ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. Οι βασικές έννοιες Η ταλαντωτική κίνηση είναι κίνηση που επαναλαμβάνεται στον χρόνο. Οι ταλαντώσεις ενός η περισσοτέρων μερών μιας μηχανής η ενός μηχανισμού αποτελεί το αντικείμενο μελέτης της Δυναμικής των Μηχανών. Ταλαντούμενο σύστημα είναι ένα σύστημα που ένας αριθμός μερών του ή όλα του τα μέρη βρίσκονται σε ταλαντωτική κίνηση. Το σύστημα αποθηκεύει δυναμική και κινητική ενέργεια σε ποσότητες χρονικά μεταβαλλόμενες και ταυτοχρόνως χάνει ενέργεια προς το περιβάλλον. Η πρώτη διαδικασία συμβαίνει λόγω της ελαστικότητας και της ύπαρξης αδρανειακών μαζών και η δεύτερη οφείλεται στην ύπαρξη μηχανισμών απόσβεσης. Παραδείγματα ταλαντούμενων συστημάτων δίνονται στο σχήμα.. y θ Σχήμα..Παραδείγματα ταλαντούμενων συστημάτων Βαθμοί Ελευθερίας (Β.Ε.) ενός συστήματος είναι ο ελάχιστος αριθμός ανεξάρτητων μεταβλητών που απαιτούνται για τον πλήρη καθορισμό των θέσεων όλων των ταλαντούμενων μερών (μαζών, αδρανειών) του συστήματος σε κάθε χρονική στιγμή. Στο σχήμα.2.α το σύστημα είναι ενός Β.Ε. Οι (m) και y (m)

2 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ είναι εξαρτημένες μεταβλητές και το σύστημα περιγράφεται είτε μόνο με το (m) είτε μόνο με το y (m) είτε μόνο με το θ (rad) σύμφωνα με τις σχέσεις: 2 2 2 + y = l (m), lsin θ, y l cosθ (m) (.) Το σύστημα στο σχήμα.2.β είναι δύο Β.Ε και περιγράφεται με τις δυο ανεξάρτητες μεταβλητές θ (rad)και θ 2 (rad). θ θ 2 θ y θ T (t) T (t) 2 α. Σύστημα ενός Β.Ε. β. Σύστημα περισσοτέρων του ενός Β.Ε. Σχήμα.2. Ταλαντούμενα συστήματα και βαθμοί ελευθερίας. F(t) θ θ 2 θ 3 T (t) T (t) 2 T (t) 3 L α. Διακριτό σύστημα τριών (3) βαθμών ελευθερίας. β. Συνεχές σύστημα. Σχήμα.3. Συνεχή και διακριτά συστήματα Διακριτά και Συνεχή Συστήματα. Τα διακριτά συστήματα περιγράφονται κατά την ταλάντωση τους με πεπερασμένο αριθμό ανεξάρτητων μεταβλητών (πεπερασμένος αριθμός Β.Ε.), σε αντίθεση με τα συνεχή όπου ο αριθμός των Β.Ε. είναι άπειρος. Έτσι στο σχήμα.3.α απεικονίζεται ένα σύστημα τριών (3) βαθμών ελευθερίας που εκτελεί στρεπτική ταλάντωση ενώ το σχήμα.3.β αντιστοιχεί σε

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 μία πακτωμένη δοκό που εκτελεί καμπτική ταλάντωση. Στην περίπτωση αυτή απαιτείται η γνώση της τιμής της συνάρτησης u(, t ) (m) για κάθε [0, ] L (m) για τον καθορισμό της ταλάντωσης. Τις περισσότερες φορές τα συνεχή συστήματα προσεγγίζονται με διακριτά. Αν και η αντιμετώπιση του συστήματος σαν συνεχούς δίδει ακριβείς λύσεις, οι διαθέσιμες αναλυτικές μέθοδοι επίλυσης περιορίζονται σε ένα σχετικά στενό φάσμα προβλημάτων. Σε κάθε περίπτωση όσο αυξάνονται οι βαθμοί ελευθερίας κατά την μοντελοποίηση ενός συστήματος, τόσο η λύση του ταλαντωτικού προβλήματος κερδίζει σε ακρίβεια. Ελεύθερη ταλάντωση συμβαίνει όταν, μετά τη σύντομη δράση κάποιας αρχικής εξωτερικής διέγερσης, το σύστημα αφεθεί να ταλαντωθεί ελεύθερα. Αντίθετα, η ταλάντωση είναι εξαναγκασμένη όταν η εξωτερική διέγερση συνεχίζει να δρα και να καθορίζει τόσο την διάρκεια όσο και την ένταση του ταλαντωτικού φαινομένου. Έτσι στο σχήμα.2.α, το εκκρεμές θα εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση όταν αφεθεί ελεύθερο μετά την απομάκρυνσή του από την θέση ηρεμίας ενώ οι δίσκοι στο σχήμα.2.β θα εκτελούν στρεπτική ταλάντωση όσο θα συνεχίζουν να δρουν οι εξωτερικές ροπές. Όταν η εξωτερική διέγερση είναι περιοδική τότε προκαλούνται περιοδικές ταλαντώσεις. Στην περίπτωση μη περιοδικών εξωτερικών διεγέρσεων οι προκύπτουσες ταλαντώσεις ονομάζονται μεταβατικές. Επιπλέον εάν η εξωτερική διέγερση είναι γνωστή σε κάθε χρονική στιγμή, τότε η προκύπτουσα ταλάντωση θεωρείται ντετερμινιστική ενώ όταν η διέγερση αναπαρίσταται μόνο μέσω μέσων όρων και αποκλίσεων 2 τότε τόσο αυτή όσο και η ταλάντωση ονομάζονται τυχαίες. Ένα ταλαντούμενο σύστημα θεωρείται γραμμικό όταν η κίνησή του μπορεί να περιγραφεί με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και μη γραμμικό όταν απαιτούνται μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις για την περιγραφή αυτή..2. Ανάλυση των Ταλαντώσεων Μηχανών και Μηχανισμών Σχεδόν όλες τα μηχανολογικά συστήματα, οι μηχανές και οι κατασκευές παρουσιάζουν προβλήματα ταλαντώσεων κατά τη λειτουργία τους. Στις επόμενες παραγράφους θίγονται ορισμένες σχετικές περιπτώσεις και αναφέρονται τα προβλήματα που δημιουργούνται είτε στις ίδιες τις μηχανές είτε στο περιβάλλον τους. Η αζυγοσταθμία, δηλαδή η μη συμμετρική διάταξη της μάζας περιστρεφόμενων μερών, αποτελεί πηγή ταλαντώσεων και μπορεί να οφείλεται είτε σε κακό σχεδιασμό είτε σε κακή κατασκευή, λειτουργία ή συντήρηση. Η αζυγοσταθμία Είτε η μία είτε και οι δύο. 2 Δηλαδή με στατιστικό τρόπο...

4 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ προκαλεί μετατοπίσεις στα περιστρεφόμενα μέρη και δημιουργεί προβλήματα στα έδρανα των μηχανών, στα γρανάζια των μειωτήρων, στους άξονες και στις φέρουσες κατασκευές. Όταν οι ταλαντώσεις σε κάποια μηχανή συνεχίζουν να καταπονούν τα μέρη της για μεγάλο χρονικό διάστημα, τότε είναι πολύ πιθανό - σε συνδυασμό με προϋπάρχουσες ατέλειες στο υλικό - να εμφανιστεί το φαινόμενο της κόπωσης, δηλαδή της προοδευτικής θραύσης του μέρους της μηχανής λόγω των αναπτυσσόμενων χρονικά μεταβαλλόμενων τάσεων. Όταν μία από τις φυσικές συχνότητες ταλάντωσης ενός μέλους μιας κατασκευής ή ενός τμήματος ή ακόμη και ολόκληρης της κατασκευής ή της μηχανής ταυτιστεί με τη συχνότητα (ή τις συχνότητες) της εξωτερικής διέγερσης τότε αναπτύσσεται το επικίνδυνο φαινόμενο του συντονισμού που αν συνεχιστεί μπορεί να οδηγήσει σε υπερβολικές παραμορφώσεις και τελικά σε αστοχία της μηχανής ή της κατασκευής. Η βιβλιογραφία έχει καταγράψει χιλιάδες περιπτώσεων τέτοιων αστοχιών λόγω αυτού του φαινομένου. Ο ίδιος ο άνθρωπος είναι δυνατόν να υπόκειται σε ταλαντώσεις που εμφανίζονται στο περιβάλλον στο οποίο εργάζεται. Εκτός από την επίδραση που έχουν αυτές στην αποδοτικότητα της εργασίας του, μπορούν να προκαλέσουν και παροδικές ή μόνιμες βλάβες στον οργανισμό του που γίνονται οξύτερες εάν η ύπαρξη των ταλαντώσεων συνοδεύεται και από θόρυβο. Οι ταλαντώσεις δεν είναι πάντοτε ανεπιθύμητες. Αρκετές μηχανές και διατάξεις βασίζουν τη λειτουργία τους στις ταλαντώσεις. Ως παραδείγματα θα μπορούσε κανείς να αναφέρει τους ταλαντωτικούς μεταφορείς, τους τροφοδότες, τους συμπιεστές και λειαντές επιφανείας (ρεκτιφιέ) καθώς και τα ταλαντωτικά ηλεκτρονικά φίλτρα που χρησιμοποιούνται στα ηλεκτρονικά κυκλώματα για την αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων. Έχει επίσης αποδειχτεί ότι οι ταλαντώσεις - κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις μπορούν να δράσουν ευεργετικά σε διαδικασίες όπως η χύτευση μετάλλων, η συγκόλληση κλπ. Από όλα τα παραπάνω καθίσταται προφανές ότι ο μηχανολόγος μηχανικός οφείλει να επιλύει τα προβλήματα ταλαντώσεων των μηχανών κατά τις φάσεις του σχεδιασμού και της λειτουργία τους. Για να γίνει αυτό κατορθωτό, θα πρέπει να γνωρίζει τη βασική διαδικασία ανάλυσης των ταλαντωτικών φαινομένων. Οι βασικές φάσεις αυτής της διαδικασίας περιγράφονται εν συντομία στις αμέσως παρακάτω παραγράφους. Αναγνώριση του προβλήματος Το φυσικό μοντέλο Εδώ ο στόχος είναι η αναγνώριση - σε επίπεδο λεπτομέρειας που καθορίζεται από το ίδιο το πρόβλημα - των στοιχείων (μάζες, αδράνειες, ελαστικά στοιχεία, στοιχεία

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 5 απόσβεσης) που απαρτίζουν το σύστημα. Εκτός από την καταγραφή των στοιχείων αυτών καθαυτών, θα πρέπει να καταγραφούν και οι μεταξύ τους σχέσεις 3. Κατόπιν θα πρέπει να καθορισθούν ακριβώς τα όρια του συστήματος σε σχέση με το περιβάλλον του και κατόπιν να καταγραφούν όλες οι επιδράσεις 4 του τελευταίου επί του συστήματος. Με την ολοκλήρωση των παραπάνω εργασιών θα έχει επιτευχθεί η διαμόρφωση του φυσικού μοντέλου. Παραδοχές Οι παραδοχές είναι πάντοτε απαραίτητες γιατί οδηγούν σε απλοποιημένα μοντέλα των ταλαντούμενων συστημάτων. Εάν δεν γινόταν παραδοχές, τότε η μοντελοποίηση ενός συστήματος θα ήταν αδύνατη και η μαθηματική λύση θα ήταν αδύνατη. Οι πιο κοινές παραδοχές που γίνονται κατά τη διάρκεια της μοντελοποίησης των ταλαντούμενων συστημάτων είναι οι εξής:. Οι φυσικές ιδιότητες είναι συνεχείς συναρτήσεις χωρικών μεταβλητών (παραδοχή της συνέχειας) 2. Η βαρύτητα είναι το μόνο εξωτερικό πεδίο δυνάμεων 3. Όλα τα υλικά είναι γραμμικά, ισότροπα και ομογενή 4. Το υπ όψη ταλαντούμενο σύστημα δεν υπόκειται σε κανενός είδους, χημικές, πυρηνικές, θερμικές και άλλες επιδράσεις Σχηματισμός του μαθηματικού μοντέλου και επίλυση του προβλήματος Δεδομένου του φυσικού μοντέλου θα πρέπει κατόπιν να σχηματισθεί το αντίστοιχο μαθηματικό. Η εργασία αυτή περιλαμβάνει την κατάστρωση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης με βάση τις αρχές της Δυναμικής. Υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις που μπορεί κανείς να ακολουθήσει αλλά οι πλέον κοινές είναι: α. Η χρήση του 2ου Νόμου του Newton, β. η εφαρμογή της αρχής του D'Alembert, γ. Η επιλογή μίας ενεργειακής μεθόδου (π.χ. της εξίσωσης Lagrange). Η διαμόρφωση του μαθηματικού μοντέλου απαιτεί την επιλογή ενός σετ μεταβλητών που θα περιγράφουν την συμπεριφορά του συστήματος. Οι μεταβλητές αυτές διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: α. στις ανεξάρτητες μεταβλητές που στα προβλήματα των ταλαντώσεων είναι κυρίως ο χρόνος και οι μεταβλητές του χώρου και β. στις εξαρτώμενες μεταβλητές που είναι συναρτήσεις των ανεξάρτητων. Κατά την μελέτη των ταλαντώσεων εξαρτημένες μεταβλητές θεωρούνται οι μετατοπίσεις, οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις. 3 Εδώ μας ενδιαφέρουν ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ και μόνο οι σχέσεις που αφορούν την ταλαντωτική συμπεριφορά των στοιχείων. 4 Συνήθως οι επιδράσεις αυτές είναι δυνάμεις, ροπές, χωρικοί ή και χρονικοί περιορισμοί, κλπ.

6 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στην ενότητα. έγινε αναφορά στην έννοια του βαθμού ελευθερίας. Με βάση τους ορισμούς των ανεξάρτητων και εξαρτώμενων μεταβλητών, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι ίσος προς τον αριθμό των κινηματικά ανεξάρτητων μεταβλητών που απαιτούνται για την πλήρη περιγραφή της ταλαντωτικής κίνησης. Κάθε σύνολο n κινηματικά ανεξάρτητων συντεταγμένων 5 για ένα σύστημα n βαθμών ελευθερίας ονομάζεται σύνολο γενικευμένων συντεταγμένων. Οι γενικευμένες συντεταγμένες είναι εξαρτώμενες μεταβλητές, συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής που είναι ο χρόνος. Μετά την κατάστρωση των εξισώσεων, αυτές θα πρέπει να επιλυθούν. Για τον σκοπό αυτό και ανάλογα με τη φύση του εξεταζομένου προβλήματος, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι παρακάτω τεχνικές: α. κλασσικές μέθοδοι επίλυσης Διαφορικών Εξισώσεων, β. μετασχηματισμοί Laplace, γ. μέθοδοι πινάκων και δ. αριθμητικές μέθοδοι. Τα αποτελέσματα που θα προκύψουν από την επίλυση των εξισώσεων μπορούν πλέον να ερμηνευθούν και να χρησιμοποιηθούν είτε για την επέμβαση και την επίλυση του προβλήματος που ετέθη αρχικά 6 είτε για το σχεδιασμό της μηχανής έτσι ώστε αυτή να λειτουργεί με τις ελάχιστες δυνατές ταλαντώσεις..3. Στοιχεία αδράνειας, ελαστικότητας και απόσβεσης Η μελέτη των ταλαντώσεων των μηχανών και των μηχανολογικών συστημάτων προϋποθέτει την μελέτη των ταλαντωτικών κινήσεων των στοιχείων που τα απαρτίζουν. Τα στοιχεία αυτά διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες ανάλογα με το είδος της ενέργειας που συντηρούν ή διαχέουν. Οι κατηγορίες αυτές είναι: α. Αδρανειακά στοιχεία, β. Ελαστικά στοιχεία και γ. Αποσβεστικά στοιχεία 7. Σε ένα σύστημα υπό ταλάντωση τα ανωτέρω στοιχεία βρίσκονται σε στενή κινηματική και ενεργειακή αλληλεξάρτηση. Επομένως η ανάλυση της ταλαντωτικής συμπεριφοράς του συστήματος προϋποθέτει την αναλυτική μελέτη αυτής της αλληλεξάρτησης και ιδιαίτερα της εξέλιξής της στον χρόνο. Ως αδρανειακά στοιχεία νοούνται οι μάζες που είτε εκτελούν μεταφορική είτε περιστροφική ταλαντωτική κίνηση είτε συνδυασμό των δύο. Οι μάζες διαθέτουν κινητική ενέργεια που μεταβάλλεται συνεχώς καθώς εξελίσσεται το ταλαντωτικό φαινόμενο και η μελέτη της κίνησής τους απαιτεί την εφαρμογή των αρχών της κινηματικής και της δυναμικής. Στα διακριτά συστήματα η μελέτη της 5 Προσοχή!!! Η έννοια της ανεξαρτησίας αναφέρεται μόνο στην κίνηση. Επιπλέον το σύνολο αυτό δεν είναι μοναδικό. 6 Στις περιπτώσεις μηχανών που ήδη λειτουργούν... 7 Η κατηγοριοποίηση αυτή δεν ισχύει στις περιπτώσεις συστημάτων που θεωρούνται ως συνεχή μέσα (βλ. ενότητα.). Στην περίπτωση αυτή τα παραπάνω αναφερόμενα στοιχεία είναι πλήρως κατανεμημένα και μη διαχωρίσιμα.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 7 ταλαντωτικής τους συμπεριφοράς ισοδυναμεί με την μελέτη των κινήσεων χαρακτηριστικών σημείων 8 των μαζών τους. Ως ελαστικό στοιχείο νοείται κάθε ελαστικός σύνδεσμος μεταξύ δύο μαζών σε ένα σύστημα. Το ίδιο το ελαστικό στοιχείο έχει μάζα (αδράνεια) αλλά συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη γιατί είναι μικρή συγκρινόμενη με αυτή των κυρίων μαζών του συστήματος 9. Η συντριπτική πλειοψηφία των ελαστικών στοιχείων είναι από την φύση τους μη γραμμικά. Κατά συνέπεια η επιβολή μίας δύναμης F (N) προκαλεί μετατόπιση (m) και η σχέση μεταξύ των δύο αυτών μεγεθών είναι: 2 3 F 0 2 3... (N) (.2) Εάν υποτεθεί ότι η επιβολή της δύναμης γίνεται όταν το ελαστικό στοιχείο είναι σε θέση ηρεμίας και εάν επιπλέον θεωρηθεί ότι η μετατόπιση είναι πολύ μικρή, τότε προκύπτει η γραμμική σχέση: όπου το (N/m) ονομάζεται σταθερά ελατηρίου. F (N) (.3) Επειδή το ελαστικό στοιχείο μπορεί να αποθηκεύει δυναμική ενέργεια, η ενέργεια αυτή δίνεται από την σχέση: 2 2 V ( t) [ ( t )] (Nm) (.4) Η σχέση (.3) γράφεται διαφορετικά όταν το ελαστικό στοιχείο λειτουργεί στρεπτικά (περιστροφικά). Τότε εάν M (Nm) είναι η ροπή και θ (rad) η γωνία θα είναι: M θ t (Nm) (.5) όπου το t (Nm/rad) ονομάζεται στρεπτική σταθερά ελατηρίου. Η δυναμική ενέργεια θα είναι: 2 V ( t) [ θt ( )] 2 t (Nm) (.6) Στην πράξη τα ελαστικά στοιχεία μπορούν αν έχουν διάφορες μορφές. Ενδεικτικά αναφέρονται τα ελικοειδή ελατήρια (μεμονωμένα ή σε συνδυασμό) και οι ελαστικοί 8 Συνήθως των κέντρων βάρους. 9 Εάν παρ όλα αυτά θα πρέπει να ληφθεί υπόψη τότε για ελαστικό στοιχείο μάζας m s (Kg) που το ένα του άκρο είναι σταθερό και το άλλο είναι συνδεδεμένο με ταλαντούμενο σώμα μάζας m (Kg), προστίθεται ισοδύναμη μάζα ίση προς m s /3 (Kg) στην μάζα του σώματος και γίνεται μελέτη της ταλάντωσης για συνολική μάζα (m+ m s /3) (Kg).

8 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ δοκοί ή ράβδοι. Η σταθερά ελατηρίου ενός ελικοειδούς ελατηρίου δίνεται από την σχέση: 4 GD 64Nr 3 (N/m) (.7) όπου G (N/m 2 ) είναι το μέτρο διάτμησης του υλικού του ελατηρίου, D (m) είναι η διάμετρος του σύρματός του, N είναι το πλήθος των σπειρών και r (m) είναι η ακτίνα της σπείρας Όσο αφορά τις δοκούς ή τις ράβδους η σταθερά ελατηρίου προσδιορίζεται κατά περίπτωση. Έτσι π.χ. για μία πρόβολη δοκό ορθογωνικής διατομής A (m 2 ) και μήκους L (m) από υλικό μέτρου ελαστικότητας E (N/m 2 ), η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου για διαμήκεις ταλαντώσεις θα είναι: EA L (N/m) (.8) και για καμπτικές ταλαντώσεις μιας πρόβολης δοκού με φορτίο στο ελεύθερο άκρο: 3EI 3 L (N/m) (.9) όπου I (m 4 ) είναι η ροπή αδράνειας της διατομής της ράβδου. Για μία ράβδο κυκλικής διατομής A (m 2 ) και μήκους L (m) από υλικό μέτρου διάτμησης G (N/m 2 ), η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου για στρεπτικές ταλαντώσεις θα είναι: t GJ L (Nm/rad) (.0) όπου J (m 4 ) είναι η πολική ροπή αδράνειας της ράβδου. Πολλές φορές τα ελαστικά στοιχεία παρουσιάζονται σε συνδυασμό είτε εν σειρά,,,..., n είτε εν παραλλήλω. Έστω 2 3 n ελαστικά στοιχεία. Τότε εάν θεωρηθεί ότι λειτουργούν εν παραλλήλω (βλ. σχήμα.4.α), η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου θα είναι: eq n (N/m) (.) i i ενώ εάν λειτουργούν εν σειρά (βλ. σχήμα.4.β) θα είναι:

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 9 eq n i i (N/m) (.2) 2 m n α. Ελαστικά στοιχεία εν παραλλήλω. 2 n m β. Ελαστικά στοιχεία εν σειρά. Σχήμα.4. Συνδυασμοί ελαστικών στοιχείων. Τα αποσβεστικά στοιχεία διαχέουν την ενέργεια προς το περιβάλλον και κατά συνέπεια θεωρούνται μη συντηρητικά στοιχεία. Εάν δεν προσδίδεται συνεχώς επαρκής ενέργεια από το περιβάλλον, η ταλάντωση ενός συστήματος που περιέχει τέτοια στοιχεία φθίνει και τελικώς σταματά. Η λειτουργία των στοιχείων αυτών μπορεί να βασίζεται σε διαφορετικές αρχές και μηχανισμούς. Ανάλογα με το είδος του μηχανισμού απόσβεσης διακρίνονται στοιχεία ιξώδους απόσβεσης, στοιχεία απόσβεσης τύπου Coulomb, στοιχεία με υστερητική απόσβεση και στοιχεία με άλλους τύπους απόσβεσης. Εδώ θα γίνει εξέταση μόνο των στοιχείων που βασίζονται στον μηχανισμό ιξώδους απόσβεσης και σε επόμενη ενότητα θα εξετασθούν οι υπόλοιποι μηχανισμοί. Ο ιξώδης αποσβεστήρας είναι ένα αποσβεστικό στοιχείο που βασίζει την λειτουργία του στην ιξώδη τριβή που αναπτύσσεται κατά την επαφή ενός στερεού σώματος και ενός ρευστού. Η αναπτυσσόμενη δύναμη ονομάζεται δύναμη απόσβεσης και είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώματος: F ( ) ( ) c t c t (N) (.3)

0 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στην παραπάνω σχέση η σταθερά c ονομάζεται σταθερά απόσβεσης του αποσβεστήρα, μετριέται σε (Nsec/m) και η τιμή της εξαρτάται από το δυναμικό ιξώδες του ρευστού και την γεωμετρία του αποσβεστήρα. Κατά την μοντελοποίηση των ταλαντούμενων συστημάτων ο ιξώδης αποσβεστήρας που αποσβένει ενέργεια κατά την σχετική μεταφορική μετατόπιση των μερών του συμβολίζεται με τον απλοποιημένο τρόπο που φαίνεται στο σχήμα.5.α. Στο σχήμα.5.β δίνεται ο συμβολισμός για τον ιξώδη αποσβεστήρα που αποσβένει ενέργεια κατά την σχετική περιστροφική μετατόπιση των μερών του και ο οποίος ονομάζεται στρεπτικός ιξώδης αποσβεστήρας. Στην περίπτωση αυτή η αναπτυσσόμενη ροπή ονομάζεται ροπή απόσβεσης και είναι ανάλογη της γωνιακής ταχύτητας του σώματος: M ( t) c θt ( ) (Nm) (.3) c Στην παραπάνω σχέση η σταθερά c t ονομάζεται στρεπτική σταθερά απόσβεσης του αποσβεστήρα, μετριέται σε (Nmsec/rad) και η τιμή της εξαρτάται από το δυναμικό ιξώδες του ρευστού και την γεωμετρία του αποσβεστήρα. t m J c c t α. Ιξώδης αποσβεστήρας. β. Στρεπτικός ιξώδης αποσβεστήρας. Σχήμα.5. Ιξώδεις αποσβεστήρες ως αποσβεστικά στοιχεία.