קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית שאיננה פרידה וגם איננה לינארית, למשל: y = y 3 +t. איננו יודעים כיצד למצוא פתרונות למשוואה זו, ולמעשה לא ידוע פתרון מפורש שלה. השאלה שעולה כאן היא האם קיימים פתרונות למשוואה, אבל אולי כאלה שאי אפשר לכתוב במפורש. משפט הקיום למשוואות דיפרנציאליות מבטיח לנו, בתנאים מסוימים, שאכן קיימים פתרונות למשוואה, אפילו אם אנחנו לא מסוגלים לכתוב אותם במפורש. בהיסטוריה של המתמטיקה עלתה השאלה לגבי קיום פתרונות של משוואות דיפרנציאליות בחריפות בהקשר של המשוואות הדיפרנציאליות המתארות תנועה של כוכבי לכת תחת כוח המשיכה ההדדי שהם מפעילים אחד על השני. כאשר מדובר בשני גופים בלבד, למשל השמש וכדור הארץ, אייזק ניוטון (1726 1642) פתר את המשוואה הדיפרנציאלית המתארת את התנועה של כדור הארץ, וקיבל שהמסלול המתקבל הוא אליפסה. כאשר מדובר בשלושה גופים או יותר למשל השמש, כדור הארץ והירח, למרות שקל לכתוב את המשוואות הדיפרנציאליות המתאימות, איש עד היום לא הצליח למצוא פתרון מפורש עבורן. לכן עלתה השאלה האם למשוואות האלה קיים בכלל פתרון. מבחינה פיזיקלית נראה "ברור" שקיים פתרון, שכן המשוואות מייצגות תופעה בעולם האמיתי. יתרה מזאת,בעזרת אלגוריתמים נומריים אפשר למצוא פתרונות מקורבים כך אנו יכולים למשל לחזות בדיוק מתי יתרחש ליקוי חמה הירח יסתיר את השמש אלפי שנים בעתיד. אבל השאלה המתמטית לגבי קיום הפתרונות עומדת בעינה כיצד נוכל להיות בטוחים שלמשוואה דיפרנציאלית יש פתרונות, אם איננו יכולים לכתוב אותם במפורש? 1

3 משפט הקיום והיחידות למשוואות דיפרנציאליות 2 דוגמה להוכחת קיום ויחידות פתרון למשוואה אלגברית כדי להדגים את הרעיון שלמשוואה יכול להיות פתרון גם אם איננו יכולים לכתוב אותו במפורש, נתבונן על מקרה אלמנטרי יותר: משוואות אלגבריות. ניקח לדוגמה את המשוואה x 5 +x 1 = 0. זוהי משוואה ממעלה 5, ואיננו יודעים לפתור משוואות כאלה. למעשה מתמטיקאים הוכיחו שלא קיימת נוסחה אלגברית לפתרונות של משוואות ממעלה 5 (משהו בדומה לנוסחה המוכרת לפתרון משוואה ריבועית). אבל אין פירוש הדבר שלא קיימים פתרונות למשוואה. למעשה קיום פתרון כזה נובע ממשפט חשוב של חדו"א: משפט ערך הביניים. נגדיר את הפונקציה f(x) = x 5 +x 1. זוהי פונקציה רציפה, ועל ידי הצבה מקבלים f(0) = 1 < 0, f(1) = 1 > 0. לכן ממשפט ערך הביניים נובע שקיים x בקטע (1,1 ) שעבורו מתקיים = 0,f(x) כלומר קיים פתרון למשוואה. הוכחנו אם כן שקיים פתרון למשוואה, למרות שאיננו יודעים מהו! נוכל להתקדם אפילו יותר, ולהבחין ש f (x) = 5x 4 +1 > 0 ומאחר שהנגזרת חיובית לכל x אנחנו יודעים שהפונקציה f היא פונקציה עולה, ולכן לכל מספר c יכול להיות רק ערך אחד של x שעבורו f(x) = c בפרט עבור = 0 c. בכך הוכחנו שקיים פתרון יחיד למשוואה שלנו: כלומר הוכחנו קיום ויחידות. הטיעונים שלנו היו מופשטים הוכחנו שהפתרון קיים מבלי למצוא אותו ממש! אם אנחנו מעוניינים בערך הפתרון, נצטרך להשתמש באלגוריתם נומרי שמחפש קירוב לפתרון. על ידי הפעלת אלוגוריתם כזה נמצא ש...0.7548776662 = x. הנקודה החשובה היא שהעובדה שהוכחנו קודם שקיים פתרון מבטיחה לנו שהתשובה שקיבלנו מהמחשב אכן מייצגת קירוב לפתרון אמיתי שקיים. אם מפעילים אלגוריתם לקירוב הפתרון כאשר לא בטוחים שהפתרון קיים, ייתכן שנקבל מהמחשב תשובה שהיא "זבל" שלא מייצג פתרון אמיתי. 3 משפט הקיום והיחידות למשוואות דיפרנציאליות נניח שנתונה משוואה דיפרנציאלית (3.1) y = f(t,y) 2

3 משפט הקיום והיחידות למשוואות דיפרנציאליות ותנאי התחלה (3.2) y(t 0 ) = y 0 האם נוכל להיות בטוחים שקיים פתרון לבעיית ההתחלה (3.2),(3.1), כלומר קיימת פונקציה y(t) שמקיימת הן את המשוואה והן את תנאי ההתחלה? האם נוכל להיות בטוחים שיש רק פונקציה אחת כזו? משפט הקיום והיחידות מבטיח שבתנאים מסוימים על הפונקציה f(t,y) התשובה היא חיובית. עם זאת, המשפט מבטיח קיום של פתרון רק באיזשהו קטע ) 2 I = (t 0 δ 1,t 0 +δ סביב ערך ההתחלה.t 0 משפט 3.1 נניח שנתונה משוואה דיפרנציאלית (3.1) ותנאי התחלה (3.2) כאשר: א. הפונקציה (y f(t, המגדירה את המשוואה הדיפרנציאלית מוגדרת בסביבה של הנקודה ) 0,(t 0,y כלומר קיים מלבן R = {(t,y) t 0 a t t 0 +a, y 0 b y y 0 +b} (0 > (a,b שבו הפונקציה מוגדרת. ב. הפונקציה f(t,y) רציפה במלבן R. אז: ג. הפונקציה f(t,y) גזירה לפי y בכל נקודה בתחום R, והנגזרת החלקית (t,y) f y היא פונקציה רציפה בתחום R. יש קטע ) 2 (δ 1,δ 2 > 0) I = (t 0 δ 1,t 0 +δ כך שבקטע הזה קיים פתרון יחיד לבעיית ההתחלה (3.2),(3.1). כדי להדגים את השימוש במשפט הקיום והיחידות, נחזור לדוגמה שהופיעה בפתיחת הפרק. דוגמה 3.1 נתונה בעיית ההתחלה y = y 3 +t האם קיים לה פתרון? y(0) = 1. 3

3 משפט הקיום והיחידות למשוואות דיפרנציאליות בעזרת משפט הקיום והיחידות נוכל לענות על שאלה זו בחיוב. כאן הפונקציה המגדירה את המשוואה הדיפרנציאלית היא f(t,y) = y 3 +t. הפונקציה הזו מוגדרת, רציפה, וגזירה לפי y בכל המישור (y,t) והנגזרת החלקית f y (t,y) = 3y2 היא פונקציה רציפה בכל המישור. לכן התנאים א ג של משפט הקיום והיחידות מתקיימים למעשה נוכל לבחור כל מלבן R שמכיל את הנקודה (0,1) = ) 0 t). 0 y, מאחר ותנאי המשפט מתקיימים, המשפט מבטיח לנו שקיים איזשהו קטע ) 2 I = δ ) 1 δ, שבו קיים פתרון למשוואה הדיפרנציאלית, ויתרה מזו קיים רק פתרון אחד כזה. שאלה 3.1 האם הפתרון של בעיית ההתחלה בדוגמה 3.1 הוא פונקציה עולה או יורדת בסביבת נקודת ההתחלה = 0 t? חשוב להדגיש את הנקודות הבאות: א. המשפט אינו מבטיח לנו שהפתרון מוגדר לכל t, אלא רק עבור ערכי t שהם קרובים מספיק ל 0 = 0 t. במילים אחרות, משפט הקיום והיחידות הוא בעל אופי מקומי. ב. המשפט אינו אומר לנו מהם הערכים δ, 1 δ, 2 אולי הם קטנים מאד ואולי הם גדולים! ג. מאחר והמשפט רק מבטיח קיום ויחידות של הפתרון, ולא מציג אותו במפורש, הוא לא נותן לנו כל אינפורמציה לגבי צורתו של הפתרון איך למשל ניראה הגרף שלו. כוחו הגדול של משפט הקיום והיחידות הוא שהוא מאד כללי בהנחות מאד חלשות על המשוואה הדיפרנציאלית, שקל לבדוק אותן, הוא מבטיח לנו קיום פתרון. חולשתו היא בכך שהוא לא נותן לנו אינפורמציה לגבי אופיו של הפתרון, ולשם כך נצטרך להפעיל שיטות אחרות: לפתור את המשוואה במפורש, לחקור אותה איכותית בעזרת שדה שיפועים, או למצוא קירוב נומרי לפתרון. מסקנה חשובה מתקבלת ממשפט הקיום והיחידות אם חושבים על הגרפים של אוסף פתרונות של משוואות דיפרנציאליות: משפט 3.2 בהינתן משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון (3.1), ובהנחה שהפונקציה (y f(t, רציפה וגזירה ברציפות לפי y בכל המישור, אז: א. דרך כל נקודה ) 0 t) 0 y, עובר גרף של פתרון של המשוואה. ב. גרפים של שני פתרונות שונים אינם יכולים לחתוך אחד את השני. במיליםאחרות,הגרפיםשלאוסףהפתרונותהםאוסףעקומיםשמכסיםאתכלהמישור ואינם נחתכים באף נקודה. 4

4 דיון על משפט הקיום והיחידות חלקאשלהמשפטהנ"להואפשוטניסוחשלקיוםהפתרוןלבעייתההתחלה( 3.1),(3.2 ). חלק ב נובע בקלות מיחידות הפתרונות. נניח בשלילה ש (t) y 1 (t),y 2 הם שני פתרונות שונים של (3.1) שהגרפים שלהם נחתכים בנקודה כלשהי במישור, שנקרא לה ) 0 t). 0 y, אז שתי הפונקציות הן פתרונות של בעיית ההתחלה ( 3.1),(3.2 ),וזה סותר את היחידות! 4 דיון על משפט הקיום והיחידות נדון כעת הן בהנחות של משפט הקיום והיחידות והן במסקנותיו. נציג סידרה של דוגמאות שיראו מדוע ההנחות של המשפט הכרחיות ולמה באופן כללי אי אפשר לצפות למסקנות חזקות יותר. ty = y דוגמה 4.1 נתונה בעיית התחלה y(0) = 1 האם קיים פתרון לבעיה זו? אם כן, האם הוא יחיד? נראה שלא קיים פתרון. נניח ש ( y(t פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית. נציב = 0 t בשני האגפים של המשוואה הדיפרנציאלית ונקבל 0 y (0) = y(0) y(0) = 0 כלומרכלפתרון שלהמשוואההדיפרנציאליתהזאתהמוגדר בסביבהשל 0 = t מקיים.y(0) ולכן לא יכול לקיים = 1,y(0) = 0 האם העובדה שלא קיים פתרון לבעיית ההתחלה הזו סותרת את משפט הקיום והיחידות? התשובה היא לא, כי המשוואה הזו אינה מקיימת את תנאי המשפט. אם נכתוב את המשוואה בצורה הסטנדרטית y = y t ניראה שהפונקציה המגדירה את המשוואה היא f(t,y) = y t ופונקציה זו אינה מוגדרת על הישר = 0 t במישור,(t,y) ובפרט אין אף מלבן המכיל את הנקודה (0,1) = (t,y) שבו הפונקציה מוגדרת, כלומר הנחה א של משפט הקיום והיחידות לא מתקיימת, ולכן אי אפשר להפעיל את המשפט! 5

4 דיון על משפט הקיום והיחידות ty = y דוגמה 4.2 נתונה בעיית התחלה y(0) = 0 האם קיים פתרון לבעיה זו? אם כן, האם הוא יחיד? המשוואה הדיפרנציאלית היא אותה משוואה כמו בדוגמה הקודמת, אבל עכשיו תנאי ההתחלהשונה. במקרהזהאיןסתירהביןהמשוואהותנאיההתחלהכפישהיהבדוגמה הקודמת. כאן נוכל למצוא באופן מיידי פתרון טריוויאלי = 0.y(t) כמו כן נוכל לפתור את המשוואה בעזרת הפרדת משתנים: y y = 1 t [ln(y(t))] = 1 t ln(y(t)) = ln(t)+c y(t) = Ce ln(t) = Ct. כלומר כל פונקציה מהצורה y(t) = Ct היא פתרון של המשוואה (בידקו גם ישירות על ידי הצבה במשוואה) מאחר וכל הפונקציות הללו מקיימות = 0 (0)y, מצאנו כאן אינסוף פתרונות המקיימים את אותו תנאי התחלה! כלומר כאן קיים פתרון, אבל הוא אינו יחיד! שוב, אין כאן סתירה למשפט הקיום והיחידות מאחר והתנאים שלו אינם מתקיימים, כפי שראינו קודם. y = 3y 2 3 דוגמה 4.3 נתונה בעיית ההתחלה y(0) = 0 האם קיים פתרון לבעיה הזו? האם הוא יחיד? במקרה זה קל לנחש פתרון אחד: = 0.y(t) האם זה הפתרון היחיד? נראה שלא. המשוואה אוטונומית ונוכל לפתור אותה בעזרת הפרדת משתנים: dy dy = 3dt = 3dt y 2 3 y 2 3 3y 1 3 = 3t+C y(t) = (t+c) 3 ומתנאי ההתחלה נקבל = 0 C, לכן y(t) = t 3. 6

4 דיון על משפט הקיום והיחידות מצאנו אם כן שני פתרונות שונים למשוואה, ששניהם מקיימים את תנאי ההתחלה = 0 (0)y. כלומר אין יחידות! מדוע זה לא סותר את משפט הקיום והיחידות? במקרה זה,f(t,y) = 3y 2 3 ופונקציה זו מוגדרת ורציפה לכל,(t,y) לכן תנאים א,ב מתקיימים (אפשר לבחור מלבן כלשהו), אבל הנגזרת החלקית שלה לפי y אינה מוגדרת עבור = y 0, לכן תנאי ג של המשפט לעולם לא יתקיים במלבן סביב הנקודה (0,0) = ) 0 t). 0 y, דוגמהזומראהשאי אפשרלוותרעלהתנאיג אםהנגזרתהחלקיתלפי y לאמוגדרת ייתכן שלא תהיה יחידות! y = 3y 2 3 דוגמה 4.4 נתונה בעיית ההתחלה y(0) = 1 האם קיים פתרון לבעיה הזו? האם הוא יחיד? המשוואה היא אותה משוואה כמו בדוגמה הקודמת, אבל תנאי ההתחלה שונה. במקרה זה תנאי משפט הקיום והיחידות מתקיימים בסביבת הנקודה (0,1) = ) 0 t), 0 y, כי הפונקציה f(t,y) = 3y 2 3 מוגדרת ורציפה בכל המישור, והנגזרת החלקית = f(t,y) 1 3 2y מוגדרת ורציפה בחצי המישור > 0 y, ולכן נוכל לבנות מלבן סביב הנקודה (0,1) = ) 0 t) 0 y, שבו כל התנאים מתקיימים. לכן משפט הקיום והיחידות מבטיח לנו קיום של פתרון. במקרהזה אנחנו יכולים למצוא אתהפתרוןהזה במפורש. כבר פתרנו את המשוואה ומצאנו משפחת פתרונות ומתנאי ההתחלה נקבל y(t) = (t+c) 3 1 = y(0) = (0+C) 3 C = 1 y(t) = (t+3) 3 ומצאנו את הפתרון. במקרה זה אנו רואים שיש לבעיית ההתחלה פתרון שמוגדר (ומקיים את המשוואה הדיפרנציאלית) לכל t. עובדה זו אינה נובעת ממשפט הקיום והיחידות, שמבטיח רק פתרון בקטע כלשהו סביב = 0 0 t. y = 2ty 2, דוגמה 4.5 נתונה בעיית ההתחלה y(0) = y 0. עבור אילו ערכים של y 0 יש למשוואה פתרון? האם הוא יחיד? מה תחום ההגדרה של הפתרון? 7

4 דיון על משפט הקיום והיחידות הפונקציה המגדירה את המשוואה היא.f(t,y) = 2ty 2 פונקציה זו מוגדרת ורציפה בכל המישור, וגם הנגזרת החלקית f y (t,y) = 4ty מוגדרת ורציפה בכל המישור. לכן כל תנאי משפט הקיום והיחידות מתקיימים לכל תנאי התחלה, ולכן על פי המשפט, לכל בחירה של y 0 קיים פתרון יחיד בקטע כלשהו סביב 0, המקיים את תנאי ההתחלה. לגבי תחום ההגדרה של הפתרון, המשפט אינו מספק לנו מידע, מלבד העובדה שהוא מוגדר באיזשהו קטע סביב 0. במקרה זה מדובר במשוואה פרידה, ולכן נוכל לפתור אותה בעזרת הפרדת משתנים. dy dy y = 2tdt 2 y = 2tdt, 1 2 y = t2 +C y(t) = 1 t 2 +C. כמו כן יש פתרון נוסף שאינו במשפחה הנ"ל: = 0.y(t) בעזרת תנאי ההתחלה נקבל y 0 = y(0) = 1 C C = 1 y 0 y(t) = 1 t 2 1 y 0 = y 0 1 y 0 t 2. נבחין שבצורה האחרונה משפחת הפתרונות שקיבלנו כוללת גם את הפתרון = 0.y(t) נבחן את תחום ההגדרה של הפתרון. אם 0 0 y אז המכנה של הביטוי תמיד חיובי, ולכן הפתרון מוגדר לכל t. לעומת זאת אם > 0 0 y, אז המכנה יתאפס כאשר 1 ± = t, ולכן הפתרון לא יהיה מוגדר עבור ערכים אלה של t. הקטע הגדול ביותר y0 ( 1 1 y0, y0 המכיל את נקודת ההתחלה = 0 0 t שבו הפתרון מוגדר הוא לכן הקטע ) ולכןאומריםשקטעזההואתחוםההגדרהשלהפתרוןלבעייתההתחלה. נבחיןשכאשר t שואף לאחד מקצוות הקטע הזה, הפתרון "מתפוצץ", כלומר lim t ± 1 y0 y(t) = lim y 0 t ± 1 y0 1 y 0 t 2 = +. נבחין גם שתחום ההגדרה של הפתרון של בעיית ההתחלה תלוי בתנאי ההתחלה ככל ש y 0 גדול יותר, תחום ההגדרה קטן יותר. באיור 1 ציירנו את הגרפים של משפחת הפתרונות. הדוגמה הזו מראה מדוע אין לצפות שהפתרון לבעיית התחלה יהיה מוגדר לכל t, גם אם תנאי המשפט מתקיימים בכל נקודה במישור. באופן כללי אפשר להבטיח קיום לבעיית התחלה רק באופן מקומי, כלומר עבור איזשהו קטע סביב נקודת ההתחלה. דוגמה 4.6 נתונה בעיית ההתחלה y = t y, 8

4 דיון על משפט הקיום והיחידות איור :1 פתרונות המשוואה הדיפרנציאלית.y = 2ty 2 y(0) = y 0. עבור אילו ערכים של y 0 יש למשוואה פתרון? האם הוא יחיד? מה תחום ההגדרה של הפתרון? אם 0 0 y y אז הפונקציה f(t,y) = 2t מקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בסביבה של ) 0 y,0) ולכן קייםפתרון בקטע סביב 0. אם = 0 0 y אזתנאימשפטהקיום והיחידות אינם מתקיימים, כי הפונקציה f(t,y) = t אינה מוגדרת כאשר = 0 y. יש y להעיר שהעובדה שתנאי המשפט לא מתקיימים אינה אומרת שלא קיים פתרון: המשפט נותן תנאים מספיקים לכך שיהיה פתרון אם התנאים אינם מתקיימים ייתכן שיש פתרון וייתכן שאין. בדוגמה זו נוכל לפתור את המשוואה בעזרת הפרדת משתנים: yy = 2t [y 2 ] = 2t y 2 = t 2 +C y(t) = ± C t 2. הסימן + או ייקבע לפי תנאי ההתחלה. אז מתנאי ההתחלה נקבל y 0 = y(0) = ± C C = y 2 0 אם > 0 0 y נצטרך לקחת את הפתרון עם סימן ה + : y(t) = y0 2 t2 y(t) = y0 2 t 2 ואם < 0 0 y הפתרון יהיה 9

5 שימוש במשפט הקיום והיחידות לחקירה איכותית של פתרונות נבחין שהגרף של הפונקציות הללו הוא חצי מעגל ברדיוס 0 y סביב הראשית, ושתחום ההגדרה הוא הקטע ] 0 [ y 0,y שאלה 4.1 מה קורה כאשר = 0 0?y 5 שימוש במשפט הקיום והיחידות לחקירה איכותית של פתרונות לעיתים ניתן להיעזר במשפט הקיום והיחידות, או במשפט 3.2 הנובע ממנו, כדי לקבל מסקנות על התנהגות של פתרונות של משוואה דיפרנציאלית,גם אם איננו יכולים לפתור אותה במפורש. נדגים זאת. דוגמה 5.1 נתונה בעיית ההתחלה y = (y 1)e ty y(0) = 2. הוכיחו שקיים פתרון יחיד בקטע I סביב = 0 t, ושפתרון זה מקיים: א. y(t) > 1, t I. ב. y(t) פונקציה עולה בקטע I. הפונקציה f(t,y) = y) e(1 ty רציפה וגזירה לפי y בכל המישור, ולכן תנאי משפט הקיום והיחידות מתקיימים, ומובטח לנו קיום של פתרון y(t) בקטע I סביב = 0 t, ויחידותו. נבחיןשהפונקציההקבועה 1 = (t) y 1 היאפתרוןשלהמשוואההדיפרנציאלית. מעובדה זו נובע שהפתרון y(t) של בעיית ההתחלה שלנו לא יכול לקיים = 1 y(t) באף נקודה t,כיאםהיתהנקודה I t 1 I עבורה 1 = ) 1,y(t אזגם( y(t וגם( t ) y 1 היופתרונות של בעיית ההתחלה y = (y 1)e ty, y(t 1 ) = 1 בקטע,I ואז מהיחידות היה נובע ש = 1 (t) y(t) = y 1 לכל,t I אבל זו סתירה לעובדה ש = 2.y(0) 10

5 שימוש במשפט הקיום והיחידות לחקירה איכותית של פתרונות אפשר לנסח את הטיעון האחרון בצורה קצרה יותר: אם = 1 ) 1 y(t באיזושהי נקודה, אז הגרפים של y(t) ושל (t) y 1 נחתכים בנקודה (1, t), 1 וזה בלתי אפשרי על פי משפט.3.2 מהעובדה ש 1 y(t) לכל t נוכל להסיק בקלות ש > 1 y(t) לכל t: I אילו היה קיים t 1 כך ש < 1 ) 1 y(t אז, מאחר ו > 1 2 = y(0) ומאחר והפונקציה y(t) רציפה (פתרון של משוואה דיפרנציאלית הוא גזיר לכן וודאי רציף) היינו מסיקים ממשפט ערך הביניים שקיים t 2 בין 0 ל t 1 שעבורו = 1 ) 2 y(t אבל כבר הוכחנו שזה בלתי אפשרי. נוכיח עכשיו שהפתרון y(t) הוא פונקציה עולה. מאחר ואנו כבר יודעים ש > 1,y(t) הרי שלכל t I מתקיים y (t) = (y(t) 1)e ty(t) > 0 ולכן y(t) פונקציה עולה. שאלה 5.1 א. מה תוכלו להגיד על פתרון בעיית ההתחלה y = (y 1)e ty y(0) = 0. ב. בידקו את המסקנות על ידי סרטוט הפתרון בעזרת מחשב. 11