1 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΗ

1 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΗ Αβαρές και μη εκτατό νήμα είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο έδαφος. Το ελεύθερο άκρο του νήματος διέρχεται αρχικά σε πολλές στροφές γύρω από το αυλάκι ομογενούς τροχαλίας (1) με μάζα Μ 1 = 4m και ακτίνα R 1 και στη συνέχεια σε πολλές στροφές γύρω από το αυλάκι ομογενούς τροχαλίας () με μάζα M = m και ακτίνα R = 0.5 m. Το άκρο αυτό συνδέεται τελικά με υλικό σώμα μάζας m το οποίο ισορροπεί σε ύψος h = 3.5 m από το έδαφος. Η διάταξη αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Κάθε τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, και το νήμα δεν γλιστρά στα αυλάκια των τροχαλιών. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί. Εκτρέπουμε το σώμα μάζας m κατά Δl προς τα κάτω και το αφήνουμε ελεύθερο, θέτοντας έτσι το σύστημα σε κίνηση. α. Να αποδειχθεί πως το σώμα μάζας m εκτελεί Απλή Αρμονική Ταλάντωση και να βρεθεί η σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσής του. β. Κάποια χρονική στιγμή t 0 = 0, κατά την οποία το σώμα μάζας m έχει μέγιστη ταχύτητα και φορά κίνησης προς τα κάτω, κόβουμε το νήμα στο σημείο Α που φαίνεται στο σχήμα. Δεδομένου πως m = 1 kg και πως το σώμα μάζας m φτάνει στο έδαφος τη χρονική στιγμή t 1 = 1 s να βρεθούν: i) Η αρχική εκτροπή Δl. ii) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας () τη στιγμή αμέσως πριν το σώμα μάζας m φτάσει στο έδαφος. 1

γ. Αν γνωρίζουμε πως αφού το σώμα μάζας m συγκρουστεί με το έδαφος ανέρχεται σε ύψος h = 1.8 m από το έδαφος, όπου σταματά στιγμιαία, να προσδιοριστεί εάν η κρούση του με το έδαφος ήταν ελαστική ή ανελαστική. Θεωρήστε πως αφού το σώμα φτάσει στο έδαφος η τάση του νήματος δεν επηρεάζει πλέον την κίνησή του. Δίνονται: Η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10m/s. Η ροπή αδράνειας κυλινδρικής τροχαλίας μάζας M και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της: I cm = ½MR.

1 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α. Στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος, όπου το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά μήκος l 0, ισχύει: Τροχαλία (1): Στ = 0 Fελ R 1 = T 1 R 1 Τ 1 = k l 0, όπου T 1 η δύναμη που ασκεί το νήμα στην τροχαλία (1). Το ίδιο νήμα θα ασκεί μία αντίστοιχη δύναμη Τ 1 στην τροχαλία (), η οποία θα έχει το ίδιο μέτρο με την δύναμη Τ 1, ως δυνάμεις με τη σχέση δράσηαντίδραση. Έτσι, μπορούμε να πούμε πως Τ 1 = k l 0 (Ι). Τροχαλία (): Στ = 0 Τ 1 R = T R Τ = Τ 1, και λόγω της σχέσης (I) προκύπτει πως Τ = k l 0, όπου Τ η δύναμη που ασκεί το νήμα που συνδέει την τροχαλία () με το σώμα μάζας m, στην τροχαλία (). Στο σώμα μάζας m θα ασκείται αντίστοιχα μία δύναμη Τ, η οποία θα είναι κατά μέτρο ίση με τη δύναμη Τ, ως δυνάμεις με τη σχέση δράση-αντίδραση. Άρα, με βάση τα παραπάνω, θα ισχύει Τ = k l 0 (ΙI). Σώμα μάζας m: ΣF = 0 Τ = mg και λόγω της σχέσης (ΙΙ) προκύπτει: k l 0 = mg (III). Εκτρέπουμε το σώμα μάζας m, ώστε αυτό να απέχει απόσταση y από τη Θέση Ισορροπίας του. Έτσι, προκαλούμε στο ελατήριο επιπλέον επιμήκυνση y, το οποίο πλέον απέχει από τη Θέση Φυσικού του Μήκους απόσταση ίση 3

με l 0 + y. Αφού αφήσουμε το σώμα μάζας m ελεύθερο να κινηθεί, ολόκληρο το σύστημα τίθεται σε κίνηση. Ισχύει λοιπόν: Τροχαλία (1): Στ = I 1 α γων(1) T 1 R 1 - FελR 1 = ½M 1 R 1 α γων(1) Τ 1 = Fελ + ½M 1 R 1 α γων(1) (IV). Τροχαλία (): Στ = I α γων() T R Τ 1 R = ½M R α γων() Τ = Τ 1 + ½M R α γων() (V). Αφού κάθε σημείο του νήματος έχει την ίδια ταχύτητα ανά πάσα στιγμή, θα ισχύει για σημεία των περιφερειών των τροχαλιών (1) και (): U 1 = U ω 1 R 1 = ω R α γων(1) R 1 = α γων() R (VI). Για τον ίδιο λόγο, η σχέση που θα συνδέει την επιτάχυνση του σώματος μάζας m με τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας () θα είναι: α = α γων() R (VIΙ). Με βάση τις σχέσεις V, IV, VI και VII, κατ αυτή τη σειρά, θα έχουμε για το σώμα μάζας m: ΣF = mα mg T = mα mg - Τ 1 - ½M R α γων() = mα mg Fελ - ½M 1 R 1 α γων(1) - ½M R α γων() = mα mg Fελ - ½M 1 R α γων() - ½M R α γων() = mα mg Fελ - ½M 1 α - ½M α = mα mg Fελ = α (m + ½M 1 + ½M ) mg k (l 0 + y) = α (m + m + m) mg kl 0 ky = 4mα Όμως από τη σχέση (ΙΙΙ) έχουμε πως mg = kl 0, άρα η παραπάνω σχέση γράφεται: 4mα = -ky mα = 4 k y ΣF = 4 k y, άρα συμπεραίνουμε πως το σώμα μάζας m εκτελεί Α.A.T. σταθεράς D = k D = 5 N/m. 4 β. Αφού κόψουμε το νήμα οι επιταχύνσεις των σωμάτων θα μεταβληθούν. 4

i) Τροχαλία: Στ = Ι α γ Τ ν R = ½M R α γ Τ ν = ½M R α γ Σώμα μάζας m: ΣF = mα mg Τν = mα mg ½M R α γ = mα Θα ισχύει και πάλι πως α = α γ R, άρα έχουμε: mg - ½M α = mα mg mα = mα mα = mg α = Είναι h = U 0 t 1 + ½α t 1 3.5 = U 0 +.5 U 0 = 1 m/s. g α = 5 m/s. Ισχύει όμως πως U 0 = U max, όπου U max η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης που εκτελούσε το σώμα μάζας m πριν να κοπεί το νήμα. Αφού η ταλάντωσή του ξεκίνησε με μηδενική ταχύτητα, σημαίνει πως βρισκόταν σε Ακραία Θέση, άρα το Δl ισούται με το πλάτος της ταλάντωσης. Ισχύει D = mω ω = 5 ω = 5 rad/s. Έχουμε λοιπόν: U 0 = U max U 0 = ωδl 1 = 5Δl Δl = 0. m. ii) Ισχύει α = α γ R α γ = 5 α γ = 10 rad/s. 0.5 U 0 = ω 0 R ω 0 = rad/s. α γ = σταθ., άρα ισχύει α γ = ω1 - ω t1 0 10 = ω 1 ω 1 = 1 rad/s. dk dt = Στ ω = Ι α γ ω 1 = ½M R α γ ω 1 dk dt = 30 J/s. γ. Για την ταχύτητα του σώματος πριν τη σύγκρουση ισχύει: U 1 = ω 1 R 1 U 1 = 6 m/s. Η κινητική του ενέργεια, επομένως, θα είναι Κ 1 = ½mU 1 K 1 = 18 J. Μετά την κρούση το σώμα έχει επιτάχυνση g και ισχύει: h = U 1 t 1 - ½gt 1 (i) U 1 = gt 1 (ii) Από τις σχέσεις (i) και (ii) προκύπτει: U1' h = g U 1 = 36 U 1 = 6 m/s, άρα θα έχουμε: K 1 = ½mU 1 K 1 = 18 J. Ισχύει Κ 1 = Κ 1, πράγμα που σημαίνει πως η Κινητική Ενέργεια του σώματος διατηρήθηκε σταθερή. Αφού, λοιπόν, ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας, συμπεραίνουμε πως η κρούση ήταν ελαστική. 5