קיץ 006 f T א. כיוון שמשקל גדול יותר של m יוביל בסופו של דבר למתיחות גדולה יותר בצידה הימני, m עלינו להביט על המצב בו פועל כוח החיכוך המקס', ז"א של : m הכוחות על הגוף במנוחה (ז"א התמדה), לכן בכל ציר הכוחות מתקזזים לאפס; 0 m g 75kg בציר האנכי: 750 0 כך גם עבור הציר האופקי: T f 0 T f f µ 0.5 750 87.5. f f µ,ma,ma מצאנו את מתיחות החוט האופקי. נעבור ונביט כעת על נקודת החיבור בין שלושת החוטים. עקרונית במקרה ספציפי זה אין לנו צורך לחשב רכיבים ולסכום, וניתן לראות באופן מיידי ש. T T ניתן להיווכח בזאת ע"י הפרדת T 3 לרכיביו: כיוון שהגוף בהתמדה על כל הכוחות בכל אחד מהצירים T 3 בזווית, להתקזז, ז"א: T T3, ו-. T T3, אך כיוון ש מדובר במשולש שווה שוקיים:. T T T T 3 T T T 87.5 3, 3, :T בסופו של דבר, נקבל את מתיחות החוט התחתון,. T m כל שנותר לנו הוא להביט על המשקולת, התלויה בעזרת החוט. כיוון שגם גוף זה בהתמדה, שני הכוחות עליו (המתיחות וכוח הכובד) מתקזזים, ואנו מקבלים: T 87.5 T 0 m 8.75kg g 0 בדרך לפתרון m מצאנו את המתיחויות בחוטים האופקי והאנכי, על כן כל שנותר לנו הוא T). 3 אך רכיביו ידועים לנו: לחשב את החוט הנטוי ) T T, T T, T 87.5,87.5 T 65.7 3 3, 3, 3 הערה: ניתן היה לפתור את סעיף א' ללא חישוב המתיחויות, אלא רק ע"י מציאת שיוויון המתיחויות. ז"א מקורו של הכוח הגורם לכוח החיכוך (על ( הוא למעשה משקלו של הגוף התלוי m.( m ). תרשים הכוחות של המטבע: (תרשים זה מתאר את הבחירה השרירותית שהמטבע נע V), ולכן החיכוך פועל ימינה). שמאלה (כיוון בציר האנכי הגוף בהתמדה, לכן V. בציר האופקי, לעומת זאת, שקול הכוחות אינו אפס ועל כן הגוף בתאוצה. כיוון שכעת ישנו כוח שקול לכיוון מסוים, אין לנו ברירה אלא לבחור מערכת צירים. בחירת הציר הנוחה ביותר תהייה בכיוון המהירות (כיוון שאז נקבל אומנם תאוצה f שלילית, אך העתק חיובי). k Σ F f µ ma k k f k / 6
קיץ 006 מכאן נחלץ את תאוצת הגוף (שלילית, כצפוי, כיוון שכוח חיכוך יכול רק להאט גוף ולא להאיצו): fk µ k µ k a µ k g 0.35 0 3.5 m m m a V V 0 בעזרת העתק הגוף הנתון, נמצא כעת את המהירות ההתחלתית: בסוף התנועה הגוף במנוחה ) 0 V), לכן: V a 3.5 0.4.8 V.67 0 0 m m / א. נמצא את התאוצה משיקולים קינמטיים בלבד: 4 V m 0, t+ at at a 8 t F 0 30 כעת עלינו למצוא את הכוחות הפועלים על הגוף. פרט לכוח הכובד (למטה) והנורמלי (למעלה), פועל גם הכוח החיצוני F, ע"י הכיוון המתואר בתרשים. במקרה זה בחרנו את כיוון ציר שמאלה, כיוון שזהו כיוון הכוח השקול הפועל על הגוף, וכך תתקבל תאוצה חיובית בציר זה (כך נהייה עקביים עם סימן התאוצה מסעיף א'). Σ F F ma F Fco 30 ( ) ( ) שימוש בחוק ה- II עבור ציר : F 8 ma kg F 9.4 co 30 co 30 0.866 רכיב ציר הינו: ומכאן:.3 ג. נתחיל ונמצא קודם כל את הכוח הנורמלי כאשר הכוח החיצוני F פועל (כפי שמתואר בתרשים הכוחות לעיל). עלינו להבחין שלא מדובר כאן פשוט בקיזוז בין הכוח הנורמלי וכוח הכובד (ומכאן שוויון ביניהם), כיוון שקיים כאן כוח אנכי נוסף. נסכום את הכוחות בכיוון זה (), מתוך ידיעה כי הגוף בהתמדה בכיוון זה: Σ F F ma 0 0 + F + Fin 30 0 + 9.4 0.5 4.6 kg כאשר הכוח החיצוני F אינו פועל, הכוחות היחידים בציר הינם ו-. לכן, הם מתקזזים ומתקיים שיוויון: Σ F ma 0 0 T 0 נשרטט את שני הכוחות הפועלים על המעלית, כאשר את כיוון הציר נבחר כלפי מעלה. נוכל לרשום באופן כללי את שקול הכוחות בציר זה, ע"י החוק ה- II : Σ F T ma T m g + a T 0000 א. כאשר המעלית אינה נעה, תאוצתה כמובן אפס. לכן: המעלית מאיצה כלפי מעלה, לכן + 3 a : ( ) T m g+ a 000 0 + 3 3000 kg a 3 ( ) T m g+ a 000 0 + 3 7000 kg ג. כעת המעלית מאיצה כלפי מטה, ז"א:.4 / 6
קיץ 006 F f נבחן את הכוחות הפועלים על אותו גוף (המונח על רצפת המעלית): פרט לכוח הכובד והנורמלי, נוכל נניח את קיומו של כוח חיצוני אופקי (F), אשר הוא הגורם לתגובת כוח החיכוך הסטטי (הוא אינו הכרחי, אך עוזר כדי להבין מדוע ישנו חיכוך ). ערכו המקסימלי של כוח החיכוך הסטטי ימצא עפ"י הגדרתו:. f µ,ma.5 אם נבחר את הציר האנכי () בכיוון מעלה, הכוח השקול בציר זה יהיה: Σ F ma נבחן זאת בכ"א מהתאוצות השונות: א. כאשר המעלית אינה נעה, תאוצתה כמובן אפס. זהו למעשה מצב התמדה, ולכן שקול הכוחות מתאפס: 00 0 0 Σ F 0 f,ma µ 0.4 00 40 kg וכוח החיכוך המקס' במצב זה: ( ) : a + 3 המעלית מאיצה כלפי מעלה, לכן m g+ a 0kg 0 + 3 30 הנורמל כעת גדול יותר, לכן גם כוח החיכוך המקס' יהיה גדול יותר: f,ma µ 0.4 30 5 ( ) : a 3 m g+ a 0 0 + 3 70 kg f,ma µ 0.4 70 8 ג. המעלית מאיצה כלפי מטה, לכן וכוח החיכוך כעת יהיה קטן יותר: א. במקרה זה הכוחות הפועלים על הגוף, כאשר הוא על גבי המדרון, הינם כוח הכובד והנכוח הנורמלי..6 θ 37 כפי שראינו בכיתה, אם נבחר את כיוון ציר במעלה המדרון נקבל את התאוצה בכיוון זה כשלילית: ΣF inθ a ginθ 6.0 m / m m אורך המישור (לא גובהו): h h m in ( θ ).66m in θ n 37 a V, V0, V V + a, 0, h V0, + ( ginθ ) inθ i ( ) ומכאן נמצא את מהירותו של הגוף בקצהו העליון של המדרון: V hg 8 0 44 V 6.63 0, m m /, 3 / 6
קיץ 006 כעת אנו ניצבים בפני בעיה בליסטית: הגוף נזרק במהירות התחלתית - V V, V V co θ, V inθ 5.9,3.99 ( ) ( m m ),, / / V, t gt m 3.99 t 0 t t X V t 5.9 5.9, m. h m נמצא את זמן הנפילה: מגובה וממנו, מרחקו האופקי של הגוף מקצה המדרון: כעת מתווסף כוח החיכוך הקינטי, אשר פונה במורד המדרון (בכיוון הפוך מהמהירות). fk θ 37 כעת עלינו לחשב את שקול הכוחות בכיוון הניצב למדרון (), כדי למצוא את הכוח הנורמלי: Σ F coθ 0 coθ ולהוסיף את כוח החיכוך (הקינטי) לתרומת כוח הכובד בכיוון מורד המדרון: Σ F inθ fk ma מכאן, התאוצה בכיוון מורד המדרון: inθ fk inθ µ k inθ µ k coθ a m m m g( inθ + µ k coθ) 0 ( in ( 37 ) + 0.4 co( 37 )) 9. m / מהירות הגוף בקצה המדרון: V, V0, + a h V0, + ( g( inθ + µ kcoθ) ) inθ V hg + µ ctgθ 0, ( k ) 8 m 0 + 0.4 ctg 37 39.4 / V 6.8 m ובחלוקה לרכיבים: V ( 5.0,3.78 ) זמן הנפילה: V t gt, m t t 3.78 0 t 0.96 X V t 5.0 0.96 4.83, m ומכאן, המרחק האופקי: 4 / 6
קיץ 006 T T בעזרת תרשים הכוחות של הכדור, נמצא את הכוח השקול עליו: T T T T T T ( T T ) ( T T ) w וכן: ( co( 45 ), in ( 45 )) (, ) co( 45 ), in ( 45 ), ( 0, ).7 Σ F T + T 0,, בכיוון האנכי הכדור אינו זז (באף אחד מהתרחישים המתוארים בהמשך), לכן: 0 Σ F T + T T + T,, T + T 0 T T א. הקרונית במנוחה, לכן גם הכדור במנוחה, ומכאן ששקול הכוחות האופקי מתאפס: ז"א, מתיחויות שני החוטים זהות. כדי למצוא את גודלן נעזר במשוואת הכוחות ל- : ΣF T + T 0. 0.83 kg T T.4 ומכאן: ) כאשר הקרונית נעה בתנועה קצובה (לא משנה לאיזה כיוון) תאוצתה היא אפס. לכן, כפי שהיה בסעיף א', מתיחויות החוטים זהות:. T T ) כאשר הקרונית מאטה בתנועתה ימינה, היא למעשה מאיצה לכיוון שמאל (כיוון ). לכן, על שקול הכוחות האופקי להיות בכיוון שמאל, ומכיוון שהכוחות האופקיים T, רכיבה האופקי של המתיחות השמאלית צריך להיות גדול יותר T ן- היחידים הם מזו הימנית : T T > (הערך המוחלט נדרש כאן, כיוון שאנו מעוניינים להשוות,, T). דבר זה, T ן- < 0, את גודלי הרכיבים האופקיים. מבחינת סימן, תמיד > 0 משליך מיד על גודלי המתיחויות עצמן (לא רק הרכיבים) מפני ששתיהן באותה הזווית, ולכן: T > T (הפעם אין לנו צורך בסימן הערך המוחלט, כיוון שמדובר בגודלו של וקטור). Σ F T + T ma,, : a.4 T + T ma T T ג. נרשום כעת שוב את שקול הכוחות האופקי, הפעם עם תאוצה: יש לשים לב שהתאוצה היא שמאלה, לכן עפ"י מע' הצירים שבחרנו: ( ) T T ma 0.kg.4 0.396 ( ΣF נקבל: מתוך משוואות הכוחות האנכית ) T+ T 0.kg 0.88 :(T - T נפתור את מע' המשוואות (עבור T T 0.396 T + T.88 +.88 0.396.43 T.6.88 0.396 3.4 T.6 5 / 6
קיץ 006 ד. כיוון התאוצה הוא שרירותי (הבעיה סימטרית), על כן נבחר תאוצה ימינה (וזאת כדי לטפל ברכיבים חיוביים בלבד בכוח המתיחות). במצב הגבולי בו אחד החוטים רפוי החוט השני עדיין נותר באותה זווית (). על כן, תרשים הכוחות יכלול אך ורק את אחד החוטים T (כיוון שהשני לא מפעיל שום כוח): נתחיל בציר בו ידוע לנו מה קורה, הלא הוא ציר (שם הגוף Σ F T T in 0 בהתמדה): מכאן, המתיחות היא: T in 45, ( ) וכעת נוכל למצוא את התאוצה האופקית: Σ F T, ma T co, ( 45 ) co ( 45 T ) a gtan ( ) g m m in ( ) m למעשה ניתן להגיע לתשובה זו גם ללא חישוב: כיוון שפועל כוח אחד בנוסף לכוח הכובד, עליו לקזז אותו אנכית. אך כיוון שכוח זה פונה ב-, רכיביו האופקי והאנכי שווים, ומכאן שהכוח האופקי הפועל על הגוף שווה לכוח הכובד. התאוצה מתקבלת ע"י חלוקה במסה, בדיוק כפי שתאוצת כוח הכובד מתקבלת מכוח הכובד. 6 / 6