80 ραστηριότητες από οκίμια Εξετάσεων Να λύσετε τις πιο κάτω δραστηριότητες, δείχνοντας το συλλογισμό σας και δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. 1. Δίνονται τα σύνολα Α και Β. Να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: (α) (β) (γ) ν Α Β (δ) 2. Δίνονται τα σύνολα: : ύ έ ά 3,4,5,6,, Να γράψετε δίπλα από κάθε σχέση ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ. (α)............... (β) 2.............. (γ),.............. (δ),.............. (ε).............. (στ).............. (ζ).............. (η)....... 3. Να συμπληρώσετε κατάλληλα, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις: (α) 7, 5,,, 9, 3 5,,,,9 5,, 1,, 6, 2, 9, 4 (β),,,,,,,,,,,, 4. Δίvονται τα σύνολα: Δ= 1,3,5,7,9, Ε 5,6,7,8 και Ζ= 0. Να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Δ Ε= β Δ Ε Ζ= 5. Ρώτησαν τον Μάριο και τον Βασίλη πόσα χρήματα κρατούν και απάντησαν ως εξής: Μάριος: «Ο αριθμός των χρημάτων μου είναι 10100 στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης». Βασίλης: «Ο αριθμός των χρημάτων μου είναι 27 στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης». Να βρείτε ποιο από τα δυο παιδιά κρατά τα περισσότερα χρήματα και πόσα. 1
6. Να γράψετε έναν τριψήφιο αριθμό που να διαιρείται: (α) με το 5:. (β) με το 9 και όχι με το 2:. (γ) με το 4:. (δ) με το 3, το 9 και το 2:. (ε) με το 10 και το 25:. 7. Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός αριθμού με το 5 είναι: 0, 1, 2, 3, 4, 5. (β) Όλοι οι πρώτοι είναι περιττοί αριθμοί. (γ) Αν, φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε..., 1 τότε..., (δ) Ο αριθμός 3868 διαιρείται με το 2 και το 3. (ε) Ο αριθμός 187320 διαιρείται με το 5 και το 4. 8. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις: (i) Ο αριθμός που διαιρείται με το 9 και δίνει πηλίκο 6 και υπόλοιπο 3 είναι: (Α) 18 (Β) 57 (Γ) 54 (Δ) 51 (ii) Ο αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του 25 και του 9 είναι: (Α) 405 (Β) 30450 (Γ) 51075 (Δ) 875 (iii) Ο αριθμός που έχει ακριβώς τρεις πρώτους παράγοντες είναι: (Α) 8 (Β) 15 (Γ) 23 (Δ) 70 (iv) O Μ.Κ.Δ των αριθμών 3 5, 2 5 και 2 3 7 είναι: (Α) 1 (Β) 2 3 7 (Γ) 2 3 5 7 (Δ) 235 (v) Το Ε.Κ.Π των αριθμών 2 3 5 και 3 5 7 είναι: 2 (Α) 3 5 (Β) 2 3 5 7 (Γ) 3 5 (Δ) 2 3 5 7
9. Δίνονται τα πιο κάτω σύνολα: Α : «Τα πολλαπλάσια του αριθμού 4 που είναι μικρότερα από το 20» Β : «Οι διαιρέτες του 12» Γ : «Οι μονοψήφιοι πρώτοι αριθμοί» Δ : «Τα ψηφία του αριθμού 55757» (α) Να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα Α, Β, Γ και Δ. (β) Να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: και (γ) Να παραστήσετε με βέννοιο διάγραμμα τα σύνολα: Α, Β, Γ και Δ. 10. Ένα βιβλίο έχει περισσότερες από 100 και λιγότερες από 150 σελίδες. Όταν τις μετράμε ανά 8 ή ανά 12 ή ανά 15 περισσεύουν κάθε φορά 7. Να βρείτε πόσες σελίδες έχει το βιβλίο. 11. Σε μία αποθήκη υπάρχει τριψήφιος αριθμός κουτιών που περιέχουν χυμό. Όταν τα κουτιά συσκευάζονται ανά 9, 20 και 30, δεν περισσεύει κανένα κουτί. Να βρείτε τον αριθμό των κουτιών που υπάρχουν στην αποθήκη, αν γνωρίζετε ότι είναι περισσότερα από 450 και λιγότερα από 550. 12. Τρεις αντιπρόσωποι μιας εταιρίας συνηθίζουν να τρώνε μαζί όταν επιστρέφουν από τα ταξίδια τους. Ο Α επιστρέφει από το ταξίδι του κάθε 6 μέρες, ο Β κάθε 9 μέρες και ο Γ κάθε 12 μέρες. Αν ξεκινήσουν την ίδια μέρα για το ταξίδι τους να υπολογίσετε : (α) Μετά από πόσες μέρες θα συναντηθούν για να φάνε μαζί; (β) Πόσες φορές τρώνε μαζί σε ένα χρόνο; 13. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Το άθροισμα δυο ρητών αριθμών δεν μπορεί να είναι μηδέν (β) Το άθροισμα δυο θετικών αριθμών είναι θετικό. (γ) Το γινόμενο τριών αρνητικών αριθμών είναι αρνητικό. (δ) Δυο αντίστροφοι αριθμοί είναι ετερόσημοι 14. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση 3 2 2 3 12. (α) Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση Α στην πιο απλή μορφή της. (β) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης Α αν: 1 ) 2, 2 και ω 5. 15. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση Α: 3 8 9 4 10 1 (α) Να γράψετε την παράσταση Α στην πιο απλή της μορφή. (β) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης Α, αν χ είναι ο αντίστροφος του 4 και ψ ο αντίθετος του 2. 3
16. Αν 2 και 1, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης. 17. Αν είναι ο μικρότερος από τους αριθμούς:,, είναι ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς: 2, και είναι ο αντίστροφος του αριθμού : 5, να βρείτε την αριθμητική τιμή της αλγεβρική παράστασης: : 4 18. Αν 2, 3 και 1 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης και. Να συγκρίνετε τα και. 19. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 4 2 1 6 1 3 2 (β) 2 ψ 3 5ψ 14 ψ 2 (γ) (ε) (δ) 1 (στ) 1 20. (α) Να λύσετε την εξίσωση: 3 3 4 1 6 5 (β) Αν η λύση της πιο πάνω εξίσωσης είναι κ=5,να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης: Α κ 2 κ 1 2 κ 2 2 21. Να βρείτε τους επόμενους τρεις όρους στις ακολουθίες (α) 2, 7, 12, 17,.,, (β) (γ) 2, 4, 8,.,,,,,..,.., 22. Να συμπληρώσετε τα κενά στις πιο κάτω ακολουθίες: (α) 7,11,., 19,.., 27 (β) 64, 32,.,., 4, 2 (γ) 2, 5,., 11, (δ) 3, 2,., 1 (ε) 1, 3, 6,, 15,, 2, 0,..,.
23. Να βρείτε τον γενικό όρο ( ν_οστό )της ακολουθίας: (α) 1, 2, 4, 8, 16, (β) 1,,,, (γ) 2, 20, 200, 2000, 5 (δ),,,,. 24. Να βρείτε τους 3 πρώτους όρους της ακολουθίας 20. Να εξετάσετε πόσοι όροι είναι θετικοί αριθμοί. 25. Κάθε σχήμα στο διπλανό μοτίβο κατασκευάζεται από ίσα τετράγωνα. Να βρείτε: (α) από πόσους τετράγωνα θα αποτελείται το 4 ο σχήμα, (β) μια αλγεβρική παράσταση που να εκφράζει τον αριθμό των τετραγώνων οποιουδήποτε όρου της ακολουθίας, (γ) ποιο σχήμα θα αποτελείται από 102 τετράγωνα, (δ) κατά πόσο θα υπάρχει κάποιο σχήμα με 91 τετράγωνα. 26. Με βάση το διπλανό σχήμα: (α) Να εξετάσετε την ορθότητα των πιο κάτω προτάσεων: i. Τα διανύσματα και είναι ίσα. ii. Τα διανύσματα και είναι αντίθετα. iii. Τα διανύσματα και είναι αντίρροπα. iv. + v.. vi. (β) Από το πιο πάνω σχήμα, να βρείτε: i. 2 παράλληλα διανύσματα: ii. 2 ομόρροπα διανύσματα: iii. 2 ίσα διανύσματα: iv. 2 αντίθετα διανύσματα: v. + vi. + vii. (γ) Να γράψετε τα διανύσματα και άθροισμα και ως διαφορά δύο διανυσμάτων, με δύο διαφορετικούς τρόπους:
27. Τα πιο κάτω σχήματα, ορθογώνιο και τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου. 2α +1 8α 3 7α 2 28. Η Μαρία είναι κατά 6 χρόνια πιο μεγάλη από τη Γεωργία. Ο Χρίστος είναι 3 χρόνια μικρότερος από το διπλάσιο της ηλικίας της Γεωργίας. Αν το άθροισμα των ηλικιών τους είναι 43 χρόνια, να βρείτε ποια είναι η ηλικία του καθενός (Να λυθεί με τη βοήθεια εξίσωσης) 29. Στο διπλανό σχήμα:, και 50. Nα υπολογίσετε τις γωνίες,,, και. 30. Να υπολογίσετε την τιμή των,,, και στις πιο κάτω περιπτώσεις: (α) (β) και διχοτόμος της 31. Να υπολογίσετε την τιμή του x στα πιο κάτω σχήματα με τη χρήση εξίσωσης. Γ μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ 6 3α +2 6α 5 ΒΔ διχοτόμος της γωνιάς ΓΒΑ
32. Στο διπλανό σχήμα, ΟΒ διχοτόμος της, ΒΟΕ και ΑΟΔ είναι ευθείες. Να υπολογίσετε τις γωνίες,,,. 33. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις με βάση το διπλανό σχήμα, αν γνωρίζετε ότι η ακτίνα του κύκλου είναι 6 και 80. (α) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΚΗ. (β) Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου. (γ) Να υπολογίσετε την απόσταση της ευθείας ε από το κέντρο Κ. (δ) Να υπολογίσετε τη γωνία. (ε) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΔ. 34. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της Στήλης Α με τα αντίστοιχα στοιχεία της Στήλη Β, αφού χρησιμοποιήσετε το διπλανό σχήμα. Στήλη Α Στήλη Β 1. Σημείο Κ Α. Τέμνουσα 2. Ευθεία 2 Β. 0 35 3. ΒΓ Γ. Χορδή 4. Ευθεία 1 Δ. Επίκεντρη γωνία 5. Ευθύγραμμο τμήμα ΔΘ Ε. Ημικύκλιο 6. Ευθύγραμμο τμήμα ΑΘ Στ. Εφαπτομένη 7. Ευθύγραμμο. τμήμα ΚΟ Ζ. Τεταρτοκύκλιο 8. Μέτρο Η. Μέσο ευθύγραμμου τμήματος ΒΟ 9. ΑΔΘ Θ. Διάμετρος 10. Μέτρο ˆ I. Τόξο ΙΑ. Ακτίνα ΙΒ. 0 180 7
35. Στο διπλανό σχήμα δίνονται ΑΒ = ΑΓ = ΓΔ και = 70. Να υπολογίσετε τις γωνίες,,,. 36. Να υπολογίσετε την τιμή των, και στα πιο κάτω σχήματα: (α) (β) ΑΔ Διάμεσος 37. Σε τρίγωνο η γωνία είναι 40 μεγαλύτερη από τη γωνία και η γωνία είναι 10 μικρότερη από το τριπλάσιο της γωνίας. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου. 38. Στο διπλανό τρίγωνο να υπολογίσετε την γωνία Γ. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του. 39. Στο διπλανό σχήμα, ΑΖ ύψος του τριγώνου, ΑΔ διχοτόμος της γωνίας Α, //, 40, 33. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, χ, ζ και δ. ( ) 8
40. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΒΑ=ΒΓ). Αν ΑΔ 9χ 2 cm, ΓΔ 3χ 2 cm, ΑΒ Γ 44, ΒΑ Γ 3ω 23 και ΒΔ ύψος, να υπολογίσετε τα χ και ω. 41. Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:,,, και. Να συμπληρώσετε τη σωστή απάντηση: (α) Το ευθύγραμμο τμήμα ΓΕ ονομάζεται: (β) Η ευθεία ΕΖ ονομάζεται: (γ) Το τρίγωνο ΑΕΓ ως προς τις γωνίες του είναι: (δ) Το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς τις πλευρές του είναι: 42. Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ), το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές (ΑΓ=ΑΔ) και ΑΓ διχοτόμος της γωνίας ΒΑΔ. Να υπολογίσετε τις τιμές των χ, ψ και ω. 43. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ο κύκλος με κέντρο Κ και διάμετρο ΑΔ. Να υπολογίσετε την τιμή του χ και τις γωνίες ΚΔΓ, ΚΒΓ. 9
44. Στο πιο κάτω σχήμα //,, διχοτόμος της και 80. Να υπολογίσετε τις γωνίες,,,. 45. Στο πιο κάτω σχήμα είναι ε1//ε2. Nα βρείτε τις γωνίες χ, ψ, ω, φ και κ. 46. Στο πιο κάτω σχήμα, διχοτόμος της και διχοτόμος της. (α) Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, κ, λ, χ και ω δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. (β) Τι είδους τρίγωνο είναι το ως προς τις γωνιές και τις πλευρές του; 47. Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται:, διχοτόμος της και 108. (α) Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ. (Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας). (β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις πλευρές του. 10
48. Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται // και διχοτόμος της. Να υπολογίσετε τις γωνίες, και να γράψετε το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του. 49. Στο διπλανό σχήμα, και διχοτόμος της. Αν =128, να υπολογίσετε τις,,,,. 50. Στο διπλανό σχήμα //,, διχοτόμος της γωνίας, 35 και 43. Να υπολογίσετε χωρίς τη χρήση μοιρογνωμόνιου τις γωνίες χ, μ, ω και ζ. 51. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2//ε3 και ε4// ε5. Nα βρείτε τις γωνίες χ, ψ, ω,φ και θ. 11
52. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α(2,2), Β(4,0) και Γ(0,0). Να τοποθετήσετε τα σημεία σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και στη συνέχεια να φέρετε το ύψος ΑΔ του τριγώνου. (α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ και ˆ. (β) Να γράψετε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες του. 53. Να βρείτε τον τύπο της πιο κάτω συνάρτησης του διπλανού βελοειδούς διαγράμματος: 54. Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. (α) Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα τιμών. (β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. χ ψ 55. Στο διπλανό σύστημα αξόνων παρουσιάζεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης. (α) Να τοποθετήσετε τα σημεία 2, 3 και 0, 2 και να εξετάσετε κατά πόσο ανήκουν στη γραφική παράσταση. Το σημείο ανήκει / δεν ανήκει. Το σημείο ανήκει / δεν ανήκει. (β) Να βρείτε ένα σημείο, του τρίτου τεταρτημορίου, το οποίο να ανήκει στη γραφική παράσταση: (γ) Να βρείτε ένα σημείο, του δεύτερου τεταρτημορίου, το οποίο να μην ανήκει στη γραφική παράσταση:. (δ) Να βρείτε ένα σημείο, του τέταρτου τεταρτημορίου, που να ανήκει στη γραφική παράσταση: 12 0 1 1 Α y ε Β 3 2 4 x
56. Να αντιστοιχίσετε τους πίνακες τιμών με τους αντίστοιχους τύπους της συνάρτησης. (α) 1 0 2 3 i. 2 2 0 4 6 (β) 3 0 10 12,5 1 2 12 14,5 (γ) 0 10 1,5 1 0 20 3 (δ) 2 0 5 8 6 2 8 14 57. Ο πατέρας του Γιάννη για να του δώσει ένα κίνητρο να γράψει καλά στις τελικές εξετάσεις, στα Μαθηματικά, έκανε μαζί του την εξής συμφωνία. Θα τριπλασιάσει τον βαθμό (χ) που θα πάρει στις εξετάσεις και θα προσθέσει και 5. Το αποτέλεσμα αυτής της σχέσης θα του το δώσει σε λεφτά (ψ). ψ (α) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης που εκφράζει την πιο πάνω συμφωνία. (β) Να υπολογίσετε πόσα χρήματα θα πάρει αν γράψει στα Μαθηματικά 15. (γ) Αν ο Γιάννης πάρει από τον πατέρα του 35 λόγω της πιο πάνω συμφωνίας που έκαναν, να βρείτε το βαθμό που έγραψε στα Μαθηματικά. (δ) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = 3χ + 5, αφού συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών. 13 ii. iii. iv. 2 2 2 1 v. 2 2 vi. vii. viii. 2 2 2 χ
58. Για καθεμιά από τις πιο κάτω συναρτήσεις να κατασκευάσετε πίνακα αντίστοιχων τιμών και να βρείτε τον τύπο της. 59. Δίνεται η γραμμική συνάρτηση 2 1. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: (α) Από την πιο πάνω γραφική παράσταση, να εξετάσετε αν τα σημεία 3, 5 και 0, 5 ανήκουν στη συνάρτηση 2 1, αφού πρώτα τα τοποθετήσετε στο ίδιο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. (β) Αν το σημείο 0, 5 είναι το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β, να το τοποθετήσετε στο πιο πάνω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και να σχηματίσετε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. 60. Να βρείτε τον άγνωστο αριθμό: (α) 14 (β) 61. Χίλια διακόσια (1200) άτομα παρακολούθησαν το πρώτο ημίχρονο ενός αγώνα μπάσκετ. (α) Το 35% των ατόμων αυτών ήταν παιδιά. Πόσα παιδιά παρακολούθησαν το πρώτο ημίχρονο του αγώνα; (β) Στο ημίχρονο αποχώρησαν 60 άτομα. Πόσο είναι το ποσοστό των ατόμων που αποχώρησαν στο ημίχρονο; 62. Το στάδιο ΓΣΠ στη Λευκωσία χωράει συνολικά 20 000 θεατές. Για τον τελικό κυπέλλου Κύπρου το 10% των θέσεων θα μείνουν κενές για λόγους ασφαλείας. Αν τα υπόλοιπα εισιτήρια μοιραστούν εξίσου στις δυο ομάδες, να βρείτε πόσα εισιτήρια θα πάρει κάθε ομάδα.
63. Ένας πατέρας παίρνει 2000 το μήνα. Λόγω οικονομικής κρίσης θα του αποκοπεί από τον μισθό του το 15%. Με τα λεφτά που θα του μείνουν, θέλει να αγοράσει ένα κινητό τηλέφωνο για τον μικρότερο γιό του, το οποίο πωλείται 200. Το ποσό που του μένει, θέλει να το μοιράσει στα άλλα δύο μεγαλύτερα παιδιά του, ανάλογα με τις ηλικίες τους που είναι 20 και 30 χρονών. (α) Πόσα χρήματα θα αποκοπούν από τον μισθό του πατέρα λόγω κρίσης; (β) Πόσα χρήματα θα μείνουν από τον μισθό του πατέρα, όταν αγοράσει και το κινητό τηλέφωνο για τον μικρότερο γιό του; (γ) Πόσα χρήματα θα πάρει το κάθε ένα από τα μεγαλύτερα παιδιά; 64. Σε ένα γυμνάσιο, για την ανάδειξη προέδρου του μαθητικού συμβουλίου, ψήφισαν 320 μαθητές. Ο υποψήφιος Α πήρε το 35% των ψήφων, ο υποψήφιος Β πήρε 128 ψήφους και τα υπόλοιπα ψηφοδέλτια ήταν άκυρα. Να βρείτε: (α) Πόσες ψήφους πήρε ο Α υποψήφιος; (β) Τι ποσοστό των ψήφων πήρε ο Β υποψήφιος; (γ) Πόσα ήταν τα άκυρα ψηφοδέλτια; (δ) Τι ποσοστό των ψήφων αποτελούν τα άκυρα ψηφοδέλτια; 65. Ένα ζευγάρι γιόρτασε την 25 η επέτειο των γάμων του σε ένα εστιατόριο και ο λογαριασμός του δείπνου ήταν 108. Στην τιμή συμπεριλαμβανόταν και ο ΦΠΑ που έχει συντελεστή 20%. Ο εστιάτορας όμως ήταν φίλος τους και τους χάρισε τον ΦΠΑ. Πόσα πλήρωσαν τελικά; 66. Για μια συναυλία το κανονικό εισιτήριο ήταν 20 ενώ το παιδικό ήταν 20% φθηνότερο. Τα παιδιά ήταν 20 λιγότερα από τους ενήλικες. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι ενήλικας αν εισπράχθηκαν συνολικά 3280. 67. Δυο φίλοι, ο Πυθαγόρας και η Υπατία άνοιξαν ένα εστιατόριο. Ο Πυθαγόρας επένδυσε στο εστιατόριο το ποσό των 75000 και η Υπατία το ποσό των 45000. Μετά τον πρώτο χρόνο λειτουργίας του, το εστιατόριο είχε κέρδος 40000 και οι δυο φίλοι μοίρασαν το κέρδος ανάλογα με το ποσό που επένδυσε ο καθένας. Ακολούθως οι δυο φίλοι πλήρωσαν στο κράτος φόρο, που σύμφωνα με το νόμο, υπολογίζεται ως εξής: «Όλα τα εισοδήματα μέχρι το ποσό των 20000, ο φόρος είναι στο 20%, ενώ τα εισοδήματα που είναι μεγαλύτερα από το ποσό των 20000, ο φόρος είναι 30% επί του συνολικού ποσού». Να υπολογίσετε: (α) πόσα χρήματα πήρε αρχικά ο καθένας. (β) πόσο ήταν το καθαρό κέρδος του καθενός, μετά την πληρωμή του φόρου στο κράτος. 15
68. Ένας εργολάβος οικοδομών ζήτησε 280000 για την κατασκευή ενός έργου σε ένα χρόνο. Σε αυτήν την τιμή συμπεριλαμβάνεται και το κέρδος του που είναι 40%. Επειδή όμως καθυστέρησε να τελειώσει την κατασκευή του έργου, οι πελάτες του αφαίρεσαν το ποσό των 10000. Να υπολογίσετε πόσα τοις εκατόν ήταν τελικά το κέρδος του εργολάβου. 69. Ο Παντελής ήθελε να αγοράσει ένα κινητό αξίας 250. Ο πωλητής του έκανε δύο προσφορές. Α προσφορά: να πάρει το παλιό κινητό του Παντελή και να του κάνει έκπτωση 28% στην αρχική αξία του κινητού. Β προσφορά: να του χαρίσει 50 παίρνοντας το παλιό κινητό του Παντελή και στη νέα μειωμένη τιμή του κινητού να κάνει έκπτωση 10%. Ποια από τις δύο προσφορές ήταν η πιο συμφέρουσα για τον Παντελή; 70. Ο κύριος Αντώνης πήρε κλήση από την τροχαία για υπερβολική ταχύτητα. Του επέβαλαν δύο βαθμούς πoινή και πρόστιμο. Επειδή όμως καθυστέρησε να εξοφλήσει το πρόστιμό του, υποχρεώθηκε να πληρώσει επιπλέον 20%. Αν πλήρωσε τελικά 72 πόσο ήταν το αρχικό πρόστιμο; 71. Ο κύριος Κώστας κέρδισε 120000. Ξόδεψε το 30% των χρημάτων αυτών για να ξεπληρώσει τα χρέη του. Το 25% των υπόλοιπων χρημάτων του το χρησιμοποίησε για ανακαίνιση του σπιτιού του. Τα χρήματα που του περίσσεψαν τα μοίρασε στα τρία παιδιά του, ανάλογα με τις ηλικίες τους που είναι 17, 21 και 25 χρονών. Να βρείτε πόσα έδωσε στο κάθε παιδί. 72. Το κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζει τα αποτελέσματα μιας έρευνας που έγινε για τον αγαπημένο άθλημα των 720 μαθητών ενός σχολείου. (α) Να χαρακτηρίσετε το είδος της μεταβλητής «Αγαπημένο άθλημα». (β) Να υπολογίσετε την τιμή του χ. (γ) Πόσοι μαθητές αγαπούν το κολύμπι; 16
73. Σε ε να τμη μα Α τα ξης ενός γυμνασίου έγινε έρευνα για το αγαπημένο χρώμα των μαθητών. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο πιο κάτω Αγαπημένο χρώμα μαθητών. ραβδόγραμμα. Να απαντήσετε τα ερωτήματα: 8 (α) Ποιο χρώμα είναι αγαπητό στους 6 περισσότερους μαθητές; (β) Πόσοι μαθητές έχουν απαντήσει ότι το αγαπημένο τους χρώμα είναι το κόκκινο; 4 2 0 Μπλε Κόκκινο Άσπρο Μαύρο (γ) Πόσοι είναι όλοι οι μαθητές του τμήματος; Αγαπημένο χρώμα (δ) Ποια η πιθανότητα να επιλέξω ένα μαθητή που το αγαπημένο του χρώμα είναι το άσπρο; (ε) Ποια η πιθανότητα να επιλέξω ένα μαθητή που το αγαπημένο του χρώμα να μην είναι το μαύρο; 74. Σε ένα σακουλάκι υπάρχουν 12 καραμέλες με γεύση μέντας και 2 με γεύση φρούτων. Πόσες καραμέλες με γεύση φρούτων πρέπει να προσθέσουμε, ώστε η πιθανότητα να διαλέξουμε μια καραμέλα με γεύση φρούτων να είναι. 75. Το διπλανό κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζει τις ποδοσφαιρικές προτιμήσεις 135 ατόμων προς τις ομάδες Α1, Α2, Α3 και Α4. Το μέτρο της επίκεντρης γωνίας του κυκλικού τομέα που αντιπροσωπεύει τους οπαδούς της ομάδας Α1 είναι 80. (α) Να βρείτε πόσοι είναι οι οπαδοί της ομάδας Α1. (β) Οι οπαδοί της ομάδας Α2 είναι διπλάσιοι των οπαδών της Α3 και οι οπαδοί της ομάδας Α4 είναι τετραπλάσιοι των οπαδών της ομάδας Α3. Να βρείτε πόσοι είναι οι οπαδοί της ομάδας Α2. (γ) Να βρείτε το ποσοστό των οπαδών της ομάδας Α1. (δ) Να βρείτε το λόγο των οπαδών της ομάδας Α4 προς τους οπαδούς της ομάδας Α1. (ε) Αν το 20% των οπαδών της ομάδας Α1 είναι παιδιά ηλικίας 14 χρονών, να βρείτε πόσα είναι αυτά τα παιδιά. 17 Αριθμός μαθητών
76. Σε μια έρευνα ρωτήθηκαν 200 άτομα πόσες ταινίες είδαν στον κινηματογράφο τον περασμένο μήνα. Τα αποτελέσματα της έρευνας φαίνονται στον επόμενο πίνακα, από τον οποίο λείπουν δύο τιμές. Γνωρίζουμε ότι το 25% των ατόμων που ρωτήθηκαν είδαν 2 ταινίες τον περασμένο μήνα. (α) Να βρείτε τις τιμές που λείπουν και να συμπληρώσετε τον πίνακα. (β) Nα κατασκευάσετε το αντίστοιχο ραβδόγραμμα. (γ) Αν διαλέξουμε στην τύχη ένα από τα άτομα, ποια η πιθανότητα (σε ποσοστό %): i. Να είδε ακριβώς 3 ταινίες ii. Να είδε τουλάχιστον 1 ταινία iii. Να είδε το πολύ 3 ταινίες. 77. Ο αριθμός των μαθητών των 20 τμημάτων ενός σχολείου δίνεται στον πιο κάτω πίνακα συχνοτήτων. Να βρείτε: (α) τον αριθμό των τμημάτων που έχουν τουλάχιστον 19 μαθητές, (β) τον αριθμό των τμημάτων που έχουν το πολύ 18 μαθητές, (γ) το ποσοστό των τμημάτων που έχουν 21 μαθητές, (δ) την πιθανότητα, αν επιλέξουμε στην τύχη ένα τμήμα, αυτό το τμήμα να έχει 20 μαθητές. 78. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσιάζεται η Επίδοση μαθητών επίδοση των μαθητών ενός τμήματος ενός στα Μαθηματικά Αριθμός μαθητών Γυμνασίου στα Μαθηματικά. (α) Αν οι μαθητές που είχαν επίδοση Γ ήταν διπλάσιοι από τους μαθητές που είχαν Α, Α Β Γ.. 6.. να συμπληρώσετε το πίνακα. Δ 2 (β) Πόσοι μαθητές είχαν επίδοση μεγαλύτερη Ε 5 Σύνολο 25 του Γ; (γ) Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που είχαν επίδοση Ε. (δ) Να κατασκευάσετε αντίστοιχο Ραβδόγραμμα. 18 Αριθμός Αριθμός ταινιών ατόμων 0 30 1 60 2 3 4 20 5 10 Αριθμός Αριθμός μαθητών τμημάτων 17 2 18 3 19 4 20 6 21 5
79. Ο Αθλητικός όμιλος του σχολείου έκανε μια έρευνα, για το αγαπημένο άθλημα των μαθητών. Αφού κατέγραψαν την προτίμηση του καθενός, από τους 540 μαθητές,παρουσίασαν το πιο κάτω κυκλικό διάγραμμα με τις προτιμήσεις τους. Να βρείτε: (α) Ποιο είναι το πιο δημοφιλές άθλημα; (β) Πόσοι μαθητές προτιμούν το κολύμπι; (γ) Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών που προτιμούν την καλαθόσφαιρα; (δ) Αν επιλέξω τυχαία ένα μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα, το αγαπημένο του άθλημα να είναι: Α: η ποδηλασία, Β: η πετόσφαιρα ή το ποδόσφαιρο; 80. Ο Αθλητικός όμιλος του σχολείου έκανε μια έρευνα για το αγαπημένο άθλημα 540 παιδιών. Αφού κατέγραψαν την προτίμηση του καθενός, παρουσίασαν τα δεδομένα στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα. Χρησιμοποιώντας τις πληροφορίες του κυκλικού διαγράμματος, να απαντήσετε στα πιο κάτω: (α) Ποιο άθλημα προτιμούν τα περισσότερα παιδιά; (β) Πόσα παιδιά προτιμούν την καλαθόσφαιρα; (γ) Να βρείτε το λόγο του αριθμού των παιδιών που προτιμούν την πετόσφαιρα προς τον αριθμό των παιδιών που προτιμούν την ποδηλασία. (δ) Να βρείτε το ποσοστό των παιδιών που προτιμούν το ποδόσφαιρο. (ε) Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα από τα παιδιά του σχολείου, να υπολογίσετε την πιθανότητα του πιο κάτω ενδεχομένου: Α: «το αγαπημένο του άθλημα είναι η καλαθόσφαιρα» 19