Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ολοκληρωτικός Λογισμός (μέρος ) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Σελίδα

Σκοποί ενότητας 4 Περιεχόμενα ενότητας 4 Ορισμένο Ολοκλήρωμα 5 4 Εφαρμογές του Ορισμένου Ολοκληρώματος 9 4 Συνολικά και Οριακά Μεγέθη 9 4 Υπολογισμός πλεονάσματος του καταναλωτή και του παραγωγού 4 Μέση τιμή μιας συνάρτησης 44 Εκθετικός Νόμος 5 Γενικευμένα Ολοκληρώματα 5 5 Γενικευμένα Ολοκληρώματα ου είδους (σε μη φραγμένα διαστήματα) 5 5 Γενικευμένα Ολοκληρώματα ου είδους (μη φραγμένων συναρτήσεων) 6 6 Πολλαπλά Ολοκληρώματα 8 6 Ολοκληρώματα σε Ορθογώνιες Περιοχές R= [,] [, cd] 8 6 Ολοκληρώματα σε Φραγμένες Μη Ορθογώνιες Περιοχές 9 6 Η περιοχή είναι απλή τουλάχιστον σε έναν από τους δύο άξονες 9 6 Η περιοχή που μπορεί να χωρισθεί σε κατάλληλα πεπερασμένου πλήθους κανονικά χωρία Σελίδα

Σκοποί ενότητας Παρουσιάζονται θέματα Ολοκληρωτικού Λογισμού (μέρος ) που είναι απαραίτητα για τον χρηματοοικονομικό και λογιστικό αναλυτή Περιεχόμενα ενότητας Ορισμένο Ολοκλήρωμα, Εφαρμογές του Ορισμένου Ολοκληρώματος, Συνολικά και Οριακά Μεγέθη, Υπολογισμός πλεονάσματος του καταναλωτή και του παραγωγού, Μέση τιμή μιας συνάρτησης, Εκθετικός Νόμος, Γενικευμένα Ολοκληρώματα, Γενικευμένα Ολοκληρώματα ου είδους (σε μη φραγμένα διαστήματα), Γενικευμένα Ολοκληρώματα ου είδους (μη φραγμένων συναρτήσεων), Πολλαπλά Ολοκληρώματα, Ολοκληρώματα σε Ορθογώνιες Περιοχές R= [,] [, cd], Ολοκληρώματα σε Φραγμένες Μη Ορθογώνιες Περιοχές, Η περιοχή είναι απλή τουλάχιστον σε έναν από τους δύο άξονες, Η περιοχή που μπορεί να χωρισθεί σε κατάλληλα πεπερασμένου πλήθους κανονικά χωρία Σελίδα 4

Ορισμένο Ολοκλήρωμα Έστω ( ) f x μια συνεχής ορισμένη στο [, ] D= Σε ένα σύστημα καρτεσιανών αξόνων, η καμπύλη C f, οι ευθείες x = α, και x = β και ο άξονας xx σχηματίζουν επίπεδο τόπο Τ Συμβολίζουμε το εμβαδόν του τόπου Τ με β E α Ο υπολογισμός του πολύγωνο εσωτερικά και εξωτερικά του Τ β E α θα γίνει προσεγγίζοντάς το με κλιμακωτό Σχήμα Απεικόνιση του β E α Η κατασκευή αυτών των πολυγώνων γίνεται ως εξής: Διαλέγουμε ν- τυχαίους αριθμούς έτσι ώστε: α v x v = x < x < x < < x < = β Η διαδικασία αυτή καλείται διαμέριση δ του διαστήματος Δ σε υποδιαστήματα του κάθε = [, x ] i x i i το i i i x = x x, i =,,, v, με μήκος,, v Καλούμε λεπτότητα διαμέρισης δ και συμβολίζουμε με λ( δ ) το μέγιστο από τα x i Σχήμα Απεικόνιση διαμερίσεων Σχηματίζουμε τα αθροίσματα: v s = å f( x ) Dxi και n i- i= v S = f( x ) Dx n å i= i i Σελίδα 5

Καλούμε δε το s n κάτω άθροισμα και το S n άνω άθροισμα της f ( x ) σε σχέση με τη διαμέριση δ και ισχύει: s < E < S n n Έστω ξ i μια τυχαία τιμή του x στο υποδιάστημα επομένως:, δηλαδή f (x ) f ( x ) f (x ), i =,,, v και i i i i v sn < å f( vi) D xi < Sn () i= Το άθροισμα v E = f ( ξ ) καλείται άθροισμα Riemnn i= i ξ i Υποθέτουμε ότι η λεπτότητα του διαμερισμού λ( δ ) και επομένως το πλήθος των υποδιαστημάτων v αυξάνει απεριόριστα, δηλαδή v Τα κάτω αθροίσματα σχηματίζουν μια αύξουσα και τα άνω αθροίσματα μια φθίνουσα ακολουθία Και οι δύο ακολουθίες είναι φραγμένες και συγκλίνουν Εάν το όριο σύγκλισης είναι το ίδιο, I, τότε αυτό καλείται ορισμένο ολοκλήρωμα: I = lim s = lim S =ò f ( x) dx () l v v l Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν θεωρήσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα f ( ξ i ) και λόγω των (), () ισχύει: v v lim E = lim f ( ξ ) ξ = f (ξ) dξ v i= i i β α Ορισμός: Μια συνάρτηση f καλείται ολοκληρώσιμη στο, β όταν το lim v v i= f ( x xi και ύψη τα i ) x i = I υπάρχει και για κάθε διαμέριση του, β και τυχαία επιλογή των θέσεων ξ i έχει την ίδια οριακή τιμή Τα,, β διάστημα ολοκλήρωσης β λέγονται κάτω και άνω όριο του ολοκληρώματος, το δε [ ] Εάν η f ( x ) είναι ολοκληρώσιμη στο, β β τότε ορίζουμε τον αριθμό α f (x)dx σαν το εμβαδό β E α Σελίδα 6

Σχήμα Μία προσέγγιση του ολοκληρώματος της συνάρτησης sin(x) Σχήμα 4 Δύο εναλλακτικές προσεγγίσεις του ολοκληρώματος της συνάρτησης sin(x) Σελίδα 7

Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος: [ x) ± g( x) ] dx = f ( x) dx ± f f ( g( x) dx ( x) dx = f ( x) dx f ( x) dx = 4 kf ( x) dx = k f ( x) dx c 5 f ( x) dx + f ( x) dx = f ( x) dx c Θεώρημα: Αν f:[, ] είναι μονότονη τότε η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ] Θεώρημα: Αν f:[, ] συνεχής τότε η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ] Θεώρημα (θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού (Newton-Leiniz)): Αν η f είναι ολοκληρώσιμη στο [ και, ] F μια οποιαδήποτε παράγουσα της f στο [, ] τότε: f ( x) dx = F( ) F( ) Παραδείγματα: x 5 xdx = = 8 = 4 4 π /4 π /4 π π συν = ηµ = ηµ ηµ = = π /4 4 4 π /4 xdx [ x] 5 5 ò é x + ù æ ö dx = ln = ln - ln = ln ê ú èç ø -x ë x- û 4 Σελίδα 8

4 Εφαρμογές του Ορισμένου Ολοκληρώματος 4 Συνολικά και Οριακά Μεγέθη Αν ( ) g x dy = dx y = f ( x) dx είναι η οριακή συνάρτηση, τότε η συνολική συνάρτηση είναι Παράδειγμα: (Υπολογισμός συνάρτησης ζήτησης) Το οριακό κόστος μιας βιομηχανίας δίνεται από την σχέση MC( q) = q + όπου q η παραγόμενη ποσότητα και το σταθερό κόστος είναι χρηματικές μονάδες Να βρεθεί η συνάρτηση του κόστους Οριακό κόστος (Mrginl Cost- MC): dtc( q) MC( q) = dq Οριακό έσοδο (Mrginl Revenue- MR): dtr( q) MR( q) = dq ( ) Όπου c σταθερά και TC() c TC( q) = MC( q) dq = q + dq = 5q + q + c Άρα, TC( q) = 5q + q + = = Παράδειγμα: (Υπολογισμός συνάρτησης ζήτησης) Το οριακό έσοδο MR( q) = 4 q,όπου q η παραγόμενη ποσότητα Να βρεθεί η συνάρτηση ζήτησης της βιομηχανίας ( ) TR( q) = MR( q) dq = 4 q dq = 4q q + c Έχουμε TR() = c = Άρα TR( q) = 4q q TR( q) 4q q Αν p είναι η τιμή πώλησης τότε TR( q) = p q p = = p = 4 q είναι η q q συνάρτηση ζήτησης Παράδειγμα: (Υπολογισμός συνολικού κόστους) Το οριακό έσοδο MR( q) 5 5q q = και το οριακό κόστος παραγόμενη ποσότητα Να βρεθεί το μέγιστο συνολικό κέρδος d d d d d dq dq dq dq dq MC( q) 5 q q =,όπου q η π ( q) = TR( q) C( q) = TR( q) = C( q) MR ( q * ) MC ( q * ) = Το κέρδος είναι μέγιστο στο σημείο όπου MC( q) = MR( q) q = 5 (απορρίπτεται) ή q = 4 π = MR( q) MC( q) dq = = Το συνολικό κέρδος είναι ( ) Σελίδα 9

4 Υπολογισμός πλεονάσματος του καταναλωτή και του παραγωγού Σχήμα 5 Γραφική απεικόνιση των καμπυλών προσφοράς και ζήτησης Το πλεόνασμα του καταναλωτή (Consumers surplus) είναι το εμβαδόν της περιοχής CS, έτσι: q ( ) CS = d q dq p q Το πλεόνασμα του παραγωγού (Producer surplus) είναι το εμβαδόν της περιοχής PS, έτσι: q = ( ) PS p q s q dq Παράδειγμα: Αν η συνάρτηση ζήτησης είναι καταναλωτή αν αγοράσει ποσότητα q = 4 p q q = 6 Να υπολογιστεί το πλεόνασμα του q 4 ( ) ( ) ( ) CS = d q dq p q = 6 q q dq 6 4 4 4 4 q 4 6q q ( 6 4 4 ) 4 = 6 4 4 ( 6 4 4 ) 4 = 586 Παράδειγμα: Αν η συνάρτηση προσφοράς είναι ( ) παράγωγού όταν η τιμή είναι p = 5 ( ) ( ) p = q+ 5 = q+ q = p = q+ να υπολογιστεί το πλεόνασμα του q ( ) ( ) ( ) q + ( ) ( ) 6 PS = p q s q dq = + q + dq = + = Σελίδα

4 Μέση τιμή μιας συνάρτησης Έστω f: [, ] και x, x,, x [, ] είναι: ( ) + ( ) + + ( ) f x f x f x y = = n n i= n, τότε η μέση τιμή των τιμών της συνάρτησης x, x,, x n n f n ( x ) i Η μέση τιμή της f θα είναι: y = f ( x) dx Παράδειγμα: Να υπολογιστεί η μέση τιμή της συνάρτησης f( x), = x στο [ ] 44 Εκθετικός Νόμος Έστω το μέγεθος y που αυξάνεται με ρυθμό ανάλογο με το y, τότε: dy ky dx = Άρα dy y t yt () = kdx ολοκληρώνοντας έχουμε d y = kdx ln y( t) = k [ x] = = ln y y () kt Αν y () =, τότε yt () = e Σελίδα

Πίνακας Συμβολισμός Συμβολισμός Μέγεθος d Ζητούμενη ποσότητα s Προσφερόμενη ποσότητα Q Συνάρτηση ζήτησης (Είναι μια συνάρτηση του Q και του P) Q Q Συναρτήσεις ζήτησης, προσφοράς d s Πίνακας Έσοδα Συμβολισμός Μέγεθος Τύπος MR Οριακά έσοδα d MRQ ( ) = TRQ ( ) (ευρώ/τεμάχιο) dq TR Συνολικά έσοδα ( ) ( ) ( ) TR Q = MRdQ + FR TR Q = P Q Q AR Μέσα έσοδα TR( Q) AR( Q) = Q Πίνακας Κόστη (έξοδα) Συμβολισμός Μέγεθος Τύπος MC Οριακά κόστη d MCQ ( ) = TCQ ( ) (ευρώ/τεμάχιο) dq TC Συνολικό κόστος TC ( Q) = MCdQ + FC TC ( Q) = P( Q) Q Αν είναι γραμμικό τότε: TC( Q) = k Q + l TC() = FC TC( τιµ ή) = συνοlιkό AC Μέσο κόστος TC( Q) AC( Q) = Q FC Πάγια έξοδα VC Λειτουργικό κόστος Πίνακας 4 Κέρδος Συμβολισμός Μέγεθος Τύπος ΜΠ Οριακά κέρδη d ΜΠ = Π ( Q) (ευρώ/τεμάχιο) dq ΤΠ Συνολικό κέρδος Π=TR-TC ΑΠ Μέσο κέρδος Π AΠ ( Q) = Q Π Κέρδη Π ( Q) = TR( Q) TC( Q) Σελίδα

Πίνακας 5 Ελαστικότητα Συμβολισμός Μέγεθος Τύπος dq P EQP =, P τιμή Q ποσότητα dp Q Ελαστικότητα Ζήτησης Q= Q ( P) E QP Ελαστικότητα Ελαστικότητα Προσφοράς Q= Q ( P) Οικονομική ερμηνεία μια αύξηση της τιμής κατά % οδηγεί σε μείωση ή αύξηση της ζητούμενης (προσφερόμενης) ποσότητας κατά EPQ % d s Πίνακας 6 Σημείο Ισορροπίας Μέγεθος Τύπος Σημείο Ισορροπίας Q ( P) = Q ( P) d s Για να πάμε από τα οριακά (Μ) στα συνολικά (Τ) ολοκληρώνουμε Για να πάμε από τα συνολικά (Τ) στα οριακά (Μ) παραγωγίζουμε Παράδειγμα : Το οριακό κόστος σε μια παραγωγή είναι q 6q + 4 ανά μονάδα προϊόντος Το συνολικό κόστος παραγωγής των πρώτων μονάδων είναι 4 χρηματικές μονάδες Ποιο είναι το συνολικό κόστος παραγωγής των πρώτων 5 μονάδων; Γνωρίζουμε ότι C' (q) = q 6q + 4, άρα C(q) = C' (q) dq = (q 6q + 4)dq = q q + 4q + k Γνωρίζουμε ότι C () = 9, άρα 9 = + 4 + k οπότε k= Τότε η συνάρτηση κόστους είναι C(q) = q q + 4q + και το κόστος παραγωγής των πρώτων 5 μονάδων είναι C(5) = 5 5 + 4 5 + = 587 χρηματικές μονάδες Παράδειγμα :,8Q Το οριακό έσοδο είναι,4e και το σταθερό είναι,4 (ζημία πριν αρχίσει την πώληση) Να βρεθεί η συνάρτηση εσόδων Λύση dr 8Q 8Q 8Q 8Q R = dq =,4e dq =,4 e d(8q) = e + C e + C =, 4 dq 8 8Q C =,4 R = e 4 Σελίδα

Παράδειγμα : Ένα εργοστάσιο υπολογίζει ότι q (σε χιλιάδες) μονάδες θα αγοραστούν από χοντρέμπορους όταν η τιμή του αγαθού είναι p = D(q) = 9 + 9 χρ μον ανά προϊόν και ότι ο ίδιος αριθμός θα προσφερθεί στην αγορά όταν η τιμή είναι p = S(q) = q + q + 5 χρηματικές μονάδες ανά προϊόν α) Να βρεθεί η τιμή ισορροπίας (προσφορά ίση με ζήτηση) και η ποσότητα προσφοράς και ζήτησης σε αυτή την τιμή β) Να προσδιοριστεί το πλεόνασμα παραγωγού και καταναλωτή στην τιμή ισορροπίας Η προσφορά ισούται με τη ζήτηση όταν: q + 9 = q + q + 5 q + q 4 = q = P = () + 9 = 8 χρ μον ανά προϊόν σε ζήτηση μονάδων P = 8 και q =, το πλεόνασμα καταναλωτή είναι: CS = ( q q + 9)dq 8 = + 9 q 8 = 86667 8 = 6667 Το πλεόνασμα του παραγωγού είναι: q q PS = 8 (q + q + 5) dq = 8 + + 59 = 8 55667 = 4 χρηματικές μονάδες Σχήμα 6 Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων προσφοράς και ζήτησης Σελίδα 4

5 Γενικευμένα Ολοκληρώματα Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος προϋποθέτει η συνάρτηση να είναι φραγμένη σε ένα φραγμένο διάστημα [, ] Ακόμα υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ] Τα ολοκληρώματα που δεν πληρούν μια από τις δύο αυτές συνθήκες ονομάζονται γενικευμένα ολοκληρώματα (improper integrls) (ολοκληρώματα Cuchy-Riemnn) 5 Γενικευμένα Ολοκληρώματα ου είδους (σε μη φραγμένα διαστήματα) Έστω f :[, + ) ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα [ t, ] [, ] κάθε t > t Αν υπάρχει το όριο lim f ( x) dx και είναι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι το γενικευμένο t ολοκλήρωμα της f συγκλίνει (υπάρχει) και το συμβολίζουμε f ( x) dx f ( x) dx = lim f ( x) dx t t Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα dx k x Αν k, Αν k + t k x, αν k > dx = x dx = lim = lim k k k x t k t = + k t, αν k < t t t k =, dx lim dx lim( ln x ) lim( ln x ) x = = = = x t t t Παρατήρηση: f :,, τότε: f ( x) dx = lim f ( x) dx Αν ( ] Αν :(, ) t t + t f x dx = f x dx + f x dx με f +, τότε: ( ) lim ( ) lim ( ) Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα t t t + x xe dx x + e x + e + Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα dx Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα x x dx + + για Σελίδα 5

5 Γενικευμένα Ολοκληρώματα ου είδους (μη φραγμένων συναρτήσεων) Έστω f: [, ) ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα [ t, ] [, ) t > για κάθε t Τότε αν υπάρχει το όριο lim f ( x) dx και είναι πραγματικός αριθμός τότε λέμε ότι το γενικευμένο t ολοκλήρωμα της f συγκλίνει (υπάρχει) και το συμβολίζουμε f ( x) dx f ( x) dx = lim f ( x) dx t t Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα x dx (β είδους) x Σχήμα 7 Γραφική απεικόνιση της x x Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα (β είδους) ( ) x dx Σχήμα 8 Γραφική απεικόνιση της ( x ) Σελίδα 6

Ασκήσεις: + rx Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα e f ( x) dx (μετασχηματισμός Lplce) x Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα + e x dx (συνάρτηση γάμμα) ( x µ ) + σ Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα e dx (κανονική κατανομή) πσ Σελίδα 7

6 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Η τεχνική ολοκλήρωσης εξαρτάται από την μορφή του χωρίου ολοκλήρωσης R 6 Ολοκληρώματα σε Ορθογώνιες Περιοχές R= [,] [, cd] f ( x, y ) da R Ιδιότητες διπλών ολοκληρωμάτων: k f ( x, y) da = k f ( x, y) da R R [ f( xy, ) ± gxy (, )] da= f( xyda, ) gxyda (, ) R ± R R f ( x, y ) da εάν f( xy, ) πάνω στο R R 4 f ( x, y) da g( x, y) da R εάν f( xy, ) gxy (, ) R 5 f ( x, y) da = f ( x, y) da + g( x, y) da εάν R R R R R R πάνω στο R = + Θεώρημα: (o Θεώρημα του Fuinni) Αν η f( xy, ) είναι μία συνεχής συνάρτηση στην ορθογώνια περιοχή R= [, ] [, cd], τότε: d d f ( x, y) da = [ f ( x, y) dy] dx = [ f ( x, y) dx] dy R c c Τα διπλά ολοκληρώματα σε ορθογώνιες περιοχές μπορούν να υπολογιστούν σαν διαδοχικά ολοκληρώματα Παράδειγμα: da, όπου R = [,] [,] R + x da [ dy] dx [ ] dx [ ] dx rctn x x x x x Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα y y y y π = = = = = R + + ( + ) (+ ) Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα Παράδειγμα Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα 6x yda, όπου [, ] [,] R ( x + y ) da R R =, όπου R = [, ] [,] Σελίδα 8

6 Ολοκληρώματα σε Φραγμένες Μη Ορθογώνιες Περιοχές 6 Η περιοχή είναι απλή τουλάχιστον σε έναν από τους δύο άξονες Αν x R =,τότε f( x) y f( x) f ( x) f ( x, y) da = [ f ( x, y) dy] dx R f ( x) Θεώρημα: (o Θεώρημα του Fuinni) Αν η f( xy, ) είναι μία συνεχής συνάρτηση σε μια περιοχή R : Αν η R ορίζεται x R = f( x) y f( x) f ( x) f ( x, y) da = [ f ( x, y) dy] dx R f ( x) Αν η R ορίζεται c y d R = g( x) x g( x) d g ( x) f ( x, y) da = [ f ( x, y) dx] dy R c g ( x) με f, f συνεχής στο [, ], τότε: με g, g συνεχής στο [ cd, ], τότε: Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα ορίζεται από των άξονα xx την y = x και x = D sin x da, όπου D είναι το τρίγωνο που x D = ( x,y ) : y, y x { } -Cos[] Παράδειγμα : Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα ορίζεται από τις y = x y = x+ 5, y =, y = D e x+ y da, όπου D είναι η περιοχή που D = (x,y) : y,y x 5 y { } Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα ορίζεται από τις y = y+ x=, y = x D x xyda, όπου D είναι η περιοχή που D = (x,y) : y,y x y 5 (Απάντηση: 96 ) Σελίδα 9

6 Η περιοχή που μπορεί να χωρισθεί σε κατάλληλα πεπερασμένου πλήθους κανονικά χωρία Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα από τις ευθείες y = x+ 4, y = x+ και D y = x 4 xyda, όπου D είναι το τρίγωνο που ορίζεται Σχήμα 9 Γραφική απεικόνιση του τριγώνου που ορίζεται από τις ευθείες y = x+ 4, y = x+ και y = x 4 Έτσι, η περιοχή ολοκλήρωσης D μπορεί να χωρισθεί σε δύο άπλα τρίγωνα: D = ( xy, ) : 6 x, x 4 y x+ 4, D = ( xy, ) : x 9, x 4 y x+ Σελίδα

Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση Σημείωμα Αναφοράς Copyright Οικονομικό Πανεπιστήμιον Αθηνών, Ανδριανός Ε Τσεκρέκος, 5 Ανδριανός Ε Τσεκρέκος «Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα» Έκδοση: Αθήνα 5 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://opencoursesuegr/modules/document/?course=loxr Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων πχ φωτογραφίες, διαγράμματα κλπ, τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων» [] http://cretivecommonsorg/licenses/y-nc-s/4/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (πχ διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους Σελίδα

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σελίδα