P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
|
|
|
- Ευτροπια Ελευθεριάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39
2 Περιεχόμενα 4ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Σχόλιο για σημερινό μάθημα 3 Τυχαίες Μεταβλητές 4 Κατανομές 5 Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 6 Μέση Τιμή 7 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 2 / 39
3 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Σχόλιο για σημερινό μάθημα 3 Τυχαίες Μεταβλητές 4 Κατανομές 5 Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 6 Μέση Τιμή 7 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 3 / 39
4 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος Δεσμευμένη Πιθανότητα P (A B) = P (AB) P (B) 3 εργαλεία που αξιοποιούν τη δεσμευμένη πιθανότητα ο πολλαπλασιαστικός νόμος το θεώρημα της ολικής πιθανότητας το θεώρημα του Bayes: P (B A) = f (P (A B)) στοχαστική ανεξαρτησία P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 4 / 39
5 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Σχόλιο για σημερινό μάθημα 3 Τυχαίες Μεταβλητές 4 Κατανομές 5 Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 6 Μέση Τιμή 7 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 5 / 39
6 Σχόλιο για σημερινό μάθημα Τομή - πριν: στοιχειώδη μέσα για τη μελέτη της Πιθανότητας γεγονότα σύνολα πράξεις συνόλων αξιωματική θεμελίωση συνδυαστική ανάλυση Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 39
7 Σχόλιο για σημερινό μάθημα Τομή - πριν: στοιχειώδη μέσα για τη μελέτη της Πιθανότητας γεγονότα σύνολα πράξεις συνόλων αξιωματική θεμελίωση συνδυαστική ανάλυση - τώρα: Τυχαίες μεταβλητές γεγονότα αριθμοί πυκνή αναπαράσταση μαθηματική προσέγγιση (ανάλυση, άλγεβρα) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 39
8 Σχόλιο για σημερινό μάθημα Τομή - πριν: στοιχειώδη μέσα για τη μελέτη της Πιθανότητας γεγονότα σύνολα πράξεις συνόλων αξιωματική θεμελίωση συνδυαστική ανάλυση - τώρα: Τυχαίες μεταβλητές γεγονότα αριθμοί πυκνή αναπαράσταση μαθηματική προσέγγιση (ανάλυση, άλγεβρα) Συστηματική μελέτη συνήθων πιθανοτικών φαινομένων (κατανομές) Ισχυρές ποσοτικές παράμετροι (μέση τιμή, διασπορά, ροπές) Ανισότητες για συγκέντρωση τιμών Πολύ ισχυρά εργαλεία (πιθανογεννήτριες, ροπογεννήτριες) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 39
9 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Σχόλιο για σημερινό μάθημα 3 Τυχαίες Μεταβλητές 4 Κατανομές 5 Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 6 Μέση Τιμή 7 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 7 / 39
10 3. Τυχαίες Μεταβλητές α. Ορισμός τυχαίας μεταβλητής: συνάρτηση ορισμένη σε ένα δειγματοχώρο αντιστοιχούμε στα ΣΗΜΕΙΑ ενός δειγματοχώρου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ αριθμούς έτσι περνάμε από ΣΥΝΟΛΑ σε ΑΡΙΘΜΟΥΣ (συστηματική προσέγγιση) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 8 / 39
11 3. Τυχαίες Μεταβλητές β. Παράδειγμα Ρίψη νομίσματος 2 φορές Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} τυχαία μεταβλητή Χ = #αποτελεσμάτων κεφαλή Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 39
12 3. Τυχαίες Μεταβλητές β. Παράδειγμα Ρίψη νομίσματος 2 φορές Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} τυχαία μεταβλητή Χ = #αποτελεσμάτων κεφαλή Χ: Οπότε π.χ. γεγονός 1 κεφαλή Χ = 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 39
13 3. Τυχαίες Μεταβλητές β. Παράδειγμα Ρίψη νομίσματος 2 φορές Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} τυχαία μεταβλητή Χ = #αποτελεσμάτων κεφαλή Χ: Οπότε π.χ. γεγονός 1 κεφαλή Χ = 1 Υπάρχουν πολλές τ.μ. στον ίδιο χώρο π.χ. Y = απόλυτη διαφορά αποτελεσμάτων κεφαλή από αποτελέσματα γράμματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 39
14 3. Τυχαίες Μεταβλητές β. Παράδειγμα Ρίψη νομίσματος 2 φορές Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} τυχαία μεταβλητή Χ = #αποτελεσμάτων κεφαλή Χ: Οπότε π.χ. γεγονός 1 κεφαλή Χ = 1 Υπάρχουν πολλές τ.μ. στον ίδιο χώρο π.χ. Y = απόλυτη διαφορά αποτελεσμάτων κεφαλή από αποτελέσματα γράμματα Y = 2, 0, 0, 2. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 39
15 3. Τυχαίες Μεταβλητές γ. Είδη τυχαίων μεταβλητών διακριτές πεπερασμένο πλήθος τιμών αριθμήσιμα άπειρο πλήθος τιμών συνεχείς μη αριθμήσιμα άπειρο πλήθος τιμών Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 10 / 39
16 3. Τυχαίες Μεταβλητές δ. Τυπικά παραδείγματα τ.μ. Ο αριθμός τηλεφωνημάτων, s, σε ορισμένο χρονικό διάστημα Δ Ο αριθμός των άδειων κελιών Δ Το κέρδος ενός παίκτη σε τυχερό παιχνίδι Σ Ο χρόνος παραλαβής ενός Σ Η θέση ενός σωματιδίου σε τυχαία κίνηση Σ Το ύψος των ατόμων ενός πληθυσμού Σ Ο αριθμός των επαναλήψεων μέχρι την πρώτη επιτυχία Δ Ο αριθμός επιτυχιών σε n επαναλήψεις ενός πειράματος Δ Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 11 / 39
17 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Σχόλιο για σημερινό μάθημα 3 Τυχαίες Μεταβλητές 4 Κατανομές 5 Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 6 Μέση Τιμή 7 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 12 / 39
18 4. Κατανομές α. Κατανομή πιθανότητας (ή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, probability density function pdf) Ορισμός Δ f(x) = P (X = x) Σ P (a < X < b) = b a f(x) dx (η πιθανότητα κάθε συγκεκριμένης τιμής είναι 0 ή δεν έχει νόημα) Προϋποθέσεις f κατανομή πιθανότητας f(x) 0 f(x) = 1 x ( f(x) dx = 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 39 )
19 4. Κατανομές - Απλό παράδειγμα Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Χ = # αποτελεσμάτων κεφαλή Χ = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 39
20 4. Κατανομές - Απλό παράδειγμα Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Χ = # αποτελεσμάτων κεφαλή Χ = {0, 1, 2} Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 39
21 4. Κατανομές - Απλό παράδειγμα Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Χ = # αποτελεσμάτων κεφαλή Χ = {0, 1, 2} P r{x = 0} = f(0) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 39
22 4. Κατανομές - Απλό παράδειγμα Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Χ = # αποτελεσμάτων κεφαλή Χ = {0, 1, 2} P r{x = 0} = f(0) = 1 4 P r{x = 1} = f(1) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 39
23 4. Κατανομές - Απλό παράδειγμα Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Χ = # αποτελεσμάτων κεφαλή Χ = {0, 1, 2} P r{x = 0} = f(0) = 1 4 P r{x = 1} = f(1) = 2 4 = 1 2 P r{x = 2} = f(2) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 39
24 4. Κατανομές - Απλό παράδειγμα Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Χ = # αποτελεσμάτων κεφαλή Χ = {0, 1, 2} P r{x = 0} = f(0) = 1 4 P r{x = 1} = f(1) = 2 4 = 1 2 P r{x = 2} = f(2) = 1 4 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 39
25 4. Κατανομές - Άλλο ένα παράδειγμα ( ) n Να δείξετε ότι 0 p 1 f(x) = p x (1 p) n x x x = 0, 1,, n είναι κατανομή πιθανότητας Απόδειξη: 0 p 1 f(x) 0, x n ( ) n f(x) = p x (1 p) n x = [p + (1 p)] n = 1 n = 1 από x x x=0 το διωνυμικό θεώρημα Διωνυμική B(n, p): n ανεξάρτητες επαναλήψεις, κάθε μία με πιθανότητα επιτυχίας p. x: αριθμός επιτυχιών. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 15 / 39
26 4. Κατανομές - Συνάρτηση κατανομής (distribution function) Ορισμός F (x) = P (X x) = x f(u) du Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 16 / 39
27 4. Κατανομές - Συνάρτηση κατανομής (distribution function) Ορισμός F (x) = P (X x) = Θεώρημα x f(u) du P (a X b) = F (b) F (a) αν ξέρουμε τη συνάρτηση κατανομής βρίσκουμε πιθανότητα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 16 / 39
28 4. Κατανομές - Συνάρτηση κατανομής (distribution function) Ορισμός F (x) = P (X x) = Θεώρημα x f(u) du P (a X b) = F (b) F (a) αν ξέρουμε τη συνάρτηση κατανομής βρίσκουμε πιθανότητα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 16 / 39
29 4. Κατανομές - Συνάρτηση κατανομής (distribution function) Ορισμός F (x) = P (X x) = Θεώρημα x f(u) du P (a X b) = F (b) F (a) αν ξέρουμε τη συνάρτηση κατανομής βρίσκουμε πιθανότητα Σχέση μεταξύ συνάρτησης κατανομής και κατανομής πιθανότητας - Ξέρω pdf βρίσκω F (x) = P (X = x k ) = f(x k ) x k x - Ξέρω συνάρτηση κατανομής βρίσκω f(x) = συνεχή τυχαία μεταβλητή) x k x df (x) dx (για Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 16 / 39
30 4. Κατανομές - Συνάρτηση κατανομής (distribution function) Διακριτές τυχαίες μεταβλητές κλιμακωτή συνάρτηση 0, x < x 1 f(x 1 ), x 1 x < x 2 F (x) = f(x 1 ) + f(x 2 ), x 2 x < x 3.. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 17 / 39
31 4. Κατανομές - Συνάρτηση κατανομής (distribution function) Θεώρημα (α.) 0 F (x) 1 (β.) F (x) αύξουσα (γ.) συνεχής από δεξιά (δ.) οι αριστερές ασυνέχειες ή απότομες μεταβολές δίνουν τις πιθανότητες των σημείων και επομένως την κατανομή πιθανότητας (ε.) lim F (x) = 0 lim F (x) = 1 + Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 18 / 39
32 4. Κατανομές - Συνάρτηση κατανομής (distribution function) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 39
33 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Σχόλιο για σημερινό μάθημα 3 Τυχαίες Μεταβλητές 4 Κατανομές 5 Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 6 Μέση Τιμή 7 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 39
34 5. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Από κοινού κατανομή πιθανότητας f(x, y) = P (X = x, Y = y) P (X = x Y = y) { f(x, y) 0 και f από κοινού κατανομή πιθανότητας x y f(x, y) = 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 21 / 39
35 5. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Περιθώριες κατανομές πιθανότητας f 1 (x) = P (X = x) = P [X = x (Y = y 1 Y = y 2 )] = P [(X = x Y = y 1 ) )] = = y P (X = x, Y = y) = y f(x, y) f 2 (y) = x f(x, y) Επεξήγηση ονόματος Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 39
36 5. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Από κοινού συνάρτηση κατανομής F (x, y) = P (X x, Y y) = f(x, Y ) X x Y y Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 39
37 5. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Αν x, y : {X = x}, {Y = y} ανεξάρτητα γεγονότα f(x, y) = P (X = x Y = y) = P {X = x} P {Y = y} = f 1 (x) f 2 (y) δηλαδή η από κοινού κατανομή πιθανότητας ισούται με το γινόμενο των περιθωρίων κατανομών Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 39
38 5. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 39
39 5. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Δεσμευμένες κατανομές f(y x) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 39
40 5. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Δεσμευμένες κατανομές f(y x) = P (Y = y X = x) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 39
41 5. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Δεσμευμένες κατανομές f(y x) = P (Y = y X = x) = P (X = x, Y = y) P (X = x) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 39
42 5. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Δεσμευμένες κατανομές f(y x) = P (Y = y X = x) = P (X = x, Y = y) P (X = x) = f(x, y) f 1 (x) f(x, y) = f(x, y) y Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 39
43 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Σχόλιο για σημερινό μάθημα 3 Τυχαίες Μεταβλητές 4 Κατανομές 5 Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 6 Μέση Τιμή 7 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 39
44 6. Μέση Τιμή Ορισμός µ = E(X) = x x P r{x = x} = x x f(x) Φυσική σημασία αντιπροσωπεύει όλες τις τιμές που παίρνει η μεταβλητή Χ είναι ένα ζυγισμένο άθροισμα των τιμών της μεταβλητής Χ Κέντρο πιθανότητας Κεντρική τάση Παράμετρος Θέσης Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 28 / 39
45 6. Μέση Τιμή Ιδιότητες α) E(c X) = c E(X), όπου c σταθερά β) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) (γραμμικότητα μέσης τιμής)( είτε είναι ανεξάρτητα είτε όχι) γ) X, Y ανεξάρτητες E(X Y ) = E(X) E(Y ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 39
46 6. Μέση Τιμή Απόδειξη β) E(X + Y ) = (x + y) f(x, y) = x y xf(x, y) + yf(x, y) = x y y x x f(x, y) + y f(x, y) = x y y x x f(x) + y f(y) = E(X) + E(Y ) x y Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 39
47 6. Μέση Τιμή συνάρτησης τ.μ. E(g(x)) = x g(x) f(x) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 31 / 39
48 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Σχόλιο για σημερινό μάθημα 3 Τυχαίες Μεταβλητές 4 Κατανομές 5 Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 6 Μέση Τιμή 7 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 32 / 39
49 7. Παράδειγμα 1 - Μέση τιμή δεικνύουσας τυχαίας μεταβλητής { X i = 1, με πιθανότητα p 0, με πιθανότητα 1 - p E(X i ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 39
50 7. Παράδειγμα 1 - Μέση τιμή δεικνύουσας τυχαίας μεταβλητής { X i = 1, με πιθανότητα p 0, με πιθανότητα 1 - p E(X i ) = 1 p + 0 (1 p) = p Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 39
51 7. Παράδειγμα 2 - Μέση Τιμή διωνυμικής κατανομής x : f(x) = ( ) n p x (1 p) n x 0 p 1 x x : 0, 1,, n Διωνυμική B(n, p): n ανεξάρτητες επαναλήψεις, κάθε μία με πιθανότητα επιτυχίας p. x: αριθμός επιτυχιών. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 39
52 7. Παράδειγμα 2 - Μέση Τιμή διωνυμικής κατανομής x : f(x) = ( ) n p x (1 p) n x 0 p 1 x x : 0, 1,, n E[X] = n x x=0 ( ) n p x (1 p) n x = x Διωνυμική B(n, p): n ανεξάρτητες επαναλήψεις, κάθε μία με πιθανότητα επιτυχίας p. x: αριθμός επιτυχιών. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 39
53 7. Παράδειγμα 2 - Μέση Τιμή διωνυμικής κατανομής x : f(x) = ( ) n p x (1 p) n x 0 p 1 x x : 0, 1,, n E[X] = x=0 n x x=0 ( ) n p x (1 p) n x = x n n! x x! (n x)! px (1 p) n x = Διωνυμική B(n, p): n ανεξάρτητες επαναλήψεις, κάθε μία με πιθανότητα επιτυχίας p. x: αριθμός επιτυχιών. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 39
54 7. Παράδειγμα 2 - Μέση Τιμή διωνυμικής κατανομής x : f(x) = ( ) n p x (1 p) n x 0 p 1 x x : 0, 1,, n E[X] = x=0 n x x=0 ( ) n p x (1 p) n x = x n n! x x! (n x)! px (1 p) n x = n (n 1)! n (x 1)! (n x)! p px 1 (1 p) n x = x=0 Διωνυμική B(n, p): n ανεξάρτητες επαναλήψεις, κάθε μία με πιθανότητα επιτυχίας p. x: αριθμός επιτυχιών. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 39
55 7. Παράδειγμα 2 - Μέση Τιμή διωνυμικής κατανομής = n p n x=0 ( ) n 1 p x 1 (1 p) n x = x 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 39
56 7. Παράδειγμα 2 - Μέση Τιμή διωνυμικής κατανομής = n p n ( ) n 1 p x 1 (1 p) n x = ( θέτοντας x=x+1 ) x 1 n ( ) n 1 = n p p x (1 p) n x 1 = x x=0 x=0 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 39
57 7. Παράδειγμα 2 - Μέση Τιμή διωνυμικής κατανομής = n p n ( ) n 1 p x 1 (1 p) n x = ( θέτοντας x=x+1 ) x 1 n ( ) n 1 = n p p x (1 p) n x 1 = x x=0 x=0 = n p (p + 1 p) n 1 = n p Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 39
58 7. Παράδειγμα 2 - Μέση Τιμή διωνυμικής κατανομής Β Τρόπος X = X 1 + X X n { όπου X i = 1, με πιθανότητα p 0, με πιθανότητα 1 - p Επειδή E(X i ) = p είναι E(X) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 39
59 7. Παράδειγμα 2 - Μέση Τιμή διωνυμικής κατανομής Β Τρόπος X = X 1 + X X n { όπου X i = 1, με πιθανότητα p 0, με πιθανότητα 1 - p Επειδή E(X i ) = p n είναι E(X) = E( X i ) = i=1 n E(X i ) = n p. i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 39
60 7. Παράδειγμα 3 Η τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει τιμές -1,0,1 με πιθανότητα 0.2, 0.5 και 0.3 αντίστοιχα. Να βρεθεί η E(X 2 ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 37 / 39
61 7. Παράδειγμα 3 Η τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει τιμές -1,0,1 με πιθανότητα 0.2, 0.5 και 0.3 αντίστοιχα. Να βρεθεί η E(X 2 ) Λύση: (Α Τρόπος) Η X 2 παίρνει μόνο τις τιμές 1 και 0, με πιθανότητες 0.5 και 0.5. Άρα E(X 2 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 37 / 39
62 7. Παράδειγμα 3 Η τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει τιμές -1,0,1 με πιθανότητα 0.2, 0.5 και 0.3 αντίστοιχα. Να βρεθεί η E(X 2 ) Λύση: (Α Τρόπος) Η X 2 παίρνει μόνο τις τιμές 1 και 0, με πιθανότητες 0.5 και 0.5. Άρα E(X 2 ) = = 0.5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 37 / 39
63 7. Παράδειγμα 3 Η τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει τιμές -1,0,1 με πιθανότητα 0.2, 0.5 και 0.3 αντίστοιχα. Να βρεθεί η E(X 2 ) Λύση: (Α Τρόπος) Η X 2 παίρνει μόνο τις τιμές 1 και 0, με πιθανότητες 0.5 και 0.5. Άρα E(X 2 ) = = 0.5 Παρατηρούμε ότι E(X) = = 0.1 Άρα E 2 (X) = 0.01 E(X 2 ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 37 / 39
64 7. Παράδειγμα 3 Η τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει τιμές -1,0,1 με πιθανότητα 0.2, 0.5 και 0.3 αντίστοιχα. Να βρεθεί η E(X 2 ) Λύση: (Α Τρόπος) Η X 2 παίρνει μόνο τις τιμές 1 και 0, με πιθανότητες 0.5 και 0.5. Άρα E(X 2 ) = = 0.5 Παρατηρούμε ότι E(X) = = 0.1 Άρα E 2 (X) = 0.01 E(X 2 ) Β Τρόπος E(X 2 ) = x x2 P r{x = x} = ( 1) (0) (1) = = 0.5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 37 / 39
65 7. Παράδειγμα 4 Εστω ότι η συνάρτηση κατανομής της τ.μ. X είναι η F. Ποιά η συνάρτηση κατανομής της e X ; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 39
66 7. Παράδειγμα 4 Εστω ότι η συνάρτηση κατανομής της τ.μ. X είναι η F. Ποιά η συνάρτηση κατανομής της e X ; Λύση: F e X (x) = P r{e X x} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 39
67 7. Παράδειγμα 4 Εστω ότι η συνάρτηση κατανομής της τ.μ. X είναι η F. Ποιά η συνάρτηση κατανομής της e X ; Λύση: F e X (x) = P r{e X x} = P r{x ln x} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 39
68 7. Παράδειγμα 4 Εστω ότι η συνάρτηση κατανομής της τ.μ. X είναι η F. Ποιά η συνάρτηση κατανομής της e X ; Λύση: F e X (x) = P r{e X x} = P r{x ln x} = F (ln x) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 39
69 7. Παράδειγμα 5 Ρίχνουμε ένα νόμισμα (για το οποίο η κεφαλή έχει πιθανότητα p) μέχρι να εμφανιστεί είτε κεφαλή είτε γράμματα για δεύτερη φορά. Ποιός είναι ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 39 / 39
70 7. Παράδειγμα 5 Ρίχνουμε ένα νόμισμα (για το οποίο η κεφαλή έχει πιθανότητα p) μέχρι να εμφανιστεί είτε κεφαλή είτε γράμματα για δεύτερη φορά. Ποιός είναι ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων; Λύση: Εστω X ο αριθμός των επαναλήψεων. Το ζητούμενο θα συμβεί είτε σε 2 είτε σε 3 επαναλήψεις. Είναι: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 39 / 39
71 7. Παράδειγμα 5 Ρίχνουμε ένα νόμισμα (για το οποίο η κεφαλή έχει πιθανότητα p) μέχρι να εμφανιστεί είτε κεφαλή είτε γράμματα για δεύτερη φορά. Ποιός είναι ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων; Λύση: Εστω X ο αριθμός των επαναλήψεων. Το ζητούμενο θα συμβεί είτε σε 2 είτε σε 3 επαναλήψεις. Είναι: P r{x = 2} = p p+(1 p)(1 p) = p 2 +1+p 2 2p = 2p 2 2p+1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 39 / 39
72 7. Παράδειγμα 5 Ρίχνουμε ένα νόμισμα (για το οποίο η κεφαλή έχει πιθανότητα p) μέχρι να εμφανιστεί είτε κεφαλή είτε γράμματα για δεύτερη φορά. Ποιός είναι ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων; Λύση: Εστω X ο αριθμός των επαναλήψεων. Το ζητούμενο θα συμβεί είτε σε 2 είτε σε 3 επαναλήψεις. Είναι: P r{x = 2} = p p+(1 p)(1 p) = p 2 +1+p 2 2p = 2p 2 2p+1 P r{x = 3} = p(1 p) + (1 p)p = 2p(1 p) Άρα E(X) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 39 / 39
73 7. Παράδειγμα 5 Ρίχνουμε ένα νόμισμα (για το οποίο η κεφαλή έχει πιθανότητα p) μέχρι να εμφανιστεί είτε κεφαλή είτε γράμματα για δεύτερη φορά. Ποιός είναι ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων; Λύση: Εστω X ο αριθμός των επαναλήψεων. Το ζητούμενο θα συμβεί είτε σε 2 είτε σε 3 επαναλήψεις. Είναι: P r{x = 2} = p p+(1 p)(1 p) = p 2 +1+p 2 2p = 2p 2 2p+1 P r{x = 3} = p(1 p) + (1 p)p = 2p(1 p) Άρα E(X) = 2(2p 2 2p + 1) p(1 p) = = 4p 2 4p p 6p 2 = 2p 2p Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 39 / 39
pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
![pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q](/thumbs/62/47321496.jpg "pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q")
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
![pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q](/thumbs/99/140112502.jpg "pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q")
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5
5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Στοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα
Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες
Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την
Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε
Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]
![E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]](/thumbs/99/141874444.jpg "E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]")
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (6η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:
ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 3 η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Μέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό
Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire)
Τυχαία Μεταβλητή (Random varable-varable aléatore) Σε πολλούς τύπους πειραμάτων τα αποτελέσματα είναι από τη φύση τους πραγματικοί αριθμοί. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν οι μετρήσεις των υψών
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις Έννοια τυχαίας μεταβλητής Κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων, συχνά συμβαίνει τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν να μετρούν
Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Συστήματα Αναμονής Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη
P(200 X 232) = =
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη
p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη
3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει
X:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν.
Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Τυχαίες Μεταβλητές Έστω ότι εκτελούµε ένα πείραµα τύχης και ότι είµαστε σε θέση να µετρήσουµε όλα τα δυνατά αποτελέσµατα και να αντιστοιχούµε ένα πραγµατικό αριθµό σε
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός
Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία
Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών
Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την
Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Χρονικές σειρές Τμήμα μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα 1 Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.
Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες
Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις..........................................
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207-8. Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης.. Αν P (A) / και P (A B) /4, βρείτε την ελάχιστη δυνατή και την μέγιστη δυνατή τιμή της P (B). Το B καλύπτει οπωσδήποτε
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Λύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. (Μπάλες Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ (αʹ Έστω A το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον μια άσπρη μπάλα. Θα υπολογίσουμε
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 17 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού
Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 05 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 6 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Η εταιρεία
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότητες ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:
3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί
Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014
Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά
Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό
Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method)
Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία Δύο βασικά εργαλεία από τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 1 Υποπροσθετικότητα (Union Bound). 2 Γραμμικότητα Αναμενόμενης Τιμής (Linearity of Expectation). Τμήμα Πληροφορικής
17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη
Στατιστική Ι 3 η Διάλεξη 1 2 Τυχαία μεταβλητή X στο δειγματικό χώρο Ω Μια πραγματική συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε
. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01
X i = Y = X 1 + X X N.
Κεφάλαιο 6 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Σε σύνθετα προβλήματα των πιθανοτήτων, όπως π.χ. σε προβλήματα ανάλυσης πολύπλοκων δικτύων ή στη στατιστική ανάλυση μεγάλων δεδομένων, η λεπτομερής, στοιχείο-προς-στοιχείο
07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)
07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα
Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν.
ΚΥΡΙΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ Τ.Μ. Μπορούμε να διευρύνουμε την ερμηνεία των κατανομών με τη βοήθεια της έννοιας της μάζας. Έτσι οι τιμές που παίρνει μια Τ.Μ. περιγράφουν τη μάζα πιθανότητας στο συγκεκριμένο
X = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Κεφάλαιο Κατανομές Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς - - Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Έστω οι διαφορετικές διατάξεις ενός αγοριού (B) και ενός κοριτσιού (G) σε τέσσερις
ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
ρ. Ευστρατία Μούρτου
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου
II. Τυχαίες Μεταβλητές
II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο
X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας
Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής
Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες
Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.
Στατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 1 η : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Άδειες
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία
1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων
. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά
HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων
HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Στοχαστικές Τυχαίες Μεταβλητές/ Στοχαστικά Σήματα Πειραματικά δεδομένα >Επιλογή τύπου μοντέλου >Επιλογή κριτηρίου >Υπολογισμός >Επικύρωση Προσαρμογή καμπύλης (Curve