ΑΛ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Τεύχος 3ο: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας. Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις

ΑΛ/Μ3 05-06 ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ Τεύχος 3ο: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις

ΕΚΔΟΤΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Φυσική για την Α' Τάξη του Λυκείου. Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας σελ. 97. Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις σελ. 0

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 97 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας. Η έννοια του έργου - Θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας (ΘΜΚΕ) Μια δύναμη, που ασκείται σε ένα σώμα, παράγει έργο όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της κατά τη διεύθυνσή της. π.χ. Στο σχήμα (α) παράγουν έργο οι δυνάμεις F, T, ενώ δεν παράγουν οι δυνάμεις N, B. Στο σχήμα (β) παράγει έργο το βάρος B, ενώ η τάση Τ δεν παράγει έργο. Στο σχήμα (γ) δεν παράγουν έργο οι Τ, B. Έργο σταθερής δύναμης, είναι ένα μονόμετρο φυσικό μέγεθος που ισούται με το γινόμενο του μέτρου της συνιστώσας της δύναμης κατά τη διεύθυνση της κίνησης επί τη μετατόπισή της.

98 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις W F x συνθ Μονάδας (S.I) Joule N Η φυσική σημασία του έργου Το έργο εκφράζει την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σ ένα άλλο ή που μετατρέπεται απο μια μορφή σε άλλη. Κάθε φορά που παράγεται έργο έχουμε δαπάνη ενέργειας ίσης με το παραγόμενο έργο. π.χ. Ένα σώμα ανέρχεται σε κεκλιμένο δάπεδο υπό την επίδραση δύναμης F όπως στο διπλανό σχήμα. W F : εκφράζει μεταφορά ενέργειας από τον παράγοντα, που προκαλεί την κίνηση, στο σώμα. W Bημφ : εκφράζει μετατροπή μέρους της μεταφερόμενης ενέργειας σε δυναμική. W : εκφράζει μετατροπή μέρους της μεταφερόμενης ενέργειας σε θερμότητα. WF Bημφ Τ : το έργο της συνισταμένης δύναμης, εκφράζει μετατροπή μέρους της μεταφερόμενης ενέργειας σε κινητική ενέργεια. WΝ 0, WBσυνφ 0 γιατί είναι κάθετες στην μετατόπιση. Παρατηρήσεις: α. Αν η δύναμη είναι ομόρροπη με την μετατόπιση, 0 ο συν0 τότε W F x. Το έργο αυτό το λέμε θετικό ή παραγόμενο, οπότε η δύναμη προσφέρει ενέργεια στο σώμα. Γενικότερα W F x συνθ 0 με 0 0 θ 90. β. Αν η δύναμη είναι κάθετη με την μετατόπιση, 90 ο συν90 0 τότε W 0, δεν παράγει έργο. π.χ. κάθετη αντίδραση, κεντρομόλος δύναμη.

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 99 γ. Αν η δύναμη είναι αντίρροπη με τη μετατόπιση, 80 ο συν80, W F x. Το έργο αυτό το λέμε αρνητικό ή καταναλισκόμενο, οπότε η δύναμη αφαιρεί ενέργεια από το σώμα. 0 0 Γενικότερα W F x συνθ 0 με 90 θ 80. δ. Αν F και η δύναμη μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της στη διεύθυνσή της, τότε το εμβαδόν της γραφικής παράστασης F(x) ισούται αριθμητικά με το έργο της F. ε. Αν η τιμή της δύναμης δεν είναι σταθερή τότε το εμβαδόν της F(x), ισούται αριθμητικά με το έργο της F. π.χ. η δύναμη ελατηρίου F K x (N. Hooke) W F EOAB WF F x WF Kx x WF Kx όπου Κ: σταθερά ελατηρίου x: απομάκρυνση απο τη θέση φυσικού μήκους

00 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις. Έργο βάρους και μεταβολή της κινητικής ενέργειας Ένα σώμα κινείται κατακόρυφα, κάνοντας ελεύθερη πτώση, με αμελητέα την αντίσταση του αέρα. Στη θέση (Α) έχει αρχική ταχύτητα υ 0, ενώ μετά από ύψος h, στη θέση (Γ) έχει ταχύτητα υ. Επειδή η κίνηση του σώματος είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη ισχύουν: 0 h υ t gt υ υ υ υ h υ g g g 0 0 0 υ0 υ υ0 υ υ0 υ υ h 0 h g g g Το έργο του βάρους για την ίδια διαδρομή είναι: WB B h W B υ υ υ g g 0 W υ υ 0 υ υ0 gt υ υ0 gt t B υ υ Η ποσότητα εκφράζει την τελική κινητική ενέργεια αρχική κινητική ενέργεια. 0 g, ενώ η υ 0 Συνεπώς, WB Κ τελ Κ αρχ W B ΔΚ Δηλαδή η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ισούται με το έργο του βάρους στην ελεύθερη πτώση. Το συμπέρασμα αυτό ισχύει γενικευμένο με τον τίτλο θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε) για την περίπτωση που α- σκούνται πολλές δυνάμεις στο σώμα: Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων που ασκούνται σ αυτό. W F Παρατήρηση Με το Θ.Μ.Κ.Ε. μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα, τη μετατόπιση του σώματος ή το έργο μιας άγνωστης δύναμης. την

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 0 Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Τα σώματα δεν έχουν μόνο κινητική ενέργεια λόγω της κίνησής τους, αλλά και άλλες μορφές ενέργειας όπως π.χ. δυναμική λόγω της θέσης ή της κατάστασής τους. Για να κατανοήσουμε τη δυναμική ενέργεια πρέπει να μάθουμε την έννοια των συντηρητικών ή διατηρητικών δυνάμεων που είναι μερικές από τις ποιο δημοφιλείς δυνάμεις όπως το βάρος, οι δυνάμεις ηλεκτροστατικού πεδίου, η άνωση, η δύναμη ιδανικού ελατηρίου. Μια δύναμη είναι συντηρητική αν το έργο που παράγει σε μια κλειστή διαδρομή είναι μηδέν. Πράγματι το βάρος είναι συντηρητική δύναμη γιατί το έργο του στη διαδρομή Α Γ Α είναι μηδέν. W W W W h B h 0 A Για τις συντηρητικές δυνάμεις υπάρχει και άλλος ισοδύναμος ορισμός: Μια δύναμη είναι συντηρητική αν το έργο που παράγεται απ αυτή πάνω σ ένα σωμάτιο που κινείται μεταξύ δύο σημείων, εξαρτάται μόνο από τα σημεία αυτά και όχι από τη διαδρομή. Πράγματι το έργο του βάρους στην διαδρομή Α Γ είναι ίσο με το έργο του σώματος που παράγεται κατά τη διαδρομή Α Δ. Το WAΔ Β ΑΔ Bh h ΑΓ Το WAΓ Βx ΑΓ Bημφ ΑΓ Β Bh ΑΓ Άρα WA WA

0 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις. Η δυναμική ενέργεια Δυναμική ενέργεια είναι το αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης ενός συστήματος σωμάτων, με συντηρητικές δυνάμεις. Για να υπάρξει δυναμική ενέργεια απαιτείται ένα σύστημα τουλάχιστον δύο σωμάτων. Π.χ. δεν υπάρχει η δυναμική ενέργεια ενός μήλου, αλλά η δυναμική ενέργεια του συστήματος μήλου - Γη. Αν οι δυνάμεις που αλληλεπιδρούν μεταξύ των σωμάτων του συστήματος είναι διατηρητικές, όπως στο παράδειγμα μήλου - Γης, αν αφήσουμε το μήλο να πέσει από ύψος h στο έδαφος, τότε η δυναμική του ενέργεια μετατρέπεται εξ ολοκλήρου σε κινητική (αγνοώντας την αντίσταση του αέρα). Η δυναμική ενέργεια ενός σώματος στο σύστημα Γη - σώμα το οποίο βρίσκεται σε μικρό ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης είναι: U gh Η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας ΔU και το έργο του βάρους: Ένα σώμα μάζας βρίσκεται στη θέση () και το αφήνουμε να πέσει μέχρι τη θέση () εξ αιτίας του βάρους του U U gh gh gh WB WB U o U U U U U Δηλαδή το έργο του βάρους ενός σώματος είναι αντίθετο με την μεταβολή της δυναμικής ενέργειας μεταξύ δύο θέσεων (ή ίσο με τη διαφορά της δυναμικής ενέργειας του συστήματος). Το συμπέρασμα αυτό γενικεύεται για τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ συντηρητικών δυνάμεων π.χ. ελατηρίου, ηλεκτροστατικές.

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 03 Σύγκριση κινητικής και δυναμικής ενέργειας Κινητική Υπάρχει εφ όσον υπάρχει κίνηση. Είναι δυνατόν ένα σώμα να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να αλληλεπιδρά με άλλα σώματα. Wo το έργο Wo : της συνισταμένης των δυνάμεων. Δυναμική Υπάρχει εφ όσον αλληλεπιδρούν με συντηρητικές δυνάμεις τα σώματα του συστήματος. Είναι δυνατόν, ένα σύστημα να έχει δυναμική ενέργεια χωρίς να κινείται. U W W : το έργο των συντηρητικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης. 3. Μηχανική ενέργεια Είναι το άθροισμα της κινητικής και δυναμικής ενέργειας ενός συστήματος σωμάτων. Ε Κ U Η μηχανική ενέργεια διατηρείται εφ όσον εκτελείται έργο μόνο από συντηρητικές δυνάμεις. Δηλ. W W Πράγματι W W U U U W U U W U U W W U U Αν η μοναδική δύναμη που εκτελεί έργο κατά την κίνηση ενός σώματος είναι το βάρος (συντηρητική) τότε: υ gh υ gh

04 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Παρατηρήσεις: α. Το παράδειγμα της οριζόντιας βολής. Σώμα μικρών διαστάσεων (αμελητέα η αντίσταση του αέρα), βάλλεται οριζόντια με ταχύτητα υ 0, από ύψος Η. Να υπολογίσετε την ταχύτητα που φθάνει στο έδαφος αν είναι γνωστό το g. Επειδή ασκείται μόνο το βάρος ισχύει η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας: ΕΑ ΕΓ υ0 gη υ υ υ0 gh Παρατηρήστε ότι δεν αναφερθήκαμε στη διεύθυνση της αρχικής ταχύτητας. Άρα το μέτρο της θα ήταν το ίδιο σε οποιαδήποτε βολή με τα ίδια υ 0, (κατακόρυφη προς τα πάνω ή κάτω, πλάγια προς τα πάνω ή κάτω). β. Η αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.) καθώς και το Θ.Μ.Κ.Ε. λύνουν ευκολότερα προβλήματα μηχανικής, αρκεί να μην υπεισέρχεται ο χρόνος κίνησης. γ. Η τριβή ολίσθησης είμαι μη συντηρητική δύναμη γιατί αφαιρεί συνεχώς ενέργεια από το σώμα στο οποίο ασκείται μετατρέποντάς την σε θερμότητα. Όταν υπάρχει τριβή δεν ισχύει η Α.Δ.Μ.Ε. Τότε τα προβλήματα τα λύνουμε με τη βοήθεια του Θ.Μ.Κ.Ε. δ. Κατά την πλαστική κρούση δεν ισχύει η Α.Δ.Μ.Ε. γιατί αναπτύσσονται και μη συντηρητικές δυνάμεις, ενώ ισχύει η Αρχή διατήρησης της ορμής Α.Δ.Ο. γιατί το σύστημα είναι μονωμένο. Α.Δ.Ο.: υ υ V υ υ V όμως 4. Η ισχύς ή ρυθμός μεταβολής ενέργειας Η ισχύς μιας μηχανής είναι ένα μονόμετρο φυσικό μέγεθος που ισούται με το πηλίκο του έργου που παράγει η μηχανή προς τον αντίστοιχο χρόνο: Ισοδύναμα εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας: ΔW P Δt W t

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 05 Να θυμάσαι ότι: W Β ΔU βαρ Joule Μονάδα S.I. W S 3 πολ/σια KW 0 W MW 6 0 W στην πράξη έχουμε και τον ίππο HP 745,7W α. Αν θεωρήσουμε σώμα που κινείται με σταθερή ταχύτητα υ, υπό την επίδραση σταθερής δύναμης F ομόρροπης της ταχύτητας, και έχει διανύσει μετατόπιση x σε χρόνο t τότε: P P W t F x t F F F υ (ρυθμός μεταβολής ενέργειας) W t Τ x t Τ Τ Τ υ (ρυθμός κατανάλωσης έργου από την τριβή). Ο ρυθμός παραγωγής θερμότητας είναι: PQ T υ Για το ρυθμό μεταβολής δυναμικής ενέργειας (μέση τιμή) Στην άνοδο: ΔU W B B h B h Δt Δt Δt Δt W B ΔU B h Στην κάθοδο: Δt Δt Δt Γενικά αν F σταθ και υ σταθ : ΡF Fx υ, όπου F x η συνιστώσα της F στην διεύθυνση της κίνησης. Το πρόσημο λαμβάνεται θετικό αν η F είναι ομόρροπη της x υ. β. Αν η ταχύτητα δεν είναι σταθερή τότε: ΔW η μέση ισχύς είναι ΡΜ, όπου ΔW το έργο του κινητήρα στο αντίστοιχο Δt χρονικό διάστημα. η στιγμιαία ισχύς είναι Ρ Fx υ, όπου υ : η στιγμιαία ταχύτητα εκείνη την χρονική στιγμή. γ. Συντελεστής απόδοσης μηχανής είναι το πηλίκο Ρ ωφ : η ισχύς που αποδίδει η μηχανή και Ρ δαπ : η καταναλισκόμενη ισχύς. Ρ α Ρ ωφ δαπ, όπου:

06 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Ερωτήσεις 8. Αναφέρετε δύο περιπτώσεις κατά τις οποίες ασκείται δύναμη πάνω σε ένα σώμα αλλά δεν παράγεται έργο. 83. Τι μπορείτε να πείτε για το μέτρο της ταχύτητας ενός σώματος εάν το συνολικό έργο που παράγεται πάνω του είναι μηδενικό. 84. Η κινητική ενέργεια ενός σώματος εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς στο οποίο περιγράφεται η κίνηση; Δώστε ένα παράδειγμα. 85. Ένας άνθρωπος που κωπηλατεί σε μια βάρκα αντίθετα προς το ρεύμα ηρεμεί ως προς την όχθη. α. Παράγει καθόλου έργο; β. Αν σταματήσει να κωπηλατεί και κινηθεί με το ρεύμα, παράγεται καθόλου έργο πάνω του; 86. Ένα αυτοκίνητο διπλασιάζει την ταχύτητά του. Πως μεταβλήθηκε η κινητική του ενέργεια; 87. Μια δύναμη σταθερής διεύθυνσης μεταβάλλεται γραμμικά από 0Ν σε 8Ν, από τη θέση που ξεκίνησε το σώμα μέχρι τα 4, ενώ μετά παραμένει σταθερή για τα επόμενα 6. Να γίνει η γραφική παράσταση δύναμης μετατόπισης και να υπολογίσετε το έργο της δύναμης μέχρι τα 0. 88. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές: α. Ένα σώμα έχει έργο β. Ένα σώμα έχει έργο δύναμης γ. Ένα σώμα έχει ενέργεια δ. Ένα σώμα έχει δύναμη ε. Ένα σώμα ασκεί δύναμη

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 07 89. Ένα σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές: α. Η ταχύτητά του είναι σταθερή. β. Η κινητική του ενέργεια είαι σταθερή γ. Η ορμή του είναι σταθερή δ. Το έργο της κεντρομόλου δύναμης είναι μηδέν για μισή περιστροφή. 90. Το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας ισχύει: α. Όταν ασκούνται σταθερού μέτρου δυνάμεις. β. Όταν ασκούνται ομόρροπες δυνάμεις γ. Όταν ασκούνται αντίρροπες δυνάμεις δ. Σε κάθε περίπτωση 9. Μια δύναμη δεν παράγει έργο όταν: α. Δε μετατοπίζει το σώμα στο οποίο ασκείται β. Δε μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της γ. Μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της, αλλά μένει κάθετη στην τροχιά δ. Μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της σε καμπύλη τροχιά, χωρίς να είναι κάθετη στην τροχιά. 9. Μια μπάλα του μπόουλινγκ είναι αναρτημένη με ένα νήμα από την οροφή του αμφιθέατρου παραδόσεων φυσικής. Ο καθηγητής σας εκτρέπει την μπάλα από την θέση ισορροπίας, την ακουμπάει στη μύτη του και την αφήνει ελεύθερη. Πρέπει άραγε να φύγει από τη θέση του για να μην τον χτυπήσει η μπάλα καθώς αυτή επιστρέφει; Τι θα συμβεί εάν ο καθηγητής ωθήσει την μπάλα; 93. Τρεις πανομοιότυπες σφαίρες εκτοξεύονται με το ίδιο μέτρο αρχικής ταχύτητας από την ταράτσα ενός κτιρίου. Η μία οριζόντια, η δεύτερη υπό γωνία πάνω από το οριζόντιο επίπεδο και η τρίτη υπό γωνία κάτω από το οριζόντιο επίπεδο. Χωρίς να λάβετε υπ όψιν την αντίσταση του αέρα, να συγκρίνετε τις ταχύτητες των σφαιρών μόλις φτάνουν στο έδαφος.

08 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 94. Ποια από τις παρακάτω καμπύλες παριστάνει την κινητική ενέργεια ενός σώματος σε συνάρτηση με την ταχύτητά του. 95. Ένα σώμα αφήνεται να πέσει από ύψος h. Ποια από τις παρακάτω καμπύλες παριστάνει τη δυναμική ενέργεια του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο πτώσης; 96. Ένας αλεξιπτωτιστής πηδάει από ένα αεροπλάνο C30, ανοίγει το αλεξίπτωτο και προσγειώνεται ομαλά στο έδαφος. Διατηρείται η μηχανική ενέργεια σ αυτή την κίνηση; 97. Ένας φίλος σας, έχει μπερδέψει τις έννοιες. Σας ρωτά λοιπόν για ένα αυτοκίνητο που κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα, πως είναι δυνατόν να παράγεται έργο, όταν η ολική δύναμη είναι μηδενική; Ποια είναι η άποψη σας; 98. Μπορεί το έργο μιας συντηρητικής δύναμης να είναι ίσο με το έργο μιας μη συντηρητικής δύναμης; α. Σε κλειστή διαδρομή; β. Σε ανοικτή διαδρομή;

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 09 99. Μπορεί ένα σώμα να έχει ενέργεια; Να έχει έργο; 00. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής με τα στοιχεία της δεξιάς στήλης Φυσικά μεγέθη Έργο Δύναμη Ενέργεια Ισχύς Μονάδες Ν J W Kwh 0. Αν διπλασιάσουμε την ταχύτητα ενός σώματος η κινητική του ενέργεια θα: α. μείνει σταθερή β. διπλασιαστεί γ. τετραπλασιαστεί δ. τριπλασιαστεί 0. Ένα σώμα που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο, δέχεται την επίδραση συνολικής δύναμης σταθερής διεύθυνσης, όπως στο σχήμα α. Σε ποια θέση έχει την μεγαλύτερη ταχύτητα; β. Σε ποια θέση ηρεμεί ξανά;

0 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Μεθοδολογία ασκήσεων - Αποδείξεις Μεθοδολογία Για να λύσουμε μια άσκηση με τη βοήθεια του Θ.Μ.Κ.Ε., κάνουμε τις παρακάτω διαδικασίες: i. Σχεδιάζουμε, πάνω στο σώμα, που κινείται, όλες τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω του και τις αναλύουμε σε δύο άξονες: έναν κατά τη διεύθυνση κίνησης και έναν κάθετο σ αυτόν. ii. Καθορίζουμε το διάστημα ή τα διαστήματα κατά τα οποία ασκείται η κάθε μια από αυτές τις δυνάμεις. iii. Βρίσκουμε το έργο (αρνητικό ή θετικό) της κάθε μιας και κατόπιν το ολικό έργο. iv. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. για όλη τη διάρκεια της κίνησης ή επιλέγουμε εμείς το διάστημα υ υ W 0 ολ Υπάρχουν δύο έργα δύναμης που εμφανίζουν ειδικό ενδιαφέρον: i. Έργο δύναμης σταθερού μέτρου, που εφάπτεται συνεχώς σε καμπύλη τροχιά.

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Χωρίζω την καμπύλη σε στοιχειώδη τμήματα x, x,... x, σε καθ ένα από τα οποία η F είναι εφαπτόμενη και παράγει ένα στοιχειώδες έργο. Το ολικό έργο είναι: W W W... W o W F x F x... F x o W FAB W F x x... x o όπου (ΑΒ) το μήκος της καμπύλης τροχιάς o ii. Έργο σταθερής δύναμης που μετατοπίζεται σε καμπύλη τροχιά. Το έργο θα υπολογίζεται από τη σχέση W FA B όπου AB : η προβολή της τροχιάς στη διεύθυνση της δύναμης. Χωρίζω την (ΑΒ) σε στοιχειώδεις μετατοπίσεις S, S,... S Το W W W... W W F ΔS συνφ F ΔS συνφ... F ΔSν συνφν W F x F x... F x W FA B W F x x... x Όπου Δx, Δx,... της δύναμης. Δx v οι προβολές των S, S,... S στην διεύθυνση

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Το κεφάλαιο αυτό μας δίνει τρία σπουδαία εργαλεία μεθοδολογίας για την επίλυση προβλημάτων κίνησης i. Το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας (ΘΜΚΕ): Κτελ Κ αρχ Wολ υ υ0 Wολ Πλεονεκτήματα: εφαρμόζεται χωρίς κανένα περιορισμό. Μειονεκτήματα: χρειάζεται να υπολογίσουμε το W. Αυτό γίνεται είτε βρίσκοντας την συνισταμένη δύναμη F και υπολογίζοντας το έργο της είτε υπολογίζοντας το έργο κάθε δύναμης και αθροίζοντάς τα αλγεβρικά. Για τον υπολογισμό του έργου δύναμης πρέπει να έχουμε υπ όψη μας τρία πράγματα: Α. ΤΟ ΕΙΔΟΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ: Αν F σταθ : W F x συνθ Αν F f x : W (εμβαδόν γραμμοσκιασμένο)

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 3 Αν F : και μετατοπίζεται σε καμπύλη τροχιά τότε, όπου W F : η προβολή της τροχιάς σε διεύθυνση παράλληλη της δύναμης Αν F εφάπτεται σε καμπύλη τροχιά και έχει σταθερό μέτρο: W F, όπου (ΑΓ): το μήκος της τροχιάς Αν η δύναμη είναι συντηρητική, όπως για παράδειγμα το βάρος, παίζει ρόλο όχι η διαδρομή αλλά η αρχική και τελική θέση. Για το βάρος είναι η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των δύο θέσεων W Β Δh

4 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Β. ΤΗΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Γ. ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ είναι θετικό αν η δύναμη είναι ομόρροπη με τη μετατόπιση (προσφέρει ενέργεια στο σώμα) είναι αρνητικό αν η δύναμη είναι αντίρροπη με τη μετατόπιση (αφαιρεί ενέργεια από το σώμα) είναι μηδέν αν η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση. ii. Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.) E E gh gh Πλεονεκτήματα: Εφαρμόζεται μεταξύ δύο θέσεων της τροχιάς του κινητού, αρκεί να έχω προσδιορίσει (είτε σα δεδομένο είτε σα ζητούμενο) την ταχύτητα και τη θέση. Μειονεκτήματα: Εφαρμόζεται αν στο σώμα ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις (βάρος, ηλεκτροστατικές κ.λ.π). iii. Θεώρημα διατήρησης της ενέργειας (ΑΔΕ γενική διατύπωση): E W W E όπου F W F : το έργο των δυνάμεων που προσφέρουν ενέργεια στο σώμα, εκτός του βάρους. W : το έργο των δυνάμεων που αφαιρούν ενέργεια από το σώμα (τριβές, αντιστάσεις κ.λ.π.), των οποίων το έργο είναι αρνητικό.

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 5 Συνθήκη ανακύκλωσης ή ανακύκλισης Με τον όρο συνθήκη ανακύκλωσης στην καμπυλόγραμμη κίνηση εννούμε την οριακή συνθήκη, ώστε το σώμα που εκτελεί καμπυλόγραμμη κίνηση να περνά από το ανώτερο σημείο της τροχιάς του, διατηρώντας οριακά την κυκλική κίνησή του α. Σώμα δεμένο σε νήμα εκτελεί κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο. Δέχεται την επίδραση της τάσης και του βάρους. Η συνισταμένη των δυνάμεων στο ανώτερο σημείο της τροχιάς είναι η κεντρομόλος: υ Γ Fκ υγ B T Fκ B T Για να εκτελέσει οριακά ανακύκλωση πρέπει T 0. Από τη () έχουμε: υγ,in g υγ,in g β. Σώμα στο άκρο αβαρούς ράβδου που εκτελεί κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο. Αρκεί στο ανώτερο σημείο της τροχιάς να έχει μηδενική ταχύτητα: υγ,in 0 γ. Σώμα κινείται στο εσωτερικό καμπύλης τροχιάς (ή στο εξωτερικό). Στο σώμα ασκούνται η κάθετη αντίδραση N και το βάρος B. Στο ανώτερο σημείο της τροχιάς η συνισταμένη τους, στη διεύθυνση της ακτίνας είναι η κεντρομόλος: υ Γ Fκ υγ R B N R Fκ B N Για να εκτελέσει οριακά ανακύκλωση πρέπει N 0. Η () γίνεται: υγ,in g υγ,in gr R

6 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Αποδείξεις θεωρίας Απόδειξη Να αποδειχθεί η σχέση μεταξύ του έργου βάρους και της μεταβολής της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.): Σώμα κινείται κατακόρυφα, κάνοντας ελεύθερη πτώση, αν θεωρήσουμε αμελητέα την αντίσταση του αέρα. Στη θέση (Α) έχει αρχική ταχύτητα υ 0, ενώ μετά από ύψος h, στη θέση (Γ) έχει ταχύτητα υ. Η κίνηση είναι ευθ. ομαλά επιταχυνόμενη άρα: υ υ g 0 υ υ0 gt υ υ0 gt t 0 h υ t gt υ υ υ υ h υ g g g 0 0 0 υ0 υ υ0 υ υ0 υ υ h 0 h g g g Το έργο του βάρους για την ίδια διαδρομή είναι: WB B h W B υ g υ g 0 W B υ υ υ Η ποσότητα εκφράζει την τελική κινητική ενέργεια αρχική κινητική ενέργεια W Κ Κ 0 Κ τελ ενώ η υ 0 Κ αρχ. Συνεπώς B τελ αρχ W B ΔΚ Δηλαδή η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ισούται με το έργο του βάρους στην ελεύθερη πτώση. την

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 7 Απόδειξη Να αποδείξετε ότι το βάρος είναι συντηρητική δύναμη: Πράγµατι το βάρος είναι συντηρητική δύναµη γιατί το έργο του στη διαδροµή: Á Γ Α είναι µηδέν. W ολ = W ΑΓ + W ΓΑ W ολ = Β h B h = 0 Απόδειξη 3 Να αποδείξετε ότι μια δύναµη είναι συντηρητική, αν το έργο της πάνω σε ένα σωµάτιο που κινείται µεταξύ δύο σηµείων, εξαρτάται µόνο από τα σηµεία αυτά: Πράγµατι, το έργο του βάρους στη διαδροµή Α Γ είναι ίδιο µε το έργο του στη διαδροµή Α Δ. Το W AΔ = Β (ΑΔ) = B h h AΓ Το WAΓ Βx AΓ Β ημφ AΓ Β B h AΓ Από τις παραπάνω σχέσεις ισχύει: W AΔ = W ΑΓ Απόδειξη 4 Να αποδείξετε ότι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας είναι ίση με το έργο του βάρους: Ένα σώµα µάζας βρίσκεται στη θέση () και το αφήνουµε να πέσει ελεύθερα µέχρι τη θέση () εξ αιτίας του βάρους του: U U gh gh gh WB( ) WB( ) ΔU όμως ΔU U U (U U )

8 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Απόδειξη 5 Να αποδείξετε ότι η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή, εφόσον εκτελείται έργο μόνο από συντηρητικές δυνάμεις: Wαλληλεπίδραση Wολικό Από Θ.Μ.Κ.Ε.: ΔΚ W Κ Κ W αλλ. αλλ. Κ Κ (U U ) αλλ. αλλ. ΔU W (U U ) W Κ U K U E E Απόδειξη 6 Να βρεθεί η εξίσωση της ταχύτητας που φτάνει στο έδαφος, ενός σώματος που εκτελεί οριζόντια βολή, με αρχική ταχύτητα υ 0 από ύψος h. Σώµα µικρών διαστάσεων (αµελητέα η αντίσταση του αέρα), βάλλεται οριζόντια µε ταχύτητα υ 0, από ύψος h. Επειδή ασκείται µόνο το βάρος ισχύει η διατήρηση της µηχανικής ενέργειας: Από Α.Δ.Μ.Ε. έχουμε για την ταχύτητα υ στο έδαφος: E(A) = E(Γ) ή υ0 + gh = υ ή υ = υ0 + gh Απόδειξη 7 Να αποδείξετε ότι: P = F υ αν η F W F x P F υ t t σταθ και F υ :

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 9 Έργο Παράδειγμα 86 Λυμένες ασκήσεις Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κύβο βάρους 60 Ν για 0 πάνω σ ένα επίπεδο δάπεδο. Ο κύβος έχει σταθερή ταχύτητα και η ασκούμενη δύναμη έχει διεύθυνση 45 κάτω από τον ορίζοντα. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι 0, πόσο έργο παράγει η δύναμη που ασκεί ο άνθρωπος πάνω στον κύβο; Δίνεται g 0. s Λύση Αφού υ σταθ έχουμε: ο ΣFy 0 N Fημ45 Β ΣF 0 T Fσυν45 ο x ο μν Fσυν45 ο ο μ Fημ45 Β Fσυν45 ο ο μfημ45 μβ Fσυν45 ο ο F συν45 μ ημ45 μβ F συν45 ο μ ημ45 ο μβ 0, 60Ν 0, 60Ν 30 F N 5 N 0, 0, Άρα WF ο WF Fσυν45 x 5 N 0 50J

0 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Παράδειγμα 87 Σώμα μάζας 5kg σύρεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο από μια σταθερή δύναμη F 70N που ασκείται με γωνία 30 ο πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα μετατοπίζεται κατά 5 και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι 0,3. Να βρείτε: α. Το έργο της F, β. το έργο της τριβής, γ. το έργο της κάθετης αντίδρασης, δ. το έργο του βάρους, ε. το συνολικό έργο στ. αν το σώμα ξεκινά από την ηρεμία, ποια θα είναι η ταχύτητά του στο τέλος των 5; Δίνεται g 0 s Λύση ο ο ΣFy 0 N Fημ30 Β 0 Ν Β Fημ30 Ν 5Ν Άρα Τ μ Ν 0,35Ν 34,5Ν 3 α. Το β. Το WT T x 34, 5N 5 7, 5J ο WF Fσυν45 x 70Ν 5 75 3 J γ. Το WN 0 γιατί είναι κάθετη στην μετατόπιση δ. Το WB 0 γιατί είναι κάθετη στην μετατόπιση ε. Το W W F W T W N W B 30,6 J στ. Εφαρμόζω το Θ.Μ.Κ.Ε. K τελ K αρχ Wολ υ Wολ W ολ υ 4,7 s

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Παράδειγμα 88 Εργάτης μεταφέρει κιβώτιο μάζας 00kg σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο α- σκώντας δύναμη F 000N υπο γωνία φ (με συνφ 0,6 ) πάνω από το οριζό- ντιο επίπεδο. Αν ο συντελεστής τριβής είναι 0,5 να βρείτε: α. την ταχύτητα του κιβωτίου μετά, αν αρχικά ήταν ακίνητο. β. την ελάχιστη απαιτούμενη δύναμη για να μεταφερθεί το κιβώτιο. Δίνεται g 0. s Λύση Το ημφ συν φ 0,6 0,8 α. ΣFy 0 N Fημφ Β 0 Ν Β Fημφ 00Ν Άρα 0,500 00 Το Wολ WF WT WN WB Fσυνφ x T x W 000N 0, 6 00N W 000J Θ.Μ.Κ.Ε.: W ολ υ 5 Kτελ Kαρχ Wολ υ Wολ s T 00Ν β. Πρέπει ΣFx 0 F' συνφ Τ F' 66, 66Ν συνφ 0, 6

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Παράδειγμα 89 Σώμα βάρους σύρεται προς τα πάνω κατά μήκους κεκλιμένου δρόμου γωνίας φ με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F. Αν μ είναι ο συντελεστής τριβής με το δάπεδο, x είναι η μετατόπιση ενώ αρχικά το σώμα ήταν ακίνητο να υπολογίσετε: α. το συνολικό έργο των δυνάμεων. β. την ταχύτητα που απέκτησε μετά από μετατόπιση x. Δίνεται το g Λύση α. ΣFy 0 N Fημφ Βσυνφ ενώ Τ μ Ν μ Fημφ Βσυνφ Το WF WΒ Τ Fσυνφ x Βημφ x W T x μ Fημφ Βσυνφ x W 0 Το ολ F Β T W W W W Fσυνφ x Bημφ x μ Fημφ Βσυνφ x Wολ x F συνφ μ ημφ Β ημφ μ συνφ β. Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. για την αντίστοιχη μετατόπιση Kτελ Kαρχ Wολ υ 0 Wολ υ W ολ Παράδειγμα 90 ο Σώμα μάζας kg βάλλεται από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου κλίσης φ 30, με αρχική ταχύτητα υ0 0 προς τα πάνω. Αν ο συντελεστής τριβής είναι s

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 3 3 μ να βρείτε: 5 α. Σε πόσο διάστημα θα σταματήσει; β. Θα επιστρέψει πίσω; γ. Αν ναι, με τι ταχύτητα επιστρέφει; δ. Τι έγινε η ενέργεια που χάθηκε ; Δίνεται g 0 s Λύση á. ΣFy 0 N Βσυνφ Ενώ Τ μ Ν μgσυνφ Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. από Α Γ με x K K W υ 0 gημφ x T x 0 0 WB WT υ 0 gημφ x μgσυνφ x υ 0 g ημφ μ συνφ x υ0 0 x gημφ μ συνφ 3 3 0 5 x 5 β. Όταν σταματήσει στο (Γ), τείνει να κινηθεί προς τα κάτω. Για να κινηθεί όντως πρέπει: Bημφ Τ ορ ή gημφ μgσυνφ ή 3 3 ή 3 Ισχύει 5 0

4 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις γ. Το σώμα επιστρέφει, ξεκινώντας από το (Γ), χωρίς αρχική ταχύτητα, διασχίζοντας μετατόπιση x 5 Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. από το Γ Α K τελ Κ αρχ Wολ 0 x T x υ gημφ x μgσυνφx 3 υ gx ημφ μ συνφ 0 5 0 0 s s υ 0 s δ. Η ενέργεια που χάθηκε μετατράπηκε σε θερμότητα λόγω της τριβής. Είναι: Q T 0 50J Παράδειγμα 9 Αφήνουμε ένα σώμα να γλιστρήσει από την κορυφή ενός κεκλιμένου επιπέδου (ΓΔ) ύψους A 5. Η οριζόντια πλευρά του επιπέδου συνεχίζει και πέρα από το σημείο Δ. Το σώμα καθώς γλιστρά φθάνει στο Δ και συνεχίζει την κίνησή του στο οριζόντιο επίπεδο οπότε σταματά στο σημείο Ζ με AZ 0. Αν όλες οι επιφάνειες έχουν ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης να τον υπολογίσετε. Λύση Στο κεκλιμένο δάπεδο: ΣFy 0 N Bσυνφ Άρα T μ N μg συνφ Στο οριζόντιο δάπεδο Fy 0 N B Άρα T N g Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓ ημφ, ΓΔ :

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 5 ΑΔ συνφ ΓΔ Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. από (Γ) (Ζ) K Κ W 0 0 W W W τελ αρχ ολ Bημφ T T 0 Bημφ ΓΔ Τ ΓΔ Τ ΖΔ, 0 gημφ ΓΔ gσυνφ ΓΔ μg ΖΔ A 0 g 5 0 0 4 Παράδειγμα 9 Σώμα μάζας kg με αρχική ταχύτητα υ0 δέχεται την επίδραση δύ- s ναμης F, η οποία μεταβάλλεται όπως στο σχήμα. Το σώμα βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο έχει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ 0,, ενώ η διεύθυνση της F είναι οριζόντια. Δίνεται g 0. s Να υπολογίσετε: α. Το έργο της F από x 0 έως x 8. β. Το έργο της F από x 8 έως x 0. γ. Το έργος της F από x 0 έως x 0. δ. Την ταχύτητα του σώματος στην θέση x.

6 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Λύση W 8 6N 4J α. F0 8 W 3N 3J F 80 β. γ. W 4J 3J J F0 0 δ. ΣFy 0 N B g, ενώ T μn μg N Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. από x 0 έως x K W W ή F0 T υ υ0 86N 4 3N N υ υ0 Wολ 6 4 s s ή Παράδειγμα 93 Σώμα μάζας kg βρίσκεται σ οριζόντιο δάπεδο με το οποίο έχει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ 0,. Το σώμα εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας, π πάνω στο επίπεδο και μετατοπίζεται διανύοντας τόξο ενός τεταρτοκύκλιου. Η τριβή είναι παράλληλη στο επίπεδο και συνέχεια εφαπτόμενη στην κίνηση. Το βάρος Β και η κάθετη αντίδραση Ν του επιπέδου είναι κάθετα στην κίνηση. α. Να βρεθεί το έργο της τριβής, g 0 s β. Αν στο (Α) έχει υ0, ποια είναι η ταχύτητα στο (Γ). s

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 7 Λύση α. Fy 0 N B g ενώ T g Η τριβή είναι δύναμη σταθερού μέτρου που εφάπτεται σε καμπύλη τροχιά, και έχει φορά αντίθετη με την κίνηση. Άρα το έργο της είναι: W T T A R N 4 4 WT J β. Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. από (Α) στο (Γ) για το σώμα K W o 0 WT 0 W T s s Παράδειγμα 94 Ένα σφαιρίδιο βάρους B κρέμεται από ένα ακλόνητο σημείο Ο με σχοινί μήκους l και ισορροπεί. Στο σφαιρίδιο ενεργεί μια σταθερή οριζόντια δύναμη F. Να βρεθεί η μέγιστη γωνία απόκλισης φ του σχοινιού από την κατακόρυφο, με την προϋπόθεση ότι το σχοινί είναι συνεχώς τεντωμένο. Λύση Αν το σφαιρίδιο μετατοπιστεί από το (Α) στο (Γ). Δέχεται τις δυνάμεις F, B και T : τάση του σχοινιού. Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. από (Α) στο (Γ) για το σφαιρίδιο: K W W W B F T 0 0 WB WF WT Όμως WT 0 γιατί η τάση είναι συνεχώς κάθετη στην μετατόπιση WB B h (όπου h: η προβολή της τροχιάς στην διεύθυνση της δύναμης B ). WF F (όπου ΓΔ: η προβολή της τροχιάς στην διεύθυνση της δύναμης F ). Στο τρίγωνο Ο Γ Δ : ΓΔ ημφ ΓΔ ημφ

8 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις ΟΔ h συνφ συνφ h h συνφ ΟΓ Άρα η () γίνεται: 0 Β συνφ F ημφ Β Βσυνφ Fημφ Β συνφ F ημφ Β Β συν φ F ημ φ ΒFσυνφ ημφ Β Β ημ φ F ημ φ ΒFσυνφ ημφ 0 Β ημ φ F ημ φ ΒFσυνφ ημφ ΒF εφφ B F Β F ημφ ΒFσυνφ Β συνφ F ημφ 0 Β ημφ F ημφ ΒFσυνφ Παράδειγμα 95 Ένα σώμα μάζας kg ισορροπεί σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο έχει μ 0, 5. Ασκούμε στο σώμα δύναμη F, που η τιμή της μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τη μετατόπιση x του σημείου εφαρμογής της σύμφωνα με τη σχέση F 0 5x (S.I). α. Κατά πόσο θα μετακινηθεί το σώμα, πριν εγκαταλείψει το οριζόντιο δάπεδο; β. Την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που εγκαταλείπει το οριζόντιο δάπεδο. Δίνονται: ημθ 0,8, g 0 s Λύση α. Fy 0 N F B 0 g F 0 0 5x0,8S.I 4x S.I Το σώμα χάνει την επαφή του, όταν N 0 4x 0 x 3

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 9 β. Το συνθ ημ θ 0,8 0,6 Η τριβή είναι Τ μν 0, 5 4x 3 x Για x 0 :T 3 x 3N Fσυνθ Τ Για x 0 :Fσυνθ 0 5x 0, 6 6 3x 6N Άρα το σώμα ξεκινά αμέσως t 0. Η ΣF Fσυνθ Τ 6 3x 3 x 3 4x (S.I.) x Η γραφική παράσταση της ΣFx 0 3 5 Το Wo 0 3 3 7J Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. 0 3 για το σώμα. K W o 0 3 0 Wo 0 3 x φαίνεται στο διπλανό σχήμα: x () 0 3 F N x 3 5 Woλ 03 7J υ 7 3 3 kg s s

30 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Ενέργεια Παράδειγμα 96 Ένα παιδί μάζας 0kg γλιστρά πάνω σε μια καμπυλόγραμμη τσουλήθρα ακανόνιστου σχήματος, από ύψος h,8, όπως στο σχήμα. Το παιδί ξεκινά από την κορυφή, ενώ ήταν ακίνητο. α. Προσδιορίστε το μέτρο της ταχύτητας του, στο κάτω μέρος της τσουλήθρας θεωρώντας ότι δεν υπάρχουν τριβές. β. Αν φθάνει με ταχύτητα Δίνεται g 0 s υ να προσδιορίσετε το έργο των τριβών. s Λύση α. Στο παιδί ασκούνται η κάθετη αντίδραση N που είναι συνεχώς κάθετη στην μετατόπιση και δεν παράγει έργο και το βάρος που είναι συντηρητική δύναμη. Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε. (Α) (Γ): E E A Κ Α U Α Κ Γ U Γ Θεωρώ Uβαρ 0 στο οριζόντιο δάπεδο που περνά από το (Γ) 0 gh υγ 0 υ Γ gh 6 s β. Αν υπάρχει τριβή εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. από (Α) στο (Γ) Κ τελ Κ αρχ Wολ υ gh WT υ 0 W B W T WT υ gh 30J Το βάρος είναι συντηρητική δύναμη και το έργο του είναι ανεξάρτητο της διαδρομής gh WB

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 3 Θεωρώ επίπεδο αναφοράς της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας Uβαρ 0, το ο- ριζόντιο επίπεδο που περνά από το (Γ) Παράδειγμα 97 Σώμα μάζας αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί από το σημείο (Α), χωρίς τριβές. Αφού διατρέξει το τεταρτοκύκλιο ακτίνας R ανεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ 45. Να βρεθεί η ταχύτητα του αφού ο διανύσει μετατόπιση ΓΔ Δίνεται g 0 s, Λύση Στο τρίγωνο ΓΔ Ζ : στο κεκλιμένο δάπεδο. 45 h h 45 Στο σώμα ασκούνται η κάθετη αντίδραση NW 0 N και το βάρος που είναι συντηρητική δύναμη (το έργο του είναι ανεξάρτητο από την διαδρομή). Εφαρμόζω Α.Δ.Ε. από (Α) στο (Δ). E E A Δ ΚΑ UΑ ΚΔ UΔ 0 gr υδ gh υδ g R h 5 s Παράδειγμα 98 Ένα σώμα μάζας 5kg αφήνεται ελεύθερο από το σημείο (Α) σε μία τροχιά χωρίς τριβές όπως στο σχήμα. Προσδιορίστε την ταχύτητά της στα σημεία α. στο (Β) β. στο (Γ). Δίνεται g 0 s

3 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Λύση Στο σώμα ασκούνται η κάθετη αντίδραση NW 0 και το βάρος που είναι συντηρητική δύναμη. Εφαρμόζω Α.Δ.Ε. N α. Α.Δ.Ε από (Α) στο (Β): E E A B Κ Α U Α Κ B U B 0 gh υ gh A B B β. Ομοίως υγ g ha h Γ 60 s υb g h A h Γ 6 s Παράδειγμα 99 Σ ένα βαγονάκι του λούνα - παρκ, που κινείται χωρίς τριβή δίνεται μια αρχική ταχύτητα υ 0, από ύψος h 3, όπως στο σχήμα. Η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς στο σημείο (Γ) είναι R 3, 6. α. Υπολογίστε τη μέγιστη ταχύτητα υ 0 ώστε το βαγονάκι να μην εκτροχιαστεί στο σημείο (Γ) β. Χρησιμοποιώντας την ταχύτητα υ 0 που υπολογίσατε στο προηγουμένο ερώτημα να προσδιορίσετε το ύψος h που είναι αναγκαίο ώστε το βαγονάκι να φθάσει ακριβώς στο (Δ). Δίνεται g 0 s Λύση α. Επειδή ασκούνται μόνο η κάθετη αντίδραση NW 0 N και το βάρος που είναι συντηρητική δύναμη μπορούμε να εφαρμόζουμε Α.Δ.Ε. Για να κάνει κυκλική τροχιά στο (Γ), πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα να είναι ίση με τη κεντρομόλο δύναμη.

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 33 Fκ B N g N υ Γ υ g N Γ F R κ R Για να είναι η υ 0 : η μέγιστη, οπότε θα είναι και η υ Γ : μέγιση πρέπει 0 υγ g υγ gr 6 R s Εφαρμόζουμε ΑΔΕ απο (Α) στο (Γ) EA EΓ ΚΑ UΑ ΚΓ UΓ υ0 gh υγ g h 3 υ0 υ Γ gh 4 υ0 4 3 s s β. Εφαρμόζουμε ΑΔΕ από (Α) στο (Δ) με υδ 0 E E Κ U Κ U A Δ Α Α Δ Δ υ 0 gh 0 gh h 3,8 Παράδειγμα 00 Ένας χιονοδρόμος μάζας 50kg ξεκινά όπως στο σχήμα από ύψος h 5, για να εκτελέσει την παράτολμη φιγούρα, που περιλαμβάνει οριακή ανακύκλωση σε καμπύλη τροχιά ακτίνας R. Να υπολογίσετε: α. το έργο της τριβής μέχρι το (Γ) β. το ποσοστό της αρχικής μηχανικής ενέργειας που έγινε θερμότητα μέχρι το σημείο (Γ) Δίνεται g 0 s

34 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Λύση á. Στο χιονοδρόμιο ασκούνται η τριβή, η κάθετη αντίδραση N και το βάρος του. Για να κάνει οριακή ανακύκλωση στο (Γ) πρέπει: F F κ κ B N υ Γ B N υ R υ Γ R N 0οριακήανακύκλωση Γ,in Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. από το (Α) στο (Γ): gr W υ Γ,in 0 W B W W T N όμως B WN 0 (κάθετη στην μετατόπιση) W B h R (γιατί είναι συντηρητική δύναμη και το έργο της είναι ανεξάρτητο της διαδρομής) gr g h R W W T 00J Η () γίνεται T β. Το ποσοστό απώλειας της αρχικής μηχανικής ενέργειας gh, λόγο της τριβής είναι: W 00 E 600 T u % % 3,8% A Παράδειγμα 0 Δοκιμαστικός σωλήνας μάζας M kg κλείνεται με φελλό μάζας 0,kg. Ο σωλήνας περιέχει λίγες σταγόνες αιθέρα και είναι ακίνητος σε οριζόντια θέση, στην άκρη κατακόρυφου αβαρούς νήματος μήκους 6c, μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα Ο, που περνά από την πάνω άκρη του νήματος. Όταν θερμάνουμε ελαφρά τον σωλήνα παράγονται ατμοί αιθέρα υπό πίεση και ο φελλός εκτοξεύεται. Πόση ελάχιστη αρχική ταχύτητα υ 0, πρέπει

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 35 να αποκτήσει ο φελλός, για να διαγράψει ο σωλήνας ολόκληρη κυκλική τροχιά γύρω από τον άξονα Ο. Δίνεται g 0 s Όταν έχουμε έκρηξη ή κρούση εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο). p p πριν μετα Λύση α. Κατά την εκτίναξη του φελλού ισχύει η Α.Δ.Ο. p p 0 υ Μυ πριν μετα 0 Α Μυ Α υ0 β. Συνθήκη ανακύκλωσης νήματος στο σημείο (Γ), εάν ( R ). F F κ κ υ Γ υγ B T R B T T 0οριακήανακύκλωση Άρα MυΓ,in Mg υγ,in g γ. Α.Δ.Ε για τον σωλήνα από (Α) στο (Γ) EA EΓ ΚΑ UΑ ΚΓ UΓ ΜυΑ 0 MυΓ,in Mg A g 4g 5g Μ Από (), (3), έχω υ0 5g 0 s

36 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Παράδειγμα 0 Ο συντελεστής τριβής μεταξύ του σώματος ( ) μάζας 3kg και της οριζόντιας επιφάνειας είναι μ 0,4. Ποια είναι η ταχύτητα της μάζας 5kg όταν έχει πέσει κατά μια κατακόρυφη απόσταση x, 5. Δίνεται g 0 (Η τροχαλία και το σχοινί θεωρούνται αβαρή) s Λύση Στο σώμα ( ) ασκείται στο βάρος του B και τάση του σκοινιού F. Στο σώμα και η τριβή ( ) ασκείται το βάρος του B, η κάθετη αντίδραση N, την τάση F' ολίσθησης T. Τα δύο σώματα επειδή συνδέονται με τεντωμένο σχοινί έχουν διανύσει την ίδια μετατόπιση x, 5, έχουν την ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση. Για το σώμα ( ): ΣFy 0 N B g ενώ T μν μg N. Από τις δυνάμεις που ενεργούν, για τα έργα τους έχουμε: WN, 0, WB, 0 (κάθετες στην μετατόπιση) WF WF' γιατί κατά μέτρο F F' και ασκούνται για την ίδια μετατόπιση x. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για το σύστημα K τελ Κ αρχ Wολ υ υ 0 WB WT x υ g x T x g T υ υ 4,5 s Παράδειγμα 03 Σώμα μάζας 0, kg βάλλεται από ύψος h 5 κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου υ0 0. Στη συνέχεια πέφτει στο έδαφος και εισχωρεί s σ αυτό κατά d 0,.

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 37 α. Αν η αντίσταση του εδάφους είναι σταθερή να υπολογιστεί το μέτρο της. β. Ποιο θα ήταν το αποτέλεσμα αν η μάζα βάλλοταν προς τα κάτω; Δίνεται g 0 s Λύση α. Στο σώμα ασκείται το βάρος, σ όλη την διαδρομή, που είναι συντηρητική δύναμη και δεν παίζει ρόλο η τροχιά παρά μόνο η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των σημείων (Α) και (Γ). Ακόμη ασκείται η δύναμη του εδάφους F, κατά την διάρκεια που το σώμα κινείται στο έδαφος. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. από (Α) στο (Γ) για το σώμα K τελ Κ αρχ Wολ υ 0 g h d F d 0 υ0 WB WF g h d υ0 F F 5N d β. Επειδή το βάρος είναι συντηρητική δύναμη δεν παίζει ρόλο η τροχιά στο έργο του. Συνεπώς δε θα άλλαζε τίποτα. Παράδειγμα 04 Μικρό σώμα μάζας 0, kg αφήνεται από ύψος h,8 και αφού συγκρουστεί με οριζόντιο έδαφος, αναπηδά σε ύψος h 0,8. Να υπολογίσετε: α. την ταχύτητα που φθάνει στο έδαφος, β. την ταχύτητα που αναπηδά, γ. την απώλεια ενέργειας λόγω της κρούσης του με το έδαφος Δίνεται g 0 s

38 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Λύση α. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. από το (Α) μέχρι το (Γ) λίγο πριν συγκρουστεί με το έδαφος: K τελ Κ αρχ Wολ υ 0 gh υ gh 6 s β. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. από το (Γ) μέχρι το (Δ): K τελ Κ αρχ Wολ 0 υ gh υ gh 4 s γ. Η απώλεια ενέργειας σε θερμότητα λόγω της σύγκρουσης με το έδαφος είναι Q υ υ J Παράδειγμα 05 Από την κορυφή τεταρτοκυκλίου ακτίνας R 0, 8, αφήνεται να ολισθήσει σώμα μάζας 0,5kg. Λόγω της τριβής με το τεταρτοκύκλιο χάνει σε θερμότητα το 36% της αρχικής του δυναμικής του ενέργειας. Την στιγμή που φθάνει στην βάση του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας M 0,5kg. Το συσσωμάτωμα κινείται σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο έχει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ 0,. Μετά από πόσο διάστημα θα σταματήσει; Δίνεται g 0 s Λύση α. Στο σώμα () ασκούνται το βάρος, η κάθετη αντίδραση Ν και η τριβή. Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ για το σώμα () από (Α) (Γ). Κ τελ Κ αρχ Wολ υ Γ 0 W B W T W N

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 39 υ Γ gr 0,36gR 0 υ Γ 0,64gR 3, (πριν την κρούση) s β. Κατά την πλαστική κρούση των δύο σωμάτων ισχύει η Α.Δ.Ο p p πριν Γ μετα υ 0 M V υ M s Γ V,6 γ. Μετά την κρούση και μέχρι να σταματήσει στο (Δ) το συσσωμάτωμα δέχεται την επίδραση του βάρους ΣF 0 N Β M g y oλ ολ ενώ T μν μ M g ολ B, της κάθετης αντίδρασης oλ Ν και της τριβής Τ, oλ Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. για το συσσωμάτωμα από (Γ) στο (Δ) Κ τελ Κ αρχ Wολ ολ ολ 0 M V WT WB WN M V μ M g S V S 0,64 μg Παράδειγμα 06 Αυτοκίνητο μάζας 800kg κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα υ 7, οπότε η ισχύς του κινητήρα του είναι P 4000Watt. Αν το αυτο- h k κίνητο θέλει να ανέβει με την ίδια σταθερή ταχύτητα ανηφόρα με γωνία κλί-

40 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις ο σης φ 30 να υπολογίσετε την νέα ισχύ που πρέπει να δώσει ο κινητήρας του. Δίνεται g 0 s Λύση K υ 7 0 h s Στον οριζόντιο δρόμο: υ σταθ ΣF 0 F F W F x P Όμως Ρ F υ F 00Ν t t υ Άρα Fαντ F 00N Στον κεκλιμένο δρόμο υ σταθ ΣFx 0 F' Fαντ Bημφ Άρα η νέα ισχύς του είναι Ρ' F' υ 84000 W αντ F' 400N Παράδειγμα 07 Αυτοκίνητο μάζας 000kg ξεκινά από την ηρεμία και επιταχύνεται ομαλά μέχρι ταχύτητα k 7 σε χρόνο t 0s, που είναι και το νόμιμο όριο στον h οριζόντιο δρόμο που βρίσκεται. Αν η αντίσταση στην κίνηση του αυτοκινήτου έχει μέτρο Fαν 500Ν, να βρεθεί η ισχύς που απαιτείται σε συνάρτηση με τον χρόνο και να γίνει η γραφική παράσταση Ρ(t). Λύση Από 0 t 0s το αυτοκίνητο κάνει κίνηση ομαλά επιταχυνόμενη με υ υ α t α t s Ο Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής: αντ αντ ΣFx F F α F α F F 500 N α

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 4 Η ισχύς του κινητήρα είναι Ρ F υ Fα t 500t (S.I) Από t 0s επειδή υ σταθ F Fαντ 500N Άρα Ρ F υ 0000 W Παράδειγμα 08 Σώμα μάζας kg που αρχικά ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύναμης F, σταθερής διεύθυνσης, της οποίας το μέτρο σε συνάρτηση με την μετατόπιση x είναι: F 8 4x F, x F, x F 3 x, 0 x 4, x 4 α. Αν για x 6 το σώμα έχει ταχύτητα υ, να υπολογιστεί ο συντελε- s στής τριβής ολίσθησης. β. Σε πόση απόσταση αποκτά την μέγιστη ταχύτητά του και ποια είναι αυτή; (Μέχρι τη στιγμή που θα σταματήσει στιγμιαία για πρώτη φορά). γ. Σε πόση απόσταση θα σταματήσει στιγμιαία για πρώτη φορά; δ. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας στη θέση όπου μηδενίζεται η δύναμη F. ε. Να υπολογίσετε στη θέση x 4 τους ρυθμούς της προσφερόμενης ενέργειας, της μεταβολής της κινητικής ενέργειας και της αύξησης της θερμικής ενέργειας λόγω τριβής. Τι παρατηρείτε; Δίνεται g 0 s Λύση Στο σώμα ασκούνται: το βάρος B, η δύναμη F, η τριβή T και η κάθετη αντίδραση N.

4 Η γραφική παράσταση της ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις F f x είναι: α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε) για το σώμα από τη θέση x 0 έως x 6. 0 W F W T ή WT WF ή 8 4 WT 4 46 4 J 44J ή Όμως WT 64J Fy 0 ή N B g 0N αλλά WT T x μ g x ή μ 0, β. Το σώμα αρχικά επιταχύνεται επειδή αποκτά τη μέγιστη ταχύτητα του. Όταν Άρα υ υax όταν x i. 0 x 4 : F 8 4x 4 ΣF 0 ή F T μg 4N ή x F F T 8 4 N 4N 0. Όταν F 0 x ΣF 0 το σώμα επιβραδύνεται. x 4 Απορρίπτεται ii. Για x 4 : F 3 x 4 ή x 4 Δεκτό Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε για το σώμα από τη θέση x 0 έως x 4 υ ax 0 W F W T ή 8 4 4 4 υ ax 4 4 4 0, 0 4 J ή υax 48 s

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 43 γ. Έστω ότι σταματά στιγμιαία για πρώτη φορά στη θέση x όπου F 3 x. Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε για το σώμα από τη θέση x 6 έως x x 0 υ WF WT ή ή 0 44 3 x x 6 μg x 6 x 8x 48 0 με λύσεις x,83 Απορρίπτεται γιατί x 6 x 6,65 Δεκτή. δ. Στη θέση x 6 όπου F 0 έχω Fx F T 4N ΔΕ Κ ΣF Joule x υ 4Ν 48 Δt s s ε. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε για το σώμα από τη θέση x 0 έως x 4 υ 0 W F W T ή Στη θέση x 4 ενώ F 4N 8 4 υ 4 0, 0 4 ή υ ΔWF ο ρυθμός της προσφερόμενης ενέργειας είναι Δt ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι: 48 s J F υ 4 48 s ΔΕΚ J ΣFx υ 4 4 48 0 48 Δt s ο ρυθμός αύξησης της θερμικής ενέργειας λόγω τριβής είναι: ΔQ ΔW T Tυ 4 48 Δt Δt s Κ F T Παρατηρώ ότι ΔΕ ΔW ΔW Δt Δt Δt

44 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Γενικά Θέματα Παράδειγμα 09 Σώμα μάζας kg βρίσκεται στο ανώτερο σημείο Α του τεταρτοκυκλίου που είναι λείο. Αν το αφήσουμε ελεύθερο, φθάνοντας στο κατώτερο σημείο του τεταρτοκυκλίου Γ, συνεχίζει την κίνησή του σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ 0,. Αν η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου είναι R να βρείτε: α. την ταχύτητα του σώματος όταν διέρχεται από το κατώτερο σημείο Γ του τεταρτοκυκλίου. β. τη μετατόπιση του σώματος πάνω στο οριζόντιο επίπεδο γ. μετατροπές ενέργειας που έχουμε κατά τη διάρκεια της κίνησης του σώματος. Λύση á. ΘΜΚΕ Α Γ : ΣWF g R υ Γ υ Γ β. ΘΜΚΕ Α Δ : ΣWF ΔΚ W B W N K Γ Κ Α W Β Κ Γ g R μ g Δx g R 0 υ Γ 0 /s ΔΚ WT WΒ KΔ ΚΑ W T W Β 0 R Δx Δx 5 μ 0, γ. WN 0 ( N πάντοτε κάθετη στη μετατόπιση), Κ Α = 0 ( υ0 0 ) Κ Δ = 0 (στο σημείο Δ το σώμα σταματάει) Τ μν ΣFy 0 Ν Β 0 Ν Β Ν g Η αρχική δυναμική ενέργεια στο σημείο Α (U A = gr) μετατρέπεται αρχικά μέσω του έ ργου του βάρους σε κ ινητική ενέργεια στο σημείο Γ: KΓ υγ. Kατόπιν μετατρέπεται σε θερμότητα (μέσω του έργου της τριβής) στη διαδρομή ΓΔ πάνω στο οριζόντιο επίπεδο.

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 45 Παράδειγμα 0 Σώμα μάζας kg αφήνεται στο σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας ο κλίσης φ 60 που βρίσκεται σε ύψος h από το οριζόντιο επίπεδο. Όταν το σώμα φθάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου συνεχίζει σε οριζόντιο επίπεδο μέχρις ότου σταματήσει. Αν το σώμα παρουσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής και στα δύο επίπεδα 3 μ = 4 να βρεθούν: α. Η ταχύτητα του σώματος στη βάση Γ του κεκλιμένου επιπέδου. β. Η μετατόπιση του σώματος πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. γ. Τις μετατροπές ενέργειας που έχουμε κατά τη διάρκεια της κίνησης. δ. Το ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας που γίνεται θερμότητα στη κίνηση πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Λύση Bx Bημφ g ημφ, Βy Βσυνφ g συνφ h h ημφ Δx Δx ημφ α. Θ.Μ.Κ.Ε. Α Γ : ΣW F = ΔΚ W W W W K Κ Bx By T N Γ Α WB W x T KΓ Β x Δx T Δx υγ h h g ημφ μ g συνφ υ Γ ημφ ημφ h συνφ υγ (g h μ g συνφ ) υγ g h μ ημφ ημφ WN 0, WB y 0 και KA 0 υγ 5 / s ΣFy 0 Ν Βy 0 Ν Βy Ν Βσυνφ Ν g συνφ

46 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις β. Στο οριζόντιο επίπεδο ισχύει: ΚΔ 0 και WΒ 0, ΣFy 0 Ν Β 0 Ν Β Ν g Θ.Μ.K.Ε. Γ Δ : ΣW F ΔΚ υγ WB WN WT KΔ Κ Γ Δx Δx 3 μ g γ. Η αρχική Δυναμική ενέργεια στο Α μέσω του έργου του βάρους μετατρέπεται σε κινητική στο Γ και μέσω του έργου της τριβής μετατρέπεται σε θερμότητα μέχρι το Γ. Μετά όλη η κινητική στο Γ θα μετατραπεί μέσο του έργου της τριβής σε θερμότητα έως το Δ. δ. Uβ g h 0J, άρα K υγ K,5J Q Uβ K 0J,5J 7,5 J, επομένως: Q U β 7,5 J 0 J 0, 75 ή 75% Παράδειγμα Σφαιρίδιο μάζας kg είναι δεμένο στο άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους L 0,8. Εκτρέπουμε το σφαιρίδιο ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και το αφήνουμε ελεύθερο. Όταν το νήμα γίνει πάλι κατακόρυφο το σφαιρίδιο συναντά σώμα 6kg που ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Αν το σφαιρίδιο μετά την κρούση επιστέφει με ταχύτητα μισή της ταχύτητας πριν την κρούση να βρεθούν: α. η ταχύτητα του σφαιριδίου με την οποία συναντά το σώμα β. την τιμή της τάσης του νήματος λίγο πριν το σφαιρίδιο συναντήσει το σώμα γ. την ταχύτητα του σώματος μετά τη συνάντηση δ. το διάστημα που θα διανύσει το σώμα έως ότου σταματήσει είναι S, να βρεθεί ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου ε. σε τι ύψος θα ξαναφθάσει το στιγμιαία;

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 47 Λύση α. Θ.Μ.Κ.Ε. : ΣWF ΔΚ W B W T K Γ K A g L υ Επειδή WT 0, KA 0 ισχύει: υ g L υ 4 / s β. ΣF υ L R υ T B L υ υ T g L T g L T 60N υ γ. Α.Δ.Ο.: Ρολ, πριν Ρολ, μετα υ υ υ 3 υ 3υ υ υ /s υ υ υ δ. Θ.Μ.Κ.Ε. Γ Δ : ΣWF ΔΚ W W W K Κ N0 B0 T Δ0 Γ υ μg S υ μ 0, g S ε. Α.Δ.Μ.Ε.: Kαρχ Uαρχ Κ τελ Uτελ Επειδή αρχ τελ U 0, K 0 υ g h h υ h 0, 8g

48 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Παράδειγμα Σώμα μάζας 4kg που ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο δέχεται δύναμη F 0N υπό γωνία φ ως προς αυτό και αφού το μετατοπίσει κατά Δx 5 παύει να ασκείται. Το σώμα συνεχίζει να κινείται και σταματάει λόγο τριβών. Αν ο συντελεστής μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ 0,, να βρεθούν: α. η ταχύτητα του σώματος όταν παύει να ασκείται η δύναμη β. η συνολική μετατόπιση του σώματος. Δίνεται: ημφ 0,8, συνφ 0,6, υ0 0 Λύση ΣFy 0 Ν Fy Β 0 Ν Β Fy Ν g Fημφ Τ μν μ g fημφ α. Θ.Μ.Κ.Ε. ΣWf ΔΚ WF WF W W W K K x y B N0 Γ Γ A0 Fσυνφ Δx μ g Fημφ Δx υ υ 3 / s β. ΣFy 0 Ν Β 0 Ν Β Ν g Τ μν μ g. Επειδή ΣWF ΔΚ W W W K Κ T N B Δ Γ μ g Δx υ υ Δx 4,5. Δx ολ Δx Δx 5 4,5 9,5 μ g

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 49 Παράδειγμα 3 Σώμα μάζας kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Δύναμη F 0N ασκείται στο σώμα υπό γωνία φ, για χρόνο t 5s και στη συνέχεια παύει να ασκείται. Το σώμα συνεχίζει να κινείται και σταματάει λόγω τριβών. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος ή επιπέδου είναι μ 0, να βρεθεί: α. η ταχύτητα του σώματος όταν παύει να ασκείται η δύναμη β. η μετατόπιση του κατά τη διάρκεια όλης της κίνησης Λύση á. ΣFy 0 Ν Fημφ Β 0 Ν Β Fημφ, Τ μν μ g Fημφ Ν g Fημφ () () ΣFx α Fσυνφ Τ α Fσυνφ μ g Fημφ α υ α t 9 /s α Δx α t,5,8/s β. ΣFy 0 N B 0 N B N g (3) ΣFx α T α μν α μ g α α μ g α υ υ0 α t t 9s t 4,5s (3) /s Δx υ 0 t αt Δx 0, 5 Δxολ Δx Δx,5 0, 5 4, 5

50 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Παράδειγμα 4 Σώμα μαζας M 5kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ 0,. Βλήμα κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα υ0 00 / s και μάζας 0,kg διαπερνά το σώμα και η ταχύτητα του γίνεται υ 0 /. Να βρεθούν: α. Η ταχύτητα του σώματος Μ μετά την έξοδο του βλήματος. β. Η μεταβολή της ορμής του σώματος Μ από τη στιγμή που ηρεμούσε μέχρι την έξοδο του βλήματος. γ. Η μέση δύναμη που δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της κρούσης αν αυτή διαρκεί Δt = 0,0 s. δ. Η θερμότητα που παράγεται κατά την κίνηση του σώματος Μ πάνω στο οριζόντιο επίπεδο, καθώς και η μετατόπιση μέχρι να σταματήσει το σώμα μάζας Μ. Λύση á. Α.Δ.Ο. υ0 υ0 pολ,πριν pολ,μετα υ0 Μ V υ0 Μ V υ0 υ0 M V V V /s Μ Δp p p Δp Μ V 0 Δp 5kg / s 5kg / s β. M μετά πριν Μ Μ Δp Δp 5kg / s F F F 500N Δt Δt 0, 0s M Μ γ. M M M δ. ΣFy 0 Ν Β 0 Ν Β Ν Μ g T μ Ν μ Μ g Από Θ.Μ.Κ.Ε.: ΣWF Επειδή WB WN K Γ 0 τότε Μ V μ M g Δx ΔΚ W B W N W T K Γ Κ Α V Δx Δx 0,5 μ g

ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις 5 Q W T Q μ Μ g Δx Q,5J Δxολ Δx Δx,5 0, 5 4, 5 Δx υ 0 t αt Δx 0, 5 Παράδειγμα 5 Στην Ολυμπιάδα του Σύδνεϋ το 000 ο αρσιβαρίστας μας Πύρρος Δήμας σήκωσε στο αρασέ μάζα 50kg σε ύψος h,8. Να βρεθούν: α. το έργο της δύναμης που έβαλε ο Πύρρος για να σηκώσει τα βάρη β. το έργο του βάρους γ. η δυναμική ενέργεια που έχουν τα βάρη στο ύψος h δ. η ισχύς του Πύρρου αν σηκώσει τα βάρη σε t 5s ε. όταν τα αφήνει ο Πύρρος από το ύψος h, να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία προσπίπτουν στο δάπεδο. Θεωρούμε ότι ο Πύρρος σηκώνει τα βάρη με σταθερή ταχύτητα και g 0 / s Λύση W F h B h g h W 50kg 0,8 W 4500J s α. F β. επειδή υ = σταθερή, ΣF 0 F B 0 F B W g h W 50kg 0 / s,8 W 4500J B B B γ. W ΔU W U U W U U 4500J B B τελ αρχ B τελ τελ WF 4500J δ. P 900W t 5s ε. Α.Δ.Μ.Ε. Kαρχ Uαρχ Κ τελ Uτελ Επειδή Kαρχ 0, Uτελ 0 U 4500J 50kg αρχ Uαρχ υ υ υ υ 6 / s

5 ΦΥΣΙΚΗ: Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας - Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις Ασκήσεις για λύση 30. Μια μάζα,5kg κινείται αρχικά με ταχύτητα υ0, πάνω σε λείο s οριζόντιο δάπεδο, όταν μια σταθερή δύναμη F 3, 5N εξασκείται στο σώμα για μετατόπιση 6 κατά τη φορά της κίνησης. Να βρείτε: α. Το έργο της δύναμης F β. Την τελική ταχύτητα του σώματος. Απ: α. J, β. 0,8 s 3. Ένα σώμα βάρους B 000N είναι ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης 0,03. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη F 50N μέχρι η ταχύτητά του να γίνει 36 k/h. Να υπολογίσετε: α. Το ολικό έργο. β. Το έργο της δύναμης F. γ. Το έργο της τριβής. Δίνεται g 0 s Απ: α. 5000J, β. 568,8 J, γ. 68,8 J 3. Σώμα μάζας 3g κινείται ευθύγραμμα ομαλά με υ0 0 σε λείο οριζό- s ντιο δάπεδο. Στο σώμα ασκείται σταθερή δύναμη F 30N για χρόνο t 5s με φορά αντίθετη της ταχύτητας. Να βρείτε: α. Το έργο της δύναμης F. β. Την ταχύτητα του σώματος στο τέλος των 5s. Απ: α. 750 J, β. 30 s