ב הקירטמונוקא ל והינ ו הלכל ל כ גוחה

אקונומטריקה ב החוג לכלכלה וניהול

תוכן פרק - מבחני ספציפיקציה- מבחן LM (כופלילגרנג')... פרק - משתני דמי... 8 פרק 3 - הפרהשלההנחות הקלאסיות...3 פרק 4 - הטרוסקדסטיות...3 פרק 5 - מתאםסידרתי...45 פרק 6 - סיכום בעיית המתאם הסדרתי והטרוסקדסטיות... 6 פרק 7 - מודלים דינמיים... 6 פרק 8 - משוואות סימולטניות...73 פרק 9 - סיכום תכונותאר"פ...

פרק - מבחני ספציפיקציה- מבחן LM (כופלי לגרנג') במבחן כופלי לגרנג' (LM) אנו בודקים האם משתנה או משתנים מסבירים מסוימים רלוונטיים למודל. לדוגמא: נניח שיש לנו מודל הכולל 4 משתנים מסבירים :(UNRESTRICTED) Y x x 3x3 4x4 לגבי השניים הראשונים אנו בטוחים כי הם רלוונטיים וחייבים להופיע במודל. לגבי השניים האחרונים אנחנו לא בטוחים. השערות: H : 3 4 H: OTHERWISE המודל המוגבל (RESTRICTED) הינו: Y x x במבחן LMאומדים את המודל המוגבל ומקבלים עבור כל תצפית את הסטייה מקו. Y Y u הרגרסיה - כעת אומדים את רגרסיית העזר שבה מנסים לנבא את הסטייה מקו הרגרסיה עבור כל תצפית: u δx δ x δ 3x3 δ 4x4 δ ω הרציונאל של המבחן הוא: אחת מן ההנחות הקלאסיות של מודל הרגרסיה היא כי המשתנים הב"ת אינם ( ). cov, u מתואמים עם טעות האמידה:

.( המשתנים המצויים בתוך המודל (השניים הראשונים), לא מתואמים עם טעות R u האמידה ( לגבי שני המשתנים שיש לנו ספק לגביהם: אם הם יהיו מתואמים עם טעות האמידה ) להוסיפם למודל וכי הם רלוונטיים (דוחים H). אם הם אינם מתואמים עם טעות האמידה ) (מקבלים את H). ( זו אינדיקציה ש"שכחנו" R u 34 R u 34 ), המודל מושלם כמו שהוא הסבר באמצעות מעגלי וואן: חישוב הסטטיסטי: הכפלת ה- R של רגרסיית העזר במספר התצפיות (T). LM sa R T כלל הכרעה של H: נדחה את H. LM sa > χ m אם מס' ההגבלות ב- H. m- 3

לדוגמא: UNRESTRICTED Dependen variable: Y Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model ------ 64669.84 ------------ -----------. Error ------ 6.7 C Toal 3 64679. Roo MSE ------ R-square ----- Dep Mean ---- Adj R-sq ----- C.V. ----- Parameer Esimaes Parameer Sandard T for H: Variable DF Esimae Error Parameer Prob> T INTERCEP 5.6773.45664.9874..97576.47.84485. 3.5385.8679 346.7. 3-5.9.7349-68.7546. 4 8.9746.975 38.6485. 4

RESTRICTED Dependen variable: Y Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model ------ 646.8 Error ------ 788. C Toal 3 64679. Roo MSE --------- R-square ----- Dep Mean --------- Adj R-sq ----- C.V. --------- Parameer Esimaes Parameer Sandard T for H: Variable DF Esimae Error Parameer Prob> T INTERCEP 7.6773.65664.7646. 6.36455.75667 34.84485. 9.5866.76993 384.7. Dependen variable :RES Analysis of Variance רגרסיית עזר Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model ------ 64669.84 -------- -------. Error ------ 6.7 C Toal 3 64679. 5

Roo MSE --------- R-square.3 Dep Mean --------- Adj R-sq ------- C.V. --------- Parameer Esimaes Parameer Sandard T for H: Variable DF Esimae Error Parameer Prob> T INTERCEP 5.96889.77664 7.675584..7773.978845.33875.8455.484697.886754.545889.9976 3-5.9.7349-68.7546. 4 8.9746.975 38.6485. בדקו את הטענה כי לפחות אחד מן המשתנים הנוספים רלוונטי למודל בשתי דרכים. איזה מן המשתנים הנוספים רלוונטי למודל? ( ( **שימו לב כי: -כל המדדים (הבטות, ערכי וה- Pvalu ) עבור המשתנים הנוספים למודל ברגרסיית העזר שווים לאלו של הרגרסיה הלא מוגבלת. עבור המשתנים הקיימים במודל -המדדים אינם שווים בין שתי הרגרסיות. 3) הסבירו את הקשרים בין שלוש המשוואות: (R ( (U ( ו (עזר) ואת הקשר בין מבחן.LM WALDומבחן הקשר בין משוואות ה- U, ה- Rוהעזר: עזר UR א. 6

R ESS U R ע ESS U ESS ע ESS R TSS R U ב. ג. ד. ע ע עTSS ESS ESS ESS R ESS ESS LM sa 4) שחזרו בעזרת שתי המשוואות הראשונות ) Uו- R) את WALD sa 5) שחזרו בעזרת המשוואה האחרונה (רגרסיית העזר) את 7

פרק - משתני דמי הנושא של משתני דמי מטפל בהכנסת משתנים ב"ת איכותיים למודל הרגרסיה. עד כה כל המשתנים הב"ת שהכנסנו למודל היו כמותיים, כלומר קיבלו ערכים מספריים. למשל, נניח שאנו סבורים שמס' שנות הלימוד של אדם משפיעות על שכרו: W השכר (המשתנה התלוי) שנות לימוד (המשתנה הב"ת ( S W S משוואת הרגרסיה: במקרה זה המשתנה המסביר (כמו גם המוסבר) הוא כמותי. נניח שאנו סבורים שגם משתנה המגדר משפיע על השכר. משתנה זה איננו כמותי כמו שנות לימוד אלא איכותי שכן הוא לא מקבל ערכים מספריים אלא ערכים קטגוריאליים כ"גבר" או "אישה". נשאלת השאלה כיצד נכניס אותו לתוך משוואת הרגרסיה? נגדיר משתנה D שיקבל את הערך אם מדובר ב"אישה" ואת הערך אם מדובר ב"גבר". משתנה כזה נקרא משתנה דמי variable).(dummy לעומת משתנה רגיל ש"פועל" תמיד, משתנה זה "יפעל" רק אם מדובר בגבר. ניתן להכניס את משתנה הדמי למודל בשלושה אופנים שונים: () משתנה דמי לחותך- המין משפיע על השכר ההתחלתי בלבד () משתנה דמי לשיפוע- המין משפיע על התוספת לשכר בגין שנות הלימוד (3) משתנה דמי לכל הפונקציה- המין משפיע גם על החותך וגם על השיפוע ( )משתנה דמי לחותך המין משפיע על השכר ההתחלתי בלבד. 8

W D S u המודל: החותך מייצג כאן את השכר ההתחלתי. שכר ההתחלתי של אישה: שכר התחלתי של גבר: (הפרש בין החותכים) הבדל בשכר בין נשים וגברים: בדיקת השערות על משתנה הדמי: מבחן למובהקות הפרש החותכים: H :? ** השיפוע מייצג את התוספת בשכר כפונקציה של מס' שנות הלימוד והוא זהה עבור נשים וגברים. על בסיס מדגם של 5 איש העובדים בחברה מסוימת התקבלו התוצאות הבאות: W 55 43 D 9 S (S.E) (34) (56) ( 4) המספרים בסוגריים הם טעויות התקן של מבחני המובהקות לפרמטרים. מהו השכר ההתחלתי של גבר בעל שנות לימוד? א. מה ההבדל בשכר ההתחלתי בין גברים לנשים? ב. האם הבדל זה מובהק באוכלוסיה? ג. בדקו את הטענה כי השכר ההתחלתי של גברים גבוה ביותר מ- 5 מזה של ד. נשים. בדקו את הטענה שהשכר ההתחלתי של נשים נמוך ב- 6 מזה של גברים. ה. 9

פונקצית רגרסיה המכילה משתנים איכותיים בלבד המגדר הוא המשתנה היחיד במשוואה: D u W החותך מייצג כאן את השכר הממוצע עבור כל קטגוריה. שכר הממוצע של אישה: שכר הממוצע של גבר: (הפרש בין החותכים) הבדל בשכר הממוצע בין נשים וגברים: בדיקת השערות על משתנה הדמי: מבחן בין ממוצעים). H : (מבחן זהה למבחן להבדל :? על אותו המדגם של 5 איש העובדים בחברה מסוימת ביקש החוקר לבדוק האם יש הבדל בשכר הממוצע בין גברים לנשים. תוצאות האמידה: W 5 D S נתון: 63 בדקו האם קיים הבדל מובהק בשכר הממוצע בין נשים וגברים? ( )משתנה דמי לשיפוע המגדר משפיע על התוספת לשכר בגין שנות הלימוד. W DS u S השיפוע מייצג כאן את התוספת לשכר בגין שנות לימוד. אצל אישה: התוספת לשכר בגין שנות לימוד- אצל גבר: התוספת לשכר בגין שנות לימוד- (הפרש השיפועים) הבדל בין גברים לנשים בתוספת לשכר בגין שנות הלימוד:

בדיקת השערות על משתנה הדמי: מבחן למובהקות הפרש H : השיפועים:? ** החותך, המייצג את השכר ההתחלתי, יהיה זהה עבור גברים ונשים. על בסיס אותו מדגם, ביקש החוקר לדעת האם קיים הבדל מובהק בין גברים לנשים בתוספת לשכר בגין שנות הלימוד. תוצאות האמידה נתונות להלן: W 5 S D S u (68) (3) (5) בדוק את ההשערה. ( 3 )משתנה דמי לכל הפונקציה המין משפיע גם על החותך וגם על השיפוע. הווה אומר, גם על השכר ההתחלתי וגם על התוספת לשכר ההתחלתי בגין שנות הלימוד. D S W DS u המודל: השכר ההתחלתי של אישה: השכר ההתחלתי של גבר: הבדל בשכר ההתחלתי בין המינים: (הבדל בחותכים) אצל אישה-התוספת לשכר בגין שנות הלימוד: אצל גבר-התוספת לשכר בגין שנות הלימוד: (הבדל בשיפועים) הבדל בין המינים בתוספת לשכר בגין שנות הלימוד:

בדיקת השערות למשתני הדמי: H : באמצעות מבחן WALD יש לבדוק: לפחות אחד הפרמטרים שונה מ- H: אם דוחים את השערת האפס, יש לבצע מבחני עבור כל אחד מהפרמטרים בנפרד: H : HO : ו- מבחן CHOW דרך נוספת לבדיקת ההבדל בין הקטגוריות, בלא יצירת משתני דמי: (T m ושל חלוקת המדגם לפי הקטגוריות של המשתנה האיכותי. מדגם של גברים ).(T f נשים ) עבור כל קבוצה לאמוד משוואות רגרסיה לניבוי שכר על ידי שנות לימוד. נשים: W u f f גברים: W u m m H : ; f m f m השערות: לבדיקת ההשערה נשתמש במבחן CHOW (הזהה למבחן WALD שהשתמשנו בו מקודם): המודל המוגבל (R) לא לוקח בחשבון את השפעת המגדר ולכן לא יכלול את המדגם המאוחד כי אין צורך בשתי רגרסיות נפרדות: W u

ESS DF U U ESS DF f f ESS DF m m המודל הלא מוגבל (U) כולל את שני חלקי המדגם: ESS R ( ESS DFR ( DFf DF m) CHOW sa WALD ESS ESS DF f f f DF ESS m m m ) sa למרות התוצאות הזהות בשתי הדרכים, שיטת משתני הדמי עדיפה:. אם דחינו את HO במבחן CHOW נתקשה לברר את מקור ההבדל שנמצא.. בהרצת שתי רגרסיות נפרדות אנו בודקים הבדל בכל הפונקציה ואילו שיטת משתני הדמי מאפשרת לבדוק הבדל רק בחותך או רק בשיפוע.? חוקר רצה לבדוק את הטענה שסוג הכביש משפיע על מס' תאונות הדרכים בקטעי כביש בינעירוניים, בהינתן נפח התנועה. החוקר בדק האם הפונקציה של מס' התאונות בהינתן נפח התנועה, שונה בין כבישים מהירים לבין כבישים שאינם מהירים. לשם כך אמד החוקר את ארבע המשוואות הבאות: כבישים מהירים בלבד () כבישים לא - מהירים בלבד () שני סוגי הכביש (כל המדגם) (3) 3

(4) מס' תאונות הדרכים הקטלניות בקטע כביש בשנה כאשר : נפח התנועה בקטע כביש ליום באלפים משתנה דמי המקבל את הערך כאשר הכביש מהיר, ו- כאשר הכביש לא מהיר. תוצאות אמידת המשוואות מופיעות בהמשך השאלה. בדקו את טענת החוקר בשתי דרכים שונות. ציינו איזה מן המשוואות רלוונטיות עבור כל דרך. חשבו את הערכים המספריים עבור אומדני משוואה (4). מהו האומדן הנקודתי למס' התאונות בכביש מהיר כאשר נפח התנועה עומד על ארבעת מכוניות ליום בקטע הכביש האמור? ( ( (3 הועלתה הטענה כי המקדם להשפעה של נפח התנועה בדרכים מהירות הינו כפול מזה שבדרכים לא -מהירות. 4) מהי השערת האפס לבדיקת הטענה (במונחי משוואה (4))? 4

" למבחן?WALD 5) מהי הרגרסיה "תחת 5

- כבישיםמהיריםבלבד משוואה () The REG Procedure Model: MODEL Dependen Variable: num num Number of Observaions Read 344 Number of Observaions Used 344 Analysis of Variance Sum of Mean > F <. Source DF Squares Square F Value Pr Model 47.874 47.874 89. Error 34 839 5.74684 Correced Toal 343 74 Roo MSE 7.67 R-Square.67 Dependen Mean 5.465 Adj R-Sq.44 Coeff Var 4.767 Parameer Esimaes Parameer Sandard Variable DF Esimae Error Value Pr > Inercep.5589.5433.86.45 avgd.98. 9.44 <. 6

משוואה () - כבישיםלאמהירים בלבד The REG Procedure Model: MODEL Dependen Variable: num num Number of Observaions Read 4 Number of Observaions Used 4 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F <. Model 97.9973 97.9973 45.83 Error 48 79.3483 6.6657 Correced Toal 49 369.339 Roo MSE.5868 R-Square.633 Dependen Mean.3878 Adj R-Sq.65 Coeff Var 86.6 Parameer Esimaes Parameer Sandard Variable DF Esimae Error Value Pr > Inercep.4978.636.9.365 avgd.877.38.8 <. 7

משוואה (3) - שניסוגיהכביש (כלהמדגם) The REG Procedure Model: MODEL Dependen Variable: num num Number of Observaions Read 754 Number of Observaions Used 754 Analysis of Variance Sum of Mean > F <. Source DF Squares Square F Value Pr Model 85.84 85.84 88.84 Error 75 964 7.8773 Correced Toal 753 96 Roo MSE 5.799 R-Square.775 Dependen Mean 3.8355 Adj R-Sq.765 Coeff Var 7.758 Parameer Esimaes Parameer Sandard Variable DF Esimae Error Value Pr > Inercep.7393.3665 3..9 avgd.33.37 7. <. 8

משוואה (4) The REG Procedure Model: MODEL Dependen Variable: num num Number of Observaions Read 754 Number of Observaions Used 754 Analysis of Variance Sum of Mean > F <. Source DF Squares Square F Value Pr Model 3 856.966 75.3 99.44 Error 75 759 7.678 Correced Toal 753 96 Roo MSE 5.6 R-Square.846 Dependen Mean 3.8355 Adj R-Sq.87 Coeff Var 7.6553 Parameer Esimaes Parameer Sandard.6534.67 <. Variable DF Esimae Error Value Pr > Inercep.4978.3334.45 ype avgd 9

.83 avgdype סיכום ביניים: משתנה דמי לחותך משתנה דמי לשיפוע משתנה דמי לכל הפונקציה D Y D u Y D u Y D u המודל ההשערה במילים קיים הבדל בין הקטגוריות ב- Y ההתחלתי (בחותך). קיים הבדל בין הקטגוריות בתוספת ל- Yבגין (בשיפוע). קיים הבדל בין הקטגוריות במשוואת הרגרסיה כולה (בחותך ובשיפוע). בדיקת ההשערה מבחן להפרש החותכים: מבחן להפרש השיפועים: מבחן WALDלהפרש בין הפונקציות (החותכים והשיפועים): H : H : H : **ניתן לבדוק את ההשערה בדבר הבדל בין הפונקציות גם במבחן.CHOW אם דוחים את HO יש לברר את מקור ההבדל באמצעות מבחני (אפשרי רק ב- WALD ): H : H :

משתני דמי אם המשתנה האיכותי יכול לקבל יותר משני ערכים כאשר המשתנה האיכותי כלל שני ערכים בלבד (למשל, מגדר: גבר, אישה) הסתפקנו במשתנה דמי אחד. במקרים רבים המשתנה האיכותי כולל יותר משני ערכים/קטגוריות. במקרה כזה נגדיר מס' משתני דמי כמספר הקטגוריות פחות אחד. למשל, את המשתנה האיכותי של עונות השנה הכולל 4 ערכים: אביב, קיץ, סתיו, חורף נייצג באמצעות 3 משתני דמי: יקבל את הערך אם מדובר באביב ו- אחרת. יקבל את הערך אם מדובר בקיץ ו- אחרת. יקבל את הערך אם מדובר בסתיו ו- אחרת. D D D 3 אם מדובר בחורף אז כל משתני הדמי יקבלו את הערך ולכן החורף היא קבוצת הייחוס. נניח שאנו רוצים לבדוק עונתיות במחירי הירקות: V מדד מחירי הירקות p מדד המחירים לצרכן ( )משתנידמילחותך הטענה: יש הבדל בין עונות השנה במחיר ההתחלתי של הירקות D D 3D3 V P u המודל: כל עליה של יחידה אחת במדד המחירים לצרכן תעלה את מחירי הירקות ב-. למחיר זה יתווסף בסתיו. 3 בקיץ ו- באביב, בחורף, ניתן לראות כי: :החותך בקטגוריה שהושמטה i. בקטגוריה :החותך i

בדיקת השערות: השערות: H : 3 H: OTHERWISE המבחן הסטטיסטי : מבחן :WALD D D 3D3 V P u V P u (U) (R) **שימו לב שהחותך במשוואה המוגבלת איננו השנה ירד. שכן המשתנה המסביר של עונות אם נדחה את HOבמבחן הסטטיסטי של הסעיף הקודם, יש לבדוק מה מקור ההבדל בין החותכים על ידי מבחני : H : האם יש הבדל במחיר ההתחלתי של הירקות בין האביב לחורף: H : האם יש הבדל במחיר ההתחלתי של הירקות בין הקיץ לחורף: H : 3 האם יש הבדל במחיר ההתחלתי של הירקות בין הסתיו לחורף:...3? א. הועלתה הטענה כי יש הבדל במחיר ההתחלתי בין האביב לקיץ. מהי השערת האפס לבדיקת הטענה? פרטו שני מבחנים סטטיסטיים בעזרתם ניתן לבדוק את הטענה... ב. הועלתה הטענה כי יש רק שתי עונות המשפיעות על מחיר הירקות ההתחלתי: קיץאביב, חורףסתיו. מהי השערת האפס לבדיקת הטענה? מהו המבחן הסטטיסטי המתאים? פרטו...

( )משתני דמי לשיפוע הטענה: יש הבדל בין עונות השנה בתוספת למחיר הירקות בגין המחיר לצרכן V P ) u P ( D ip ) ( DiP ) 3( D3i המודל: המחיר ההתחלתי של הירקות שווה בין עונות השנה ) ) אולם כל עליה של יחידה אחת במדד המחירים לצרכן תעלה את מחירי הירקות ב: בסתיו. 3 בקיץ ו- באביב, בחורף, ניתן לראות כי: : השיפוע בקטגוריה שהושמטה.i השיפוע בקטגוריה : i בדיקת השערות: השערות: H : 3 H: OTHERWISE המבחן הסטטיסטי : מבחן :WALD V P ) u P ( D i P ) ( Di P ) 3( D3i V P u (U) (R) **שימו לב שהשיפוע במשוואה המוגבלת איננו השנה ירד. שכן המשתנה המסביר של עונות אם נדחה את HOבמבחן הסטטיסטי של הסעיף הקודם, יש לבדוק מה מקור ההבדל בין השיפועים על ידי מבחני. ( 3 )משתנידמילכלהפונקציה הטענה:יש הבדל בין עונות השנה בפונקצית הרגרסיה לניבוי מחיר הירקות באמצעות המחיר לצרכן. V P ) u D i Di 3D3i P ( D ip ) ( Di P ) 3( D3i המודל: 3

HO בדיקת השערות: השערות: : 3 3 המבחן הסטטיסטי: מבחן :WALD V P ) u D i Di 3D3i P ( D i P ) ( DiP ) 3( D3i V P u (U) (R) אם דוחים את,HO יש לבדוק במבחני WALD האם ההבדל הוא בין החותכים או בין השיפועים: HO : 3 HO : 3 באם דוחים את H יש להמשיך לבדוק באמצעות מבחני : : HO j H : j משתני דמי עבור שני משתנים איכותיים נתבונן בדוגמא שבה יש שני משתנים איכותיים המשפיעים על פונקצית השכר- מגדר (אישה, גבר) וגזע (לבן, שחור). נגדיר משתנה דמיGשיקבל אם מדובר בגבר ו- אחרת (אישה). נגדיר משתנה דמיRשיקבל אם מדובר בלבן ו- אחרת (שחור). נבדוק כיצד מגדר וגזע משפיעים על השכר ההתחלתי (החותך), כאשר השכר תלוי.( S גם בשנות לימוד ) 4

() הבדל בחותך ללא אינטראקציה W G R S u המודל: במודל זה- אין השפעה משולבת של מגדר וגזע על השכר ההתחלתי. במילים אחרות, ההבדל בשכר ההתחלתי בין גברים ונשים לא תלוי בגזע (זהה עבור שחורים ועבור לבנים) ולהיפך-ההבדל בשכר ההתחלתי בין לבנים לשחורים לא תלוי במגדר (זהה עבור נשים וגברים). ניתן לבדוק השערות על כל אחד מהמשתנים הב"ת האיכותיים בנפרד: הבדל בשכר ההתחלתי בין גברים לנשים : HO :. H :. הבדל בשכר ההתחלתי בין שחורים ללבנים: () הבדל בחותך עם אינטראקציה W G R G R המודל: S u 3 במודל זה הטענה היא כי קיימת, בנוסף להשפעה של מגדר וגזע בנפרד על השכר, גם השפעה משולבת (אינטראקציה) של מגדר וגזע על השכר ההתחלתי. במילים אחרות, ההבדל בשכר ההתחלתי בין גברים ונשים תלוי בגזע (שונה אם מדובר בשחורים או בלבנים) ולהיפך. במודל זה, לעומת הקודם, נוספת ההשערה לבדיקת השפעת האינטראקציה בין מגדר לגזע על השכר ההתחלתי: HO : 3.3 5

א דרך נוספת ליצירת מודל עם אינטראקציה: הגדרת משתני דמי המייצגים שילוב בין המשתנים האיכותיים גזע ומגדר באופן הבא: D יקבל אם מדובר בגבר לבן ו- אחרת D יקבל אם מדובר בגבר שחור ו- אחרת D 3 יקבל אם מדובר באשה לבנה ו- חרת הנשים השחורות מהוות כאן את קבוצת הייחוס. W γ D γ D γ D δ המודל: S u γ 3 3 נעזר בטבלה בכדי לנסח את ההשערות לבדיקת האינטראקציה: גבר אישה הפרש γ γ 3 γ γ 3 γ γ לבן γ γ γ γ שחור γ 3 γ γ הפרש ההשערות לבדיקת קיום האינטראקציה: HO : γ γ γ 3 HO : γ γ או γ 3 התוצאות שיתקבלו כאן יהיו כמובן זהות לחלוטין לתוצאות שהתקבלו בדרך הקודמת: WALD PF P 6

? שאלה מס' חוקר בדק השפעות של השכלה, גזע (שחור, לבן) וניסיון (EP) על לוג השכר (ln(y)) במדגם בן 36 תצפיות: ln( Y ) D D D EP EP u 3 3 ( ln(y -לוג השכר -EP שנות ניסיון D מקבל את הערך עבור שחורים בעלי השכלה גבוהה (ו- אחרת) D מקבל את הערך עבור שחורים בעלי השכלה נמוכה (ו- אחרת) D 3 מקבל את הערך עבור לבנים בעלי השכלה גבוהה (ו- אחרת) תוצאות אמידת משוואת הרגרסיה מוצגות בפלט להלן: Analysis of Variance Sum of Mean > F --- Source DF Squares Square F Value Pr Model 5 -------- ------ ------ --- Error 3 4 ------ Correced Toal 35 Roo MSE ------- R-Square ------- Dependen Mean ------- Adj R-Sq ------- Coeff Var ------- 7

א( ב( ג( ד( ה( Parameer Esimaes Parameer Sandard Variable DF Esimae Error Value Pr > Inercep ------- -------- 6.84. D ------- -------- - 3.. D ------- -------- - 5.56. D3 ------- -------- 7.3. EP ------- -------- 8.. EP -------- -------- - 7.45. בטרם ניגשים לפיתרון השאלה יש להכין את טבלת העזר הבאה: השכלה נמוכה השכלה גבוהה הפרש 3 3 לבנים שחורים 3 הפרש ( לפי המשוואה הניסיון זהה עבור שחורים ולבנים: נכון/לא נכון/ לא ניתן לדעת ( בדוק את הטענה כי בקרב אנשים בעלי השכלה נמוכה אין השפעה לגזע. ( בדוק את הטענה כי אין השפעות השכלה בקרב לבנים. ( הי השערת האפס לבדיקת הטענה כי אין אינטראקציה בין גזע להשכלה? )לבדיקת ההשערה של הסעיף הקודם בוצע מבחן.WALD 8

ו( ז( ח( הרגרסיה המוגבלת תחת השערת האפס הינה: Z מהם ה- Zים? γ γ Z γ Z γ Z γ ν 3 3 4Z 4 ( בדוק את ההשערה אם ידוע שבמודל המוגבל.33 R ( החוקר החליט לאמוד במקום את המשוואה המקורית את המשוואה: ln( Y) λ λ S λ E λ ( S E δ EP δ EP ω 3 ) כאשר: Sמקבל את הערך עבור שחורים ו- אחרת (לבנים) E מקבל את הערך עבור השכלה גבוהה ו- אחרת (השכלה נמוכה). מה הקשר בין המקדמים של שני המודלים? )אם יאמוד החוקר את המשוואה: ln( Y ) λ λ S λ E δ EP δ EP ω האם תהיה טעות ספציפיקציה של השמטת משתנה רלוונטי (היעזר בסעיפים ד',ו' ו-ז'). שאלה מס' חוקרת הבאה: בדקה השפעות השכלה, מגדר וניסיון על הכנסה מעבודה לפי המשוואה ln( MWAGE) S E ( S E) EP ( EP S) ( EP E) ( EP S E) U 3 3 משתנה דמי : עבור נשים, גברים משתנה דמי : עבור השכלה גבוהה ) > scl (, השכלה S E כאשר : נמוכה 9

בטרם ניגשים לפיתרון השאלה יש להכין את טבלת העזר הבאה: (E) השכלה גבוהה (E) השכלה נמוכה הפרש 3 ( )EP חותך: 3 ( 3)EP נשים (S) 3 שיפוע: חותך: EP ( )EP גברים (S) שיפוע: חותך: 3 הפרש חותך: שיפוע: 3 שיפוע: א. רשמו את הפונקציה לחישוב: תחזית לוג השכר עבור גבר בעל השכלה נמוכה ו- שנות ניסיון. תחזית לוג השכר ההתחלתי עבור נשים משכילות. לאחר כמה שנות ניסיון ישתווה השכר של נשים משכילות לזה של גברים משכילים?...3 ב. רשמו את השערות האפס המתאימות לבדיקת הטענות הבאות: אין השפעה של מגדר והשכלה על השכר. השפעת ההשכלה אינה תלויה במגדר. אין השפעות השכלה אצל גברים. אין הבדל בשיעורי התשואה לניסיון, בקרב הנשים....3.4 3

פרק - 3 הפרה של ההנחות הקלאסיות ארבעת הנושאים האחרונים שנלמד עוסקים במצב של הפרת אחת ההנחות הקלאסיות הדרושות לאמידת הפרמטרים בשיטת.OLS הנושא הראשון- הטרוסקדסטיות, עוסק בהפרת הנחה מס' 5 המדברת על שונות קבועה ויחידה לאורך קו הרגרסיה:.V ( ) σ u הנושא השני- מתאם סידרתי, עוסק בהפרת הנחה מס' 6 המדברת על אי תלות cov( u, u s בין הטעויות: ) הנושא השלישי-מודלים דינמיים, והרביעי-משוואות סימולטניות, עוסקים בהפרת הנחה מס' 4 המדברת על אי תלות בין המשתנים הב"ת לטעויות: cov( x, u) בכל אחד מן הנושאים נלמד: מהן ההשלכות של הפרת ההנחות הללו על אומדי הריבועים הפחותים. מהם המבחנים הסטטיסטיים המשמשים לזיהוי קיומה של ההפרה. כיצד נתקן את משוואת הרגרסיה כך שניתן יהיה לאמוד את הפרמטרים בשיטת.OLS 3

פרק - 4 הטרוסקדסטיות הטרוסקדסטיות הוא מצב שבו מופרת הנחה מס' 5, הנחת ההומוסקדסטיות, הגורסת כי השונות של ה"קריזה" היא אותה שונות עבור כל תצפית ותצפית: Vלכל ( ) σ, כלומר התצפיות מפוזרות באופן אחיד סביב קו הרגרסיה. V u במצב של הטרוסקדסטיות הקריזה של כל תצפית היא בעלת שונות אחרת: ( u ) σ למשל כאשר בודקים את הקשר שבין הכנסה ותצרוכת מגלים כי ברמות הכנסה נמוכות אין גמישות רבה בהוצאות ולכן התצפיות מרוכזות סביב קו הרגרסיה. לעומת זאת ברמות גבוהות של הכנסה התצפיות מפוזרות יותר ויש שונות גבוהה יותר בתצרוכת. השונות, אם כן, איננה אחידה סביב קו הרגרסיה והיא תלויה בתצפית- זהו מצב של הטרוסקדסטיות. ההשלכות של הטרוסקדסטיות על אומדי OLS מבין התכונות של אר"פ (ליניאריות, חוסר הטיה, עקיבות ויעילות) היחידה שמופרת בהינתן הטרוסקדסטיות היא: יעילות של אומדי הרבועים הפחותים. זאת מכיוון שבכדי להוכיח יעילות של האומדים השתמשנו בהנחה מס' 5 של שונות קבועה. לכן הפרתה גוררת פגיעה ביעילות האומד. מבחנים לזיהוי הטרוסקדסטיות החשד לקיומה של בעיית הטרוסקדסטיות בנתונים צריך להתעורר כאשר אנו בוחנים את גרף השאריות. גרף השאריות גם מאפשר לנו לבחון את הצורה הפונקציונאלית של השונות, כלומר באיזה אופן השונות משתנה בין תצפית לתצפית. קיימות שתי שיטות לזיהוי הטרוסקדסטיות: מבחן (Goldfeld-Qauand) GQ ומבחן.Whie 3

ההבדל בין שני המבחנים הוא בהחלטה על הצורה הפונקציונאלית של השונות. כלומר על האופן שבו השונות משתנה בין תצפית לתצפית, (על פי דיאגראמת הפיזור). מבחן GQמניח כי במקום שונות אחת אחידה של הטעויות לכל התצפיות, קיימות שתי שונויות שונות בלבד. ואילו מבחן Whieמניח כי לכל תצפית ותצפית שונות שונה של טעויות. ( מבחן GQ ההנחה העומדת בבסיס מבחן זה היא כי קיימות שתי שונויות שונות של טעויות. ביצוע המבחן: מחלקים את המדגם לשני חלקים: החלק שבו אנו חושדים שיש שונות גבוהה יותר החלק שבו אנו חושדים שיש שונות נמוכה יותר.. מקובל להשמיט מס' תצפיות (בין /6 ל- /3 ) במרכז המדגם. אומדים כל אחד מהחלקים בנפרד ומקבלים את ה- ESS של כל חלק. F sa ESS ESS / T / T K K מחשבים את הסטטיסטי : (תמיד השונות הגבוהה חלקי הקטנה). F( ; T K, T K ) סטטיסטי זה מתפלג F sa > F C כלל ההכרעה: אם אז דוחים את H. HO : σ H: σ σ > σ ההשערות: 33

Y u לדוגמא: נאמד הקשר שבין הכנסה לתצרוכת: גרף השאריות של הרגרסיה הנ"ל נתון להלן: Scaerplo Dependen Variable: Y 5 Regression Sandardized Residual 4 3 - - -3-4 -5 Rsq. - - Regression Sandardized Prediced Value מגרף זה אנו למדים כי ככל שעולים ברמת ההכנסה כך השונות בהוצאות הפרט עולה. כלומר השונות איננה אחידה סביב קו הרגרסיה אלא תלויה ברמת ההכנסה- זהו מצב של הטרוסקדסטיות. בכדי לבצע מבחן : GQ התצפיות של המשתנה הכנסה סודרו מהגדול לקטן והמדגם חולק לשלוש קבוצות שוות. רגרסיה נפרדת הורצה על השליש הראשון ועל השליש האחרון. התוצאות של אמידת הקשר בין הכנסה לתצרוכת מוצג בפלטים ו- בהתאמה: משוואה () The REG Procedure Model: MODEL 34

Dependen Variable: Y Number of Observaions Read 6 Number of Observaions Used 6 Analysis of Variance Sum of Mean > F -- Source DF Squares Square F Value Pr Model -- ------- ------ ---- ---- Error 4 6645.9 ----- Correced Toal --- ----- משוואה () The REG Procedure Model: MODEL Dependen Variable: y Number of Observaions Read 6 Number of Observaions Used 6 Analysis of Variance Sum of Mean > F -- Source DF Squares Square F Value Pr Model --- -------- -------- ------ --- Error 4 934638 ------ Correced Toal --- ---- השערות: HO : σ H: σ σ > σ 35

F sa סטטיסטי המבחן: ESS / T ESS / T K,934,638 K 66,45.9 7.6 כלל הכרעה: F sa לכן יש סיבה מספקת לדחות את HOברמת 7.6> F (.5;4,4).48 מובהקות של 5%. מסקנה: יש עדות להטרוסקדסטיות בנתונים.? על מנת לבחון את פונקצית הייצור בענף מסוים נאספו נתונים על 5 פירמות. נסמן: Qתפוקה שנתית באלפי שקלים. Lמספר עובדים ln( Q) המודל הנאמד: (L ln( החוקר חשש שההפרעה המקרית איננה הומוסקדסטית. לשם כך הוא מיין את התצפיות בסדר עולה של מספר העובדים, השמיט /3 מהתצפיות האמצעיות והריץ שתי רגרסיות נפרדות עם מספר שווה של תצפיות: ברגרסיה הכוללת את הערכים הנמוכים יחסית של תשומת העבודה הוא קיבל: ESS79.3 R. 43 ברגרסיה הכוללת את הערכים הגבוהים יחסית של תשומת העבודה הוא קיבל: ESS493.8 R.38 האם יש עדות לקיום הטרוסקדסטיות בנתונים? (בצעו את המבחן המתאים: רשמו השערות, חשבו סטטיסטי מבחן, רשמו כלל הכרעה והגיעו למסקנה). 36

( מבחן Whie ההנחה העומדת בבסיס מבחן זה כי לכל תצפית ותצפית שונות שונה של טעויות. הביטוי המתמטי של הנחה זו היא היותה של השונות פונקציה ליניארית של כל המשתנים המסבירים, ריבועיהם והאיברים הצולבים: σ σ f ( x j, x, x x j x... x j j ) k k x k... x k k γ x x u γ x x... 3 σהוא האומד ל- המבחן הוא מבחן :LM 3 û אומדים את המודל המקורי ומקבלים את הסטיות מקו הרגרסיה (המכונה ב.(RES- SAS u אומדים את כפונקציה ליניארית של כל המשתנים המסבירים, u / x, x, x j j j x j ריבועיהם והאיברים הצולבים: זוהי רגרסיית העזר. LM sa T R ע נחשב את סטטיסטי :LM ע LM sa > χ m אם כאשר m מס' המשתנים ברגרסיית העזר. השערות: HO : γ j H: OTHERWISE נדגים על אותו הקשר שבין הכנסה לתצרוכת: j jj Y u שאנו חושדים על פי גרף השאריות כי קיים בו מצב של הטרוסקדסטיות. בכדי לבצע את מבחן : WHITE, u Y Y נחשב את השאריות של הרגרסיה: 37

נעלה את השאריות בריבוע: u u ν נאמוד את המשוואה: תוצאות האמידה מוצגות להלן: The REG Procedure Model: MODEL Dependen Variable: RES Number of Observaions Read 48 Number of Observaions Used 48 Analysis of Variance Sum of Mean > F -- Source DF Squares Square F Value Pr Model --- ------- ------ ------ --- Error --- ------- ------ Correced Toal --- ---- Roo MSE ------- R-Square.39763 Dependen Mean ------- Adj R-Sq ------- השערות: H : H: OTHERWISE סטטיסטי המבחן: LM sa 48.397 עR עT 8.75 38

כלל הכרעה: LM sa לכן יש סיבה מספקת לדחות את H ברמת 8.75> χ (.5) 5.99 מובהקות של 5%. מסקנה יש עדות לקיום של הטרוסקדסטיות בנתונים. **הערה חשובה: אם חלק מערכי שלילית) יש להוציא לוג ולאמוד את u יצאו שליליים (והרי שונות לא יכולה להיות ln u כך התחזית תצא תמיד חיובית.? חוקר מניח כי מכירות של חנות הן פונקציה של שיטחה, דמי שכירות והאפשרות של מכירת עיתונים. נסמן: Y_SALES מכירות חודשיות (ש"ח) _SQUARES שטח החנות(מ"ר) _RENT דמי שכירות( ($ PAPERS משתנה איכותי המקבל -אם החנות מוכרת גם עיתונים ו- אם לא. החוקר חשד כי קיימת בעיה של הטרוסקדסטיות בנתונים. החוקר ביצע מבחן לזיהוי הטרוסקדסטיות שתוצאותיו נתונות להלן: Dependen Variable: Number of Observaions Read Number of Observaions Used 39

Analysis of Variance Sum of Mean > F -- Source DF Squares Square F Value Pr Model --- ------- ------ ------ --- Error --- ------- ------ Correced Toal --- ---- Roo MSE ------- R-Square.8694 Dependen Mean ------- Adj R-Sq ------- Parameer Esimaes Parameer Sandard -- --- --- --- -- --- --- --- Variable DF Esimae Error Value Pr > Inercep ------- ---- ------- --- _SQUARE ------- ----- ------ --- _SQUARE^ ------- ----- ----- --- _SQUARE*_RENT ------- ----- ------ -- _RENT ------- -------- ----- -- _RENT^ -------- -------- ----- -- _RENT*PAPERS ------- ------ ----- -- PAPERS ------ ------ ----- - הרגרסיה המופיעה בפלט לעיל נועדה לבדיקת : על ידי מבחן : 4

המשתנה התלוי הינו: המשתנים הב"ת: ההשערות הינן: גודל הסטטיסטי למבחן הינו (רשמו תוצאה מספרית): המסקנה המתקבלת היא: פיתרוןבעייתההטרוסקדסטיות- ריבועיםפחותיםמשוקללים (WLS) Yוידוע כי לכל קריזה שונות u נניח שאנו רוצים לאמוד את המודל : אחרת. ההנחה שעומדת בבסיס שיטת ה- WLSהיא כי השונות המשתנה כוללת בתוכה מרכיב קבוע ומרכיב משתנה: σ Z σ ( Z יש לנטרל. את המרכיב המשתנה בשונות ) לשם כך ניצור משתנה חדש- Wשיהווה השורש ההופכי לאותו מרכיב משתנה: W Z W נכפיל כל תצפית במשתנה החדש של המשוואה המקורית : וניצור משוואה שהיא קומבינציה ליניארית Y Y W W ( W ) u W u בצורתה המפורשת המשוואה החדשה נראית כך: Y Z Z Z u Z 4 קיבלנו מודל חדש שבו :

u Z הקריזה היא : Y Z המשתנה המוסבר: Z Z המשתנים המסבירים הם : ו- במודל זה אין חותך. הפרמטרים ו- הם של המשוואה המקורית (שימו לב כי ל- אין משמעות של חותך). למשוואה זו אין משמעות כלכלית אך היא מאפשרת לנו לאמוד את הפרמטרים ו- בשיטת OLSכך שנקבל אומדים ו- יעילים. ניתן להוכיח כי הטרנספורמציה הליניארית של השונות הפכה אותה לקבועה: V u ( ) V ( u ) σ Z σ Z Z Z Z e כך שיש lnu הערה: אם ביצענו את מבחן WHITEוהוצאנו logלנתונים אז.W e lnu לשקלל את הרגרסיה ב: 4

? שאלה מס' Y U נתון המודל : () ) Z VAR( U ) σ Z ונתון כי : משתנה ידוע). א. ב. מהי הבעיה שנוצרת באמידת משוואה ()? מהן תכונות אומדי הריבועים הפחותים של משוואה ()? כדי לפתור את הבעיה שנוצרה, נאמדה המשוואה הבאה: Y W W ( W ) U W () בצורה יעילה? מהו ג. W שבעזרתו ניתן לאמוד את ו-?σ ד. מהו האומד היעיל של ה. ו. האם ניתן להשוות בין המודלים על בסיס בכל זאת איזה מודל טוב יותר? חוו דעתכם על הטענות הבאות, ונמקו:? R אם לא, האם ניתן להחליט b, Z a התשובות לסעיפים א' ו- ב' נשארות ללא אם נתון כי שינוי.. ε U W (כאשר ( היא אחת ε המשוואה הנורמאלית : המשוואות הנורמאליות לאמידת משוואה ().. שאלה מס'. VAR( U ) σ עני על שאלה מס', כאשר נתון כי 43

שאלה מס' 3 Y u נתון המודל: וקיים מדגם של תצפיות כאשר נתון כי: (שאר ההנחות הקלאסיות מתקיימות) V ( u ) σ } } σ 5 σ 5 א. ב. במשוואה מס' יש בעיה של: אמידת משוואה () תניב אומדים בלתי מוטים ועקיבים: נכון/ לא נכון/ לא ניתן לדעת ג. פיתרון הבעיה הקיימת במשוואה () ייתכן על ידי אמידת המשוואה הבאה: Y W W ( W ) ω () W כאשר: V ( u ) σ 3σ 5 σ 5 ד. } ם נתון כי: } האם ישתנו תשובותיכם לסעיפים א ו-ב : כן/ לא/ לא ניתן לדעת 44

פרק - 5 מתאם סידרתי מתאם סידרתי עוסק במצב שבו מופרת ההנחה הקלאסית מס' 6 -אי תלות בין cov( u, u s הטעויות: ). cov( u, u s זהו מצב שבו קיימת תלות סטטיסטית בין הטעויות במודל: ) תלות כזו בין הטעויות קיימת בדרך כלל כאשר הנתונים הנאספים הם נתוני סדרות עיתיות ולא נתוני חתך בהם עסקנו עד כה. נתוני חתך- מתייחסים לפרטים שונים בתקופת זמן נתונה. נתוני סדרות עיתיות- מתייחסים לאותו הפרט לאורך זמנים שונים. בנתוני החתך סביר שמאחר ומדובר בפרטים שונים -הטעויות בניבוי שלהם תהיינה בלתי תלויות. לעומת זאת בנתוני סדרות עיתיות, מאחר ומדובר באותו הפרט הנמדד בזמנים שונים סביר דווקא שהטעויות בניבוי שלו תהיינה תלויות אחת בשנייה. אם אנחנו מדברים, למשל, על פונקציות תצרוכת: Y u אם מדובר בנתוני חתך- החלטות התצרוכת של פרט לא אמורות להשפיע על החלטותיו של פרט s והנחה 6 תתקיים: cov( u, u s ) אולם אם מדובר על נתוני סדרה עיתית: החלטותיו של פרט מסוים היום סביר שיושפעו מהחלטות שעשה בעבר או שישפיעו על החלטות שיעשה בעתיד: cov( u, u s ) כאשר : - u "קריזה" בזמן.. -s בזמן -"קריזה" u s 45

השלכות על אומדי הריבועים הפחותים (OLS) מבין התכונות של אר"פ (ליניאריות, חוסר הטיה, עקיבות ויעילות) היחידה שמופרת כאשר קיים מתאם סידרתי היא: תכונת היעילות. משום שתכונת היעילות היא היחידה מבין תכונות אר"פ התלויה להוכחתה בקיומה של הנחת אי התלות בין הטעויות. משום הפגיעה בתכונת היעילות, בדיקת ההשערות לא תהיה תקפה. **שימו לב כי במידה וקיים מתאם סידרתי חיובי בין הטעויות ולמשתנים יש מגמת זמן ( עולה או יורד עם הזמן) אומד השונות (ESS) יהיה מוטה כלפי מטה ואז נקבל Fו-, R מוטים כלפי מעלה. מבנה המתאם הסדרתי הגדרנו מתאם סדרתי כהפרה של הנחה מס' 6: Y u cov( u, u s ) נשאלת השאלה כיצד נראית הפרה זו? u מתאם סדרתי מסדר ראשון: ההנחה היא כי יש מתאם בין קריזות במרחק אחד, כלומר תלוי ישירות רק ב- : u cov( u, u ) את המתאם בין ה"קריזות" מסדר ראשון ניתן לנסח באופן הבא: u u ρ ε 46

ρאין מתאם) ρ כך ש: () (כי אם >ρ> (כי אם חורג מ- ה"קריזה" הולכת וגדלה עם הזמן) (3) ρ חיובי פירושו מתאם סדרתי חיובי ואילו ρשלילי פירושו מתאם סדרתי שלילי (לא נפוץ). εמקיים את ההנחות הקלאסיות מאחר ומהווה סטייה מקרית לחלוטין (בניגוד ל- ( u כך ש: E( ε ) V ( ε ) σ cov( ε, ε ε s ) המודל יכיל שתי משוואות-המשוואה העיקרית והגדרת המתאם הסדרתי (מסדר () (4) ראשון): Y u u u ρ ε מלבד ו- נרצה לאמוד גם את. ρ מתאם סדרתי מסדר שני: u u ρ u ρ ε. u u u והן הן משפיעים ישירות על מתאם סדרתי מסדרP : u u ρ u... ρ P u P ρ ε u מושפע מתקופות שונות בעבר. 47

לu לu תכונות המתאם הסדרתי ניתן להוכיח כי מכיוון שכל טעות בזמן מסוים מתואמת עם הטעות הסמוכה לה בזמן: r ( u, u s ) s ρ מכיוון שכך המתאם של u הולך ופוחת עם הזמן: ρ > ρ ρ... ρ 3 u u u u > uu > > 3 s uu s בנוסף לכך, התוחלת, השונות והשונות המשותפת של הטעויות: E( u ) V ( u ) σ u COV ( u, u σ ρ s ε s ) ρ σ u s σ s ρ ρ u נתון מתאם סדרתי מסדר ראשון: ρ ε u? V ( ε ) σ ε נתון כי.9 ρוכי מצאו את: u - א. המתאם בין ב. המתאם בין 4. u הסבר את ההבדל בין המתאמים (סעיף א' ו-ב'). - σ u השונות ג. ד. חזרו על סעיפים א' עד ג' עבור.4 ρ. הסבירו את ההבדל בין התוצאות. מבחנים לזיהוי מתאם סדרתי קיימים שני מבחנים סטטיסטיים לזיהוי קיומו של מתאם סדרתי: 48

מבחן DW (דרבין ווטסון) ומבחן.LM ) מבחן DW (דרבין ווטסון) לקיום מתאם סדרתי מסדר ראשון: נניח תחילה כי אין מתאם סדרתי ונאמוד את המשוואה הראשית בשיטת.OLS כחלק מתוצאות האמידה נקבל ציון DW (יכול לקבל ערכים בין ל- 4 בלבד). נתבונן בטבלת DW ולפי K מס' המשתנים הב"ת במודל ו- T מס' d L ו- d U התצפיות במדגם נשלוף שני ערכים: נחלק את הטווח שבין ל- 4 באופן הבא: ρ > ]_? [ ρ ]? [ ρ < _4 d L 4 d U 4 d L d U נראה היכן נופל ציון ה- DWשהתקבל כחלק מתוצאות האמידה. ניתן לדעת אם יש מתאם ואיזה סוג של מתאם רק אם ציון ה- DWייפול בחלקים המודגשים. השערות: HO : ρ H: ρ >, ρ < חישוב הסטטיסטי DW sa ( ) ρ. DW sa אם אנו מקבלים ציון ρ ניתן להציב בנוסחה ולקבל 49

לדוגמא: חוקר רצה לאמוד את מחיר סגירה של מניה כפונקציה של הזמן שעובר: CLOSE TIME u כאשר:. מחיר סגירה של מניה ב-$ ביום CLOSE TIME משתנה זמן שמקבל את הערכים:,,3 תוצאות האמידה שהתקבלו: Dependen variable: CLOSE Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model ------- 55.78 Error 5 ------- C Toal 5 ------- Roo MSE ---- R-square.8 Dep Mean ---- Adj R-sq ------ C.V. ---- Parameer Esimaes Parameer Sandard T for H: Variable DF Esimae Error Parameer Prob> T INTERCEP.3474.48 9.47. TIME -.75. -7.468. Durbin-Wason D.5 האם קיים מתאם סדרתי? 5

נתבונן בטבלת DW כאשר נתון כי K ו- T53 : 5

d d L U.65.69 לפי הטבלה (עבור T) : נציב בטווח: [ ρ > ] [ ρ ] [ ρ < _].65.69.3.35 4 DW.5 מסקנה: יש עדות לקיום מתאם סדרתי חיובי מסדר ראשון. Y u ρu ε ε? המודל הינו: u -הפרעה מקרית קלאסית T וידוע כי: u.9u d L.57 d.65 האם קיים מתאם סדרתי ברמת מובהקות של 5%? U למבחן DW יש שתי בעיות עיקריות: מתאים רק למתאם סדרתי מסדר ראשון יש אזורים "מתים" בטווח בהם לא ניתן לדעת האם יש מתאם סדרתי. ( ( 5

בנוסף לכך על מספר תנאים להתקיים כדי שאפשר יהיה להשתמש במבחן : DW u הרגרסיה כוללת חותך ה- ים קבועים ולא משתנים אין משתנים מסבירים שהם פיגור של המשתנה המוסבר אין תצפיות חסרות באמצע אם קיים מתאם סדרתי מסדר ראשון אז הוא מהצורה: ρ ε u מבחן LM...3.4.5 ( לעומת מבחן DWמבחן LMמתאים גם לבחון קיומו של מתאם סדרתי מסדרים גבוהים יותר מסדר ראשון. Y u ρ u ε u ניתן לרשום את המודל הלא מוגבל: Y ρ u ε (U) u ניתן להתייחס לבחינת קיומו של מתאם סדרתי כהוספת משתנה מסביר: השלבים לביצוע המבחן: u ו- û נאמוד את המודל המקורי ונחשב u / x, x,..., xk ; u נאמוד את רגרסיית העזר: LM sa T R ע נחשב סטטיסטי :LM ע LM sa > χ m נדחה את H כאשר: כאשרm סדר המתאם הסדרתי. u אם נדחה את H נדע את סימנו של המתאם הסדרתי לפי המקדם של ברגרסיית העזר ששווה ל- ρ. 53

שימו לב כי אם נרצה לבדוק מתאם סדרתי מסדרים גבוהים יותר: ההשערות: HO ρ ρ ρ :... s אחרת :H u / x, x,..., xk ; u, u,..., u s רגרסיית העזר: לדוגמא: עבור הדוגמא הקודמת- ניבוי מחיר סגירה של מניה כפונקציה של CLOSE TIME u הזמן: נבחן את קיומו של מתאם סדרתי מסדר ראשון באמצעות מבחן.LM נאמוד את רגרסיית העזר: u γ TIME ρ u γ ε תוצאות האמידה שהתקבלו: Dependen variable: RES Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model ------- Error 5 -------- C Toal 5 ------- Roo MSE ------ R-square.855 Dep Mean ---- Adj R-sq ------ C.V. ----- Parameer Esimaes Parameer Variable DF Esimae INTERCEP -96 TIME.633E-5 RES.977 54

א. ב. ג. האם קיים מתאם סדרתי? מהו ערכו של המתאם הסדרתי הנאמד? מהו כיוונו של המתאם הסדרתי באוכלוסיה? פיתרוןבעייתהמתאםהסדרתי רגרסייתהפרשים (שיטתקוקרן-אורקט) ניצור משוואה שהיא קומבינציה ליניארית של המשוואה המקורית שבה לא יהיה מתאם סדרתי ולכן ניתן יהיה לאמוד אותה בשיטת הריבועים הפחותים, האומדים יהיו יעילים וניתן יהיה לבצע בדיקת השערות. Y u משוואה () : המודל בזמן : Y ρ ρ ρ ρ u משוואה () : המודל בזמן - מוכפל ב- ρ: Y ρy החסרת משוואה () ממשוואה (): ( ρ) ( ρ ) ( u ρu ) כדי לאמוד את הפרמטרים של רגרסיית ההפרשים נגדיר: Y * * Y ε u ρy ρu * ( ρ ) * ρ כך "נטרלנו" את המתאם הסדרתי: εמקיים את כל ההנחות הקלאסיות ε נזכור כי u ρ u u ρ ε u ולכן שונות הרגרסיה וכן שונות הפרמטרים הנאמדים לא תהיה תלויה במקדם המתאם הסדרתי. המשוואה "המתוקנת" אותה נאמוד: Y * * * ε * 55

וû וû לאחר אמידת משוואה זו ניתן לחלץ את האומדים של הפרמטרים המקוריים: מאחר ש- ρ איננו ידוע יש צורך לאמוד אותו., Y u? סטודנט הניח כי במודל: קיים מתאם סדרתי מסדר ראשון בשאריות כך שמתקיים: ε אמד את המודל: u ולכן במקום לאמוד את המודל המקורי.7u Y u.7y (.7) (.7 ) הסטודנט טען כי במודל החדש לא קיים מתאם סדרתי. טענת הסטודנט: לדעת נכונה /לא נכונה /לא ניתן אמידת ρ בשיטת קוקרן אורקוט שיטת קוקרן אורקוט לאמידת ρ היא שיטה איטרטיבית מבוססת על חזרות של תהליך מסוים עד להתכנסות. התהליך מתבצע באופן הבא: אמידת המשוואה המקורית בה אנו מניחים כי קיים מתאם סדרתי. u - חישוב וקבלת האומד ρ ε : ידי אמידת המשוואה ρעל u u הבעיה היא כי האומד איננו יעיל כיוון שהאומדים לפרמטרים במשוואה המקורית אינם יעילים (בשל קיומו של מתאם סדרתי). לכן נמשיך ונבצע את הפעולות הבאות: - הצבת האומד הזה ברגרסיית ההפרשים וחילוץ ו- חדשים. שוב נחשב u תוך שימוש באומדים החדשים ונקבל אומד ρ חדש. נחזור על התהליך הזה מספר פעמים נוספות עד שנגיע להתכנסות (עד שהאומד ρישתווה לזה שקיבלנו בתחילה). 56

אין צורך לבצע תהליך זה ידנית משום שרוב תוכנות המחשב מבצעות הליך זה באופן מיידי ומדווחות על התוצאות הסופיות. התהליך הממוחשב נקרא אוטו רגרסיה (AUTOREGRESION) מסדר ראשון, שני, שלישי וכו' (תלוי בסדר המתאם הסדרתי). התיקון למתאם הסדרתי יתבצע על ידי הרצת רגרסיה עם משתנה AR() (אוטו רגרסיה מסדר ראשון), ( AR( ו-( AR( (אם מניחים קיום אוטו רגרסיה מסדר שני) וכו' אם משתנה ARמובהק זו אינדיקציה שפתרנו את הבעיה של המודל המקורי. לדוגמא: נמשיך עם הדוגמא של ניבוי מחיר סגירה של מניה כפונקציה של הזמן: CLOSE TIME u נניח כי קיים מתאם סדרתי מסדר ראשון בנתונים. תוצאות האמידה בשיטת אוטורגרסיה מסדר ראשון מוצגות להלן: Parameer Esimaes Parameer Sandard T for H: Variable DF Esimae Error Parameer Prob> T INTERCEP.333 TIME -.6 AR().97. Durbin-Wason D.35 א. ב. בדקו האם נפתרה בעיית המתאם הסדרתי. מהי המשוואה לאמידת מחיר הסגירה הצפוי ביום המסחר הבא? 57

? שאלה מס' נאמד הקשר שבין הכנסה לתצרוכת לתקופה ינואר 994 עד דצמבר (48T). 997 C Y u המודל הינו: u בניסיון לבדוק האם מתקיים קשר מהסוג הבא: ρ u ρ u ρ u ε 3 3 u γ u γ u נאמדה המשוואה הבאה: γ u γ Y ω 3 3 4 Depended Variable: RES תוצאות האמידה מוצגות להלן: Parameer Esimaes Parameer Sandard T for H: Variable DF Esimae Error Parameer Prob> T INTERCEP -54.79 7.85 -.76.939 RESID.75.5 4.63. RESID -.66.88 -.35.97 RESID3 -.337.67 -..5 Y.7.3.85.93 Durbin-Wason D.954 נתון בנוסף כי.479 R א. הרגרסיה המופיעה בפלט לעיל נועדה לבדיקת : על ידי מבחן : ההשערות הינן: גודל הסטטיסטי למבחן הינו (רשמו תוצאה מספרית): המסקנה המתקבלת היא: בהנחה כי קיים מתאם סדרתי מסדר שלישי בנתונים נאמד מחדש הקשר שבין ההכנסה לתצרוכת בהתאם לשיטתם של קוקרן ואורקוט. 58

תוצאות האמידה מוצגות להלן: Depended Variable:C Parameer Esimaes Parameer Sandard T for H: Variable DF Esimae Error Parameer Prob> T INTERCEP -3.53 8.38 -.864.69 Y.7944.5 4.86. AR().77.55 4.634. AR() -.64.889 -.34.97 AR(3) -.38.669 -.966.56 Durbin-Wason D.954 ב. רשמו את המשוואה המתוקנת המשמשת לעריכת תחזיות. שאלה מס' חוקר רצה לאמוד את עקומת הביקוש לטיסות לאירופה. לרשותו נתונים שבועיים לאורך 3 שנים (5 שבועות). נסמן: כרטיסי הטיסה לאירופה שנמכרו בשבוע Y מספר מחיר ממוצע ב-$ של הכרטיסים שנמכרו בשבוע p Y e P P e u החוקר אמד את המודל: וקיבל לאחר הטרנספורמציה הלוגריתמית:.8. R לבדיקת ההשערה כי קיים מתאם סדרתי בנתונים מסדר ראשון הוא חישב את u v γ γ ln P γ ln P γ 3u û ערכי ולאחר מכן חישב את הרגרסיה: 59

מקדם ההסבר המרובה ברגרסיה זו הוא.8 א. נסח את ההשערה ובחן אותה בר"מ של.5. החוקר מניח שיש מתאם סדרתי מסדר ראשון. לאחר תיקון Cochrane-Orcu התקבל: ln Y 7.3.ln P.4ln P ρ. הניחו שהשבוע ובשבוע שעבר מחיר ממוצע של כרטיס היה $5. השבוע נמכרו 6,85 כרטיסים. בשבוע הבא צפוי מחיר של $4. ב. כמה כרטיסים יימכרו? החוקר גם מנסה לקבוע האם בנתונים אלה קיים מתאם מסדר שני. ג. רשמו את המשוואה הנוספת שעליו לאמוד. במשוואה הנוספת התקבל מתאם מרובה השווה ל-.. ד. מהי המסקנה בר"מ של.5? 6

פרק - 6 סיכום בעיית המתאם הסדרתי והטרוסקדסטיות מתאם סדרתי הטרוסקדסטיות Y u V ( ) σ V u ( u ) σ V ( u ) W σ למשל: cov( u, u s ) cov( u, u s ) u u ρ ε המשוואה העיקרית של המודל ההנחה הקלאסית המופרת המצב לאחר ההפרה המשוואה המאפיינת את ההפרה מה קורה אם אומדים ב- OLS מתקבלים אומדים חסרי הטיה ועקיבים, אך תכונת היעילות נפגעת. מבחן DW מבחן LM זיהוי הבעיה פתרון הבעיה שיטת קוקרן אורקוט (רגרסיית ההפרשים) הכנסת משתנה מוסבר בפיגור (מודל דינמי) מבחן GQ מבחן Whie שיטתWLS 6

פרק - 7 מודלים דינמיים מודל דינמי הוא מודל שיש בו משתנה מוסבר בפיגור, כלומר Yהיום מושפע מ- Y של אתמול: Y u Y המכפילים הדינמיים ניתן לדבר על שלוש סוגים של השפעות בהקשר של המודל הדינמי (מיכפלים): ) מכפל לטווח קצר (מיידי): Y איך היום משפיע עלYהיום: ) מכפל ביניים מסדר j (מכפיל דינמי): Y j איךמלפני jתקופות משפיע עלYהיום: 3) מכפל טווח ארוך (מצב עמיד): Y * * איך משפיע על Yלאורך Pתקופות: כאשר ו- Yנותרים קבועים על פני הזמן (מצב עמיד): Y Y... Y p... Y p * * 6

63 :ימנידה לדומב םיליפכמה תאיצמ,רצק חווטל) םיוסמ ימניד לדומ לש םיליפכמה תא אוצמל םישקבתמ ונא םיתיעל.םהילא סחיב תורעשה קודבל םישקבתמ ףאו (ךוראו ינוניב :אבה ימנידה לדומה לע םיליפכמה תאיצמ תא םיגדא u Y Y ( :(ידיימ) רצק חווט לפכמ ךרד םויה Y לע עיפשמ םויה : Y ( רדסמ םייניב לפכמ j :(ימניד ליפכמ) לדומה תא "לגלגנ" ימנידה ליפכמה תא אוצמל ידכב :הרוחא תופוקת u u Y Y u u Y Y u u Y Y u u Y Y u Y Y 3 3 3 ) ( ) ( לש העפשהה לע :איהY לש העפשהה לע :איהY לש העפשהה לע :איהY לש העפשהה יללכ ןפואבש קיסהל ןתינ ןאכמ j לע :איהY j j Y

חישוב מכפל הביניים בדרך קצרה: Y Y Y Y Y Y 3. כלומר,, Yדרך ניתן לראות כי משפיע על. < סביר שככל ש- רחוק יותר בזמן כך השפעתו קטנה יותר ולכן 3) מכפל טווח ארוך: מכפל טווח ארוך מהווה את סך ההשפעות: Y * * P j... j (... ) p p * סכום של טור הנדסי יורד.? חשבו את שלושת סוגי המכפלים של המודלים הדינמיים הבאים: Y u Y Y u Y א. ב. 64

הקשר בין מתאם סדרתי למודלים דינמיים המתאם הסדרתי נובע מהשמטה של דינמיות מבנית במודל. המודל המקורי היה צריך להיות מודל דינמי אך נאמד בטעות מודל סטטי. הדינמיות תבוא אז לידי ביטוי ב"קריזות", כלומר במתאם הסדרתי. רגרסיית ההפרשים, המהווה פיתרון למתאם הסדרתי, היא למעשה מודל דינמי: Y ρ Y ε ( ρ) ( ρ ) Y ( ρ ) ρ ρy ε Y Y ε לסיכום: בכדי לפתור את בעיית המתאם הסדרתי יש לאמוד מלבד את המשתנה המוסבר בזמן גם את המשתנה המוסבר והמסביר בזמן -. Yנועד לפתור מתאם סדרתי מסדר ראשון, המשתנה בפיגור מתאם סדרתי מסדר שני וכך הלאה. Yישמש לפתירת בכדי לבדוק קיומו של מתאם סדרתי במודל דינמי לא נוכל לבצע מבחן DWאלא רק מבחן.LM השלכות על אר"פ של משתנה מוסבר בפיגור כמשתנה מסביר Yהינו משתנה מקרי. בניגוד למשתנה מסביר רגיל (), משום כך אר"פ ברגרסיה הכוללת משתנים כאלה הם מוטים (להזכירכם בהוכחת חוסר הטיה של האומדים השתמשנו בהנחה מס' 4 הגורסת כי המשתנים המסבירים אינם משתנים מקריים). S S S S Y Y Y Y Y E( ) E( ( Y ( Y Y ) u ) Y ) 65

u מאחר והמשתנה המקרי נשאר בתוך התוחלת, לא ניתן להשתמש בהנחה מספר : ) )E. לכן הביטוי השני איננו מתאפס והאומד הוא אומד מוטה. בנוסף לכך העקיבות של האומדים תלויה בקיום מתאם סדרתי: COV ( Y V ( Y, u ) ) COV ( Y, u ) אם אין מתאם סדרתי האומד עקיב. COV ( Y, אם יש מתאם סדרתי ) u והאומד איננו עקיב. לסיכום: ההשלכות על אר"פ: האומדים מוטים ולכן ניתן לבצע בדיקת השערות רק במדגמים גדולים (3<T). אם אין מתאם סדרתי האומדים עקיבים ויעילים (ניתן לבצע בדיקת השערות במדגמים גדולים). ( ( אם יש מתאם סדרתי האומדים אינם עקיבים ואינם יעילים (לא ניתן לבצע בדיקת השערות גם במדגמים גדולים). 66

שאלות מסכמות-מתאם סדרתי ומודלים דינמיים שאלה מס' Y u המודל הבא הורץ ב- SASעם מדגם בעל תצפיות: DW.95 לפיכך: א. מהפלט עולה לא קיים מתאם סדרתי קיים מתאם סדרתי והוא: לא ניתן לקבוע אם המתאם הסדרתי מובהק....3 ב. לפי תשובתך לסעיף א חווה דעתך על תכונות האומדים: מוטים ליניאריים יעילים עקיבים נכון/ לא נכון/ לא ניתן לדעת נכון/ לא נכון/ לא ניתן לדעת נכון/ לא נכון/ לא ניתן לדעת נכון/ לא נכון/ לא ניתן לדעת ג. אמידה של איזו משוואה תפתור באופן מלא את הבעיה שנוצרה במודל: Y u Y u Y 3 Y u Y...3 ד. בדוק את ההשערה כי לפי מודל (3) השפעת עלYהולכת ופוחתת עם הזמן. 67

מצורף החלק הרלוונטי מהפלט: Parameer Esimaes Parameer Sandard T for H: Variable DF Esimae Error Parameer Prob> T INTERCEP.4.6 7...5.3 8.33. Y.85.5 7.. ה. מהו המכפיל הדינמי בתקופה 8-? שאלה מס' הקשר בין כמות הכסף לבין רמת האינפלציה במשק נאמד בסדרה עתית על ידי המשוואה הבאה: M P U () כמות הכסף במשק בחודש M כאשר : מדד המחירים לצרכן במשק בחודש P משוואה () נאמדה בפלט מס'. : U א. לפי מבחן על הסטטיסטי, DW נראה כי ב-. לא ניתן לחשב את הסטטיסטי DW. קיים מתאם סדרתי שלילי 3. קיים מתאם סדרתי חיובי 4. לא קיים מתאם סדרתי מהנתונים הקיימים 5. לא ניתן לקבוע אם המתאם הסדרתי מובהק. 68

ב. סמנו את התשובה הנכונה בהכרח:. האומדים ליניאריים חסרי הטיה, עקיבים אך לא יעילים. האומדים ליניאריים חסרי הטיה, עקיבים ויעילים 3. האומדים מוטים אך עקיבים 4. האומדים חסרי הטיה, אך לא עקיבים 5. כל התשובות אינן נכונות. ג. אומד השונות מוטה ובדיקת השערות לא תקפה: נכון / לא נכון / אי אפשר לדעת חוקר טען כי הבעיה שנוצרה במשוואה () תיפתר ע"י אמידת המשוואה הבאה: M P M ε () M כאשר הינה כמות הכסף בשנה הקודמת. משוואה () נאמדה בפלט מס', כמו כן נאמדה על ידי החוקר המשוואה המופיעה בפלט מס' 3. ד. הרגרסיה המופיעה בפלט מס' 3 נועדה לבדיקת : במשוואה: על ידי מבחן: גודל הסטטיסטי למבחן הינו (רשום תוצאה מספרית): ה. לאור תשובתך לסעיף ג' טענת החוקר: נכונה / לא נכונה/ אי אפשר לדעת ו. האומד ל- במשוואה () הוא מוטה אך עקיב: נכון / לא נכון / אי אפשר לדעת 69

ז. ניתן להשתמש בסטטיסטי DW לבדיקת מתאם סדרתי במשוואה (): נכון / לא נכון / אי אפשר לדעת. ח. חשבו את המכפיל הדינמי לשינוי Pבתקופה -i ( הינו M P ) בדקו ט. את הטענה כי המכפיל הדינמי לשינוי P בתקופה - 9% מהמכפיל המיידי בטווח הקצר. י. רשמו את השערת האפס עבור הטענה כי המכפיל בט"א שווה ל-. מהו המבחן הסטטיסטי המתאים לבחינת ההשערה? 7

7

7

פרק - 8 משוואות סימולטניות עוסקות בהפרה של הנחה 4 המדברת על כך שהמשתנים הב"ת במשוואת. cov( x, u) הרגרסיה אינם משתנים מקריים ולכן לא מתואמים עם הטעויות: במילים אחרות ה- ים במשוואה נחשבו משתנים אקסוגניים- משפיעים על Y אך לא מושפעים ממנו בחזרה. זהו סוג של משתנים כלכליים הנשלט על ידי קובעי המדיניות או גורמים חיצוניים אחרים. דוגמא למשתנה אקזוגני: שער חליפין קבוע (הנקבע באופן אקזוגני על ידי הבנק המרכזי) המשפיע על כמות הכסף במשק אך לא מושפע ממנה בחזרה. לעומת זאת, קיים סוג נוסף של משתנים כלכליים ב"ת הקרויים משתנים אנדוגניים- משפיעים על Y אך גם מושפעים ממנו בחזרה. מאחר ומשתנים אלו הם גם מסבירים וגם מוסברים, הם נחשבים כמשתנים. cov( x, u) מקריים, המתואמים עם הטעויות במודל: לדוגמא: התצרוכת הפרטית מושפעת בדר"כ מרמת ההכנסה, וזו מושפעת מן הביקושים השונים לתוצר, ולכן גם ההכנסה וגם התצרוכת נקבעים ביחד באופן אנדוגני במערכת. משוואות המבנה(משוואות סימולטניות) מערכת משוואות הכוללות משתנים מסבירים אנדוגניים ואקסוגניים הנמצאות בשיווי משקל. בדר"כ מדובר בשתי משוואות אשר המשתנה המוסבר בראשונה הוא משתנה מסביר בשנייה והמשתנה המוסבר בשנייה הוא משתנה מסביר בראשונה. משתנים המופיעים באחת המשוואות כמוסברים ובאחרת כמסבירים הם משתנים אנדוגניים. יתר המשתנים במשוואות הם אקסוגניים. 73

לדוגמא: () () ו- Yהם משתנים אנדוגניים הנקבעים סימולטנית במערכת (למשל, תצרוכת והכנסה) ואילו ה- Zים הם משתנים אקזוגניים (כמו למשל, שער הדולר ומגדר): z j cov(, u) y, cov( ואילו- u), cov( x, u) יתכן והמערכת תכלול משוואה נוספת המתארת מצב של שיווי משקל בין שתי המשוואות. לדוגמא: נניח שאנו רוצים לאמוד את הביקוש לתירס ואת ההיצע של התירס במדינה. הכמות המבוקשת והכמות המוצעת מושפעות מן המחיר ומשפיעות עליו. מערכת משוואות הביקוש וההיצע של התירס הנה מהצורה: Qd u P Qs Z v P משוואת הביקוש: משוואת ההיצע: Qd Qs משוואת שיווי המשקל: Q כאשר: Qd כמות ביקוש של תירס Qs כמות היצע של תירס P מחיר התירס Z מי גשם הכנסה 74

שלושת משוואות אלו מכונות המשוואות המבניות שכן הן מתארות את מבנה שוק התירס. תחילה יש להחליט מהם המשתנים האנדוגניים והאקסוגניים במערכת: משתנה תלוי הוא תמיד אנדוגני ).( Q השאלה היא איזה מהמשתנים המסבירים הוא אנדוגני: כזכור הכמות המבוקשת והמוצעת מושפעות מן המחיר אך גם משפיעות עליו. לפיכך.( P מחיר התירס הוא אנדוגני ) המשתנים האנדוגניים נקבעים סימולטנית במערכת ומתואמים עם הטעויות במערכת: ) u cov( p, u ) ; cov( Q, ( Z שהוא כמובן משתנה חיצוני המשתנים האקזוגניים במערכת: מי גשם ) שלא מושפע מן הביקוש וההיצע וכמו כן, בהנחה שהמשק לא מייצר רק ( היא משתנה אקזוגני תירס אז גם הכנסה ) למערכת: ) u cov( z, u ) ; cov( x, המטרה היא, כמו תמיד, לאמוד בצורה יעילה את הפרמטרים (אלפות ובטות) ולבצע בדיקת השערות. הבעיה היא כי ברגע שקיים משתנה מסביר אנדוגני במערכת, אמידת כל אחת מהמשוואות המבניות בנפרד בשיטת OLSתניב אומדים לא ליניאריים, מוטים, לא יעילים ולא עקיבים. השלכות על אר"פ הנחה 4 שימשה אותנו להוכחת ליניאריות, חוסר הטיה ועקיבות. לכן הפרתה של הנחה זו משמעה פגיעה בכל תכונות אר"פ. האומדים לא ליניאריים, מוטים לא עקיבים ולכן גם לא יעילים (לפי גאוס מרקוב). אומד השונות מוטה גם הוא ובדיקת ההשערות לא תקפה (ללא תלות בגודל המדגם). נלמד 3 שיטות אמידה אחרות: TSLSו- IV.,ILS אך ראשית יש לבטא את המשוואות המבניות בצורה אחרת הנקראת: "הצורה המצומצמת". 75

76 תוינטלומיס תואוושמ םע לדומ לש תמצמוצמה הרוצה :תכרעמב םיינגודנאה םינתשמה רובע ןורתיפ ןה תמצמוצמה הרוצה תואוושמ תכרעמב םיינגוזקאה םינתשמה לש היצקנופכ םיינגודנאה םינתשמה תרדגה.דבלב תכרעמב םיינגודנאה םינתשמה רפסמכ אוה תומצמוצמה תואוושמה רפסמ.(םיינש הז הרקמב) :ןמקלדכ אוה ירבגלאה ךילהתה :לקשמ יווישב תואוושמה יתש ןיב הוושנ Qs Qd v Z P u P :P תא ץלחנ u v Z P :תמצמוצמה הרוצה Z P ε λ λ λ :רשאכ ε λ λ λ u v תא ביצהל ךרטצנ,דבלב םיינגוזקא םינתשמ לש םיחנומבQתא אטבל ידכ P :(לקשמ יווישב תואצמנ ןה יכ הזיא הנשמ אל) תואוושמה תחאב u Z Q ) ( ε λ λ λ u Z Q ε λ λ λ ) (

הצורה המצומצמת עבור Q: Q µ µ µ Z ε כאשר: µ λ µ λ µ λ ε ε u משוואות הצורה המצומצמת שהתקבלו: P λ λ λz ε Q µ µ µ Z ε תכונות המשוואות מהצורה המצומצמת מס' המשוואות הוא כמספר המשתנים האנדוגניים במערכת ( Pו- Q ). המשתנה המוסבר הוא אנדוגני וכל המסבירים אקסוגניים. המשתנים המסבירים הם זהים בכל המשוואות ( ו- Z ). מכיוון שכל המשתנים המסבירים הם אקסוגניים ניתן לאמוד את הפרמטרים (ה- λות וה- µים) ב- OLSולקבל אומדים ליניאריים, חסרי הטיה, יעילים ועקיבים עם יכולת לבצע בדיקת השערות. אמידת הפרמטרים של משוואות המבנה באמצעות משוואות הצורה המצומצמת משוואות הצורה המצומצמת מאפשרות, כאמור, לאמוד את הפרמטרים (ה- λות וה- µים) בשיטת OLSאבל אנחנו מעוניינים למעשה לאמוד את הפרמטרים של המשוואות המקוריות- משוואות המבנה (ה- ות וה- ות). מתוך הפרמטרים של הצורה המצומצמת נחלץ את הפרמטרים של משוואות המבנה: מתוך ה- λות נחלץ את ה- ות ומתוך ה- µים נחלץ את ה- ות. 77

בתהליך החילוץ של הפרמטרים המבניים ייתכנו 3 מצבים: אין זיהוי: לא ניתן לחלץ את הפרמטרים המבניים (ה- ות וה- ות) מתוך הפרמטרים של הצורה המצומצמת (ה- λות וה- µים). זה קורה כשיש פחות משוואות מנעלמים (כלומר פחות λות ו- אינסוף פתרונות. יµ ם מ- ות ו- ות) אז יש זיהוי מדויק: יש רק דרך אחת לחלץ את הפרמטרים המבניים מהפרמטרים של הצורה המצומצמת, זה קורה כשיש בדיוק אותו מספר משוואות ונעלמים (פיתרון יחיד). זיהוי יתר: יש יותר מדרך אחת לחלץ את הפרמטרים המבניים מתוך הפרמטרים של הצורה המצומצמת. זה קורה כשיש יותר משוואות מנעלמים (יותר מפתרון אחד). ( ( (3 בכדי להקל על בעיית הזיהוי מומלץ לאמץ את הכלל הבא: עבור כל אחת מהמשוואות המבניות יש לחשב : ) g : מס' אנדוגניים במשוואה הספציפית פחות ולהשוות עם: ) k : K מספר אקסוגניים סה"כ בשתי המשוואות כולל חותך (K) פחות מספר אקסוגניים במשוואה הספציפית כולל חותך (k). > זיהוי יתר; < אם זיהוי מדויק ; אין זיהוי בדוגמא שלנו: P Qd u P Qs Z v משוואת הביקוש: משוואת ההיצע: עבור משוואת הביקוש: - :g- 3- :K-k 78

g מכיוון ש: K k הזיהוי של ה- ות מתוך משוואות הצורה המצומצמת יהיה מדויק. עבור משוואת ההיצע: - :g- 3- :K-k g מכיוון ש: K k הזיהוי של ה- ות מתוך משוואות הצורה המצומצמת יהיה מדויק.? חוקר רצה לאמוד את פונקצית הביקוש ואת פונקצית ההיצע לתות שדה. הוא אסף נתונים עבור 3 תקופות: - מחיר קופסא בש"ח בתקופה. - כמות נקנית בק"ג בתקופה. - מחיר פרי תחליפי בש"ח בתקופה. P Q Z - הכנסת הצרכנים באלפי ש"ח בתקופה. INCOME. מחיר שעת עבודה בש"ח בתקופה - L א. ב. החוקר מניח שהכמות המבוקשת היא פונקציה של מחיר התות שדה, של מחיר הפרי התחלפי ושל הכנסת הצרכנים, והכמות המוצעת היא פונקציה של מחיר התות שדה ושל מחיר העבודה. נסחו את המודל הסימולטני, תחת ההנחה שהגמישויות קבועות. הציגו גם את תנאי הסדר וקבעו עבור כל משוואה אם היא מזוהה במדויק, ביתר או בחסר, וקבעו האם ניתן לזהות את מקדמי המשוואות, באילו שיטות ומהן תכונות האומדנים שיתקבלו? עיינו במודל שבדפי הפלט והשיבו: איזו פונקציה נאמדה, והאם תוצאות האמידה שהתקבלו מתיישבות עם התיאוריה הכלכלית?נמקו! 79

ג. ד. עיינו בדפי הפלט המתאימים והשיבו: אם העלות של שעת עבודה תעלה באחוז אחד, מהם השינויים הצפויים בכמות ובמחיר של שווי משקל? בתקופה מסוימת אנו צופים שמחיר המוצר התחלפי יהיה, ההכנסה תהיה 5 אלף, מחיר שעת עבודה. 5 מה יהיה מחיר שווי המשקל של תות השדה? האם ניתן גם לאמוד את כמות שווי המשקל? להלן הפלטים : 8

8

שיטות לפיתרון משוואות סימולטניות קיימות 3 שיטות לפיתרון משוואות סימולטניות: TSLS,ILS ו- IV. ) שיטת ריבועים פחותים עקיפה (ILS) א. ב. ג. יש להציג את מערכת משוואות המבנה בצורתה המצומצמת. יש לאמוד בשיטת OLSאת הפרמטרים של המשוואות בצורה המצומצמת (ה- λות וה- µים). יש לחלץ מן הפרמטרים של המערכת המצומצמת את הפרמטרים של הצורה המבנית (ה- ות וה- ות). משום שתהליך החילוץ איננו ליניארי האומדים המבניים המתקבלים הם מוטים אך עקיבים. כאשר הזיהוי מדויק האומדים יהיו גם אסימפטוטית יעילים (במדגמים גדולים). כאשר הזיהוי הוא יתר: האומדים לא יהיו יעילים. בדוגמא שלנו: מערכת המשוואות המבניות: Qd u P P Qs Z v משוואת הביקוש: משוואת ההיצע: מערכת המשוואות בצורתה המצומצמת: P λ λ λz ε µ Q µ µ Z ε נאמוד את הפרמטרים של הצורה המצומצמת בשיטת OLSונקבל את האומדים: λ µ, λ, λ, µ, µ, אומדים אלו יקיימו את כל תכונות אר"פ. 8