Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 10 η Διάλεξη Κατευθυνόμενοι Γράφοι Βασικά χαρακτηριστικά Αλγόριθμοι διάσχισης κατευθυνόμενων γράφων Λίγα Λόγια για Αλυσίδες Markov
Βασικά Χαρακτηριστικά (1) Κατευθυνόμενος γράφος-προσανατολισμένος Τόξα (arcs) Ουρά-κεφαλή Έσω-γειτονιά Ν -- (v) έξω-γειτονιά Ν + (v) Έσω-βαθμός d -- (v) έξω-βαθμός d + (v) Δίλημμα χειραψιών Σd -- (v)=σd + (v) Ισορροπημένος-ισογράφος-ψευδοσυμμετρικός d -- (v)=d + (v), για κάθε v
Βασικά Χαρακτηριστικά (2) Απλός, Ασυμμετρικός/αντισυμμετρικός, Συμμετρικός Γράφος τουρνουά πληρης Ασυμμετρικός υποκειμενος (τοξα -ακμες), Αντίστροφος-αντιστρ τοξα Αδύναμα, Μονόπλευρα, Ισχυρά συνδεδεμένος -κατευθ. μονοπατι για καθε (u,v) κ (v,u), Προσανατολίσιμος-θεωρημα αν κ μονο αν καθε ακμη περιεχεται σε τουλαχιστον εναν κυκλο
Βασικά Χαρακτηριστικά (3) Θεώρημα: Ένας γράφος είναι προσανατολίσιμος αν και μόνο αν κάθε ακμή περιέχεται σε ένα τουλάχιστον κύκλο Θεώρημα: Μία ακολουθία διατεταγμένων μη αρνητικών ακεραίων (d 1 -- (v), d 1+ (v)),(d 2 -- (v), d 2+ (v)),...,(d n -- (v), d n+ (v)), όπου d 1 -- >=d 2 -- >=d n --, είναι γραφική αν και μόνο αν για κάθε ακέραιο k ισχύει d k --, d k+ <=n-1, Σd -- = Σd + και Σ k=1..n d k -- <= Σ k=1..j min(j-1,d k+ ) + Σ k=j+1..n min(j,d k+ )
Γράφοι Τουρνουά (1) Κάθε ζεύγος κορυφών ενώνεται με ένα τόξο m=n(n-1)/2=σd -- (v)= Σd + (v) Θεώρημα: Η μόνη μη φθίνουσα ακολουθία n μη αρνητικών ακεραίων που είναι γραφική ακολουθία σκορ ενός μεταβατικού γράφου-τουρνουά είναι η 0,1,2,...,n-1
Γράφοι Τουρνουά (2) Εφαρμογή σε αγώνες Σκορ = έξω βαθμός Θεώρημα: Η κορυφή με μέγιστο έξω-βαθμό έχει απόσταση 1 ή 2 από κάθε άλλη κορυφή Μεταβατικός γράφος τουρνουά για καθε (u,v) (v,w) υπαρχει κ (u,w) (μεταβατική/κυκλική τριπλέτα)
Γράφοι Τουρνουά (3) Θεώρημα: Ένας γράφος είναι μεταβατικός αν και μονο αν είναι άκυκλος(μη κυκλικος) Θεώρημα: Μία μη φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών ακεραίων που είναι γραφική ακολουθία σκορ αν και μόνο αν για κάθε j ισχύει Σ i=1..n d i >=n(n- 1)/2 {4,4,4,2,1,1} OXI γιατι Σ i=1..6 d i = 16 15
Κατευθυνόμενα Μονοπάτια & Κύκλοι Θεώρημα: Ένας ισχυρά συνδεδεμένος κατευθυνόμενος γράφος είναι Eulerian αν και μόνο αν είναι ισορροπημένος-ισογράφος ισογράφος d -- (v)=d + (v). Πόρισμα: Ένας ισχυρά συνδεδεμένος κατευθυνόμενος γράφος έχει Eulerian μονοπάτι αν υπάρχουν δύο κορυφές v και u, ώστε d -- (v)=d + (v)+1 και d -- (u)=d + (u)-1, ενώ για κάθε άλλη κορυφή ισχύει d -- (w)=d + (w) Θεώρημα: Ένας συνδεδεμένος κατευθυνόμενος γράφος είναι Hamiltonian αν d -- (v) >=n/2 και d + (v)>=n/2 για κάθε κορυφή Θεώρημα: Κάθε γράφος τουρνουά έχει Hamiltonian μονοπάτια Θεώρημα: Κάθε ισχυρά συνδεδεμένος γράφος-τουρνουά έχει κύκλους μήκους 3,4,,n
Κατευθυνόμενα Γραφήματα- DFS Είδη Ακμών: Ακμές Δένδρου Εμπροστοακμές (προγονους προς απογονους) Οπισθοακμές (απογονους προς προγονους) Ακμές Διασταυρώσεως(ενωνουν κορυφες που δεν σχ. με απογονους /προγονους) Θεωρημα: Αν κατα την αναζητηση ενος κατευθυνομενου γραφου κατα βαθος προκυψει διασταυρωνομενη ακμη (u,v)τοτε ισχυει : dfi(u)>dfi(v) *dfi μπορει να ειναι pre ή post
Κατευθυνόμενα Άκυκλα Γραφήματα DAG Ικανη κ αναγκαια συνθηκη υπαρξης κυκλου σε ενα κατευθυνομενο γραφο ειναι να υπαρχουν οπισθιες ακμες Εφαρμογές Προγραμματισμός εργασιών έργου Περιορισμοί στο πρόγραμμα σπουδών
Αλγ. τοπολογικης αναζητησης Θεωρημα. Εαν η ακμη (u,v)ειναι οπισθια τοτε προκυπτει οτι ο γραφος εχει κυκλο αν θεωρησουμε κ το μονοπατι απο την κορυφη v στην u 1 η Λύση Συστηματική αφαίρεση πηγών
2 η Λύση Αν αντιστρεψουμε τη σειρα μεταδιαταξης τοτε προκυπτει γραμμικη διαταξη των κορυφων οπου ολα τα τοξα δειχνουν απο αριστερα προς δεξια
Αλγόριθμος Εύρεσης Ισχυρά Συνδεδεμένων Συνιστωσών Αλγ. Kosaraju. Μια ΑσΒ στο G R (αντιστρεφουμε κατευθυνσεις τοξων) Βάσει της φθίνουσας postorder διάταξης, μια δεύτερη ΑσΒ στο G Καθε δεντρο στο νεο προκυπτον δασος ειναι μια ΙΣΣ
Συμπύκνωση D* ενος γραφου D Συμπύκνωση (condensation): γράφος D* με κορυφές που αντιστοιχούν μια προς μια στις ισχυρά συνδεδεμένες συνιστώσες και ιδιες επιγραφες με αυτες. Δυο κορυφες του D* ενωνονται με τοξο(di,dj) αν κ μονο αν καποια κορυφη της συνιστωσας Di ειναι γειτονικη με καποια της Dj. Θεώρημα: Κάθε συμπύκνωση είναι άκυκλος γράφος Θεώρημα: Κάθε συμπύκνωση περιέχει τουλάχιστον μία κορυφή με έσω-βαθμό 0 και τουλάχιστον μία κορυφή με έξωβαθμό 0
Το Πρόβλημα Κατάταξης Αθλητών Σε Τουρνουά (1) Αριθμος αθλητων που συμμετεχει σε τουρνουα τεννις με Round robin 1 2 6 3 5 4 3 1 2 4 5 6 1 2 4 5 6 3 1 4 6 3 2 5 1ος τρόπος: καταταξη αθλητων με σειρα εμφανισης κορυφων συμφωνα με Hamiltonian μονοπάτι. Δεν ενδεικνυται γιατι υπαρχουν περισσοτερα του ενος μονοπατια (3) Επισης δεν εξασφαλιζεται ο ιδιος αριθμος παιχνιδιων ανα αθλητη
Το Πρόβλημα Κατάταξης Αθλητών Σε Τουρνουά (2) 2ος τρόπος: με λιγότερες παραβιάσεις(πχ αν ο γραφος εχει το τοξο (u,v) και η v προηγειται στη καταταξη της u) 3 1 2 4 5 6 Έχει 2 παραβιάσεις (3,5) (3,6) 1 2 4 5 6 3 Έχει 3 παραβιάσεις (1,3) (2,3) (4,3) 1 4 6 3 2 5 Έχει 6 παραβιάσεις (1,3) (4,3) (4,2) (6,2) (6,5) (3,5) Επισης ΔΕΝ δινει μοναδικη καταταξη 1 3 2 5 4 6 επιλεγεται αφου έχει 2 παραβιάσεις Εξαντλητικός αλγόριθμος Ο(n!) για ευρεση ΟΛΩΝ των παραβασεων
Το Πρόβλημα Κατάταξης Αθλητών Σε Τουρνουά (3) 3ος τρόπος: με σύγκριση διανυσματων σκορ 4 3 3 2 2 1 1ο επίπεδο (αθλ. 2 κ 3 εχουν 3 νικες) 8 5 9 3 4 3 2ο επίπεδο (αθροισμα σκορ αντιπαλων που νικησε-αθλ.3 νικητης!)
Αλυσίδες Markov (1) Markov process, Markov chain: προχωρημένη στατιστική, στοχαστικές διαδικασίες Παριστάνεται με κατευθυνόμενο γράφο ΚΙΝΕΖΙΚΟ ΣΥΡΙΑΚΟ 1/2 10m 1/3 10m 1/6 - Ε1 2 3 4 5 6 (0, 0, 0, 1, 0, 0 ) (0, 0,1/2, 1/6,1/3, 0 ) (0,1/4,1/6,13/36,1/9,1/9)
Αλυσίδες Markov (2) Πώς μοντελοποιείται; 1/6 1/6 1/6 1 2 1/3 3 1/3 4 1/3 5 6 1/2 1/2 1/2 1 0 0 0 0 0 ½ 1/6 1/3 0 0 0 ½ 1/6 1/3 ½ 1/6 1/3 ½ 1/6 1/3 1
Αλυσίδες Markov (3) γράφος μετάβασης πίνακας μετάβασης διάνυσμα πιθανοτήτων Σp ij πιθανότητα μετάβασης p ij κατάσταση πεπερασμένη Markov chain στοχαστικός πίνακας p p k επίσης στοχαστικός
Αλυσίδες Markov (4) Θεώρημα: Η πιθανότητα μετάβασης μετά από k βήματα από το state i j ισούται με το ij-οστό στοιχείο του πίνακα p k Παράδειγμα: Π(0) = (0, 0, 0, 1, 0, 0 ) Π(1) = Π(0)*P = (0, 0,1/2, 1/6,1/3, 0 ) Π(2) = Π(1)*P = (0,1/4,1/6,13/36,1/9,1/9)
Αλυσίδες Markov (5) P= 0 0.4 0.5 0 0.6 0.5 1 0 0 P 15 =.3076.3076.3076.3848.3846.3845.3076.3078.3079 P 17 =P 18 =P 19 =P 20 =.3077.3077.3846.3846.3077.3077.3077.3846.3077
Αλυσίδες Markov (6) Αυτό συμβαίνει για την τακτική (regular) M.c., που σημαίνει ότι από κάθε ακμή προς κάθε ακμή υπάρχει μονοπάτι μήκους k Τότε φτάνει σε steady state και δεν φαίνεται η επίδραση της αρχικής κατάστασης