1. Η εικόνα παριστάνει το στιγμιότυπο κύματος τη χρονική στιγμή t 0. Το κύμα δημιουργείται από πηγή που αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t = 0 χωρίς αρχική φάση και διαδίδεται με ταχύτητα υ= m/s. Ζητούνται: α. Η χρονική στιγμή t 0. β. Η εξίσωση του κύματος. γ. Το διάγραμμα φ-x για τη χρονική στιγμή t 0. δ. Η χρονική στιγμή που ένα σημείο Κ, που βρίσκεται στη θέση x= 3,3m θα απέχει για πρώτη φορά 0,1m από τη θέση ισορροπίας. ε. Να γίνουν τα διαγράμματα φ-t και y-t για το ένα σημείο Ρ στη θέση x=,4m. στ. Να βρεθεί η εξίσωση ενός άλλου κύματος, διπλάσιου πλάτους και τετραπλάσιας συχνότητας που διαδίδεται αντίθετα στο ίδιο μέσο, με αρχική φάση π/. Λύση: x,7 α. t0 = = = 1,35s υ 9 β. λ,7 λ 1,m 4 = = άρα 9 T = 1,35 T = 0,6s 4 t x Η εξίσωση του κύματος είναι: y=0,ημπ - 0,6 1, S.I. (1) 1,35 x πx γ. φ= π φ=4,5π- 0,6 1,, όπου 0 x,7m 0,6 Το ζητούμενο διάγραμμα φαίνεται στο σχήμα της επόμενης σελίδας.
δ. Από την εξίσωση (1) έχουμε: t 3,3 0,1 = 0, ημπ 0,6 1, t 33 π π = 0,6 1 6 t =1,7s ε. t,4 t x φ= π φ=π - οπου t 1,s 0,6 1, = 0,6 υ Άρα: t,4 = yp 0, ημπ 0,6 1, t y p = 0,ημπ - 0,6 στ. Θα είναι με βάση την (1): t x π y= 0,4 ημ π + + S.I. 0,15 0,3 υ= λf λ λ = = 0,3m υ= λ f 4 1 1 T 0,6s T = T = T = T = T =0,15sec f 4f 4 4. Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο έχει την διεύθυνση του άξονα xx. Πηγή του κύματος είναι το σημείο (Ο) που είναι και η αρχή του άξονα xx. H εξίσωση του κύματος είναι: t x y = 10 ημπ x,y σε cm, t σε s T 0 α. Τη χρονική στιγμή t 1 η φάση ενός σημείου Α του ελαστικού μέσου με
xa = 10cm είναι ίση με π rad. Να υπολογισθεί αυτή τη στιγμή η απομάκρυνση ενός άλλου σημείου B του ελαστικού μέσου με xb = 1,5cm β. Αν ο χρόνος που απαιτείται για την διάδοση του κύματος από το σημείο (Α) έως το σημείο (Β) είναι Δt = 0,5s να βρεθεί η περίοδος του κύματος. γ. Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή που το κύμα φτάνει στο σημείο (Γ) με xγ = 35cm εκείνη την στιγμή. Ποιες είναι οι θέσεις των σημείων που έχουν εκείνη τη στιγμή υ=0; δ. Αν το υλικό σημείο (Γ) του ελαστικού μέσου έχει μάζα Λύση: υπολογισθεί η συνισταμένη δύναμη τη στιγμή 3 m 10 Kg 11 t = s. Δίνεται 3 = να π = 10. α. t x y= 10ημπ Α 10cm T 0 = 1 1 t x = λ = 0cm y= Aημπ λ 0 T λ Η φάση είναι: t x φ π = T 0 Για το σημείο Α την χρονική στιγμή t 1 : t1 xa t1 10 t1 1 t1 φα = π π= π 1= 1= 1 T 0 T 0 T Τ t1 t1 1+ 1= = t1 = Τ Τ Τ Για το σημείο Β την χρονική στιγμή t 1 : t1 xβ Τ 1,5 yb = 10ημπ yβ = 10ημπ T 0 Τ 0 y = 10ημπ 1 0,65 Β ( ) 3π 3π yb = 10ημ( π 0,375) yb = 10ημ yb10ημ π 4 4 π yb = 10ημ yb = 10 y B = 5 cm 4
β. Δx = xb xa = 1,5 10 =,5cm, είναι η απόσταση στην οποία διαδόθηκε το κύμα από το Α ως το Β. Δx,5 cm Δx = υ Δt υ = υ = = 10 Δt 0,5 s λ λ 0 υ= Τ= Τ= s=s Τ υ 10 γ. Το κύμα φτάνει στο σημείο x=35cm τη στιγμή t=x/υ=3,5s. Άρα στην εξίσωση t x y 10ημπ = T 0 αντικαθιστούμε t=3,5s και παίρνουμε: 3,5 x y=10ημπ - 0 x 35cm 0 Τα σημεία που είναι σε ακραία θέση της ταλάντωσης τους και έχουν υ=0, εκείνη τη στιγμή βρίσκονται στις θέσεις: x = 0,10, 0, 30cm. δ. ΣF = D y, όπου: 3 3 3 π π Ν D = m ω = m = 10 = 10 π = 10 10 = 10 Τ m 11 t x 3 35 y= 10ημπ yγ = 10ημπ T 0 0 11 35 11 7 yγ = 10ημπ yγ = 10ημπ 6 0 6 4 1 1 π yγ = 10ημπ yγ = 10ημ π yγ = 10ημ 1 1 6 1 yγ = 10 = 5cm -4 ΣF = D y = 10 5 10 N = 5 10 N 3. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα διαδίδεται αρμονικό κύμα της μορφής:
πx y = -0,1ημ - 4πt SI Να βρεθούν: α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β. Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις των ταλαντώσεων δυο σημείων (Μ) και (Ν) του μέσου που είναι προς τα δεξιά της πηγής (Ο), είναι 10π 17π φμ = rad και φn = rad. Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία 3 6 είναι πιο κοντά στην πηγή (Ο) και ποια είναι η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. γ. Ποια είναι η απομάκρυνση του σημείου (Ν) από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που το σημείο (Μ) αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. δ. Να βρείτε την τιμή της ταχύτητας ενός μορίου του μέσου, όταν η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι: y = 0,05m ε. Να γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t=1s. Λύση: α. Διαμορφώνουμε την εξίσωση που μας δίνεται βάσει της εξίσωσης του αρμονικού κύματος της θεωρίας: t x y=aημπ - T λ πx x y=0,1ημ 4πt - y = 0,1ημπ t - 4 Άρα είναι: Α=0,1m, Επομένως έχουμε: 1 1 = T = s T και f = Hz, λ=4 m υ=λ f =8m/s 10π 0π 17π β. Επειδή είναι φ Μ = = rad > φ N = rad το σημείο (Μ) βρίσκεται 3 6 6 πλησιέστερα στην πηγή (Ο, x=0), σε σχέση με το σημείο (Ν). π π φ Μ = t- x Τ λ π π φ N = t- x Τ λ M N Δφ = π ( x N - xm) Δφ = π Δx 3π = π Δx λ λ 6 λ
3 = Δx Δx = 1m 6 4 π γ. Επειδή Δφ = rad η ταλάντωση του σημείου (Ν) καθυστερεί σε σχέση με την ταλάντωση του (Μ) κατά Τ/4. Άρα κάθε φορά που είναι y M =+A θα είναι y =0 N κινούμενο κατά τη θετική φορά (υ>0). δ. Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση του μορίου: 1 1 1 E = k+ U DA = mυ + Dy DA -Dy = mυ ( ) A ω A -y = υ υ=± ω A -y υ=± ω A - 4 3A υ=±ω υ=±0,π 3 m/s 4 ε. Για t=1 s η εξίσωση του κύματος γίνεται: x y=0,1ημπ - 4 S.I. Σε χρόνο t=1s το κύμα έχει διανύσει απόσταση x=υ. t=8m, δηλ: 0 x 8m 4. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 και Π δημιουργούν στην επιφάνεια νερού που η- ρεμεί εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=80 cm/s. Οι δύο πηγές εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση: y = Aημ t π Τ Με την επίδραση των δύο κυμάτων, ένα μικρό κομμάτι φελλού που βρίσκεται στην επιφάνεια του νερού ταλαντώνεται, με εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του: y = 4ημπ( 8t - 4) y σε m και t σε s. Οι αποστάσεις του φελλού από τις πηγές και το μήκος κύματος λ των δυο κυμάτων συνδέονται με τη σχέση r1 -r = λ.
α. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις r 1 και r. β. Ποια είναι η επιτάχυνση της ταλάντωσης του φελλού τις χρονικές στιγμές: 0,3 s και 0,6875 s μετά τη στιγμή t=0; γ. Ποια χρονική στιγμή μετά την t=0 περνά ο φελλός από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης για 1η φορά; Λύση: α. Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης του φελλού εξαιτίας των δύο κυμάτων είναι: r-r 1 t r+r 1 y=aσυν π ημπ - λ T λ Εφόσον r-r 1 =λ η εξίσωση γίνεται: t r+r 1 y=aημπ - T λ Αλλά: y=4ημπ ( 8t - 4 ) () Εξισώνοντας τους συντελεστές ομοίων όρων των (1) και () παίρνουμε: t 1 r+r 1 =8t T= s f =8Hz και =4 r 1 +r =8λ (3) T 8 λ Δίνεται επίσης ότι: r-r 1 =λ (4) Από την λύση του συστήματος των (3) και (4) παίρνουμε: r = 5λ και r = 3λ 1 Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε: υ 80 λ= λ= cm=10 cm f 8 Άρα: r = 50cm και r = 30cm 1 β. Βρίσκουμε πρώτα ποια χρονική στιγμή αρχίζει η συνισταμένη ταλάντωση του φελλού, μετά την t=0. Εξαιτίας του κύματος από την πηγή Π ταλαντώνεται r 30 μετά από χρόνο: t = = = 0,375 s u 80 Αντίστοιχα από την πηγή Π 1 ταλαντώνεται μετά από χρόνο: r1 50 t 1 = = = 0, 65 sec u 80 Δηλ. η συνισταμένη ταλάντωση του φελλού ξεκινά μετά την t=0,65sec. Άρα την χρονική στιγμή t=0,3sec δεν έχει φτάσει στον φελλό κανένα κύμα, οπότε y=0 και α = -ω y = 0. (1)
Αντίθετα την χρονική στιγμή t = 0,6875 sec ο φελλός ήδη κάνει συνισταμένη ταλάντωση εξαιτίας των δύο κυμάτων με εξίσωση: ( ) ( ) y=4ημπ 8t - 4 y = 4ημπ 5,5-4 y = 4ημ3π = 0 και α = 0 γ. y=4ημπ ( 8t - 4) 4 = 4ημπ ( 8t - 4) 1 = ημ ( 16πt - 8π) π π ημ = ημ( 16πt -8π) 16πt -8π = κπ + π κ 17 16πt = κπ + 8π + t = + sec 8 3 Επειδή πρέπει t>0,65sec το κ μπορεί να πάρει τιμές: κ = 1,,... Επειδή θέλουμε για 1η φορά θέτουμε κ=1, οπότε: t = 0, 6565 sec 5. Σε ομογενή ελαστική χορδή μήκους L = 10,5cm που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεωμένο δημιουργούνται στάσιμα κύματα. Αν η εξίσωση του πχ στάσιμου κύματος είναι y = 8συν ημ8πt (y, x σε cm και t σε s). 5 α. Να γραφούν οι εξισώσεις του τρέχοντος και του ανακλώμενου κύματος και να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του τρέχοντος κύματος. β. Να βρεθεί η εξίσωση που δίνει τις αποστάσεις από την πηγή όλων των σημείων που πάλλονται με πλάτος 4cm. Να γραφεί η εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου για τα σημεία αυτά. γ. Να βρεθεί ο αριθμός των κοιλιών που δημιουργούνται κατά μήκος της χορδής. δ. Να γίνουν τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές t1 = T/4 και t = 3T/4 στο ίδιο διάγραμμα. ε. Να βρεθούν τα σημεία της χορδής που έχουν μέγιστη ταχύτητα μέτρου ίσου με το μισό του πλάτους της ταχύτητας μιας κοιλίας και να γραφεί η εξίσωση ταχύτητας χρόνου για τα σημεία αυτά. Λύση: α. πx πt A = 8 A = 4cm y= A συν ημ λ T πx πx = λ = 10cm πx λ 5 y= 8 συν ημ8 πt 5 πt 1 = 8πt T = s Τ 4
Άρα οι εξισώσεις του τρέχοντος και ανακλώμενου κύματος είναι: t x x y= A ημ π y = 4ημ π 4t T λ 10 Η ταχύτητα διάδοσης του τρέχοντος κύματος είναι: υ= λ f = 40cm/s β. Το πλάτος ταλάντωσης κάθε σημείου είναι: πx 1 πx π 5x συν = = κπ ± Ao = 8συν 5 5 3 5 πx 1 πx 4π A συν κπ o = 4 = = ± 5 5 3 άρα 5 x = 10κ ± (1) 3 0 x = 10κ ± () 3 Η εξίσωση y-t είναι για τα σημεία που βρίσκονται στις θέσεις που δίνονται από την (1), είναι: y= A o ημωt = 4ημ8πt Η εξίσωση y-t είναι για τα σημεία που βρίσκονται στις θέσεις που δίνονται από την (), είναι: y= A o ημωt = 4ημ8πt γ. Η απόσταση των κοιλιών από την πηγή δίνεται από τη σχέση: λ x = κ όπου κλ 05 0 x 10,5cm < 10,5 κ < κ < 0,5 10 Άρα ο αριθμός κοιλιών είναι:ι κ=1 (0, 1,, 3,..., 0) T δ. Στην εξίσωση του στασιμού κύματος θέτω t = 4 πx πx π y1 = 8συν ημ8πt y = 8συν ημ 5 5 πx y= 8συν όπου 0 x 10,5cm 5 Βρίσκουμε την πρώτη κοιλία που αντιστοιχεί στην πηγή δηλαδή για x = 0 y= 8cm. Γνωρίζουμε επίσης ότι η απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών είναι λ d = = 5cm και στο άλλο άκρο της χορδής είναι δεσμός. 3T πx 3 πx 3π t = y1 = 8συν ημ 8π y1 = 8συν ημ 4 5 16 5
πx Επομένως y1 = 8συν, θα είναι η συμμετρική όπως στο σχήμα. 5 ε. Ao,max = A= 8cm διότι στη θέση της πηγής θα δημιουργηθεί κοιλία. U = ωα = 64πcm / s. o,max ο,max πx πx Uo = ωαο,maxσυν = 64συν 5 5 πx 4 πx 1 συν = συν = ± U0 5 8 5 Uo = = 3π Τα ζητούμενα σημεία θα είναι ίδια με αυτά που βρέθηκαν στο ερώτημα Β 6. Σε χορδή έχει σχηματιστεί στάσιμο κύμα με εξίσωση πx π y = 0,συν ημ t 3 6 σε μονάδες του S.I.. Θεωρούμε ως t = 0 μία χρονική στιγμή κατά την οποία η αρχή x= 0, η οποία είναι κοιλία, διέρχεται από τη θέση ισορροπίας κινούμενη κατά τη θετική κατεύθυνση. α. Να γίνουν τα διαγράμματα απομάκρυνσης - χρόνου δύο σημείων Κ και Λ που βρίσκονται στις θέσεις xκ = 4m και xλ = 5m. β. Να γίνει διάγραμμα της φάσης των σημείων της χορδής σε συνάρτηση με την απόσταση x την t = 6s. γ. Ποια η ταχύτητα ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση x= 9m τη στιγμή t = 8s. δ. Πόσοι δεσμοί υπάρχουν ανάμεσα στις θέσεις x= 1m ως x= 7m; Λύση: πx πx α. Ισχύει: A = 0, A = 0,1m, = λ= 6m, πt = πt T= 1s 3 λ 6 T
Για το Κ ισχύει: π 4 π 1 π π yk = 0,συν ημ t = 0, ημ t = 0,1ημ t + π 3 6 6 6 π 5 π 1 π π Για το Λ ισχύει: yλ = 0,συν ημ t = 0, ημ t = 0,1ημ t 3 6 6 6 Δηλ. τα Κ, Λ είναι κατ αντίθεση άρα: β. Μεταξύ των σημείων Α και Β είναι: π φ= ωt = 6= πrad 1 Μεταξύ των σημείων Β, Δ είναι: φ = π + π = π rad Άρα τελικά το ζητούμενο διάγραμμα είναι: γ. Ισχύει π πx π υ = ωα συνωt = 0, συν συν t Τ 3 6 π π 9 π π 1 π υ= 0, συν συν 8= 0,( 1) ( 1) = m/s 1 3 6 1 60 xδ Κ 1 4 δ. Η εξίσωση του δεσμού είναι: = ( + ) λ 6 Πρέπει 1< xδ < 7 1< ( Κ+ 1) 7 0,16 Κ 1,83 4 Άρα Κ = 0, Κ = 1 δυο δεσμοί, στις θέσεις x1 = 1,5m και x = 4,5m αντίστοιχα.
7. Από σημείο Ο (x=0) γραμμικού ελαστικού μέσου διέρχεται τη στιγμή t=0 αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ=40m/s. Το διάγραμμα παρέχει την απομάκρυνση ενός σημείου Α, σε σχέση με τον χρόνο. Το κύμα ανακλάται σε ακλόνητο εμπόδιο Ε, επιστρέφει και δημιουργεί στάσιμο. Όταν αποκαθίσταται το στάσιμο, το Ο είναι κοιλία. α. Ποια είναι η θέση του Α; β. Εξηγήστε γιατί το διάγραμμα έχει αυτή τη μορφή. γ. Ποια είναι η θέση του εμπόδιου Ε; δ. Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου. Λύση: α. Ισχύει για το σημείο Α: x Α = υt = 40 0,15 = 5m Τ=0,1s, λ=υt=4m β. Το Α είναι δεσμός. Αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t1 = 0,15s που το κύμα διέρχεται από αυτό και ακινητοποιείται τη στιγμή t = 0,55s που το απο ανάκλαση κύμα επιστρέφει στο Α. γ. Από τη στιγμή t ως τη στιγμή 1 t το κύμα καλύπτει απόσταση: άρα: ( AE) ( AE) = υδt = 40 0,4 = 16m = 8m x = ( 8 + 5) m = 13m E δ. Από το διάγραμμα έχουμε: 4T = 0,55 0,15 = 0, 4s άρα: T= 0,1s, λ = υ Τ = 4m Η ζητούμενη εξίσωση είναι: πx y= 0, συν ημ0πt 8.α. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας του σχήματος. Η τομή του πρίσματος είναι ισόπλευρο τρίγωνο, έχει δείκτη διάθλασης n = 4 3 3 και περιβάλλεται από αέρα. β. Tι θα συμβεί αν το πρίσμα βυθιστεί σε υγρό 6 που έχει δείκτη διάθλασης n = ; 3
Λύση: α. Η ακτίνα συναντά κάθετα την έδρα ΚΛ του πρίσματος και χωρίς να διαθλαστεί διαδίδεται μέσα στο πρίσμα. Η ακτίνα συναντά την έδρα ΚΜ του πρίσματος. Η ακτίνα ή θα διαθλαστεί ή θα υποστεί ολική ανάκλαση στην έδρα ΚΜ. Η γωνία πρόσπτωσης είναι θ=60 ο. Η οριακή γωνία θ ορ υπολογίζεται από τη σχέση: 1 3 ημθ ορ = ημθ = n 4 3 ημ θ = ορ θορ < θ Άρα η ακτίνα υφίσταται ολική ανάκλαση. Η γωνία ανάκλασης είναι φ=θ=60 ο και η ακτίνα συναντά την ΛΜ κάθετα και εξέρχεται του πρίσματος. β. Το πρίσμα περιβάλλεται από υγρό, που είναι αραιότερο του πρίσματος. Άρα μπορεί να συμβεί και πάλι ολική ανάκλαση, αρκεί η γωνία πρόσπτωσης να είναι μεγαλύτερη της νέας οριακής γωνίας θ ορ που υπολογίζεται από τη σχέση: n 0 ημθ ορ = ημθ ορ = θ ορ =45 n θ=60 ο Άρα η ακτίνα υφίσταται ολική ανάκλαση στην έδρα ΚΜ του πρίσματος.
1. Στο σχήμα βλέπουμε το στιγμιότυπο ενός κύματος τη χρονική στιγμή t1 = 9/0s. Το κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα xx και τη στιγμή t=0 ξεκίνησε από x=0. Να βρεθούν: α. Η εξίσωση της κίνησης της πηγής και η εξίσωση του διαδιδόμενου κύματος. β. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου. γ. Στο παραπάνω στιγμιότυπο να βρεθούν οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των σημείων P με x=0,7m και Β με x=0,8m. (π = 10)
. Σε χορδή Οχ η αρχή Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή t = 0 να εκτελεί γ.α.τ. με πλάτος Α=0,3m. Στo εγκάρσιο αρμονικό κύμα που παράγεται, βρίσκουμε ότι δύο διαδοχικές κορυφές απέχουν μεταξύ τους 4m και ότι ένα σημείο του ελαστικού μέσου χρειάζεται ελάχιστο 0,s για να περάσει δύο διαδοχικές φορές από τη Θ.Ι. του. α. Να βρείτε την εξίσωση του διαδιδόμενου κύματος. β. Για ένα σημείο B του ελαστικού μέσου (x Β =5m) i. Να υπολογίσετε την απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του τις χρονικές στιγμές 0, s, 0,9s και 1,8s. ii. Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης του σημείου Β με το Ο. γ. Να γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τις στιγμές 0,45s και 0,9 s. 3. Σώμα μάζας m = 0,kg προσδένεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου. Στο κάτω μέρος του σώματος προσαρμόζεται μια λεπτή αβαρής ακίδα, η οποία βυθίζεται μέσα σε ένα υγρό, που βρίσκεται κάτω από το σώμα (δες σχήμα). Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά d = 0,1m και το αφήνουμε νά εκτελέσει ταλάντωση, η οποία θεωρείται αμείωτη τη χρονική στιγμή t = 0. Έτσι, η ακίδα δημιουργεί
ένα αρμονικό κύμα που διαδίδεται στην επιφάνεια του υγρού. Ένα μικρό κομμάτι φελλού που απέχει απόσταση x =0,6m από την ακίδα, αρχίζει να ταλαντώνεται μετά από χρόνο Δt =0,s. Το εγκάρσιο κύμα που δημιουργείται στην επιφάνεια του υγρού έχει λ=3m. α. Να υπολογίσετε τη σταθερά K του ελατηρίου και να γράψετε την εξίσωση της γ.α.τ. του σώματος m. β. Να γράψετε την εξίσωση του διαδιδόμενου κύματος. γ. Να βρείτε την απομάκρυνση του μικρού φελλού από τη θέση ισορροπίας του και την ταχύτητα ταλάντωσής του τη χρονική στιγμή t 1 = 0,35s (π = 10) 4. Αρμονικό εγκάρσιο κύμα πλάτους Α=0,3m διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα Οx. Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο, είναι: y=α. ημωt Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συ-
νάρτηση με την απόσταση x από την πηγή, τη χρονική στιγμή t 1 =1s. α. Να βρείτε την περίοδο του κύματος, το μήκος κύματος και τη ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. γ. Να βρείτε για τη χρονική στιγμή t= s και για το σημείο Ρ του ελαστικού μέσου το οποίο απέχει από την πηγή Ο απόσταση x=1 m: την απομάκρυνσή του y, την ταχύτητά του και την επιτάχυνσή του. 5. Σε δύο σημεία Π 1, Π στην επιφάνεια υγρού υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής κυμάτων πλάτους Α=1 cm και συχνότητας f= Hz. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σ ένα σημείο Φ της επιφάνειας του υγρού που απέχει r 1 =3cm και r =48 cm αντίστοιχα από τα Π 1 και Π. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=40 m/s. Να βρείτε: α. Την εξίσωση απομάκρυνσης του φελλού από τη Θ.Ι. του, όταν κάνει τη σύνθετη κίνησή του. β. Την απομάκρυνση του φελλού τις στιγμές 0,7s, 1,5 s.
γ. Πόση είναι η μέγιστη επιτάχυνση του φελλού όταν εκτελεί τη σύνθετη κίνησή του; 6. Δυο εγκάρσια αρμονικά κύματα που έχουν το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα f=0hz διαδίδονται κατά μήκος μιας χορδής προς αντίθετες κατευθύνσεις και δημιουργούν στάσιμο κύμα. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σωματιδίων που βρίσκονται στις κοιλίες είναι 160πcm/s. Η απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και της αμέσως επόμενης κοιλίας είναι Δx=15cm. α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β. Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων της χορδής, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση 0cm. γ. Πόσοι δεσμοί σχηματίζονται μεταξύ μιας κοιλίας του στάσιμου κύματος που επιλέγουμε σαν αρχή μέτρησης των αποστάσεων (x=0) και ενός σημείου της χορδής που απέχει από αυτήν απόσταση 135cm. δ. Ποια είναι η επιτάχυνση ενός σωματιδίου της χορδής, που απέχει 30cm από το σημείο x=0 και προς τα δεξιά του, την χρονική στιγμή 1/160s; (π =10)
7. Ένα σκοινί διατηρείται οριζόντιο και καλά τεντωμένο. Το ένα άκρο του Κ παραμένει διαρκώς ακίνητο. Ένας μηχανισμός αναγκάζει το άλλο άκρο του Λ να εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις με εξισώσεις απομάκρυνσης y1 = ημ t + π π 6 3 και π π y = 3ημ t 6 6 όπου τα μήκη μετριούνται σε cm και ο χρόνος σε s. Μετά από λίγο εμφανίζεται στη χορδή στά- σιμο κύμα. Διαπιστώνουμε ότι δύο σημεία που πάλλονται ως κοιλίες απέχουν 1,m, ενώ αναμεσά τους παρεμβάλλονται δύο δεσμοί. α. Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή; β. Ποια είναι η εξίσωση της απομάκρυνσης ενός στοιχειώδους τμήματος P που απέχει ελάχιστη απόσταση 0,1m από ένα άλλο στοιχειώδες τμήμα του σκοινιού που παραμένει διαρκώς ακίνητο; γ. Ποια σημεία ταλαντώνονται έχοντας ενέργεια ίση με το 50% της μέγιστης ενέργειας και βρίσκονται μεταξύ του 1ου δεσμού και η κοιλίας; δ. Ποια η ταχύτητα ενός σημείου που απέχει x= 0,3m από μία κοιλία, όταν η απομάκρυνση του είναι y= cm;
8. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας και βρείτε την ταχύτητά της στο γυάλινο πρίσμα του σχήματος. Δίνονται ότι: c=3. 10 8 m/s, ημθ ορ =0,4 και ότι το πρίσμα περιβάλλεται από αέρα.