ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα παραδείγµατα σχηµάτων, έτσι ώστε να µην αποκτούν µεγάλη σηµασία για τα παιδιά άσχετα χαρακτηριστικά τους, όπως το µέγεθος ή ο προσανατολισµός. Είναι επίσης σηµαντικό να προσφέρονται φυσικά µοντέλα φυσικών αντικειµένων και να έχουν τα παιδιά ευκαιρίες να ψηλαφήσουν, να χτίσουν, να κατασκευάσουν, να αποσυναρµολογήσουν ή να συναρµολογήσουν και να σχεδιάσουν γεωµετρικά αντικείµενα. Ικανότητες των παιδιών στο Επίπεδο 0. Τα παιδιά βλέπουν τις γεωµετρικές µορφές σαν ολότητες και δεν τις αναλύουν. Αντιλαµβάνονται τα σχήµατα ως όµοια µε πρότυπα από το περιβάλλον, αλλά δεν αναλύουν τις ιδιότητές τους. Ενώ διακρίνουν συστατικά στοιχεία ενός σχήµατος, όπως οι πλευρές του, δεν χρησιµοποιούν αυτά τα στοιχεία για την ανάλυση των σχηµάτων. Τα παιδιά µπορούν να διδαχθούν τα ονόµατα των επίπεδων σχηµάτων και των στερεών, και να διακρίνουν εποπτικά τη µία µορφή από την άλλη. Μπορούν να σχηµατίζουν διαφορετικά σχήµατα διπλώνοντας χαρτί ή ενώνοντας κουκίδες, κλπ. Μπορούν να χρωµατίζουν µέρη σχηµάτων Μπορούν να αντιγράφουν σχήµατα. Μπορούν να απαριθµούν πόσες φορές χωράει ένα σχήµα σε ένα άλλο. Όµως τα παιδιά σε αυτό το επίπεδο δεν αντιλαµβάνονται τα στοιχεία των σχηµάτων (πλευρές, γωνίες, κλπ.) ούτε τη σχέση µεταξύ διαφορετικών σχηµάτων (οτι ένα σχήµα παραµένει το ίδιο όταν το περιστρέψουµε). Είναι πιο δύσκολο να ασχοληθούν µε αφηρηµένες έννοιες, όπως γραµµή, ευθεία, ηµιευθεία, επίπεδο. Θα εξετάσουµε δραστηριότητες µη τυπικής γεωµετρίας κατάλληλες για παιδιά που βρίσκονται στο Επίπεδο 0, και θα δούµε πώς αυτές µπορούν να ενταχθούν στο αναλυτικό πρόγραµµα του Π.Ι. για τις πρώτες τάξεις του δηµοτικού. Τάξη Άξονες Γεωµετρία 1 η Μέτρηση Γενικοί στόχοι Να εξασκούνται στον προσανατολισµό στο χώρο, στη σχεδίαση, αναπαραγωγή, αναγνώριση, ονοµασία και ταξινόµηση σχηµάτων. Να διακρίνουν τα στερεά: τον κύβο, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, τον κύλινδρο και τη σφαίρα. Να παρατηρούν εικόνες και σχήµατα συµµετρικά ως προς άξονα. Να έχουν µια πρώτη επαφή µε τις έννοιες: µήκος, χρόνος, χρήµα, µάζα. Να αναγνωρίζουν, να περιγράφουν και να επεκτείνουν αριθµητικά και γεωµετρικά µοτίβα. Ώρες διδ/λίας % χρόνου διδ/λίας 8 6,5% 22 18% 2 α Γεωµετρία Να εξασκούνται στη σχεδίαση, αναπαραγωγή σχηµάτων και να αναγνωρίζουν τα χαρακτηριστικά των σχηµάτων αυτών. 12 10%

3 η Μέτρηση Γεωµετρία Μέτρηση Να καθορίζουν σηµεία και να σχεδιάζουν ευθύγραµµα τµήµατα και ευθείες. Να αναγνωρίζουν εµπειρικά τις παράλληλες και κάθετες ευθείες. Να διακρίνουν τα στερεά: τον κύβο, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, τον κύλινδρο και τη σφαίρα. Να παρατηρούν αν ένα σχήµα έχει άξονα συµµετρίας και να συµπληρώνουν το συµµετρικό ενός σχήµατος. Να εφαρµόζουν τη διαδικασία µέτρησης µήκους και επιφανειών µε συµβατικές και αυθαίρετες µονάδες µέτρησης. Να εξασκούνται στη µέτρηση χρόνου, χρήµατος και µάζας. Να αναγνωρίζουν, να περιγράφουν και να επεκτείνουν αριθµητικά και γεωµετρικά µοτίβα. Να εξασκούνται στην περιγραφή, αναπαραγωγή και σχεδιασµό γεωµετρικών σχηµάτων και στερεών σωµάτων καθώς και στην εφαρµογή τεχνικών σχεδίασης κάθετων ευθειών µε τη βοήθεια των γεωµετρικών οργάνων. Να γνωρίσουν τις έννοιες, κορυφή, ακµή, ορθή γωνία και έδρα. Να εξασκηθούν στην κατασκευή συµµετρικών σχηµάτων ως προς άξονα. Να γνωρίζουν και να χρησιµοποιούν τις µονάδες µέτρησης µήκους, χρόνου και µάζας. Να αναγνωρίζουν ένα µοτίβο και να διαπιστώνουν ότι η διαδικασία επανάληψης συνεχίζεται επ. άπειρον. 21 17,5% 9 7,5% 13 10% ραστηριότητες ταξινόµησης και αντιστοίχισης. Οι δραστηριότητες σε αυτό το επίπεδο αρχίζουν µε σχήµατα που έχουν ήδη κατασκευαστεί ή σχεδιαστεί. Αυτά τα µοντέλα µπορεί να είναι είτε επίπεδα σχήµατα είτε στερεά σώµατα. Στόχος είναι να δουλέψουν τα παιδιά µε µία µεγάλη ποικιλία σχηµάτων και να ανακαλύψουν οµοιότητες και διαφορές. Ταξινόµηση σχηµάτων Συλλογή από διάφορα σχήµατα, σε πλαστικοποιηµένες κάρτες. Τα παιδιά επιλέγουν ένα σχήµα στην τύχη, αναζητούν άλλα σχήµατα που «µοιάζουν µε αυτό» κατά κάποιο τρόπο, και περιγράφουν τι είναι αυτό που κάνει τα σχήµατα να µοιάζουν. Στη συνέχεια κάθε παιδί σχεδιάζει ένα σχήµα που να ταιριάζει στην ίδια κατηγορία, και εξηγεί γιατί συµβαίνει αυτό. Με αυτή τη δραστηριότητα η έννοια της συγκεκριµένης τάξης σχηµάτων διαµορφώνεται χωρίς να έχει δοθεί κάποιος ορισµός. Κατόπιν ο δάσκαλος µπορεί να δώσει το όνοµα της έννοιας ή του σχήµατος. Παραδείγµατα τέτοιων κατηγοριών σχηµάτων: σχήµατα µε καµπύλες, σχήµατα µε τρεις πλευρές τρίγωνα, σχήµατα µε µία ορθή γωνία,

σχήµατα στα οποία οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, σχήµατα στα οποία οι απέναντι πλευρές είναι στην ίδια διέυθυνση παραλληλόγραµµα, σχήµατα µε ένα βαθούλωµα κοίλα και πολλές άλλες. Αντί για επίπεδα σχήµατα αυτή η δραστηριότητα µπορεί να γίνει και µε µοντέλα στερεών σωµάτων ή µε πραγµατικά αντικείµενα που έχουν χαρακτηριστικό σχήµα. Ανάλογη δραστηριότητα µπορεί να γίνει µε όλη την τάξη, προσφέροντας ευκαιρία για µία µη τυπική συζήτηση των σχηµάτων και των ιδιοτήτων τους Η δασκάλα παρουσιάζει µία συλλογή σχηµάτων και ένα σχήµα στόχο, το οποίο έχει κάτι κοινό µε κάποια απο τα σχήµατα της συλλογής. Τα παιδιά καλούνται να επιλέξουν ένα σχήµα και να εξηγήσουν στην τάξη ποιό είναι το κοινό στοιχείο µε το σχήµα στόχο για το οποίο το επέλεξαν. Αντιστοίχιση µέσω ψηλάφησης Συλλογή από ζεύγη ίδιων σχηµάτων. Ένα αντικείµενο από κάποιο ζεύγος είναι σε µία σακούλα. Τα παιδιά ψηλαφούν το αντικείµενο στη σακούλα και επιχειρούν να καταλάβουν σε ποιό από τα αντικείµενα που βλέπουν ταιριάζει. Τα σχήµατα στη συλλογή καθορίζουν το είδος των ιδεών που αναπτύσσονται και το επίπεδο δυσκολίας. Αντιστοίχιση επίπεδων σχηµάτων µε έδρες στερεών σωµάτων Συλλογή καρτών µε ένα ή περισσότερα επίπεδα σχήµατα, και συλλογή στερεών σωµάτων. Τα παιδιά καλούνται να βρούν το στερεό σώµα που έχει έδρα όµοια µε αυτή της κάρτας, ή αντίστροφα, τις κάρτες στις οποίες βρίσκονται οι έδρες συγκεκριµένου στερεού. Κυνήγι σχηµάτων Τα παιδιά καλούνται να βρούν στα αντικείµενα του περιβάλλοντος διάφορα σχήµατα (τρίγωνα, τετράγωνα, παραλληλόγραµµα, ορθογώνια, κύκλους, κλπ.) ή σχήµατα που να έχουν συγκεκριµένες ιδιότητες (παράλληλες πλευρές, ορθές γωνίες, καµπύλες επιφάνειες, σχήµατα µε συµµετρία, κλπ.). Η δραστηριότητα αυτή µπορεί να τροποποιηθεί ώστε να ταιριάζει σε παιδιά στην ίδια τάξη που βρίσκονται στο Επίπεδο 0 ή στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες κατασκευής σχηµάτων Στόχος αυτών των δραστηριοτήτων είναι να κατασκευάσουν τα παιδιά µε διάφορα υλικά ή να σχεδιάσουν σχήµατα. Αρχικά είναι καλό να αφήνονται οι µαθητές και οι µαθήτριες να φτιάξουν ότι σχήµατα επιθυµούν, ώστε να εξοικειωθούν µε τα καινούργια υλικά. Όταν έχουν αποκτήσει άνεση µε το υλικό, µπορούν να ασχοληθούν µε πιο απαιτητικές δραστηριότητες, όπως η κατασκευή σχηµάτων µε κάποιο ιδιαίτερο

χαρακτηριστικό. Με αυτόν τον τρόπο η προσοχή των παιδιών εστιάζεται σε συγκεκριµένες ιδιότητες και ενθαρρύνεται η συλλογιστική του επιπέδου 1. Για αυτές τις δραστηριότητες µπορούν να χρησιµοποιηθούν υλικά που διατίθενται στο εµπόριο ή που µπορούν εύκολα να κατασκευαστούν. Ένας καλός τρόπος να διερευνήσουµε τα σχήµατα στο επίπεδο 0 είναι να χρησιµοποιήσουµε µικρότερα σχήµατα για να κατασκευάσουµε µεγαλύτερα. Τα µικρότερα σχήµατα ή ψηφίδες, µπορεί να είναι όλα του ιδίου σχήµατος, ή σε διαφορετικά σχήµατα να περιέχουν πολλά κοµµάτια του ιδίου σχήµατος ή µικρό αριθµό συγκεκριµένων κοµµατιών, όπως τα τάνγκραµ. Τα βασικά σχήµατα για ψηφίδες είναι τετράγωνα, ισόπλευρα τρίγωνα ή ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα. Πιο πολύπλοκες κατασκευές µπορούν να γίνουν µε ψηφίδες όπως τα «πεντόµινο». Πολλά συστήµατα προσφέρονται και σε ψηφιακό περιβάλλον, είτε σε προγράµµατα για εγκατάσταση είτε για διαδικτυακή χρήση. Γεωπίνακες Ο Αιγύπτιος µαθηµατικός Caleb Cattegno, στη δεκαετία του 1950, ανακάλυψε τους γεωπίνακες και τους εισήγαγε στη διδασκαλία της γεωµετρίας. Οι γεωπίνακες είναι πίνακες από ξύλο ή πλαστικό, µε καρφιά τοποθετηµένα σε συγκεκριµένες θέσεις, ώστε να δηµιουργούν είτε ένα τετραγωνικό καµβά, είτε ένα κανονικό πολύγωνο και το κέντρο του. Χρησιµοποιώντας λαστιχάκια περασµένα γύρω από τα καρφιά, τα παιδιά κατασκευάζουν σχήµατα στον γεωπίνακα. Στο βιβλίο του Geoboard Geometry, το οποίο µπορείτε να βρείτε σε ηλεκτρονική µορφή, http://issuu.com/eswi/docs/1027_geoboard_geometry, ο Caleb Cattegno παρουσιάζει πολλές δραστηριότητες διερεύνησης και επίδειξης γεωµετρικών ιδιοτήτων χρήσιµων για µεγαλύτερες ηλικίες. Στο επίπεδο 0, οι γεωπίνακες προσφέρουν ένα διασκεδαστικό τρόπο για τη σχεδίαση διαφόρων αντικειµένων, βοηθώντας το παιδί που δεν έχει ακόµη άνεση στη σχεδίαση στο χαρτί να πειραµατιστεί µε διάφορα σχήµατα µέχρι να πετύχει αυτό που επιθυµεί. Σε κάποιους ηλεκτρονικούς γεωπίνακες υπάρχουν και άλλες δυνατότητες, όπως η µετατόπιση, η περιστροφή ή η ανάκλαση ενός σχήµατος. Αντιγραφή σε γεωπίνακα Στο επίπεδο 0 ξεκινάµε µε τον γεωπίνακα 5x5, και αρχικά ζητάµε από τα παιδιά να αντιγράψουν σχήµατα σχεδιασµένα σε κάρτες µε κουκίδες. Αργότερα τα παιδιά µπορούν να αντιγράψουν σχήµατα από κάρτες χωρίς κουκίδες, ή να αντιγράψουν πραγµατικά σχήµατα από το περιβάλλον. Ψηφίδες σε γεωπίνακα Τα παιδιά καλούνται να κατασκευάσουν σχήµατα στο γεωπίνακα χρησιµοποιώντας συνδυασµούς από ένα µικρότερο σχήµα που δίδεται σε κάρτα. ιαίρεση σε ίσα µέρη Τα παιδιά καλούνται να αντιγράψουν στο γεωπίνακα ένα σχήµα από µία κάρτα, και κατόπιν να το υποδιαιρέσουν σε µικρότερα σχήµατα τα οποία είναι όλα ίσα ή του ίδιου τύπου. Προσθέτοντας ιδιότητες που πρέπει να έχουν τα σχήµατα η δραστηριότητα µπορεί να γίνει πιο απαιτητική.

Παράδειγµα ηλεκτρονικού γεωπίνακα, από το http://www.mathlearningcenter.org/web-apps/geoboard/ Επισκεφθείτε τον παραπάνω ιστότοπο, και χρησιµοποιήστε τον ηλεκτρονικό γεωπίνακα. Πόσα διαφορετικά τετράγωνα µπορείτε να σχεδιάσετε στον 5x5 γεωπίνακα; Μπορείτε να υπολογίσετε το εµβαδόν του κάθε τετραγώνου; Πόσα διαφορετικά τρίγωνα; Ποιά από αυτά είναι όµοια. Προκλήσεις στο γεωπίνακα Τα παιδιά καλούνται να σχεδιάσουν στο γεωπίνακα διαφορετικά σχήµατα ενός τύπου ή µε µία συγκεκριµένη ιδιότητα. Για µικρές ηλικίες, 3 ή 4 σχήµατα, για µεγαλύτερες ηλικίες περισσότερα. Παραδείγµατα: ιαφορετικά σχήµατα µε τρείς, τέσσερεις, πέντε, κλπ πλευρές. ιαφορετικά ορθογώνια, παραλληλόγραµµα, τραπέζια, ή άλλα σχήµατα που αναγνωρίζουν τα παιδιά.. ιαφορετικά σχήµατα που καλύπτουν 5 τετράγωνα (πεντόµινο), ή άλλο αριθµό τετραγώνων. Άλλες προτάσεις για τη χρήση του γεωπίνακα µπορείτε να βρείτε στο διαδίκτυο, για παράδειγµα στο http://math.about.com/od/manipulatives/a/using-a-geo-board-in- Math.htm Για να λειτουργήσει αποτελεσµατικά η δραστηριότητα µε τους γεωπίνακες είναι καλό να υπάρχουν αρκετοί γεωπίνακες ώστε τα παιδιά να µπορούν να συγκρίνουν τα διάφορα σχήµατα πριν τα αλλάξουν. Είναι επίσης σηµαντικό να µάθουν από την αρχή τα παιδιά να αντιγράφουν τα σχέδια που έκαναν στο γεωπίνακα σε µία κόλλα χαρτί µε αντίστοιχο καµβά. Στα µικρότερα παιδιά, που µπορεί να δυσκολεύονται να σχεδιάσουν τις διαγωνίους, προτείνετε να σηµειώνουν πρώτα τις κουκίδες για την κορυφή του σχήµατος και µετά να σχεδιάζουν τις ευθείες.

Χαρτί µε κουκίδες και καµβά Φύλλα χαρτιού µε διάφορους καµβάδες µπορούν να χρησιµοποιηθούν για πολλές γεωµετρικές διερευνήσεις. Οι καµβάδες προσφέρουν περισσότερη ελευθερία από τους γεωπίνακες, καθώς είναι εύκολο να έχουν µεγαλύτερο αριθµό κόµβων και διαφορετικές διευθετήσεις. Οι πιο συνηθισµένοι καµβάδες είναι αυτοί στους οποίους οι κόµβοι είναι τοποθετηµένοι στις κορυφές τετραγώνων (τετραγωνικός ή καρτεσιανός καµβάς) ή ισόπλευρων τριγώνων (ισοµετρικός καµβάς). Εκτός από τις δραστηριότητες µε γεωπίνακες, οι καµβάδες µπορούν να χρησιµοποιηθούν στο επίπεδο 0 και για κάποιες άλλες δραστηριότητες. Μεταφορές, ανακλάσεις, περιστροφές Όλα τα είδη καµβάδων µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τη διερεύνηση µετατοπίσεων και των συµµετριών σχηµάτων. Σχεδιάστε ένα απλό σχήµα, και στη συνέχεια σχεδιάστε το ίδιο σχήµα µετατοπισµένο ή αντεστραµµένο. Εάν κατασκευάσετε ένα αντίγραφο του αρχικού σχεδίου, το κόψετε και χρωµατίσετε διαφορετικά τις δύο πλευρές του, αυτό το µοντέλο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να διερευνηθεί η αντιστροφή ή µη του προσανατολισµού σε διάφορες συµµετρίες. Ισοµετρική σχεδίαση τρισδιάστατων αντικειµένων Ο ισοµετρικός καµβάς διευκολύνει την ισοµετρική προβολή ενός κύβου. Γι αυτό είναι χρήσιµος για αποτύπωση σε χαρτί τρισδιάστατων αντικειµένων που κατασκευάζονται από κύβους. Μία δραστηριότητα για την ανάπτυξη της οπτικής αντίληψης και της αίσθησης της προοπτικής, είναι να δίδονται οι επίπεδες όψεις ενός απλού αντικειµένου και να ζητείται να σχεδιαστεί η ισοµετρική προβολή του πάνω στον καµβά. Αντίστροφα, µπορεί να δοθεί το ισοµετρικό προοπτικό σχέδιο και να ζητηθούν κάποιες όψεις του αντικειµένου. Τέτοιες δραστηριότητες προσφέρονται για από κοινού εργασία των παιδιών και συζήτηση για την ορθότητα της κατασκευής. Κατασκευή αρθρωτών µοντέλων Μία σηµαντική ιδιότητα των τριγώνων που τα διακρίνει από άλλα πολύγωνα, είναι οτι το σχήµα ενός τριγώνου προσδιορίζεται απόλυτα από τα µήκη των πλευρών του. Αυτό είναι το περιεχόµενο του «3 ου Κριτηρίου Ισότητας Τριγώνων». Αν και τα παιδιά στο επίπεδο 0 δεν είναι σε θέση να κατανοήσουν το νόηµα αυτής της πρότασης, µπορούν να διαπιστώσουν εµπειρικά αυτή την ιδιότητα κατασκευάζοντας αρθρωτά µοντέλα διαφόρων πολυγώνων, από πλαστικά καλαµάκια ή από ράβδους από σφικτά τυλιγµένα φύλλα εφηµερίδας. Ένα τρίγωνο δεν µπορεί να αλλάξει σχήµα χωρίς να χαλάσουµε τις αρθρώσεις. Ενώ ένα τετράγωνο µπορεί να παραµορφωθεί και να γίνει ρόµβος, ή ένα ορθογώνιο να γίνει µη ορθογώνιο παραλληλόγραµµο.

Το τρίγωνο δεν µπορεί να αλλάξει σχήµα χωρίς να χαλάσουν οι αρθρώσεις, ενώ το αρθρωτό τετράγωνο µπορεί να µεταµορφωθεί σε ρόµβο. Κατασκευή στερεών σωµάτων Κατασκευή µοντέλων ή σκελετών στερεών σωµάτων Η κατασκευή µοντέλων στερεών σωµάτων είναι εξαιρετικά σηµαντική για να κατανοήσουµε τα συστατικά µέρη και τις ιδιότητες ενός στερεού. Γι αυτές τις κατασκευές µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε έτοιµα πλαστικά υλικά, ισόπλευρα τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα και εξάγωνα, µε τα οποία µπορούµε να κατασκευάσουµε όλα τα κανονικά πολύεδρα και πολλά άλλα στερεά. Μπορούµε επίσης να κατασκευάσουµε τέτοια µοντέλα από χαρτόνι, ή να κατασκευάσουµε σκελετούς τρισδιάστατων σωµάτων από διάφορα υλικά, όπως πλαστικά καλαµάκια, ράβδους από σφικτά τυλιγµένα φύλλα εφηµερίδας, κ.α. Στην κατασκευή των σκελετών στερεών τα παιδιά µπορούν να διαπιστώσουν οτι για να γίνει πιο σταθερός ο σκελετός ενός παραλληλεπιπέδου είναι χρήσιµο να προσθέσουµε κάποιες από τις διαγωνίους, και να κατασκευάσουµε τρίγωνα, που δεν αλλάζουν το σχήµα τους, µέσα στο παραλληλόγραµµο. Τετράεδρο από καλαµάκια Σχεδίαση αναπτυγµάτων στερεών Μία άλλη δραστηριότητα που εξασκεί την ικανότητα οπτικής αναπαράστασης του χώρου είναι η σχεδίαση αναπτυγµάτων στερεών σωµάτων σε χαρτί. Ο καµβάς µε τετράγωνα διευκολύνει τη σχεδίαση αναπτυγµάτων κύβων, παραλληλεπιπέδων και πρισµάτων ή πυραµίδων µε ορθογώνια βάση. Ο ισοµετρικός καµβάς είναι πιο κατάλληλος για τη σχεδίαση αναπτυγµάτων τετραέδρων, οκταέδρων, τριγωνικών πρισµάτων και πυραµίδων, και αν είµαστε φιλόδοξοι του εικοσαέδρου.

Η σχεδίαση αναπτυγµάτων στερεών που δεν έχουν όλες τις πλευρές ισόπλευρα πολύγωνα απαιτεί µεγαλύτερη προσοχή, ώστε τα µήκη των πλευρών που θα πρέπει να ενωθούν να ταιριάζουν. Τέτοια είναι τα παραλληλεπίπεδα, τα πρίσµατα και οι πυραµίδες. Αυτή η δραστηριότητα µπορεί να γίνει από οµάδες παιδιών, τα οποία θα προσπαθήσουν, µε ενθάρρυνση από τη δασκάλα ή το δάσκαλο να λύσουν αυτά τα προβλήµατα. Πιο δύσκολα είναι τα αναπτύγµατα µε καµπύλες, όπως ο κύλινδρος και ο κώνος. Άλλες προκλήσεις σχετικές µε τα αναπτύγµατα στερεών είναι η προσπάθεια να προβλέψουµε εάν από ένα ανάπτυγµα θα δηµιουργηθεί συγκεκριµένο στερεό, ή να βρούµε διαφορετικά αναπτύγµατα για το ίδιο στερεό. Γεωµετρικές προκλήσεις για το εππιπεδο 0 Πολλές δραστηριότητες µε τη µορφή παζλ ή παιχνιδιού προσφέρουν ευκαιρίες για την ανάπτυξη της γεωµετρικής συλλογιστικής και της έννοιας του χώρου. Στο επίπεδο 0 τα γεωµετρικά προβλήµατα εµπεριέχουν το χειρισµό, τη σχεδίαση και τη δηµιουργία σχηµάτων. Οι δραστηριότητες περιστρέφονται γύρω από τα γενικά χαρακτηριστικά των σχηµάτων και δεν αναλύουν τις ιδιότητες ή τις σχέσεις ανάµεσα στις τάξεις των σχηµάτων ή τη µορφή τους. Παζλ από τάνγκραµ ή από πεντόµινο Τα τάνγκραµ είναι γεωµετρικά παζλ µε 7 συγκεκριµένα σχήµατα, από τα οποία µπορούν να κατασκευαστούν διάφορα άλλα σχήµατα. Τα πιο εύκολα είναι κατάλληλα και για παιδιά προσχολικής ηλικίας. Πεντόµινο είναι σχήµατα που δηµιουργούνται από 5 ίσα τετράγωνα, τοποθετηµένα έτσι ωστε να έχουν τουλάχιστον µία κοινή πλευρά. Υπάρχουν 12 διαφορετικά πεντόµινο. (Σχεδιάστε όλα τα διαφορετικά πεντόµινο.) Χρησιµοποιώντας κάποια από αυτά τα πεντόµινο, τα απιδιά µπορούν να κατασκευάσουν διάφορα σχήµατα. Μπορούν να σχεδιάσουν το περίγραµµα του σχήµατος σε χαρτί, και να προκαλέσουν τα άλλα παιδιά να βρουν από ποια πεντόµινο και πως κατασκευάστηκαν τα σχήµατα. Πλακοστρώσεις Η κατασκευή ψηφιδωτών είναι ένας τρόπος να επιδοθούν παιδιά στο επίπεδο 0 στην επίλυση προβληµάτων γεωµετρικής µορφής. Οι δραστηριότητες µε ψηφιδωτά µε ένα ή δύο σχήµατα µπορούν να παρουσιάσουν αρκετή ποικιλία ως προς τη δυσκολία, παραµένοντας στο επίπεδο 0. Μπορούµε να δώσουµε ψηφίδες στα παιδιά για να κατασκευάσουν ψηφιδωτά, ή να τους προτείνουµε να φτιάξουν τα ίδια ψηφίδες σε χαρτί µε καµβά.