6ο Μάθημα Πιθανότητες

6ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 1 / 35

Άδειες Χρη σης Το παρο ν εκπαιδευτικο υλικο υπο κειται σε α δειες χρη σης Creative Commons. Για εκπαιδευτικο υλικο, ο πως εικο νες, που υπο κειται σε α λλου τυ που α δεια χρη σης, η α δεια χρη σης αναφε ρεται ρητω ς. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 2 / 35

Χρηματοδο τηση Το παρο ν εκπαιδευτικο υλικο ε χει αναπτυχθει στα πλαι σια του εκπαιδευτικου ε ργου του διδα σκοντα. Το ε ργο Ανοικτα Ακαδημαι κα Μαθη ματα για το Πανεπιστη μιο Πατρω ν ε χει χρηματοδοτη σει μο νο την αναδιαμο ρφωση του εκπαιδευτικου υλικου. Το ε ργο υλοποιει ται στα πλαι σια του επιχειρησιακου προγρα μματος Εκπαι δευση και Δια Βι ου Μα θηση και συγχρηματοδοτει ται απο την Ευρωπαι κη Ένωση (Ευρωπαι κο Κοινοτικο Ταμει ο) και απο εθνικου ς πο ρους. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 3 / 35

Περιεχο μενα 6ης Δια λεξης 1 Ανισο τητα Markov 2 Διασπορα 3 Συνδιασπορα 4 Ανισο τητα Chebyshev 5 Παραδει γματα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 4 / 35

1 Ανισο τητα Markov 2 Διασπορα 3 Συνδιασπορα 4 Ανισο τητα Chebyshev 5 Παραδει γματα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 5 / 35

1. Ανισο τητα Markov Θεω ρημα Χ μη αρνητικη t > 0 } : Pr{X t } E(X) t Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 6 / 35

1. Ανισο τητα Markov Θεω ρημα Χ μη αρνητικη t > 0 } : Pr{X t } E(X) t Φυσικη σημασι α t = 2 µ Pr{X 2 µ} µ 2 µ = 1 2 t = 3 µ Pr{X 3 µ} 1 3 Γενικα : Pr{X t µ} 1 t Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 6 / 35

1. Ανισο τητα Markov - Απο δειξη E(X) = x Pr{X = x} x Pr{X = x} x x t t Pr{X = x} = t Pr{X = x} = t Pr{X t} x t x t Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 7 / 35

2. Διασπορα - Ορισμο ς Ορισμο ς διασπορα ς (variance) [ Var(X) = E (X µ) 2] = (x µ) 2 Pr{X = x} x ο που µ = E(X) σ = Var(X) (τυπικη απο κλιση) Φυσική σημασία: με τρο αποκλι σεων απο τη με ση τιμη (με ση τιμη τετραγω νου αποκλι σεων απο τη με ση τιμη - πιθανοτικα ζυγισμε νο α θροισμα αυτω ν των αποκλι σεων) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 9 / 35

2. Variance - Ιδιο τητες Ιδιο τητες 1) Var(X) = (X 2 ) E 2 (X) 2) Αν X, Y ανεξα ρτητες Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) (προσθετικο τητα) 3) Var(c X) = c 2 Var(X) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 10 / 35

2. Variance - Ιδιο τητες Απόδειξη 1) [ Var(X) = E (X µ) 2] = E [ X 2 2 µ X + µ 2] = = E(X 2 ) 2 µ E(X) + E(µ 2 ) = E(X 2 ) 2 µ 2 + µ 2 = E(X 2 ) µ 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 11 / 35

2. Variance - Ιδιο τητες Απόδειξη 2) Var(X + Y) = E [ (X + Y) 2] E 2 (X + Y) = E [ X 2 + 2 X Y + Y 2] [E(X) + E(Y)] 2 = E(X 2 ) + 2 E(X Y) + E(Y 2 ) E 2 (X) 2 E(X) E(Y) E 2 (Y) = (λο γω ανεξαρτησι ας ισχυ ει: E(X Y) = E(X) E(Y)) = E(X 2 ) E 2 (X) + E(Y 2 ) E 2 (Y) = = Var(X) + Var(Y) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 12 / 35

3. Συνδιασπορα - Ορισμο ς Ορισμο ς συνδιασπορα ς (covariance) Καλου με συνδιασπορα (covariance) δυ ο τυχαι ων μεταβλητω ν X, Y την: Cov(X, Y) = E[(X E(X)) (Y E(Y))] Βασικη ιδιο τητα: Ει ναι Cov(X, Y) = E[XY E(X)Y E(Y)X + E(X)E(Y)] = = E(XY) E(X)E(Y) E(Y)E(X) + E(X)E(Y) Άρα Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y) Φυσικη σημασι α: Αν X,Y ανεξα ρτητες E(XY) = E(X)E(Y) Cov(X, Y) = 0 Δηλαδη η συνδιασπορα ει ναι με τρο της εξα ρτησης δυ ο τ.μ. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 13 / 35

3. Συνδιασπορα - Παρατη ρηση Παρατη ρηση: Το αντι στροφο δεν ισχυ ει! δηλαδη η συνδιασπορα μπορει να ει ναι 0 ακο μα και ο ταν οι τυχαι ες μεταβλητε ς ει ναι εξαρτημε νες. πχ. Pr{X = 0} = Pr{X = 1} = Pr{X = 1} = 1 3 { 0, αν X 0 και ε στω Y = 1, αν X = 0 Οπο τε προφανω ς X Y = 0, οπο τε E(XY) = 0. Αλλα E(X) = 0 1 3 + 1 1 3 1 1 3 = 0 και E(Y) = 0 Pr{X 0} + 1 Pr{X = 0} = 1 3 Άρα Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y) = 0 ενω οι X και Y ει ναι προφανω ς εξαρτημε νες. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 14 / 35

3. Συνδιασπορα - Ιδιο τητες Ιδιο τητες (i) Cov(X, Y) = Cov(Y, X) (ii) Cov(X, X) = Var(X) n n (iii) Var( X i ) = Var(X i ) + i i=1 i=1 Cov(X i, X j ) j i Απο δειξη της (ιι): Cov(X, X) = E(X X) E(X)E(X) = = E(X 2 ) E 2 (X) = = Var(X) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 15 / 35

4. Ανισο τητα Chebyshev Θεω ρημα Pr{ X µ t} Var(X) t 2 Φυσική σημασία: Var(X) Pr{ X µ t} μικρε ς αποκλι σεις, υψηλη συγκε ντρωση γυ ρω απο τη με ση τιμη π.χ. Pr{ X µ 2 σ} σ2 4 σ 2 = 1 4 Pr{ X µ 2 σ} 0.75 (δηλαδη οποιαδη ποτε τ.μ. συγκεντρω νεται ± 2 τυπικε ς αποκλι σεις γυ ρω απο τη με ση τιμη με πιθανο τητα 0.75). Επι σης: Pr{ X µ 3 σ} σ2 9 σ 2 = 1 9 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 17 / 35

4. Ανισο τητα Chebyshev [ Απόδειξη: Var(X) = E (X µ) 2] = x (x µ) 2 f(x) (x µ) 2 Pr {X = x} t 2 Pr {X = x} x µ t x µ t = t 2 Pr {X = x} = t 2 Pr { X µ t} x µ t Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 18 / 35

4. Ανισο τητα Chebyshev - Παρα δειγμα Ένα παρα δειγμα ο που η Chebyshev δι νει ακριβε ς αποτε λεσμα X = k, 1 2 k 2 k, 1 2 k 2 0, 1 1 k 2 1 µ = k 2 k 2 k 1 2 k 2 + 0 = 0 Var(X) = (k 0) 2 1 1 2 k 2 +( k 0)2 2 k 2 +(0 0)2 = 1 2 + 1 2 = 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 19 / 35

4. Ανισο τητα Chebyshev - Παρα δειγμα (Συνε χεια) Απο την Chebyshev ε χω: Pr{ X k} = Pr{ X µ k} Var(X) k 2 = 1 k 2 Απο την pdf ε χω: Pr{ X k} = Pr{X k} + Pr{X k} = Pr{X = k} + Pr{X = k} = 1 2 k 2 + 1 2 k 2 = 1 k 2 δηλαδη το α νω φρα γμα ει ναι ακριβε ς. Αλλα πολλε ς φορε ς τα α νω φρα γματα της Chebyshev δεν ει ναι πολυ ακριβη μελετα με υψηλο τερες ροπε ς Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 20 / 35

5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35

5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35

5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35

5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35

5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = 1 1 6 + 21 6 + + 61 6 = (1 + 2 + + 6)1 6 = 21 6 = 7 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35

5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = 1 1 6 + 21 6 + + 61 6 = (1 + 2 + + 6)1 6 = 21 6 = 7 2 Ει ναι E(X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35

5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = 1 1 6 + 21 6 + + 61 6 = (1 + 2 + + 6)1 6 = 21 6 = 7 2 Ει ναι E(X 2 ) = 1 2 1 6 + 22 1 6 + 32 1 6 + 42 1 6 + 52 1 6 + 62 1 6 = 91 6 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35

5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = 1 1 6 + 21 6 + + 61 6 = (1 + 2 + + 6)1 6 = 21 6 = 7 2 Ει ναι E(X 2 ) = 1 2 1 6 + 22 1 6 + 32 1 6 + 42 1 6 + 52 1 6 + 62 1 6 = 91 6 Άρα Var(X) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35

5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = 1 1 6 + 21 6 + + 61 6 = (1 + 2 + + 6)1 6 = 21 6 = 7 2 Ει ναι E(X 2 ) = 1 2 1 6 + 22 1 6 + 32 1 6 + 42 1 6 + 52 1 6 + 62 1 6 = 91 6 Άρα Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35

5. Παρα δειγμα 1 Να υπολογιστει η διασπορα κατα την ρι ψη ενο ς ζαριου Λυ ση: Έστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμα των του ζαριου. Ει ναι E(X) = 1 1 6 + 21 6 + + 61 6 = (1 + 2 + + 6)1 6 = 21 6 = 7 2 Ει ναι E(X 2 ) = 1 2 1 6 + 1 22 6 + 1 32 6 + 1 42 6 + 1 52 6 + 1 62 6 = 91 6 Άρα Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X) = 91 6 ( ) 7 2 = 35 2 12 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 35

5. Παρα δειγμα 2 Η τ.μ. X ε χει με ση τιμη μ και διασπορα σ 2. Να βρεθου ν η με ση τιμη και η διασπορα της Y = X µ σ Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 35

5. Παρα δειγμα 2 Η τ.μ. X ε χει με ση τιμη μ και διασπορα σ 2. Να βρεθου ν η με ση τιμη και η διασπορα της Y = X µ σ Λυ ση: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 35

5. Παρα δειγμα 2 Η τ.μ. X ε χει με ση τιμη μ και διασπορα σ 2. Να βρεθου ν η με ση τιμη και η διασπορα της Y = X µ σ Λυ ση: ( ) X µ E(Y) = E σ = 1 (E(X) µ) = 0 σ = 1 σ E(X µ) = 1 [E(X) E(µ)] = σ Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 35

5. Παρα δειγμα 2 Η τ.μ. X ε χει με ση τιμη μ και διασπορα σ 2. Να βρεθου ν η με ση τιμη και η διασπορα της Y = X µ σ Λυ ση: ( ) X µ E(Y) = E σ = 1 σ E(X µ) = 1 [E(X) E(µ)] = σ = 1 (E(X) µ) = 0 σ [ (X ) ] µ 2 E(Y 2 ) = E = 1 σ σ 2 E [ (X µ) 2] = 1 σ 2 Var(X) = 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 35

5. Παρα δειγμα 2 Η τ.μ. X ε χει με ση τιμη μ και διασπορα σ 2. Να βρεθου ν η με ση τιμη και η διασπορα της Y = X µ σ Λυ ση: ( ) X µ E(Y) = E σ = 1 σ E(X µ) = 1 [E(X) E(µ)] = σ = 1 (E(X) µ) = 0 σ [ (X ) ] µ 2 E(Y 2 ) = E = 1 σ σ 2 E [ (X µ) 2] = 1 σ 2 Var(X) = 1 Οπο τε Var(Y) = E(Y 2 ) E 2 (Y) = 1 0 2 = 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 35

5. Παρα δειγμα 3 Έστω τ.μ. X, Y : X Y (δηλαδη σε κα θε σημει ο του δειγματοχω ρου η X παι ρνει τιμη μεγαλυ τερη η ι ση απο την Y). Να δει ξετε ο τι E(X) E(Y) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 35

5. Παρα δειγμα 3 Έστω τ.μ. X, Y : X Y (δηλαδη σε κα θε σημει ο του δειγματοχω ρου η X παι ρνει τιμη μεγαλυ τερη η ι ση απο την Y). Να δει ξετε ο τι E(X) E(Y) Απο δειξη: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 35

5. Παρα δειγμα 3 Έστω τ.μ. X, Y : X Y (δηλαδη σε κα θε σημει ο του δειγματοχω ρου η X παι ρνει τιμη μεγαλυ τερη η ι ση απο την Y). Να δει ξετε ο τι E(X) E(Y) Απο δειξη: X Y X Y 0 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 35

5. Παρα δειγμα 3 Έστω τ.μ. X, Y : X Y (δηλαδη σε κα θε σημει ο του δειγματοχω ρου η X παι ρνει τιμη μεγαλυ τερη η ι ση απο την Y). Να δει ξετε ο τι E(X) E(Y) Απο δειξη: X Y X Y 0 Αλλα (X Y) = (x y)p(x, y) y x ο που P(x, y) η απο κοινου pdf Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 35

5. Παρα δειγμα 3 Έστω τ.μ. X, Y : X Y (δηλαδη σε κα θε σημει ο του δειγματοχω ρου η X παι ρνει τιμη μεγαλυ τερη η ι ση απο την Y). Να δει ξετε ο τι E(X) E(Y) Απο δειξη: X Y X Y 0 Αλλα (X Y) = (x y)p(x, y) y x ο που P(x, y) η απο κοινου pdf Άρα (X Y) 0 E(X) E(Y) 0 E(X) E(Y) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 35

5. Παρα δειγμα 4 Να δει ξετε την ανισο τητα του Boole χρησιμοποιω ντας με σες τιμε ς δεικνυουσω ν μεταβλητω ν. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 35

5. Παρα δειγμα 4 Να δει ξετε την ανισο τητα του Boole χρησιμοποιω ντας με σες τιμε ς δεικνυουσω ν μεταβλητω ν. Απο δειξη: Έστω γεγονο τα A 1, A 2,..., A n. Θε λουμε να δει ξουμε ο τι: n Pr{ n i=1a i } Pr{A i } i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 35

5. Παρα δειγμα 4 Να δει ξετε την ανισο τητα του Boole χρησιμοποιω ντας με σες τιμε ς δεικνυουσω ν μεταβλητω ν. Απο δειξη: Έστω γεγονο τα A 1, A 2,..., A n. Θε λουμε να δει ξουμε ο τι: n Pr{ n i=1a i } Pr{A i } i=1 Έστω τ.μ. X 1, X 2,..., X n που δει χνουν αν συνε βη η ο χι κα θε ε να απο τα A i, δηλαδη : { 1, αν συνε βη το Ai X i = 0, διαφορετικα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 35

5. Παρα δειγμα 4 Να δει ξετε την ανισο τητα του Boole χρησιμοποιω ντας με σες τιμε ς δεικνυουσω ν μεταβλητω ν. Απο δειξη: Έστω γεγονο τα A 1, A 2,..., A n. Θε λουμε να δει ξουμε ο τι: n Pr{ n i=1a i } Pr{A i } i=1 Έστω τ.μ. X 1, X 2,..., X n που δει χνουν αν συνε βη η ο χι κα θε ε να απο τα A i, δηλαδη : { 1, αν συνε βη το Ai X i = 0, διαφορετικα n Έστω X = X i οπο τε η X μετρα ει τον αριθμο των γεγονο των i=1 που πραγματοποιη θηκαν. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 35

5. Παρα δειγμα 4 - Συνε χεια Έστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικα δηλαδη η Y δει χνει αν πραγματοποιη θηκε η ο χι τουλα χιστον ε να γεγονο ς. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 35

5. Παρα δειγμα 4 - Συνε χεια Έστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικα δηλαδη η Y δει χνει αν πραγματοποιη θηκε η ο χι τουλα χιστον ε να γεγονο ς. Προφανω ς X Y Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 35

5. Παρα δειγμα 4 - Συνε χεια Έστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικα δηλαδη η Y δει χνει αν πραγματοποιη θηκε η ο χι τουλα χιστον ε να γεγονο ς. Προφανω ς X Y Άρα E(X) E(Y) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 35

5. Παρα δειγμα 4 - Συνε χεια Έστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικα δηλαδη η Y δει χνει αν πραγματοποιη θηκε η ο χι τουλα χιστον ε να γεγονο ς. Προφανω ς X Y Άρα E(X) E(Y) ( n ) Αλλα (X) = E X i = i=1 n E(X i ) = i=1 n 1 Pr{A i } i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 35

5. Παρα δειγμα 4 - Συνε χεια Έστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικα δηλαδη η Y δει χνει αν πραγματοποιη θηκε η ο χι τουλα χιστον ε να γεγονο ς. Προφανω ς X Y Άρα E(X) E(Y) ( n ) Αλλα (X) = E X i = i=1 n E(X i ) = i=1 n 1 Pr{A i } i=1 και (Y) = 1 Pr{X 1} = Pr{X 1} = Pr{ n i=1a i } Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 35

5. Παρα δειγμα 5 Μι α γραμματε ας βα ζει τυχαι α n επιστολε ς σε n φακε λους. Ποια ει ναι η με ση τιμη του αριθμου των επιστολω ν που μπαι νουν στο σωστο φα κελο? Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 35

5. Παρα δειγμα 5 Μι α γραμματε ας βα ζει τυχαι α n επιστολε ς σε n φακε λους. Ποια ει ναι η με ση τιμη του αριθμου των επιστολω ν που μπαι νουν στο σωστο φα κελο? Λυ ση: Έστω δεικνυ ουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : { 1, αν η επιστολη i μπαι νει στο σωστο φα κελο X i = 0, διαφορετικα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 35

5. Παρα δειγμα 5 Μι α γραμματε ας βα ζει τυχαι α n επιστολε ς σε n φακε λους. Ποια ει ναι η με ση τιμη του αριθμου των επιστολω ν που μπαι νουν στο σωστο φα κελο? Λυ ση: Έστω δεικνυ ουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : { 1, αν η επιστολη i μπαι νει στο σωστο φα κελο X i = 0, διαφορετικα Άρα X = n X i ει ναι ο αριθμο ς των επιστολω ν σε σωστο φα κελο. i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 35

5. Παρα δειγμα 5 Μι α γραμματε ας βα ζει τυχαι α n επιστολε ς σε n φακε λους. Ποια ει ναι η με ση τιμη του αριθμου των επιστολω ν που μπαι νουν στο σωστο φα κελο? Λυ ση: Έστω δεικνυ ουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : Άρα X = { 1, αν η επιστολη i μπαι νει στο σωστο φα κελο X i = 0, διαφορετικα n X i ει ναι ο αριθμο ς των επιστολω ν σε σωστο φα κελο. i=1 Ει ναι E(X i ) = 1 Pr{ επιστολη i σε σωστο φα κελο} = (n 1)! = = 1 n! n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 35

5. Παρα δειγμα 5 Μι α γραμματε ας βα ζει τυχαι α n επιστολε ς σε n φακε λους. Ποια ει ναι η με ση τιμη του αριθμου των επιστολω ν που μπαι νουν στο σωστο φα κελο? Λυ ση: Έστω δεικνυ ουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : Άρα X = { 1, αν η επιστολη i μπαι νει στο σωστο φα κελο X i = 0, διαφορετικα n X i ει ναι ο αριθμο ς των επιστολω ν σε σωστο φα κελο. i=1 Ει ναι E(X i ) = 1 Pr{ επιστολη i σε σωστο φα κελο} = (n 1)! = = 1 n! n Άρα E(X) = E ( n i=1 X ) i = n i=1 E(X i) = n i=1 1 n = n 1 n = 1 Άρα κατα με ση τιμη 1 επιστολη θα μπει σε σωστο φα κελο. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 35

5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35

5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35

5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Ει ναι X = n X i, ο που X i = i=1 { 1, με πιθανο τητα p = 1 n 0, με πιθανο τητα 1 p Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35

5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Ει ναι X = n X i, ο που X i = i=1 { 1, με πιθανο τητα p = 1 n 0, με πιθανο τητα 1 p Ει ναι Var(X i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p + 0 2 (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35

5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Ει ναι X = n X i, ο που X i = i=1 { 1, με πιθανο τητα p = 1 n 0, με πιθανο τητα 1 p Ει ναι Var(X i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p + 0 2 (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Επι σης Cov(X i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35

5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Ει ναι X = n X i, ο που X i = i=1 { 1, με πιθανο τητα p = 1 n 0, με πιθανο τητα 1 p Ει ναι Var(X i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p + 0 2 (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Επι σης Cov(X i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) Αλλα E(X i X j ) = 1 Pr{X i = 1 X j = 1} = = Pr{X i = 1}Pr{X j = 1 X i = 1} = 1 n 1 n 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35

5. Παρα δειγμα 6 Να βρεθει η διασπορα στο παρα δειγμα 5 Λυ ση: Ει ναι X = n X i, ο που X i = i=1 { 1, με πιθανο τητα p = 1 n 0, με πιθανο τητα 1 p Ει ναι Var(X i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p + 0 2 (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Επι σης Cov(X i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) Αλλα E(X i X j ) = 1 Pr{X i = 1 X j = 1} = = Pr{X i = 1}Pr{X j = 1 X i = 1} = 1 n 1 ( ) n 1 1 1 2 Άρα Cov(X i, X j ) = n(n 1) 1 = n n 2 (n 1) Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 35

5. Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 29 / 35

5. Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια Οπο τε απο τη σχε ση n n Var( X i ) = Var(X i ) + i=1 i=1 i Cov(X i, X j ) j i Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 29 / 35

5. Παρα δειγμα 6 - Συνε χεια Οπο τε απο τη σχε ση n n Var( X i ) = Var(X i ) + Cov(X i, X j ) i=1 i=1 i j i Προκυ πτει ο τι Var(X) = n n 1 1 n 2 + n(n 1) n 2 (n 1) = n 1 + 1 n n = 1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 29 / 35

5. Παρα δειγμα 7 (the weak law of large numbers) Έστω X 1, X 2,... μι α ακολουθι α ανεξα ρτητων τ.μ. με την ι δια κατανομη και ι δια πεπερασμε νη με ση τιμη E(X i ) = µ και διασπορα { Var(X i ) = σ 2. Το τε, } ϵ > 0 : X 1 + + X n Pr µ n ϵ 0 καθω ς n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 35

5. Παρα δειγμα 7 (the weak law of large numbers) Έστω X 1, X 2,... μι α ακολουθι α ανεξα ρτητων τ.μ. με την ι δια κατανομη και ι δια πεπερασμε νη με ση τιμη E(X i ) = µ και διασπορα { Var(X i ) = σ 2. Το τε, } ϵ > 0 : X 1 + + X n Pr µ n ϵ 0 καθω ς n Απο δειξη: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 35

5. Παρα δειγμα 7 (the weak law of large numbers) Έστω X 1, X 2,... μι α ακολουθι α ανεξα ρτητων τ.μ. με την ι δια κατανομη και ι δια πεπερασμε νη με ση τιμη E(X i ) = µ και διασπορα { Var(X i ) = σ 2. Το τε, } ϵ > 0 : X 1 + + X n Pr µ n ϵ 0 καθω ς n Απο δειξη: ( ) X1 + + X n Ει ναι E = 1 n n n E(X i ) = 1 n n µ = µ i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 35

5. Παρα δειγμα 7 (the weak law of large numbers) Έστω X 1, X 2,... μι α ακολουθι α ανεξα ρτητων τ.μ. με την ι δια κατανομη και ι δια πεπερασμε νη με ση τιμη E(X i ) = µ και διασπορα { Var(X i ) = σ 2. Το τε, } ϵ > 0 : X 1 + + X n Pr µ n ϵ 0 καθω ς n Απο δειξη: ( ) X1 + + X n Ει ναι E = 1 n n και (λο γω ανεξαρτησι ας): ( ) X1 + + X n Var = 1 n n 2 n i=1 n E(X i ) = 1 n n µ = µ i=1 Var(X i ) = 1 n 2 n σ2 = σ2 n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 35

5. Παρα δειγμα 7 (the weak law of large numbers) Έστω X 1, X 2,... μι α ακολουθι α ανεξα ρτητων τ.μ. με την ι δια κατανομη και ι δια πεπερασμε νη με ση τιμη E(X i ) = µ και διασπορα { Var(X i ) = σ 2. Το τε, } ϵ > 0 : X 1 + + X n Pr µ n ϵ 0 καθω ς n Απο δειξη: ( ) X1 + + X n Ει ναι E = 1 n n n E(X i ) = 1 n n µ = µ και (λο γω ανεξαρτησι ας): ( ) X1 + + X n Var = 1 n n n 2 Var(X i ) = 1 n 2 n σ2 = σ2 n i=1 { } X 1 + + X n σ Άρα: Pr µ 2 n ϵ n ϵ 2 0 i=1 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 35

Φυσικη σημασι α Φυσικη σημασι α: Ο με σος ο ρος μιας ακολουθι ας n ανεξα ρτητων τυχαι ων μεταβλητω ν με ι δια κατανομη και με ση τιμη συγκεντρω νεται ισχυρα γυ ρω απο αυτη τη με ση τιμη, καθω ς το n μεγαλω νει και τει νει στο α πειρο. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 35

Φυσικη σημασι α Φυσικη σημασι α: Ο με σος ο ρος μιας ακολουθι ας n ανεξα ρτητων τυχαι ων μεταβλητω ν με ι δια κατανομη και με ση τιμη συγκεντρω νεται ισχυρα γυ ρω απο αυτη τη με ση τιμη, καθω ς το n μεγαλω νει και τει νει στο α πειρο. π.χ. αν { ρι ξω n φορε ς ε να νο μισμα και 1, αν αποτε λεσμα κεφαλη X i = 0, αν αποτε λεσμα γρα μματα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 35

Φυσικη σημασι α Φυσικη σημασι α: Ο με σος ο ρος μιας ακολουθι ας n ανεξα ρτητων τυχαι ων μεταβλητω ν με ι δια κατανομη και με ση τιμη συγκεντρω νεται ισχυρα γυ ρω απο αυτη τη με ση τιμη, καθω ς το n μεγαλω νει και τει νει στο α πειρο. π.χ. αν { ρι ξω n φορε ς ε να νο μισμα και 1, αν αποτε λεσμα κεφαλη X i = 0, αν αποτε λεσμα γρα μματα το τε E(X i ) = 1 1 2 + 0 1 2 = 1 2 = µ και επομε νως: Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 35

Φυσικη σημασι α Φυσικη σημασι α: Ο με σος ο ρος μιας ακολουθι ας n ανεξα ρτητων τυχαι ων μεταβλητω ν με ι δια κατανομη και με ση τιμη συγκεντρω νεται ισχυρα γυ ρω απο αυτη τη με ση τιμη, καθω ς το n μεγαλω νει και τει νει στο α πειρο. π.χ. αν { ρι ξω n φορε ς ε να νο μισμα και 1, αν αποτε λεσμα κεφαλη X i = 0, αν αποτε λεσμα γρα μματα το τε { E(X i ) = 1 1 2 + 0 1 2 = 1 2 = µ και επομε νως: X 1 + + X n Pr 1 } n 2 ϵ 0 καθω ς n δηλαδη ο αριθμο ς των αποτελεσμα των κεφαλη σε n επαναλη ψεις συγκεντρω νεται πολυ κοντα στο n 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 35

Φυσικη σημασι α Φυσικη σημασι α: Ο με σος ο ρος μιας ακολουθι ας n ανεξα ρτητων τυχαι ων μεταβλητω ν με ι δια κατανομη και με ση τιμη συγκεντρω νεται ισχυρα γυ ρω απο αυτη τη με ση τιμη, καθω ς το n μεγαλω νει και τει νει στο α πειρο. π.χ. αν { ρι ξω n φορε ς ε να νο μισμα και 1, αν αποτε λεσμα κεφαλη X i = 0, αν αποτε λεσμα γρα μματα το τε { E(X i ) = 1 1 2 + 0 1 2 = 1 2 = µ και επομε νως: X 1 + + X n Pr 1 } n 2 ϵ 0 καθω ς n δηλαδη ο αριθμο ς των αποτελεσμα των κεφαλη σε n επαναλη ψεις συγκεντρω νεται πολυ κοντα στο n 2 Παρατη ρηση: Ωστο σο, σε κα θε ρι ψη η πιθανο τητα για κεφαλη ει ναι πα ντα 1 2 ανεξαρτη τως της ιστορι ας! π.χ. Pr{ κεφαλη κεφαλη στις 100 τελευται ες ρι ψεις} = 1 2 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 35

Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Ένας ισχυρο τερος νο μος: Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Με πιθανο τητα 1, X 1 + + X n n µ καθω ς n Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 35

Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Ένας ισχυρο τερος νο μος: Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Με πιθανο τητα 1, X 1 + + X n µ καθω ς n n Φυσικη σημασι α: Σε ανεξα ρτητες επαναλη ψεις ενο ς πειρα ματος, ε στω{ 1, αν το γεγονο ς Ε συμβαι νει στην i-οστη επανα ληψη X i = 0, διαφορετικα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 35

Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Ένας ισχυρο τερος νο μος: Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Με πιθανο τητα 1, X 1 + + X n µ καθω ς n n Φυσικη σημασι α: Σε ανεξα ρτητες επαναλη ψεις ενο ς πειρα ματος, ε στω{ 1, αν το γεγονο ς Ε συμβαι νει στην i-οστη επανα ληψη X i = 0, διαφορετικα και ε στω P(E) η πιθανο τητα να συμβει το E. Προφανω ς E(X i ) = P(E), α ρα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 35

Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Ένας ισχυρο τερος νο μος: Ο ισχυρο ς νο μος των μεγα λων αριθμω ν Με πιθανο τητα 1, X 1 + + X n µ καθω ς n n Φυσικη σημασι α: Σε ανεξα ρτητες επαναλη ψεις ενο ς πειρα ματος, ε στω{ 1, αν το γεγονο ς Ε συμβαι νει στην i-οστη επανα ληψη X i = 0, διαφορετικα και ε στω P(E) η πιθανο τητα να συμβει το E. Προφανω ς E(X i ) = P(E), α ρα #πραγματοποιη σεων του E P(E) με πιθανο τητα 1 καθω ς ο #επαναλη ψεων αριθμο ς των επαναλη ψεων τει νει στο α πειρο. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 35

Η Διαφορα των δυ ο νο μων Η Διαφορα των δυ ο νο μων: Ο ασθενη ς νο μος λε ει ο τι για οποιοδη ποτε μεγα λο n, ο με σος ο ρος των αποτελεσμα των των πρω των n επαναλη ψεων θα ει ναι κοντα στη με ση τιμη µ. Δεν εξασφαλι ζει ο μως ο τι για περισσο τερες του n επαναλη ψεις οι αποκλι σεις θα παραμε νουν μικρε ς, δηλαδη μεγα λες αποκλι σεις μπορει να εμφανιστου ν α πειρες φορε ς (αν και σε αραια διαστη ματα) Ισχυρο ς νο μος: μεγα λες αποκλι σεις μο νο σε πεπερασμε νο αριθμο επαναλη ψεων, με πιθανο τητα 1. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 33 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = 10 + 12 2( 3) = 28 Άρα Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = 10 + 12 2( 3) = 28 Άρα Pr{ X 1 X 2 > 15} = Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = 10 + 12 2( 3) = 28 Άρα Pr{ X 1 X 2 > 15} = Pr{ X 1 X 2 0 > 15} Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

5. Παρα δειγμα 8 Έστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, Var(X 1 ) = 10, Var(X 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρει τε α νω φρα γμα για την Pr{ X 1 X 2 > 15}. Λυ ση: Ει ναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 75 75 = 0 και Var(X 1 X 2 ) = Var[X 1 + ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + Var[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = Var(X 1 ) + ( 1) 2 Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = 10 + 12 2( 3) = 28 Άρα Pr{ X 1 X 2 > 15} = Pr{ X 1 X 2 0 > 15} Var(X 1 X 2 ) = 28 15 2 225 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 35

Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα Πιθανότητες 35 / 35