως φθίνουσα. iv) f ( x) 5 x, x R Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης χωριστά σε κάθε ένα από τα διαστήματα (-,0] και [0, +) Έστω χ 1, χ (-,0] με χ 1 < χ < 0. Έχουμε διαδοχικά f(χ 1 ) - f(χ ) = ( 5 x ) ( 5 x ) 5 x 5 x 5 ( x x ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 39

40 5 ( x x )( x x ) 0 γιατί είναι x x x x επίσης είναι x 1 < x < 0 (αρνητικά και τα δύο) οπότε θα είναι και x 1 + x < 0 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(χ 1 ) - f(χ ) > 0 f(χ 1 ) > f(χ ) Άρα η συνάρτηση f στο διάστημα (-,0] είναι γνησίως φθίνουσα. Έστω χ 1, χ [0, +) με χ 1 < χ. Έχουμε διαδοχικά f(χ 1 ) - f(χ ) = ( 5 x ) ( 5 x ) 5 x 5 x 5 ( x x ) ( x x )( x x ) 0 γιατί είναι x x x x επίσης είναι x 1 + x > 0 γιατί χ 1, χ [0, +) ( θετικά και τα δύο). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f(χ 1 ) - f(χ ) < 0 f(χ 1 ) < f(χ ) Άρα η συνάρτηση f στο διάστημα [0, +) είναι γνησίως αύξουσα. v) f ( x), x 0 x 4 x, 0 x x( x 4), x Α) Έστω x1, x (-,0] με x x 1 Πώς βρίσκουμε τη μονοτονία αυτής της συνάρτησης Θα βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης f(χ) στα τρία διαστήματα του πεδίου ορισμού της στα οποία έχει διαφορετικούς τύπους.. Τότε έχουμε: 1 1 f ( x1 ) f ( x ) x x 1 x1 x x1x 0 γιατί x x 0 x x και x x γιατί x, x αρνητικά αφού x, x (-,0] 1 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) f ( x ) 1 1 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-,0]. Β) Έστω x1, x [0, ] με x x 1. Τότε έχουμε διαδοχικά: 0 x1 x 0 x1 x 0 x1 x 4 0 x1 x x1 4 x x 4 x 0 4 x 4 x f ( x ) f ( x ) Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0, ] Γ) Έστω x1, x (, +) με x x 1. Τότε έχουμε f ( x1 ) f ( x ) x1 ( x1 4) x ( x 4) x1 4x1 x 4x 1 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 40

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ». {,3,5,7,... } { / = ν +, ν Ν} =. = {} 0 3. Αν Α Β τότε Α Β = Α 4. 5 {,3,5,7 } 5. Αν Α= {, 3,7} και Β= {,3} 7, τότε Α=Β 6.

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Α.3.2 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Α. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Μας δίνουν ένα σημείο Μ στο επίπεδο.για να προσδιορίσουμε την θέση του κάνουμε τα εξής :

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Α.3.2 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Α. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Μας δίνουν ένα σημείο Μ στο επίπεδο.για να προσδιορίσουμε την θέση του κάνουμε τα εξής : ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Α.3.2 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Α. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Μας δίνουν ένα σημείο Μ στο επίπεδο.για να προσδιορίσουμε την θέση του κάνουμε τα εξής : Μ 1) Σχεδιάζουμε δύο άξονες κάθετους μεταξύ τους, με

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ 3 ο. - Συναρτήσεις.

Κεφ 3 ο. - Συναρτήσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφ 3 ο. - Συναρτήσεις. Μέρος Α. Θεωρία. 1. Τι λέμε συνάρτηση; 2. Με τι αντιστοιχούμε κάθε σημείο Μ στο επίπεδο; 3. Πως λέγεται ο άξονας χ χ και πως ο άξονας ψ ψ; 4. Τι είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις πρώτου βαθμού

Εξισώσεις πρώτου βαθμού Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Πραγματική Συνάρτηση ρισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του R. νομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη, απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. f : συνάρτηση, με f(x ) f ( x ) x x

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. f : συνάρτηση, με f(x ) f ( x ) x x ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Η αντιστοιχία : A B λέγεται συνάρτηση αν για κάθε αντιστοιχίζεται ένα μόνο y : συνάρτηση, με ( ) ( ) ή ισοδύναμα : συνάρτηση, με ( ) ( ) Το σύνολο Α λέγεται σύνολο αφετηρίας ή σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 6 185 ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / / 0 1 7 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. Γνωστά µας σύνολα: Ν σύνολο φυσικών αριθµών Q σύνολο ρητών αριθµών Ζ σύνολο ακεραίων αριθµών R σύνολο πραγµατικών αριθµών

Σύνολα. Γνωστά µας σύνολα: Ν σύνολο φυσικών αριθµών Q σύνολο ρητών αριθµών Ζ σύνολο ακεραίων αριθµών R σύνολο πραγµατικών αριθµών Σύνολα Σελ. 40 Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1 Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Μαθηματικά Β Γυμνασίου Μαθηματικά Β Γυμνασίου Περιεχόμενα KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 3 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 3 1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ... 4 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΗ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣH

ΣΥΝΘΕΤΗ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣH ΣΥΝΘΕΤΗ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣH Οδηγίες Τι να προσέχουμε 1. Προσέχουμε πάντα τα χ για τα οποία ορίζεται μία συνάρτηση ή μία συναρτησιακή σχέση. Αν δεν μας δίνονται πρέπει να τα βρίσκουμε. Είναι το Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

2. Ιδιότητες Συναρτήσεων

2. Ιδιότητες Συναρτήσεων Ιδιότητες Συναρτήσεων Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης Πεδίο Ορισμού Το πρώτο βήμα για τη λύση μιας άσκησης που περιέει μια συνάρτηση είναι ο προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της α) Κάθε πολυωνυμική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε φορά, που νιώθουμε τρελή λαχτάρα να μιλήσουμε για ευθείες, φανταζόμαστε εξισώσεις της παρακάτω μορφής : y = αx + β

Κάθε φορά, που νιώθουμε τρελή λαχτάρα να μιλήσουμε για ευθείες, φανταζόμαστε εξισώσεις της παρακάτω μορφής : y = αx + β ΕΥΘΕΙΕΣ Κάθε φορά, που νιώθουμε τρελή λαχτάρα να μιλήσουμε για ευθείες, φανταζόμαστε εξισώσεις της παρακάτω μορφής : y = αx + β Η εξίσωση αυτή θα πρέπει να γίνει στο μυαλό μας συνώνυμη της λέξης και του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα