Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Transcript

1 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B!

2 taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ 5/6/2014 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Τί σχήμα είαι η γραφική παράσταση της συάρτησης y=αx και πώς οομάζεται ο αριθμός α; Β. Να συμπληρώσετε τα κεά στις παρακάτω προτάσεις: Κάθε σημείο Μ του επιπέδου ατιστοιχεί σε έα μοαδικό ζεύγος αριθμώ (x,y) που οομάζοται (1).. του σημείου. Ο αριθμός x λέγεται (2) του σημείου και ο αριθμός y λέγεται (3) του σημείου Μ. Η γραφική παράσταση της y=αx+β, β 0 είαι μία ευθεία (4) με τη ευθεία με εξίσωση (5). και τέμει το άξοα y y στο σημείο.. (6). ΘΕΜΑ 2 Ο A. Τι λέγεται καοικό πολύγωο; Β.i. Από ποιο τύπο δίεται η κετρική γωία ω εός καοικού -γώου; ii. Ποια σχέση συδέει τη γωία φ εός καοικού -γώου με τη κετρική του γωία ω;. Να συμπληρωθού οι παρακάτω προτάσεις με το κατάλληλο τύπο : i. Το μήκος εός κύκλου με ακτία ρ δίεται από το τύπο: L= ii. Το εμβαδό εός κυκλικού δίσκου με ακτία ρ δίεται από το τύπο : Ε= ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να λυθεί η αίσωση: 1 7( x 2) 26 2(7 2 x) x 5x 4 7 Β. Να λυθεί η αίσωση : x Να παραστήσετε τις κοιές λύσεις τω 2 παραπάω αισώσεω στη ευθεία τω πραγματικώ αριθμώ και α βρείτε τη μικρότερη κοιή ακέραια λύση και τη μεγαλύτερη κοιή ακέραια λύση.

3 taexeiola.blogspot.com ΘΕΜΑ 2 Ο Στο παρακάτω τραπέζιο, είαι 6 3cm, ΔΕ=8 3cm, Β=8cm, ˆ 150 ˆ cm 8cm 8 3cm Α. Να υπολογίσετε : 1.τo ύψος BE του τραπεζίου και 2.τη πλευρά Δ του τραπεζίου. Β. Να υπολογίσετε : 1. τo εμβαδό του τριγώου ΔΒ, 2. το εμβαδό του τραπεζίου ΑΒΔ.. Tο εμβαδό του τριγώου ΑΒΔ. ΘΕΜΑ 3 Ο Στο διπλαό σχήμα δίεται κύκλος (Ο,ρ) και ΔΒ διάμετρος του κύκλου. Α ΑΒ= 2 cm, τόξο =90º και τόξο =60º : Α. Να δείξετε ότι στο τετράπλευρο ΑΒΔ οι γωίες Α και είαι παραπληρωματικές. Β. Να υπολογίσετε : ρ 1.τις πλευρές ΑΔ, Δ και Β του τετραπλεύρου, 2.το εμβαδό του τετραπλεύρου ΑΒΔ.. Να υπολογίσετε: 1.τη ακτία ρ του κύκλου (Ο,ρ), 2. το εμβαδό του κυκλικού δίσκου (Ο,ρ). ( Δίεται 3 =1,7 ) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Να απατήσετε σε έα (1) θέμα από τη και δύο (2) θέματα από τις. Όλες οι απατήσεις σας α μεταφερθού στη κόλλα σας. Όλα τα θέματα είαι ισόβαθμα. Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΗΤΡΙΕΣ

4 taexeiola.blogspot.com ΥΜΝΑΣΙΟ ΙΣΤΙΑΙΑΣ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟΥ ΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. 1. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα και το ατίστροφο αυτού. 2. (α) Πότε μια γωία λέγεται εγγεγραμμέη σε έα κύκλο; (β) Στις παρακάτω προτάσεις α κυκλώσετε το Σ α η πρόταση είαι αληθής και το Λ α είαι λαθασμέη (i) Κάθε γωία που βαίει σε ημικύκλιο είαι ορθή...σ...λ (ii) (iii) (iv) (v) Β. 1. Να λυθεί η αίσωση: Κάθε εγγεγραμμέη γωία ισούται με το μισό της επίκετρης, που έχει ίσο αίστοιχο τόξο....σ...λ Όλες οι εγγεγραμμέες γωίες εός κύκλου είαι ίσες...σ...λ Κάθε εγγεγραμμέη γωία έχει μέτρο ίσο με το μέτρο του ατίστοιχου τόξου της....σ...λ Το τόξο του κύκλου που περιέχεται στη εγγεγραμμέη γωία λέγεται ατίστοιχο τόξο της....σ...λ 2. Δίεται τετράγωο ΑΒΔ πλευράς α=10 cm το οποίο είαι εγγεγραμμέο σε έα κύκλο κέτρου Ο και ακτίας ρ. (α) Να υπολογίσετε το ρ.

5 taexeiola.blogspot.com (β) Να αποδείξετε ότι το μήκος L του κύκλου (Ο,ρ) ισούται με (γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του μέρους που βρίσκεται μεταξύ του τετραγώου και του κύκλου. 3. Δίεται τραπέζιο ΑΒΔ (με ΑΒ//Δ), το οποίο έχει και μεγάλη βάση ΑΒ=12 cm. Α ΑΔ=4 cm, α υπολογίσετε: (i) (ii) Τη βάση Δ Το εμβαδό του τραπεζίου ΑΒΔ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΗΤΕΣ Καραικολός Ευστάθιος Πραμάτιας εώργιος ιαακάρας Πααγιώτης Ιωάου Δημήτριος

6 taexeiola.blogspot.com ΘΕΜΑΤΑ ΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΩΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Σ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Τι γωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συάρτησης y=αx ; (5,3 μοάδες) Β) Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις με τη λέξη Σωστό, α η πρόταση είαι σωστή, ή Λάθος, α η πρόταση είαι λαθασμέη. (1,5 μοάδες) α) Η ευθεία με εξίσωση έχει κλίση 2. β) Α για τη ευθεία με εξίσωση ισχύει ότι β=0, τότε αυτή διέρχεται από τη αρχή τω αξόω. γ) Οι ευθείες με εξισώσεις και είαι παράλληλες. ΘΕΜΑ 2 Ο Α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. (5,3 μοάδες) Β) Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις με τη λέξη Σωστό, α η πρόταση είαι σωστή, ή Λάθος, α η πρόταση είαι λαθασμέη. (1,5 μοάδες) a) Α σε έα ορθογώιο τρίγωο ΚΛΜ είαι, τότε ισχύει. β) Έα τρίγωο με πλευρές είαι ορθογώιο. γ) Με βάση το παρακάτω σχήμα ισχύει ότι.

7 taexeiola.blogspot.com ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Μία ευθεία διέρχεται από τη αρχή τω αξόω και το σημείο Α(2,-6). Α) Να βρείτε τη κλίση της ευθείας αυτής. (2,2 μοάδες) Β) Να γράψετε τη εξίσωση της ευθείας και α συμπληρώσετε το διπλαό πίακα τιμώ. (2,2 μοάδες) x 1-3 y 12-4 ) Να βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που τέμει το άξοα y y στο σημείο (0,4) και είαι παράλληλη στη ευθεία του ερωτήματος (Β). ΘΕΜΑ 2 Ο (2,2 μοάδες) y Οι βαθμοί του Α τριμήου στο μάθημα τω μαθηματικώ 20 μαθητώ της Β υμασίου φαίοται στο διπλαό πίακα. Α) Να φτιάξετε έα πίακα καταομής συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω. (2,2 μοάδες) Β) Να παρουσιάσετε με έα ραβδόγραμμα τη καταομή συχοτήτω. (2,2 μοάδες) ) Να βρείτε το αριθμό τω μαθητώ που έχου βαθμό: (2,2 μοάδες) α) το πολύ 17, β) τουλάχιστο 19, γ) τουλάχιστο 17 και το πολύ 19. ΘΕΜΑ 3 Ο Στο διπλαό σχήμα δίεται κύκλος με κέτρο Ο, διάμετρο ΑΒ και χορδές Α=Β=1cm. Na υπολογίσετε: Α) Τις πλευρές και τις γωίες του τριγώου ΑΒ. (3,3 μοάδες) Β) Το εμβαδό του χρωματισμέου χωρίου. (3,3 μοάδες) Να απατήσετε σε έα από τα θέματα θεωρίας και σε δύο από τα θέματα ασκήσεω.

8 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΡΑΠ ΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΩΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ Μ ΤΗΣ Β ΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΒΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΜΕΣΣΗΝΙΑΣ ΥΜΝΑΣΙΟ ΜΕΛΙΑΛΑ ΜΕΛΙΑΛΑΣ 11 / 6 /2014 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΜΑΤΑ 1 η Α. Τι γωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συάρτησης y=αx ; Β. Τι γωρίζετε για τη γραφική παράσταση τη συάρτησης y=αχ+β, 0.Τι σχέση έχου οι δύο γραφικές παραστάσεις;. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λαθασμέες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Α τα ποσά χ, y είαι αάλογα συδέοται με τη σχέση y=αχ, a 0. β) Η ευθεία y=4x+2014 είαι παράλληλη με τη ευθεία y=2014x. γ) Στη ευθεία y=αχ, το α οομάζεται κλίση της ευθείας και ισούται με τη εφαπτομέη της γωίας ω που σχηματίζει η ευθεία με το άξοα χ χ. 2 η Α. Να διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα καθώς και το ατίστροφο του πυθαγόρειου θεωρήματος. Β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λαθασμέες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) ια κάθε οξεία γωία ω ισχύει: 0<ημω< β) γ) Υπάρχει οξεία γωία ω για τη οποία ισχύει: συω>1. δ) ΑΣΚΗΣΗ 1 η taexeiola.blogspot.com x 3 x x x 1 9x 14 Δίοται οι αισώσεις : x και Α. Να λύσετε τις παραπάω αισώσεις. Β. Να παραστήσετε τις λύσεις τους στο άξοα χ χ τω πραγματικώ αριθμώ και α βρείτε τις κοιές λύσεις τους.. Να οομάσετε α τη μεγαλύτερη κοιή ακέραια λύση τω αισώσεω και β τη μικρότερη κοιή ακέραια λύση, τις οποίες και α βρείτε.

9 taexeiola.blogspot.com ΑΣΚΗΣΗ 2 η Στο διπλαό τραπέζιο ΑΒΔ (ΑΔ//Β) φαίεται η κάτοψη μιάς αυλής. Οι πλευρές ΑΒ=Δ=5m. Το ΒΕΖ είαι τετράγωο με εμβαδό 16 m 2. Α. Να βρείτε τη μικρή βάση Β και το ύψος ΒΖ του τραπεζίου. Β. Να βρεθεί το μήκος της μεγάλης βάσης ΑΔ του τραπεζίου ΑΒΔ.. Πόσο θα μας στοιχίσει ο καλλωπισμός της αυλής, εά στα ημικύκλια τοποθετηθεί κυβόλιθος που στοιχίζει euro / m και στη υπόλοιπη αυλή τοποθετήσουμε γκαζό που στοιχίζει 5 euro / m. Δίεται ότι π=3,14. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Α. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης : Β. Στο διπλαό σχήμα δίεται ότι ΑΒ=8cm. Α, όπου =4 η τιμή του Α ερωτήματος, α 5 υπολογίσετε το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου χώρου.δίεται ότι π=3,14. Από τα δύο θέματα θεωρίας α απατήσετε ΜΟΝΟ στο έα και από τα τρία θέματα τω ασκήσεω α απατήσετε ΜΟΝΟ στα δύο. Η απάτηση στο θέμα της θεωρίας και η κάθε μία από τις λύσεις τω ασκήσεω ή προβλημάτω βαθμολογούται ισότιμα. Χρόος δυατής αποχώρησης : 30 λεπτά από τη έαρξη τω εξετάσεω ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΚΑΙ ΚΑΛΕΣ ΒΟΥΤΙΕΣ!!! Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΗΤΗΣ ΡΕΡΕΣ ΕΩΡΙΟΣ ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ

10 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις ρητώ με εκθέτη ακέραιο. i. ii. iii. 0 α =.. α =.. μ α α =.. iv. μ α : α =.. v. ( α β ) =.. vi. ( α ) μ =.. a. Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα; b. Με ποια συάρτηση εκφράζοται τα αάλογα ποσά και ποια είαι τα χαρακτηριστικά γωρίσματα της γραφικής παράστασης αυτής της συάρτησης; Να λύσετε τη εξίσωση: ( ) 3x 5 2 x 1 x + 7 = Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( o Α = 90 ) με ΑΒ = 12cm και Β = 13cm α υπολογίσετε τα: ημβ, συβ, εφβ, ημ, συ και εφ. 40 Δ Σε κύκλο ( Ο, ρ) παίρουμε τα σημεία Α, Β,, Δ έτσι Α ώστε α είαι: o ΑΒ = 90, o Β = 150 και o ΑΔ = 40. Ο Να υπολογίσετε τις γωίες ΑΔΒ, ΒΔ και ΑΒ Β

11 115 A. Πως υπολογίζεται το γιόμεο πολλώ παραγότω διαφόρω του μηδεός και πως η διαίρεση δύο ρητώ αριθμώ; B. Να συμπληρωθού οι ισότητες: α α μ =... με μ > (α β) =... α β =... A. Σε κύκλο (Ο, ρ) με τι ισούται: a. Το μήκος τόξου μ ; b. Το μήκος τόξου α rad ; c. Το εμβαδό κυκλικού τομέα γωίας μ ; d. Το εμβαδό Ε του κύκλου; e. Το μήκος του κύκλου; B. Σε κύκλο (Ο, ρ): a. Να σχεδιάσετε και α δώσετε το ορισμό μιας εγγεγραμμέης και μιας επίκετρης γωίας b. Ποια σχέση συδέει το μέτρο της εγγεγραμμέης με το μέτρο ατίστοιχης της επίκετρης; Α είαι: μ ( α ) =... α =... με α 0 α 0 =... Α = ( 3) ( 2) 2 ( ) + 6 ( 2) και Β = 2 [ 3 ( 3) 4 ( 3) 2 ] + 2,5( 2) 2 α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α 2Β. 8 χ 2 (χ 1) χ + 6 χ Nα λυθεί η εξίσωση: + = Στο κύκλο (Ο, ρ) του σχήματος είαι εγγεγραμμέο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με κάθετες πλευρές ΑΒ = 6cm και Α = 8cm. Να υπολογίσετε: A 6cm 8cm i. Το μήκος και το εμβαδό του ημικυκλίου (Ο, ρ) B O ii. Το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου μέρους του σχήματος

12 116 a. Τι οομάζουμε ημίτοο και τι συημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; b. Πώς μεταβάλλοται οι τριγωομετρικοί αριθμοί οξειώ γωιώ; c. Μπορεί το ημίτοο μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου α ισούται με τη εφαπτομέη της ίδιας γωίας; (Δικαιολόγηση) a. Συμπληρώστε τις ισότητες: α κ :β κ =..., και κ λ :κ μ =... b. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίστροφοι και τι πρόσημο έχου; c. ια α έχει έας αριθμός ατίστροφο τι πρέπει α ισχύει; a. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω 2 4(χ+4) χ 2(4x 5) και 2 1 χ χ + 2 < χ 6 Να δείξετε τις λύσεις αυτές στο άξοα τω ρητώ αριθμώ: Να υπολογίσετε από το διπλαό σχήμα τις πλευρές ΚΛ και ΛΜ του τριγώου ΚΛΜ και α εξετάσετε α είαι ορθογώιο το ΚΛΜ α είαι ΚΜ=13cm, KN = 12cm και ΛΝ =16cm και η γωία KNM= 90 0 Να υπολογίσετε τις γωίες x, y, ω και ρ του διπλαού σχήματος. Δικαιολογήστε τους υπολογισμούς σας.

13 117 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ, (A= 90 0 ) a. Να δώσετε τους ορισμούς ημβ, συ, εφβ. b. Μεταξύ ποιω αριθμώ βρίσκεται το ημβ και το συβ. c. Να δικαιολογήσετε τη απάτηση σας. Το τρίγωο ΑΒ είαι ορθογώιο (Α = 90 0 ). a. Να γράψετε το τύπο που συδέει τα μήκη τω πλευρώ ΑΒ, Α, Β του τριγώου αυτού b. Με ποιο όομα είαι γωστό το θεώρημα που εκφράζει αυτός ο τύπος. c. Να διατυπώσετε το θεώρημα με λόγια. Να υπολογίσετε τη περίμετρο μιας κυκλικής πλατείας, α είαι γωστό ότι το εμβαδό της είαι 200,96m 2. Nα λυθεί η εξίσωση: χ 2 3χ χ 5 χ + = Να υπολογίσετε τη τιμή παράστασης: Α= 2 2 [( 1) 2 8 ( 1) 3 ] 2 [2 ( 3)+( 12):( 4)]+(-3) 0

14 118 α. Τι οομάζουμε εγγεγραμμέη γωία σε κύκλο (Ο,R); β. Τι οομάζουμε επίκετρη γωία σε κύκλο (Ο,ρ); γ. Τι οομάζουμε καοικό πολύγωο; Σ έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ (Â = 90 ), δώσετε τους ορισμούς του ημιτόου, συημιτόου και εφαπτομέης οξείας γωίας. Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης εφαρμόζοτας τη προτεραιότητα τω πράξεω: 1 Α= ( 3)² + ( 1) ( 8+3) [(2³ 4) 2]+( ) 1 2 Να λυθεί η αίσωση και α παραστήσετε τις λύσεις της σε άξοα: 2 + χ 3 χ +1 2 < χ + χ Σ έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ (Â=90 ) η μία κάθετη πλευρά ΑΒ έχει μήκος 8 cm και η υποτείουσα Β έχει μήκος 10 cm. Με διάμετρο τη κάθετη πλευρά Α του τριγώου κατασκευάζουμε ημικύκλιο στο ε- ξωτερικό του τριγώου. Να υπολογιστεί το μήκος του ημικυκλίου και το εμβαδό της γραμμοσκιασμέης επιφάειας. A B

15 119 C. Ποιοι αριθμοί οομάζοται ατίθετοι; D. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίστροφοι; Το μηδέ έχει ατίστροφο; (Αιτιολόγηση) E. Πως υπολογίζουμε το γιόμεο πολλώ παραγότω; A. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) α δώσετε τους ορισμούς τω ημβ, συβ, εφβ. C. Ποιες τιμές παίρου το ημίτοο και το συημίτοο της οξείας γωίας Β. D. Α ω < 50 α συγκρίετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς: i. ημω και ημ50 ii. συω και συ50 iii. εφω και εφ50 Να υπολογίσετε η τιμή της παράστασης Α = ( 2) 8 : ( 2) 2 [ ( 1) 3 5 ( 2 + 4) 2 ] 5 0. Nα λυθεί η εξίσωση: χ (χ 1) χ = Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 )με ΑΒ = 4cm, Β = 8cm και Β = 60. ράφουμε κύκλο (Β, ΒΑ). Να υπολογίσετε το εμβαδό του σκιασμέου μέρους. (δίεται 48 7)

16 120 a. Τι οομάζεται επίκετρη και τι εγγεγραμμέη γωία ; ( Σε κάθε περίπτωση α γίει και σχήμα ) b. Ποια σχέση συδέει μια επίκετρη και μια εγγεγραμμέη γωία, που ατιστοιχού στο ίδιο τόξο ; c. Δυο τόξα μ ο πότε είαι ίσα ; a. Δίεται το τρίγωο ΑΒ ( A = 90 ). Να ορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β. b. Πως μεταβάλλοται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη μιας οξείας γωίας ; c. Να εξηγήσετε γιατί το ημίτοο μιας οξείας γωίας είαι αριθμός μικρότερος της μοάδας. Δίοται οι παραστάσεις : 3 Α = 2 + [ 7 ( 1) 10 2 ] : ( 3 ) και Β = 3 2 a. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α b. Ομοίως τη τιμή της παράστασης Β c. Να δείξετε ότι Α. Β = ( 1) 5 + ( 10) Δίοται: η εξίσωση 5( 2 χ 5 ) = 6( 3 χ + 4 ) και η αίσωση a. Να λύσετε τη εξίσωση b. Ομοίως τη αίσωση c. Να εξετάσετε α η λύση της εξίσωσης είαι λύση της αίσωσης Στο διπλαό σχήμα το ορθογώιο ΑΒΔ με διαστάσεις ΑΒ = 6cm και Β = 8cm είαι εγγεγραμμέο σε κύκλο ( 0, Ρ ) a. Να βρεθεί η διάμετρος Α του κύκλου και b. Το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου μέρος του σχήματος 0 2χ 1 3χ 3 > 3 A 4 B

17 121 a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα που ισχύει σ έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( A= 90 ) (σχήμα λόγια - σχέση) b. Δίεται έας θετικός αριθμός α. Να γράψετε το καόα της τετραγωικής του ρίζας και α συμπληρώσετε τις ισότητες : 0 =..., ( ) 2 α =. a. Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α= ˆ 90 ο ) και α δώσετε τους ορισμούς του ημιτόου, του συημιτόου και της εφαπτομέης της οξείας γωίας. b. Ότα αυξάεται μια οξεία γωία, πώς μεταβάλλεται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη της γωίας αυτής ; (μόο καόες) Δίοται οι παραστάσεις: Α = ( ) 3 : ( 2 ) και Β = ( 1) : 2 ( 3) ( 6) Να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές τω παραστάσεω Α και Β και α εξετάσετε α είαι ατίστροφοι αριθμοί.- Να λυθεί η παρακάτω αίσωση και α βρεθεί ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός που τη επαληθεύει : 3 3( 2) ( χ + ) χ χ χ Σ έα κύκλο( Ο, ρ) παίρουμε τα διαδοχικά τόξα ΑΒ = χ + 10 Β = χ + 30, Δ = 3χ 50 και ΔΑ = 70. a. Να υπολογίσετε πόσες μοίρες είαι τα τόξα ΑΒ, Β, Δ b. Να υπολογίσετε τις γωίες Α, Β,, Δ του τετραπλεύρου ΑΒΔ. c. Τι σχέση έχου οι χορδές ΑΒ και ΑΔ και γιατί ;

18 122 A. Τι οομάζεται -οστή δύαμη ρητού αριθμού α με εκθέτη φυσικό αριθμό >1. Να συμπληρώσετε τα κεά στις παρακάτω ισότητες: μ α α = α = β μ ( α ) = α = α :α μ = ο α = 1 α = α β = Β. Να χαρακτηρίσετε σα σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ότι: a. Το άθροισμα δύο αρητικώ αριθμώ είαι θετικός αριθμός. b. Το πηλίκο εός αρητικού και εός θετικού αριθμού είαι αρητικός αριθμός. c. Το γιόμεο δύο αρητικώ αριθμώ είαι αρητικός αριθμός. A. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. (Να γίει σχήμα και α γραφεί η σχέση). B. Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. C. Ποιες από τις παρακάτω τριάδες αριθμώ είαι δυατό α αποτελού πλευρές ορθογωίου τριγώου: 12, 13, 5 3, 4, 6 6, 10, 8 8, 5, 12 9, 11, 4 χ +1 2χ +3 χ +5 a. Να λυθεί η αίσωση: b. Να παραστήσετε τις λύσεις στο άξοα τω πραγματικώ αριθμώ: Στο διπλαό σχήμα α βρείτε το μήκος του κύκλου και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( A= 90 ).Να δικαιολογήσετε τις παρακάτω σχέσεις a. ημβ = συ b. ημ 2 Β+ημ 2 =1 c. εφ = ημ συ.

19 123 Να συμπληρωθού οι παρακάτω ισότητες a. b. α μ α =... α β =... c. ( α ) μ =... d. e. f. 0 α =... α =... α μ α =... Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ) a. α δώσετε το ορισμό του ημβ και συβ της εφβ b. α συμπληρωθού οι αισώσεις... <ημβ<...,...<συβ<... A B Στο διπλαό σχήμα είαι ΑΒ = 6, ΑΔ = 8 και Β = 80 και Δ =100. Να δείξετε ότι a. το τρίγωο ΑΒΔ είαι ορθογώιο στη κορυφή Α b. Να βρείτε τη ακτία του κύκλου α c. Να βρείτε το εμβαδό και το μήκος του κύκλου A 80 B 6cm Ο 8cm Δ 100 Να λυθεί η εξίσωση 2χ +1 χ 1 χ +2 = Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: 3 ( 2 ):16 + ( 1) ( 5) 2 + ( 3 ) :( 7) = ( ) 5 5 2

20 124 A. Σε κάθε έοια της Στήλης Α α ατιστοιχίσετε το σωστό μαθηματικό συμβολισμό από τη Στήλη Β, έτσι ώστε α περιγράφου τη ίδια έοια. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Περιγραφή της έοιας στη φυσική γλώσσα Συμβολισμός της έοιας στη μαθηματική γλώσσα a. Απόλυτη τιμή του χ 1. χ b. Ατίθετος του χ 2. χ 1 c. Ατίστροφος του χ 3. χ d. -οστή δύαμη του χ 4. χ 5. χ Όπου χ είαι ρητός με χ 0 1 και θετικός ακέραιος. 6. χ α β γ δ ια κάθε μια από τις παρακάτω σχέσεις Β και, α γράψετε στο τετράδιό σας α είαι Σωστή (Σ) ή Λαθεμέη (Λ). α β + γ =αβ + γ B. ( ) C. αβγ ( ) = αβ αγ A. Να διατυπώσετε στο τετράδιό σας το πυθαγόρειο θεώρημα και α κάετε το αάλογο σχήμα. B. Τετραγωική ρίζα εός. αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός που ότα υψωθεί στο.. δίει το αριθμό α. ( ) Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ Α=90 με υποτείουσα Β = 5m και τη κάθετη πλευρά ΑΒ = 3m. a. Να αποδείξετε το μήκος της άλλης κάθετης πλευράς Α = 4m. b. Να βρείτε τα ημβ, συβ, εφβ. c. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης εφβεφ+1= 2 Α A= α αποδείξετε ότι Α=2. B = α αποδείξετε ότι Β= 1. Α ( ) ( ) Β Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης ( 2004) ( 2 ) 4 2 ( 1) 2004 Δίεται η παράσταση Α= 3(2χ) 2(χ+3)+1 a. Να αποδείξετε ότι Α= 4χ 5 χ 10 χ b. Να λύσετε τη εξίσωση A =. 2 3 c. Να επαληθεύσετε τη λύση που θα βρείτε. ο = +. Α

21 125 A. Σε κάθε παράσταση της Στήλης Α α ατιστοιχίσετε ακριβώς μια παράσταση της Στήλης Β έτσι ώστε α προκύψει ισότητα. ΣΤΗΛΗ Α a. ( α+β ) 2 b. ( α β) ( α+β) c. ( ) 3 α β d. α ( β + γ) α + β β α 2 2 ΣΤΗΛΗ Β 2 2 α + 2αβ +β α β 5. αβ + αγ 6. α 3α β + 3αβ β 7. αβ + γ ( α β) ( α + αβ + β ) α b c d B. Να αποδείξετε ότι ( ) α β = α 2αβ + β. a. Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τυχαίω τριγώω. b. Α δύο ορθογώια τρίγωα έχου τις δύο ατίστοιχες οξείες γωίες ίσες, τότε είαι οπωσδήποτε ίσα. Να λυθεί το σύστημα Σωστό χ + 2ψ = 7 2χ ψ = 4 Λάθος Δίετε η εξίσωση 2 3χ 1 2 2χ + χ 1 = 2 χ 1 χ χ χ a. Να βγάλετε περιορισμούς για τη εξίσωση. b. Να μετασχηματίσετε τη εξίσωση στη μορφή 2 χ 4χ + 3 = 0. c. Να λυθεί η αρχική εξίσωση. Στο διπλαό ισοσκελές τρίγωο ΑΒ(ΑΒ = Α) είαι ΒΔ = Ε. a. Να συγκρίετε τα τρίγωα ΑΒΔ και ΑΕ b. Να δείξετε ότι και το ΑΔΕ είαι ισοσκελές.

22 126 α) Πως ορίζεται η δύαμη ρητού με εκθέτη φυσικό α ; β) Να ααφέρετε τις ιδιότητες τω δυάμεω. γ) Πως ορίζεται η δύαμη α 0 και πως η δύαμη α - ; α) Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα; β) Ποια είαι η γραφική παράσταση της συάρτησης y = αx; γ) Ποια είαι η γραφική παράσταση της συάρτησης y = αx + β και τι σχέση έχει με τη γραφική παράσταση της y = αx; α) Να λυθεί η αίσωση: 3χ 3 > 2(1 χ). β) Να λυθεί η αίσωση: χ 2 1 χ γ) Να βρεθού οι κοιές λύσεις τω παραπάω αισώσεω. Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) είαι ΑΒ = 6cm και Β = 10cm. Να υπολογιστού: α) το συβ και το ημ, 8cm β) η πλευρά Α, και Α 6cm γ) η εφβ και η εφ. Δίεται κύκλος με περίμετρο 31,4cm. Να υπολογιστού: α) η ακτία και η διάμετρος του κύκλου. β) το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. γ) το μήκος εός τόξου 60 ο του ίδιου κύκλου.

23 127 a. Πότε δυο αριθμοί λέγοται ατίθετοι και πότε ατίστροφοι; Να γράψετε έα παράδειγμα σε κάθε περίπτωση b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες που ααφέροται στους ορισμούς και στις ιδιότητες τω δυάμεω. Δίεται α 0. α 0 =.., α 1 =., α =., α α κ =, α :α κ =.., (α ) κ = a. Πότε έα πολύγωο λέγεται καοικό και με τι ισούται η κετρική του γωία ω; b. Να γράψετε τους τύπους που δίου το εμβαδό και το μήκος εός κύκλου. Α είαι: Α= ( ) [( 6 + 3) ( 8 +1)] και Β = ( 2) 2 +( 2) (+ 4) ( 1) ( 3) ( + 2) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης 6Α + Β Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω i. 2 (χ + 3) 10 < 1+3 (5 χ) ii. 2χ χ χ+ 2 > Δίεται ορθογώιο και ισοσκελές τρίγωο ΑΒ(Α = 90 ) με ΑΒ = Α = 5cm. ράφουμε το κύκλο (Β, ΒΑ) που τέμει τη Β στο σημείο Δ.. Να υπολογίσετε i. Τη υποτείουσα Β. ii. Το μήκος του τόξου ΑΔ iii. Τη περίμετρο του καμπυλόγραμμου τριγώου ΑΔ. iv. Το εμβαδό του καμπυλόγραμμου τριγώου ΑΔ.

24 a. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α =., 1 α =., α α =.., β =, ( 1) 2001 =.., ( 1) 2004 =. b. Να γράψετε τις ιδιότητες τω δυάμεω με βάση τους ρητούς α, β και εκθέτες τους φυσικούς αριθμούς, μ >1. a. Ποια γωία λέγεται εγγεγραμμέη και ποια η σχέση της με τη ατίστοιχη επίκετρη γωία; b. Τι οομάζουμε κετρική γωία εός καοικού πολυγώου, και με τι ισούται; c. ράψτε τους τύπους που δίου: i. το μήκος του κύκλου με ακτία ρ, ii. το εμβαδό του κυκλικού δίσκου με ακτία ρ. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: 2 1 Α= 4 2 :( 2) 4 5 [3 ( 1)] ( 2) 3 2 Να λυθεί η εξίσωση: χ 2 3χ χ+ 4 = Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με (Â= 90 ) και πλευρές ΑΒ = 6cm, Β =10cm α βρείτε : a. τη πλευρά Α 10cm b. τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β A B 6cm

25 129 a. Ποιοι αριθμοί λέγοται ατίθετοι και ποιοι ατίστροφοι;(παράδειγμα). b. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο ρητούς αριθμούς; c. Να συμπληρωθού οι ιδιότητες τω δυάμεω ρητώ με εκθέτη ακέραιο: α μ α =, μ α :α =.., ( α β =, α =., α β ) 0 α =.., a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη ; =.. α β =. b. Ποια γωία οομάζεται εγγεγραμμέη και ποια η σχέση της με τη ατίστοιχη επίκετρη; c. Να γράψετε τους τύπους για το μήκος κύκλου και το εμβαδό κυκλικού δίσκου. a. Να υπολογιστού οι παραστάσεις Α = ( ) χ 4 5χ α x = 4 και Β = ( ) ( ) :2 b. Να υπολογιστεί το Να λυθεί η εξίσωση: Α +Β. 3χ 2 χ 1 χ 2 = Να βρεθού οι τριγωομετρικοί αριθμοί της A γωίας του ορθογωίου τριγώου ΑΒ καθώς και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου και Ο 13cm το μήκος του κύκλου που έχει διάμετρο το τμήμα ΑΒ. B 12cm Δίοται Β =12cm και Α = 13cm.

26 130 α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. β) α δώσετε το ορισμό της τετραγωικής ρίζας εός θετικού αριθμού α. α) Πότε μια γωία οομάζεται επίκετρη, πότε εγγεγραμμέη; β) Πια σχέση συδέει τη εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχή της επίκετρη; Να λυθεί η εξίσωση: χ + 1 χ 2 = Να βρεθεί το εμβαδό εός κύκλου α γωρίζουμε ότι το μήκος του είαι 12,56 crm Δίεται π = 3,14. Να υπολογισθού οι εγγεγραμμέες γωίες ω, φ του παρακάτω σχήματος: Α φ Δ 50 Ε Ο ω Β

27 131 A. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. B. Να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ. A. Να δώσετε το ορισμό τω ημω, συω, εφω, όπου ω είαι μια οξεία γωία ορθογωίου τριγώου. B. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Ότα αυξάεται μια γωία ω, το ημίτοό της. Ότα αυξάεται μια γωία ω, το συημίτοό της. Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 χ 2 χ 3 6 = Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α = ( ) x+ 1 x x 1 x 2 ( 2) , όπου χ = 1 Στο διπλαό σχήμα οι κάθετες πλευρές ΑΒ και Α είαι ΑΒ = 6cm και Α = 8cm. Να βρεθεί το εμβαδό του σκιασμέου ημικυκλίου.

28 132 a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη και ποια εγγεγραμμέη;: b. Ποια σχέση συδέει τη εγγεγραμμέη με τη επίκετρο στο ίδιο τόξο; c. Τι λέγεται καοικό πολύγωο; a. Να συμπληρωθού οι ισότητες: α μ α μ = ( α ) =... α =... β b. Ποιοι αριθμοί λέγοται ατίθετοι και ποιοι ατίστροφοι; Να βρεθού οι κοιές λύσεις τω αισοτήτω: 3χ 1 2χ 6 χ και 3χ χ Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης: Α= 8 [ ( 2) 3 ]+3( 6+ 3) 2 + [( 2) 4 :2] Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ο ) με Α = 12cm και Β = 13cm. Να υπολογίσετε: a. Τη πλευρά ΑΒ, b. Το συβ c. Τη εφ

29 133 a. Να διατυπώσετε τη πρόταση που λέγεται Πυθαγόρειο Θεώρημα. b. Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Πότε μια γωία λέγεται επίκετρη. Πότε μια γωία λέγεται εγγεγραμμέη. Ποια η σχέση μεταξύ εγγεγραμμέης γωίας και της ατίστοιχης επίκετρης γωίας. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης : Α = ( 5) 2 + ( ) :8 3 + ( 1) 4 4 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α ˆ = 90 ) του διπλαού σχήματος είαι Β = 13cm και ΑΒ = 5cm. Να υπολογίσετε : a. Το μήκος της πλευράς Α. b. Τους τριγωομετρικούς αριθμούς ημβ, συβ και εφ. a. Να λύσετε τη παρακάτω αίσωση 5χ + 8 χ 2 3χ b. Να παραστήσετε τις λύσεις της στο άξοα τω πραγματικώ.

30 134 Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το ατίστροφο του. (Να κάετε σχήμα και α γράψετε τη σχέση) a. Πότε μια γωία λέγεται εγγεγραμμέη και πότε επίκετρη. b. Ποια η σχέση μεταξύ εγγεγραμμέης γωίας και της ατίστοιχης επίκετρης γωίας. Να λύσετε τη αίσωση: ( ) 3 χ + 1 2χ 1 χ 4 3 Να υπολογίσετε τη αριθμητική τιμή της παράστασης: Α = 3 [2 ( 1)] 4 ( 4) 2 [4 3 2 :( 3)] 0 Δ Να υπολογίσετε τις γωίες χ, ψ του χ ψ ω Ε Β διπλαού σχήματος α γωρίζετε ότι: Ο ΑΒ = 120 και Δ = 60 Α

31 135 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) Να ορίσετε τα ημω, συω, εφω. Α ω Β πότε μια γωία λέγεται: a. Εγγεγραμμέη σε κύκλο; b. Επίκετρη; c. Ποια σχέση υπάρχει μεταξύ εγγεγραμμέης και επίκετρης γωίας που βαίου στο ίδιο τόξο 2χ 4 3χ 1 χ 5 Να λυθεί η εξίσωση: = Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού δακτυλίου που φαίεται στο διπλαό σχήμα. 4cm Ο 3cm Σε έα σύστημα αξόω χοψ α σημειώσετε τα σημεία: Α(2, 3), Β(3, 2), ( 1, 3), Δ( 2, 4) Ε(5, 5)

32 136 a. Να γράψετε το πυθαγόρειο θεώρημα, δίοτας και έα παράδειγμα. b. Σε έα ορθογώιο τρίγωο, με τι ισούται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη μιας οξείας γωίας του; a. Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα; b. Να ατιγράψετε και συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα τιμώ της συάρτησης με τύπο ψ = 3χ: χ ψ 6 Στο διπλαό σχήμα, είαι γωστό ότι ΑΒ = 6cm, Β =10cm και Α = 8cm. a. Να αποδείξετε ότι το τρίγωο είαι ορθογώιο. b. Να υπολογίσετε τη ακτία του κύκλου. c. Να βρείτε το εμβαδό του κύκλου. (Δίεται ότι π = 3,14) a. Να λύσετε τη αίσωση χ χ +6. b. Να λύσετε τη αίσωση 2(3χ 14)+3<χ 3(χ 5). c. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω δύο παραπάω αισώσεω. 2χ 1 3χ 2 χ χ+ 10 a. Να λύσετε τη εξίσωση = b. Να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα που βρήκατε.

33 137 a. Να δώσετε τους ορισμούς του ημίτοου, συημίτοου και εφαπτομέης μιας οξείας γωίας ω εός ορθογωίου τριγώου. b. Να δικαιολογήσετε γιατί το ημίτοο και το συημίτοο μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου, είαι αριθμοί μικρότεροι της μοάδας. a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη και ποια εγγεγραμμέη; b. Ότα μια επίκετρη και μια εγγεγραμμέη βαίου στο ίδιο τόξο, ποια σχέση συδέει τη επίκετρη, τη εγγεγραμμέη και το ατίστοιχο τόξο; Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α = 8:( 2) 3 + ( 3) ( 1) ( 2) [ 5 2 ( 1) 10 Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 χ 4 5χ = Στο διπλαό σχήμα, το τρίγωο ΑΒ είαι ισοσκελές. Η περίμετρός του είαι 36 cm και η βάση του Β = 10 cm. Να υπολογιστού: a. Τα ίσα σκέλη ΑΒ και Α b. Το ύψος ΑΔ και c. Το εμβαδό του τριγώου ΑΒ.

34 138 A. Δώστε τους τύπους τω ιδιοτήτω : a. Προσεταιριστική πολ/σμού. =.. b. Ατιμεταθετική πρόσθεσης. =.. c. Επιμεριστική πολ/σμού ως προς αφαίρεση. =.. B. Συμπληρώστε τα κεά στις ισότητες : a. α + 0 = b. α - =. C. Να βρεθού οι ατίστροφοι τω : a. 0,5 1 b. 1 2 c. 3 c. α μ α = d. α α 0, α 0 = A. Δώστε το ορισμό και το τύπο του ημίτοου οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου B. Χαρακτηρίστε ως σωστές ή λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις: a. εφ30 0 > εφ40 0 b. ημ20 0 < ημ30 0 c. Υπάρχει οξεία γωία ω ώστε συω = 2 C. Διατάξτε τους παρακάτω τριγωομετρικούς αριθμούς αρχίζοτας από το μικρότερο : συ20 0,συ5 0,συ35 0,συ10 0,συ15 0. Δίεται η παράσταση: Α = 2 3 (3 2 20: ) (25: ) ( 1) 3 15: 5 a. Να γίου οι πράξεις στη παράσταση. b. Να λυθεί η αίσωση της παράστασης. χ 1 2χ 10 1 Α Α 1 όπου Α η αριθμητική τιμή Δίεται κύκλος με κέτρο Ο και πάω του παίρω σημεία Α,Β, ώστε τα τόξα ΑΒ = 2χ , Β= 4χ +40 0,Α= 3χ a. Να υπολογίσετε τα τόξα ΑΒ, Β, Α. b. Να βρείτε τις γωίες τω τριγώω ΑΒ και ΑΟΒ. Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ (Â = 90 0 ) με υποτείουσα 10 cm στο οποίο ισχύει ημβ = 4 5 a. Να υπολογιστεί η περίμετρος και το εμβαδό του τριγώου ΑΒ. b. Να υπολογιστού οι τριγωομετρικοί αριθμοί συβ και εφ.

35 139 A. Α ω είαι μια οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, α συμπληρώσετε τις ισότητες ημω =.., συω =.., εφω =. Β. Στο διπλαό ορθογώιο τρίγωο α υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς ημβ, συβ και εφβ.. Να συμπληρώσετε τις προτάσεις: Β 5cm 4cm Α 3cm ι) Ότα μία οξεία γωία αυξάεται τότε το ημίτοό της.. ιι) Ότα μία οξεία γωία αυξάεται τότε το συημίτοό της ιιι) Ότα μία οξεία γωία αυξάεται τότε η εφαπτομέη της. Α. Να συμπληρώσετε τους ορισμούς: ι) Αάλογα ποσά λέγοται. ιι) Ατιστρόφως αάλογα ποσά λέγοται.. Β. ια κάθε έα από τους πίακες που ακολουθού α συμπληρώσετε με τη σωστή φράση α) αάλογα ποσά, β) ατιστρόφως αάλογα, γ) τίποτα ι ) ιι) χ 3 5 7,5 ψ χ ψ Να υπολογίσετε τη αριθμητική τιμή της παράστασης. Α = ( 2) [(3 2 4):5 11] Να λύσετε τη εξίσωση: χ 1 χ = χ Α στο διπλαό σχήμα η Β είαι διάμετρος του κύκλου και είαι ι) Τη γωία Α ΑΒ = 6 cm και Α = 8 cm, α υπολογίσετε ιι) Το εμβαδά του τριγώου ΑΒ ιι) Το εμβαδό της γραμμοσκιασμέης επιφάειας.

36 140 a. Να γράψετε τη πρόταση που λέγεται Πυθαγόρειο θεώρημα b. Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με = 90 0 και α γράψετε γι αυτό τη ισότητα που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα. c. Το τρίγωο με πλευρές α = 3,5cm, β = 3cm, γ = 4,5cm είαι ορθογώιο; ( Να δικαιολογήσετε τη απάτησή σας ) a. Ποια γωία λέγεται εγγεγραμμέη σε κύκλο ; b. Τι λέμε επίκετρη γωία ; c. Ποια είαι η σχέση μεταξύ επίκετρης και εγγεγραμμέης γωίας που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο ; Να λυθεί η εξίσωση : 2χ 4 χ 2 5= 3χ 3 2 Έας κύλιδρος έχει ακτία ρ= 5 cm και ύψος υ = 12 cm. Να βρεθεί το εμβαδό της ολικής επιφάειας και ο όγκος του. Στο διπλαό σχήμα είαι η γωία ΑΒ = 30 ο και το ΑΒ =3cm Α το σημείο Ν είαι το κέτρο του κύκλου, α υπολογιστού: a. οι γωίες ΒΑ και ΑΒ b. Τα μήκη τω πλευρώ Β και Α του τριγώου. (Δίοται ημ30 ο = 0,5 συ30 ο =0,9 εφ30 ο = 0,6)

37 141 Να γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ρητώ αριθμώ. a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη, ποια εγγεγραμμέη και ποια σχέση συδέει τη επίκετρη με τη εγγεγραμμέη που έχει το ίδιο ατίστοιχο τόξο; b. Να γράψετε τους τύπους του μήκους κύκλου, του μήκους τόξου, του εμβαδού κυκλικού δίσκου και του εμβαδού κυκλικού τομέα.(το τόξο είαι σε μοίρες) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α= [ 3 5 ( 3) ] + ( 2) ( 7) ( 6) :( 3) Να λύσετε τη εξίσωση: χ 3 χ 2 χ = Στο διπλαό σχήμα, α υπολογίσετε τους B τριγωομετρικούς αριθμούς τω οξειώ γωιώ Β, του ορθογωίου τριγώου ΑΒ( Α = 90 ). 5m A 13m

38 142 α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες δυάμεω ρητώ αριθμώ: α κ α λ = α κ :α λ = (α β) κ = α β κ = κ ( α ) λ =. β) Πότε η δύαμη α με εκθέτη φυσικό αριθμό, είαι θετικός αριθμός και πότε αρητικός; α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. β) Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο και α γράψετε γι αυτό τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα γ) Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Να λύσετε τη παρακάτω εξίσωση: χ + χ 7 3 (χ 2) = 2χ Στο διπλαό σχήμα είαι: ΒΑ = ΑΔ = 90, ΒΑ = 30, ΑΔ = 60 και Α = 5cm. Α είαι γωστό ότι ημ30 = συ60 = 0,5 Β 30 5cm Α 60 Δ και εφ60 = 1, 732 α υπολογίσετε τα τμήματα Β, ΑΔ και Β. 30 Α 110 Ο β Β Στο διπλαό σχήμα α υπολογίσετε τις γωίες α, β, γ και τα τόξα Β, ΒΔ γ Δ α

39 143 a. Πως απαλείφουμε μια παρέθεση, ότα έχει μπροστά της το μείο; b. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο ετερόσημους αριθμούς; c. Πότε δύο αριθμοί είαι ατίστροφοι; a. Διατυπώστε το Πυθαγόρειο θεώρημα μαζί με σχήμα και τύπο. b. Με τι ισούται η τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α; Να λυθεί η εξίσωση: χ + 2 χ 3 = 5 7 Να βρεθού οι κοιές λύσεις τω αισώσεω: 2χ + 3 > 5 και 3 (χ 1) + 5 < 2. Δίεται ο παρακάτω πίακας τιμώ δύο ποσώ: χ 1 1,3 2,4 3,7 ψ 3 3,9 7,2 11,1 a. Να αποδείξετε ότι τα ποσά είαι αάλογα b. Να εκφράσετε το ψ ως συάρτηση του χ.

40 144 a. Πότε οι αριθμοί α και β λέγοται ατίστροφοι; (α δώσετε έα παράδειγμα). b. Το μηδέ έχει ατίστροφο; (Αιτιολόγηση). μ c. Να συμπληρωθού οι ισότητες: ( )... β α = =... α 0 α = a. Τι οομάζουμε συημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; ( Να δοθεί ορισμός και α γίει σχήμα). b. Να συμπληρωθού οι προτάσεις::. < ημω <.., < συω <.., «Ότα αυξάεται μια οξεία γωία εός ορθογωίου τριγώου, τότε το συημίτοό της». 5 c. Υπάρχει οξεία γωία ˆω σε ορθογώιο τρίγωο, ώστε: ημω = ; 2 (Αιτιολόγηση). Να λυθεί η εξίσωση: 2χ 1 7χ + 6 3χ 2 5χ 4 = Να υπολογισθεί το μήκος κύκλου του οποίου το εμβαδό ( του κυκλικού δίσκου) είαι 113,04 m². Δίεται το ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( ˆΑ =90 ο ), με ΑΒ=8 cm και Β=15 cm. Να υπολογίσετε: 15 cm a. Το μήκος της πλευράς Α. b. Οι τριγωομετρικοί αριθμοί της γωίας Β. Α 8 cm Β

41 145 a. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 )α διατυπώστε το Θεώρημα του Πυθαγόρα. b. Τι οομάζεται τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α; Σε κύκλο (Ο, ρ) a. Ποια γωία οομάζεται εγγεγραμμέη και ποια επίκετρη; b. Ποια σχέση συδέει τη επίκετρη με τη εγγεγραμμέη γωία που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; c. ράψτε τους τύπους που εκφράζου το μήκος εός τόξου και το εμβαδό εός κυκλικού τομέα Να λυθού οι εξισώσεις a. 3 (2χ + 4) = 6χ b. 3(χ + 1) 2χ 1 χ = 4 3 Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α = ( 3) ( 4) 3 : 8 + [ 1 ( 1) 3 ] 2 A Να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδό του κύκλου του B O διπλαού σχήματος α είαι, ΑΒ = 6cm και Β = 8cm.

42 146 a. Να γραφού οι τύποι υπολογισμού τω τριγωομετρικώ αριθμώ μιας γωίας. b. Πως μεταβάλλοται οι τριγωομετρικοί αριθμοί μιας γωίας ότα η γωία αυξάεται; d. Να γραφεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. e. Να γραφεί το ατίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Να εξεταστεί α έχου τη ίδια τιμή οι παραστάσεις Α και Β. A = 5 ( ): (+ 1 4 ) + (2 1 3 ) ( 3 2 ) Β = ( ) Να βρεθού οι ακέραιοι αριθμοί που είαι κοιές λύσεις τω παρακάτω αισώσεω: 6(2χ 4) 14(2χ 26) (3χ + 5) 1 4χ > 2 6 Στο διπλαό σχήμα 5χ a. Να εξετάσετε τι τρίγωο είαι το ΑΒ και α υπολογισθεί το εμβαδό του. b. Να υπολογισθεί η ακτία του κύκλου και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. c. Να υπολογισθεί το γραμμοσκιασμέο εμβαδό. Δίεται ΑΒ = 4cm Α = 6cm

43 147 A. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. B. Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο, α το οομάσετε και α γράψετε τη σχέση που προκύπτει από τη εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος σ' αυτό. C. Να δώσετε το ορισμό της τετραγωικής ρίζας εός θετικού αριθμού. A. Τι οομάζεται ημίτοο, τι συημίτοο και τι εφαπτομέη μιας οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου; A. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είαι σωστές και ποιες λαθασμέες; ημ30 3 = συ = εφ45 =1 2 ημ45 = 2 2 συ30 = 1 2 εφ60 = 3 Να λυθεί η εξίσωση: 7 χ + 3(χ 1) 6 = 2χ 1 5 Να υπολογίσετε τη τιμή της παρακάτω αριθμητικής παράστασης: Α = ( 2) ( 1) ( 3) Στο διπλαό σχήμα είαι: Το ΙΕ ημικύκλιο κέτρου Δ και ακτίας ΔΕ, το ΘΚΖ είαι τεταρτοκύκλιο με κέτρο Η και ακτία ΗΘ = 2ΔΕ.και το ΙΘ = 12cm, ΔΕ = 3cm και ότι το π = 3,14. Να υπολογίσετε το εμβαδό του σκιασμέου μέρους του σχήματος αυτού:

44 148 α) Ποιοι αριθμοί οομάζοται ατίθετοι; Τι μας δίει το άθροισμά τους; Ποιος είαι ο ατίθετος του χ; β) Ποιοι αριθμοί οομάζοται ατίστροφοι; Ποιος είαι ο ατίστροφος του χ ; Το μηδέ έχει ατίστροφο; (Αιτιολόγηση) γ) Συμπληρώστε το ορισμό της δύαμης με βάση το ρητό αριθμό α 0 και εκθέτη ι) Το μηδέ α = ιι) Το έα α 1 = ιιι)το ακέραιο α = α) Τι οομάζεται επίκετρη γωία και τι εγγεγραμμέη. β) Συμπληρώστε τις προτάσεις. Η εγγεγραμμέη γωία σε μοίρες είαι της επίκετρης γωίας που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο. Η εγγεγραμμέη γωία σε μοίρες είαι ίση με του ατίστοιχου τόξου της. γ) Να υπολογίσετε το μήκος s εός τόξου μετρημέου σε μοίρες μ 0. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω. α) 3χ + 22 > 5χ +2 β) χ 2 2 > χ Α Α = (2 2 ) 3 Β = ( 2) ( 1) 2 = :2 16 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α 2(Β ) Στο διπλαό σχήμα α αποδείξετε ότι α) ρ 2 = 8, όπου ρ ακτία του κύκλου β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του κύκλου Δίεται ΑΒ = 4 O 90 B

45 149 ια το διπλαό ορθογώιο τρίγωο. Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για Β. Να συμπληρωθού τα κεά και α χαρακτηρισθού οι προτάσεις ως Σωστές ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ). γ 2 = β 2 = α 2 = ΑΒ 2 = Α 2 = Β 2 = ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ι) Α 2 = Β 2 + ΒΑ 2 ( ) ιι) ΑΒ 2 = Α 2 + Β 2 ( ) ιιι) Α 2 = ΑΒ 2 Β 2 ( ) ι) Β 2 = ΑΒ 2 +Α 2 ( ) ) Β 2 = ΑΒ 2 Α 2 ( ) Α. Να δοθού οι παρακάτω ορισμοί: ι) Ημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. ιι) Συημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. ιιι) Εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. Β. Με τη βοήθεια του σχήματος α συμπληρωθού τα κεά και α χαρακτηρισθού οι προτάσεις ως Σωστές ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ). ημ = = ΑΒ Β, εφβ = β... = Α ΑΒ, συ = β... = ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ι) ημ = β α, ι) ημβ = β α, ιι) συβ = γ α β Α γ α β β A Β γ α α B ) συ = Α Β, ιιι) εφβ = β γ, ι) εφ = γ Α Α γ Β Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΔ με μεγάλη βάση ΑΒ=30cm, μικρή βάση Δ=12cm και ίσες πλευρές ΑΔ=Β=15cm. Να υπολογιστεί το εμβαδό του τραπεζίου. Το 1 6 τω ποδοσφαιριστώ μιας ομάδας είαι επιθετικοί, τα 3 8 είαι παίκτες κέτρου, το 1 3 είαι αμυτικοί, εώ υπάρχου και 3 τερματοφύλακες. Να βρεθεί πόσους παίκτες έχει συολικά η ομάδα. Α Στο διπλαό ημικύκλιο είαι ΑΒ=6cm και ΟΒ = Β 2 = 5cm. ι) Να υπολογιστεί η γωία Α του τριγώου ΑΒ. 80 ιι) Να υπολογιστού οι γωίες Β και του τριγώου ΑΒ. 6cm ιιι) Να υπολογιστεί το εμβαδό του ημικυκλίου. 5cm ι) Να υπολογιστεί το μήκος Α. Β Ο ) Να υπολογιστεί το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου τμήματος. ι) Να υπολογιστεί το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΟΑ.

46 150 a. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίθετοι και πότε ατίστροφοι. b. Να γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης. c. Να γράψετε τους ορισμούς τω δυάμεω. a. Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα. b. Τι γωρίζεται για τη γραφική παράσταση της ψ = αχ + β ότα ο χ είαι πραγματικός αριθμός. c. Να γράψετε τις ιδιότητες τω ατιστρόφως ααλόγω ποσώ Να λύσετε τη αίσωση: 2χ + 1 5χ 1 4(3χ 1) 3 5χ χ Σε έα ισοσκελές τρίγωο είαι ΑΒ = Α = 10cm και Β = 12cm. a. Να κάετε σχήμα και α υπολογίσετε το ύψος ΑΔ. b. Να υπολογίσετε το ημβ, το συβ, και τη εφβ. Στο διπλαό σχήμα είαι η γωία ΑΟΒ = και η ακτία ρ = ΟΑ = ΟΒ = 4cm. π ω= 2 a. Να υπολογίσετε σε μ τη γωία ω. b. Να υπολογίσετε το τόξο ΑΒ c. Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού τομέα. d. Να υπολογίσετε το εμβαδό του σκιασμέου κυκλικού τμήματος.

47 151 a. Να σχεδιάσετε και α δώσετε τους ορισμούς και τη σχέση που συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρή της, σε κύκλο (Ο,ρ). b. Να ατιστοιχίσετε τα στοιχεία της πρώτης στήλης με τις σχέσεις της δεύτερης Στήλη Α 1. Εμβαδό κυκλικού δίσκου 2. Μήκος τόξου 3. Μήκος κύκλου 4. Εμβαδό κυκλικού τομέα Στήλη Β a. = πδ b. ω = 360 v c. Ε = πρ 2 d. S = πρμ 180 e. Ε = 2 πρ μ 360 a. Διατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ζωγραφίστε ορθογώιο τρίγωο ΔΕΖ ( Δ = 1 ) και γράψτε τις ισότητες του Πυθαγορείου Θεωρήματος. b. Δώστε το ορισμό της τετραγωικής ρίζας εός θετικού αριθμού α. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω και α τις παραστήσετε στο άξοα τω πραγματικώ αριθμώ 3χ + 1 χ 1 9χ και 2(χ +1) 3 (χ 4) >χ Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης A = ( 1) ( 2) ( 3) [ ( 2) 5 : 4] ( 3) + [ 2 + ( 3) 2 ]:( 7) Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ A = 90 o του διπλαού σχήματος δίοται: ( ) = 30 ο, ΒΔ = 135 ο και ΑΔ = 5cm. Να υπολογίσετε : a. Τις γωίες ω, φ και θ b. Τις πλευρές ΑΒ, Α και Β

48 152 a. Α ω μια οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, α γράψετε το τύπο που μας δίει τη εφαπτομέη της γωίας ω b. Στο διπλαό ορθογώιο τρίγωο ΑΒ, α βρείτε με τι ισούται το ημίτοο της γωίας Β. c. Είαι δυατό, α ω οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, το συω = 3 2. A B (Δικαιολογήστε τη απάτηση σας) Δίεται κύκλος κέτρου Ο και ακτίας ρ. a. Να γράψετε έα τύπο για τη εύρεση του μήκους του κύκλου. b. Ποια η σχέση εγγεγραμμέης και επίκετρης γωίας που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; c. Α το ατίστοιχο τόξο εγγεγραμμέης γωίας είαι 80 ο, πόσω μοιρώ είαι η εγγεγραμμέη; Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= ( 2) 2 + ( 2) 2 ( 2) 2, Β = 3 [7 5 (2 6)] και α βάλετε αάμεσα στις παραστάσεις Α, Β το κατάλληλο σύμβολο (<, >, =) 1 3χ 2χ 1 Να λυθεί η εξίσωση: + 2 = χ 2 5 Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( ˆΑ = 90 ο ) με ΑΒ = 6cm και Β=10 cm. Με διάμετρο τη Β σχεδιάζουμε ημικύκλιο. Να βρεθού : a. Η πλευρά Α και το εμβαδό του τριγώου ΑΒ. b. Πόσο μεγαλύτερο είαι το εμβαδό του ημικυκλίου από το εμβαδό του τριγώου.

49 153 ί) Να συμπληρώσετε τις προτάσεις : Α α <0 και άρτιος η δύαμη α είαι...αριθμός. Α α <0. και περιττός η δύαμη α είαι...αριθμός. α και περιττός η υαμη α ειαι αρι μος. ίί) Να συμπληρώσετε τις ισότητες : α μ α =... α μ :α =... (α β) =... μ ( ) α =... α =... ι) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. ίί) Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ) και α γράψετε τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωο αυτό. Να λυθεί η εξίσωση χ χ 4 = 2χ + 1 Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ) με Α = I,5cm και B = 2,5cm Να υπολογίσετε : ί) τη πλευρά ΑΒ ίί) τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β. Στο διπλαό σχήμα είαι ΑΒ = 78 και Β =140. Να υπολογίσετε τις γωίες χ, ψ, Β και Δ. 78 Α Β 140 Ο χ ψ Δ

50 154 c. Να γράψετε τις ιδιότητες τω δυάμεω (πέτε). d. Να υπολογισθού οι δυάμεις: 2 2 5, ( 1)3, ( 4) 3, (6,75) 0, d. Αάλογα ποσά (Ορισμός Ιδιότητες) e. Ατιστρόφως αάλογα ποσά (Ορισμός Ιδιότητες) Να βρεθεί η υποτείουσα ορθογωίου τριγώου ΑΒ με κάθετες πλευρές β = 9dm και γ = 1200mm. Να λυθεί και επαληθευθεί η εξίσωση: 2χ (χ 1) 5 = Να βρείτε τις τιμές τω παραστάσεω: a. ( ) [ 69 + ( ) ] ( ). b. [ ( 5) 4 ( 2) ( 8) ]:[ ( 0,6) ( 0,5) + 7 ( 0,9) ].

51 155 Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις ρητώ με εκθέτη ακέραιο. 1) 0 α = 2) - α = 3) 4) μ α α = μ α :α = 5) ( ) 6) ( α ) μ α β = = a. Πότε δύο ποσά λέγοται ατιστρόφως αάλογα; b. Με ποια συάρτηση εκφράζοται τα ατιστρόφως αάλογα ποσά και ποια είαι τα χαρακτηριστικά γωρίσματα της γραφικής παράστασης αυτής της συάρτησης; Να λύσετε τη αίσωση και α παραστήσετε τη λύση στο άξοα. ( ) 2 x 1 5x + 6 x Α σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) είαι ΑΒ = 8cm και Β = 10cm α υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς τω οξειώ γωιώ Β και. Στο διπλαό σχήμα α υπολογί- B 56 σετε τις εγγεγραμμέες γωίες ΑΒΔ, ΑΒ, ΑΒ, ΑΔ Ο Δ Α

52 156 a. Πότε μια γωία λέγεται εγγεγραμμέη; b. Ποια η σχέση μοιρώ μιας εγγεγραμμέης γωίας και του ατίστοιχου τόξου της; c. Δυο τόξα μ πότε είαι ίσα; a. Σε ορθογώιο τρίγωο τι οομάζουμε συημίτοο και τι εφαπτομέη οξείας γωίας; b. Πώς μεταβάλλοται οι τριγωομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωίας, ότα αυξάεται η γωία; c. Α σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) είαι εφ = 1 ποιο είαι το συμπέρασμα για το τρίγωο; (Δικαιολογήστε τη απάτηση σας ) Να βρείτε τις τιμές τω παραστάσεω Α και Β και α τις συγκρίετε A = 64:( 2) :3 4 [ 8 + ( 1) 7 ] Β = Να βρείτε τις λύσεις της αίσωσης και α τις δείξετε στο άξοα τω ρητώ αριθμώ ( ) χ 2 3 χ 1 1 χ < Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ) είαι Β = 13cm και ΑΒ = 12cm. Να υπολογίσετε a. το μήκος της πλευράς Α b. τα ημβ, συ και εφβ (Να γίει σχήμα)

53 157 Σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ), α δώσετε τους ορισμούς: a. του ημιτόου οξείας γωίας b. του συημιτόου οξείας γωίας c. της εφαπτομέης οξείας γωίας Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα που ισχύει σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Α = 90 ). (διατύπωση σχήμα τύπος) Να υπολογιστεί η παράσταση: ( ) + ( 2) [( 2) 2 (4 5)] Να λυθεί η εξίσωση: x 2 2x x 4 = Στο διπλαό σχήμα το τρίγωο ΑΒΕ είαι Α εγγεγραμμέο σε κύκλο με κέτρο Ο. Α είαι ΑΒ = 3 και ΑΕ = 4, α υπολογίσετε: a. τη διάμετρο του κύκλου Β Ο Ε b. το μήκος του κύκλου

54 158 a. Με τι ισούται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. b. Πως μεταβάλλεται το καθέα ότα ελαττώεται η γωία. c. Μπορεί α είαι το ημω = 2; ιατί; a. Τι λέγεται επίκετρη και τι εγγεγραμμέη σε κύκλο γωία; b. Ποια η σχέση εγγεγραμμέης και επίκετρης γωίας σε κύκλο με το ατίστοιχο τόξο της; c. Πότε έα πολύγωο λέγεται καοικό; Είαι ο ρόμβος και το τετράγωο καοικά πολύγωα και γιατί; Να λυθεί η εξίσωση: 3(χ 2) 1 χ + 4 χ = Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: ( ).( 2) + 3.( 2) + [15 : ( 3) + 7].( 6) [( 3) ] : ( 3). 3 Δίεται ισοσκελές τρίγωο ΑΒ (ΑΒ = Α) με περίμετρο 36cm και βάση Β = 10cm. Να υπολογισθεί το ύψος ΑΔ και το εμβαδό του τριγώου.

55 Θέμα 1 o 159 a. Τι οομάζουμε δύαμη α με βάση το ρητό α και εκθέτη φυσικό >1; b. Να συμπληρωθού οι ισότητες: α 0 =, α - =, αμ α=, α μ :α =, (α μ ) = όπου α ρητός αριθμός διάφορος του μηδεός και μ, ακέραιοι. Θέμα 2 a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη και ποια εγγεγραμμέη; b. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη και μια επίκετρη γωία που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; c. Ποιο πολύγωο οομάζεται καοικό; Να λυθεί η εξίσωση: 2x 1 6x 2 5x 4 = Έας παρατηρητής βλέπει μέσα από τη βάρκα έα υψηλό σημείο της ακτής και η γωία ύψους είαι Β =28 0. Α το σημείο έχει ύψος 15m, a. πόσο μακριά είαι η βάρκα από τη ακτή; b. Πόσο απέχει η βάρκα από το σημείο ; Β 28 A 15m (ημ28º = 0,469, συ28º = 0,883, εφ28º = 0,532) Στο διπλαό σχήμα δίεται το ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( A = 90 ) με πλευρές Α = 4cm και Β = 5cm. 4cm 5cm Με κέτρο το Α και ακτία ΑΒ γράφουμε τεταρτοκύκλιο. Να υπολογίσετε το εμβαδό ολόκληρου του σχήματος. A B B

56 160 Θέμα 1 o a. Να συμπληρώσετε τους 4 ορισμούς τω Δυάμεω: α =..., 1 α =..., 0 α =, b. Να συμπληρώσετε τις 6 ιδιότητες τω Δυάμεω: α =... κ λ..., ( αβ) κ α α = =..., κ α λ =..., α α β κ κ =..., ( α ) λ =..., α β κ =... c. ράψτε πιο απλά τις 4 παρακάτω παραστάσεις: 7 α α =..., α α α α=... Θέμα 2 o 8 α =... α a. Ποιοι είαι και πως ορίζοται οι Τριγωομετρικοί Αριθμοί μιας οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου; b. Στο διπλαό σχήμα είαι Α = 90. Να συμπληρώσετε α, 9 =... α Ε τους παρακάτω τριγωομετρικούς αριθμούς: ημβ =... συ =..., εφδ =..., σφε =..., Α Β Δ Να λυθεί η εξίσωση: 5χ 1 4χ 2 3χ +8 + = Στο διπλαό σχήμα είαι: Α = 90, ΑΒ = 12cm, B ΒΔ = 20 cm και Β = 37 cm. Με τη βοήθεια τω 2 ορθογώιω τριγώω του σχήματος και με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, α υπολογίσετε: α) τη ΑΔ, β) τη Α, γ) τη Δ. Να υπολογίσετε τις έξι παρακάτω παραστάσεις: cm 20cm A =..., =..., ( ) =..., ( 2 2)(+3 9)(1 3) =..., 16 =..., 25 = Δ 37cm

57 161 a. Τι οομάζουμε δύαμη με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό >1 ; b. Να συμπληρωθού οι ισότητες : α μ α =., ( ) μ α =..., α β =..., α 0 =..., α =.. (όπου α 0, β 0 ) c. Πότε μια δύαμη με βάση ρητό αριθμό είαι θετικός αριθμός ; a. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) α ορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας. b. Πώς μεταβάλλοται το συημίτοο και η εφαπτομέη μιας οξείας γωίας ότα αυξάεται η γωία ; c. Α σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) είαι εφβ = 1,τι συμπεραίετε για τις κάθετες πλευρές του τριγώου ; Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : ( 10 12) 3 :3 ( 5 4 ) 2 ( 1) + = Να βρεθού οι κοιές ακέραιες λύσεις τω αισώσεω : χ + 4 χ 4 3χ και 10 ( χ+2) 4 ( 2χ+3) < 5 ( χ+4) Δίεται κύκλος (Κ, ρ) με μήκος = 62,8cm. 2 Β Α είαι ΚΑ ΚΒ, α βρεθεί το εμβαδό του σκιασμέου μέρους.. Κ Α

58 162 a. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίθετοι και πότε ατίστροφοι; (Να γράψετε στη κάθε περίπτωση και από έα παράδειγμα) b. Το μηδέ έχει ατίστροφο; (Να δικαιολογήσετε τη απάτησή σας) c. Τι συμπεραίετε για τα πρόσημα δυο αριθμώ, ότα έχου άθροισμα αρητικό; (Να δικαιολογήσετε τη απάτησή σας) a. Πως ορίζεται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη μιας οξείας γωίας ω ορθογωίου τριγώου ΑΒ ( Α = 90 ); (Να γίει σχήμα.) b. Ότα αυξάεται η οξεία γωία ω, πώς μεταβάλλοται οι τριγωομετρικοί της αριθμοί; c. Ποιες από τις σχέσεις ημω = 8 9, συω = 7, εφω = 2 είαι σωστές και γιατί; 3 Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Κ=2Α-3Β, ότα: Α= ( 1) 6 ( 2) 3 + ( 1 ) 2 και Β = 2 3 (5 3) 4 + (6 + 4) 3 :( 5) 2 3 Να λυθεί η αίσωση: 3x x 2 5 3( x 2) 10 + x 4 2 Στο διπλαό σχήμα δίεται το τρίγωο ΑΒ, εγγε- Α γραμμέο σε κύκλο (Ο, ρ) με πλευρές ΑΒ = 16cm και Β =12cm. Να βρεθεί το εμβαδό της γραμ- Β Ο μοσκιασμέης επιφάειας του σχήματος.

59 163 α. Πώς πολλαπλασιάζουμε δυο ακέραιους αριθμούς διαφορετικούς του μηδεός; (δυο καόες) β. Να γράψετε με μεταβλητές τις παρακάτω ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: Προσεταιριστική - επιμεριστική (ως προς τη αφαίρεση) Ατιμεταθετική. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Â = 90 ο ): α. Να δώσετε τους ορισμούς του ημιτόου, του συημιτόου και της εφαπτομέης της οξείας γωίας. β. Ποιες τιμές μπορού α πάρου το ημίτοο και το συημίτοο της γωίας ; γ. Πώς μεταβάλλεται το συημίτοο και πώς η εφαπτομέη της γωίας ότα αυτή αυξάεται; Στο διπλαό σχήμα είαι ΚΑ Α, ΑΚ = 60, ΑΚ = 3cm και Κ = 6cm. Να βρείτε το εμβαδό του σκιασμέου μέρους του σχήματος. (Δίοται : 27 5,2 και 3 1,7) Α χ = ( 1 ) : ( 3) ψ = + 1 : και ( ) α αποδείξετε ότι οι αριθμοί χ και ψ είαι ατίστροφοι. Να βρεθού οι κοιές ακέραιες λύσεις τω αισώσεω : 7 2( χ 1) 3( 2χ 5) + 8 και ( ) 3 2χ 1 χ+4 χ 2 <

60 164 α. Τι λέμε -οστή δύαμη εός αριθμού α; β. Ορισμοί και ιδιότητες τω δυάμεω. Κατασκευάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ α. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα και τη σχέση που το εκφράζει β. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα για κάθετη πλευρά και τις δύο σχέσεις που το εκφράζου. γ. ράψετε το ατίστροφο για το πυθαγόρειο θεώρημα Να υπολογιστεί η τιμή της αριθμητικής παράστασης: Α = ( 2) ( 5) 3 : 25 + [3 ( 3) 2 2] Να λυθεί η εξίσωση : 5x 16 6 x = x Από μια ορθογώια λαμαρία με πλευρές α = 10cm και β = 30cm κόβουμε έα κυκλικό δίσκο διαμέτρου 20mm. Να βρεθού: α. Οι περίμετροι του ορθογωίου και του κυκλικού δίσκου. β. Το εμβαδό της λαμαρίας που απομέει.

61 165 a. Να συμπληρωθού οι παρακάτω ισότητες: α =..., β α κ =..., α κ α α =..., α =..., αβ =... b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω ισότητες: ( 1) 2004 =..., 1 =..., 1 α =... a. Πότε µία γωία λέγεται εγγεγραμμέη σε κύκλο. b. Πότε µία γωία λέγεται επίκετρη σε κύκλο ( 1) =..., 0 α =... c. Ποια η σχέση μεταξύ εγγεγραμμέης γωίας και της ατίστοιχης επίκετρης γωίας a. Να λυθεί η αίσωση: 2x 1 x < 2 3 b. Να λυθεί η αίσωση: 2(x 2) 3(2x 5) < 3 c. Να βρεθού οι κοιές λύσεις τω παραπάω αισώσεω. Δίεται τρίγωο ΑΒ με Α = 12 και = 30 Α όπως φαίεται στο διπλαό σχήμα.. a. Να βρείτε το ύψος ΑΔ. b. Α είαι ΒΑΔ = 37, α βρείτε το τμήμα ΑΒ. Β Δ c. Να βρείτε τα ημβ, συβ και εφβ. Δίεται: συ37 = 0,8. Δίεται κύκλος (Ο, ρ).φέρουμε τη διάμετρο ΑΒ, θεωρούμε σημείο πάω στο κύκλο ώστε Α = 6 και Β = 8, όπως φαίεται στο διπλαό σχήμα. a. Να αποδείξετε ότι το τρίγωο ΑΒ είαι ορθογώιο και α βρείτε τη ακτία του κύκλου Α Ο Β b. Να βρείτε το μήκος και το εμβαδό του κύκλου. c. Να βρείτε το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου τμήματος.

62 166 a. Σε ποιο τρίγωο εφαρμόζεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα; b. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. ( σχήμα, σχέσεις ) c. Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο παρακάτω τρίγωο Κ Λ a. Πως ορίζεται η δύαμη με εκθέτη ακέραιο αριθμό ; b. Ποιες είαι οι ιδιότητες τω δυάμεω με εκθέτη ακέραιο αριθμό; c. Να χαρακτηρίσετε ως ΣΩΣΤΕΣ ( Σ ) ή ΛΑΘΟΣ ( Λ ) τις παρακάτω σχέσεις: 2 3 < 0 ( 1 ) 4 <0 ( 2 ) 5 >0 ( 3 ) 2 >0 Σ - Λ Σ - Λ Σ - Λ Σ - Λ 2χ 1 3(χ +1) Να λυθεί η εξίσωση και α γίει επαλήθευση χ = 3 4 Α ( ) 2 5 A=( 2) + 1 ( ) ( ) 2 0 B= 1 45 ( ) ( ) = 3 1 Μ Να υπολογιστεί η παράσταση Κ=2Α Β Να υπολογιστού οι άγωστες γωίες χ, ω, ψ του σχήματος Α 60 χ Ο ω ψ Β