Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 21. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 21 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1

2 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού! Κομπιουτεράκι όχι απαραίτητο (ίσως απαγορευθεί) Τυπολόγιο θα αναρτηθεί στην ιστοσελίδα του μαθήματος Κλειστά βιβλία & σημειώσεις Συνεδρίες Προετοιμασίας: Παρασκευή 28/3, 1-4 μμ, Μέρος θα ανακοινωθεί στο web site Δευτέρα 31/3, 1-3 μμ, Μέρος θα ανακοινωθεί στο web site 2

3 Περιεχόμενα Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων Επανάληψη: Μέθοδος Galerkin Σύνοψη μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων Πεπερασμένα στοιχεία σε μονοδιάστατους φορείς (εφελκυσμός, στρέψη, κάμψη) Βαθμοί ελευθερίας Μητρώα αδράνειας, ελαστικότητας, γενικευμένες δυνάμεις Κατάστρωση ολικών μητρώων αδράνειας, ελαστικότητας και γενικευμένων δυνάμεων Εφαρμογή οριακών συνθηκών Παράδειγμα: Κατάστρωση δυναμικής δοκού κάμψης μέσω μεθόδου Galerkin 3

4 Συστήματα Συνεχούς Μέσου: Προσέγγιση Galerkin 4

5 Εξισώσεις Ελαστικότητας Περιγράφουν δυναμική δυνάμεων-μετατοπίσεων σε κατασκευές: ρ 2 u(r, t) t 2 σ = f r, t αδράνεια ελαστικότητα διέγερση u r, t = u x (r, t) u y (r, t) u z (r, t) ε = ε( u) σ = σ(ε) u: μετατοπίσεις, ε: τροπές, σ: τάσεις Γενικά δεν λύνονται αναλυτικά 5

6 Απλοποίηση: 1D Μοντέλα σε Γραμμικούς Φορείς ΜΔΕ Στρέψη ατράκτου μ 2 y t 2 x 2 ης Τάξης 4 ης Τάξης Εφελκυσμός άξονα Παραμόρφωσ η χορδής Κάμψη δοκού y κ x = f x, t μ 2 y t = f x, t y(x, t) θ x (x, t) u(x, t) w(x, t) w(x, t) x 2 μ(x) ρ I P ρ Α ρ Α ρ Α κ(x) G J Ε Α S Α E I κ 2 y x 2 f x, t Δυναμική ενέργεια/μήκος Κινητική ενέργεια/μήκος Δυνατό έργο / μήκος Ροπή στρέψης /μήκος Διαμήκης δύναμη /μήκος Εγκάρσια δύναμη/μήκος Εγκάρσια δύναμη/μήκος 1 2 κ(x)y x, t κ(x)y x, t μ(x) y x, t 2 δy(x, t) f x, t 6

7 Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ Ελαστικότητας Η απόκριση u r, t είναι επαλληλία των ιδιομορφών n Χ(r) μέσω των συντελεστών συνεισφοράς η n (t): u r, t = n Χ(r) η n (t) n=1 Σε μονοδιάστατους φορείς, τα πράγματα απλοποίούνται u x, t = n Χ(x) η n (t) n=1 x 7

8 Προσέγγιση Galerkin Η απόκριση u x, t προσεγγίζεται μέσω Ν συναρτήσεων μορφής Ν x και μετατοπίσεων σε Ν σημεία: u x, t Ν(x) T u(t) Ν x = 1 Ν x N Ν x, u t = u(x 1, t) u(x N, t) Οι χρονικές και χωρικές παράγωγοι υπολογίζονται ως: u x, t Ν(x) T u(t) u x, t B(x) T u(t) u x, t D(x) T u(t) Όπου n B x = n Ν x = 1 u(t) 1 u(t) n D x = n Ν x 8

9 Προσέγγιση Galerkin Αντικαθιστώντας την προσέγγιση Galerkin στις σχέσεις των T, V, δw προκύπτουν τα μητρώα Μ, Κ και οι γενικευμένες δυνάμεις ξ ως προς τις μετατοπίσεις u t : ΜΔΕ Μητρώο αδράνειας Μ μ 2 u t 2 x Μητρώο L Ελαστικότητας κ(x) Β x Β(x) T dx Κ 0 Γενικευμένες δυνάμεις ξ 2 ης Τάξης 4 ης Τάξης u κ x = f x, t μ 2 u t x 2 0 L μ(x) Ν x Ν(x) T dx 0 L 0 L Ν x f x, t dx κ 2 u x 2 = f x, t κ(x) D x D(x) T dx 9

10 Προσέγγιση Galerkin Συμπερασματικά, η δυναμική απόκριση u x, t ενός 1D ελαστικού συστήματος συνεχούς μέσου προσεγγίζεται ως u x, t Ν(x) T u(t) όπου u t είναι η απόκριση της κατασκευής σε Ν επιλεγμένα σημεία, η οποίαυπολογίζεται βρίσκοντας απόκριση ενός διακριτού δυναμικού συστήματος Ν Β.Ε.: Μ u t + Κ u t = ξ Η ίδια μέθοδος μπορεί θεωρητικά να χρησιμοποιηθεί και σε πολύπλοκες 3D κατασκευές. Πρακτικά δύσκολο να βρεθούν κατάλληλες συναρτήσεις μορφής 10

11 Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων 11

12 Βασική Ιδέα Πεπερασμένων Στοιχείων Εφαρμογή της προσέγγισης Galerkin όχι σε ολόκληρη την κατασκευή αλλά σε μικρά «κομμάτια» της κατασκευής (πεπερασμένα στοιχεία) Πολύ πιο έυκολο να βρεθούν κατάλληλες συναρτήσεις μορφής για πεπερασμένα στοιχεία παρά για ολόκληρη την κατασκευή 12

13 Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων: Σύνοψη 1. Διακριτοποίηση γεωμετρίας: Η κατασκευή χωρίζεται σε πεπερασμένα στοιχεία (ΠΣ) Επιλέγεται το είδος του πεπερασμένου στοιχείου Επιλέγονται οι βαθμοί ελευθερίας u 2. Για κάθε ΠΣ υπολογίζονται τα μητρώα αδράνειας i Μ, ελαστικότητας i K και οι γεν. δυνάμεις i ξ 3. Τα i Μ, i K, και i ξ των ΠΣ συνδυάζονται ώστε να υπολογιστούν τα ολικά μητρώα Μ, Κ, ξ (του συστήματος) 4. Εφαρμόζονται οι οριακές συνθήκες του προβλήματος Προκύπτει ένα σύστημα ΣΔΕ που εκφράζει την δυναμική των αγνώστων μετατοπίσεων Μ q t + Κ q t = ξ 13

14 1D Πεπερασμένα Στοιχεία Είδος Π.Σ. Εφελκυσμός Στρέψη i x i n(x, t) i x i τ(x, t) i F 1 i F 2 i Τ 1 i Τ 2 i u 1 i u 2 i θ x1 i θ x2 Ιδιότητες Υλικού & γεωμετρία i ρ, i A, B. E i u 1 i u 2 T i θ x1 i θ x2 T i L, i E i ρ, i I P, i L, i G, i J Μητρώο αδράνειας i Μ Μητρώο ελαστ. i K i ρ i E i L i Α 6 i Α i L i ρ i G i L i I P 6 i J i L Γενικευμένες δυνάμεις i ξ i F 1 (t) i i F 2 (t) + n(t) 2 i L 1 1 i T 1 (t) i i F 2 (t) + τ(t) 2 i L

15 1D Πεπερασμένα Στοιχεία i M y1 Κάμψη i x i q(x, t) i M y2 i F z1 i F z2 i θ y1 i w 1 i θ y2 i w 2 i ρ, i A, i L, i E, i I z i w 1 i θ y1 i w 2 i θ y2 T i Μ = i ρ i A i L i L i L 4 i L 2 13 i L 3 i L i L 4 i L 2, i K = i E i I z i L i L 12 6 i L 4 i L 2 6 i L 2 i L i L 4 i L 2 i F Z1 1 i L ξ = i M y1 i + F Z2 i M y2 i q(t) 2 i L 6 1 i L 6 15

16 Πεπερασμένα Στοιχεία - Γενικά 1D Πεπερασμένα στοιχεία (γραμμή) 1(εφελκυσμός, στρέψη) ή 2 Β.Ε. (κάμψη) ανά κόμβο Εφαρμογές: μονοδιάστατα προβλήματα εφελκυσμού, κάμψης, στρέψης 2D Πεπερασμένα στοιχεία (τρίγωνο, τετράγωνο) 2 B.E. Ανά κόμβο Εφαρμογές: επίπεδη τάση/τροπή (plain stress/strain), αξονοσυμμετρικά συστήματα 3D Πεπερασμένα στοιχεία (πυραμίδα, τετράεδρο, οκτάεδρο) 3 B.E. ανά κόμβο Εφαρμογές: τρισδιάστατα τασικά πεδία 16

17 1) Διακριτοποίηση Γεωμετρίας Μονοδιάστατη: 1D Π.Σ. Διδιάσταση: 2D Π.Σ. ελαστικότητας 17

18 1) Διακριτοποίηση Γεωμετρίας Παράδειγμα: εφελκυσμός σύνθετης δοκού F(t) Απλούστερη διακριτοποίηση (2 Π.Σ., 3 Κόμβοι) N Κόμβος 1 Κόμβος 2 Κόμβος 3 F(t) Π.Σ. A Π.Σ. B Πιο λεπτομερής διακριτοποίηση (8 Π.Σ., 9 Κόμβοι) N F(t) A Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ 18

19 2) Υπολογισμός Μητρώων Π.Σ. N Κόμβος 1 Κόμβος 2 Κόμβος 3 F(t) Π.Σ. A Π.Σ. B Π.Σ. Α Π.Σ. Β A u 1 A u 2 T = u 1 u 2 T B u 1 B u 2 T = u 2 u 3 T A M = A K = A ρ A Α A L 6 A E A Α A L B M = B K = B ρ B Α B L 6 B E B Α B L A ξ = Ν 0 B ξ = 0 F 19

20 3) Υπολογισμός Ολικών Μητρώων M = 2m A m A 0 m A 2m A + 2m B m B 0 m B 2m B m A = A ρ A Α A L 6 K = k A = A E A Α A L, m B = B ρ B Α B L 6 k A k A 0 k A k A + k B k B 0 k B k B, k B = B E B Α B L Ν 0 F 20 ξ =

21 4) Εφαρμογή Οριακών Συνθηκών Σε κάθε κόμβο είναι γνωστή είτε η μετατόπιση u είτε η δύναμη F N Κόμβος 1 Κόμβος 2 Κόμβος 3 F(t) Κόμβος 1 Γνωστή: μετατόπιση u 1 = 0 Άγνωστη: δύναμη (αντίδραση) N Κόμβος 2 Π.Σ. A Γνωστή: Δύναμη (0 επειδή δεν ασκείται εξωτερική διέγερση) Άγνωστη: μετατόπιση u 2 Κόμβος 3 Γνωστή: Δύναμη F Π.Σ. B Άγνωστη: μετατόπιση u 3 21

22 4)Εφαρμογή Οριακών Συνθηκών Εξισώσεις κίνησης όλων των μετατοπίσεων: 2m A m A 0 m A 2m A + 2m B m B 0 m B 2m B u 1 u 2 u 3 + k A k A 0 k A k A + k B k B 0 k B k B u 1 u 2 u 3 = Κρατάμε τις γραμμές που αντιστοιχούν σε άγνωστες μετατοπίσεις (Β.Ε.), εδώ η 2 η και η 3 η : m A 0 u 1 + 2m A + 2m B m B m B 2m B u 2 u 3 + k A 0 u 1 + k A + k B k B u 2 k B k B u 3 Ν 0 F = 0 F Εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες (u 1 = 0) προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης για τους Β.Ε.: 2m A + 2m B m B u 2 + k A + k B k B u 2 m B 2m B u 3 k B k B u 3 = 0 1 F(t) Αφού υπολογιστούν τα u 2, u 3, η αντίδραση υπολογίζεται: Ν(t) = m A u 2 (t) k A u 2 (t) 22

23 23

24 Λύση: Προσέγγιση Galerkin Η εγάρσια μετατόπιση w(x, t) κάθε σημείου στην δοκό εκφράζεται ως συνάρτηση της μετατόπισης w L t = w L, t στην άκρη της δοκού w x, t = Ν x w L, t = Ν x w L t μέσω της συνάρτησης μορφής Ν x = 1 cos( π 2L x) Οι χρονικές και χωρικές παράγωγοι υπολογίζονται ως: w x, t = Ν x w L t w x, t = N x w L t = π 2L sin( π 2L x) w L t w x, t = N x w L t = ( π 2L )2 cos( π 2L x) w L t 24

25 Λύση: Κινητική Ενέργεια Τ = Τ Μ + Τ δοκος = 1 2 M w L 2 + = 1 2 M w L 2 + L 0 L ρα(ν x L 1 2 ρα w(x, t)2 dx = w L t ) 2 dx = = 1 2 M + ρα Ν x 2 dx w 2 L = 1 M ρΑL 2 0 Επομένως το μητρώο αδράνειας του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w L t είναι: m L = M ρΑL w L 2 25

26 Σχόλιο Λύση: Κινητική Ενέργεια Ενώ η συνολική μάζα της δοκού είναι ραl, η αδράνεια της δοκού ως προς την εγκάρσια κίνηση w L t είναι μόλις 0.227ρΑL. Ο λόγος είναι ότι η εγκάρσια ταχύτητα της δοκού κοντά στην πάκτωση είναι πάντα μικρότερη από την ταχύτητα w L t κοντά στο ελεύθερο άκρο. 26

27 Λύση: Δυναμική Ενέργεια Το ελατήριο σταθεράς k στην θέση x = L/2 ονομάζεται k 1 Τα τρία ελατήρια στην θέση x = L (δύο ελατήρια σταθεράς k στην σειρά, το ισοδύναμο των οποίων είναι παράλληλα με ένα ελατήριο σταθεράς k) αντικαθιστώνται από το ισοδύναμο k 23 = k + 0.5k = 1.5k Δυναμική ενέργεια: V = V k1 + V k23 + V δοκος = 1 2 k 1(w( L 2, t)) k 23(w(L, t)) 2 0 L 1 2 EI(w (x, t)) 2 dx 27

28 Λύση: Δυναμική Ενέργεια V = 1 2 k(n(l 2 )w L t ) k 2 (w L t ) L 1 = 1 2 k(0.293w L t ) kw L t EI 0 = k + 1.5k + EIπ4 32L 3 w L t 2 = 2 EI(N (x)w L t ) 2 dx = L N (x) 2 dx w L t 2 = = 1 EI 1.586k L 3 w L t 2 Επομένως το μητρώο ελαστικότητας του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w L t είναι: k L = 1.586k EI L 3 28

29 Σχόλια Λύση: Δυναμική Ενέργεια Το ελατήριο k 1 συνεισφέρει πολύ λιγότερο στην δυναμική ενέργεια συγκριτικά με τα k 23 λόγω του πολύ μικρότερου εύρους κίνησης του (μόλις το N L = 0.293) συγκρητικά με την w 2 L t Από την μηχανική του παραμορφώσιμου στερεού, η παραμόρφωση στο ελεύθερο άκρο ενός πακτωμένου δοκού (L, E, I) στο οποίο ασκείται δύναμη F (στο ελεύθερο άκρο) είναι δ = L 3 3EI 3ΕΙ F. Αυτό αντιστοιχεί σε ένα καμπτικό ελατήριο σταθεράς k = L3. Παρατηρούμε ότι αυτό είναι πολύ κοντά στην σταθερά ελατηρίου που υπολογίστηκε παραπάνω (3.04 EI L 3) 29

30 Λύση: Μοντέλο Συστήματος Μέσω της μεθόδου Lagrange, οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w L (t) είναι: m L w L (t) + k L w L (t) = 0 H φυσική κυκλική συχνότητα του συστήματος είναι: ω = k L m L = 1.586k EI L 3 M ρΑL 30

31 Επέκταση: Εξωτερική Διέγερση Έστω ότι στην δοκό ασκείται εξωτερική διέγερση f 1 (t) στην θέση x = 0.75L, και f 2 (t) στην θέση x = L. Να υπολογιστεί η επακόλουθη γενικευμένη δύναμη ως προς τον Β.Ε. w L Λύση Η εγκάρσια κίνηση στα σημεία όπου ασκούνται οι δυνάμεις f 1 (t) και f 2 (t) είναι: w x f1, t = Ν 0.75L w L t = 0.62 w L t w x f2, t = Ν L w L t = w L t Το αντίστοιχο γενικευμένο έργο είναι: δw = 0.62 δw L t f 1 t + δw L t f 2 t = = δw L t (0.62 f 1 t + f 2 t ) 31

32 Επέκταση: Εξωτερική Διέγερση Οι αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις είναι: ξ = 0.62 f 1 t +f 2 t Και οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w L (t) είναι: m L w L (t) + k L w L (t) = 0.62 f 1 t +f 2 t 32