ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Πέτρος Χαβιάρης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Λεωφ. Δημοκρατίας 1, 85100, Ρόδος chaviaris@rhodes.aegean.gr Σόνια Καφούση Πανεπιστήμιο Αιγαίου Λεωφ. Δημοκρατίας 1, 85100, Ρόδος kafoussi@rhodes.aegean.gr Φραγκίσκος Καλαβάσης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Λεωφ. Δημοκρατίας 1, 85100, Ρόδος kalabas@rhodes.aegean.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η μελέτη της επικοινωνίας στη σχολική τάξη των Μαθηματικών αποτελεί ένα σύγχρονο ερευνητικό άξονα της μαθηματικής εκπαίδευσης, ως αποτέλεσμα της αναγνώρισης της κοινωνικής διάστασης της κατασκευής της μαθηματικής γνώσης. Σκοπός της εργασίας είναι η παρουσίαση και ανάλυση μεθοδολογικών εργαλείων που έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια για τη μελέτη της κοινωνικής αλληλεπίδρασης μεταξύ των μελών της τάξης στο μάθημα των Μαθηματικών. Παρουσιάζονται και αναλύονται δύο βασικές ερευνητικές προσεγγίσεις, η επικοινωνιακή και η αλληλεπιδραστική, οι οποίες θεωρούνται αντιπροσωπευτικές των νέων απόψεων για τη μάθηση και τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Η μία έχει τις ρίζες της στην κοινωνικοπολιτισμική προσέγγιση της γνώσης και η άλλη θεωρείται συμπληρωματική της κατασκευαστικής θεωρίας της γνώσης.
1. Εισαγωγή Στις σύγχρονες επιστημολογικές, ψυχολογικές και κοινωνιολογικές θεωρήσεις που έχουν επηρεάσει τη μαθηματική εκπαίδευση, η κοινωνική διάσταση της κατασκευής της μαθηματικής γνώσης έχει κυρίαρχο ρόλο. Η γνώση θεωρείται προϊόν συλλογικής δραστηριότητας και η αλήθεια της αντιμετωπίζεται ως μια συμφωνία ανάμεσα στα μέλη μιας επιστημονικής κοινότητας σε μια δεδομένη κοινωνικοπολιτισμική συγκυρία. Σύμφωνα με τον von Glasersfeld (1995), η βιωσιμότητα της γνώσης εξασφαλίζεται μόνο όταν είναι εναρμονισμένη με τις συμβάσεις του κοινωνικού περιβάλλοντος, ενώ ο van Oers (1996) υποστηρίζει ότι οι κοινωνικές αλληλεπιδράσεις προσδιορίζουν το νόημα που δίνουμε στις εμπειρίες μας. Βασικός προσανατολισμός του ερευνητικού ενδιαφέροντος των παιδαγωγών των Mαθηματικών, σήμερα, είναι η μελέτη της κοινωνικής αλληλεπίδρασης στη σχολική τάξη των Μαθηματικών και η σχέση της με τη μάθηση των Μαθηματικών (Bower,2000). Ειδικότερα, οι σύγχρονες προσεγγίσεις για τη μάθηση και τη διδασκαλία των Μαθηματικών προσπαθούν να γεφυρώσουν την αντιπαράθεση μεταξύ μιας ψυχολογικής παράδοσης για την αυτονομία του μαθητή και της νοητικής του ανάπτυξης και μιας κοινωνιολογικής παράδοσης που επικρίνει την παιδοκεντρική αντίληψη και παραθέτει τη μάθηση ως κοινωνικοποίηση του παιδιού σε μια δεδομένη κοινωνικοπολιτισμική πραγματικότητα (Voigt, 1995). Στην εργασία αυτή επιχειρείται η παρουσίαση και ανάλυση δύο βασικών ερευνητικών προσεγγίσεων, της επικοινωνιακής και της αλληλεπιδραστικής, και των μεθοδολογικών τους εργαλείων που χρησιμοποιούν για τη μελέτη της επικοινωνίας μεταξύ των μελών της τάξης κατά τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Οι προσεγγίσεις αυτές μπορεί να θεωρηθούν αντιπροσωπευτικές των σύγχρονων τάσεων στην έρευνα της Διδακτικής των Μαθηματικών. Η ανάλυση των συγκεκριμένων ερευνητικών παραδειγμάτων μπορεί να βοηθήσει στην προσπάθεια δημιουργίας ενός θεωρητικού πλαισίου, το οποίο να εξυπηρετεί το σχεδιασμό έρευνας για τη μελέτη της κοινωνικής αλληλεπίδρασης σε σχέση με τη μάθηση των Μαθηματικών στη σχολική τάξη. 2. Η επικοινωνιακή προσέγγιση (communicational approach) Η επικοινωνιακή προσέγγιση, στηριζόμενη στην κοινωνικοπολιτισμική θεωρία γνώσης, αναπτύσσει το πεδίο της έρευνάς της με βάση το αξίωμα ότι η σκέψη μπορεί να μελετηθεί ως μια περίπτωση επικοινωνίας, αν τη θεωρήσουμε σαν ένα συνεχή εσωτερικό διάλογο του ατόμου(sfard,2001). Η θεώρηση αυτή αποτελεί συνέπεια της θέσης πως σε κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα ενυπάρχει κοινωνική καταγωγή και επιχειρεί να ενισχύσει την υπόθεση του Vygotsky πως κάθε νοητική λειτουργία αρχικά εμφανίζεται μεταξύ των ατόμων (διαψυχολογική) και μετά εσωτερικοποιείται (ενδοψυχολογική). Έτσι, στη συγκεκριμένη προσέγγιση η μάθηση
θεωρείται ως η ανάπτυξη τρόπων με τους οποίους το άτομο συμμετέχει σε εγκαθιδρυμένες κοινωνικές δραστηριότητες και το ερευνητικό της ενδιαφέρον εστιάζεται στην ερμηνεία των αλληλεπιδράσεων που παρακινούν την ανάπτυξη αυτή (Sfard,2001). Με βάση αυτές τις υποθέσεις, η μάθηση των Μαθηματικών προσδιορίζεται ως εισαγωγή στη μαθηματική συζήτηση(mathematical discourse), δηλαδή ως εισαγωγή σε έναν ειδικό τρόπο επικοινωνίας, το μαθηματικό. Οι συνιστώσες της κοινωνικής αλληλεπίδρασης, όπως περιγράφονται στις αναλύσεις των ερευνητών της επικοινωνιακής προσέγγισης, είναι τα μεσολαβητικά εργαλεία ή μεσολαβητές (mediating tools-mediators), τα οποία χρησιμοποιούν οι άνθρωποι ως μέσα επικοινωνίας και οι μεταδιαλογικοί κανόνες (meta-discursive rules), οι οποίοι συντονίζουν την προσπάθεια επικοινωνίας. Ως μεσολαβητικά εργαλεία αναφέρονται τα συμβολικά συστήματα, τα οποία θεωρείται ότι αποτελούν τους θεμέλιους λίθους της επικοινωνιακής δράσης (και άρα της σκέψης) και δεν νοούνται ως βοηθητικά μέσα για τη διεξαγωγή της επικοινωνίας. Αντίθετα, υπάρχει άμεση σχέση ανάμεσα στον τρόπο που κατασκευάζουμε έννοιες (conceptualization) και στον τρόπο που χρησιμοποιούμε τα σύμβολα (symbolizing). Κυρίαρχο συμβολικό εργαλείο θεωρείται η γλώσσα, ενώ στα Μαθηματικά, επιπροσθέτως, μεσολαβητικά εργαλεία θεωρούνται το σύστημα αρίθμησης, τα γραφήματα, οι πίνακες, οι αλγεβρικοί τύποι κλπ. Οι μετα-διαλογικοί κανόνες είναι θεωρητικές κατασκευές που αναπτύχθηκαν στην προσπάθεια των επιστημόνων να μελετήσουν τη διαδικασία της επικοινωνίας. Στην επικοινωνιακή προσέγγιση οι κανόνες αυτοί μπορούν να κατανοηθούν ως τις κανονικότητες που διέπουν την επικοινωνιακή διαδικασία και παραμένουν σταθερές, όταν αλλάζει το περιεχόμενο της επικοινωνίας. Συγκεκριμένα, θεωρούνται ως οι «σιωπηροί» ρυθμιστές των διαπροσωπικών και ενδοπροσωπικών συνδιαλλαγών, προσδιορίζουν τις επιλογές των συμμετεχόντων για δράση και καθορίζουν την ανάπτυξη αξιών και αντιλήψεων (Sfard,2000). Με βάση τα παραπάνω, τα τελευταία χρόνια αναπτύσσονται μεθοδολογικά εργαλεία για την ανάλυση μαθηματικών διαλόγων στην τάξη στα πλαίσια της επικοινωνιακής προσέγγισης. Πιο συγκεκριμένα, οι ερευνήτριες Sfard και Kieran (2001) σχεδίασαν και εφάρμοσαν δύο τύπους αναλύσεων: την εστιακή ανάλυση (focal analysis), η οποία επικεντρώνεται στη μελέτη αντικειμενικών φαινομένων της επικοινωνίας και την ανάλυση (preoccupational analysis), η οποία στοχεύει στη διερεύνηση της λειτουργίας των μετα-διαλογικών κανόνων. Στην πρώτη περίπτωση, προκειμένου να διερευνηθούν οι εκφράσεις που χρησιμοποιεί ένας συνομιλητής για να προσδιορίσει το αντικείμενο της προσοχής του και να αποσαφηνιστεί σε τι και πώς αυτός επικεντρώνει την προσοχή του όταν μιλά ή όταν σκέφτεται, χρησιμοποιείται μια τριμερής ανάλυση των φράσεών του. Κάθε στιγμή της ομιλίας του συζητητή αναλύεται ως προς: α) τη λέξη-εστία (pronounced focus), που δηλώνει σε τι επικεντρώνεται η προσοχή του συζητητή και β) τη διαδικασία-εστία (attended focus) που δηλώνει πώς ο συζητητής ενεργεί. Οι στιγμές του διαλόγου ομαδοποιούνται ως προς την πρόθεση -εστία (intended focus) που υποδηλώνεται από τις
λέξεις- εστίες και τις διαδικασίες-εστίες, οι οποίες χρησιμοποιούνται από τον ομιλητή για τον ίδιο σκοπό. Το παράδειγμα που ακολουθεί δείχνει μια εφαρμογή της εστιακής ανάλυσης(sfard,2001) : Το παρακάτω φύλλο εργασίας δόθηκε σε δωδεκάχρονους μαθητές που εργάζονταν σε μικρές ομάδες και αναφερόταν σε μια γραμμική συνάρτηση της μορφής αx+β. 0-5 1) Πόσο είναι το g(6); 1 0 2) Πόσο είναι το g(10); 2 5 3) Οι μαθητές μιας Α Γυμνασίου όταν τους ζητήθηκε να 3 10 γράψουν τον τύπο της συνάρτησης έγραψαν: 4 15 Evan: g(x)=5(x-1) 5 20 Amy: g(x)=3(x-3)+2(x-2) Stuart: g(x)=5x-5 Ποιος έχει δίκιο; Το πρωτόκολλο συνομιλίας μεταξύ δύο μαθητών αποτέλεσε τη βάση για την εστιακή ανάλυση. Ο πίνακας που ακολουθεί δείχνει ένα παράδειγμα ταξινόμησης των στιγμών της συνομιλίας για ένα μαθητή: φράσεις (Utterances) λέξεις-εστίες (pronounced foci) διαδικασίες-εστίες (attended foci) 1a, 1b, 11a, «κλίση» Χρήση του πίνακα για την 1c, 11b, «σημείο τομής» εύρεση του σημείου τομής 1c «μείον 5» 1. βρίσκω το 0 στην 11b «το 0» αριστερή στήλη του πίνακα 2. βρίσκω τον αριθμό στη δεξιά στήλη του πίνακα που αντιστοιχεί στο 0 3, 5 «κλίση» Χρήση του τύπου της συνάρτησης Βρίσκω το συντελεστή του x στον τύπο 5x+-5 προθέσεις-εστίες (intended foci) Το σημείο τομής Η κλίση ( Οι αντίστοιχες φράσεις του μαθητή στο διάλογο είναι οι ακόλουθες: 1. (1 a ) Περίμενε, πώς θα βρούμε την κλίση πάλι; (1b) Οχι, όχι. Η κλίση, όχι, θέλουμε (1c)το σημείο τομής που είναι 5. (1d)Η κλίση. 3. Μιλώ γι αυτό. Είναι 5.
5. 5x. Σωστά; 11. (11a). Κοίτα. Επειδή, η κλίση, είναι μηδέν. (11b) Α, όχι, το σημείο τομής είναι μηδέν.) Ανάλογος πίνακας κατασκευάστηκε και για το συνομιλητή του πρώτου μαθητή και έτσι κατέστη δυνατή η σύγκριση των ενεργειών των δύο συνομιλητών. Η ανάλυση της συζήτησης επικεντρώνεται στα εξής σημεία: α)στη συνέπεια ή μη που παρουσιάζει ο λόγος και οι ενέργειες του μαθητή σε σχέση με τις προθέσεις του, β)στη διατήρηση ή μη της σημασίας του μαθηματικού αντικειμένου και των στοιχείων του κατά τη διάρκεια της συνομιλίας, γ)στην επιδεξιότητα ή μη με την οποία χρησιμοποιεί διαφορετικές διαδικασίες για ένα σκοπό. Μια τέτοια ανάλυση επιτρέπει τη μελέτη των ενεργειών των μαθητών κατά την αλληλεπίδραση μεταξύ τους όσον αφορά τις γνωστικές τους προθέσεις(cognitive intentions), οι οποίες σχετίζονται με τους στόχους μιας συγκεκριμένης μαθηματικής δραστηριότητας. Η συστηματική, όμως, μελέτη των προθέσεων που καθοδηγούν την επικοινωνιακή διαδικασία(metadiscursive intentions) δε φαίνεται να είναι εφικτή, καθώς αυτές είναι πολύπλοκες και περιλαμβάνουν τόσο τις υποθέσεις των συμμετεχόντων για τον τρόπο που καθοδηγείται μια αλληλεπίδραση όσο και θέματα που αφορούν τη σχέση μεταξύ των συνομιλητών. Γι αυτό το λόγο, οι συγκεκριμένες ερευνήτριες ανέπτυξαν μια μέθοδο προκειμένου να μελετήσουν τις επικοινωνιακές προθέσεις των συνομιλητών. Βασικό εργαλείο που χρησιμοποιείται στην ανάλυση αυτή είναι το αλληλεπιδραστικό διάγραμμα (interactivity flowchart). Πρόκειται για ένα διάγραμμα που επιχειρεί να αποτυπώσει τις κινητήριες δυνάμεις ενός διαλόγου συνδέοντας κάθε φράση με εκείνη που την προκαλεί να δημιουργηθεί. Οι φράσεις χαρακτηρίζονται ως αντιδράσεις(reactions) σε μια φράση- στόχο ή ως απευθύνσεις- προκλήσεις(proactions) για απάντηση. Η συνεχής ροή φράσεων σημειώνονται στο διάγραμμα με αντίστοιχα βέλη επιτρέποντας μια αναπαράσταση της συζήτησης και την αποκάλυψη κανονικοτήτων(regularities) που εμφανίζει ο διάλογος (βλ. παράρτημα ). Η συζήτηση αποτυπώνεται στο διάγραμμα σε παράλληλα κανάλια επικοινωνίας, ένα για κάθε συμμετέχοντα, δίνοντας τη δυνατότητα στον ερευνητή να μελετήσει τα επικοινωνιακά χαρακτηριστικά του κάθε συνομιλητή ξεχωριστά αλλά και σε σύγκριση με τον άλλο, ενώ ταυτόχρονα μπορεί να εστιάσει σε ενδιαφέρουσες στιγμές της αλληλεπίδρασης. Η ανάλυση της συζήτησης επικεντρώνεται στα εξής σημεία: α)στο ενδιαφέρον που δείχνει ο συνομιλητής για την αλληλεπίδραση (πόσο επιτρέπει στον εαυτό του και στους συνομιλητές του να αλληλεπιδράσουν), β)στην «εξουσία» που ασκεί ή όχι ένας συνομιλητής προκειμένου να καθοδηγήσει τη συζήτηση, γ)στην ειλικρίνεια ή την υποκρισία των συνομιλητών (μέσα από το ύφος της γλώσσας που χρησιμοποιούν στις αποκρίσεις τους), δ)στη συναισθηματική κατάσταση του κάθε συνομιλητή και κατά πόσο αυτή λαμβάνεται υπόψη από τους άλλους συνομιλητές (για παράδειγμα, πώς αντιδρά ένας συνομιλητής στη σιωπή ή τη λανθασμένη παρέμβαση του άλλου).
Στα πλαίσια της επικοινωνιακής προσέγγισης, η μελέτη της αλληλεπίδρασης που συμβαίνει μεταξύ των μελών μιας τάξης εστιάζεται στο ρόλο των προθέσεων που έχουν οι συνομιλητές και στη δυναμική που αυτές οι προθέσεις εμφανίζουν στην εκπαιδευτική διαδικασία. Ερμηνεύοντας κάθε γεγονός της εκπαιδευτικής διαδικασίας ως επικοινωνιακό (συνδιαλλαγή μηνυμάτων), το οποίο συντελείται σε μια συγκεκριμένη συγκυρία κοινωνικοπολιτισμικών συνθηκών, οι ερευνητές προσανατολίζουν τα ερωτήματά τους με βάση τη θέση ότι κάθε ενέργεια ενός συνομιλητή είναι προϊόν μιας συλλογικής δραστηριότητας και δεν είναι άμεσο παράγωγο των προσωπικών ικανοτήτων και της μαθηματικής του δυναμικής. Επομένως, για να είναι πιο αποτελεσματική η μάθηση των Μαθηματικών πρέπει οι μαθητές να διδαχθούν επικοινωνιακές δεξιότητες (communicative skills). Η συστηματική μελέτη διαφορετικών επεισοδίων από την τάξη κατά τη διδασκαλία των Μαθηματικών μπορεί να επιτρέψει το σχεδιασμό διδακτικών παρεμβάσεων που να στοχεύουν στη βελτίωση της μαθηματικής επικοινωνίας. Απαντήσεις σε ερωτήματα όπως: πώς οι μαθητές μπορούν να συνειδητοποιούν και να δηλώνουν με σαφήνεια τις προθέσεις τους, ποια πρέπει να είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών δραστηριοτήτων ώστε οι μαθητές να εμπλέκονται σε θετικές αλληλεπιδράσεις, ποια πρέπει να είναι η σύνθεση των ομάδων εργασίας στην τάξη, αποτελούν τη βάση για το σχεδιασμό διδασκαλιών που επιχειρούν να βελτιώσουν τη μαθηματική επικοινωνία. 3. Η αλληλεπιδραστική προσέγγιση (interactionism) Στα πλαίσια της αλληλεπιδραστικής θεωρίας για τη μάθηση των Mαθηματικών το ενδιαφέρον των ερευνητών εστιάζεται στη μελέτη τύπων αλληλεπίδρασης που εγκαθιδρύονται στη σχολική τάξη. Σύμφωνα με το Voigt(1995), μια βασική υπόθεση της προσέγγισης αυτής είναι ότι τα αντικείμενα μιας μαθηματικής συζήτησης στην τάξη είναι ασαφή διότι επιδέχονται ποικιλία ερμηνειών. Προκειμένου το υποκείμενο να δώσει νόημα σε ένα μαθηματικό αντικείμενο χρησιμοποιεί την προϋπάρχουσα γνώση του και δημιουργεί ένα πλαίσιο για την ερμηνεία του. Αυτή η ποικιλία των ερμηνειών για το ίδιο μαθηματικό αντικείμενο δημιουργεί ευκαιρίες μάθησης κατά την κοινωνική αλληλεπίδραση. Κατά τη διαδικασία της αλληλεπίδρασης οι συμμετέχοντες διαπραγματεύονται τα μαθηματικά τους νοήματα και προσπαθούν να φτάσουν σε μια συμφωνία σχετικά με το ποια αποτελέσματα και ποια επιχειρήματα θα θεωρηθούν ως μαθηματικές λύσεις και κατάλληλες μαθηματικές εξηγήσεις αντίστοιχα. Μια άλλη βασική υπόθεση της αλληλεπιδραστικής προσέγγισης είναι ότι κάθε συμμετέχοντας στην αλληλεπίδραση ρυθμίζει τη δράση του σε συνάρτηση με αυτό που ο ίδιος υποθέτει ότι είναι οι προσδοκίες και οι γνώσεις των άλλων συμμετεχόντων. Παράλληλα, οι αποδέκτες της δράσης την ερμηνεύουν ανάλογα με αυτό που πιστεύουν ότι είναι οι γνώσεις και οι προσδοκίες του υποκειμένου που ενεργεί. Μια τρίτη βασική αρχή της συγκεκριμένης προσέγγισης είναι ότι ο δάσκαλος και οι μαθητές δε «μοιράζονται» γνώση αλλά τα μαθηματικά νοήματα που παράγονται μέσω της διαπραγμάτευσης
θεωρούνται σαν να είναι κοινά (taken as shared). Οι συμμετέχοντες αλληλεπιδρούν σαν να ερμηνεύουν το μαθηματικό θέμα της συζήτησής τους με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, αν και δεν μπορούν πραγματικά να είναι σίγουροι ότι οι υποκειμενικές τους κατανοήσεις συμφωνούν με αυτές των άλλων συμμετεχόντων. Σ αυτή τη διαδικασία οι μαθητές και ο δάσκαλος πετυχαίνουν μια θεματική συνάφεια στη συζήτησή τους. Αλληλεπιδρώντας συνθέτουν ένα μαθηματικό θέμα το οποίο από τη μια εξαρτάται από τη συνεισφορά των συμμετεχόντων και από την άλλη δεν μπορεί να εξηγηθεί επαρκώς μέσα από τις σκέψεις και τις προθέσεις του καθενός συμμετέχοντος ξεχωριστά Το παρακάτω παράδειγμα μαθηματικής συζήτησης μεταξύ δύο μαθητών και ενός ερευνητή δείχνει τη σύνθεση ενός μαθηματικού θέματος (Voigt, 1995). Οι μαθητές είχαν εμπλακεί στην επίλυση της ακόλουθης σειράς αριθμητικών προτάσεων: 1. 50-9=41 2. 60-9=51 3. 60-19=41 4. 41+19=60 5. 31+29=60 6. 31+19=50 7. 32+18= Ο διάλογος που ακολουθεί αφορά την επίλυση της 7 ης αριθμητικής πρότασης Γιάννης: Α! ναι, αυτό είναι 18, όχι 19. Μαρία: Ναι, αλλά αυτό είναι 32 όχι 31. Γιάννης: Σωστά! Μαρία: Είναι το ίδιο πράγμα. Ερευνητής: Ποιο είναι το ίδιο πράγμα; Μαρία:Αυτά τα δύο(δείχνει τις προτάσεις 6 και 7). Ερευνητής: Γιάννη, ποιο είναι το ίδιο; Είχαμε 31 και 19. Γιάννης: Κάνουν 50. Ερευνητής: Ναι. Γιάννης:Και, κοίτα 32 και 18. Δες, είναι ένα περισσότερο από αυτό και αυτό είναι ένα λιγότερο από αυτό (δείχνει τους προσθετέους αντίστοιχα). Αναλύοντας τον παραπάνω διάλογο μπορούμε να υποθέσουμε ότι η στρατηγικής της αντιστάθμισης των προσθετέων(compensation) εμφανίστηκε ανάμεσα στους δυο μαθητές χωρίς ο καθένας από αυτούς να την είχε στο μυαλό του. Στην αρχή κάθε μαθητής είχε εστιάσει την παρατήρησή του στη σύγκριση ενός προσθετέου. Στη συνέχεια, ο ένας μαθητής παρακινούμενος από τον άλλο αποδέχτηκε τη θέση του συνομιλητή του. Μέσα από αυτή τη διαπραγμάτευση κατασκευάστηκε ένα νόημα για το συγκεκριμένο θέμα, το οποίο δεν μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα μπορούσε να κατασκευαστεί από τον ένα μαθητή χωρίς αυτή τη διαπραγμάτευση. Στη διάρκεια, λοιπόν, μιας διαπραγμάτευσης νοημάτων οι μαθητές και ο δάσκαλος ή οι μαθητές μεταξύ τους επιτυγχάνουν σχέσεις μαθηματικών νοημάτων τις οποίες αποδέχονται ως από κοινού
μοιρασμένες. Αυτές οι κοινά αποδεχτές μαθηματικές σχέσεις αποτελούν για τους ερευνητές της αλληλεπιδραστικής προσέγγισης τα μαθηματικά θέματα. Στο προηγούμενο διάλογο το μαθηματικό θέμα που συνέθεσαν οι μαθητές κατά τη διαπραγμάτευση των νοημάτων τους είναι η σύγκριση των δύο αριθμητικών προτάσεων. Έτσι, μία μαθηματική εξήγηση είναι μία κοινωνική διαδικασία και όχι μια ατομική ενέργεια. Τα νοήματα δεν καθορίζονται από ένα πολιτισμικό πλαίσιο που προϋπάρχει και είναι ανεξάρτητο από τη διαπραγμάτευσή τους. Στην καθημερινή πρακτική της τάξης ο δάσκαλος και οι μαθητές υποθέτουν ότι τα χαρακτηριστικά της μικροκουλτούρας τους είναι καθορισμένα, ενώ στην πραγματικότητα είναι από κοινού κατασκευασμένα μέσω αλληλεπιδραστικών διαδικασιών. Συγκρίνοντας διαφορετικές σχολικές τάξεις μπορούμε να αναγνωρίσουμε διαφορετικές μικροκουλτούρες ανάλογα με τη δραστηριότητα των συμμετεχόντων. Από τη σκοπιά του ερευνητή, οι διαφορετικές μικροκουλτούρες γίνονται παρατηρήσιμες μέσω τύπων αλληλεπίδρασης (patterns of interaction) που αναπτύσσονται στη σχολική πρακτική. Οι τύποι κοινωνικής αλληλεπίδρασης αφορούν κανονικότητες, οι οποίες οικοδομούνται σταδιακά κατά την αλληλεπίδραση των μελών μιας τάξης και δεν είναι απαραίτητα σκόπιμες ή αναγνωρίσιμες από τους συμμετέχοντες στην αλληλεπίδραση. Το κάθε μέλος της τάξης εμπλέκεται «σιωπηρά» στη δημιουργία ενός τύπου αλληλεπίδρασης μέσα από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της προσωπικότητάς του (ενδιαφέροντα- προσδοκίες- επιθυμίες- συνήθειες) (Bauersfeld, 1995). Για έναν ερευνητή η εγκαθίδρυση μιας κανονικότητας στον τρόπο που αλληλεπιδρούν τα μέλη μιας τάξης γίνεται φανερή μέσα από τη σταθεροποίηση μιας διαδικασίας διαπραγμάτευσης νοημάτων μεταξύ των συμμετεχόντων. Η εγκαθίδρυση μιας κανονικότητας στον τρόπο που συντελείται η αλληλεπίδραση ελαχιστοποιεί τον κίνδυνο της αποδιοργάνωσης της διαδικασίας της αλληλεπίδρασης, λόγω της διαφορετικότητας των νοημάτων των μελών μιας τάξης (Cobb,1995). Για παράδειγμα, ένας τύπος αλληλεπίδρασης μεταξύ των μελών μιας τάξης είναι ο εκμαιευτικός (elicitation pattern)(voigt,1995), στον οποίο μπορούν να διακριθούν τρεις φάσεις ανάπτυξης: α) Ο δάσκαλος προτείνει ένα ανοιχτό μαθηματικό θέμα και οι μαθητές εκφράζουν διαφορετικές απαντήσεις και λύσεις τις οποίες ο δάσκαλος αποτιμά. β) Εάν οι απαντήσεις των μαθητών είναι αρκετά αποκλίνουσες από την επιδιωκόμενη σωστή λύση, ο δάσκαλος οδηγεί με κατάλληλες ερωτήσεις τους μαθητές στη σωστή απάντηση πιστεύοντας πως μ αυτό τον τρόπο εκμαιεύει τη μαθηματική γνώση. Η φάση αυτή συμφωνεί με τη Σωκρατική μέθοδο κατά την οποία ο δάσκαλος εκμαιεύει περιοχές της μαθηματικής γνώσης μέσα από επάλληλα βήματα αιτιολόγησης των απαντήσεων από τους μαθητές. γ) Ο δάσκαλος και οι μαθητές αξιολογούν τη γνώση που έχει αποκτηθεί. Ένας άλλος τύπος αλληλεπίδρασης είναι ο διαλογικός (discussion pattern) ο οποίος συνήθως παρατηρείται σε διδασκαλίες Μαθηματικών που ακολουθούν διερευνητικές προσεγγίσεις. Στον τύπο αυτό αλληλεπίδρασης μπορούν να διακριθούν οι εξής φάσεις ανάπτυξης:
Οι μαθητές λύνουν ένα μαθηματικό πρόβλημα σε μικρές ομάδες εργασίας. Ο δάσκαλος ζητά από έναν μαθητή να ανακοινώσει τη λύση στην οποία κατέληξε η ομάδα. Ο μαθητής ανακοινώνει τη λύση και την εξηγεί. Ο δάσκαλος συμβάλλει στην εξήγηση του μαθητή μέσα από ερωτήσεις, νύξεις, αναμορφώσεις και έτσι μια κοινά αποδεκτή λύση ή εξήγηση αναδύεται ως έγκυρη Ο δάσκαλος ρωτά άλλους μαθητές για διαφορετικούς τρόπους επίλυσης του προβλήματος. Η πρώτη φάση ξαναρχίζει(wood,1995). Υπάρχουν σημαντικές διαφορές ανάμεσα στο μαιευτικό και το διαλογικό τύπο αλληλεπίδρασης μέσα στην τάξη. Στον πρώτο, η λύση είναι ο βασικός στόχος της μαθηματικής πρακτικής στο σχολείο, ενώ στο δεύτερο η λύση ενός μαθηματικού προβλήματος είναι η αρχή για διαπραγμάτευση. Στο μαιευτικό τύπο οι μαθητές υποχρεώνονται να ακολουθήσουν βήμα προς βήμα τον τρόπο επίλυσης του προβλήματος ο οποίος προτείνεται από το δάσκαλο. Αντίθετα, στο διαλογικό τύπο η επιχειρηματολογία ωφελείται από τις συνεισφορές των παιδιών. Στην πρώτη περίπτωση οι ικανότητες των παιδιών παραμένoυν αφανείς, ενώ στη δεύτερη δημοσιοποιούνται. Στις περιπτώσεις που εγκαθιδρύεται ο μαιευτικός τύπος αλληλεπίδρασης οι μαθητές συμμετέχουν με επιτυχία όταν μαθαίνουν να λύνουν προβλήματα με τον τρόπο που αναμένει ο δάσκαλος. Αντίθετα, κατά τη συμμετοχή των μαθητών στο διαλογικό τύπο αλληλεπίδρασης δημιουργούνται οι ευκαιρίες να μάθουν οι μαθητές να επιχειρηματολογούν με μαθηματικό τρόπο(voigt, 1995). Επίσης, ο Voigt(1995) χρησιμοποιεί τον όρο θεματικοί τύποι αλληλεπίδρασης (thematic patterns) για να περιγράψει εξειδικευμένες κανονικότητες που εμφανίζονται στην επικοινωνία κατά τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Για παράδειγμα, σε δραστηριότητες που περιλαμβάνουν σχήματα και αφορούν στην πρόσθεση διψηφίων αριθμών, θεματικοί τύποι αλληλεπίδρασης είναι η μέτρηση αντικειμένων και ο νοερός υπολογισμός με αριθμούς. Ο πρώτος τύπος εμφανίζεται όταν οι μαθητές συνεργαζόμενοι ερμηνεύουν τα σύμβολα ως αναπαραστάσεις συγκεκριμένων αντικειμένων και ο δεύτερος εμφανίζεται όταν ερμηνεύουν τα σύμβολα ως αναπαραστάσεις αριθμών. Την τελευταία δεκαετία οι ερευνητές Cobb, Yackel και Bauersfeld (Cobb & Bauersfeld, 1995- Yackel & Cobb,1996) επιχειρούν να συντονίσουν τις θέσεις της κατασκευαστικής και της αλληλεπιδραστικής προσέγγισης προκειμένου να συνδέσουν τη γνωστική ανάπτυξη του παιδιού με την κοινωνική αλληλεπίδραση μέσα στη σχολική τάξη. Η θεωρία τους (emergent theory) επεξεργάζεται τον τρόπο εγκαθίδρυσης κοινωνικών συνηθειών (social norms) στη διδασκαλία των Μαθηματικών καθώς και τη σχέση τους με τη γνωστική ανάπτυξη των μαθητών. Οι κοινωνικές συνήθειες είναι ένα σύνολο συμφωνημένων αρχών συνύπαρξης και συνδιαλλαγής των ατόμων μιας ομάδας που επιτελεί ένα σκοπό, οι οποίες καθοδηγούν την κοινωνική συμπεριφορά των μελών της τάξης και κατευθύνουν τους τύπους αλληλεπίδρασης που αναπτύσσονται στην τάξη. Εγκαθιδρύονται μέσω της κοινωνικής αλληλεπίδρασης των συμμετεχόντων μελών, η οποία
συντελείται στο πλαίσιο της επαναδιαπραγμάτευσης των ιδεών τους. Για παράδειγμα, βασικές κοινωνικές νόρμες που περιγράφονται από τους ερευνητές αυτής της προσέγγισης είναι η υποχρέωση των μαθητών να εξηγούν και να δικαιολογούν τις απόψεις τους ανεξάρτητα από την ορθότητά τους, να εργάζονται από κοινού και να μοιράζονται την ευθύνη των ενεργειών τους κ.ά. Οι ίδιοι ερευνητές χρησιμοποιούν τον όρο κοινωνικομαθηματικές συνήθειες (sociomathematical norms) για να προσδιορίσουν τις συνήθειες εκείνες που κατευθύνουν τη μαθηματική συζήτηση στην τάξη. Ως τέτοιες συνήθειες σημειώνονται οι εξής: α)τι συνιστά μια μαθηματική λύση ως διαφορετική, β) Τι συνιστά μια μαθηματική λύση ως ποιοτικά ανώτερη(sophisticated), β)τι συνιστά μια μαθηματική λύση ως αποτελεσματική, δ)πότε μια μαθηματική λύση αξιολογείται ως κατάλληλη. Η διαφορετικότητα, η ελκυστικότητα και η αποτελεσματικότητα μιας λύσης χαρακτηρίζει την ίδια τη λύση, ενώ το να αξιολογηθεί μια λύση ως κατάλληλη αφορά τη διαδικασία με την οποία κατασκευάστηκε και αιτιολογήθηκε. Οι κοινωνικομαθηματικές νόρμες μπορούν να εγκαθιδρυθούν κατά τη διδασκαλία των Μαθηματικών, εφόσον κοινωνικές νόρμες σαν αυτές που αναφέρθηκαν έχουν ήδη εγκαθιδρυθεί μεταξύ των μελών της τάξης. Τα τελευταία χρόνια έχουν πραγματοποιηθεί αρκετές ερευνητικές εργασίες γύρω από τους τρόπους με τους οποίους οι κοινωνικομαθηματικές νόρμες μπορούν να αναπτυχθούν στην τάξη των Μαθηματικών οι οποίες εστιάζονται κυρίως στις ενέργειες και τις πρακτικές του δασκάλου και στη συνεισφορά κατάλληλων μαθηματικών δραστηριοτήτων(mcclain & Cobb, 2001- Hershcowich & Schwaz, 1999). Το παρακάτω ερμηνευτικό πλαίσιο που έχει παρουσιάσει η Yackel και οι συνεργάτες της (2000) επιχειρεί να συντονίσει κοινωνιολογικές και ψυχολογικές προσεγγίσεις στη μάθηση και τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Κοινωνική προσέγγιση Κοινωνικές νόρμες της τάξης Κοινωνικομαθηματικές νόρμες Μαθηματικές πρακτικές στην τάξη Ψυχολογική προσέγγιση Αντιλήψεις για το δικό μας ρόλο, το ρόλο των άλλων και τη φύση της μαθηματικής δραστηριότητας Εξειδικευμένες αντιλήψεις και αξίες για τα Μαθηματικά Μαθηματικές έννοιες και δραστηριότητες 4. Συζήτηση Με βάση τα όσα αναφέρθηκαν παραπάνω σχετικά με τις σύγχρονες τάσεις στην έρευνα για την κοινωνική αλληλεπίδραση στη διδασκαλία των Μαθηματικών και τα μεθοδολογικά εργαλεία που έχουν αναπτυχθεί γι αυτό το σκοπό, θα μπορούσαμε να σημειώσουμε ότι τόσο στην επικοινωνιακή όσο και στην αλληλεπιδραστική προσέγγιση η ανάλυση των μετα-διαλογικών
κανόνων -ως ρυθμιστές των διαπροσωπικών και ενδοπροσωπικών συνδιαλλαγών - και η εγκαθίδρυση κοινωνικών και κοινωνικομαθηματικών συνηθειών - που κατευθύνουν τους τύπους αλληλεπίδρασης που αναπτύσσονται στην τάξη- μας επιτρέπουν να εμβαθύνουμε και να μελετήσουμε τη σχέση της κοινωνικής αλληλεπίδρασης με τη μάθηση των Μαθηματικών. Ωστόσο, οι ερευνητές της επικοινωνιακής προσέγγισης, ενώ εστιάζουν τα ερωτήματά τους και αναπτύσσουν εργαλεία γύρω από το πώς το άτομο συμμετέχει στη διαδικασία ενσωμάτωσής του σε ένα κοινωνικοπολιτισμικό περιβάλλον, καλούνται να προσδιορίσουν την έννοια της δημιουργικότητας του ατόμου ( Lerman, 2001). Ανάλογα, οι ερευνητές της αλληλεπιδραστικής προσέγγισης, εστιάζοντας στη δυναμική της μικροκουλτούρας που δημιουργείται στη σχολική τάξη, καλούνται να δώσουν απάντηση για το πώς οι πρακτικές των μαθητών μπορούν να μετεξελιχθούν στις θεσμοθετημένες πρακτικές της μαθηματικής κοινότητας(cobb et al.,1996). Όπως εύστοχα σχολιάζει ο Cazden (1986) «Σχετικά με το πώς η συζήτηση συνδέει το γνωστικό με το κοινωνικό, έχουμε δει ότι το κοινωνικό έχει δύο αλληλοσυσχετιζόμενα νοήματα: το μικροκοινωνιολογικό μήνυμα της κατάστασης της οποίας η συζήτηση είναι ένα μέρος και το μακροκοινωνιολογικό μήνυμα της διαστρωμάτωσης μέσα σε μια κοινωνία. Η έρευνα για την επικοινωνία στην τάξη η οποία αποσκοπεί στο να συμβάλλει στη διασαφήνιση της σχέσης γνωστικόκοινωνικό πρέπει να λαμβάνει υπόψη της και τις δυο αυτές μεταβλητές». ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Bauersfeld, H. (1995). The structuring of the structures: development and function of mathematizing as a social practice. In L. Steffe and J. Gale (Ed.), Constructivism in Education, pp. 137-158. LEA. Bower,J.(2000). Postscript: intergrating themes on discourse and design. In P.Cobb,E. Yackel & K. McClain(eds.) Symbolizing and Communicating in Mathematics Clasrooms. Perspectives on Discourse,Tools,and Instructional Design. pp.385-399. Erlbaum,Manhwah. Cazden,C.(1986). Classroom Discourse. In M. Wittrook. (ed.) Handbook of Research on Teaching. pp. 432-463. Cobb, P. (1995). Mathematical Learning and Small Group Interaction: Four Case Studies In P.Cobb & H. Bauersfeld (eds) The emergence of mathematical meaning:interaction in Classroom Cultures, pp.25-130. LEA. Cobb, P.,Jaworski,B. & Presmeg,N. Emergent and Sociocultural Views of Mathematical Activity. In L.Steffe & P. Nesher (eds.)theories of Mathematical Learning. pp.3-20.new Jersey.LEA. Cobb, P.& Bauersfeld, H. (1995). Introduction:The Coordination of Psychological and Sociological Perspectives in Mathematics Education In P.Cobb & H. Bauersfeld (eds) The emergence of mathematical meaning:interaction in Classroom Cultures, pp.1-16. LEA. Hershcowich, R. & Schwaz, B.(1999).The Emergent Perspective in Rich Learning Environments: Some Roles of Tools and Activities in The Construction of Sociomathematical Norms. Educational Studies in Mathematics. 39, 149-166. Lerman,S.(2001). Cultural, Discoursive Psychology: A Sociocultural Approach to Studying the Teaching and Learning of Mathematics. Educational Studies in Mathematics. 46, 87-113. McClain,k. & Cobb,P.( 2001). An Analysis of Development of Sociomathematical Norms in One First Grade Classroom.. Journal for Research in Mathematics Education, 32(3), 236-266. Sfard,A.(2000). Steering (dis)course between metaphor and rigor. Using focal analysis to investigate the emergence of mathematical objects. Journal for Research in Mathematics Education, 31(3), 296-327. Sfard,A.(2001). There is more to discourse than meets the ears: Looking at thinking as communicating to learn more about mathematical learning. Educational Studies in Mathematics. 46, 13-57.
Sfard,A. and Kieran,C.(2001) Cognition as communication, Rethinking learning by talking through multifaceted analysis of students mathematical interactions. Mind, Culture and Activity, 8(1), 42-76. van Oers,B.(1996) Learning Mathematics as a Meaningful Activity. In L.Steffe & P. Nesher (eds.)theories of Mathematical Learning. pp.91-114.new Jersey.LEA. Voigt,J.(1995). Thematic Patterns of Interaction and Sociomathematical Norms. In P.Cobb & H. Bauersfeld (eds) The emergence of mathematical meaning:interaction in Classroom Cultures, pp.163-201. LEA. von Glasersfeld, E. (1995). Radical Constructivism: A way of Knowing and learning. The Falmer Press. Yackel,E. and Cobb, P.(1996). Sociomathematical noms, argumentation and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education 27, 458-477. Yackel,E., Rasmusen.C & King, K.(2000). Social and sociomathematical norms in an advanced undergrtuate mathematics course. Journal of Mathematical Behavior. 19, 275-287. Wood,T.(1995). An Emerging Practice Of Teaching. In P.Cobb & H. Bauersfeld (eds) The emergence of mathematical meaning:interaction in Classroom Cultures, pp.203-228. LEA. ABSTRACT The study of communication in mathematics classroom constitutes a basic research axis in mathematical education as a consequence of the recognition that the mathematical knowledge is socially constructed. The purpose of this paper is the presentation and the analysis of methodological tools developed in last years for the study of social interaction among members in mathematics classroom. They are presented and analyzed two basic research approaches, the communicational and the interactionist, which are considered as representative of the new views about the learning and teaching mathematics. The first one has its origin on sociocultural theory of knowledge and the second is considered as a complementary of constructivism. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Το αλληλεπιδραστικό διάγραμμα έχει την παρακάτω μορφή: