Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1

2 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού! Κλειστά βιβλία & σημειώσεις Ελέγξτε το web site του μαθήματος για Τυπολόγιο για εξετάσεις, ανακοινώσεις εξέτασης Συνεδρίες Προετοιμασίας: Δευτέρα 31/3, 1-3 μμ, το μέρος θα ανακοινωθεί στο web site 2

3 Περιεχόμενα Επανάληψη της Ύλης του Μαθήματος Εξεταστέα Ύλη Παράδειγμα: Δύο εκρεμμή με σύζευξη ελατηρίου 3

4 Επανάληψη Εξεταστέας Ύλης 4

5 Πρόβλημα / Ερώτημα 1) Μοντελοποίηση Μοντέλο 2) Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Γραμμικές Δυναμικές Εξισώσεις 4) Ιδιοανυσματική Ανάλυση Ιδιοανύσματα 3) Αναλυτική Επίλυση Χρονική Απόκριση 5) Συνάρτηση Μεταφοράς Απόκριση Συχνότητας

6 1) Μοντελοποίηση 6

7 Μοντελοποίηση: Σκοπός Η προσέγγιση ενός πολύπλοκου προβλήματος από ένα απλούστερο, για το οποίο όμως μπορούν να καταστρωθούν δυναμικές εξισώσεις ώστε να αναλυθεί η συμπεριφορά του Ν=1 Ν=4 Ν=1000s 7

8 1) Μοντελοποίηση Μοντέλα Διακριτών Στοιχείων Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Μηχανικά συστήματα Ηλεκτρικά συστήματα Ρευστο/κα συστήματα Κάμψη Εφελκυσμός Στρέψη Γραμμικά Περιστροφικά 8

9 Μοντελοποίηση: Εξεταστέα Ύλη Φυσική σημασία αδράνειας, στιβαρότητας, απόσβεσης Επιλογή κατάλληλου μοντέλου Βαθμών ελευθερίας Διακριτών στοιχείων ή συνεχούς μοντέλου Απολύτως απαραίτητα στοιχεία m, k, c Φυσική προέλευση αδράνειας, δυνάμεων επαναφοράς και απόσβεσης Μοντελοποίηση μηχανικών, ηλεκτρικών, ρευστομηχανικών συστημάτων. Στρεπτικές, καμπτικές ταλαντώσεις Μοντελοποίηση απόσβεσης σε κατασκευές Στοιχεία παροχής, μετατροπής & κατανάλωσης ισχύος 9

10 Μοντελοποίηση: Διαλέξεις Διακριτών στοιχείων: Μηχανικά: 1, 2, 3 (αρχή), 4 (αρχή, παραδείγματα), 6 Ηλεκτρικά και ρευστομηχανικά: 5,6 Συνδυασμός υποσυστημάτων: 5, 6 Μοντελοποίηση απόσβεσης σε κατασκευές: 15 Συνεχούς μέσου: 19, 20, 21 10

11 2) Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων 11

12 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Σκοπός Η κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την δυναμική συμπεριφορά ενός μοντέλου. Οι τελικές εξισώσεις σε αυτό το μάθημα είναι γραμμικές ΣΔΕ ώστε να μπορούν να επιλυθούν και να αναλυθούν περαιτέρω Μ q + C q + K q = G f t 12

13 2) Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Μοντέλα Διακριτών Στοιχείων Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Μηχανικά συστήματα Ηλεκτρικά συστήματα Ρευστο/κα συστήματα Μέθοδος Galerkin Πεπερασμένα στοιχεία Lagrange Νόμοι Kirchoff 13

14 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Εξεταστέα Ύλη Μέθοδος Lagrange: Κινηματική, ιακωβιανό μητρώο Στοιχεία m-k-c σε γραμμικά και περιστροφικά συστήματα Κινητική ενέργεια & μητρώο αδράνειας Δυναμική ενέργεια & μητρώο στυβαρότητας Δυνατό έργο εξωτερικών δυνάμεων & γενικευμένες δυνάμεις Μη γραμμικές δυνάμεις, δυνάμεις βαρύτητας, & απόσβεσης Νόμοι Kirchoff Απλά ηλεκτρικά/ρευστομηχανικά συστήματα μόνο Αντιστοιχία ρευστομηχανικών συστημάτων σε ηλεκτρικά Βλέπε σημειώσεις «εισαγωγή στα ηλεκτρικά κυκλώματα» 14

15 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Εξεταστέα Ύλη Μεταβλητές ισχύος (ροή, σθένος) σε μηχανικά, ηλεκτρικά και ρευστομηχανικά συστήματα. Εξισώσεις μετασχηματιστών και αναστροφέων Γραμμικοποίηση Υπολογισμός σημείων ισορροπίας Γραμμικοποίηση εξισώσεων γύρω από ένα σημείο ισορροπίας Ευστάθεια σημείου ισορροπίας Μορφές δυναμικών εξώσεων Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης (Μ-Κ) Σύστημα ΣΔΕ 1 ης τάξης (μεταβλητών κατάστασης) 15

16 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Διαλέξεις Διακριτών στοιχείων: Μηχανικά: 3, 4, 5, 6 Ηλεκτρικά & ρευστομηχανικά: 5, 6 Γραμμικοποίηση: 11, 18 Μορφές δυναμικών εξισώσεων: 7, 8 (αρχή) Συνεχούς μέσου: 20, 21 16

17 3) Αναλυτικός Υπολογισμός Απόκρισης 17

18 Αναλυτικός Υπολογισμός Απόκρισης: Σκοπός Υπολογισμός της χρονικής απόκρισης του συστήματος: της αναλυτικής συνάρτησης q t των Β.Ε. (ή οποιαδήποτε συνάρτησης τους) σαν συνάρτηση του χρόνου δεδομένης της ΣΔΕ που περιγράφει το σύστημα, των αρχικών συνθηκών καιο της εξωτερικής διέγερσης f t Μ q + C q + K q = G f t q t q 0, q(0) 18

19 3) Αναλυτικός Υπολογισμός Απόκρισης Συστήματα 1 Β.Ε. Συστήματα Ν Β.Ε. Ομογενής λύση Ειδική λύση Ειδική & ομογενής λύση Ιδιοανυσματι κός μ/χ Σε αρμονική διέγερση Σε βηματική διέγερση Σε σύνθετη διέγερση Απόκριση συγκεκριμένων ιδιοανυσμάτων 19

20 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Εξεταστέα Ύλη Ιδιότητες γραμμικών ΣΔΕ Επαλληλία, χρονική ανεξαρτησία, παραγώγιση & ολοκλήρωση Αναλυτική επίλυση απόκρισης σε σύστημα 1 Β.Ε. (ΣΔΕ 1 ης ή 2 ης τάξης) Χαρακτηριστικό πολυώνυμο, ιδιοτιμές, ευστάθεια Ειδική και ομογενής λύση Λόγος απόσβεσης και φυσική κυκλική συχνότητα Απόκριση σε αρχικές συνθήκες Μεταβατική και μόνιμη απόκριση 20

21 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Εξεταστέα Ύλη Είδη μοντέλων εξωτερικών διεγέρσεων Βηματική, κρουστική, ράμπα, αρμονική, περιοδική, τυχαία Απόκριση συστήματος 1 Β.Ε. σε εξωτερική διέγερση Σε βηματική διέγερση σε κρουστική διέγερση Σε σύνθετη διέγερση Σε αρμονική διέγερση, συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης Ολοκλήρωμα συνέλιξης 21

22 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Εξεταστέα Ύλη Αναλυτική επίλυση απόκρισης συστήματος Ν Β.Ε. Ομογενής λύση (μέσω Ιδιοτιμών/ιδιοανυσμάτων) Ειδική λύσησε βηματική ή αρμονική διέγερση Αναλυτική επίλυση απόκρισης συστήματος Ν Β.Ε. μέσω ιδιοανυσματικού μ/χ Βλέπε ύλη μαθήματος «συνήθεις διαφορικές εξισώσεις»: Ομογενής και ειδική λύση γραμμικών ΣΔΕ σταθερών συντελεστών Ομογενής και ειδική λύση συστημάτων γραμμικών ΣΔΕ σταθερών συντελεστών 22

23 Αναλυτικός Υπολογισμός Απόκρισης : Διαλέξεις Ίδιότητες γραμμικών ΣΔΕ: 7, 8 Απόκριση συστήματος 1 Β.Ε (ΣΔΕ 2 ης τάξης): 7, 8, 9 Απόκριση συστήματος 1 Β.Ε. (ΣΔΕ 1 ης τάξης): 11 Συνέλιξη: 8 Απόκριση συστήματος Ν Β.Ε: 12, 15 (παράδειγμα) Απόκριση συστήματος Ν Β.Ε μέσω ιδιοανυσματικού μ/χ: 13, 15 (παράδειγμα) 23

24 4) Ιδιοανυσματική Ανάλυση 24

25 Ιδιοανυσματική Ανάλυση : Σκοπός Υπολογισμός των χαρακτηριστικών τρόπων (ιδιοανύσματα) με τα οποία ταλαντώνεται (στις αντίστοιχες ιδιοσυχνότητες) ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα πολλών βαθμών ελευθερίας Μ q + K q = 0 i φ, i ω, i = 1,2,, N 25

26 Ιδιοανυσματική Ανάλυση: Εξεταστέα Ύλη Φυσική σημασία ιδιοανυσμάτων και ιδιοσυχνοτήτων Υπολογισμός ιδιοανυσμάτων σε μηχανικά συστήματα Ν Β.Ε. χωρίς απόσβεση Ιδιότητες ιδιοανυσμάτων Ιδιοανύσματα στερεού σώματος Κανονικοποίηση ιδιοανυσμάτων Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός Ελεγξιμότητα και παρατηρισιμότητα Επίδραση αρχικών συνθηκών Μοντελοποίηση απόσβεσης, modal damping 26

27 Ιδιοανυσματική Ανάλυση: Διαλέξεις Φυσική σημασία: 13, 15 Υπολογισμός ιδιοανυσμάτων: 12 Ιδιότητες ιδιοανυσμάτων: 13, 15 Κανονικοποίηση ιδιοανυσμάτων: 12, 13 Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: 13, 15 Ιδιοανύσματα στερεού σώματος: 15 Μοντελοποίηση απόσβεσης, modal damping: 15 27

28 5) Μ/Χ Laplace και Απόκριση Συχνότητας 28

29 Μ/Χ Laplace και Απόκριση Συχνότητας: Σκοπός Υπολογισμός της απόκρισης ενός συστήματος σε μια οποιαδήποτε διέγερση με βάση τον τρόπο με τον οποίο αποκρίνεται (στην μόνιμη κατάσταση) σε μια αρμονική διέγερση Μ q + C q + K q = G f t H jω 29

30 4) Μ/Χ Laplace και Απόκριση Συχνότητας Μ q + C q + K q = G f t H(s) H(jω) F(jω) q(jω) 30

31 Μ/Χ Laplace και Απόκριση Συχνότητας: Εξεταστέα Ύλη Μ/x Laplace Ιδιότητες Μ/χ Laplace βασικών συναρτήσεων Υπολογισμός απόκρισης γραμμικών συστημάτων Ανάλυση σε απλά κλάσματα Συνάρτηση (1 Β.Ε.) και μητρώο (Ν Β.Ε.) μεταφοράς Πόλοι και μηδενιστές. Φυσικό νόημα. Σχέση με ιδιοτιμές Σχέση με την απόκριση σε κρουστική διέγερση Απόκριση συχνότητας Κέρδος και διαφορά φάσης Διαγράμματα Bode συστημάτων 1 Β.Ε. Δεν θα ζητηθεί να φτιάξετε Bode Βλέπε σημειώσεις «εισαγωγή στα ηλεκτρικά κυκλώματα» 31

32 Μ/Χ Laplace και Απόκριση Συχνότητας: Εξεταστέα Ύλη Σειρές Fourier Απόκριση γραμμικών συστημάτων σε περιοδικές διεγέρσεις Μ/χ Fourier Περιεχόμενο συχνοτήτων ενός σήματος Απόκριση γραμμικών συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας Σχέση με την απόκριση σε κρουστική διέγερση Βλέπε ύλη μαθήματος «συνήθεις διαφορικές εξισώσεις»: Υπολογισμός απόκρισης ΣΔΕ σταθερών συντελεστών μέσω μ/χ Laplace Σειρές και μ/χ Fourier 32

33 Μ/Χ Laplace και Απόκριση Συχνότητας: Διαλέξεις Μ/x Laplace: 16, 18 Συνάρτηση μεταφοράς: 16, 18 Απόκριση συχνότητας Απόκριση συχνότητας σε συστήματα 1 Β.Ε.: 9 Απόκριση συχνότητας σε συστήματα Ν Β.Ε.: 17 Σειρές Fourier: 9, 17, 19 Μ/χ Fourier: 19 33

34 Γραμμική Άλγεβρα Διαφορικές Εξισώσεις Μηχανική Στοιχεία μηχανών Ηλεκτρικά κυκλώματα & συστήματα Δυναμική Μηχανών Ι Δυναμική μηχανών ΙΙ Δυναμική οχημάτων Πεπερασμένα στοιχεία (ΑΜΚ) Συστήματα αυτομάτου ελέγχου Ρομποτική.. και πολλά άλλα

35 Η Εκπαίδευση σαν μια Κλίμακα Απαιτείται προσωπικός κόπος.. Στόχος Είστε εδώ Ξεκινήσατε εδώ

36 Καλή Τύχη 36

37

38

39

40

41

42

43

44