Numerische Methoden für Eigenwertprobleme in der Beschreibung von Drift-Instabilitäten in der Plasma Randzone

Numerische Methoden für Eigenwertprobleme in der Beschreibung von Drift-Instabilitäten in der Plasma Randzone Dominik Löchel Betreuer: M. Hochbruck und M. Tokar Graduiertenkolleg Dynamik heißer Plasmen Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf März 2009

Gliederung Physikalischer Hintergrund Numerische Methoden

Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit Plasma magnetischer Einschluss

Tokamak toroidale Magnetfeldspulen

Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche

Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche Primärspule Transformator-Eisenkern

Drift-Instabilitäten

Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r + ik y iωt), I(ω) maximal

Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1 0.5 φ 2 R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ

Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ikr r +ik y iωt) 1 φ 2 0.5 R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ

Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1 0.5 φ 2 R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ anomaler Transport Γ

Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1 φ 2 T / ev 25 20 15 10 5 T n p = T (θ) n(θ) 20 15 10 5 n / 10 19 m 3 0.5 0 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ 0 innen θ außen 0 anomaler Transport Γ

Eigenwert Gleichung 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 generische Form: [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 a j, b j, φ: [0, 2π[ C, 2π-periodische glatte Funktionen in θ gesucht: Eigenpaar (ω, φ) mit maximaler Anwachsrate I(ω)

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter:

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ))

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ)) 2 D θ 2 2 finite Differenzen oder Pseudo-Spektral- Methode

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ)) 2 D θ 2 2 finite Differenzen oder Pseudo-Spektral- Methode P(ω) φ := ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M 0 ) φ = 0

Polynomiale Eigenwertprobleme ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M 0 ) φ = 0 3 ω M I M 2 M 1 M 0 + I ω2 φ ω φ = 0. I I φ ωbx = Ax, (generalisiertes Eigenwertproblem)

Polynomiale Eigenwertprobleme ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M 0 ) φ = 0 3 ω M I M 2 M 1 M 0 + I ω2 φ ω φ = 0. I I φ ωbx = Ax, (generalisiertes Eigenwertproblem) N = 1024. QZ -Algorithmus: 1 Stunde.

Polynomiale Eigenwertprobleme ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M 0 ) φ = 0 3 ω M I M 2 M 1 M 0 + I ω2 φ ω φ = 0. I I φ ωbx = Ax, (generalisiertes Eigenwertproblem) N = 1024. QZ -Algorithmus: 1 Stunde. Simulationen mit 100 000 Eigenwertgleichungen: 10 Jahre

Polynomiale Eigenwertprobleme ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M 0 ) φ = 0 3 ω M I M 2 M 1 M 0 + I ω2 φ ω φ = 0. I I φ ωbx = Ax, (generalisiertes Eigenwertproblem) N = 1024. QZ -Algorithmus: 1 Stunde. Simulationen mit 100 000 Eigenwertgleichungen: 10 Jahre nur ein Eigenpaar gesucht iterativer Löser, speziell Jacobi-Davidson-Verfahren

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y).

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u.

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. if r klein genug do Stopp end if

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (z.b. mit GMRES) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := P (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop

Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u andere Auflösung: Ein-Schritt-Approximation [Sleijpen 1998] t = u H Q(ν) r u H Q(ν)P (ν) u Q(ν)P (ν) u Q(ν) r, Q(ν)P (ν) = I Q(ν) r = z P (ν) z = r, Q(ν)P (ν) u = s P (ν) s = P (ν) u P (ν) = =

Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u andere Auflösung: Ein-Schritt-Approximation [Sleijpen 1998] t = u H Q(ν) r u H Q(ν)P (ν) u Q(ν)P (ν) u Q(ν) r, Q(ν)P f (ν) = I Q(ν) r = z P f (ν) z = r, Q(ν)P (ν) u = s P f (ν) s = P (ν) u P f (ν) = =

Jacobi-Davidson Verfahren (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). Physik: Anwachsrate I(ω) maximal. V = [ v 1 ], v 1 Zufallsvektor

Jacobi-Davidson Verfahren (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). Physik: Anwachsrate I(ω) maximal. V = [ v 1 ], v 1 Zufallsvektor gesuchtes Eigenpaar wird i.a. nicht gefunden.

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ijθ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ijθ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen.

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen.

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen.

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen. Eigenpaar auf nächst feinerem Gitter mit Jacobi-Davidson verbessern.

Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen. Eigenpaar auf nächst feinerem Gitter mit Jacobi-Davidson verbessern. Wahl des Ritzpaares anhand der Ähnlichkeit zur Approximation.

Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 8 0 außen θ innen

Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: ω ω 10 2 10 4 10 6 10 8 8 16 32 64 256 1024 4096 N dimv Zeit/s 8 10 3 16 2 0.01 32 3 0.01 64 3 0.01 128 3 0.01 256 3 0.03 512 3 0.10 1024 3 0.59 2048 3 3.50 4096 3 11.75

Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: ω ω 10 2 10 4 10 6 10 8 8 16 32 64 256 1024 4096 N dimv Zeit/s 8 10 3 16 2 1 0.01 0.01 32 3 1 0.01 0.01 64 3 1 0.01 0.01 128 3 1 0.01 0.01 256 3 1 0.03 0.01 512 3 1 0.10 0.01 1024 3 1 0.59 0.01 2048 3 1 3.50 0.05 4096 3 2 11.75 0.14

Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3

Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk

Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls.

Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls. Definiere Moden (ω(k ), φ(k ))

Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls. Definiere Moden (ω(k ), φ(k )) Verfolgen der Moden und Auffinden der maximalen Anwachsrate

Wellenzahl K = 0.4, K = 0.5 1 0 1 R(φ) innen θ außen

Wellenzahl K = 0.4, K = 0.5 1 0 1 R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ

Wellenzahl K = 0.4, K = 0.5 1 0 1 R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ)

Wellenzahl K = 0.4, K = 0.5 1 0 1 R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ) 0.99 0.99 1.00 0.47 0.87 0.99 sim(ω, ω)= 0.97 1.00 1.00, sim( φ, φ)= 0.28 0.99 0.87 1.00 0.96 0.98 1.00 0.34 0.45

0.08 Wellenzahl 0.06 0.04 0.02 0.2 0.1 0 0.1 0.2

0.08 Wellenzahl 0.06 0.04 0.02 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.08 0.06 I(ω) 0.04 0.02 0.2 0.4 0.6 K

0.08 Wellenzahl 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 I(ω) 0.04 0.02 0.2 0.1 0 0.1 0.2 1 0.8 φ 2 0.6 0.4 0.2 0 innen θ außen 0.2 0.4 0.6 K

Neue Möglichkeiten Eigenwertgleichung: 0.2 I(ω) 0.1 früher: Mathieu-Gleichung mit T, n jetzt: inhomogene Profile 0 0 0.5 1 K Γ = C(T, p, K ) I(ω)3 ω 2 φ 2 T / ev Γ / 10 23 m 2 s 1 25 20 15 10 5 0 4 3 2 1 0 innen θ außen innen θ außen

Selbstkonsistente Rechnung

Selbstkonsistente Rechnung Dämpfung in der Fixpunktiteration dynamische Dämpfung Trust region (T, p), exponentielle Terme (L n, E i )

Simulation Selbstkonsistente Rechnung n /10 19 m 3 3 4 5 6 7 Temperaturprofil Iterationen 220 282 36 97 549 Iterationen mit Eigenwertberechnung 19 20 8 17 38 Eigenwertgleichungen 1881 1980 792 1683 3762 dimv N = 32 1.62 2.00 2.00 2.84 3.00 N = 64 1.25 1.81 2.00 2.00 3.00 N = 128 1.00 1.04 1.44 2.00 3.00 N = 256 1.00 1.00 1.00 1.00 3.00 N = 512 1.00 1.00 1.00 1.00 3.00 N = 1024 1.00 1.00 1.00 1.00 3.00 Dauer / Minuten 2:42 3:10 1:16 2:55 16:58

Zusammenfassung multilevel Jacobi-Davidson Eigenwertlöser Approximation des Suchraumes auf grobem Gitter Korrekturgleichung über preiswerte LR-Zerlegung Verfolgen der Eigenmoden (Wellenzahl) selbstkonsistente Rechnung: Fixpunktiteration mit problemangepasster Dämpfung physikalisches Modell bedarf der Erweiterung