שאלון 006 מיקוד במתמטיקה

שאלון 006 מיקוד במתמטיקה מהדורת חורף תשס"ט 009 כתיבה: זיקרי אלברט, שמש שלמה - shemesh4@walla.co.il צוות עריכה מקצועית: ריטרבנד אוהד, נאות רז, מן מנחם, דוד ניר, ארביב עמוס, שטולבך אירית, שניידר איתן, כהן רוני, פלד אולגה, גולברג קארין, אברג'יל עמי, שמש דקל, סובקו אורית, כהן גת, חדד רועי, כוכבי דניאל, מליאנקר נירית, נאור יוסי צוות עריכה והפקה: זיקרי אלברט, ליסוגורסקי מיכאל, פרחיה יבגני, זיקרי עינב עיצוב עטיפה: פירמה אלברט זיקרי ושלמה שמש, מהמורים הידועים והמובילים למתמטיקה בישראל, מנהלים את תחום המתמטיקה בחברת לחמן ומגישים אלפי תלמידים לבחינות מדי שנה, בהצלחה מרובה. השניים בעלי תארי מהנדס,.B.S.C כותבים מגוון ספרי לימוד ותרגול במתמטיקה ובראשם סדרת התרגול "אוסף תרגילים ממוינים ע"פ נושאים" הידועה והמבוקשת. הניסיון הרב של השניים מוביל את קו האיכות של ספרי המיקוד של לחמן במתמטיקה, אשר ידועים בקרב מורים ותלמידים בישראל כספרים המנבאים ומכינים באופן מקסימלי את התלמידים לבחינות. הוצאת לחמן מודה על רשות השימוש שניתנה לקטעים המופיעים בחוברת זו. הערה: נעשה מאמץ מיוחד לאתר את כל בעלי הזכויות, לפעמים ללא הצלחה. אנו מתנצלים על השמטה או טעות. אם יובא הדבר לידיעתנו, נפעל לתקנו כל הזכויות בשפה העברית שמורות, 008 לחמן הכנה לבחינות בע"מ אין לשכפל, להעתיק, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני או אחר, כל חלק שהוא מהחומר שבספר זה. שימוש מסחרי מכל סוג בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט, אלא ברשות מפורשת בכתב מהמו"ל. נדפס בישראל 008

מוקדש באהבה גדולה לכל תלמידי לחמן ובתי הספר בדרום, שמחים לחלוק אתכם את הידע הנדרש על מנת להצליח בבחינות הקרובות! בהצלחה! לחמן מאמנים אותך להצלחה! שימו לב במסגרת שיתוף פעולה עם הטלויזיה החינוכית הישראלית, הפיקה חברת לחמן סדרת שיעורים מצולמים ללימוד איכותי ומהנה לבחינת מתמטיקה יח"ל. לצפיה חינם בסדרת תכניות "מורה פרטי", היכנסו ללינק שיעור פרטי במתמטיקה במיוחד לתושבי קו העימות, שבדף הבית באתר לחמן. תהנו!

ÍÏ È º ÍÓˆÚÏ ÍÒÂÁ È Ë ÌÈ ÂÓÈÏ ÓÂÁ Æ Â Á Ú ÎÁ Ì ÚÈ Ï Í Ëˆ ÔÓÊ ÌÈˆÓ Ó ÂÈ ÌÈÁÈÏˆÓ ÔÓÁÏ ÔÂÎÈ È ÈÓÏ º ÂÈ ÌÈÁÈÏˆÓ ÔÓÁÏ ÔÂÎÈ È ÈÓÏ ÈÎ ÌÈÁÈÎÂÓ ÌÈ ÁÓ ÆÌÈappleÁ apple Ó ÈÓ Â Ú º ÆÈ ËÓÂÎÈÒÙ ÔÂȈ ÌÈ ÈÈÁ  ÚÏ Ì È Ï ÌÈÏ Â ÌÈ ÈÓÏ È ËÓÂÎÈÒÙÏ appleî Ò Â ÍÏ ÚÈˆÓ ÔÓÁÏ ı ÂÈ ÈÚˆ Ó Â ÛÈ Ó ÂÈ ÌÈÒÂappleÓ ÌÈÎÈ Ó º ÂÈ ÌÈappleÎ ÂÚÓ ÂÓÈÏ È ÓÂÁ º ÌÈËÒÈappleÂÎÈ Ï ÁÂÈÓ Ì ÂÓ º www.lachman.co.il Ëapple ËappleÈ Ï º ÔÂÎÈ Íψ ÌÈÈ Ó º Ì Ù ÂÈapple Ó ÏÁ ÂËÙß ÒÓ ÂÈ ÂappleÈÙ Ï È Â Ï ÌÂÈ Ï Ï ËÈÏÁ ÂÈ ÂappleÈÙ ÆÌÈ ËÓ μ Á  ÌÈ ËÓ ± Î Â Î Â Ï Â Â ÙÁ ÔÎÏÂ Ê ÂÚ ËÓ ÏÁ ÏÂ Ï Èapple Ó Á ßÓ Æμ Á Ó ÏÁ Ï Á Ï øâè ÂappleÈÙ ÙÁ   ÓÎ Æ Á ÏÂ Í Â Ï Æ ± Æ Æ ± Ʊ ÂÚ ÈˆÂ Ï È Î ÏÎ ÂÚ ÂÎÊ Â Á Ï appleèèâˆó  μ Ì ËÈÒ ÈappleÂ Ï Ï È apple appleèá ÔÂȈ μ   ÂÚ Æ È ËÓÂÎÈÒÙ ÍÏ ÂÎÁÏ È ËÓÂÎÈÒÙÏ Ô È Ï Â Ï ÏΠÔÂÎÈ Â Â Á appleèù ÆÍÈappleÙÏ ÂÁÂ Ù Ò Â ÔÂÎÈ ÈÓÏ Î ÙÒ È ÍÏ ÚˆÂÓ ÁÂÈÓ ÈÁÓ

שאלון 006 סוף מעשה במחשבה תחילה תכנון יעיל ואפקטיבי מביא תוצאות טובות. התכוננות לבחינה מחייבת ארגון תכנית עבודה, בה יש לקחת בחשבון מספר גורמים:. נתונים אישיים: בדקו עצמכם, האם אתם טיפוסי יום או טיפוסי לילה - מתי אתם יעילים יותר? האם בלילה עד מאוחר, או בשעות הבוקר המוקדמות. בכל אופן, יש להקפיד על ארוחות מסודרות ולא לוותר על מינימום של שעות שינה.. לבד או עם חברים? כיצד אתם לומדים טוב יותר? לבד, באופן עצמאי, כי עם חברים מפטפטים ומבזבזים זמן, או בקבוצת לימוד, כי בקבוצה יש אפשרות לשאול אחד את השני ולהסביר אחד לשני, וכך להבין טוב יותר את החומר. יתכן שילוב בין השניים: # לימוד עצמי ראשוני - להכרה ושינון החומר. # לימוד בקבוצה - לחזרה אחרונה ולחיזוק נקודות חלשות.. חלוקת הזמן ליחידות לימוד והפסקות: בדקו מניסיונכם בעבר, כמה זמן אתם מסוגלים ללמוד ולהיות מרוכזים ללא הפסקה. למשל, 50 דקות לימוד ו 0 5 דקות הפסקה. 4. הפסקות ושיטות התרגעות: # יש תלמידים שפעילות גופנית במשך מספר דקות ממריצה להם את הדם ועושה אותם יותר עירניים. # יש אחרים שאכילה, שתייה או תנומה קצרה מאפשרים להם לחזור ללימוד אפקטיבי. באופן כללי חשוב לזכור: הפסקות הן מרכיב חשוב מאוד בתהליך הלימוד. עם זאת, הפסקות ארוכות מדי מוציאות מן הריכוז. 5. שיטות לימוד: רצוי מאד ללמוד בשיטות מגוונות כדי לשמור על הערנות. בפעם הראשונה יש לקרוא את החומר ולסמן קטעים חשובים במרקר. לאחר מכן כדאי לכתוב נקודות חשובות והערות לוואי. בפעם השלישית כדאי לקרוא רק את הקטעים המסומנים או את הנקודות שכתבתם. כדאי לציין פרקים ונושאים לא ברורים ולחזור אליהם בלימוד משותף עם חברים. 6. חומר הלימודים: לקראת כל בחינה גדולה כדאי להגדיר לעצמכם פרקים ונושאים קלים ונושאים קשים ומסובכים יותר. מחקרים הוכיחו שזוכרים יותר את מה שלומדים בתחילת הלימוד ובסופו, וזוכרים פחות את מה שבאמצע הלימוד. על כן כדאי להתמקד באמצע תהליך הלימוד דווקא בפרקים הקלים לנו יותר, אלו שאנו שולטים בהם באופן יחסי. בחומר הקשה כדאי להתמקד בתחילת הלימוד לקראת הבחינה ובסופו.

7. אילוצי זמן: מאחר ואנו מוגבלים בזמן העומד לרשותנו ללימוד לקראת הבחינה, רצוי מאד שנתכנן מראש חלוקה יעילה ואפקטיבית של הזמן כדי שנספיק לעבור על כל החומר. ניתן לעשות זאת באמצעות:. חלוקת החומר כולו לנושאי משנה.. קביעת סדר הלימוד מראש.. החלטה מראש כמה זמן יוקדש לכל פרק )ימים, שעות(. 4. תכנון מוקפד של סדר היום: ארוחות, שינה, שעות לימוד עצמי, שעות לימוד בקבוצה. חשוב לזכור: יש להחליט החלטה עקרונית, מה עושים במקרה שלא מספיקים לסיים ללמוד פרק ביחידת הזמן שהקצבתם. האם להמשיך וללמוד פרק זה על חשבון הזמן של הפרק הבא, או להיצמד לתוכנית ולהבטיח חזרה מסודרת ושיטתית על כל הפרקים והחלקים של החומר. 8. קשיים ואילוצים אובייקטיביים חיצוניים: בנוסף לנתונים האישיים ולקשיים של חומר הלימודים, אנו נתקלים גם בקשיים חיצוניים, כמו עבודה, אחריות למשפחה וכו. קשיים אלה עלולים להקשות ולהפריע בביצוע תכנית ההכנה למבחן המתוכננת מראש. גם כשנוצר קושי חיצוני, אסור לבטל את התכנית כולה. יש לערוך התאמה מחדש לאור האילוצים החדשים ולקבוע מחדש סדרי עדיפויות ותכנית פעולה מסודרת. 9. לחץ התרגשות והרפיה: אחד החששות המלווים כל נבחן הוא הפחד שמא כל מה שלמד יישכח וייעלם מהזיכרון בזמן המבחן ) בלק אאוט (. כיצד אפשר להפחית את הסיכוי להגיע למצב של שכחה בזמן המבחן?. ללימוד מתוכנן, שיטתי ורגוע, כפי שהוצע בסעיפים הקודמים, יש השפעה על ההרגשה הטובה והבטוחה בבחינה.. רצוי לא ללמוד בערב האחרון לפני הבחינה כדי להגיע למבחן רגוע ושלו.. כדאי לרשום על פתק מספר נוסחאות, או משפטים חשובים, שאותם אתם מכירים היט במבחן, כש הכל נעלם מהזיכרון, הזכירו לעצמכם משפטים אלה, וכך בדרך אסוציאטיבית החומר יחזור לזיכרונכם. הערה לסיום: חשוב מאד לזכור - המבחן שלקראתו אתם מתכוננים, הוא חשוב מאד. אבל תמיד יש אחרי המבחן : חשבו על מה שתעשו אחרי המבחן וקחו הכל בפרופורציה נכונה. זה לא סוף העולם. זכרו שרבים עשו את המבחן לפניכם ונשארו בחיים. ועכשיו, אחרי כל המלים הגדולות הגיע הזמן לפתוח את הספרים ואת המחברות ולהתחיל ללמוד. ב ה צ ל ח ה!!!

שאלון 006 הוראות מיוחדות לנבחן. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי. אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לפסול את הבחינה. דפי נוסחאות מצורפים.. יש לרשום את הבחינה בעט בלבד. רישום הבחינה בעיפרון או שימוש בנוזל מחיק יגרום לאי מתן ערעור לאחר הבחינה.. אל תעתיק את השאלה, סמן את מספרה בלבד. 4. התחל כל שאלה בעמוד חדש. רשום במחברת את שלבי הפתרון, גם כאשר החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון. 5. הסבר את כל פעולותיך, כולל חישובים, בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת. חוסר פירוט עלול לגרום לפסילת הבחינה או לפגיעה בציון. 6. כטיוטה יש להשתמש רק במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים. שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה. היכנסו לאתר של : www.lachman.co.il # עדכונים חמים # מבחני סימולציה מסכמים יעלו באתר 4 ימים לפני בחינת הבגרות!

תוכן עניינים בעיות תנועה... עמוד 5 בעיות תערובת... עמוד אינדוקציה... עמוד 8 אי שוויונים עם ערך מוחלט... עמוד טריגונומטריה במישור... עמוד 5 טריגונומטריה במרחב... עמוד 4 חקירת פונקציה... עמוד 5 בעיות קיצון... עמוד 69 אינטגרלים... עמוד 84 מבחנים...עמוד 97 דפי נוסחאות

שאלון 006 שאלון מספר 006 משך הבחינה: שעתיים. מבנה הבחינה : פרק א': אלגברה - בעיות מילוליות, אינדוקציה. שאלה אחת מתוך שתיים. פרק ב': טריגונומטריה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. שתי שאלות מתוך שלוש. תלמידים ליקויי למידה שאושר להם מבחן מותאם יענו על שלוש שאלות ללא הגבלה בין הפרקים. בשאלה בחקירת פונקציה לא יידרשו לשרטט את גרף הפונקציה כחלק מהפתרון ולענות על סעיפים הנובעים משרטוט הגרף בלבד. המבנה המשוער של השאלון: (שאלות -) בעיות מילוליות (תנועה ותערובת). אינדוקציה (התחלקות). אי שויון עם ערך מוחלט. (שאלות -5) חקירת פונקציה ) מנה, טריגונומטרית ). אינטגרל (חישוב שטחים, חישוב נפחים ללא שורש). טריגונומטריה במישור. טריגו במרחב (פירמידה ישרה וחרוט). בעיות קיצון ללא פונקציית שורש. משך הזמן והניקוד מפורטים בטבלה שלהלן: בחינה זמן התחלה משך זמן סיום סמל ניקוד ניקוד משוקלל % 00 5006 :00 שעתיים 5:00 006

מיקוד חורף תשס"ט 009 רשימת הנושאים לשאלון 0006 שאלון 006. אלגברה בעיות מילוליות: תנועה, הספק, תערובות, בעיות קנייה ומכירה (כולל שימוש באחוזים בכל הבעיות). אי שוויונים עם ערך מוחלט: אי שוויונים ליניאריים המובילים לכל היותר לשני מחוברים בערך מוחלט עם ביטויים ליניאריים ומספר ממשי. מנה של שני ביטויים ליניאריים, לדוגמה:, > + 5 +. אי שוויון ריבועי המוביל למחובר ריבועי אחד בערך מוחלט. 5 + 6 אינדוקציה: עקרון ההוכחה באינדוקציה. הוכחות באינדוקציה של זהויות, אי שוויונים, התחלקויות במספר נתון, התלכדות סדרות המוגדרות באופנים שונים (למשל ברקורסיה ולפי איבר כללי). חלוקת פולינומים בפולינום ליניארי (רק כטכניקה נדרשת בשאלון, בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי). הערה: כל טכניקה אלגברית שנלמדה בשאלון 005 עשויה להידרש גם בשאלון זה... טריגונומטריה הרדיאן כמידת זווית, אורך קשת ושטח גזרה. הפונקציות סינוס, קוסינוס, טנגנס, במעגל היחידה, ותיאורן הגרפי. הקשר של פונקצית הטנגנס לשיפוע של ישר. הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות של זווית, של זוויות משלימות לזווית ישרה, של זוויות המשלימות לזווית שטוחה. מחזוריות הפונקציות. חישוב ערכי הפונקציות לזוויות מיוחדות. פתרון משוואות טריגונומטריות (הדורשות שימוש בנוסחאות ובזהויות ו/או פירוק לגורמים או פתרון משוואה ריבועית) פתרון כללי ופתרון בתחום נתון. פתרון בעיות גיאומטריות במישור ובמרחב: פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית. משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים והשימוש בהם להתרת משולשים ומצולעים אחרים. נוסחת שטח המשולש. S = bc sin α חישובים במרחב: זוויות, אורכים, שטחים (כמו מעטפת או שטח פנים), נפחים. בגופים ישרים: תיבה (כולל קובייה), מנסרה, גליל, פירמידה ישרה, חרוט (ללא גופים חסומים). בפתרון בעיות גיאומטריות במישור ובמרחב (כולל בעיות טריגונומטריות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי) יידרש שימוש בתכונות הגיאומטריות של הצורות והגופים השונים, בזהויות ובפונקציות הטריגונומטריות. בבעיות במרחב יידרש שימוש גם במושגים: ישר ניצב למישור, ישר משופע למישור, זווית בין ישר למישור, זווית בין מישורים. לפתרון בעיות ומשוואות טריגונומטריות יידרש שימוש בזהויות:, sin + cos =, sin tan = cos

שאלון 006, sin α, tan ( α + β), tan ( α β), cos ( α ± β), sin ( α ± β) α + = cos α tan, cos α והזהויות עבור:. sin α ± sin β, cos α ± cosβ הערות: לא יידרש פתרון המשוואה a sin + bcos = c במקרה:. ו- 0 c a b פתרון משוואות טריגונומטריות לא יידרש כתרגיל בפני עצמו אלא כחלק מפתרון בעיות בנושאים השייכים לשאלון, כולל בעיות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. ג. לא יידרש פתרון תרגילים העוסקים בזיהוי משולשים על פי משוואה טריגונומטרית המתקיימת במשולש. 4. חשבון דיפרנציאלי תיאור גרפי של פונקציות. פונקצית הערך המוחלט, פונקצית השורש הריבועי, פונקצית החזקה עבור מעריך שלם. נקודות אפס, עלייה וירידה, זוגיות ואי זוגיות. המשמעות האלגברית והגרפית של נקודות חיתוך של פונקציות, של g() f() g(),f() > וכד'. המשיק. שיפוע של גרף בנקודה. הנגזרת בנקודה כתהליך גבולי. המהירות כנגזרת. הפונקציה הנגזרת. חשבון דיפרנציאלי של פונקציות רציונליות (כולל פולינומים), פונקציות שבהן יש ביטויים עם שורשים ריבועיים, ופונקציות טריגונומטריות. נגזרת של: סכום, מכפלה, ומנה של פונקציות (מהמוזכרות לעיל), פונקציה מורכבת (כלל השרשרת), פונקציה סתומה. נגזרת שנייה. קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה ) קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מטה). נקודות פיתול. שימושים: משוואת משיק, נקודות קיצון בקטע פתוח ובקטע סגור, קיצון מקומי וקיצון מוחלט (כולל קצות קטע). בעיות ערך קיצון (מכל הסוגים, כולל קיצון בקצה קטע סגור). חקירת פונקציה ושרטוט סקיצה של גרף הפונקציה (החקירה כוללת: תחום הגדרה, נקודות קיצון (מקומי ומוחלט), תחומי עלייה וירידה, נקודות פיתול, תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה, התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה, אסימפטוטות מקבילות לצירים).

מיקוד חורף תשס"ט 009 5. חשבון אינטגרלי אינטגרל לא מסוים (פונקציה קדימה), קבוע האינטגרציה, אינטגרלים מידיים. אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע. אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הפונקציה הפנימית היא ליניארית. מציאת אינטגרל של פונקציה רציונלית עם מכנה ליניארי על ידי חילוק פולינומים. מציאת כאשר u היא פונקציה של אינטגרל על ידי הצבה פשוטה (לא רק ליניארית), מהצורה:. f (u)u 'd (כלומר, אינטגרל שבו יש צורך לזהות את הנגזרת הפנימית, ואינו מצריך שינוי גבולות בחישוב האינטגרל המסוים), לדוגמה: d = + + C + אימות אינטגרלים על ידי גזירה. מציאת פונקציה על פי נגזרתה ונקודה. אינטגרל מסוים, פונקצית השטח בין גרף של פונקציה וציר ה- (הפונקציה יכולה להיות חיובית, שלילית או לשנות סימן) שטח בין גרפים של פונקציות. חישוב שטחים מורכבים, נפח גופי סיבו בעיות ערך קיצון (מכל הסוגים). האינטגרלים בפרק זה כוללים: פונקציות רציונאליות (גם פולינום), פונקציות עם ביטויים של שורש ריבועי, פונקציות טריגונומטריות (כולל שימוש בזהויות). הערה: שימו לב, בנושאים של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, ייתכן שימוש בחלוקת פולינומים. כל מה שמודגש זה החומר שירד במיקוד חורף תשס"ט 009 4

שאלון 006 שאלה מספר נושא השאלה: בעיות תנועה. נוסחאות וכללים s = v t זמן נסיעה = t מהירות = v דרך = s טיפים יש להקפיד על יחידות הזמן, המהירות והדרך. כלומר, אם הזמן בשעות והמהירות בקמ"ש, אזי הדרך בק"מ. כאשר נשתמש בנוסחה s = v t יש להקפיד שהזמן t יהיה הזמן בו נסעה המכונית בפועל במהירות v. דוגמא מספר : מנמל A יצאה סירת משוטים עם הזרם לנמל B. שעה אחריה יצאה בעקבותיה מנמל A סירת מנוע, הגיעה לסירת המשוטים וחזרה לנמל A. סירת המנוע הגיעה לנמל A כאשר סירת המשוטים הגיעה לנמל B. ידוע כי מהירות סירת המשוטים (במים עומדים) גדולה פי 4 ממהירות הזרם, ומהירות סירת המנוע (במים עומדים) גדולה פי 5 ממהירות הזרם. מצא את משך הנסיעה של סירת המשוטים מנמל A לנמל B. 4 + = 5 פתרון: מהירות הזרם: קמ"ש. מהירות סירת המשוטים: 4. מהירות סירת המנוע: 5. עד לפגישתן נעה סירת המשוטים במשך t שעות. סירת המנוע נעה t שעות. מהירות סירת המשוטים עד לפגישה (נעה עם הזרם) מהירות סירת המנוע עד לפגישה: סירת משוטים סירת מנוע A 5 + = 6 B 5

מיקוד חורף תשס"ט 009 6(t ) = 4 t 6(6 ) = 4 t 6 5 = 4t 6 5 t = = 7.5 4 סירת המנוע וסירת המשוטים עשו דרך זהה עד לפגישתן: 5 t = 6 (t ) 5t = 6t 6 ; t = 6 t עד לפגישתן נעו אפוא, 6 שעות. נמצא עתה את זמן התנועה של סירת המנוע בדרך חזרה לנקודה A. 5 = 4 מהירותה בדרך חזרה (נגד הזרם): זמן התנועה חזרה:. הדרך שעשתה סירת המנוע בכיוון הזרם, שווה לדרך שעשתה חזרה, בכוון נגד הזרם: מצאנו כי = 6.t 7.5 שעות. הדרך חזרה של סירת המנוע נמשכה אפוא: לפי הנתון, סירת המשוטים הגיעה ל- B כאשר סירת המנוע הגיעה ל- A. 6 שעות. זמן התנועה של סירת המשוטים עד לפגישה: 7.5 שעות. זמן התנועה של סירת המשוטים אחרי הפגישה:.5 שעות = 7.5 6. + סה"כ זמן התנועה של סירת המשוטים: תשובה:.5 שעות. 6

שאלון 006 דוגמא מספר : המרחק בין הנקודות A ו- B הוא 40 ק"מ. רוכב אופניים יצא מנקודה A לכיוון נקודה B ונסע במהירות קבועה. 0 דקות לאחר יציאתו לדרך, יצא רוכב קטנוע מנקודה A לכיוון נקודה B במהירות קבועה של 45 ק"מ לשעה.רוכב הקטנוע הדביק את רוכב האופניים בנקודה C ומיד הסתובב וחזר על עקבותיו באותה מהירות (45 קמ"ש) לנקודה A (ראה ציור). רוכב האופניים, שהמשיך בנסיעתו ללא עיכובים, הגיע לנקודה B ברגע שהקטנוע עבר את מחצית הדרך מ- C ל- A. מצא את מהירות רוכב האופניים. 40 ק"מ A C B פתרון: מהירות רוכב האופנים קמ"ש. המרחק y :AC ק "מ. עד הפגישה: s y y v 45 y y 45 t אופניים: אופנוע: () y y 0 = + 45 60 לאחר הפגישה: s 40 y y v 45 t 40 y y 45 הפעם הזמנים שווים: 7

מיקוד חורף תשס"ט 009 () 40 y y = 45 () y y 45 = + \ 45 ; 45y = y + 5 () 40 y y = 90 ; 600 90y = y 45y = 600 90y + 5 5 = 5y 600 ; = 9y 40 () 600 90y = y(9y 40) ; 00 0y = y 80y נפתור את המשוואות () ו- () למציאת : נציב את הערך של y במשוואה () למשוואה (): 0 y = 0 50 ± 500 + 4400 y 50y 00 = 0 ; y = = = 9y 40 = 9 0 40 = 0 6 y דרך שלילית לא אפשרית תשובה: מהירות רוכב האופניים 0 קמ"ש. 8

שאלון 006 דוגמא מספר : שני הולכי רגל יצאו באותו הזמן מ- A ל- B. הראשון הגיע ל- B השני, אחרי שעבר שעות לאחר שעזב את A. 5 מהדרך, חזר ל- A. הוא שהה ב- A 0 דקות, יצא שוב ל- B, והגיע ל- B יחד עם הראשון. הולך הרגל השני עבר כל קילומטר ב- 5 דקות פחות מאשר הראשון. מצא את המהירויות של שני הולכי הרגל, אם המהירות של כל אחד מהם לא השתנתה במשך זמן ההליכה. פתרון: A 5 B מהירות הולך רגל א': קמ"ש. מהירות הולך רגל ב': y קמ"ש. שהייה 0 דקות s.5 v t.5. מהירות רוכב א':.5 +.5 5 y.5 +.5 5 y. הולך רגל ב' בתנועה: 0 0 0 60. הולך רגל ב' במנוחה: () הסבר הטבלה: המרחק AB הוא.5. הרוכב השני עבר את הדרך ועוד שתי חמישיות ממנה. שני הולכי הרגל שהו בדרך אותו זמן:.5 +.5 5 0 = + y 60.5 הנתונים לגבי תנועה לאורך ק"מ אחד: s v y t y רוכב א': רוכב ב': 9

מיקוד חורף תשס"ט 009 5 () = y 60.5 + ().5 = + \ y 6 6y 5y = 5 + 6 + y ; 4y = ; y = () = \ 4 8 = ; = 4 ; y = = = 6 הולך רגל ב' עובר ק"מ אחד ב- 5 דקות פחות: תשובה: מהירות הולך רגל א' 4 קמ"ש, מהירות רוכב ב' 6 קמ"ש. 0

שאלון 006 שאלות נוספות: המרחק בין שני מקומות A ו- B הוא 8 ק"מ. שני רוכבי אופניים יצאו בו-זמנית, האחד מנקודה A והשני מנקודה B, ונסעו זה לקראת זה, במהירויות קבועות. אחרי שעה אחת ו- 40 דקות עדיין לא נפגשו, אך המרחק ביניהם הצטמצם ל- 6 ק "מ בלבד. הרוכב שיצא מ- A עבר את כל הדרך עד- B בשעה וחצי פחות מאשר הרוכב שיצא מ- B ל- A. מצא את המהירויות של כל אחד מרוכבי האופניים.. מעיר A יצאה מכונית א' לכיוון עיר B. 6 שעות לאחר מכן יצאה מעיר B מכונית ב' לכיוון עיר A. שתי המכוניות נפגשו בדרך. עד נקודת הפגישה עברה מכונית א' 0 ק"מ יותר משעברה מכונית ב'. מכונית א' הגיעה לעיר 9 B שעות אחרי הפגישה, ומכונית ב' הגיעה לעיר 8 A שעות אחרי הפגישה. (המכוניות נסעו במהירויות קבועות). מצא את המרחק שעברה מכונית ב' עד שהגיעה לנקודת הפגישה. מצא את המהירות של מכונית א' ואת המהירות של מכונית ב'.. שני רוכבי אופניים יצאו בבת-אחת זה לקראת זה ממקומות A ו- B. האחד מ-,B-לA והשני מ- B ל- A. הם נפגשו בדרך וכל אחד מהם המשיך, מבלי להתעכב, לנוע ליעדו; רוכב האופניים מ- A הגיע ל- B 4 שעות לאחר הפגישה, ואילו רוכב האופניים הגיע מ- B ל- A 9 שעות לאחר הפגישה. מהירויות רוכבי האופניים לא השתנו בשעת התנועה. בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי האופניים הנ"ל את המרחק בין A ל- B?. ג. המקומות A ו- B נמצאים על שפת נהר הזורם מ- B ל- A. סירת מנוע עוברת מדי יום ביומו את הדרך מ- A ל- B וחוזרת ל- A. דרכה מ- A ל- B נמשכה פי מדרכה מ- B ל- A. סמן ב- את מהירות הסירה בכוח המנוע בלבד, וב- y את מהירות הזרם וערוך משוואה למסופר לעיל. חשב באמצעות המשוואה, שנתבקשת לערוך בסעיף א', את היחס בין ל- y. באחד הימים, כשהייתה הסירה בדרכה מ- A ל- B חלה תקלה במנוע ותיקונו נמשך 0 דקות. במשך זמן התיקון נסחפה הסירה אחורה עם הזרם. הפעם הגיעה ל- B באיחור לעומת הפעמים האחרות. כשאין תקלות נעה הסירה מדי יום ביומו באותה המהירות. () הבע בעזרת ו- y הנ"ל בכמה דקות איחרה הסירה הפעם להגיע ל- B. () חשב את מספר הדקות שבו איחרה הסירה הפעם להגיע ל- B..4

מיקוד חורף תשס"ט 009 על כביש ישר נמצאת התחנה B A, ו- C. המרחק בין A ל- B הוא 0 ק"מ והמרחק בין B ל- C הוא ק"מ (ראה ציור). 50.5 A B C בשעה 7:00 בבוקר יצא רכב מ- A ונסע במהירות קבועה לכיוון C. בשעה 8:00 בבוקר יצא רכב אחר מ- B ונסע גם הוא לכיוון C, במהירות קבועה הגדולה ב- 0 קמ"ש ממהירות הרכב שיצא מ- A. הרכב שיצא מ- B הגיע ל- C לפני הרכב שיצא מ- A והקדים אותו ביותר מ- 0 דקות. באיזה תחום מספרי צריכה להימצא מהירות הנסיעה של הרכב שיצא מ- A? המרחק מתחנת הרכבת לשפת הים הוא 4 ק"מ. אוטובוס ותייר יצאו באותה שעה מתחנת הרכבת אל שפת הים. כעבור 0 דקות פגש התייר את האוטובוס שעשה דרכו בחזרה, לאחר שהגיע לשפת הים. כשהתייר עבר ק"מ נוספים שוב הדביקו האוטובוס שיצא לשפת הים מייד לאחר שהגיע 4 לתחנת הרכבת. מהירויות האוטובוס והתייר אינן משתנות בזמן תנועתם. מצא את מהירותו של כל אחד מהם. הערה: בפתרון הבעיה, הנח כי האוטובוס והתייר נעים ללא חניות..6 ג. תשובות: מהירות הרוכב שיצא מ- A = 7 קמ"ש.. מהירות הרוכב שיצא מ- B= 8 קמ"ש. 60 ק"מ...V B, V A 60 קמ"ש = 40 קמ"ש = 0 שעות, 5 שעות... + y =.5.5y.4. y = 5 0y 0 + y () () 5 דקות. 0 < < 60 מהירות התייר קמ"ש; מהירות האוטובוס 45 קמ"ש..5.6

שאלון 006 שאלה מספר נושא השאלה: בעיות תערובת. נוסחאות וכללים = 00 כמות החומר הכללית = אחוז החומר הנקי כמות חומר נקי טיפ: כאשר מערבבים שני חומרים A ו- B, כאשר כל אחד מהם הוא תערובת, יתקיימו הכללים הבאים: סך-הכול החומר בתערובת הסופית = סכום החומר של A ו- B. סך-הכול החומר הנקי בתערובת הסופית = סכום החומר הנקי ב- A ו- B. אחוז החומר הנקי בתערובת הסופית לא שווה לסכום האחוז של חומר נקי בחומר A והאחוז של חומר נקי בחומר B.

מיקוד חורף תשס"ט 009 דוגמא מספר : מבקבוק מלא עם תמיסת מלח בריכוז של % מוציאים ליטר אחד תמיסה ומכניסים במקומה לבקבוק ליטר מים טהורים. לאחר מכן מוציאים ליטר מהתמיסה שנתקבלה ומכניסים שוב במקומה ליטר מים. לאחר שתי פעולות אלה התברר שתמיסת המלח בבקבוק היא בריכוז של %. מהו קיבול הבקבוק הנ"ל בליטרים? פתרון: נגדיר: קיבול הבקבוק בליטרים בקבוק לאחר הוצאת ליטר מים: 0.88 0.88 = 0.88( ) בקבוק בהתחלה מים 0.88 ליטר 0.88 מים מלח 0. 0. מלח מלח: = ( ) 0. 0. 0. ( ) בקבוק לאחר הוצאת ליטר תערובת מים: הוספת ליטר מים 0.88 + = 0.88 + 0. 0. 0. 0.88 + 0. 0. 0. מלח: 0.88 + 0. 0.88 + 0. + + מים 0. 0. 0. 0. מלח הוצאת ליטר ליטר מים מלח מקבלים תמיסת מלח בריכוז, % כלומר 0.0 מלח. 0. 0. 0. 0. = 0.0 / 00 + = 9 4 0 / : + = 8 4 0 + = = 8 ± 64 4 4 8 ± 4, = = 6 = תשובה: ליטר. לא מתקיים כי הוציאו ליטר והכמות חייבת להיות מעל ליטר 4

שאלון 006 דוגמא מספר : מכלי מלא, שהכיל מלח בריכוז של 96%, שפכו.5 ליטר נוזל, במקומם מילאו את הכלי בחומצת מלח בריכוז של 80%. אחר-כך שוב שפכו.5 ליטר, ובמקומם מילאו שוב בחומצת מלח בריכוז של 80%. לבסוף היה ריכוז המלח שבכלי 89%. מצאו את נפח הכלי. פתרון כמות תמיסה אחוז מלח כמות מלח ירד הוסיפו ירד הוסיפו 0.96 96% 96 96%.5.5.4 00 = 80 80%.5.5 00 = 0.96 0.4 0.96 0.4.5.5 % 80 80%.5.5 00 = 0.89 89% 0.96 0.4 0.96.4 +.5 + = 0.89 0.96 0.4 0.96 +.6.5 = 0.89 / 0.96 +.6.4 + = 0.89 0.07 0.8 + = 0, 0.8 ± 0.8 4 0.07 = 0 = = 0.07 =.48 לא מתקיים כי מורידים.5 ליטר תשובה: 0 ליטר 5

מיקוד חורף תשס"ט 009 דוגמה מספר : לכמות מסוימת של כוהל A, מוסיפים כמות הגדולה ב- 0 ליטר מכוהל B, ועוד 0 ליטר כוהל בריכוז 0%. לתערובת זו מוסיפים מים בחצי הכמות שנלקחה מכוהל B. התערובת הסופית המתקבלת היא 00 ליטר בריכוז כוהל של 45%. מהו ריכוזם של כוהל A וכוהל B, אם ידוע שריכוז כוהל B נמוך ב- 0% מריכוז כוהל A? פתרון כמות חומר אחוז כוהל כמות כוהל p 00 ( + 0)( p 0) 00 0 45 00 = 90 00 + + 0 + 0 + ( + 0) = 00 + 0 + 0.5 + 5 = 00.5 = 75 = 70 ( 70 + 0)( p 0) 70p + + = 90 00 00 0.7p + 0.7p 6 + = 90.5p = 05 p = 70% p 00 p 0 00 00 0% 0 45% + 0 0 0 00 ( + ) 6

שאלון 006 שאלות נוספות: רוקח ערבב כמות מסוימת של כוהל בן 60% עם כמות אחרת של כוהל בן 45%, הוסיף לתמיסה 50 גרם מים וקיבל 750 גרם כוהל בן 50%. כמה גרם כוהל בן 60% הכניס הרוקח לתמיסה הנ"ל? הערה: בכוהל בן 60% הכוונה לתמיסה המכילה 60% כוהל טהור ו- 40% מים.. תשובה: 400 גרם. כמות מסוימת של חומצת מלח בריכוז של 90% עורבבה בכמות חומצת מלח קטנה ממנה ב- 0 ליטר ובריכוז של 0%, לאחר מכן אוידו מהתערובת 5 ליטרים של מים טהורים ונתקבלה חומצת מלח בריכוז של 7%. כמה ליטרים חומצת מלח בריכוז של 7% נתקבלו?. תשובה: 5 ליטר.. בבית חרושת למוצרי נחושת נמצאים נתכי נחושת משני מינים. אחוז הנחושת בנתך מהמין הראשון קטן ב- 40% מאחוז הנחושת בנתך מהמין השני. לוקחים מוט מכל אחד מהנתיכים הנ"ל, מתיכים אותם ביחד, ומקבלים נתך המכיל 6% נחושת. במוט מהנתך הראשון היו 6 ק"ג נחושת טהורה ואילו במוט השני ק"ג נחושת טהורה. מהו אחוז הנחושת בכל אחד מהנתכים הנ"ל? תשובה: 60%,0% 7

מיקוד חורף תשס"ט 009 n 5 4n + 5 מתחלק ב- 6 ( ) n+ n+ 5 4 n + 5 = 5 4n 4 5 ( ) = = + + n+ n+ 5 5 4n 9 5 5 4n 5 6n 6 שאלה מספר : צפויה להישאל בנושאים: אינדוקציה של התחלקות. דוגמה מספר : הוכיחו בעזרת אינדוקציה מתמטית (או בדרך אחרת), כי הביטוי: עבור כל n טבעי. n 5 4n + 5 מתחלק ב- 6 עבור כל n טבעי. : n = n 5 4n + 5 מתחלק ב- 6 לכל n טבעי כלשהי. פתרון: צריך להוכיח: נבדוק את הטענה עבור 5 4 5 = 6 6 מתחלק ב- 6. הנחת האינדוקציה ( ) n+ צ"ל: + 5 n 5 4 מתחלק ב- 6. n 5 4n + 5 מתחלק ב- 6 (ע"ס הנחת האינדוקציה). ולכן מכפלתו ב- 5 מתחלקת ב- 6. נבדוק את הטענה עבור n: 6 ו- 6n מתחלקים גם הם ב- 6 (n טבעי) ולכן הסכום מתחלק ב- 6. n ע"ס אקסיומת האינדוקציה 5 4n + 5 מתחלק ב- 6 לכל n טבעי. 8

שאלון 006. דוגמה מספר : n+ n הוכח שאם ל- n טבעי מסוים, 0 + מתחלק ב- 9, אזי גם הוכח באינדוקציה, או בדרך אחרת, כי לכל n טבעי השארית בחלוקת מתחלק ב- 9. ב- 9 היא n 0 + 0 + פתרון: n נתון: 0 + מתחלק ב- 9 ללא שארית. n+ צ"ל: במקרה כזה, 0 + מתחלק ב- 9 ללא שארית. n+ n n n n הוכחה: 0 + 9 + 0 = + ) (9 + 0 = 0 + 0 = 0 +.9 n הביטוי 9 0 מתחלק כמובן ב-.9 n+ 0 + n הביטוי 0 + מתחלק ב- 9 לפי ההנחה. מכאן שהביטוי מתחלק ב- n עלינו להוכיח כי בחלוקת הביטוי 0 + ב- 9 השארית היא. אם נחסר את השארית, כמובן שהמספר יתחלק בדיוק ב- 9, עלינו להוכיח אפוא כי הביטוי הבא n n מתחלק בדיוק ב- 0 :9 = 0 + נובעת נכונותו לגבי +. n הוכחה בדרך האינדוקציה: בדיקה לגבי = n : 8 = 0 נוכיח עתה, שמנכונות המשפט לגבי n כלשהו, n + הביטוי לגבי :n+ 0 n+ n n n n נפתח את הביטוי: 0 9 + 0 = ) (9 + 0 = 0 0 = 0 n הביטוי 9 0 מתחלק כמובן ב- 9. n הביטוי 0 מתחלק ב- 9 לפי ההנחה. על סמך אקסיומת האינדוקציה הטענה נכונה לכל המספרים הטבעיים. 9

מיקוד חורף תשס"ט 009 דוגמה מספר : ג. n + n + + 5 n n + 5 מתחלק ב- 6, אזי גם: הוכיחו את הטענה: אם ל- n טבעי מסוים מתחלק ב- 6. n n האם מן הטענה שבסעיף א' נובע ש- + 5 מתחלק ב- 6 עבור כל n טבעי אי זוגי? נמקו. n n + 5 מתחלק ב- 8 עבור כל n טבעי אי זוגי. הוכיחו באינדוקציה, או בכל דרך אחרת, כי הביטוי n n + 5 פתרון: הנחה: צ"ל: מתחלק ב- 6 (n טבעי). מתחלק ב- 6 לכל n טבעי. ( ) + 5 n + n + + 5 = 9 + 5 5 n+ n+ n n = 9 + 5 + 6 5 n n n n 5 6 מתחלק ב- 6 לכל n טבעי היות ו- 5n הוא ביטוי טבעי. n n n n עפ"י ההנחה הביטוי + 5 מתחלק ב- 6 ולכן גם 9 + 5 מתחלק ב- 6. ( ) ואם כל אחד מהמחוברים מתחלק ב- 6 גם הסכום מתחלק ב- 6. מ.ש.ל. n = ג. n n לא הוכחנו כאן כי + 5 מתחלק ב- 6 לכל n טבעי אי זוגי כי לא בצענו בדיקה עבור n n צ"ל כי + 5 מתחלק ב- 8 עבור כל n טבעי אי זוגי. נבדוק את הטענה עבור = n = 8 5. + 8 מתחלק ב- 8. n n הנחת האינדוקציה: + 5 מתחלק ב- 8 ל- n טבעי אי זוגי כלשהו. n + n + נוכיח כי + 5 מתחלק ב- 8 (ע"ס ההנחה). ( ) + 5 = 9 + 5 5 = 9 + 5 + 6 5 n+ n+ 5 n n n n n n מתחלק ב- 8 ) 5 טבעי ו- 6 מתחלק ב- 8 ). n n מתחלק ב- 8 (ע"ס ההנחה) ולכן 9 + 5 מתחלק ב- 8. ( ) n 6 5 n n + 5 אם כל אחד מהמחוברים מתחלק ב- 8 אז גם הסכום מתחלק ב- 8. n n ע"ס אקסיומת האינדוקציה + 5 מתחלק ב- 8 לכל n טבעי אי זוגי. 0

שאלון 006 שאלה נוספות: הוכיחו: אם בשביל n טבעי ( 0 n 7 ) מתחלק ב- 9, הרי גם ( 0 n + 7 ) ( 0 n 7 ) ג. האם מהמשפט, שנתבקשתם להוכיח ב-א', נובע ש- נמקו את תשובתכם. הוכיחו, בעזרת אינדוקציה מתמטית (או בדרך אחרת), כי טבעי. מתחלק ב- 9. מתחלק תמיד ב- 9? ( 0 n 7 ) מתחלק ב- עבור כל n. תשובה: הוכחה. ל הוכחה. ג. n n הוכיחו באינדוקציה, או בדרך אחרת, שעבור כל n טבעי הביטוי: 5 7 9 שארית. מתחלק ב- 8 בלי. תשובה: הוכחה הוכיחו כי: n n מתחלק ב- 6 עבור כל (n n מספר טבעי). הוכיחו, בהסתמך על א', את המשפט הבא: אם: a + b + c מתחלק ב- 6, הרי גם: a + b + c מתחלק ב- 6 ),a - c,b מספרים טבעיים).. תשובה: הוכחה. הוכחה.

מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלה מספר : צפויה להישאל בנושא: אי שוויונים עם ערך מוחלט. נוסחאות וכללים באי-שוויון מהצורה a < f () < a : f() < a וכמובן לא לשכוח תחום הגדרה. באי-שוויון מהצורה f() > a : f() > a או f() < a וכמובן לא לשכוח תחום הגדרה. ד. השלבים בפתרון אי-שוויון עם ערך מוחלט מהצורה של חיבור או חיסור של שני ערכים מוחלטים: נשווה לאפס כל מחובר. נחלק את הפתרון לשלושה תחומים. ג. בכל תחום נבדוק על-ידי הצבה: אם הביטוי בערך המוחלט חיובי ניתן לבטל את הערך המוחלט a).( a = אם הביטוי הוא שלילי נבטל את הערך המוחלט ונחליף את סימנו של הביטוי.(a עבור < 0 a = a) לאחר שנפטרים מסימן הערך המוחלט בכל תחום, פותרים את אי-השוויון שנותר.

שאלון 006 דוגמא מספר + < 5 פתור את אי השוויון הבא: פתרון נפרק את הפתרון לשלושה תחומים:. או < או < ( ) ( ) < 5 + + < 5 < 0 > 0 תחום I וגם 0 0 < < < ( ) < 5 + < 5 < 5 תחום II וגם < < לכל. תחום משותף: ( ) ( ) + < 5 + < 5 < 0 < 5 תחום III וגם 5 התחום המשותף: < 5 תשובה סופית: < 5 < 0

מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלות נוספות: 7 + + 4. פתרו את אי-השוויון הבא: + פתרו את אי-השוויון הבא: וגם + > 0. תשובות:. לכל >. 4

שאלון 006 שאלה מספר -5: צפויה להישאל בנושאים: טריגונומטריה במישור. נוסחאות וכללים ( a) + ( b) = ( c) משפט פיתגורס: sinα = = a c הניצב מול הזווית יתר cosα = = b c הניצב ליד הזווית יתר tanα = = b c הניצב מול הזווית הניצב ליד הזווית - a ניצב מול הזווית - יתר c α - b ניצב ליד הזווית 5

מיקוד חורף תשס"ט 009 משפטי הסינוסים והקוסינוסים נוסחאות וכללים משפט הסינוסים β a γ c b α a sin α = b sinβ = c sin γ = R R - רדיוס המעגל החוסם את המשולש. משפט הסינוסים מאפשר לפתור בעיות במשולשים במקרים הבאים: נתונות שתי זוויות וצלע מסוימת. נתונות שתי צלעות וזווית מול אחת מהן. נתון רדיוס המעגל (החוסם את המשולש) וצלע או זווית. ג. כאשר נקבל במשפט הסינוסים משוואה מהסוג,sin α = k יש לבדוק את שתי האפשרויות של זווית חדה ושל זווית קהה. a γ b משפט הקוסינוסים β c α c = a + b ab cos γ משפט הקוסינוסים מאפשר לפתור בעיות במשולשים במקרים הבאים: נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן. נתונות שלוש צלעות. β a γ c b α שטח משולש כלשהו S = a b sin γ מחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית ביניהן. שטח מרובע כלשהו: מחצית מכפלת אלכסוניו בסינוס הזווית שביניהן. בשאלות בהן נתון שרטוט מעגל ובתוכו משולשים ונרצה להשתמש במשפט הסינוסים עם רדיוס המעגל החוסם, יש לוודא שכל קודקודי המשולש נמצאים על המעגל. בפתרון שאלה במשפט הסינוסים או הקוסינוסים בבחינת הבגרות, יש לרשום לאיזה משולש מתייחסים. 6

שאלון 006 זהויות טריגונומטריות sin( α ± β)= sin α cos β ± cosα sin β cos( α ± β) = cos α cosβ sin α sin β ( ) = tg α ± β tgα ± tgβ tgαtgβ נוסחאות וכללים זהויות המופיעות בדף הנוסחאות של בחינת הבגרות זהויות שאינן מופיעות בדף הנוסחאות של בחינת הבגרות: sin( 90 α)= cos α cos( 90 α) = sin α cos( 80 α) = cos α sin( 80 α)= sin α sin( α) = sin α sin( 80 α)= sin α cos = cos sin cos = cos cos = sin tg = sin cos sin + cos = cot = tg sin = sin cos טיפים בדרך-כלל המשוואות הטריגונומטריות מתחלקות לסוגים הבאים: שימוש בזהות =.sin + cos שימוש בזהויות sin ו-.cos נשתמש בזהויות אלה כאשר נראה בתרגילים זוויות מסוימות וזוויות כפולות שלהן, כמו: ו-,4 ו-.6 מעבר לטנגנס כאשר המשוואה מהצורה = 0 α a sin α + bcos נעביר אגפים. sin α ונשתמש בזהות cosα = tgα הנחיה כללית לפתרון משוואה טריגונומטרית יש לנסות להגיע לזווית אחת בלבד. להשתדל להגיע לפונקציה טריגונומטרית אחת. 7

מיקוד חורף תשס"ט 009 דוגמא מספר : B β 60 γ A C במשולש ABC הגודל של זווית A הוא 60 מעלות. ABC מחלק את המשולש AD קטע.BC נקודה על הצלע D לשני משולשים. אורכי הרדיוסים של המעגלים שחוסמים שני משולשים אלה הם: ס "מ ו- 5 ס "מ. הוכח כי = 5 β tan פתרון לפי משפט הסינוסים, במשולש :ABD AD R 6 α = 60 sin β = = = AD = 6sin β AD = R = 5 = 0 sin γ AD = 0 sin γ לפי משפט הסינוסים, במשולש :ADC γ = 80 ( α + β ) = 80 α β γ = 80 60 β = 0 β () 6sin β = 0sin ( 0 β ) 6 sin β = 0( sin0 cosβ cos0sin β) 6 sin β = 0 sin0 cosβ 0 cos0 sin β 6 sin β = 0 cosβ 0 sin β 6sin β = 5 cosβ + 5sin β sin β = 5 cosβ sin β = tan β = 5 cosβ קיבלנו שני ביטויים שונים ל-.AD מכאן: 6sin β = 0sin γ לפי הנתון: לכן: 8

שאלון 006 OA OF R sin α = = OF sin 80 ( 60 + α) sin α sin ( 60 + α) FD = R OF ( ) ( ( + α) sin α) ( ) R sin α R sin 60 FD = R = sin 60 + α sin 60 + α AOD שמול אותה דוגמא מספר : במעגל שמרכזו 0 ורדיוסו R מעבירים שני קטרים AB ו- CD 0 הנחתכים בזווית של. 60 מיתר,AE היוצר זווית α עם הקוטר,AB חותך את הקוטר CD בנקודה F (ראה ציור). הבע את שטח המשולש DEF באמצעות R ו- α (אין צורך לפשט).. R 8. OD = R 0 = 0 α, שטח המשולש DEF הוא:, OA = R ( ), OFA = 80 60 + α הוכח שכאשר פתרון ב- : OFA לפי משפט הסינוסים: ומכאן: = 0 FED היא זווית היקפית השווה למחצית הזווית המרכזית קודקודיות α) EFD = OFA = 80 ( 60 + FDE = 80 0 80 + 60 + α = 0 + α S FDE B C E F 60 O D A ( + α) ( + α) ( + α) ( + α) DF sin 0 sin 80 60 DF sin 0 sin 60 = = sin 0 ב- : EDF קשת. שטח המשולש: ( ( + α) sin α) sin ( 60 + α) R sin 60 S FDE = sin ( 0 + α) sin ( 60 + α ) = ( ( + α) α) sin ( 60 + α) R sin 60 sin ( + α) sin 0 0 = 0 α, נציב ונקבל: כאשר ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) + α α + ( ) FDE ( ) R sin 60 sin R sin 60 0 sin 0 R S = sin 0 + α S = sin 0 + 0 = R = sin 60 + α sin 60 + 0 4 8 מ.ש.ל 9

מיקוד חורף תשס"ט 009 A O C E D B דוגמא מספר : משולש ישר זווית ABC חסום במעגל שמרכזו O (ראה ציור).. BAC = BOD מ- O העבירו רדיוס OD כך ש: = α המיתר CD חותך את הקוטר AB בנקודה E. קוטר המעגל הוא 0 ס"מ =.AB הבע באמצעות α את ההיקף של המשולש.BCE D פתרון במשולש ישר הזווית :ABC A α O C α α E B β = 90 α o B = 90 A = 90 α DOB α DCB = = לפי משפט: זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת אתה על אותה קשת. α BEC = 80 + 90 α α α BEC = 80 90 + α = 90 + BC BC sin α = = AB 0 BC = 0sin α BE BC sin sin BEC = α α α α BC sin BC sin 0 sin α sin BE α α = = = ; sin 90 + = cos sin BEC α α sin 90 sin 90 + + α 0 sin α sin BE α = = 0 sin α tg α cos CE BC = sin B sin BEC BC sin B 0 sin α sin(90 α) 0 sin α cos α 0 sin α CE = = = = sin BEC α α α cos cos sin 90 + α 0sin α l = BC + BE + CE = 0sin α + 0sin α tg + cos α במשולש :BCE במשולש :ABC במשולש :BCE היקף המשולש :BCE 40

שאלון 006 שאלות נוספות נקודה בתוך משולש שווה צלעות,ABC שאורך צלעו. נתון: PBC = θ ; CP = m ; BP = l ; AP = K ו- m, אם נתון ש- θ. = 5 o o k m הוכח: = ) θ sin(0 l הבע את שטח המשולש PBC באמצעות k. A α β B D C במשולש AD,ABC חוצה את הזווית,BAC ADC = β, BAC = α, BC = a (ראה ציור). בטא את AD באמצעות. a, β, α בדוק את הביטוי שקיבלת בסעיף א', למקרה הפרטי של משולש ישר זווית ושווה שוקיים.(AB=AC). בטרפז שווה שוקיים (AD BC) ABCD הבסיס הקטן BC שווה לשוק. הזווית ליד הבסיס הגדול היא. α דרך הקודקוד D עובר ישר החותך את השוק AB ב- E ויוצר זווית β עם הבסיס.AD הבע באמצעות α ו- β את היחס בין שטח המשולש AED לבין שטח הטרפז. הראה שכאשר. o o = 60 α ו- = 0 β היחס בין שטח המשולש AED לבין שטח הטרפז הוא. F C E ABC הוא משולש ישר זווית o ) 90 = ACB (, שבו. CBA = β E נקודה על הניצב,BC המקיימת: CAE = β. דרך הנקודה E מעבירים.4 A B ישר המקביל ליתר.AB הישר חותך את הניצב AC בנקודה F (ראה ציור). הוכח: אם שטח המשולש ABE שווה לשטח המשולש,CEF 4 sin β = cos β cos β אזי : 4

מיקוד חורף תשס"ט 009 B E A α G F C במשולש שווה צלעות ABC חסום משולש שווה צלעות.EFG BFE (ראה ציור) = α הבע את היחס בין שטח המשולש EFG לבין שטח המשולש ABC באמצעות. α חשב את הזווית α במקרה שבו היחס בין השטחים הוא :..5. sin β ( + cos α) sin( α + β )( + cos α) תשובות:. הוכחה. k m. 4 a sin β α sin β +. AD = sin αsin β. α = β = 90 α ( ) ( ) a = AD כי sin βsin ( α) sin( α + β)sin α הוכחה. הוכחה. או. o 4sin (0 + α) o.05, 5 o...4.5 4

שאלון 006 שאלה מספר -5: צפויה להישאל בנושאים: טריגונומטריה במרחב - פירמידה. נוסחאות וכללים מציאת זווית זווית בין שתי פאות צדדיות סמוכות: α α זווית בין פאה צדדית לבסיס: α α ג. זווית בין מקצוע צדדי לבסיס: α α ד. זווית בין מקצועות צדדיים סמוכים: α α 4

מיקוד חורף תשס"ט 009 נוסחאות וכללים ה. זווית בין מקצועות נגדיים: α ו. זווית בין פאות נגדיות: α הגדרות ג. ד. פירמידה נקראת פירמידה משוכללת אם הבסיס שלה הוא מצולע משוכלל. פירמידה נקראת פירמידה ישרה אם הגובה של הפירמידה (אנך מהקודקוד לבסיס) עובר דרך מרכז המעגל החוסם את הבסיס. בפירמידה ישרה: () כל המקצועות הצדדיים שווים זה לזה. () כל המקצועות הצדדיים יוצרים עם הבסיס את אותה הזווית. אם כל הפאות הצדדיות של פירמידה יוצרות עם הבסיס את אותה הזווית אז הגובה של הפירמידה עובר דרך מרכז המעגל החסום בתוך הבסיס. נפח פירמידה: V = B h h B - גובה ה פירמידה - שטח בסיס הפירמידה שטח מעטפת: סכום השטחים של פאות הפירמידה. שטח פנים: שטח מעטפת + שטח בסיס.(B) 44

שאלון 006 דוגמא מספר : A α D K t O t B o 60 t o 60 C KABC היא פירמידה משוכללת וישרה שבה מקצועות הבסיס וגובה הפירמידה שווים ל- t והזווית בין מקצוע צדדי לבסיס היא. α מצא את. α הבע את גובה הפאה הצדדית באמצעות t. ג. נתון כי שטח מעטפת הפירמידה הוא. 4 9 הוכח כי = 4 t. פתרון מאחר שהבסיס הוא שווה צלעות, OA הוא חוצה הזווית A t זווית חדה בת 0 ו- = DA : כלומר משולש ADO הוא ישר זווית עם AD t AO = ; AO = ; AO = Cos0 t t o t tanα = = α = 60 o את, α נחשב במישור :KOA t t t KA = ; KA = ; KA = Sin60 o KD = KA DA ; t t ( ) ( ) 4 t KD = = t = ; KD =.04t 4 במשולש ישר הזווית KOA מתקיים: במישור KDA מתקיים: S = t ; S = 4 t 9 4 t t 9 = = = 4 9 t 6 t 4 ג. שטח המעטפת הוא: 45

מיקוד חורף תשס"ט 009 F נקודה.a דוגמא מספר : נתונה פירמידה משולשת,SABC משוכללת וישרה, שאורך כל אחת מששת מקצועותיה הוא נמצאת על המקצוע,SC כך שמישור המשולש BFA יוצר זווית α עם מישור הבסיס.BAC הבע את שטח המשולש BFA באמצעות a ו-. α S a a F פתרון זווית α מתקבלת על-ידי העלאת שני אנכים על ישר החיתוך AB, המשותף לשני המישורים. אנכים אלה יוצאים מנקודת אמצע הצלע.AB ב- BCD ישר-הזווית, על-פי משפט פיתגורס:. BC = BD + CD ( ). DFC = 80 α + 54.74 a a = CD a 4 = CD a CD = a באותו אופן גם = SD. לכן משולש SDC הוא שווה-שוקיים. a. cosβ = נמצא את זווית : β = a מכאן = 54.74 β. נעבור למשולש,DFC שבו ידועות כבר שתי זוויות וצלע. a DF 0.866a sin 54.74 0.707a = ; DF = = sin 54.74 sin 80 54.74 sin α + 54.74 sin α + 54.74. S D ABF A α D a D F 54.74o a S α a a C B a β β a a ( ( α + )) ( ) ( ) AB DF a 0.707a 0.56a = = = sin 54.74 sin 54.74 C C ( α + ) ( α + ) לפי משפט הסינוסים: שטח המשולש,ABF הוא: 46

שאלון 006.a דוגמא מספר : נתונה פירמידה משולשת וישרה שבסיסה משולש שווה צלעות שאורך צלעו אורך המקצועות הצדדיים גם הוא a. הבע את נפח הפירמידה באמצעות a. מצא את גודל הזווית שבין שתי פאות צדדיות סמוכות. פתרון A a S a O a a M a C נוריד גובה SO (ראה ציור). מכיוון שהפירמידה ישרה OC הוא רדיוס המעגל החוסם את משולש הבסיס, ולכן לפי משפט הסינוסים: a a OC = = sin 60 ולכן לפי משפט פיתגורס במשולש :SOC a a ABC V = S SO = a = 4 a SO = a OC = a = a ולכן: נוריד אנכים BM ו- AM ל SC שהוא ישר החיתוך של שתי פאות צדדיות. לפי הנתון הפאות הצדדיות הם משולשים שווי צלעות ולכן BM ו- AM הם גבהים במשולש שווה צלעות עם צלע a. S B a M a a a a a BM = a = = BM = AM = 4 לכן : B a C הזווית שבין שתי הפאות היא זווית.AMB נמצא זווית זאת בעזרת משפט הקוסינוסים במשולש :AMB a a a a a a 4 a = cos cos + α α = = a ולכן = 70.5 α 47

מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלות נוספות: A S B נתונה פירמידה SABCD משוכללת וישרה. גובה הפירמידה H. זווית הראש של כל פאה צדדית היא. α הוכח כי שטח הבסיס הוא. H sin α cos α ( + cos α). O D C בפירמידה מחומשת ישרה ומשוכללת כל המקצועות הצדדיים ומקצועות הבסיס שווים זה לזה. את הזווית שבין שתי פאות צדדיות סמוכות. חשב. BC) ( AC, שבו: בסיס פירמידה (S SABC ראש הפירמידה) הוא משולש ישר-זווית ABC המקצועות הצדדיים של הפירמידה שווים זה לזה, וכל אחד מהם שווה ל- m. ; BAC = α זווית הנטייה של המקצוע הצדדי SA לבסיס היא. β הבע את נפח הפירמידה הנ"ל באמצעות α m, ו- β (הסבר כל צעד בפתרון).. תשובות: הוכחה..8.. m. V = sin α sin β cosβ 6. 48

שאלון 006 שאלה מספר -5: צפויה להישאל בנושאים: טריגונומטריה במרחב - חרוט. נוסחאות וכללים H R l M = πr l P = πr l + πr V = πr H שטח המעטפת: שטח הפנים: נפח החרוט : דוגמא מספר : S β AB מיתר שאורכו, a הנמצא על מעגל הבסיס של ה חרוט שראשו ב- S. נתון ש- O הוא מרכז המעגל וכן נתון:. ASB = β, AOB = α הבע את נפח ה חרוט באמצעות α, a ו-. β O α a B פתרון A במש"ש AOB מתקיים: a OB = sin α במש"ש SAB מתקיים: a SB = sin β במיש"ר SOB מתקיים (פיתגורס..) = SO SB OB ; ( ) a a a sin α sin β a sin α sin β SO = = ; SO = sin β sin α 4sin α sin β sin α sin β π a a sin α sin β a π sin α sin β V = ; V = sin α sin α sin β 4sin αsin β נפח ה חרוט: ( ) ( ) sin sin sin sin הוכיחו את הזהות: α β = α + β α β 49

מיקוד חורף תשס"ט 009 S דוגמא מספר : A l α l S הוא שטח מעטפת ה חרוט ו- α היא זווית הראש של החתך הצירי (ראה ציור). Scos α V = Ssin α π הוכח שנפח החרוט הוא O R פתרון R R = lsin α l = sin α R S = πr R = sin α Ssin α π Ssin α SO = R cot α ; SO = cot α π S Ssin α π Ssin α = π = π π Ssin α V = ( Ssin α) cot α π Scos α V = Ssin α π B S = πrl במיש"ר SOB מתקיים: הנוסחה לחישוב שטח המעטפת של חרוט היא במיש"ר SOB מתקיים: שטח הבסיס: נפח ה חרוט: מ.ש.ל. ולכן: ; S = Ssin α 50

שאלון 006 דוגמא מספר : 0 S O α β C A בחרוט חיברו את הקודקוד S עם שתי נקודות A ו B שעל היקף הבסיס. AB אינו קוטר. גובה החרוט OS יוצר זווית β עם מישור. המשולש SAB וזווית α עם הקו היוצר של החרוט. α) / BSO = < (. נתון: = הבע את שטח המשולש SAB ע"י α ו - SO 0. β פתרון BC = SB SC B 0. SC = cos β 0 SB = cos α משולש SCO ישר זווית עם זווית חדה β ולכן: משולש SBO ישר זווית עם זווית חדה α ולכן: משולש SBC ישר זווית כאשר SB יתר ולכן עלפי פיתגורס עליו השלום מתקיים: ( β α) 00 00 00 cos cos BC = = cos α cos β cos α cos β 0 cos β cos α BC = cosβ cos α S SAB = BC SC 0 0 cos β cos α 00 cos β cos α S SAB = ; S SAB = cosβ cosβ cos α cos β cos α חישוב שטח המשולש :SAB 5

מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלות נוספות α, מסתובב סביב האלכסון הגדול. a וזוויתו החדה מעוין, שאורך צלעו שנוצר. מהו נפח הגוף, שנוצר על-ידי סיבוב המעוין הנ"ל סביב האלכסון הקטן? באיזה מקרה יהיו הנפחים של הגופים הנ"ל שווים? ג. חשבו את נפח הגוף. l בחרוט חסום חצי-כדור באופן שהעיגול הגדול של חצי הכדור מונח על בסיסו של החרוט וחצי הכדור נוגע במעטפת החרוט (ראו ציור). הקו היוצר של החרוט הוא l והוא יוצר עם בסיס החרוט זווית α. בטאו את נפח חצי הכדור באמצעות l ו- α.. נתון חרוט ישר. מישור, המקביל לבסיס החרוט, נמצא במרחק a מעל הבסיס והוא מחלק את החרוט לשני חלקים. היחס בין הנפחים של חלקי החרוט הוא 8:9. חלק החרוט שנפחו גדול יותר נמצא ליד בסיס החרוט. בטאו את אורך הגובה של החרוט באמצעות a.. תשובות:. ג..V = π a sin α sin α.v = π a sin α cos α. כאשר המעוין יהיה ריבוע.. V = π l sin α a. 5

שאלון 006 שאלה מספר -5: צפויה להישאל בנושאים: חקירת פונקציות.. f () = a sin b π = דוגמא מספר נתונה הפונקציה המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הוכח:. a = b אם ידוע גם ש- הפונקציה בקטע מקביל לציר ה-., מצא את שיעורי ה- של נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של a > 0. [0, π] פתרון f '( ) = a sin cos b = a sin b π f ' = a sin b = 0 π π π a sin b = 0 ; sin = 6 a b = 0 a = b π = f () = a sin b נתון כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה: מכאן: מקביל לציר ה-. f ' = 0 π נגזור את הפונקציה הנתונה: מ.ש.ל. f '( ) = a sin b a = b a f '( ) = a sin. ( ) f ' = 0 מצאנו בסעיף א': כמו כן מצאנו: בנקודת הקיצון, 5

מיקוד חורף תשס"ט 009 a a sin = 0 sin = 0 sin = π π = = 6 π = π 6 5π 5π = = 6 a f '( ) = a sin f '' = a cos ( ) π π f '' = a cos = a cos 6 π 5π 5π f '' = a cos = a cos 6 π. בנקודה זו טיפלנו כבר בסעיף א'. קיים פתרון נוסף בתחום (π,0 ( : נסווג את הנקודות למינימום ומקסימום, בעזרת הניגזרת השניה. f '' > 0 π 5π. 0 < < 5π. < < π π 5π < < 5π 5π. < < π, 0 < < π. cos > 0 a > 0 6 לפי הנתון: וזוהי נקודת מינימום. ומכאן:. f '' 5π, ולכן: 5π cos < 0 6 וזוהי נקודת מקסימום. מכאן, שבקטע [π,0 ], הפונקציה יורדת עד לנקודת המינימום: כמו כן היא יורדת מנקודת המקסימום עד לקצה הקטע: הפונקציה עולה מנקודת המינימום, לנקודת המקסימום, בקטע: π 5π < < תשובה: תחומי עליה:, תחומי ירידה: 54

שאלון 006 דוגמא מספר.B>0 פרמטר, B, ( B) f () = 4 ( B) נתונה הפונקציה ד. ענה על הסעיפים א-ו. במידת הצורך הבע את תשובותיך באמצעות B. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ג.. f '() = 0 ה. ו. מצא את ערכי שעבורם מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. פתרון::. B כלומר, B 0 תשובה:. B lim אסימפטוטות מקבילות לציר y קיימות בנקודת אי ההגדרה של הפונקציה. האסימפטוטה המקבילה לציר y היא אפוא:. = B בכדי למצוא אסימפטוטות מקבילות לציר, נמצא למה שואף y, כאשר שואף לאינסוף. B ( ) ( B) = 4 4 ( B) B ( ) 4 B ( ) B ( ) ( 0 0) ( 0) lim = = 0.y = 0 4 (חילקנו מונה ומכנה ב- ). האסימפטוטה המקבילה לציר היא אפוא: תשובה:.y = 0, = B 55

מיקוד חורף תשס"ט 009 ( B) (0 B) 4B 4 f (0) = = = ; 0, 4 4 4 ( B) (0 B) B B ( B) 0 = 4 ( B). = 0,y.y = 0, ( B) = 0 ; B = 0 ; = B ; (B, 0) ג. בנקודת חיתוך עם ציר בנקודות חיתוך עם ציר ה- B, 0, 0, 4 B. ( ) תשובה: ד. ( B) f () = 4 ( B) 4 ( B) ( B) 4( B) ( B) f '() = = 0 8 ( B) ( B) ( B) 4( B) ( B) = 0 / : [ ] ( B)( B) B ( B) = 0 ( B)( B) ( B + 4B) = 0 ( B)( B) (B ) = 0 () B = 0 ; = B () ( B) = 0 ; B = 0 ; = B למשוואה זו יש שלושה פתרונות: () B = 0 ; = B פתרון זה נמצא מחוץ לתחום ההגדרה של הפונקציה (ראה סעיף א').. = B, = B תשובה: 56

שאלון 006. f '() < 0. f '() = > 0 '(), f ויורדת כאשר ( B)( B) (B ) ( B) = B ; = B 8 ה. הפונקציה עולה כאשר ראינו בסעיף ד': המכנה של f'() חיובי בכל תחום ההגדרה. המונה מתאפס (סעיף ד') בנקודות: כאשר, = 4B המונה שלישי (הגורם הראשון חיובי, הגורם השני חיובי, והגורם השלישי שלילי). מכאן, שאת סימנה של f'() ניתן לתאר גראפית כך: + - + - B B B. B < < B, < B. > B, B < < B מכאן, שהנגזרת חיובית בתחומים:, הנגזרת שלילית בתחומים:. B < < B, < B. > B, B < < B תשובה: תחומי עלייה: תחומי ירידה: y ו. X 57

מיקוד חורף תשס"ט 009. b >, y = b דוגמא מספר : נתונה פונקציה: פתרון: חקור את הפונקציה ומצא: תחום הגדרה, אסימפטוטות מקבילות לצירים, נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי עלייה וירידה (הבע, במידת הצורך, באמצעות b). סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. b ± b = b, = b b 0 תחום הגדרה: אסימפטוטות מקבילות לציר y קיימות בנקודות אי ההגדרה: הערה: אסימפטוטות מקבילות לציר ה- y קיימות בנקודות אי ההגדרה, כיוון שאז המכנה שווה לאפס. אולם, יש לבדוק, אם כאשר המכנה שואף לאפס, גם המונה שואף לאפס. במקרה כזה אין אסימפטוטה בנקודה אי ההגדרה. כיוון שלפי הנתון > b, הרי כאשר המכנה מתאפס המונה אינו מתאפס ואז יש אסימפטוטות כפי שנרשמו. בכדי למצוא אסימפטוטה מקבילה לציר ה-, נמצא למה שואף y, כאשר שואף לאינסוף. 0 0 lim = lim = = 0 b b 0 0 y = = = ; 0, b 0 b b b y = b = 0 ; = ; (,0) y = b b ( ) b + + b y' = = = ( b ) ( b ) ( b ) אסימפטוטה מקבילה לציר ה- : 0=y. בנקודת חיתוך עם ציר ה- y..=o בנקודת חיתוך עם ציר ה-, 0=y: למציאת תחומי עליה וירידה, נמצא את 'y. 58

שאלון 006 בנקודות קיצון: ± 4 4b + b = 0 ;, = + b = 0 כלומר:, y ' = 0 נתון: <b. מכאן שהביטוי שבתוך השורש שלילי. מכאן שאין נקודות קיצון, והנגזרת הראשונה תמיד שונה מאפס. נבדוק עתה אם 'y חיובית או שלילית. המכנה של 'y תמיד חיובי. התיאור הגראפי של המונה של 'y הוא פרבולה בעלת מקסימום. כיוון שראינו שהמונה תמיד שונה מאפס, מכאן שהפרבולה נמצאת תמיד מתחת לציר ה-, והמונה של 'y תמיד שלילי. מכאן < 0 ' y לכל. מכאן שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. תשובה: תחום הגדרה: ± b אסימפטוטות מקבילות לצירים: נקודות חיתוך עם הצירים: y = 0, = b, = b 0,,,0 b ( ) תחום עליה וירידה: הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. לצורך שרטוט הסקיצה נעזר בנתונים הבאים:. נקודות חיתוך עם הצירים.. אסימפטוטות.. העובדה שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. 4. כאשר >b קיים גם <, ואז y חיובית. 5. כאשר,<-b המונה שלילי והמכנה חיובי, ואז הפונקציה שלילית. y b 59

מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלות נוספות נתונה הפונקציה:. bg = f 4 5 + 4 מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא אסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. הסבר מדוע יש רק אסימפטוטה אחת המקבילה לציר ה-.y מצא נקודות חיתוך של הפונקציה עם הצירים. ג. מצא תחומי עליה וירידה של הפונקציה. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ה.. נתונה הפונקציה:, > a a) פרמטר). ( ) f a = ( ) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה, ואת נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים (מובעות באמצעות a). מצא אסימפטוטות לפונקציה המקבילות לצירים. מצא את נקודת המינימום של הפונקציה (מובעת באמצעות a). ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד.. נתונה הפונקציה:. y = A B + 9 שיפוע הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מצא את A ו- B. ( 4, 4) הוא: 7. 5... הצב בפונקציה את הערכים A ו- B שמצאת בסעיף א', ומצא את: תחום ההגדרה. נקודות החיתוך עם הצירים. האסימפטוטות המקבילות לצירים.. 60

שאלון 006. 4 תשובות: תחום ההגדרה: וגם.y = -, = ג.,0).(0 הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. ד. שרטוט: ה...(-a,0),(0,a ),(a,0) נקודות החיתוך:.. a, a a תחום הגדרה.y = -, = ג. ד. נקודת מינימום: סרטוט:.. B = 0, A = 5. 9,. ( 0, 0). y = 0, = 9, =.... 6

מיקוד חורף תשס"ט 009 שאלה מספר -5: צפויה להישאל בנושא: חקירת פונקציה טריגונומטרית. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin ' = cos sin u ' = u ' cos u cos ' = sin cos u ' = u ' sin u u ' tan ' = ( tan u )' = cos cos u u ' cot ' = ( cot u )' = sin sin u נגזרות: טיפים בחקירת פונקציה טריגונומטרית בתחום סגור יש למצוא את נקודות הקצה ולסמנן בפונקציה. אסור לשכוח שנקודות אלו מהוות נקודות קיצון של הפונקציה. לא לשכוח את כלל השרשרת בנגזרת פונקציה טריגונומטרית, לדוגמא: ( sin )' ( cos )' ( ) ( ) = sin cos = 4 cos sin 4 tan ' = 5 4 5tan cos sin 4 ' = 4cos 4 נוסחאות וכללים 6

שאלון 006. π < < π f() = cos 4 sin 4 cos + דוגמא מספר : הפונקציה: מוגדרת בתחום: מצאו את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה בתחום. מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה בתחום. פתרון ( ) 4 4 f cos sin cos ( ) ( ) π π = + < < ( )( ) ( cos sin ) cos 4 4 cos sin cos sin cos sin = + = = = f = cos cos + f ' = sin + sin sin + sin = 0 sin = sin β = π k + ( ) k α = π k + ( ) k. = 0 + = 0 = π π = π ; = = π π = π ; = π π < < f '( ) = 0, sin α = sin β אזי: בנקודות הקיצון: כידוע, כאשר: במקרה שלנו: : k = 0 : k = : k = כאשר כאשר כאשר כל יתר הפתרונות הם מחוץ לתחום ההגדרה בכדי לסווג את נקודות הקיצון למינימום ומקסימום, נמצא את הנגזרת השנייה. 6

מיקוד חורף תשס"ט 009 ( ) f '' = 4cos + cos π π π f '' = 4cos + cos = 4 + = > 0 min f '' 0 = 4cos 0 + cos 0 = 4 + = < 0 ma ( ) π π π f '' = 4cos + cos = 4 + = > 0 min ( ) f = cos cos + π π π f = cos cos + = + = f 0 = cos 0 cos 0 + = + = 0 ( ) נחשב את שיעור ה- y של נקודות הקיצון. π π π f = cos cos + = + = π π תשובה:, Min Min,, Ma ( 0, 0 ), π π < < π < < 0 π 0 < < π π < < π π π < <, < < 0 π π π 0 < <, < < הפונקציה יורדת עד לנקודת המינימום, בתחום: הפונקציה עולה מנקודת המינימום לנקודת המקסימום: הפונקציה יורדת מנקודת המקסימום עד לנקודת המינימום: הפונקציה עולה מנקודת המינימום: תשובה: תחומי עלייה: תחומי ירידה: 64

שאלון 006. 4π 0 5 f () = 8sin cos 4 דוגמא מספר : נתונה הפונקציה בתחום מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון. מצא כמה פתרונות יש למשוואה = 0 () f בתחום הנתון. נמק. ( ) f = 8sin cos 4 4π בתחום 0 5 f ' = 6sin cos + 4sin 4 = 0 ( ) 8sin + 8sin cos = 0 ( ) 8sin + cos = 0 8sin = 0 + cos = 0 sin = 0 cos = = 80k cos = cos80 = 90k = 80 + 60k = 80 + 60k = 90 + 80k = 90 + 80k = 0 π 4π = 5 ( ) = ( ) f 0 0, min π π f = 8 = 7,7 ma 4π 4π f =.57,.57 min 5 5 פתרון y 0 min π + π ma π - 4π 5 min π y' = 8sin0 + 4sin 40 = > 0 π y' = 8sin 40 + 4sin 480 = < 0 65

מיקוד חורף תשס"ט 009 y 4π = = 5 f 8sin 44 6sin 576.57 ) f ( בתחום הנתון. יש רק פתרון אחד למשוואה = 0 וזאת ניתן לראות ע"פ הגרף בתחום הנתון 66

שאלון 006 שאלות נוספות 5 π 5 π y = tg בתחום: נתונה הפונקציה: מצאו את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציה. א. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה בתחום המבוקש. ג... נתונה הפונקציה: f() = a sin bsin בתחום: π.0, = π 6 מקביל לציר ה- ישר, המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה הראה כי a. = 4b נתון: > 0 b. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (בטאו באמצעות b לפי הצורך), וקבעו את סוגן. f() בתחום הנתון..0 π נתונה הפונקציה:,y = sin 4 + cos 4 בתחום: גזרו והוכיחו כי הנגזרת של הפונקציה היא 'y = sin 4 בתחום הנתון ומצאו את: שיעורי ה- של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.. 67

מיקוד חורף תשס"ט 009 ma π 4, π, min π 4, π min π, 0.565 5 ma 5 π, 0.565 תשובות: π 4 < < π 4 תחום עלייה: 5 π < π 4 תחומי ירידה: π או < 5 π 4 y ג.. הוכחה,ma π, b, min π 6, b ma(π, 0), ma(0, 0), min 5π 6, b הוכחה ma π,, min π 4,,ma 0, ( ).. 68

שאלון 006 שאלה מספר -5: צפויה להישאל בנושא: קשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת. f ''( ) גרף ) f '( נקודת חיתוך עם ציר גרף גרף.( ( ) f ' = 0 ) f ( ) נקודת מקסימום. מעבר מחיובית לשלילית. + נקודת מינימום. נקודת חיתוך עם ציר מעבר משלילית לחיובית..( ( ) f ' = 0 ) + הפונקציה עולה. הפונקציה יורדת. סימן הנגזרת חיובי (מעל ציר ). סימן הנגזרת שלילי (מתחת לציר ).. f '( ) נקודת פיתול. נקודת קיצון של נקודת חיתוך עם ציר. ) f '( עולה. קעירות כלפי מעלה. הפונקציה מעל ציר (חיובית). ) f '( יורדת. קעירות כלפי מטה. הפונקציה מתחת לציר (שלילית). 69

מיקוד חורף תשס"ט 009 דוגמא מספר : 4 הגרף מתאר את גרף פונקצית הנגזרת ( f )' של הפונקציה ). f ( מצא את נקודת הקיצון וקבע את סוגה. () רשום את תחומי העלייה והירידה של (. f ( () מצא את נקודות הפיתול של (. f ( ( f )' לכל. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה אם ידוע כי ג. פתרון. = 4 ו- = () בנקודות הקיצון הנגזרת מתאפסת ולכן הנקודות החשודות הן בסביבת הנקודה = בסביבת הנקודה סימן הנגזרת עובר משלילי לחיובי ולכן זוהי נקודת מינימום. סימן הנגזרת נשאר חיובי ולכן זוהי לא נקודת קיצון.. יורדת עבור < f ( ) = 4 ) f '( ולכן < 0 עבור <, עבור >, סימן הנגזרת חיובי מלבד נקודה יחידה ומאחר שזוהי נקודה יחידה הפונקציה. f '( ) ( f ( קעורה כלפי מעלה. = 4 ( f )'' כלומר נקודות קיצון של = 0 ו- = 4. עולה בקטע >. () נקודות הפיתול החשודות כפיתול מקיימות = כלומר עבור < f ''( ) > 0 ולכן הנקודות החשודות כפיתול הן ) f '( עולה ולכן עבור <, עבור הפונקציה ) f ''( כלומר ) f ( קעורה כלפי מטה. < 0 > 6 ) f '( יורדת ולכן ) f ''( כלומר עבור > 0 הנגזרת ) f '( עולה ולכן, < < 4 עבור > 4 ולכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה. הן נקודות פיתול בהן יש מעבר מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה ולהפך. y = 4 ו- = ג. 4 70

שאלון 006 דוגמא מספר : - - 4 5 f '( ). הגרף מתאר את גרף פונקצית הנגזרת של הפונקציה ) f ( בתחום 5 מצא את נקודת הקיצון וקבע את סוגה. () רשום את תחומי העלייה והירידה של (. f ( () מצא את נקודות הפיתול של (. f ( ( f )' לכל. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה אם ידוע כי ג. פתרון = 0 ( ) = 0. f ' אנו רואים כי בסביבת = 4 ו- = 0 () נקודה הן נקודות החשודות כקיצון כי בהן הנגזרת ומשנה את סימנה מחיובית לשלילית ולכן = 0 עבור היא נקודת מקסימום. הנגזרת משנה את סימנה משלילית לחיובית ולכן זוהי נקודת מינימום. ( f )' ולכן הפונקציה עולה במקומות אלו. > 0 = 4 4 < 5 ו- < 0 ( f )' ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה. < 0 0 < < 4 עבור עבור () בנקודות פיתול ) f '( ואלו הן = ו- = החשודות כפיתול. = כלומר הפונקציה קעורה כלפי מטה. ולכן f )'' ( < 0 ( f )'' כלומר נקודת קיצון של = 0 ) f '( עולה ולכן כלומר קעירות כלפי מעלה. ולכן = f ''( ) > 0 עבור < הפונקציה ) f '( עולה ולכן היא נקודת פיתול. > ג. עבור עוברת הפונקציה מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה. היא נקודת פיתול בה - - 4 5 7