تجزیهی بندرز مقدمه بسیاری از مسایلی که از نطر عملی از اهمیت برخوردارند را میتوان بهصورت ترکیبی از چند مساله کوچک در نظر گرفت. در واقع بسیاری از سیستمهای دنیای واقعی دارای ساختارهایی غیر متمرکز هستند. به عنوان مثال در شبکه بزرگراههای دو کشور همسایه معموال شبکه داخلی هر کشور از تراکم باالیی برخوردار است و تنها در برخی نقاط این دو شبکه به یکدیگر متصل هستند. مشابه این حالت برای سیستمهای مخابراتی و برق نیز وجود دارد. از طرفی دیگر تصمیمات مربوط به سرمایهگذاری در سیستمهای واقعی معموال دارای ماهیت عدد صحیح هستند در حالیکه تصمیمات عملیاتی که پس از آنها اتخاذ میشوند پیوستهاند. به عنوان مثال تصمیمات سرمایهگذاری برای بهبود سیستم تامین آب یک شهر به صورت عدد صحیح هستند زیرا یک تسهیل خاص یا تاسیس خواهد شد یا نه. اما تصمیمات عملیاتی مربوط به تاسیساتی که قبال ساخته شدهاند پیوستهاند. مساله نحوه عملیات شبکه بزرگراه دو کشور همسایه را معموال میتوان به دو مساله بر اساس هر کشور تجزیه کرد مادامیکه محدودیتهای مربوط به ارتباط دو شبکه را در نظر بگیریم. البته جواب عملیاتی حاصل از حل دو مساله به صورت مستقل لزوما بهترین جواب ترکیبی نیست و حتی به سبب در نظر نگرفتن محدودیتهای مرزی ممکن است جواب حاصل غیر موجه شود. از این رو یک مدل برنامهریزی ریاضی مرتبط با این مساله بهینهسازی میتواند دارای ساختار زیر باشد. maxmze obectve + obectve 2 subect to constrants constrants 2 common constrants common constrants در این مساله اولین بلوک محدودیتها مرتبط با اولین عبارت در تابع هدف و مربوط به اولین کشور است. این در حالی است که دومین بلوک محدودیتها مرتبط با دومین بخش از تابع هدف و مربوط به دومین کشور است. اما بلوک محدودیتهای مشترک هر دو کشور را تحت تاثیر قرار میدهد و سبب پیچیدگی حل مساله میشود زیرا این محدودیتها مانع حل جداگانه دو زیرمساله مرتبط با هر یک از دو مینامند. کشور هستند. بدین سبب این محدودیتهای مشترک را محدودیتهای پیچیده مساله توسعه ظرفیت یک سیستم تامین آب معموال شامل متغیرهای عدد صحیح مربوط به سرمایهگذاری و متغیرهای پیوسته مرتبط با نحوه عملیات سیستم است. از این رو یک راهحل مناسب برای این مساله تجزیهی آن بر اساس متغیرها و تصمیمگیری جداگانه در مورد این دو دسته از متغیرها بهدلیل ماهیت متفاوتشان است. یک مدل برنامهریزی ریاضی مرتبط با این مساله بهینهسازی میتواند دارای ساختار زیر باشد. Complcatng Constrants
maxmze obectve + obectve 2 subect to constrants constrants 2 & constrants (complcatng varables) & constrants 2 (complcatng varables) که در آن بخش مشترک هر دو بلوک از محدودیتها مرتبط با تصمیمات سرمایهگذاری )عدد صحیح( است در حالی که بخشهایی که مشترک نیستند مربوط به تصمیمات عملیاتی )پیوسته( هستند. مقابله با متغیرهای عدد صحیح بسیار پیچیدهتر از متغیرهای پیوسته مینامند. در چنین مسایلی زمانی که تصمیمات عدد است و بدین سبب مسایل دارای چنین ساختاری را مسایل با متغیرهای پیچیده صحیح مشخص شوند زیر مساله حاصل شده قابل تجزیه به بلوکهایی است که دستیابی به جواب آن را تسهیل میکنند. بنابراین میتوان گفت که مسایل بهینهسازی دارای ساختارهای ماتریسی مختلفی هستند که از نحوهی چینش بلوکهای ماتریس و نحوهی ارتباط آنها ناشی میشود. روشهایی که از این ساختار ماتریسی ویژه مساله بهره میبرند معموال کارآمدتر بوده و جواب مناسبی را برای مساله در زمان مناسبی مییابند. به طور کلی ساختار مسایل بهینهسازی که با آن مواجه هستیم در اکثریت موارد شامل محدودیتهای پیچیده یا متغیرهای پیچیده هستند. شکل نشان دهندهی یک مساله شامل محدودیتهای پیچیده است. در واقع در این شکل آخرین محدودیت ساختار بلوکی مساله را بهم ریخته و مانع از تجزیه مساله شده است که در نهایت این امر سبب پیچیدگی حل آن میشود. شکل - ساختار بلوکی مساله با محدودیتهای پیچیده این محدودیتها معموال نشاندهندهی استفادهی مشترک بلوکهای مساله از یک یا چند منبع کمیاباند. به منظور حل این گونه مسایل استفاده کرد. و تجزیه دانتزیگ-ولف 3 میتوان از روشهای آزادسازی الگرانژ 2 شکل 2 نشاندهندهی یک مساله شامل متغیرهای پیچیده است. همانطور که در این شکل مشاهده میشود آخرین متغیر سبب آشفتگی ساختار بلوکی مساله شده است و تجزیهی آن به تعدادی زیر مساله مستقل را ناممکن کرده است. شکل 2- ساختار بلوکی مساله با متغیرهای پیچیده Complcatng Varables 2 Lagrangan Relaxaton 3 Dantzg-Wolfe Decomposton
این متغیرها را که سبب پیچیدگی حل مساله میشوند متغیرهای پیچیده مینامند. به منظور حل مسایل دارای این نوع ساختار میتوان استفاده کرد. از الگوریتم تجزیهی بندرز در واقع به منظور حل مساله با استفاده از روشهای تجزیه الزم است که ابتدا ساختار مساله شناسایی شود. بعد از شناسایی ساختار مساله روشهای تجزیه مجموعه بلوکهایی را بدست میآورند که از حل جداگانه آنها جواب کلی مساله حاصل میشود. الگوریتم تجزیه بندرز برای حل مسایل برنامهریزی خطی مختلط عددصحیح ][ در سال 692 ابداع شد. این روش اغلب برای حل مسایلی به کار میرود الگوریتم تجزیه بندرز اولین بار توسط جی اف بندرز 2 خطی که تنها که شامل متغیرهای پیوسته و گسسته هستند. ایده کلی الگوریتم بنابر تقسیم مساله به دو قسمت است: یک زیر مساله 3 که شامل متغیرهای گسسته پیچیده و محدودیتهای مربوط به آنها است. زیر مساله شامل متغیرهای پیوسته است و یک مساله اصلی 4 خطی حاصل به راحتی توسط روش برنامهریزی خطی قابل حل است. در واقع استراتژی الگوریتم بندرز بنابر ثابت کردن متغیرهای گسسته و حل دوگان زیر مساله خطی حاصل است. سپس الگوریتم با استفاده از جواب حاصل از دوگان زیر مساله خطی تعدادی برش )محدودیت( برای افزودن به مساله اصلی تولید میکند. این روند تا جایی ادامه مییابد که مساله اصلی دارای تعداد کافی برش برای رسیدن به جواب بهینه باشد. به طور کلی الگوریتم تجزیه بندرز میتواند در مسالهای به فرم زیر استفاده شود: MIP: Mn z = c T x + f T y Ax + By d x R m +, y Y )( )2( )3( که در آن,c,f,A B و d ضرایب ثابت هستند. متغیرهای x پیوسته و متغیرهای y عدد صحیحاند. در الگوریتم تجزیهی بندرز مساله برنامهریزی مختلط عدد صحیح فوق بهصورت یک مساله اصلی با یک متغیر پیوسته )مقدار تابع هدف z( بازنویسی میشود. برای ساختن این مساله اصلی نیاز است ابتدا زیر مساله خطی مساله اولیه را با ثابت کردن متغیرهای عدد صحیح تشکیل دهیم. سپس با استفاده از مساله دوگان این زیر مساله خطی میتوانیم محدودیتها )برشهایی( را به مساله اصلی اضافه نماییم. مساله فوق را زمانی که متغیرهای عدد صحیح y در مقدار y ثابت شدهاند در نظر بگیرید. زیر مساله خطی )4(-)9( حاصل خواهد شد. Sub Problem (SP) SP(y ): Mn c T x Ax d By )4( )5( Benders Decomposton 2 J. F. Benders 3 Sub-Problem 4 Master Problem
x R + m )9( بنابراین مساله کمینهسازی اولیه را میتوانیم به صورت زیر بازنویسی کنیم: Mn y Y [ft y + mn x 0 {ct x Ax d By}] )7( مشخصا دوگان مساله خطی درونی )زیر مساله خطی) 9(-)4 (( به صورت روابط )8(-)( است. Dual Sub Problem(DSP) DSP(y ): Max w = (d By ) T u )8( A T u c )6( l u R + )( فرض کنید } e E = (u)} مجموعه نقاط گوشهای چند وجهی مساله فوق باشد. نکته مهم این است که این چندوجهی مستقل از متغیرهای عدد صحیح )y( است. همچنین مشخص است که اگر فضای مساله دوگان زیر مساله خطی تهی باشد زیر مساله خطی )4(- )9( غیر موجه یا بیکران است. اگر زیر مساله خطی )4(-)9( بیکران باشد مساله اولیه )(-)3( بیکران است که این مورد نشاندهندهی خطای مدلسازی است. بنابراین فرض میکنیم که فضای مساله دوگان زیر مساله خطی )8(-)( محدود و غیر تهی است. با توجه به این فرض جواب بهینه مساله دوگان زیر مساله خطی )8(-)( بر روی یکی از نقاط گوشهای رخ خواهد داد. از این رو میتوانیم مساله زیر را بجای آن در نظر بگیریم. DSP(y ): Max(d By ) T u e )( e E )2( یک مشکل اساسی در مساله اخیر این است که تمام نقاط گوشهای باید شمارش شوند. برای جلوگیری از این مورد میتوانیم از قضیهی ضعیف دوگانی برای تولید تعدادی برش بهینگی استفاده کنیم. بدین منظور طبق قضیهی ضعیف دوگانی داریم: c T x max (d e By)T u e c T x + f T y f T y + max (d e By)T u e z f T y + max (d e By)T u e مینامند. با افزودن این برشها فضای شدنی به نحوی محدود میشود که جواب بهینه )3( )4( )5( یا برش بندرز 2 رابطه شماره )5( را برش بهینگی مساله اولیه )(-)3( حذف نشود و در واقع این برشی است که سبب میشود به سمت جواب بهینه حرکت کنیم. با در نظر گرفتن این برشهای بهینگی میتوانیم مساله اصلی )9(-)8( را در الگوریتم بندرز فرمولبندی کنیم. Master Problem(MP) Optmalty Cut 2 Benders Cut
MP: Mn z )9( z f T y + max (d e By)T u e e E, y Y )7( )8( مزیت مساله اخیر بر مساله اولیه )(-)3( این است که این مساله یک مساله برنامهریزی عدد صحیح خالص است در حالیکه مساله اولیه یک مساله برنامهریزی عدد صحیح آمیخته است و میدانیم که حل آن از پیچیدگی باالتری برخوردار است. از طرفی مشخصا تعداد نقاط گوشهای در این فضا بسیار زیاد است و نتیجتا مساله اصلی تعداد زیادی محدودیت خواهد داشت )فرض کنید e نقطه گوشهای داریم(. اما الگوریتم تجزیه بندرز از این قاعده استفاده میکند که تنها تعداد محدودی از این محدویتها در بهینگی مقید هستند و به با استفاده از جای محاسبه تمامی آنها تنها برشهای مورد نیاز را ایجاد میکند. هدف نهایی الگوریتم بندرز حل مساله اصلی محدود زیرمجموعهای از برشهای فضای مجموعه نقاط گوشهای است. سوال اولی که میتواند مطرح شود این است که اگر مساله اصلی محدود بهینه شود مساله اصلی )Master( هم بهینه شده است جواب این سوال خیر است زیرا میدانیم که مساله اصلی محدود در واقع یک آزادسازی از مساله اصلی است و لذا فضای آن را در بر دارد. بنابراین جوابهای آن همواره بهتر از مساله اصلی است. سوال دیگری که میتواند مطرح شود این است که آیا ممکن است که مساله اصلی محدود نشدنی باشد در حالیکه مساله اصلی شدنی است جواب این سوال نیز خیر است زیرا مجددا میدانیم که مساله اصلی محدود یک آزادسازی از مساله اصلی است و فضای آن را در بر دارد. برای شروع الگوریتم بندرز مجموعه = E است و یک جواب موجه دلخواه برای مقادیر متغیرهای عدد صحیح y در نظر گرفته میشود. سپس جواب زیر مساله دوگان برای یافتن یک برش دوگانی محاسبه میشود. برش بهدست آمده را به فضای E اضافه میکنیم و مساله محدود جدید را حل میکنیم تا یک مقدار بهتر برای y حاصل شود. این فرآیند حل زیر مساله دوگان و مساله محدود تا جایی ادامه مییابد که فضای E شامل تعداد کافی برش برای رسیدن به جواب بهینه باشد )این نقطه جایی است که مقدار این دو مساله به یکدیگر همگرا میشود(. بهطور کلی میتوانیم نمودار شکل 3 را برای الگوریتم تجزیهی بندرز در نظر بگیریم. Restrcted Master Problem
شروع الگوریتم حل مساله اصلی محدود حل زیر مساله دوگان خیر افزودن برش بهینگی بررسی شرط بهینگی بلی پایان الگوریتم شکل 3- نمودار کلی یک الگوریتم تجزیهی بندرز همانطور که مشخص است در هر تکرار میانی الگوریتم با حل زیر مساله خطی دوگان یک نقطهی گوشهای جدید از فضای E بدست میآید. بنابراین میتوان نتیجه گرفت که الگوریتم تجزیهی بندرز همگرا است زیرا حداکثر تعداد تکرارهای آن برابر تعداد نقاط گوشهای این فضا است. در روند اجرای الگوریتم بندرز اگر زیر مساله خطی دوگان نشدنی باشد زیرمساله )4(-)9( بیکران بوده و در نتیجه مساله اولیه )(-)3( نیز بیکران است. همچنین در ابتدا فرض کردیم که زیر مساله دوگان ناتهی و دارای جواب بهینه محدود است. حال اگر زیر مساله دوگان بیکران باشد زیرمساله )4(-)9( نشدنی است. بنابراین الزم است محدودیتی اضافه کنیم که از بیکران شدن زیر مساله دوگان جلوگیری شود. بدین منظور فرض کنید که در یک تکرار الگوریتم با استفاده از جواب مساله اصلی محدود زیر مساله خطی دوگان بیکران شود. در این صورت میتوان گفت که رابطه زیر برقرار است. u r (d By ) T u r > 0 )6( u r که در آن نشاندهندهی شعاع بیکرانکننده است. بنابراین برای محدود کردن زیر مساله دوگان کافی است محدودیت زیر را به مساله اصلی محدود افزوده و دوباره آن را در همین تکرار حل کنیم. (d By) T u r 0 )2( نیز مینامند. بنابراین به طور کلی میتوان گفت که سه حالت برای زیر مساله دوگان متصور است. محدودیت )2( را برش شدنی بودن اگر زیر مساله دوگان نشدنی باشد مساله اولیه بیکران است. اگر زیر مساله دوگان دارای جواب بهینه باشد باید روند حل الگوریتم را ادامه Feasblty Cut
دهیم. همچنین اگر زیر مساله دوگان بیکران باشد باید مساله اصلی محدود را مجددا و با در نظر گرفتن همان جهت بیکران کننده و برش شدنی بودن جدید حل کنیم. به همین ترتیب سه حالت کلی برای مساله اصلی محدود نیز برقرار است. اگر این مساله نشدنی باشد مساله اولیه نیز نشدنی است. اگر این مساله دارای جواب بهینه باشد باید روند حل الگوریتم را ادامه دهیم. بیکران شدن مساله اصلی محدود تنها در اولین تکرار الگوریتم امکانپذیر است زیرا در هر تکرار یک محدودیت به این مساله اضافه میشود. بنابراین اگر مساله اصلی محدود در تکراری بیکران شود لزوما در تکرارهای قبلی نیز باید بیکران بوده باشد. از این رو الزم است محدودیتی را اضافه کنیم که از بیکران شدن مساله اصلی محدود جلوگیری کند. فرض کنید در تکرار اول با استفاده از u k اولیه جواب بدست آمده برای مساله اصلی محدود بیکران شود. بنابراین میتوان برای محدود کردن مساله اصلی محدود محدودیت زیر را به زیر مساله دوگان افزوده و مجددا آن را در همین تکرار اول حل کنیم. f T y + (d By ) T u M )2( که در آن M یک مقدار بزرگ است. بنابراین چارچوب کلی الگوریتم تجزیهی بندرز بهصورت زیر است: گام صفر( ابتدا با یک جواب موجه دلخواه y = y 0 برای زیر مساله اصلی شروع میکنیم. همچنین مقادیر حد باال (UB) و حد پایین (LB) اولیه را تعیین میکنیم. در تکرار kام: گام اول( زیر مساله دوگان را با فرض y = y k حل کرده و جوابهای بهینه این مساله را مساله دوگان بیکران شود شعاع بیکران کننده )22( u k و w k u r k در غیر اینصورت زیر مساله دوگان دارای جواب موجه است و باید مقدار نقطهی گوشهای به مساله اصلی محدود اضافه میکنیم. u e k در نظر میگیریم. اگر جواب زیر را محاسبه کرده و برش )22( را به مساله اصلی محدود اضافه میکنیم. (d By) T u k r 0 محاسبه شود. سپس برش بهینگی )23( را z f T y + (d By) T u e k UB = mn {UB, f T y + (d By ) T u e k } )23( همچنین حد باالی الگوریتم را میتوان با استفاده از رابطه زیر بروز کرد. )24( گام دوم( مساله اصلی محدود را با افرودن برش جدید حل میکنیم. Restrcted Master Problem(RMP) RMP: Mn z z f T y + (d By) T u k e, e E k )25( )29(
(d By) T u r k 0 r V k )27( y Y )28( V k و که در آن E k به ترتیب نشاندهندهی مجموعهی نقاط گوشهای و جهتهای بیکرانکننده در تکرار k ما الگوریتم هستند. جواب بهینه این مساله را بهصورت z k و y k در نظر میگیریم و حد پایین الگوریتم را بروز کرده و به گام اول بر میگردیم. گامهای فوق آنقدر تکرار میشوند تا مطابق رابطه )26( شکاف بهینگی خاصی )ε( برقرار شود. UB LB ε )26( ]پایان الگوریتم[ در واقع در هر گام الگوریتم جواب مساله اصلی محدود یک حد پایین و جواب زیر مساله دوگان یک حد باال برای مساله اصلی بوجود میآورند. در ادامه حل مساله حمل و نقل با هزینهی ثابت با استفاده از الگوریتم تجزیهی بندرز برای آشنایی بیشتر با روند اجرای این الگوریتم ذکر شده است. مثال-مساله حمل و نقل با هزینهی ثابت )FCTP( در این قسمت حل مساله حمل و نقل با هزینهی ثابت توسط الگوریتم تجزیهی بندرز مورد بررسی قرار میگیرد. این مساله حالت توسعه یافتهی مساله حمل و نقل استاندارد است. مساله حمل و نقل استاندارد را میتوان بهصورت زیر در نظر گرفت: Transportaton Problem (TP) Mn c x )3( x s )3( x d )32( x 0 )33( d s که در این مساله c هزینه متغیر ارسال یک واحد کاال از مبدا به مقصد است. همچنین و به ترتیب نشاندهندهی میزان عرضه مبدا و میزان تقاضای مقصد هستند. x به عنوان متغیر تصمیم مساله نشاندهنده میزان کاالی حملشده از مبدا به مقصد f است. در مساله حمل و نقل با هزینهی ثابت یک هزینهی حمل ثابت نیز برای مسیر به در نظر گرفته میشود. این مورد را میتوان با در نظر گرفتن متغیرهای صفر و یک اضافی y مدلسازی کرد که این متغیرها نشاندهندهی باز یا بسته بودن یک مسیر مشخص هستند. بنابراین داریم: Fxed Charge Transportaton Problem (FCTP) Optmalty Gap
Mn (f y + c x ) )34( x s x d x M y x 0, y {0,} )35( )39( )37( )38( که در آن M نشاندهندهی اعدادی است که به اندازه کافی بزرگ هستند. زمانی که میخواهیم این مساله برنامهریزی مختلط عدد M صحیح را حل کنیم تخصیص مقادیر منطقی به M در نظر گرفت مقادیر زیر مناسب هستند: از اهمیت برخوردار است. از آنجایی که را میتوان بهعنوان حد باالیی برای x M = mn {s, d } )36( اولین قدم استاندارد سازی مساله است. بنابراین میتوانیم مساله اولیه را به فرم استاندارد زیر بازنویسی کنیم: Mn (f y + c x ) )4( x s x d x M y x 0, y {0,} )4( )42( )43( )44( همانطور که مشاهده میشود در استانداردسازی تمامی متغیرهای عدد صحیح به سمت راست منتقل شدهاند و در سمت چپ فقط w v متغیرهای پیوسته را داریم. با در نظر گرفتن u و بهعنوان متغیرهای دوگان به ترتیب برای محدودیتهای )4( )42( و )43( میتوانیم مساله دوگان این زیر مساله خطی را که یک حد باال در هر تکرار الگوریتم ایجاد میکند به صورت زیر بنویسیم: Max D = ( s )u + d v + ( M y )w )45(
u + v w c )49( u 0, v 0, w 0 )47( با در نظر گرفتن جواب دوگان زیر مساله خطی مساله اصلی محدود که یک حد پایین در هر تکرار الگوریتم ایجاد میکند به صورت زیر حاصل میشود: mn Z y )48( Z f y + ( s )u e + d v e + ( M w e )y )46( ( s )u r + d v r y {0,} + ( M w r )y 0 )5( )5( حال با در نظر گرفتن دو مساله اخیر میتوانیم الگوریتم بندرز را راهاندازی کنیم. بدین منظور فرض کنید که مساله دارای چهار مبدا و سه مقصد با پارامترهای موجود در جداول زیر باشد. جدول - مقادیر هزینه متغیر حمل و میزان عرضه و تقاضا در مساله FCTP میزان عرضه مبدا 3 4 2 - هزینهی متغیر حمل مقصد 2 3 مبدا 2 3 4 20 30 0 40 2 30 20 40 50 5 40 0 30 20 3 میزان تقاضای مقصد جدول 2- مقادیر هزینهی ثابت حمل در مساله FCTP هزینهی ثابت حمل مقصد 2 3 مبدا 2 3 4 0 0 0 0 30 30 30 30 20 20 20 20 فرض میکنیم /=ε دقت مطلوب باشد. همچنین مقادیر حد باال و پایین اولیه الگوریتم را به ترتیب + و - در نظر میگیریم. به منظور شروع الگوریتم بندرز نیاز به یک جواب اولیه موجه برای متغیرهای صفر و یک مسیرها در ابتدا باز هستند. در واقع فرض میکنیم که رابطه زیر برقرار است: y داریم. بدین منظور فرض میکنیم که تمامی
y 0 = )52( تکرار اول- گام اول( با در نظر گرفتن این مقدار اولیه برای متغیرهای صفر و یک در تکرار اول الگوریتم میتوانیم زیر مساله دوگان را بازنویسی کنیم. داریم: Max D = ( s )u + d v + ( M )w )53( u + v w c u 0, v 0, w 0 )54( )55( از حل بهینهی این مساله داریم: u 2 = 2 v =, v 2 = 4, v 3 = 3 w,2 =, w 4,3 = و مقدار بهینهی تابع هدف برابر 22 و سایر متغیرها برابر صفر هستند. بنابراین میتوانیم برش بهینگی زیر را به مساله اصلی محدود اضافه کنیم: Z 0y, + 30y,2 + 20y,3 + 0y 2, + 30y 2,2 + 20y 2,3 + 0y 3, + 30y 3,2 + 20y 3,3 + 0y 4, + 30y 4,2 + 20y 4,3 0y,2 20y 4,3 + 250 )59( همچنین حد باالی الگوریتم به صورت زیر بروز میشود: UB = mn {+, f + 220} = mn{+, 240 + 220} = 460 )57( تکرار اول-گام دوم( مساله اصلی محدود را با توجه به برش بهینگی )59( و به منظور یافتن حد پایین الگوریتم به صورت زیر بازنویسی میکنیم. mn Z y )58( Z 0y, + 20y,2 + 20y,3 + 0y 2, + 30y 2,2 + 20y 2,3 + 0y 3, + 30y 3,2 + 20y 3,3 + 0y 4, + 30y 4,2 + 250 )56( y {0,} )9( از حل بهینه این مساله داریم: y 4,3 = همچنین مقدار بهینهی تابع هدف برابر 25 و سایر متغیرها برابر صفر هستند. در نتیجه داریم: = 250 LB
از آنجایی که هنوز دقت مطلوب ارضا نشده است )0. > 20 = 250 460 = LB )UB مجددا با در نظر گرفتن جواب بهینهی صفر و یک در این تکرار به گام اول الگوریتم برگشته و تکرار دوم را آغاز میکنیم. با ادامه الگوریتم بندرز به همین ترتیب مشاهده میشود که الگوریتم در نهایت با ایجاد 3 برش بهینگی و برش شدنی بودن و در طی 4 تکرار همگرا میشود. جدول زیر حدود باال و پایین الگوریتم را در هر تکرار نشان میدهد. جدول 3- نتایج حاصل از تکرارهای الگوریتم بندرز تکرار حد پایین 25 حد باال 49 49 49 49 49 49 49 4 4 35 25 35 35 35 29 3 3 33 33 33 34 34 34 34 34 34 35 2 3 4 5 9 7 8 6 2 3 4 همانطور که از جدول 3 مشخص است مقدار بهینه تابع هدف برابر 35 است. مراجع [ ] J. F. Benders, "Parttonng procedures for solvng mxed-varables programmng problems," Numersche mathematk, vol. 4, pp. 238-252, 962.