Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Δύο καοικά οκτάγωα είαι όμοια.. * Δύο καοικά πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις γωίες ίσες είαι καοικό.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες είαι καοικό. 5. * Η γωία εός καοικού -γώου και η κετρική του γωία είαι συμπληρωματικές. 6. * Η γωία εός καοικού -γώου και η κετρική του γωία είαι ίσες μεταξύ τους. 7. * Δύο κυκλικοί τομείς του ίδιου κύκλου ή ίσω κύκλω που ατιστοιχού σε ίσα τόξα, έχου ίσα εμβαδά. 8. * Το εμβαδό εός κυκλικού δίσκου είαι ατιστρόφως αάλογο της ακτίας του. 9. * Ο λόγος τω μηκώ δύο κύκλω είαι ίσος με το λόγο τω ακτίω τους. 10. * Ο λόγος τω εμβαδώ δύο κύκλω είαι ίσος με το λόγο τω ακτίω τους. 11. * Α φ φ είαι μία από τις ίσες γωίες εός καοικού -γώου, τότε o o 180 = 60. 1. * Η κετρική γωία εός καοικού -γώου δίεται από το τύπο ω = 60o. 1. * Ακτία εός καοικού πολυγώου λέγεται κάθε ακτία του εγγεγραμμέου κύκλου του. 1. * Ο περιγεγραμμέος και εγγεγραμμέος κύκλος κάθε καοικού πολυγώου είαι ομόκετροι κύκλοι. 15. * Η πλευρά εός τετραγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο, ισούται με τη ακτία του περιγεγραμμέου κύκλου. 16. * Το απόστημα εός καοικού εξαγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ισούται με τη πλευρά του εξαγώου. 17. * Το απόστημα εός ισοπλεύρου τριγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ισούται με το μισό της ακτίας του περιγεγραμμέου κύκλου. 18. * Η κετρική γωία εός καοικού πολυγώου είαι ίση με τη γωία που σχηματίζου τα αποστήματα δύο διαδοχικώ πλευρώ του. 19. * Η γωία εός καοικού πολυγώου και η κετρική του γωία είαι παραπληρωματικές. 0. * Δύο πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια. 1. * ε δύο όμοια καοικά πολύγωα, ο λόγος ομοιότητάς τους ισούται με το τετράγωο του λόγου τω ακτίω του.
. * Έα περιγεγραμμέο σε κύκλο πολύγωο με όλες τις πλευρές ίσες είαι καοικό.. * Δύο κυκλικοί τομείς του ίδιου κύκλου έχου ίσα εμβαδά.. * Ο τύπος α = R - λ συδέει τη πλευρά λ, το απόστημα α και τη ακτία R του περιγεγραμμέου κύκλου καοικού -γώου. 5. * Ο λόγος του μήκους κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του ισούται με π. 6. * Το μήκος κύκλου ακτίας 1 είαι π. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Εά το απόστημα καοικού πολυγώου, εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R, είαι R, η πλευρά του είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. R Ε. R. * Εά η πλευρά καοικού πολυγώου, εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R, είαι R, το απόστημά του είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. R Ε.R. * Εά το απόστημα καοικού πολυγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R, είαι R πλευρά του είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. R Ε. R. * Η σχέση, που συδέει τα στοιχεία α και λ (αποστήματος και πλευράς) καοικού -γώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι Α. α α + λ = R Β. α + λ = R λ + = R Γ. α λ + = R Δ. α λ 5. * Το καοικό πολύγωο, που η εξωτερική του γωία είαι ορθή, είαι Α. ισόπλευρο τρίγωο Β. τετράγωο Γ. καοικό πετάγωο Δ. καοικό εξάγωο Ε. καοικό δεκάγωο 6. * Το καοικό πολύγωο, που η εξωτερική του γωία είαι αμβλεία, είαι Α. ισόπλευρο τρίγωο Β. τετράγωο Γ. πετάγωο Δ. εξάγωο Ε. οκτάγωο + = R Ε. η 7. * Εά η κετρική γωία καοικού πολυγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R, είαι 60 ο, τότε η πλευρά του (συαρτήσει του R) είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. R Ε. R
8. * Α φ είαι μία από τις ίσες γωίες εός καοικού -γώου τότε φ ισούται με 60 60 180 180 Α. 180 + Β. 180 Γ. 60 Δ. 60 + 9. * Α Ρ η περίμετρος εός καοικού -γώου, τότε το εμβαδό του Ε είαι Ε. 60 Α. 1 λ α Β. 1 P α Γ. 1 P λ Δ. 1 P λ Ε. 1 P λ 10. * Η πλευρά λ 6 καοικού εξαγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. R 11. * Η πλευρά λ τετραγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι Ε. R Α. 1 R Β. R Γ. R Δ. R Ε. 1 R 1. * Η πλευρά λ ισοπλεύρου τριγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι Α. R Β. R Γ. R Δ. 1 R Ε. R 1. * Το καοικό πολύγωο του οποίου η πλευρά λ ισούται με τη ακτία R του περιγεγραμμέου κύκλου είαι Α. τρίγωο Β. τετράγωο Γ. Πετάγωο Δ. εξάγωο Ε. δεκάγωο 1. * Το καοικό πολύγωο του οποίου το απόστήμα α ισούται με το μισό της πλευράς λ είαι: Α. τρίγωο Β. τετράγωο Γ. πετάγωο Δ. εξάγωο Ε. δεκάγωο 15. * Το μήκος S τόξου μ μοιρώ που αήκει σε κύκλο ακτίας R είαι Α. πrμ 180 Β. πr μ 180 Γ. πrμ 60 16. * Το εμβαδό Ε κυκλικού δίσκου (0, R) είαι Δ. πrμ 180 Α. πr B. πr Γ. π R Δ. π R E. π Ε. πr μ 60 17. * Η κετρική γωία καοικού εξαγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο είαι Α. 0 Β. 5 Γ. 60 Δ. 90 Ε. 10 18. * Η κετρική γωία ισοπλεύρου τριγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο είαι Α. 0 Β. 5 Γ. 60 Δ. 90 Ε. 10 19. * Η γωία καοικού πεταγώου είαι Α. 0 Β. 5 Γ. 60 Δ. 108 Ε. 10 0. * Η γωία καοικού δεκαγώου είαι Α. 0 Β. 5 Γ. 10 Δ. 1 Ε. 150 1. * Το καοικό πολύγωο με γωία 108 είαι Α. τετράγωο Β. πετάγωο Γ. εξάγωο Δ. οκτάγωο Ε. δεκάγωο. * Το καοικό πολύγωο εγγεγραμμέο σε κύκλο ακτίας R με κετρική γωία είαι Α. εξάγωο Β. οκτάγωο Γ. δεκάγωο Δ. δωδεκάγωο Ε. 15γωο. * Το απόστημα α ισοπλεύρου τριγώου, εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι
Α. 1 R Β. R Γ. 1 R Δ. R Ε. R. * Το απόστημα α τετραγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R είαι Α. R Β. 1 R Γ. 1 R Δ. 1 R Ε. R 5. * Το εμβαδό Ε μ εός κυκλικού τομέα μ μοιρώ είαι A. πrμ 60 Β. πr μ 60 Γ. πr μ 180 Δ. πrμ 180 Ε. πrμ 60 6. * Το γραμμοσκιασμέο τμήμα του σχήματος είαι Α. ημικύκλιο Β. μηίσκος Γ. τεταρτοκύκλιο Δ. κυκλικός τομέας Ε. κυκλικό τμήμα 7. * Το μήκος κύκλου ακτίας R είαι Α. πr B. πr Γ. πr Δ. πr Ε. πr 8. * Δύο πολύγωα είαι όμοια ότα Α. έχου το ίδιο αριθμό πλευρώ Β. είαι εγγεγραμμέα στο ίδιο κύκλο Γ. είαι καοικά και έχου το ίδιο αριθμό πλευρώ Δ. είαι περιγεγραμμέα σε ομόκετρους κύκλους Ε. έχου το ίδιο αριθμό γωιώ 9. * Έα πολύγωο εγγεγραμμέο σε κύκλο Α. είαι καοικό. B. είαι όχι απαραίτητα καοικό. Γ. έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Δ. έχει όλες τις κετρικές γωίες του ίσες. Ε. έχει όλες τις γωίες του ίσες. 0. * Α έα καοικό πολύγωο είαι εγγεγραμμέο σε κύκλο (0, R) και το απόστημά του α ισούται με το R, τότε το πολύγωο είαι Α. τρίγωο Β. τετράγωο Γ. εξάγωο Δ. οκτάγωο Ε. δεκάγωο 1. * Έα πολύγωο το οποίο είαι εγγεγραμμέο και ταυτόχροα περιγεγραμ-μέο σε δύο ομόκετρους κύκλους είαι Α. ισοσκελές τρίγωο. Β. ισοσκελές τραπέζιο. Γ. τυχό τετράπλευρο. Δ. καοικό. Ε. καέα από τα παραπάω.. * ε έα καοικό πολύγωο με άρτιο (μ) πλήθος πλευρώ η κετρική του γωία ω είαι 5
Α. 6 0 Ε. καέα από τα παραπάω. Β. 60 µ + Γ. 60 μ + Δ. 180 μ. * Κάθε καοικό πολύγωο που μπορεί α χωριστεί σε διαδοχικά ισόπλευρα και ίσα τρίγωα με κοιή κορυφή το κέτρο του πολυγώου είαι Α. τετράγωο Β. πετάγωο Γ. εξάγωο Δ. δεκάγωο Ε. καέα από τα παραπάω Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. * Εά το απόστημα α καοικού πολυγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο, ακτίας R ισούται με R, η πλευρά λ ισούται με... και το πλήθος τω πλευρώ του πολυγώου είαι.. * Εά το απόστημα α καοικού πολυγώου, εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R ισούται με R, η πλευρά του λ ισούται με...και το πλήθος τω πλευρώ του πολυγώου είαι.. * Εά το απόστημα α καοικού πολυγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R ισούται με R, η πλευρά του λ ισούται με... και το πλήθος τω πλευρώ του πολυγώου είαι.. * Εά η πλευρά λ καοικού πολυγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας R ισούται με R το απόστημά του α ισούται με... και το πλήθος τω πλευρώ του πολυγώου είαι. 5. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: Καοικό πολύγωο Κετρική γωία (ω ) τρίγωο τετράγωο οκτάγωο δεκάγωο εικοσάγωο 6. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: σε μοίρες Κετρική γωία (ω ) καοικού πολυγώου σε μοίρες 6 10 15 7 7. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: : πλήθος πλευρώ καοικού πολυγώου 6 8. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: λ : πλευρά καοικού -γώου Γωία (φ ) καοικού πολυγώου σε μοίρες 6 Γωία πολυγώου (φ ) σε μοίρες Πλήθος πλευρώ () καοικού πολυγώου α : απόστημα καοικού -γώου Ε : εμβαδό καοικού -γώου Είδος καοικού πολυγώου
60 108 15 150 9. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: : πλήθος πλευρώ καοικού α : απόστημα καοικού λ : πλευρά καοικού Ε : εμβαδό καοικού πολυγώου πολυγώου πολυγώου πολυγώου = 5cm = 1cm = 6 10cm 10. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: Ακτία R κύκλου Μήκος L κύκλου Εμβαδό Ε κύκλου 0π 0πα α α 15πα 7π 11. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: Ακτία R Γωία μ μοιρώ Μήκος τόξου S Eμβαδό E κύκλου κυκλ. τομέα κυκλ. τομέα 8 16π 9 9π 5 5α 60 150 π α 1 α 5 00 1. * Να συμπληρωθεί ο πίακας: Τόξο μ μοιρώ 10 180 Ερωτήσεις ατιστοίχισης Μήκος τόξου πr πr 7
1. * Ατιστοιχίστε κάθε έα καοικό πολύγωο της στήλης (Α) με το εμβαδό του στη στήλη (Β). τήλη Α Καοικά πολύγωα εγγεγραμμέα σε κύκλο ακτίας R 1.τρίγωο.τετράγωο.εξάγωο τήλη Β Εμβαδά κα. πολυγώω συαρτήσει του R α) R β) R γ) R δ) R ε) R. * Ατιστοιχίστε κάθε πλευρά καοικού πολυγώου της στήλης (Α) με το ατίστοιχο απόστημά του, στη στήλη (Β). τήλη Α Πλευρά λ καοικού πολυγώου συαρτήσει του R 1. R. R τήλη Β Απόστημα α κα. πολυγώου συαρτήσει του R α) R β) R γ) R. R δ) R ε) R. * Ατιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με το ατίστοιχο στοιχείο της στήλης (Β). τήλη Α Κετρική γωία ω καοικού πολυγώου 1. 60 o.90 o.10 o τήλη Β Πλευρά λ καοικού πολυγώου (συαρτήσει του R) α) R β) R γ) R δ) R ε) R 8
. * Ατιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με το ατίστοιχο στοιχείο της στήλης (Β). τήλη Α Ακτία κύκλου 1.α. α τήλη Β Εμβαδό κύκλου α) πα β) πα γ) πα. α δ) πα ε) πα 5. * τη στήλη (Α) ααγράφοται το μέτρο μ μοιρώ τόξου και η ακτία του κύκλου του, R. τη στήλη (Β) ααγράφεται το μήκος του S. Ατιστοιχίστε κάθε τόξο της στήλης (Α) με το μήκος του στη στήλη (Β). τήλη Α 1. μ = 60 ο R = 1. μ = 0 ο R = τήλη Β α) S = π β) S = π γ) S = π δ) S = π.μ = 90 ο R =. μ = 10 ο R = ε) S = π 6 στ) S = π Ερωτήσεις αάπτυξης 1. ** ε κύκλο ακτίας R = cm είαι περιγεγραμμέο ισόπλευρο τρίγωο. Να υπολογίσετε: α) Τη πλευρά του. β) Το εμβαδό του.. ** Υπάρχει καοικό πολύγωο εγγεγραμμέο σε κύκλο ακτίας R του οποίου η κετρική γωία είαι 16 ; Δικαιολογήστε τη απάτησή σας.. ** Τετράγωο ΑΒΓΔ είαι εγγεγραμμέο σε κύκλο (0, R) και η ημιπερίμετρός του είαι 80 cm. Να υπολογιστού: α) Η ακτία R του κύκλου. β) Ο λόγος εμβαδό τετραγώου εμβαδό κύκλου. ** Τετράγωο ΑΒΓΔ είαι εγγεγραμμέο σε κύκλο (0, R).. 9
Γωρίζοτας (βλέπε το σχήμα της άσκησης ), ότι ΑΓ - ΑΒ = 1 cm, α υπολογιστού: α) Η ακτία του κύκλου. β) Το εμβαδό του κύκλου. 5. ** Α είαι λ +λ = 96 cm όπου λ και λ πλευρές τω εγγεγραμμέω σε κύκλο (0, R) τετραγώου και ισοπλεύρου τριγώου, α υπολογιστού: α) Η ακτία R του κύκλου. β) Τα αποστήματα α και α τω αωτέρω καοικώ πολυγώω. 6. ** Να αποδείξετε ότι τα μέσα τω πλευρώ εός καοικού εξαγώου είαι κορυφές επίσης καοικού εξαγώου. 7. ** Ο λόγος τω αποστημάτω δύο καοικώ οκταγώω είαι. Να υπολογιστού: α) Ο λόγος τω περιμέτρω τους. β) Ο λόγος τω εμβαδώ τους. 8. ** Καοικού πολυγώου, η ακτία R είαι 8 cm και το απόστημά του α είαι cm. Να υπολογιστού: α) Η πλευρά του λ. β) Η κετρική του γωία ω σε μοίρες. γ) Το πλήθος τω πλευρώ του. 9. ** Δίεται καοικό εξάγωο ΑΒΓΔΕΖ και ισόπλευρο τρίγωο ΑΓΕ. Να υπολογιστού: α) Η πλευρά ΑΓ, α γωρίζουμε ότι ΑΒ = 6 cm. β) Ο λόγος (ABΓΔΕΖ) (AΓΕ) τω εμβαδώ τους. 10. ** Δίεται κύκλος (0, R) και το εγγεγραμμέο τετράγωο ΑΒΓΔ. Προεκτείουμε τη πλευρά ΑΒ και πάω στη προέκταση παίρουμε τμήμα ΒΕ = ΒΑ. Να δείξετε ότι: α) ΑΓ = ΓΕ β) Το ευθύγραμμο τμήμα ΕΓ είαι εφαπτόμεο του κύκλου (0, R) στο σημείο Γ. γ) Να υπολογιστεί το εμβαδό του τριγώου ΑΓΕ (συαρτήσει του R). 11. ** ε κύκλο ακτίας R παίρουμε τα διαδοχικά τόξα AB o = 60, Γ B o = 90, ΓΔ = 10 o. α) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είαι ισοσκελές τραπέζιο. β) Να υπολογίσετε τις πλευρές του. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του. Δ Α Β Γ 1. ** ε κύκλο ακτίας R το ΑΒΓΔ είαι εγγεγραμμέο τετράγωο και το Α Β Γ Δ περιγεγραμμέο τετράγωο. α) Να εκφραστού οι πλευρές λ και λ τω δύο τετραγώω συαρτήσει της ακτίας R. 50
β) Να βρεθεί ο λόγος τω εμβαδώ τους E. E 1. ** Δύο ίσα καοικά εξάγωα έχου μία πλευρά κοιή μήκους λ (τα εξάγωα δε ταυτίζοται). Να υπολογίσετε τη απόσταση τω κέτρω τους συαρτήσει του λ. 1. ** ε κύκλο ακτίας R = cm εγγράφοται ισόπλευρο τρίγωο και καοικό εξάγωο. Να υπολογιστού: α) Το εμβαδό του καοικού εξαγώου ΑΒΓΔΕΖ. β) Το εμβαδό τω τριώ γραμμοσκιασμέω μερώ. 15. ** ε κύκλο ακτίας R εγγράφουμε καοικό πολύγωο, με κετρική γωία ίση με τα μιας ορθής. α) Ποιο είαι το πλήθος τω πλευρώ του καοικού αυτού πολυγώου; β) Να βρείτε το εμβαδό του πολυγώου αυτού (συαρτήσει του R). 16. ** ε κύκλο ακτίας R είαι εγγεγραμμέο καοικό εξάγωο. Να βρεθού: α) Το εμβαδό του εξαγώου (συαρτήσει του R). β) Το εμβαδό του μέρους του κύκλου που βρίσκεται έξω από το εξάγωο. 17. ** Κύκλος είαι εγγεγραμμέος σε τετράγωο πλευράς α. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδό του κύκλου (συαρτήσει του α). β) Το εμβαδό του μέρους του τετραγώου, που βρίσκεται εκτός του κύ-κλου. 18. ** έα κύκλο με ακτία R = 6 cm εγγράφουμε τετράγωο και στο τετράγωο εγγράφουμε έο κύκλο. Να υπολογιστού: α) Το εμβαδό του τετραγώου. β) Ο λόγος τω εμβαδώ τω δύο κύκλω. 19. ** Κύκλος ακτίας R διαιρείται σε δύο κυκλικά τμήματα από τη πλευρά ΑΒ ισοπλεύρου τριγώου που είαι εγγεγραμμέο σ αυτό. Να υπολογιστού: α) Το μήκος του μικρότερου τόξου ΑΒ. β) Το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΑΟΒ. 0. ** Δύο ίσοι τεμόμεοι κύκλοι (Ο, R) και (Ο, R) έχου διάκετρο ίση με R και κοιή χορδή ΑΒ. Να βρεθού: α) Το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΑΟΒ. β) Το εμβαδό του κοιού μέρους τω δύο κύκλω. 1. ** ε κύκλο ακτίας R η χορδή ΑΒ ατιστοιχεί στη πλευρά λ εγγεγραμμέου τετραγώου και χωρίζει το κύκλο σε δύο κυκλικά τμήματα. Να βρεθού: α) Το εμβαδό του μικρότερου κυκλικού τμήματος του κύκλου. β) Το εμβαδό του μεγαλύτερου κυκλικού τμήματος. 51
. ** Κύκλος με ακτία R είαι εγγεγραμ-μέος σε τετράγωο ΑΒΓΔ. Με κέτρο τη κορυφή Α του τετραγώου ΑΒΓΔ και ακτία τη διαγώιό του ΑΓ γράφουμε κύκλο. Να υπολογιστού: α) Το εμβαδό του τετραγώου ΑΒΓΔ α είαι γωστή η ακτία R. β) Ο λόγος τω εμβαδώ τω δύο κύκλω.. ** ε τετράγωο πλευράς α εγγράφουμε και περιγράφουμε δύο κύκλους. Να υπολογιστού: α) Το εμβαδό του εσωτερικού κύκλου. β) Ο λόγος τω εμβαδώ τω δύο κύκλω.. ** Να δειχθεί ότι το εμβαδό κύκλου, που έχει διάμετρο τη υποτείουσα ορθογωίου τριγώου είαι ίσο με το άθροισμα τω εμβαδώ τω δύο άλλω κύκλω, που έχου διαμέτρους τις κάθετες πλευρές του ορθογωίου τριγώου. 5. ** ε κύκλο (0, R) θεωρούμε δύο κάθετες ακτίες του ΟΑ και ΟΒ. Με διάμετρο τη ΑΒ γράφουμε εκτός του κύκλου ημικύκλιο. Να υπολογιστού: α) Το εμβαδό του τριγώου ΑΟΒ. β) Το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου μηί-σκου ΟΑΒ. 6. ** Να δείξετε ότι η διχοτόμος της γωίας ΑΒΕ εός καοικού πεταγώου ΑΒΓΔΕ είαι κάθετη στη πλευρά ΒΓ. 7. ** Να δείξετε ότι κάθε διαγώιος καοικού πεταγώου είαι παράλληλη προς μία πλευρά του. 8. ** Δίεται καοικό εξάγωο περιγεγραμμέο σε κύκλο ακτίας cm. Να υπολογίσετε: α) τη πλευρά του β) το απόστημά του γ) το εμβαδό του. 9. ** Δίεται ισόπλευρο τρίγωο ΑΒΓ πλευράς λ = 9 cm εγγεγραμμέο σε κύκλο, ακτίας R. Να υπολογιστού: α) Το μήκος του κύκλου. β) Το εμβαδό τω τριώ κυκλικώ τμημάτω που βρίσκοται έξω από το τρίγωο. 0. ** Δίεται κύκλος με διάμετρο ΑΒ = 6α. Διαιρούμε τη διάμετρο ΑΒ σε τρία ίσα τμήματα ΑΓ = ΓΔ = ΔΒ. Με διαμέτρους τις ΑΓ, ΓΔ και ΔΒ γράφουμε τρεις ίσους κύκλους. Να υπολογισθού: α) Το εμβαδό του κύκλου με διάμετρο τη ΑΒ. 5
β) Το εμβαδό καθεός τω τριώ ίσω κύκλω. γ) Το λόγο του αθροίσματος τω εμβαδώ τω τριώ ίσω κύκλω προς το εμβαδό του κύκλου (Ο,ΟΑ). δ) Το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου χωρίου που βρίσκεται έξω από τους τρεις κύκλους. 1. ** Με διάμετρο τη πλευρά ΒΓ = α ισοπλεύρου τριγώου ΑΒΓ γράφουμε ημικύκλιο που τέμει τις πλευρές του τριγώου στα σημεία Δ και Ε. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωα ΟΒΔ και ΟΕΓ είαι ισόπλευρα. β) Να υπολογιστεί το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΟΔΖΒ. γ) Να υπολογισθού τα εμβαδά τω δύο γραμμοσκιασμέω κυκλικώ τμημάτω.. ** Δείξτε ότι ο λόγος τω εμβαδώ του περιγεγραμμέου και του εγγεγραμ-μέου ισοπλεύρου τριγώου στο κύκλο (Ο, R) είαι 1.. ** Να αποδειχθεί: α) ότι τα συγκεκριμέα αποστήματα α και α 6 καοικού τριγώου και εξαγώου που είαι εγγεγραμμέα στο ίδιο κύκλο ακτίας R είαι μεταξύ τους κάθετα (βλ. διπλαό σχήμα) και β) ότι τα τρίγωα ΑΟΒ και ΟΒΔ είαι ισεμ-βαδικά.. ** Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό Ε κυκλικής στεφάης που σχηματίζεται μεταξύ τω δύο κύκλω ακτίω R και ρ (με R > ρ), ισούται (OA) με π. ρ 5. ** Καοικού εξαγώου ΑΒΓΔΕΖ οι πλευρές ΑΒ,ΓΔ τέμοται στο Ο. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώου ΟΑΔ συαρτήσει της ακτίας R του περιγεγραμμέου στο εξάγωο κύκλου. 6. ** Το εμβαδό ισόπλευρου τριγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο είαι 1 cm. Α στο ίδιο κύκλο εγγράψουμε τετράγωο, α βρεθού: α) Η πλευρά του λ β) Το απόστημα του α γ) Το εμβαδό του Ε 7. ** Μέσα σ έα χωράφι σχήματος τετραγώου κατασκευάσαμε το μεγαλύτερο κυκλικό αλώι που ήτα δυατό ακτίας 0 m. α) Ποιο ήτα το μήκος της πλευράς του τετραγωικού χωραφιού; β) Ποια είαι η αξία του χωραφιού α στη περιοχή αυτή η γη κοστίζει 10.000 δρχ./m ; γ) Πόσο είαι το εμβαδό του χωραφιού που είαι έξω από το κυκλικό αλώι; 8. ** Η διάμετρος τροχού ποδηλάτου είαι 0.50 m. Πόσες στροφές θα κάει σε μία διαδρομή 1 Km; 9. ** το εσωτερικό κυκλικού πάρκου ακτίας 6 m θέλουμε α κάουμε μια διακοσμητική πλακόστρωση σχήματος τετραγώου με το μεγαλύτερο δυατό εμβαδό. 5
α) Α τα διακοσμητικά πλακάκια έχου εμβαδό 0.09 m, πόσα θα χρειαστού για τη διακόσμηση αυτή; β) το μέρος του πάρκου που δε θα πλακοστρωθεί θέλουμε α φυτέψουμε γκαζό του οποίου το κόστος είαι.000 δρχ. αά m. Πόσο θα κοστίσει το γκαζό; 1ο χέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική εότητα: Καοικά Πολύγωα - Μέτρηση κύκλου ΘΕΜΑ 1ο Α. ε κύκλο (O, R) είαι εγγεγραμμέο τετράγωο. Να υπολογίσετε συαρτήσει της ακτίας R α) τη πλευρά του β) το απόστημά του. Β. ε κύκλο (O,R) είαι εγγεγραμμέο τετράγωο. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίακας (λ η πλευρά του, α το απόστημά του και Ε το εμβαδό του) 5
R λ α Ε 5 6 ΘΕΜΑ ο Με διάμετρο τη πλευρά ΒΓ = α ισοπλεύρου τριγώου ΑΒΓ γράφουμε ημικύκλιο προς το ίδιο μέρος του τριγώου στα σημεία Δ και Ε. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωο ΟΒΔ και ΟΕΓ είαι ισόπλευρα. β) Nα υπολογισθεί το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΟΔΖΒ. γ) Να υπολογισθού τα εμβαδά τω δύο κυκλικώ τμημάτω που βρίσκοται έξω από το τρίγωο. ο χέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική εότητα: Καοικά Πολύγωα - Μέτρηση κύκλου ΘΕΜΑ 1ο Α. ε κύκλο (O, R) είαι εγγεγραμμέο ισόπλευρο τρίγωο. Να υπολογίσετε συαρτήσει της ακτίας R. α) τη πλευρά του β) το απόστημά του Β. ε κύκλο (O,R) είαι εγγεγραμμέο ισόπλευρο τρίγωο. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίακας. (λ η πλευρά του, α το απόστημά του και Ε το εμβαδό του). ΘΕΜΑ ο R λ Ε 6 5 100 Κύκλος είαι εγγεγραμμέος σε τετράγωο πλευράς α. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδό του κύκλου (συάρτηση του α) β) Το εμβαδό του μέρους του τετραγώου, που βρίσκεται εκτός του κύκλου. 55