Κεφάλαιο ο : Αδιαστατοποίηση των εξισώσεων διατήρησης και αδιάστατοι αριθµοί οµοιότητας - Αναλυτικές λύσεις Τυπικά παραδείγµατα 1
1 Ïé áíáëõôéêýò ëýóåéò ôùí åîéóþóåùí Navier-Stokes ùñßæïíôáé óå äýï êáôçãïñßåò: Á) Áêñéâåßò ëýóåéò Âáóßæïíôáé óå ïëïêëþñùóç ôùí áðëïðïéçìýíùí Í-S ðïõ ðñïêýðôïõí ìåôü ôçí äéáãñáöþ ìüíï ôùí üñùí, ïé ïðïßïé ìçäåíßæïíôáé ëüãù ôçò öõóéêþò. Â) ÐñïóåããéóôéêÝò ëýóåéò Âáóßæïíôáé óå ëýóç ôùí ïëïêëçñùôéêþí åîéóþóåùí ôùí ìåãåèþí ôçò ñïþò êáé ü é óôçí áíáëõôéêþ ðñüëåîç êüèå ãñáììþò ñïþò. ñçóéìïðïéïýíôáé êõñßùò ãéá ôïí õðïëïãéóìü ìåãåèþí üðùò ôï ðü ïò ôïõ ïñéáêïý óôñþìáôïò, ôï óçìåßï áðïêüëëçóçò êáé ç êáôáíïìþ ôçò äéáôìçôéêþò ôüóçò. Óôçí ðåñßðôùóç ìéêñþò óõíåêôéêüôçôáò ðïëëýò áðü ôéò áíáëõôéêýò ëýóåéò Ý ïõí äïìþ ïñéáêïý óôñþìáôïò, ðïõ óçìáßíåé üôé ç åðßäñáóç ôçò óõíåêôéêüôçôáò ðåñéïñßæåôáé óå Ýíá ëåðôü óôñþìá êïíôü óôïí ôïß ï.
Eîéóþóåéò Navier-Stokes ãéá áóõìðßåóôç ñïþ ρ µ ρ µ ρ µ u t u u x v u y w u z X p x u x u y u z v t u v x v v y w v z Y p y v x v y v z w t u w x v w y w w z Z p z w x w y + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + w z Åîßóùóç óõíý åéáò u x v y w z + + = 0 Oé åîéóþóåéò Navier-Stokes ìáæß ìå ôçí åîßóùóç ôçò óõíý åéáò áðïôåëïýí Ýíá óýóôçìá 4 åîéóþóåùí ìå 4 áãíþóôïõò, äçëáäþ ôéò u,v,w êáé p. u,v,w : óõíéóôþóåò ôçò ôá ýôçôáò p : ðßåóç,õ,æ : åîùôåñéêýò äõíüìåéò ñ : ðõêíüôçôá ì : äõíáìéêþ óõíåêôéêüôçôá 3
3 ÁÊÑÉÂÅÉÓ ËÕÓÅÉÓ Á) ÐáñÜëëçëç ñïþ Ìüíï ìßá áðü ôéò óõíéóôþóåò ôçò ôá ýôçôáò åßíáé ìç ìçäåíéêþ êáé üëá ôá óùìáôßäéá ôïõ ñåõóôïý êéíïýíôáé óå ìßá êáôåýèõíóç. Á1) ÐáñÜëëçëç ñïþ áíüìåóá óå áêßíçôåò ðëüêåò Á) ÑïÞ Couette A3) ÑïÞ óå óùëþíá êõêëéêþò äéáôïìþò (ÑïÞ Hagen-Poiseuille) Á4) ÑïÞ ìåôáîý ïìüêåíôñùí ðåñéóôñåöüìåíùí êõëßíäñùí (ÑïÞ Taylor Couette) A5) Áðüôïìá åðéôá õíüìåíï ôïß ùìá (Ðñþôï ðñüâëçìá ôïõ Stokes) A6) ÑïÞ êïíôü óå ôáëáíôïýìåíç ðëüêá (Äåýôåñï ðñüâëçìá ôïõ Stokes) Á7) ÃåíéêÞ êëüóç ìç ìüíéìùí ëýóåùí óôù üôé v=w=0 êáé ìüíï ç u åßíáé ìç ìçäåíéêþ Áðü ôçí åîßóùóç óõíý åéáò Ý ïõìå u=u(y,z,t), åíþ ïé N-S áðëïðïéïýíôáé óôçí: ρ µ u p u u = + + (I) t x y z 4
4 Á1) ÐáñÜëëçëç ñïþ áíüìåóá óå áêßíçôåò ðëüêåò óôù ç ìüíéìç ñïþ áíüìåóá óå äýï ðáñüëëçëåò ðëüêåò ðïõ áðý ïõí áðüóôáóç b Eîéóþóåéò Ç (É) ãßíåôáé: p µ u = x y OñéáêÝò óõíèþêåò u=0 ãéá y=b êáé y=-b Måèïäïëïãßá Ç êëßóç ðßåóçò åßíáé óôáèåñþ êáé áñíçôéêþ óôçí êáôåýèõíóç ôçò ñïþò Ëýóç p u = 1 µ x b ( y ) 5
5 Á) ÑïÞ Couette ÐáñÜëëçëç ñïþ áíüìåóá óå äýï ðëüêåò ðïõ áðý ïõí êáôü h, áðü ôéò ïðïßåòç ìßá êéíåßôáé ìå óôáèåñþ ôá ýôçôá U. óôù üôé êéíåßôáé ç ðüíù ðëüêá. Eîéóþóåéò H åîßóùóç ðïõ ðåñéãñüöåé ôçí ñïþ åßíáé ßäéá ìå ðñéí ÁëëÜæïõí ìüíï ïé ïñéáêýò óõíèþêåò ÏñéáêÝò óõíèþêåò Ãéá y=0 Ý ïõìå u=0 êáé ãéá y=h Ý ïõìå u=u Ëýóç y u h U h dp y = 1 µ dx h y h H ëýóç åëýã åôáé áðü ôçí áäéüóôáôç ðáñüìåôñï P : h dp P = µ U dx 6
6 Äéåñåýíçóç ëýóçò âüóåé ôçò ðáñáìýôñïõ P P>0 : Ç ðßåóç ìåéþíåôáé óôç äéåýèõíóç ôçò êßíçóçò P<0 : Ç ðßåóç áõîüíåôáé óôç äéåýèõíóç ôçò êßíçóçò Ðáñáôçñåßôáé áíüóôñïöç ñïþ (back-flow) ÐáñïõóéÜæåé êüðïéï åíäéáöýñïí ãéá ôç èåùñßá õäñïäõíáìéêþò ëßðáíóçò P=0 : Ãñáììéêü ðñïößë ôá ýôçôáò 7
7 Á3) ÑïÞ Hagen-Poiseuille ÓôñùôÞ ñïþ óå óùëþíá êõêëéêþò äéáôïìþò Åîéóþóåéò Ïé åîéóþóåéò Navier-Stokes óå êõëéíäñéêýò óõíôåôáãìýíåò üðïõ u ç ôá ýôçôá óôçí áîïíéêþ äéåýèõíóç. Ç áêôéíéêþ êáé åöáðôïìåíéêþ óõíéóôþóá ôçò ôá ýôçôáò ìçäåíßæïíôáé. µ u 1 u p + = y y y x OñéáêÝò óõíèþêåò Ãéá y=r Ý ïõìå u=0 Ìåèïäïëïãßá Ç êëßóç ðßåóçò êáôü ôçí áîïíéêþ äéåýèõíóç åßíáé óôáèåñþ Ëýóç ( ) = ( y ) uy 1 p 4µ x R ÌÝãéóôç ôá ýôçôá : ÐáñáâïëéêÞ äéáíïìþ ôá ýôçôáò u m R dp = 4µ dx 8
8 ÓõíôåëåóôÞò áíôßóôáóçò ë 64 ud 1 λ = Re = u = um Re ν d : ÄéÜìåôñïò ôïõ óùëþíá 9
9 Á4) ÑïÞ ìåôáîý ïìüêåíôñùí ðåñéóôñåöüìåíùí êõëßíäñùí (ÑïÞ Taylor-Couette) Èåùñïýìå äýï êõëßíäñïõò áêôßíùí r 1 êáé r ìå ãùíéáêýò ôá ýôçôåò ù 1 êáé ù áíôßóôïé á. Eîéóþóåéò ÕðÜñ åé ìüíï ç ðåñéöåñéáêþ ôá ýôçôá u. Ç áêôéíéêþ äéåýèõíóç åßíáé r OñéáêÝò óõíèþêåò u p u ρ = + r r r u r r = 0 Ãéá r=r 1 Ý ïõìå u=ù 1 r 1 êáé ãéá r=r Ý ïõìå u=ù r Ëýóç 1 ur ( ) r( r r ) rr 1 = 1 1 ( ) r r1 ω ω 1 r ω ω 10
10 ÅéäéêÝò ðåñéðôþóåéò á) Åóùôåñéêüò êýëéíäñïò ìüíï ðåñéóôñýöåôáé â) Åîùôåñéêüò êýëéíäñïò ìüíï ðåñéóôñýöåôáé Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ç áêôßíá ôïõ åîùôåñéêïý êõëßíäñïõ åßíáé Üðåéñç ôï ðñüâëçìá åêöõëßæåôáé óôï ðåäßï ðïõ åðüãåé äßíç ìýóá óå ìç óõíåêôéêü ñåõóôü. 11
11 Á5) Áðüôïìá åðéôá õíüìåíï åðßðåäï ôïß ùìá (Ðñþôï ðñüâëçìá ôïõ Stokes) Èåùñïýìå åðßðåäç ðëüêá, ç ïðïßá åðéôá ýíåôáé áðüôïìá êáé áðïêôü ôá ýôçôá U. O Üîïíáò x èåùñåßôáé êáôü ìþêïò ôçò ðëüêáò. Åîéóþóåéò u = t ν u y ÏñéáêÝò óõíèþêåò Ãéá t=0 : Ãéá êüèå y ç u=0 Ãéá t>0 : Ãéá y=0 åßíáé u=u êáé ãéá y åßíáé u=0 Måèïäïëïãßá y Áíôéêáèéóôïýìå η = êáé èåùñïýìå u=uf(ç) νt Ëýíïõìå ôçí ðñïêýðôïõóá ùò ðñïò f(ç) äéáöïñéêþ. Ëýóç u=uerfc(ç) üðïõ erf(ç) ç óõíüñôçóç óöüëìáôïò η erfc( η) = exp( η ) dη = 1 erf ( η) = 1 exp( η ) dη π η 0 1
1 Ç äéáíïìþ ôçò ôá ýôçôáò ìå ôçí áðüóôáóç áðü ôï ôïß ùìá öáßíåôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Ç ðáñáðüíù ðåñßðôùóç ìå ôéò áíüëïãåò ïñéáêýò óõíèþêåò ìðïñåß íá åîçãþóåé ôç ìüñöùóç ôçò ñïþò Couette, ìýóù óåéñüò óõíáñôþóåùí óöüëìáôïò, êáé ôçò áíüðôõîçò ôçò ñïþò Hagen-Poiseuielle. 13
13 Á6) ÑïÞ êïíôü óå ôáëáíôïýìåíç ðëüêá (Äåýôåñï ðñüâëçìá ôïõ Stokes) Åîéóþóåéò u = t ν u y OñéáêÝò óõíèþêåò Ãéá y=0 åßíáé u(0,t)=ucos(nt) êáé ãéá y u(, t) = 0 Ëýóç ky (, ) cos( ) uyt = Ue nt ky üðï õ k= η ν ÄçëáäÞ, ç ëýóç åßíáé ìéá áñìïíéêþ ôáëüíôùóç ðëüôïõò Ue -ky ìå äéáöïñü öüóçò ky áðü ôçí êßíçóç ôçò ðëüêáò. 14
14 Ç ëýóç áõôþ äßíåé êáé ôçí êáôáíïìþ ôçò èåñìïêñáóßáò óôç Ãç åîáéôßáò ðåñéïäéêþí äéáôáñá þí óôç èåñìïêñáóßá ôçò åðéöüíåéáò áðü ìýñá óå ìýñá Þ áíüìåóá óôéò åðï Ýò 15
6 Ã) ÑïÝò ðïëý áìçëïý Reynolds (Creeping flows) Ã1) ÐáñÜëëçëç ñïþ ãýñù áðü óöáßñá (ÑïÞ Stokes) Ã) ÑïÞ Hele-Shaw Ïé áäñáíåéáêýò äõíüìåéò åßíáé áíüëïãåò ôïõ ôåôñáãþíïõ ôçò ôá ýôçôáò. Ïé óõíåêôéêýò åßíáé áðëþò áíüëïãåò ôçò ôá ýôçôáò. ÅðïìÝíùò ãéá íá áðïêôþóïõí õðåñï Þ ïé óõíåêôéêýò äõíüìåéò Ýíáíôé ôùí áäñáíåéáêþí èá ðñýðåé íá Ý ïõìå ðïëý ìéêñþ ôá ýôçôá, äçëáäþ ðïëý ìéêñþ ôéìþ ôïõ áñéèìïý Reynolds. Áðü ôéò Navier-Stokes ìå áðáëïéöþ ôùí áäñáíåéáêþí üñùí Ý ïõìå : gradp = µ υ êáé div υ = 0 µ p u u u = + + x x y z ÁÊÑÉÂÅÉÓ ËÕÓÅÉÓ Éó ýåé : divgradp = 0 p = 0 Çðßåóç åßíáé µ p v v v = + + óõíüñôçóç äõíáìéêïý y x y z Ãéá äýï äéáóôüóåéò : p µ w w w ψ ψ 4 = + + ψ = 0 u = v = y x z x y z ø : ñïúêþ óõíüñôçóç u v w + + = 0 ÄéáñìïíéêÞ óõíüñôçóç äõíáìéêïý x y z 16
7 Ã1) ÐáñÜëëçëç ñïþ ãýñù áðü óöáßñá (ÑïÞ Stokes) Åîéóþóåéò Éó ýïõí ïé Navier-Stokes üðùò äéáìïñöþíïíôáé ãéá ôçí ðåñßðôùóç Ýñðïõóáò ñïþò. Ç åëåýèåñç ñïþ Ý åé óôáèåñþ ôá ýôçôá U. ÏñéáêÝò óõíèþêåò ÓõíèÞêç ìç ïëßóèçóçò óôçí åðéöüíåéá ôçò óöáßñáò, äçëáäþ ìçäåíßæåôáé ç åöáðôïìåíéêþ êáé êüèåôç ôá ýôçôá. Ëýóç Ç ðáñáêüôù ëýóç äüèçêå áðü ôïí Stokes óôá 1851. u U Rx R R R = r r r + 3 1 1 3 r + 1 3 4 4 v U Rxy 3 R = r x y z r 1 r = + + 3 4 w U Rxz 3 R = r 1 3 4 r R : áêôßí á p p = 3 µ URx 3 r 17
8 Må ïëïêëþñùóç ôçò ðßåóçò êáé ôçò äéáôìçôéêþò ôüóçò ðüíù óôçí åðéöüíåéá ôçò óöáßñáò õðïëïãßæïõìå ôç óõíïëéêþ áíôßóôáóç ôçò óöáßñáò (Åîßóùóç Stokes) êáé ôïí óõíôåëåóôþ áíôßóôáóçò : D=6ðìRU C D =4/R üðïõ R=Ud/í åßíáé ï áñéèìüò Reynolds Óôï äåîéü ó Þìá öáßíåôáé ç âåëôéùìýíç ëýóç ôïõ Oseen óôá 1910, ï ïðïßïò èåþñçóå ôçí ôá ýôçôá óå êüèå óçìåßï ùò Üèñïéóìá ìßáò óôáèåñþò (U) êáé ìéáò äéáôáñá Þò. Ï Oseen êáôýëçîå óôïí âåëôéùìýíï ôýðï ôçò áíôßóôáóçò : 4 C R R Ud D = 3 + d R R 1 = = 16 ν 18
9 Ã) ÑïÞ Hele-Shaw Oé ôñéäéüóôáôåò åîéóþóåéò ãéá ôçí Ýñðïõóá ñïþ ìðïñïýí íá ïëïêëçñùèïýí áíáëõôéêü êáé ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôçò ñïþò ìåôáîý äýï ðáñüëëçëùí ôïé ùìüôùí, ôá ïðïßá âñßóêïíôáé óå ìéêñþ áðüóôáóç h. Áí Ýíá êõëéíäñéêü óþìá ôõ áßáò äéáôïìþò ôïðïèåôçèåß áíüìåóü ôïõò þóôå íá êáëýðôåé üëï ôï äéüêåíï h, ôüôå ïé ãñáììýò ñïþò ðïõ ðñïêýðôïõí ôáõôßæïíôáé ìå ôéò ãñáììýò äõíáìéêþò ñïþò ãýñù áðü ôï ßäéï óþìá. Ìåèïäïëïãßá Èåùñïýìå óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí x, y, z üðïõ ôï åðßðåäï x-y åßíáé ðáñüëëçëï óôéò ðëüêåò êáé ç áñ Þ âñßóêåôáé óôï êýíôñï ôïõ äéáóôþìáôïò h. To óþìá ôïðïèåôåßôáé êüèåôá óôç ñïþ ôá ýôçôáò U, ðïõ åßíáé ðáñüëëçëç óôïí x. MáêñéÜ áðü ôï óþìá ôï ðñïößë ôçò ñïþò åßíáé üðùò óôçí ñïþ Hagen-Poiseuille. OñéáêÝò óõíèþêåò z x = u = U 1 v w h = = 0 19
30 Ëýóç Èåùñïýìå ëýóåéò ôçò ðáñáêüôù ìïñöþò, üðïõ ïé ðïóüôçôåò ìå äåßêôç 0 áíôéóôïé ïýí óôéò áíôßóôïé åò êáôáíïìýò ôçò äõíáìéêþò ñïþò. z u = u ( x y) v v ( x y) h = 0, 1 0, 1 z h w 0 x µ µ p = u = h x 0 h y 0 y ( x, y) dx v (, ) 0 0 x y dy Ãéá ôçí ðåñßðôùóç Ýñðïõóáò ñïþò, üðùò êáé óôçí ëßðáíóç ï ëüãïò ôùí áäñáíåéáêþí ðñïò ôéò óõíåêôéêýò äõíüìåéò äßíåôáé áðü ôïí ìåéùìýíï áñéèìü Reynolds : UL h R* = L << 1 ν üðïõ L åßíáé ìßá áñáêôçñéóôéêþ ãñáììéêþ äéüóôáóç óôï åðßðåäï x-y. Óôï ðáñáêüôù ó Þìá öáßíåôáé ç ñïþ ãýñù áðü êýëéíäñï êõêëéêþò äéáôïìþò ìå R*=4. ÅðåéäÞ R*>1 ç ëýóç åðéôåý èçêå üðùò êáé óôçí ëýóç ôïõ Oseen ìå ôç ìýèïäï ôùí äéáôáñá þí. 0
31 Ä) ÑïÝò ïñéáêïý óôñþìáôïò ÁÊÑÉÂÅÉÓ ËÕÓÅÉÓ ÄÉ) Ìüíéìá ïñéáêü óôñþìáôá ÄÉ1) ÐëÜêá óå ìçäåíéêþ ãùíßá ÄÉ) Ëýóåéò ïìïéüôçôáò (Falkner-Skan) á) ÑïÞ ãýñù áðü óöþíá ÄÉ3) ÑïÞ ãýñù áðü êõëéíäñéêü óþìá êüèåôï óôçí åëåýèåñç ñïþ á) ÓõììåôñéêÞ ðåñßðôùóç (Blasius) â) ÃåíéêÞ ðåñßðôùóç (Goertler) ÄÉ4) ÁîïíïóõììåôñéêÜ ïñéáêü óôñþìáôá (Ãýñù áðü óþìáôá åê ðåñéóôñïöþò) á) Óöáßñá ÄÉ5) ÔñéäéÜóôáôá ïñéáêü óôñþìáôá ÄÉÉ) Ìç ìüíéìá ïñéáêü óôñþìáôá á) Áðüôïìç åêêßíçóç á1) ÄéäéÜóôáôç ðåñßðôùóç á) ÁîïíïóõììåôñéêÞ ðåñßðôùóç â) Ïìïéüìïñöç åðéôü õíóç ã) ÐåñéïäéêÝò ñïýò ïñéáêïý óôñþìáôïò ã1) ÅðÝêôáóç ôïõ ðñþôïõ ðñïâëþìáôïò ôïõ Stokes ã) Ôáëáíôïýìåíç ñïþ ìýóá óå óùëþíá 1
3 ÄÉ1) Ïñéáêü óôñþìá ãýñù áðü ðëüêá óå ìçäåíéêþ ãùíßá Åîéóþóåéò ÃåíéêÜ ãéá ôéò ñïýò äéäéüóôáôåò ñïýò ïñéáêïý óôñþìáôïò éó ýïõí ïé ðáñáêüôù áðëïðïéçìýíåò åîéóþóåéò Navier- Stokes êáé óõíý åéáò, ïé ïðïßåò ïíïìüæïíôáé ôéìçôéêü ùò åîéóþóåéò Prandtl. u v u u u v v ν 1 p u + = 0 + + = + x y t x y ρ x y Ãéá ôï ïñéáêü óôñþìá ðüíù áðü ðëüêá óå ìçäåíéêþ ãùíßá ðñüóðôùóçò áðáëåßöåôáé ï ñïíéêüò üñïò êáé ï üñïò ôçò ðßåóçò. ÏñéáêÝò óõíèþêåò Ìåèïäïëïãßá y = 0 u = v = 0 y = u = U óôù ä ôï ðü ïò ôïõ ïñéáêïý óôñþìáôïò. ÈÝôïõìå : η y = = y U ψ = νxu f η δ νx ( )
33 Ïé ôá ýôçôåò u êáé v ãßíïíôáé : 1 νu u = U f v = x ( η) ( ηf f ) Áíôéêáèéóôþíôáò óôéò N-S ðáßñíïõìå : ff + f = 0 êáé η = 0 f = f = 0 η = f = 1 Ëýóç Ï Blasius (1908) Ýäùóå áõôþ ôç ëýóç ìå óåéñü ãýñù áðü ôï ç=0 êáé ìå áóõìðôùôéêþ áíüëõóç ãéá ìåãüëá ç. 3
37 ÄÉ3) ÑïÞ ãýñù áðü êõëéíäñéêü óþìá êüèåôï óôçí åëåýèåñç ñïþ á) ÓõììåôñéêÞ ðåñßðôùóç (ÓåéñÜ Blasius) Åîéóþóåéò Éó ýïõí ïé åîéóþóåéò ôïõ Prandtl ìå ôéò áíôßóôïé åò ïñéáêýò óõíèþêåò ãéá ñïþ ïñéáêïý óôñþìáôïò. Ìåèïäïëïãßá Áíáðôýóóïõìå ôçí ôá ýôçôá ôçò äõíáìéêþò ñïþò óå óåéñü. Ïé óõíôåëåóôýò ôçò óåéñüò åîáñôþíôáé ìüíï áðü ôï ó Þìá ôïõ óþìáôïò õðü åîýôáóç êáé åðïìýíùò åßíáé ãíùóôïß. 3 5 U ( x) = u x + u x + u x +... 1 3 Åêôåëïýìå ôïõò ðáñáêüôù ìåôáó çìáôéóìïýò êáé ìå ôç âïþèåéá ôçò ñïúêþò óõíüñôçóçò Ý ïõìå : η ν = y u 1 ψ = + + + ν u 1 5 3 5 { uxf( η) uxf ( η) ux f ( η) 1 1 4 3 3 6 5 5...} Áíôéêáèéóôïýìå óôéò åîéóþóåéò Prandtl êáé áðïêôïýìå Ýíá óýóôçìá åîéóþóåùí ãéá ôá f i, ôï ïðïßï äåí Ý åé åîüñôçóç áðü ôï ó Þìá ôïõ óþìáôïò áöïý üëç ç ðëçñïöïñßá ãéá ôï óõãêåêñéìýíï óþìá õðüñ åé ìüíï óôïõò óõíôåëåóôýò ôçò äõíáìéêþò óåéñüò. 4
38 ÐáñÜäåéãìá : Êýëéíäñïò êõêëéêþò äéáôïìþò Ç äõíáìéêþ èåùñßá ãýñù áðü êýëéíäñï êõêëéêþò äéáôïìþò äßíåé ãéá ôçí êáôáíïìþ ôçò ôá ýôçôáò : ( ) sin( ) u x = U x R = U sin φ üðïõ ö åßíáé ç ãùíßá áðü ôï óçìåßï áíáêïðþò. Óôï ó Þìá ðïõ áêïëïõèåß öáßíåôáé ç êáôáíïìþ ôçò ôá ýôçôáò ìý ñé ôï óçìåßï áðïêüëëçóçò ôçò ñïþò, êáèþò êáé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôùí äýï ðñþôùí f i, ôá ïðïßá äåí åîáñôþíôáé áðü ôï ó Þìá ôïõ åí ëüãù êõëßíäñïõ. Åßíáé, äçëáäþ Ýíá åßäïò ðáãêüóìéùí óõíáñôþóåùí. 5
53 ã) Ôáëáíôïýìåíç ñïþ ìýóá óå óùëþíá Èåùñïýìå ôçí êßíçóç ñåõóôïý ìýóá óå óùëþíá êõëéíäñéêþò äéáôïìþò êáé ìåãüëïõ ìþêïõò, üðïõ ç êëßóç ðßåóçò åêôåëåß áñìïíéêþ ôáëüíôùóç. Ìå áõôýò ôéò ðñïûðïèýóåéò, ç ôá ýôçôá äåí åîáñôüôáé áðü ôçí áîïíéêþ êáôåýèõíóç. Åîéóþóåéò ν u 1 p u u p = + 1 + 1 Ke t ρ x r r r = ρ x ÏñéáêÝò óõíèþêåò r = R u = 0 Måèïäïëïãßá Èåùñïýìå ëýóç ôçò ìïñöþò : int ( ) ( ) u r t = f r e, int Áíôéêáèéóôïýìå ôçí Ýêöñáóç ôçò ðßåóçò óôç äéáöïñéêþ êáé Ý ïõìå : in u( r t) i K J r 0, n e ν int = 1 in J R 0 ν üðïõ J 0 åßíáé ç óõíüñôçóç Bessel ðñþôïõ åßäïõò êáé ìçäåíéêþò ôüîçò. Ç åîßóùóç ôïõ ðñïâëþìáôïò åßíáé ãñáììéêþ êáé åðïìýíùò äý åôáé ùò ëýóåéò êáé óõíäõáóìïýò ëýóåùí ãéá äéüöïñåò óõ íüôçôåò ôáëüíôùóçò. 6
54 á) Ðïëý áñãýò ôáëáíôþóåéò K u( r, t) = ( R r ) cos ( nt ) 4ν H êáôáíïìþ ôçò ôá ýôçôáò åßíáé óå öüóç ìå ôçí ôáëüíôùóç ôçò ðßåóçò êáé ôï ðëüôïò ôçò åßíáé ðáñáâïëéêþ óõíüñôçóç ôçò áêôßíáò ôïõ óùëþíá. â) Ðïëý ãñþãïñåò ôáëáíôþóåéò K R n n urt (, ) = sin ( nt ) exp ( R r ) sin nt ( R r ) n r ν ν Ï äýõôåñïò üñïò áðïóâýíåôáé êáèþò áðïìáêñõíüìáóôå áðü ôïí ôïß ï. ÄçëáäÞ, óå ìåãüëç áðüóôáóç áðü ôïí ôïß- ï, ç ñïþ óõìðåñéöýñåôáé ùò ìç óõíåêôéêþ êáé ìüëéóôá ìå äéáöïñü öüóçò ìéóþò ðåñéüäïõ áðü ôçí ôáëüíôùóç ôçò ðßåóçò. 7
55 ÁÊÑÉÂÅÉÓ ËÕÓÅÉÓ E) ÑïÝò ïìüññïõ Åßíáé ñïýò ìáêñéü áðü ôïé þìáôá üðïõ ç óõíåêôéêüôçôá Ý åé ôïí êýñéï ëüãï. Å1) ÑïÞ óôïí ïìüññïõ ðëüêáò óå ìçäåíéêþ ãùíßá Å) Jet á) ÄéäéÜóôáôï â) ÊõêëéêÞò äéáôïìþò Å3) Óôñþìá äéüôìçóçò (Shear layer) 8
56 Å1) ÑïÞ óôïí ïìüññïõ ðëüêáò óå ìçäåíéêþ ãùíßá Èåùñïýìå åðßðåäç ðëüêá ìþêïõò l ðáñüëëçëç óå ìüíéìç åëåýèåñç ñïþ. Åðßóçò, èåùñïýìå üôé ç äéáöïñü ìåôáîý ôçò ôá ýôçôáò óôïí ïìüññïõ êáé ôçí åëåýèåñç ñïþ äåí åßíáé ìåãüëç. Åîéóþóåéò u 1 u1( x, y ) = U u( x, y ) U = x ÏñéáêÝò óõíèþêåò u 1 y = 0 = 0 y = u1 = 0 y Ìåèïäïëïãßá u 1 ν y Åêôåëïýìå ôïõò ðáñáêüôù ìåôáó çìáôéóìïýò êáé áíôéêáèéóôïýìå óôç äéáöïñéêþ. Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò óôáèåñüò C ñçóéìïðïéïýìå ïëïêëçñùôéêýò ó Ýóåéò ãéá ôçí áíôßóôáóç ôçò ðëüêáò. η = = y U u U C x 1 νx l 1 g ( η) 9
57 Ëýóç Ç äéáíïìþ ôçò ôá ýôçôáò ãéá ôïí ïìüññïõ åßíáé : u 1 U = 1 0664. x 1 yu l exp π 4 xν Ç äéáíïìþ öáßíåôáé óôá ðáñáêüôù ó Þìáôá. 30
58 E) Jet á) ÄéäéÜóôáôç ðåñßðôùóç Åîéóþóåéò Ïé åîéóþóåéò ãéá ôï äéäéüóôáôï jet åßíáé : u u + v u = U du + x y dx ÏñéáêÝò óõíèþêåò Ìåèïäïëïãßá u u v ν + = 0 y x y u y = 0 = v = 0 y = u = 0 y ÕðïèÝôïõìå ñïúêþ óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò y y p ψ p x f = x f q b x üðïõ b åßíáé ôï ðëüôïò ôïõ jet. Ïé óõíôåëåóôýò p êáé q êáèïñßæïíôáé áðü ôéò äýï ðáñáêüôù óõíèþêåò : á) Ç ñïþ ïñìþò óôçí x-êáôåýèõíóç åßíáé áíåîüñôçôç ôïõ x â) Ïé üñïé åðéôü õíóçò êáé ôñéâþò óôçí åîßóùóç ïñìþò åßíáé ôçò ßäéáò ôüîçò ìåãýèïõò Ðñïêýðôåé üôé p=1/3 êáé q=/3. 31
59 Eêôåëïýìå ôïõò ðáñáêüôù ìåôáó çìáôéóìïýò êáé ëýíïõìå η 1 y 13 = ψ = νx f η ξ = αη f = αf ξ 3 3 ν x ( ) ( ) Ëýóç Ïé äéáíïìýò ôçò åðéìþêïõò êáé êüèåôçò ôá ýôçôáò åßíáé : u = 1 3 K K ( ) x = 0 4543. 1 tanh ξ ξ 0 75. ν ν 1 3 y 3 x v = 1 3 Kν 0 5503. x 1 tanh tanh [ ξ( ξ) ξ] üðïõ Ê=J/ñ åßíáé ç êéíçìáôéêþ ïñìþ. Ç ðïóüôçôá J åßíáé ç ïñìþ óôçí x-êáôåýèõíóç êáé èåùñåßôáé äåäïìýíç áöïý åßíáé áíüëïãç ôçò äéáöïñüò ðßåóçò ìå ôçí ïðïßá ôï jet öåýãåé áðü ôç ó éóìþ. 3
60 â) Jet êõêëéêþò äéáôïìþò Åîéóþóåéò Ïé åîéóþóåéò ãéá ôï jet êõêëéêþò äéáôïìþò åßíáé : u u v u 1 x y y y y u u v v + = ν + + = y x y y 0 ÏñéáêÝò óõíèþêåò Ìåèïäïëïãßá u y = 0 v = = 0 y = u = 0 y Ïé ëýóåéò u(x,y) èåùñïýíôáé üìïéåò. ÕðïèÝôïõìå ñïúêþ óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò : y p ψ x F( η) η = n x Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôïõò óõíôåëåóôýò p êáé n ñçóéìïðïéïýìå ôéò ßäéåò óõíèþêåò ìå ôç äéäéüóôáôç ðåñßðôùóç. Ðñïêýðôåé üôé p=n=1. Eêôåëïýìå ôïõò ðáñáêüôù ìåôáó çìáôéóìïýò, áíôéêáèéóôïýìå óôéò åîéóþóåéò êáé ëýíïõìå. ( ) ψ = νxf η η = y x 33
61 Ëýóç Ïñßæïíôáò ôçí êéíçìáôéêþ ïñìþ Ê=J/ñ üðïõ J åßíáé ç áìåôüâëçôç óôçí äéåýèõíóç x ñïþ ôçò ïñìþò êáé ç ïðïßá åßíáé ãíùóôþ Ý ïõìå: u = 3 K 1 8πνx 1 + 1 ξ 4 v = 1 4 3 π K x 1 3 ξ ξ 4 1 + 1 ξ 4 ξ = 3 16π K y ν x 34
6 Å3) Óôñþìá äéüôìçóçò (Shear layer) Èåùñïýìå äýï ðáñüëëçëá óôñþìáôá ñåõóôïý ôá ýôçôáò U 1 êáé U áíôßóôïé á ôá ïðïßá âñßóêïíôáé óå åðáöþ êáé áñ ßæïõí íá åðéäñïýí åîáéôßáò ôçò óõíåêôéêüôçôáò. Èåùñïýìå üôé ç êüèåôç ôá ýôçôá åßíáé ìéêñþ óå ó Ýóç ìå ôçí ïñéæüíôéá. Åîéóþóåéò Éó ýïõí ïé åîéóþóåéò ãéá ôï ïñéáêü óôñþìá ðëüêáò óå ìçäåíéêþ ãùíßá, áëëü ìå äéáöïñåôéêýò ïñéáêýò óõíèþêåò. u u u u v ν + = x y y Ìåèïäïëïãßá Áêïëïõèïýìå ôï óêåðôéêü ôïõ Blasius ãéá ôï ïñéáêü óôñþìá óå åðßðåäç ðëüêá. ÊÜíïõìå ôïõò ðáñáêüôù ìåôáó çìáôéóìïýò êáé ëýíïõìå ìå ôéò êáôüëëçëåò ïñéáêýò óõíèþêåò. η = y U νx ψ = νu xf 1 1 ÏñéáêÝò óõíèþêåò η = + f = 1 η = U f = U = λ 1 η = 0 f = 0 35
63 Ëýóç Ãéá ôç ëýóç ôçò äéáöïñéêþò ðïõ ðñïêýðôåé áêïëïõèïýìå áóõìðôùôéêýò ìåèüäïõò ãéá ôá ìåãüëá ç êáé áíüðôõãìá óå óåéñü ãýñù áðü ôï ç=0. Óôï ðáñáêüôù ó Þìá öáßíïíôáé ôá ðñïößë ôá õôþôùí ãéá ë=0 êáé ë=0.5 36
37