1 Το φυσικό πρόβλημα και εξισώσεις

Αριθμητική επίλυση των εξισώσεων της ελαστοδυναμικής και μελέτη της κυματικής διάδοσης στα στερεά: επιμήκη κύματα(p-waves), εγκάρσια κύματα(s-waves) και επιφανειακά κύματα(rayleigh waves) Χρυσούλα Τσόγκα tsogka@tem.uoc.gr 1 Το φυσικό πρόβλημα και εξισώσεις Ενδιαφερόμαστε για το πρόβλημα μετάδοσης κυμάτων σε ένα στερεό, ομογενές και ισότροπο σε δύο διαστάσεις. Το διάνυσμα παραμορφώσεων u ικανοποίει τις γραμμικές εξισώσεις της ελαστοδυναμικής: ρ 2 u t div σ( u) = f στην Ω R (1) 2 με τις αρχικές συνθήκες: u(x, 0) = u 0 (x) στην Ω u t (x, 0) = u 1(x) στην Ω και τις συνοριακές συνθήκες : u = 0 στο Γ D (Dirichlet) σ( u) n = 0 σ( u) n = B u t στο Γ N (Neumann) στο Γ A (Absorbing) όπου Γ D Γ N Γ A = Γ, nείναιτοκάθετομοναδιαίοεξωτερικόδιάνυσμακαιοπίνακας B ορίζεται από: [ ] (λ + 2µ)ρ 0 B = (4) 0 µρ (2) (3) 1

Παρατήρηση 1.1 Η απορροφητική(aborbing) συνοριακή συνθήκη θα χρησιμοποιηθεί μόνο σεσύνοροπαράλληλομετονάξονα y. Στην(1), σ είναι ο τανυστής τασης που συνδέεται με τον τανυστή παραμορφώσεων ε( u) μετοννόμοτου Hooke: ε( u) ij = 1 2 ( u i x j + u j x i ) σ ij = λdiv( u)δ ij + 2µε ij = λtr(ε)δ ij + 2µε ij (5) όπου λ και µ είναι οι συντελεστές Lamé που χαρακτηρίζουν το στερεό υλικό. Ε1.1Δείξτεότιτοσύστημα(1)μπορείναγραφτείως: ρ 2 u t 2 (λ + µ) (div u) µ u = f στην Ω R (6) ήαλλιώςθέτοντας u = (u, v): ρ 2 u t (λ + u 2 2µ) 2 x u 2 µ 2 y (λ + µ) 2 v 2 x y = f 1 Ενέργεια ρ 2 v t 2 (λ + µ) 2 u x y µ 2 v x 2 (λ + 2µ) 2 v y 2 = f 2 Ορίζουμε την ενέργεια του συστήματος ως το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας: ( 1 E(t) = 2 ρ u t 2 + 1 ) 2 σ( u)ε( u) dx (8) Ω Ε1.2Δείξτεότιαν Ω = R 2 και f 1 = f 2 = 0τότεηενέργειαδιατηρείται d(e(t) dt Εστω H = (L 2 (Ω)) 2 και V = { v (H 1 (Ω)) 2 ; v = 0 sur Γ D } Ε1.3Δείξτεότιημεταβολικήμορφήτουπροβλήματος(1),(2)(3)γράφεται: Βρείτε u(x, t)τ.ω u(t) V, d 2 ρ u. vdx + σ( u)ε( v)dx d B u. vdγ = f. vdx (9) dt 2 Ω Ω dt Γ A Ω γιακάθε v V. Θαδεχτούμεότιψάχνουμετηνλύσηστοχώρο L 2 (0, T; V ) C 0 (0, T; H). 2 = 0. (7)

2 Ανάλυση με επίπεδα κύματα Ορίζουμεωςαρμονικάεπίπεδακύματατιςλύσειςτηςεξίσωσης(1),με f = 0,πουγράφονται στηνμορφή: u = d exp(i(ωt k x)) (10) όπου kείναιτοδιάνυσμακύματος(αντιστοιχείστηνδιεύθυνσημετάδοσηςτουκύματος). ωείναιηκυκλικήσυχνότητα f = ω 2π είναιησυχνότητα dείναιηδιεύθυνσηταλάντωσης. Ε 2.1 Δείξτε ότι για να βρούμε τα αρμονικά επίπεδα κύματα που μεταδίδονται στην κατεύθυνση kαρκείναλύσουμετοπρόβλημα: Βρείτε d 0και ωτ.ω. (µ k 2 ρω 2 ) d + (λ + µ)( d. k) (11) k = 0 ήαλλιώς, Βρείτε d 0και ωτ.ω. ω 2 d = ˆK d (12) Τοπρόβλημα(12)είναιέναπρόβλημαιδιοτιμών. Υπολογίστε ω 2 (=τιςιδιοτιμέςτουπίνακα ˆK)καιτααντίστοιχαιδιοδιανύσματα d. Συμπερένετεότιυπάρχουνδύοείδηκυμάτων: τα επιμήκη κύματα(primary, P-waves) που αντιστοιχούν στην πιο μεγάλη ιδιοτιμή, και των οποίωνηκατεύθυνσηταλάντωσηςείναιπαράλληληστηνκατεύθυνσηδιάδοσης( d k)καιτα εγκάρσια κύματα(shear, S-waves) των οποίων η κατεύθυνση ταλάντωσης είναι κάθετη στην κατεύθυνσηδιάδοσης( d k). Γράψτετιςαντίστοιχεςσχέσειςδιασποράς(τιςσχέσειςπου συνδέουν k και ω).βρείτετιςταχύτητεςμέταδοσηςτωνκυμάτων(λέγονταικαιταχύτητες φάσης) που ορίζονται από: V = ω k Παρατηρήστε ότι και οι δύο ταχύτητες είναι ανεξάρτητες από την συχνότητα(γιάυτό λέμε ότι οι ελαστοδυναμικές εξισώσεις δεν έχουν διασπορά) και την κατεύθυνση(για ισότροπα μέσα μεταφοράς). 3

3 Προσέγγιση 3.1 Ημί-διακριτοποίηση στο χώρο Στηνσυνέχεια, θέωρούμεότιηπεριοχή Ωείναιένατετράγωνο Ω = [0, a] [0, b]. Κατασκεύαζουμε ένα πλέγμα της Ω με τις ευθείες x = (i 1) x i = 1,..., N x ; y = (j 1) y j = 1,..., N y,πουτέμνονταιστασημεία M ij. Δίνουμεστασημείαμιαολική αρίθμηση M I, I = 1,..., N x N y = N. y b y j = (j 1)h M ij 01 (0,0) x i = (i 1)h a x Σχήμα 1: Παράδειγμα πλέγματος Συμβολίζουμεμε H 1 h τουποσύνολοπεπερασμένηςδιάστασηςτου H1 (Ω), H 1 h = { v C 0 ( Ω), v /Qj Q 1 (Q j ) j } (w j )μίαβάσητου H h,ορίζεταιαπό : w J (M I ) = δ IJ 1 I, J N και V h τουποσύνολοτου V,μεδιάσταση N h = N N D N,όπου N D είναιοαριθμόςτων σημείων που ανοίκουν στο σύνορο Dirichlet: V h = { v (H 1 h )2 ; v = 0 sur Γ D } Ορίζουμε τις διανυσματικές συναρτήσεις βάσης, ( ) ( ) w I 1 = wi 0 ; w I 2 0 = w I 4

Ε 3.1 Γράψτε την προσεγγιστική μεταβολική μορφή του προβλήματος. Η προσεγγιστική λύση u h = (u 1 h, u2 h )γράφεταισύμφωναμετηνμέθοδοτηςπαρεμβολής: ή N h u 1 h (x, t) = u 1 J (t)w J(x) J=1 N h u 2 h (x, t) = u 2 J(t)w J (x) u h (x, t) = Δείξτε ότι το πρόβλημα γράφεται στη μορφή, J=1 2 N h u α J (t) wα J (x) α=1 J=1 d 2 U M h dt du 2 BA h dt + K hu = F h (13) όπουπρέπειναβρείτετουςπίνακες M h (μάζας), K h (άκαμπτος)και B A h (οπίνακαςπουαντιστοιχεί στις απορροφητικές συνθήκες). Το διάνυσμα U ορίζεται από, U = (u 1 1...u1 N h u 2 1...u2 N h ) όπουυποθέσαμεότιτασημεία Dirichletαντιστοιχούνστουςαριθμούς N h + 1ως N. Υπολογισμός των πινάκων αναφοράς Θεωρούμετοπεπερασμένοστοιχείοαναφοράς ˆQ,συμβολίζουμεμε M i, i = 1,...,4τα σημείατουστηντοπικήαρίθμηση(βλέπεσχήμα2)καιμε τ i k τιςτοπικέςσυναρτήσειςβάσης ( ) ( ) τ i 1 τi 0 = ; τ i 2 =. 0 τ i 4 3 Q 1 2 Σχήμα 2: Η τοπική αρίθμηση 5

Ε 3.2 Υπολογίστε τους πίνακες αναφοράς. Θα κατασκεύασετε τους πίνακες διάστασης 4 4: M ij = τ i τ j ; i, j = 1,...,4 ; K 11ij = 1 τ i 1 τ j ; i, j = 1,...,4 ; K 22ij = 2 τ i 2 τ j ; i, j = 1,...,4 ; (14) K 12ij = 1 τ i 2 τ j ; i, j = 1,...,4 ; K 21ij = 2 τ i 1 τ j ; i, j = 1,...,4 ; Για τον υπολογισμό των ολοκληρώματων να χρησιμοποιήσετε την σχέση fdxdy 1 4 (f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ) Q, (15) Q όπου f i είναιητιμήτηςσυνάρτησης fστοσημείο M i και Qείναιτοεμβαδόντουτετραγώνου Q.Παρατηρήστεότιοπίνακας M h είναιτώραδιαγώνιος. Ε 3.3 Γράψτε ένα αλγόριθμο υπολογισμού του άκαμπτου πίνακα. Ορισμόςτουπίνακα B A h. Πρόκειταιγιαέναπίνακαπουαφοράμόνοτασημείαπουανοίκουνστοσύνορο Γ a.παρατηρήστεότιοισυναρτήσειςβάσης φ i πάνωστοσύνοροείναισυναρτήσεις P 1 μίαςμεταβλητής. T m { M i Σχήμα3:Παράδειγμαπλέγματοςστοσύνορο Γ a Θέωρουμε το πεπερασμένο στοιχείο αναφοράς σε μία διάσταση: 6

2 1 Σχήμα 4: Πεπερασμένο στοιχείο αναφοράς σε 1d Συμβολίζουμεμε M i, i = 1, 2τασημείατουστηντοπικήαρίθμηση(βλέπεσχήμα4)και με φ k i τιςτοπικέςσυναρτήσειςβάσης, ( ) ( ) φ 1 φi i = ; φ 0 0 2 i =. Υπολογίστε τους πίνακες χρησιμοποιόντας την σχέση: I I φ m l φ m k dγ φ i f = I 2 (f 1 + f 2 ) (16) όπου f i=1,2 είναιητιμήτηςσυνάρτησης fστασημεία M i, i = 1, 2και I είναιτομήκοςτου ευθύγραμμου τμήματος I. Ε3.4Γράψτεένααλγόριθμουπολογισμούτουπίνακα B A h (είναιδιαγώνιος). 3.2 Ολική Διακριτοποίηση Ε 3.5 Χρησιμοποιόντας πεπερασμένες διαφορές γράψτε την ολική διακριτοποίηση του προβλήματος στην μορφή, M h U n+1 2U n + U n 1 t 2 + Bh A U n+1 U n 1 2 t + K h U n = F n h (17) όπου tείναιτοβήμαδιακριτοποίησηςστοχρόνοκαι U k είναιηλύσηστοχρόνο k t. 3.3 Αριθμητική σχέση διασποράς και μελέτη ευστάθειας της μεθόδου Για να μελετήσουμε τις ιδιότητες της αριθμητικής μεθόδου, ενδιαφερόμαστε αρχικά για την περιπτωσηόπου Ω = R 2 και f = 0.Θεωρούμεεπίσηςότι x = y = h. Ε 3.6 Χρησιμοποιόντας τις εξισώσεις του διακριτού προβλήματος γράψτε την εξίσωση στο σημείο M ij,γιαευκολίαμπορούμεναχρησιμοποιήσουμετηναρίθμησητουσχήματος5 7

M i 1 j+1 4 M 3 4 i j+1 3 M i+1 j+1 Q 4 Q 3 M i 1 j 4 1 2 1 3 4 M ij 2 3 M i+1 j Q Q 1 2 M 1 i 1 j 1 2 1 M i j 1 2 M i+1 j 1 Σχήμα5:Τοσημείο M ij καιταγειτονικάτουσημεία όπου ρ un+1 ij 2 u n ij + u n 1 ij t 2 + K h u n h = 0 (18) (K h u h ) 1 = λ + 2µ h 2 (2u i,j u i+1,j u i 1,j ) + µ h 2 (2u i,j u i,j+1 u i,j 1 ) (19) (K h u h ) 2 = (λ + µ) + ( v 4h 2 i+1,j+1 + v i 1,j+1 v i 1,j 1 + v i+1,j 1 ) (λ + µ) 4h 2 ( u i+1,j+1 + u i 1,j+1 u i 1,j 1 + u i+1,j 1 ) + λ + 2µ h 2 (2v i,j v i,j+1 v i,j 1 ) + µ h 2 (2v i,j v i 1,j v i+1,j ) (20) Μεαυτότοτρόπογράψαμετηνμέθοδοπεπερασμένωνστοιχείων Q 1 ωςμίαισοδύναμη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών. Για να βρούμε την αριθμητική σχέση διασποράς θεωρούμε λύσεις του προβλήματος της μορφής Ε3.7Δείξτεότιησχέσηδιασποράςγράφεται: (υπολογίστετονπίνακα ˆK h ). u h = d exp[i(ωn t ik x x jk z z)] (21) 2ρ t 2(cosω t 1) d + ˆK h ( k) d = 0 (22) 8

Μπορούμε να δείξουμε ότι μία απαραίτητη συνθήκη για να είναι η μέθοδος ευσταθής είναι να είναι το ω πραγματικός αριθμός(αλλιώς υπάρχουν λύσεις οι οποίες αυξανονται εκθετικά στοχρόνο).βρείτεμίασυνθήκηέτσιώστεναέχουμε ω R. Ε3.8Υπολογίστετιςιδιοτιμέςτουπίνακα ˆK h.συμβολίζουμεμε s P και s S αυτέςτιςιδιοτιμές,με s S s P. Ε3.9Γράψτετηνσυνθήκη ω R(1 cosω t [0, 2])στηνμορφή f(β 1, β 2 ) [0, 2], k 1, k 2 με β 1 = cos(k 1 x)και β 2 = cos(k 2 x). Μελετώνταςτιςτιμέςαυτήςτηςσυνάρτησης f στοτετράγωνο [ 1, 1] 2,καταλήξτεστο συμπέρασμα ότι έχουμε την συνθήκη CFL, VP 2 + V t s 2 x 1 (23) 4 Προγραμματισμός. Αριθμητική μελέτη. 4.1 Αριθμητική μελέτη της διασποράς Είδαμεότιγιατοσυνεχέςπρόβλημαοιταχύτητεςμετάδοσηςείναι V P = µ διαμήκηκύματακαι V S = ρ υπολογίζονται από, λ + 2µ ρ γιατα num γιαταεγκάρσια. Οιαριθμητικέςταχύτητες Vj, j = P, S V num j = ωnum j k όπου ωj num ( k )είναιηλύσειςτηςαριθμητικήςσχέσηςδιαποράς 2ρ t2(1 cosωnum j t) = s j ( k) (24) Για να συγκρίνουμε τις αριθμητικές με τις συνεχείς ταχύτητες, ορίζουμε το πηλίκο Ορίζουμε επίσης, τομήκοςκύματος: l = 2π ω. q j ( k) = ωnum j ( k) k V j με j = Pή S. τοναριθμόσημείωνανάμήκοςκύματος: G = l h = καιτοαντίστροφοτου H = 1/G. 2π k h 9

Ε4.1Θεωρούμεμίακατεύθυνσημεταφοράς k = k (cosθ, sinθ).αντικαθιστούμεστο s j : k 1 = 2π H h cos(θ), k 2 = 2π H h sin(θ), όπου k = 2π H h Μπορούμεναχρησιμοποιήσουμε h = 1.Παρατηρήστεότιτώρα s j εξαρτώνταιαπότο θκαιτο H. Γράψτε ένα πρόγραμμα που να υπολογίζει τις αριθμητικές ταχύτητες φάσης. Σχεδιάστε ταπηλίκα q j (για j = Pκαι j = S)ωςσυνάρτησητου H(για H [0., 0.5])γιαδιαφορετικές π τιμέςτου θ = 0, 12, π 6, π 4 καιτου t = αh = αμε α = [0, α 1 max], α max =.Επίσης V 2 P +VS 2 σχεδιάστετα q j ωςσυνάρτησητου θγιαδιαφορετικεςτιμέςτων ακαι H. 4.2 Υπολογιστικές προσομοιώσεις Γιαναπροσομοιώσουμεμίαπηγήστοσημείο (x s, y s ),μπορούμεναθεωρίσουμε, F(x, y, t) = f(r)g(t) όπου f(r) = (1 r2 a 2)3 1 Ba e j=p,s r = (x x s ) 2 + (y y s ) 2, a = 5h με e P = ( x x s r, y y s r με h = min ( x, y) ), e S = ( y y s r, x x s ) r 1 Ba είναιηχαρακτηρηστικήσυνάρτησητουδίσκουμεκέντρο (x s, y s )καιακτίνα a 2(πf 0 ) 2 (t t 0 ) exp ( πf 0 (t t 0 )) 2 t [0, t 1 ] g(t) = 0 t > t 1 t 0 = 1 f 0, t 1 = 2 f 0 (25) καιμηδενικέςαρχικέςσυνθήκες, { u0 (x, y) = 0 u 1 (x, y) = 0 Γιατονυπολογισμότουπίνακα F h, f h (x, t) = 2 N h fj l τl j (x) l=1 j=1 (26) όπου (f 1 j, f 2 j )είναιητιμήτηςσυνάρτησης f(r)στοσημείο M j καιχρησιμοποιούμετηνσχέση (15)γιατονυπολογισμότου F h. Εχουμετότε F h = M h [ f ] 10

[ ] με M h τονπίνακαμάζαςπουείναιδιαγώνιος,με f = (f1, 1 f2, 1.., fn 1 h, f1, 2 f2, 2.., fn 2 h )διάνυσμα πουέχειωςσυνιστώσεςτιςτιμέςτης f(r)στασημεία M i=1,..,nh. Άραέχουμε F n h = F hg(n t), t = αh Ε 4.2 Γράψτε ένα κώδικα επίλυσης του διακριτού προβλήματος με τις συνοριακές συνθήκες. Χρησιμοποιήστε των κώδικα για τισ παρακάτω προσομοιώσεις Ε 4.3 Πρώτο παράδειγμα Dirichlet Absorbing 00 11 Source Absorbing Dirichlet Σχήμα 6: Πρώτο παράδειγμα Επιλύστε το πρόβλημα με τις συνοριακές συνθήκες του σχήματος 6. Θα κάνετε δύο προσομοιώσεις: μίαχρησιμοποιώνταςμιαπηγήδιαμήκηκυμάτων e j = e P καιμιαμεμία πηγήεγκαρσίωνκυμάτων e j = e S.Μπορείταιναχρησιμοποιήσετε x = y = h. α/σχεδιάστετηνλύσησεδιάφορεςχρονικέςστιγμές.σχεδιάστεεπίσηςτο div( u) = 1 u 1 + 2 u 2 και rot( u) = 1 u 2 2 u 1,γιαναδιαχωρίσετετακύματα Pαπότα S.Παρατηρήστε ότιγιατηνπρώτηπροσομοίωσηέχουμε rot( u) 0ενώγιατηνδεύτερη div( u) 0. β/ Διαλέξτε μερικά σημεία στην περιοχή Ω και σχεδιάστε την λύση ως συνάρτηση του χρόνου σε αυτά τα σημεία. ς/ Τρέξτε των κώδικα για διαφορετικές τιμές του γ = VP 2 + V S 2 t x.παρατηρήτεαστάθειες απόκάποιατιμήτου γκαιπάνω;αντιστοιχείαυτήητιμήστηνθεωρητικήτιμή CFL; δ/ Παρατηρήστε την αριθμητική ανισοτροπία στα αποτελέσματα, όταν το h 0 πρέπει το κύμα να μεταδίδεται σε μορφή κύκλων. ε/τισυμβαίνειόταντακύματαφτάνουνσεένασύνορο Dirichlet; Τισυμβαίνειόταντα κύματα φτάνουν σε ένα Absorbing σύνορο; Επιφανειακά κύματα 11

Ε 4.4 Στις ακόλουθες προσομοιώσεις, μια πηγή κυμάτων P είναι τοποθετημένη κοντά στην επιφάνεια y = a. Θα κάνετε δύο προσομοιώσεις: στην πρώτη θα χρησιμοποιήσετε μία συνθήκη Dirichlet σε αυτή την επιφάνεια, στην δεύτερη θα θα χρησιμοποιήσετε μία συνθήκη Neumann(λέγεται και συνθήκη ελεύθερης επιφάνειας), βλέπε σχήμα 7. Dirichlet Source Neumann Source Absorbing Absorbing Absorbing Absorbing Dirichlet Dirichlet Σχήμα 7: Οι συνοριακές συνθήκες για τις δύο προσομοιώσεις Παρατηρήστεότικαιστιςδύοπεριπτώσειςόταντοκύμα Pφτάνειστοσύνοροπουδενείναι απορροφητικό έχουμε ανάκλαση δύο κυμάτων ενος P και ενός S. Και μόνο στην δεύτερη περίπτωση έχουμε και ένα τρίτο κύμα επιφανειακό που ονομάζεται κύμα Rayleigh, το όποιο μεταδίδεται με μία ταχύτητα λίγο μικρότερη από το κύμα S. 12

Dirichlet Condition P wave reflected Neumann Condition S wave reflected P wave Rayleigh wave S wave reflected P wave reflected P wave Σχήμα 8: Παράδειγμα αποτελεσμάτων Παρατήρηση 4.1 Για να βρούμε μια καλή προσέγγιση της λύσης πρέπει να χρησιοποιήσουμε ένα πλέγμα με αρκέτα σημεία ανά μήκος κύματος S (που είναι το μικρότερο) G= VS f0 h Στην πράξη, να θεωρίσετε G = 5, 10, 15 και 20 και να μελετήστε την επιροή του στην ποιότητα των αποτελεσμάτων. Αυτές τις τιμές να χρησιμοποιήσετε στο ερώτημα 4.3d/. Παρατήρηση 4.2 Μπορείτε να βρείτε τιμές για τα λ, µ και ρ στο internet. Για παράδειγμα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω τιμές για το υπέδαφος ρ = 3gr/cm3, VP = 3km/s, VS = 1.5km/s και f0 = 1kHz. Η τις παρακάτω τιμές για το ατσάλι λ = 1.091 1011 Pascal, µ = 0.821 1011 Pascal και ρ = 7840Kgr/m3 και μία πηγή με συχνότητα f0 = 1kHz. Στην πράξη για να μην χρησιμοποιήτε τόσο μέγαλους αριθμούς μπορείτε να κανετέ τους υπολογισμούς με λ = λ 10 9, µ = µ 10 9, και ρ = ρ 10 3 και μπρορείτε να θεωρίσετε f 0 = 10 3 f0. Σε αυτή την περίπτωση χώρος μετριέται σε m και ο χρόνος σε msec. 13