2ο Μάθημα Πιθανότητες

2ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 1 / 48

Άδειες Χρη σης Το παρο ν εκπαιδευτικο υλικο υπο κειται σε α δειες χρη σης Creative Commons. Για εκπαιδευτικο υλικο, ο πως εικο νες, που υπο κειται σε α λλου τυ που α δεια χρη σης, η α δεια χρη σης αναφε ρεται ρητω ς. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 2 / 48

Χρηματοδο τηση Το παρο ν εκπαιδευτικο υλικο ε χει αναπτυχθει στα πλαι σια του εκπαιδευτικου ε ργου του διδα σκοντα. Το ε ργο Ανοικτα Ακαδημαι κα Μαθη ματα για το Πανεπιστη μιο Πατρω ν ε χει χρηματοδοτη σει μο νο την αναδιαμο ρφωση του εκπαιδευτικου υλικου. Το ε ργο υλοποιει ται στα πλαι σια του επιχειρισιακου προγρα μματος Εκπαι δευση και Δια Βι ου Μα θηση και συγχρηματοδοτει ται απο την Ευρωπαι κη Ένωση (Ευρωπαι κο Κοινοτικο Ταμειο) και απο εθνικου ς πο ρους. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 3 / 48

Περιεχο μενα 2ης Δια λεξης 1 Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος 2 Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Κανο νας Γινομε νου Κανο νας Αθροι σματος Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου 3 Διατα ξεις - Συνδυασμοι 4 Παραδει γματα 5 Διωνυμικοι Συντελεστε ς 6 Παραδει γματα υπολογισμου πιθανοτη των Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 4 / 48

1 Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος 2 Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Κανο νας Γινομε νου Κανο νας Αθροι σματος Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου 3 Διατα ξεις - Συνδυασμοι 4 Παραδει γματα 5 Διωνυμικοι Συντελεστε ς 6 Παραδει γματα υπολογισμου πιθανοτη των Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 5 / 48

Συ νοψη προηγου μενου μαθη ματος Δειγματοχώρος Ω: συ νολο ο λων των αποτελεσμα των ενο ς πειρα ματος τυ χης. Ει δη δειγματοχω ρων: διακριτοι πεπερασμε νοι αριθμη σιμα α πειροι συνεχει ς Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 6 / 48

Συ νοψη Προηγου μενου Μαθη ματος Γεγονός: υποσυ νολο του δειγματοχω ρου, συ νολο αποτελεσμα των ενο ς πειρα ματος τυ χης. Πραγματοποίηση γεγονότος: ο ταν το πει ραμα οδηγει σε αποτε λεσμα (απλο γεγονο ς) που περιε χεται στο γεγονο ς. ΓΕΓΟΝΟΤΑ ΣΥΝΟΛΑ Γνωστε ς πρα ξεις συνο λων: Συμπλη ρωμα : δε συμβαι νει το γεγονο ς Α Τομη : Ένωση : και τα δυ ο γεγονο τα συμβαι νουν τουλα χιστον ε να γεγονο ς συμβαι νει Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 7 / 48

Συ νοψη Προηγου μενου Μαθη ματος Ορισμο ς Πιθανο τητα = συνολοσυνα ρτηση: υποσυ νολα του Ω πραγματικου ς αριθμου ς, δηλαδη γεγονο τα πιθανο τητες Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 8 / 48

Συ νοψη Προηγου μενου Μαθη ματος Ορισμο ς Πιθανο τητα = συνολοσυνα ρτηση: υποσυ νολα του Ω πραγματικου ς αριθμου ς, δηλαδη γεγονο τα πιθανο τητες Αξιω ματα 1 Αξίωμα : P(A) 0 2 Αξίωμα : P(Ω)= 1 3 Αξίωμα : Α Β = P(Α Β) = P(A) + P(B) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 8 / 48

Συ νοψη Προηγου μενου Μαθη ματος Ορισμο ς Πιθανο τητα = συνολοσυνα ρτηση: υποσυ νολα του Ω πραγματικου ς αριθμου ς, δηλαδη γεγονο τα πιθανο τητες Αξιω ματα 1 Αξίωμα : P(A) 0 2 Αξίωμα : P(Ω)= 1 3 Αξίωμα : Α Β = P(Α Β) = P(A) + P(B) Σημαντικο Θεω ρημα P( i A i ) i P{A i } (ανισο τητα Boole) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 8 / 48

2ο Μα θημα Πιθανο τητες Πιθανο τητα και Απαρι θμηση (σημει ωση: οι με θοδοι απαρι θμησης διδα σκονται αναλυτικα στο μα θημα Διακριτα Μαθηματικα Ι, εδω γι νεται συνοπτικη υπενθυ μιση βασικω ν εννοιω ν και χρη ση κατα τον υπολογισμο πιθανοτη των) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 9 / 48

1. Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Έστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπι θανα = k : {ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 11 / 48

1. Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Έστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπι θανα = k : {ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Ρ{ i } = 1 n, i Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 11 / 48

1. Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση Έστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπι θανα = k : {ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Ρ{ i } = 1 n, i P{A} = i k i=i 1 Ρ{ ω i } = k 1 n = k n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 11 / 48

2. Αξιωματικο ς ορισμο ς και απαρι θμηση σε ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ αρκου ν τα n (ο λες οι περιπτω σεις), k (ευνοι κε ς περιπτω σεις) ολο κληρος κλα δος διακριτω ν μαθηματικω ν: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ στο μα θημα: 3 βασικε ς αρχε ς απαρι θμησης: multiplication principle (κανο νας γινομε νου) addition principle (κανο νας αθροι σματος) inclusion-exclusion principle (αρχη εγκλεισμου -αποκλεισμου ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 12 / 48

2. α. Κανο νας Γινομε νου Γεγονο ς Α: με m τρο πους Γεγονο ς Β: με n τρο πους } και τα δυ ο (τομη Α Β): με m n τρο πους Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 13 / 48

2. β. Κανο νας Αθροι σματος Γεγονο ς Α: με m τρο πους Γεγονο ς Β: με n τρο πους } κα ποιο (ε νωση Α Β): με m+n τρο πους Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 14 / 48

Συ νθετο Παρα δειγμα Vandermonde s convolution: ( )( ) m l k n k Απο δειξη (συνδυαστικη ): k m + l α νθρωποι Διαλε γω n ανθρω πους ( ) m + l = n m α νδρες l γυναι κες Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 15 / 48

Συ νθετο Παρα δειγμα Vandermonde s convolution: ( )( ) m l k n k k ( ) m + l = n Απο δειξη (συνδυαστικη ): m α νδρες m + l α νθρωποι l γυναι κες ( ) m + l Διαλε γω n ανθρω πους τρο ποι n (0 α νδρες n γυναι κες) (1 α νδρες (n-1) γυναι κες)... Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 15 / 48

Συ νθετο Παρα δειγμα Vandermonde s convolution: ( )( ) m l k n k k ( ) m + l = n Απο δειξη (συνδυαστικη ): m α νδρες m + l α νθρωποι l γυναι κες ( ) m + l Διαλε γω n ανθρω πους τρο ποι n (0 α νδρες n γυναι κες) (1 α νδρες (n-1) γυναι κες)... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m l m l m l + + +... 0 n 1 n 1 2 n 2 = ( )( ) m l k n k k Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 15 / 48

2. γ. Αρχη Εγκλεισμου - Αποκλεισμου #(A 1... A n ) = #(A 1 ) + #(A 2 ) +... + #(A n ) #(A 1 A 2 )... #(A n 1 A n ) +... +( 1) n 1 #(A 1 A 2 A n ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 16 / 48

3. Διατα ξεις - Συνδυασμοι Με βα ση τις αρχε ς απαρι θμησης μπορου με να υπολογι ζουμε διατα ξεις - συνδυασμου ς. Απο n αντικει μενα παι ρνω k. Δια φορα κριτη ρια: Με ενδιαφε ρει η σειρα δια ταξη (arrangement) Δεν με ενδιαφε ρει η σειρα συνδυασμο ς (combination) διακεκριμε να αντικει μενα ο χι διακεκριμε να Χωρι ς επαναλη ψεις Με επαναλη ψεις Χρη σιμος συμβολισμο ς: n k = n(n 1)...(n k + 1) = ο που n k ει ναι η κ-οστη παραγοντικη ροπη. n! (n k)! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 18 / 48

3. α. Διατα ξεις Χωρι ς επανα ληψη n k Απο δειξη: Με επανα ληψη n k 1ο n 2ο n - 1.. k- οστο n - k + 1 Όλων (μεταθε σεις, permutations) n! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 19 / 48

3. α. Διατα ξεις x 1 ο μοια, x k ο μοια x 1 +... + x k = n n! διατα ξεις ο λων x 1!...x k! Απο δειξη: Έστω y ο αριθμο ς των διατα ξεων Αν τα x 1 ο μοια διαταχθου ν ως διακεκριμε να y x 1! κ.ο.κ. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 20 / 48

3. α. Διατα ξεις x 1 ο μοια, x k ο μοια x 1 +... + x k = n n! διατα ξεις ο λων x 1!...x k! Απο δειξη: Έστω y ο αριθμο ς των διατα ξεων Αν τα x 1 ο μοια διαταχθου ν ως διακεκριμε να y x 1! κ.ο.κ. yx 1!...x k! = n! y = n! x 1!...x k! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 20 / 48

3. β. Διαταρα ξεις Διαταράξεις: κανε να στην αρχικη θε ση της δια ταξης. # = #ο λες - #(1ο στην ι δια θε ση... n -οστο στην ι δια θε ση) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 21 / 48

3. β. Διαταρα ξεις Διαταράξεις: κανε να στην αρχικη θε ση της δια ταξης. # = #ο λες - #(1ο στην( ι δια ) θε ση... n -οστο στην( ι δια ) θε ση) n n = n! n (n 1)! + (n 2)! +... + ( 1) n (n n)! 2 n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 21 / 48

3. β. Διαταρα ξεις Διαταράξεις: κανε να στην αρχικη θε ση της δια ταξης. # = #ο λες - #(1ο στην( ι δια ) θε ση... n -οστο στην( ι δια ) θε ση) n n = n! n (n 1)! + (n 2)! +... + ( 1) n (n n)! [ 2 n = n! 1 1 1! + 1 2!... + ( 1)n 1 ] n! e 1 n! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 21 / 48

3. γ. Συνδυασμοι Συνδυασμοί (χωρι ς επανα ληψη) ( ) n = nk k k! = n! k!(n k)! ( ) n + k 1 με επανα ληψη k Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 48

4.1. Παρα δειγμα 1 Παρα δειγμα 1 Τυχαι α χωρι ς επανα θεση διαλε γουμε 5 αριθμου ς απο το {1, 2,..., 20}. Ποια η πιθανο τητα α) ο μικρο τερος να ει ναι ο 6 και ο μεγαλυ τερος το 13, β) ο τρι τος κατα σειρα μεγε θους να ει ναι ο 9. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 48

4.1. Παρα δειγμα 1 Παρα δειγμα 1 Τυχαι α χωρι ς επανα θεση διαλε γουμε 5 αριθμου ς απο το {1, 2,..., 20}. Ποια η πιθανο τητα α) ο μικρο τερος να ει ναι ο 6 και ο μεγαλυ τερος το 13, β) ο τρι τος κατα σειρα μεγε θους να ει ναι ο 9. Λυ ση: #ο λοι οι τρο ποι επιλογη ς 5 αριθμω ν = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 48

4.1. Παρα δειγμα 1 Παρα δειγμα 1 Τυχαι α χωρι ς επανα θεση διαλε γουμε 5 αριθμου ς απο το {1, 2,..., 20}. Ποια η πιθανο τητα α) ο μικρο τερος να ει ναι ο 6 και ο μεγαλυ τερος το 13, β) ο τρι τος κατα σειρα μεγε θους να ει ναι ο 9. ( ) 20 Λυ ση: #ο λοι οι τρο ποι επιλογη ς 5 αριθμω ν = 5 α) ευνοι κοι Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 48

4.1. Παρα δειγμα 1 Παρα δειγμα 1 Τυχαι α χωρι ς επανα θεση διαλε γουμε 5 αριθμου ς απο το {1, 2,..., 20}. Ποια η πιθανο τητα α) ο μικρο τερος να ει ναι ο 6 και ο μεγαλυ τερος το 13, β) ο τρι τος κατα σειρα μεγε θους να ει ναι ο 9. ( ) 20 Λυ ση: #ο λοι οι τρο ποι επιλογη ς 5 αριθμω ν = 5 α) ευνοι κοι 6... 13 # ευνοι κοι : Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 48

4.1. Παρα δειγμα 1 Παρα δειγμα 1 Τυχαι α χωρι ς επανα θεση διαλε γουμε 5 αριθμου ς απο το {1, 2,..., 20}. Ποια η πιθανο τητα α) ο μικρο τερος να ει ναι ο 6 και ο μεγαλυ τερος το 13, β) ο τρι τος κατα σειρα μεγε θους να ει ναι ο 9. ( ) 20 Λυ ση: #ο λοι οι τρο ποι επιλογη ς 5 αριθμω ν = 5 α) ευνοι κοι 6... 13 ( ) 6 # ευνοι κοι : 1 1 3 ( 6 3) P = ( 20 ) 5 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 48

4.1. Παρα δειγμα 1 Συνε χεια β) ευνοι κοι α 1..α 2...9...α 4..α 5. Με α 3 = 9, ο τρι τος αριθμο ς κατα σειρα μεγε θους ει ναι ο 9 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 48

4.1. Παρα δειγμα 1 Συνε χεια β) ευνοι κοι α 1..α 2...9...α 4..α 5. Με α 3 = 9, ο τρι τος αριθμο ς κατα σειρα μεγε θους ει ναι ο 9 ( ) ( ) 8 11 1 2 2 P = ( 8 ) ( 2 11 ) 2 ( 20 ) 5 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 48

4.2. Παρα δειγμα 2 Παρα δειγμα 2 Ποια η πιθανο τητα απο 9 α τομα, 2 να γεννη θηκαν Δευτε ρα και 3 Τετα ρτη; Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 48

4.2. Παρα δειγμα 2 Παρα δειγμα 2 Ποια η πιθανο τητα απο 9 α τομα, 2 να γεννη θηκαν Δευτε ρα και 3 Τετα ρτη; Λυση : # ο λοι οι πιθανοι τρο ποι = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 48

4.2. Παρα δειγμα 2 Παρα δειγμα 2 Ποια η πιθανο τητα απο 9 α τομα, 2 να γεννη θηκαν Δευτε ρα και 3 Τετα ρτη; Λυση : # ο λοι οι πιθανοι τρο ποι = 7 9 ευνοι κοι : (ποια 2 γενν. Δ.) (ποια 3 γενν. Τ.) (υπο λοιπα) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 48

4.2. Παρα δειγμα 2 Παρα δειγμα 2 Ποια η πιθανο τητα απο 9 α τομα, 2 να γεννη θηκαν Δευτε ρα και 3 Τετα ρτη; Λυση : # ο λοι οι πιθανοι τρο ποι = 7 9 ευνοι κοι : (ποια 2 γενν. Δ.) (ποια 3 γενν. Τ.) (υπο λοιπα) P() = ( 9 ) ( 2 7 ) 3 5 4 7 9 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 48

4.3. Παρα δειγμα 3 Παρα δειγμα 3 Τοποθετου με τυχαι α στη σειρα τα α, α, α, α, β, β. Ποια η πιθανο τητα να ε χουμε 2 εναλλαγε ς; Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 48

4.3. Παρα δειγμα 3 Παρα δειγμα 3 Τοποθετου με τυχαι α στη σειρα τα α, α, α, α, β, β. Ποια η πιθανο τητα να ε χουμε 2 εναλλαγε ς; Λυ ση: # ο λοι = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 48

4.3. Παρα δειγμα 3 Παρα δειγμα 3 Τοποθετου με τυχαι α στη σειρα τα α, α, α, α, β, β. Ποια η πιθανο τητα να ε χουμε 2 εναλλαγε ς; Λυ ση: # ο λοι = 6! 4! 2! ευνοι κοι : Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 48

4.3. Παρα δειγμα 3 Παρα δειγμα 3 Τοποθετου με τυχαι α στη σειρα τα α, α, α, α, β, β. Ποια η πιθανο τητα να ε χουμε 2 εναλλαγε ς; Λυ ση: # ο λοι = 6! 4! 2! ευνοι κοι : 1 Τα β πρε πει να ει ναι συνεχο μενα στη με ση δηλ. (αββααα η ααββαα η αααββα) ει τε Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 48

4.3. Παρα δειγμα 3 Παρα δειγμα 3 Τοποθετου με τυχαι α στη σειρα τα α, α, α, α, β, β. Ποια η πιθανο τητα να ε χουμε 2 εναλλαγε ς; Λυ ση: # ο λοι = 6! 4! 2! ευνοι κοι : 1 Τα β πρε πει να ει ναι συνεχο μενα στη με ση δηλ. (αββααα η ααββαα η αααββα) ει τε 2 Τα β ει ναι στα α κρα δηλ. (βααααβ) P = 4 6! 4! 2! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 48

4.4. Παρα δειγμα 4 Παρα δειγμα 4 Αφηρημε νη γραμματε ας (Τοποθετει n γρα μματα σε n φακε λους. Κανε να γρα μμα στο σωστο φα κελο) Ρ{κανε να σωστο } = D n n! = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 48

4.4. Παρα δειγμα 4 Παρα δειγμα 4 Αφηρημε νη γραμματε ας (Τοποθετει n γρα μματα σε n φακε λους. Κανε να γρα μμα στο σωστο φα κελο) Ρ{κανε να σωστο } = D n n! = n! e 1 n! = 1 e Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 48

5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς (x + y) n = ( ) n x k y n k k k Συνδυαστικη απο δειξη Όνομα Βασικές ταυτότητες: ( ) ( ) ( ) n n n α) + +... + = 2 n 0 1 n k ( ) n = 2 n k Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 48

5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς (x + y) n = ( ) n x k y n k k k Συνδυαστικη απο δειξη Όνομα Βασικές ταυτότητες: ( ) ( ) ( ) n n n α) + +... + = 2 n 0 1 n k ( ) n = 2 n k (1 + 1) n Αριθμο ς υποσυνο λων ενο ς συνο λου Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 48

5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς (x + y) n = ( ) n x k y n k k k Συνδυαστικη απο δειξη Όνομα Βασικές ταυτότητες: ( ) ( ) ( ) n n n α) + +... + = 2 n 0 1 n k ( ) n = 2 n k (1 + 1) n Αριθμο ς υποσυνο λων ενο ς συνο λου Αριθμο ς στοιχει ων 1ο με λος Κα θε στοιχει ο: μπαι νει η ο χι Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 48

5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς β) Ο αριθμο ς των υποσυνο λων ενο ς συνο λου με α ρτιο πληθικο αριθμο ισου ται με τον αριθμο των υποσυνο λων με περιττο. ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n Δηλαδη + +... = + +... 0 2 1 3 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 48

5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς β) Ο αριθμο ς των υποσυνο λων ενο ς συνο λου με α ρτιο πληθικο αριθμο ισου ται με τον αριθμο των υποσυνο λων με περιττο. ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n Δηλαδη + +... = + +... 0 2 1 3 ( ) n 0 ( ) n + 1 ( ) ( ) n n... + ( 1) n = 0 2 n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 48

5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς β) Ο αριθμο ς των υποσυνο λων ενο ς συνο λου με α ρτιο πληθικο αριθμο ισου ται με τον αριθμο των υποσυνο λων με περιττο. ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n Δηλαδη + +... = + +... 0 2 1 3 ( ) n 0 ( ) n + 1 ( ) ( ) n n... + ( 1) n = 0 2 n ( 1 + 1) n = 0 που ισχυ ει. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 48

5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς γ) Προσε γγιση Stirling: n! ( n ) n n! 2πn δηλαδη lim ( e n 2πn n ) n = 1 e Όταν το n Το απο λυτο σφα λμα Το σχετικο σφα λμα 0 Καλη προσε γγιση ακο μα και για μικρα n π.χ. n = 5 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 48

5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς δ) Να δει ξετε ο τι ( ) n 2 + 0 ( ) n 2 + 0 ( ) n 2 +... + 1 ( ) n 2 +... + 1 ( ) n 2 = n ( ) n 2 = n ( ) 2n n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 33 / 48

5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς δ) Να δει ξετε ο τι ( ) n 2 + 0 ( ) n 2 + 0 ( ) n 2 +... + 1 ( ) n 0 ( ) n + n ( ) n 2 +... + 1 ( ) n 2 = n ( ) ( ) n n +... + 1 n 1 ( ) n 2 = n ( ) n n ( ) 2n n ( ) n = 0 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 33 / 48

5. Διωνυμικοι Συντελεστε ς δ) Να δει ξετε ο τι ( ) n 2 + 0 ( ) n 2 + 0 ( ) n 2 +... + 1 ( ) n 0 ( ) n + n ( ) n 2 +... + 1 ( ) n 2 = n ( ) ( ) n n +... + 1 n 1 ( ) n 2 = n ( ) n n ( ) 2n n ( ) n = 0 = k ( ) ( ) n n = k n k ( ) 2n n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 33 / 48

Παρα δειγμα 1 Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 35 / 48

Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: Βα ζω τις ελαττωματικε ς: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 36 / 48

Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: Βα ζω τις ελαττωματικε ς: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμι ζω τις θε σεις ανα μεσα τους με μι α λειτουργικη : Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 36 / 48

Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: Βα ζω τις ελαττωματικε ς: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμι ζω τις θε σεις ανα μεσα τους με μι α λειτουργικη : Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Με νουν n - m - ( m - 1) = n - 2m + 1 Λ Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 36 / 48

Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: Βα ζω τις ελαττωματικε ς: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμι ζω τις θε σεις ανα μεσα τους με μι α λειτουργικη : Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Με νουν n - m - ( m - 1) = n - 2m + 1 Λ Αυτε ς μπαι νουν σε m + 1 θε σεις, με επανα ληψη Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 36 / 48

Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος (Συνε χεια) Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: (Συνε χεια) Αυτο ισοδυναμει με επιλογη απο x = m + 1 διακριτα αντικει μενα y = n - 2m - 1 αντικειμε νων με επανα ληψη Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 48

Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος (Συνε χεια) Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: (Συνε χεια) Αυτο ισοδυναμει με επιλογη απο x = m + 1 διακριτα αντικει μενα y = ( n - 2m - 1 αντικειμε νων ) με επανα ληψη x + y 1 = y Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 48

Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος (Συνε χεια) Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: (Συνε χεια) Αυτο ισοδυναμει με επιλογη απο x = m + 1 διακριτα αντικει μενα y = ( n - 2m - 1 αντικειμε νων ) ( με επανα ληψη ) x + y 1 m + 1 + n 2m + 1 1 = = y n 2m + 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 48

Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος (Συνε χεια) Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: (Συνε χεια) Αυτο ισοδυναμει με επιλογη απο x = m + 1 διακριτα αντικει μενα y = ( n - 2m - 1 αντικειμε νων ) ( με επανα ληψη ) x + y 1 m + 1 + n 2m + 1 1 = = ( y ) ( n 2m ) + 1 n m + 1 n m + 1 = = n 2m + 1 m Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 48

Παρα δειγμα 1 - Α Τρο πος (Συνε χεια) Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Α τρο πος: (Συνε χεια) Αυτο ισοδυναμει με επιλογη απο x = m + 1 διακριτα αντικει μενα y = ( n - 2m - 1 αντικειμε νων ) ( με επανα ληψη ) x + y 1 m + 1 + n 2m + 1 1 = = ( y ) ( n 2m ) + 1 n m + 1 n m + 1 = = n 2m + 1 m ) Pr { ο χι 2 Ε συνεχο μενα} = ( n m+1 m n! m!(n m)! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 48

Παρα δειγμα 1 - Β Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Β τρο πος: Βα ζω τις Λειτουργικε ς: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 38 / 48

Παρα δειγμα 1 - Β Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Β τρο πος: Βα ζω τις Λειτουργικε ς: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρε πει σε κα θε μι α απο τις n - m + 1 θε σεις που ορι ζουν να μπει 1 το πολυ ελαττωματικη. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 38 / 48

Παρα δειγμα 1 - Β Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Β τρο πος: Βα ζω τις Λειτουργικε ς: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρε πει σε κα θε μι α απο τις n - m + 1 θε σεις που ορι ζουν να μπει 1 το πολυ ελαττωματικη. Επιλογη m απο n - m + 1 διακεκριμε νων αντικειμε νων. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 38 / 48

Παρα δειγμα 1 - Β Τρο πος Βα ζω με τυχαι ο τρο πο σε σειρα n κεραι ες κινητη ς τηλεφωνι ας εκ των οποι ων m ει ναι ελαττωματικε ς και n - m λειτουργου ν. Θεωρω ο τι ο λες οι ελαττωματικε ς και ο λες οι λειτουργικε ς ει ναι μη διακεκριμε νες. Ποια η πιθανο τητα να μην υπα ρχουν 2 διαδοχικε ς ελαττωματικε ς? Β τρο πος: Βα ζω τις Λειτουργικε ς: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρε πει σε κα θε μι α απο τις n - m + 1 θε σεις που ορι ζουν να μπει 1 το πολυ ελαττωματικη. Επιλογη m απο n - m + 1 διακεκριμε νων αντικειμε νων. ( ) n m + 1 m Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 38 / 48

Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48

Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48

Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48

Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48

Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48

Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Pr = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48

Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48

Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρο πος: Pr { 14ο φυ λλο = 1 14ο φυ λλο = 2... } = 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48

Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρο πος: Pr { 14ο φυ λλο = 1 14ο φυ λλο = 2... } = 1 Λο γω συμμετρι ας Pr { 14ο φυ λλο = 1 } = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48

Παρα δειγμα 2 Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: α) Το 14ο φυ λλο 4 τρο ποι Τα υπο λοιπα 51 51! τρο ποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρο πος: Pr { 14ο φυ λλο = 1 14ο φυ λλο = 2... } = 1 Λο γω συμμετρι ας Pr { 14ο φυ λλο = 1 } = 1 13 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 48

Παρα δειγμα 2 - Συνε χεια Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 48

Παρα δειγμα 2 - Συνε χεια Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: β) 1 2... 13 14 15... 52 (Θε σεις) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 48

Παρα δειγμα 2 - Συνε χεια Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: β) 1 2... 13 14 15... 52 (Θε σεις) 48 47... 36 4 38... 1 (Τρο ποι) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 48

Παρα δειγμα 2 - Συνε χεια Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: β) 1 2... 13 14 15... 52 (Θε σεις) 48 47... 36 4 38... 1 (Τρο ποι) Pr = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 48

Παρα δειγμα 2 - Συνε χεια Μοιρα ζουμε μι α καλα ανακατεμε νη τρα πουλα 52 φυ λλων (13 σειρε ς των 4 φυ λλων). α) Ποια η πιθανο τητα το 14ο φυ λλο να ει ναι α σος? β) Ποια η πιθανο τητα ο πρω τος α σος να ει ναι στο 14ο φυ λλο? Λυ ση: β) 1 2... 13 14 15... 52 (Θε σεις) 48 47... 36 4 38... 1 (Τρο ποι) Pr = 48 47... 36 4 38... 1 52! Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 48

Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48

Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48

Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν Pr = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48

Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = 4 11 3 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48

Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = 4 11 3 B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48

Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = 4 11 3 B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη # ο λοι : 11 10 9 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48

Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = 4 11 3 B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη # ο λοι : 11 10 9 # ευνοι κοι : Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48

Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = 4 11 3 B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη # ο λοι : 11 10 9 Λ Μ Μ : 6 5 4 # ευνοι κοι : Μ Λ Μ : 5 6 4 Μ Μ Λ : 5 4 6 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48

Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = 4 11 3 B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη # ο λοι : 11 10 9 Λ Μ Μ : 6 5 4 # ευνοι κοι : Μ Λ Μ : 5 6 4 Μ Μ Λ : 5 4 6 Pr = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48

Παρα δειγμα 3 Τραβα με τυχαι α 3 μπα λες απο δοχει ο με 6 α σπρες και 5 μαυ ρες. Ποια η πιθανο τητα 1 μπα λα να ει ναι α σπρη και 2 μαυ ρες? Α τρο πος: Αγνοου με την δια ταξη των εξαγο μενων σφαιρω ν ( 6 )( 5 1 Pr = ( 2) 11 ) = 4 11 3 B τρο πος: Θεωρου με οτι ε χει σημασι α η δια ταξη # ο λοι : 11 10 9 Λ Μ Μ : 6 5 4 # ευνοι κοι : Μ Λ Μ : 5 6 4 Μ Μ Λ : 5 4 6 Pr = 3 5 6 4 11 10 9 = 4 11 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 48

Παρα δειγμα 4 Απο δοχει ο που περιε χει n μπα λες εκ των οποι ων μο νο μι α ει ναι κο κκινη τραβα με τυχαι α k μπα λες, τη μι α μετα την α λλη. Ποια η πιθανο τητα να επιλε ξουμε την κο κκινη? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 48

Παρα δειγμα 4 Απο δοχει ο που περιε χει n μπα λες εκ των οποι ων μο νο μι α ει ναι κο κκινη τραβα με τυχαι α k μπα λες, τη μι α μετα την α λλη. Ποια η πιθανο τητα να επιλε ξουμε την κο κκινη? Α τρο πος: Pr = 1 (n 1 ) k 1 ) = k n ( n k Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 48

Παρα δειγμα 4 Απο δοχει ο που περιε χει n μπα λες εκ των οποι ων μο νο μι α ει ναι κο κκινη τραβα με τυχαι α k μπα λες, τη μι α μετα την α λλη. Ποια η πιθανο τητα να επιλε ξουμε την κο κκινη? Α τρο πος: Pr = 1 (n 1 ) k 1 ) = k n ( n k B τρο πος: Έστω A i = η i οστη απο τις k ει ναι κο κκινη Θε λουμε την Pr { k i=1 A i} η οποι α ει ναι k i=1 Pr{A i} Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 48

Παρα δειγμα 4 Απο δοχει ο που περιε χει n μπα λες εκ των οποι ων μο νο μι α ει ναι κο κκινη τραβα με τυχαι α k μπα λες, τη μι α μετα την α λλη. Ποια η πιθανο τητα να επιλε ξουμε την κο κκινη? Α τρο πος: Pr = 1 (n 1 ) k 1 ) = k n ( n k B τρο πος: Έστω A i = η i οστη απο τις k ει ναι κο κκινη Θε λουμε την Pr { k i=1 A i} η οποι α ει ναι k i=1 Pr{A i} (n 1)(n 2)...(n i + 1) Pr{A i } = = 1 k n(n 1)...(n i + 1) n Pr{ A i } = k n i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 48

Παρα δειγμα 4 Απο δοχει ο που περιε χει n μπα λες εκ των οποι ων μο νο μι α ει ναι κο κκινη τραβα με τυχαι α k μπα λες, τη μι α μετα την α λλη. Ποια η πιθανο τητα να επιλε ξουμε την κο κκινη? Α τρο πος: Pr = 1 (n 1 ) k 1 ) = k n ( n k B τρο πος: Έστω A i = η i οστη απο τις k ει ναι κο κκινη Θε λουμε την Pr { k i=1 A i} η οποι α ει ναι k i=1 Pr{A i} (n 1)(n 2)...(n i + 1) Pr{A i } = = 1 k n(n 1)...(n i + 1) n Pr{ A i } = k n Άλλος τρο πος: Λο γω συμμετρι ας ει ναι: 1 = Pr { n i=1 A i} = n i=1 Pr{A i} = n Pr{A i } Pr{A i } = 1 n Άρα για τις k που τρα βηξα: Pr { k i=1 A i} = k n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 48 i=1

Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων και μαυ ρων. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48

Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων και μαυ ρων. Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48

Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων και μαυ ρων. Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις = ( 2n 2 ) + ( 2n 4 ) +... + ( ) 2n = 2n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48

Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων( και) μαυ ( ρων. ) ( ) 2n 2n 2n Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις = + +... + = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n + +... + 1 = # α ρτιων υποσυνο λων - 1 = 0 2 2n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48

Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων( και) μαυ ( ρων. ) ( ) 2n 2n 2n Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις = + +... + = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n + +... + 1 = # α ρτιων υποσυνο λων - 1 = 0 2 2n = πλη θος υποσυνο λων 2-1 = 22n 2-1 = 22n 1-1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48

Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων( και) μαυ ( ρων. ) ( ) 2n 2n 2n Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις = + +... + = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n + +... + 1 = # α ρτιων υποσυνο λων - 1 = 0 2 2n = πλη θος υποσυνο λων 2-1 = 22n ) ) ευνοι κε ς: ( n 1 ( n 1 + 2-1 = 22n 1-1 ( ) ( ) n n +... + 2 2 ( ) n n ( ) n = n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48

Παρα δειγμα 5 Μι α κα λπη περιε χει n α σπρα και n μαυ ρα σφαρι δια. Τραβα με τυχαι α, α ρτιο πλη θος σφαιριδι ων. Γεγονο ς Α = ι σος αριθμο ς α σπρων( και) μαυ ( ρων. ) ( ) 2n 2n 2n Απο δειξη: Όλες οι περιπτω σεις = + +... + = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n + +... + 1 = # α ρτιων υποσυνο λων - 1 = 0 2 2n πλη θος υποσυνο λων = 2-1 = 22n 2-1 = 22n 1-1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n ευνοι κε ς: + +... + = k ( n k 1 ) ( n n k 1 ) 2 ) ( n 0 2 ) = ( n 0 ( 2n n ( ) ( ) n n = n n ) 1 (Vandermonde) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 48

Παρα δειγμα 5 - Συνε χεια Αλλα ( ) 2n n P(A) = ( 2n ) n 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 44 / 48

Παρα δειγμα 5 - Συνε χεια P(A) = ( 2n ) n 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 Αλλα ( ) 2n = (2n)! n (n)! (n)! ( 2π2n 2n ) 2n e ( ( 2πn n ) n ) 2 = 22n πn e P(A) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 44 / 48

Παρα δειγμα 5 - Συνε χεια P(A) = ( 2n ) n 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 Αλλα ( ) 2n = (2n)! n (n)! (n)! ( 2π2n 2n ) 2n e ( ( 2πn n ) n ) 2 = 22n πn e P(A) 2 2n πn 2 2n 1 = 2 πn Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 44 / 48

Παρα δειγμα 6 n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 45 / 48

Παρα δειγμα 6 n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Απο δειξη: Όλοι οι τρο ποι ει ναι n n Ευνοι κοι τρο ποι: α) ποιο κελι α δειο: n τρο ποι n μπα λες σε n - 1 κελια ω στε κανε να κελι α δειο β1) 1 κελι με 2 μπα λες β2) ο λα τα α λλα κελια ε χουν μι α μπα λα β1) Ποιο κελι ε χει 2 μπα λες : n - 1 τρο ποι Ποιε ς 2 συγκεκριμε νες μπα λες : ( ) n τρο ποι 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 45 / 48

Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια β2) Όλα τα α λλα κελια ε χουν απο μι α μπα λα n - 2 μπα λες σε n - 2 κελια 1η μπα λα: n - 2 τρο ποι 2η μπα λα: n - 3 τρο ποι... n - 2 μπα λα: 1 τρο πος (n - 2)! τρο ποι Απο α), β1) και β2) Pr { ακριβω ς ε να κελι α δειο} = P = ( n ) 2 n! = n n n (n 1) (n 2) (n 2)! n n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 46 / 48

Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48

Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : ( ) n τρο ποι 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48

Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Αφη νω ε να κελι α δειο. ( ) n τρο ποι 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48

Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Αφη νω ε να κελι α δειο. ( ) n τρο ποι 2 Βα ζω 1 μπα λα σε κα θε ε να απο τα n-2 υπο λοιπα κελια. Διατα σσω αυτα τα n κελια. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48

Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Αφη νω ε να κελι α δειο. ( ) n τρο ποι 2 Βα ζω 1 μπα λα σε κα θε ε να απο τα n-2 υπο λοιπα κελια. Διατα σσω αυτα τα n κελια. n! τρο ποι Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48

Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Αφη νω ε να κελι α δειο. ( ) n τρο ποι 2 Βα ζω 1 μπα λα σε κα θε ε να απο τα n-2 υπο λοιπα κελια. Διατα σσω αυτα τα n κελια. n! τρο ποι Άρα Pr { ακριβω ς ε να κελι α δειο} = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48

Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια(2) n διακριτε ς μπα λες τοποθετου νται τυχαι α σε n διακριτα κελια. Ποια η πιθανο τητα ακριβω ς ε να κελι να ει ναι α δειο? Άλλος τρο πος: Βα ζω 2 μπα λες σε ε να κελι : Αφη νω ε να κελι α δειο. ( ) n τρο ποι 2 Βα ζω 1 μπα λα σε κα θε ε να απο τα n-2 υπο λοιπα κελια. Διατα σσω αυτα τα n κελια. n! τρο ποι ( n ) 2 n! Άρα Pr { ακριβω ς ε να κελι α δειο} = n n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 47 / 48

Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα Πιθανότητες 48 / 48