פיסיקה קוונטית 1 מרצה: אסא אוירבך 3 בפברואר 009 מחברת זו נכתבה משמיעה בהרצאות של פרופ אסא אוריבך, ומפורסמת ברשותו. המחברת עלולה להכיל חוסרים וטעויות. אין הטכניון או מי מטעמו ובפרט, הפקולטה לפיזיקה, על מרציה ומתרגליה, אחראים לתוכנו של מסמך זה. רשימות אלו נבדקו ותוקנו על ידי אסא הערות והארות, אתם מוזמנים לשלוח ל ronen@tx.technion.ac.il הערה: וקטורים מסומנים באוטויות מודגשות (r) ולא בחץ ) r ). החץ עושה בלאגן טיפוגרפי... תוכן עניינים 5 היסטוריה I 5........................................ פיסיקה קלאסית 1 5 חלקיקים........................................ 1.1 6.......................................... גלים 1. 7 תכונות גלים................................ 1..1 7 רצף ובדידות...................................... 1.3 7 ההשערה האטומית:............................ 1.3.1 7................................... מטען: 1.3. 8 אפקט פוטואלקטרי.................................. 1.4 8 ניסוי ראטרפורד.................................... 1.5 8........................ מודל האטום של תומפסון 1.5.1 9................................... רנטגן 1.5. 9................................ פיזור בראג 1.5.3 9............................... דיסון ג רמר 1.5.4 9 ספקטרום של גזים................................... 1.6 9.......................... הפוסטולטים של בור 1.6.1 10....................................... דואליות גל/חלקיק 10 קו זמן בהתפתחות הקונספט..............................1 11 פיזור קומפטון...................................... 1................................ מודל האטום של בוהר.3 1 דה ברולי.........................................4 1.................................. ניסוי דיויסון ג רמר.5 1
תוכן עניינים תוכן עניינים.6 פיזור של גל מישורי.................................. 13.7 דואליות גל חלקיק.................................. 14.7.1 דוגמאות.................................. 14.8 חבילת גלים...................................... 15.8.1 דוגמא חבילת גלים גאוסינית...................... 15.9 משוואת התנועה לגל................................. 16.9.1 תווך דיספרסיבי.............................. 16.10 מהירות חבורה ופאזה................................. 16 3 טרנספורם פוריה........................................ 17 3.1 תכונות טרנספורם פוריה............................... 18 3. דוגמאות........................................ 19 3.3 עוד תכונות. Scaling............................... 19 II מבוא מתמטי 1 4 ערכי תצפית........................................... 1 4.1 פונקצית גל צפיפות הסתברות.......................... 1 4. הסתברות....................................... 1 4..1 סופרפוזיציה................................ 1....................... 4.. ערך תצפית......... 4..3 שונות (בריבוע) ) x0 (x...................... 3................................... טרנספורם פוריה 4.3 3 חישוב p לפי ψ(x)........................... 4.3.1 4....................... רשימת אופרטורים לינארים 4.3. 5.............................. ערך התצפית של האנרגיה 4.4 5..................... דוגמא: חבילת גלים גאוסיאנית 4.4.1 6.......................... התנע בשלושה מימדים 4.4. 6......................................... מרחבי הילברט 5 7................................. אי שוויון קושי שוורץ 5.1 8.............................. הצגת דיראק Bra-Ket 5. 30................................... הצמדה הרמיטית 5.3 30 דוגמאות.................................. 5.3.1 30 תכונות הצמדה הרמיטית......................... 5.3. 31................................ הגדרת מרחב הילברט 5.4 31 דוגמא:................................... 5.4.1 3 עוד פעם הצמדה הרמיטית........................ 5.4. 3........................... צמוד הרמיטי של P 5.4.3 33 ערכים עצמיים ומצבים עצמיים של אופרטורים................... 5.5 33........................... דוגמא פונקצית δ 5.5.1 34........................ דוגמא אופרטור הגזירה 5.5. 34.................................. בסיס אורתונורמלי 5.6 35.................................... אופרטור הטלה 5.7 35..................................... פיצול היחידה 5.8
תוכן עניינים תוכן עניינים 36 יחסי חילוף....................................... 5.9 38 עקרון אי הודאות................................... 5.10 39............................. אופרטורים ומצבים עצמיים 5.11 40...................... הצגה של אופרטורים באמצעות ברה קט 5.1 41................................... הצגות של x ו p 5.13 41 טורי פוריה. Sine Transforms......................... 5.14 4 חלקיק בתיבה............................... 5.14.1 44 הקורס בפיסיקת קוונטים מתחיל כאן III 44 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים.............................. 6 44..................................... מצב המערכת 6.1 44.................................... גדלים פיסקלים 6. 44.......................... תוצאות מדידה של גודל פיסיקלי 6.3 45.............................. סטטיסטיקה של המדידה 6.4 46................................ ערך תצפית 6.4.1 46 מופע (פאזה)של מצב ψ......................... 6.4. 47....................... קריסת פונקצית גל בעקבות המדידה 6.5 48................................... מדידה 6.5.1 48 החתול של שרדינגר............................ 6.5. שיר/ מאמר בחרוזים מאת סיסל אדמס Straight Dope מופיע 6.5.3 49 ב moodle................................. 49................................... משוואת שרדינגר 6.6 50 דוגמה: בור אינסופי............................ 6.6.1 50........................... ליכסון ההמילטוניאן 6.6. 51.......................... פתרון כללי של משוואת שרדינגר 6.7 51........... תכונות כלליות של פתרונות של משוואת שרדינגר 6.7.1 5........................... דוגמה בור פוטנציאל אינסופי 6.8 55...................................... חבילת גלים 6.9 55................................... משפט אהרנפסט 6.10 56................... דוגמה חלקיק חופשי במימד אחד 6.10.1 57......................................... מינהור 6.11 58.................................... תכונות משוואת שרדינגר 7 58.............................. פוטנציאל קבוע למקוטעין 7.1 60.................................. עקרון הואריאציה 7. 63....................................... אוסצילטור הרמוני 8 63............................. הגדרת סקאלות מרחק וזמן 8.1 65.......................... התנהגות אסימפטוטית 8.1.1 65.............................. אופרטורי העלאה והורדה 8. 65................................ מצבי מספר 8..1 67............................. פתרונות אוסצילטור הרמוני 8.3 69.................................... התמרת הרמיט 8.4 70...................................... ערכי תצפית 8.5 3
תוכן עניינים תוכן עניינים 8.6 אבולוציה (דינמיקה) של ערך התצפית של x במצב ψ.............. 71 8.7 הסתברות....................................... 7 8.8 שני אוסצילטורים................................... 73 8.9 שני אוסצילטורים צמודים.............................. 74 75 בעיות עם מספר מימדים IV 75........................................ חלקיק על טבעת 9 76 המילטוניאן חופשי............................. 9.0.1 77................................. חלקיק בשדה מגנטי 9.1 77 חלקיק על טבעת עם שטף מגנטי. Φ.................. 9.1.1 78.................................. מהירות 9.1. 79 אפקט בוהם אהרונוב................................. 9. 79................................... חוק שימור הזרם 9.3 79........................ זרם של צפיפות הסתברות 9.3.1 81 תנע זוויתי והצגות של תנע זוויתי................................ 10 81 יחסי החילוף...................................... 10.1 83.............................. אופורטורי העלאה והורדה 10. 86.......................... נחשב אלמנט מטריצה 10..1 88............................. הצגות תנע זוויתי אורביטלי 10.3 88 בקוארדינטות קרטזיות......................... 10.3.1 88 בקוארדינטת כדוריות........................... 10.3. 89................ תנע זוויתי כאופרטור דיפרנציאלי ב R 3 10.3.3 90............................. מרחב שפת כדור 10.3.4 91................ מציאת הפונקציות העצמיות של L z, L 10.3.5 9......................... תכונות של φ) Y l,m (θ, 10.3.6 9.................. הכינויים של הפונקציות בפי כימאים 10.3.7 9............................ טרנספורם הרמוניות כדוריות 10.4 93 אטום המימן........................................... 11 94 המילטוניאן אטום המימן............................... 11.1 96 הפרדת משתנים.............................. 11.1.1 96 נגדיר. scaling.............................. 11.1. 97.......................... לכן, נגדיר את הפתרון 11.1.3 98.................................. הפתרון: 11.1.4 100........................... השוואה למודל בוהר 11.1.5 101 פונקצית גל של אטום המימן............................. 11. 101................................ מצב היסוד 11..1 10.......................... סופרפוזיצה של מצבים 11.. 10............................................... ספין 1 103 הטבלה המחזורית................................... 1.1 104..................................... מומנט מגנטי 1. 1.3 נסיון שטרן גרלך ונפלאות המדידה......................... 106 1 1.3.1 מרחב ספין.............................. 106 4
1 פיסיקה קלאסית 1.4 פרצסיה של ספין................................... 110 111.................................... RMN 1.4.1 111 תורת ההפרעות V 111............................................... כללי 13 11............................ למשל אטום המימן 13.0. 11............................ אוסצילטור הרמוני 13.0.3 11.................................. תורת ההפרעות הלא מנוונת 14 113.................................. המטרה 14.0.4 113.............................. חישוב של C mn 14.0.5 114 סדר שני. λ.............................. 14.0.6 114.................................. מסקנות 14.0.7 114........................ אופרטור הרמוני עם הפרעה לינארית 14.1 116..................................... אפקט סטרק 14. 117.............................. תורת ההפרעות בהצגה מטריציונית 15 118.............................. דוגמה 15.0.1 118.................................... תורת ההפרעות המנוונת 16 10 חישוב אוסצילטור הרמוני דו מימדי........................ 16.1 11...................... אפקט סטארק המנוון ברמה = n. 16. 1 מתי אפקט סטארק שגוי?......................... 16..1 VI נספחים 1 א אלגברה ואופרטורים...................................... 1 1.א אלגברה לינאירת בשפת דיראק........................... 1.א הזזות וסימטריות................................... 13.1.א אופרטור הסיבוב ב. R 3........................ 15 חלק I היסטוריה 1 פיסיקה קלאסית 1.1 חלקיקים מכניקה קלאסית r = (x, y, z), r R 3 (1.1) 5
1 פיסיקה קלאסית 1. גלים הוקטור r הוא בלתי תלוי בהצגה, אך הייצוג שלו ((z,x)),y הוא תלוי הצגה. התיאור השלם של ההסטוריה של חלקיק נתון על ידי p(t) r(t), כאשר p = m r לזוג p(t)) (r(t), קוראים מצב החלקיק. דטרמניזם קלאסי אם ידועים ) i r), i, p בזמן = 0 t, עבור כל החלקיקים, ואת כוחות הוגמלים בינהם, ניתן לחשב את (t)) r )לכל i (t), p i.t מצב של חלקיק,r p ללא כוחות על החלקיק, הוא נע בקו ישר. התנע שלו נשמר p(t) = p(0) (1.) r(t) = r 0 + p m t (1.3) חלקיק בתוך פוטנציאל (r) V מתואר על ידי האנרגיה שלו E = V (r) + 1 mv הפוטנציאל והאנרגיה מחלקים את המרחב לשני תחומים אזור קלאסי מותר ו אזור קלאסי אסור אסור כאשר האנרגיה הקנטית שלילית החלקיק לא יכול להיות מצוי בהם. בפוטנציאל מרכזי, ( r ),V (r) = V התנע הזוויתי L = r p נשמר. דינמיקה שינוי בזמן של המצב m r = V (r) (1.4) ול N חלקיקים: m i r i = V (r 1,..r n ) = F i (1.5) 1. גלים גל סקאלרי לינארי פשוט: ϕ(x, t) = xϕ 1 c t ϕ = 0 (1.6) הגודל c, מהירות הגל, נקבע לל ידי התווך של הגל. x±,ϕ (x, t) או פתרונות: תלויים בתנאי התחלה (x) ϕ (x, 0) = ϕ L/ 0 ותנאי שפה = 0 ϕ (x, t) = 0 ϕ(x, t) = { f(x ct) f(x + ct) lim x פתרונות נוסעים 6
1 פיסיקה קלאסית 1.3 רצף ובדידות 1..1 תכונות גלים סופרפוזיציה אם t) ϕ 1 (r, ו ( t ϕ (r, אזי ϕ 3 = aϕ 1 + bϕ (1.7) התאבכות: ביטול או חיבור של גלים שחיים באותו זמן/מקום. גלים עומדים לדוגמא, במיתר, כאשר הקצוות אינם נעים. = 0 ϕ(l) (0)ϕ. =,0 הפתרונות של גלים עומדים: ϕ(x, t) = f(t) g(x) (1.8) לדוגמא, (x.ϕ(x, (t = sin(ωt) sin(k, הנקודות שבהן הגל מתאפס בכל זמן נקראות צמתים.Antinodes והנקודות עם המשרעת המקסימלית נקראות (Nodes) הרשימה של הפתרונות הנותרים היא רשימה דיסקרטית של תדירויות ואורכי גל של גלים עומדים. עבור גל באורך L: ω = ck n n = 1,, 3.. (1.9) k n = π λ n (1.10) λ n = L n (1.11) 1.3 רצף ובדידות 1.3.1 ההשערה האטומית: חומר מורכב מיחידות בדידות, בלתי ניתנות לחלוקה 1.3. מטען: מופיע בחומר ביחידות בדידות של e. יחידת מטען הנמוכה ביותר היא.e = 1.6 10 14 C תומסון מדד את היחס e של אלקטרון, על ידי האצת אלקטורנים בשדה חשמלי, והעברתם בקבל, שם m האלקטרונים מוסטים כפונקציה של 7. e m
1 פיסיקה קלאסית 1.4 אפקט פוטואלקטרי 1.4 אפקט פוטואלקטרי נמצא על ידי ניסוי של הרץ, בקליטה ושידור של גלי רדיו. הרץ גילה שאור שפוגע בשפופרת בקטודה שישמשה לישור הזרם, גורם להופעת זרם חשמלי. לנרד גילה שמתח העצירה אינו תלוי בעוצמת האור, וכן תלוי בתדירות האור. הסבר האפקט ניתן על ידי אינשטיין ב 1905: מתח העצירה ev 0 = h f φ (1.1) פונקצית העבודה φ מהקרינה יש מנת אנרגיה h, f כאשר f התדירות, בהרץ ו h הינו קבוע פלאנק h = 6.6 10 3 J sec (1.13) הקבוע הוצג כמה שנים קודם על ידי פלאנק, כדי להסביר קרינת גוף שחור. 1.5 ניסוי ראטרפורד 1.5.1 מודל האטום של תומפסון מטען החיובי בחומר מרוח רציף. זווית הסטייה של חלקיקי אלפא (גרעין הליום) שעוברים דרך חומר לפי המודל של תומפסון סקאלת האורך היא המרחק בין אטומים בסביבות = 1 R. תקיפה ניצבת: p = F t (1.14) F = Q 1q r (1.15) R והזמן הוא מסדר גודל של t. = R θ החלקיק יקבל מקסימום תנע ניצב בגודל p y = kqq R R (1.16) v p = m α v (1.17) tan θ = p ( KqQ ) y = ( R p 1 x m αv ) = E colomb (1.18) E kinetic 4.5 10 4 (1.19) θ = 0.06 (1.0) 8 ניסוי רטרפורד חלק מחלקיקי האלפא הוחזרו בזווית הרבה יותר גדולה. חלקם חזרו אחורה.
1.6 ספקטרום של גזים. 1 פיסיקה קלאסית מה R של הגרעין לפי החישוב לעיל? = 1 θ tan 1 = kq αq ( 1 mv) R (1.1) R 4.6 10 4 (1.) ( ) I (.I(θ) = 0 kze 1 (באופן כללי, הנוסא הקלאסית, השטף בכיוון θ, mv sin 4 ( θ ) מכאן הגיע ישירות המודל הפלאנטרי של האטום אלקטורנים מקיפים גרעין קטן. אלקטרון מואץ בתנועה מעגלית אמור לפלוט קרינה ולדעוך. בעית יציבות החומר. (עד תורת הקוונטים) 1.5. רנטגן קרני x נוצרו על ידי שפורפרת קרן קטודית. ליצור אלומת מטרתה: שפורפרת ואקום עם אלקטרודות בצדדים נקודתיים קטודה ואנודה. אלקטורנים שמואצת מהקטודה לאנודה, על ידי חימום הקטודה. כשאלקטרון שמואץ בלמעלה מ 1000 וולט, פוגע באנודה ממתכת כבדה נפלטת קרינה אלטגומנטית מסוג קרינת רנטגן. 1.5.3 פיזור בראג לקרינת x באורך גל בסדר גודל של. כאשר מפזרים קרינת X על גביש (מוצק מסודר) רואים תמונות התאבכות הדומות לפיזור בשריג. לפי הפיזור בראג שחזר את המבנה הגבישי של החומר. 1.5.4 דיסון ג רמר פיזור אלקטרונים 1.6 ספקטרום של גזים. לגזים יש קוים ספקטרלים תדירויות מסויימות שבהן פליטת הקרינה היא רבה. בור מצא בצורה מדויקת את הקו הספקטרלי f n בהסבר שגוי. 1.6.1 הפוסטולטים של בור אלקטרונים יכולים להמצא אך ורק במסלולים מסויימים. (t) i) =,1, (3 r i סטציונרים. פליטת אור אפשרית רק במעבר בין המסלולים הללו, ומאזן האנרגיה בין מסלול i ל j נתון על ידי hf ij = E i E j Z. רשימת אנרגיות קבועה תלויה במספר האטומי E i עקרון ההתאמה באנרגיה גבוה, המסלולים יתאימו לציפיות של מכניקה קלאסית 9
דואליות גל/חלקיק מסלול מעגלי של אלקטרון סביב z פרוטונים לשניהם מטען e±. רדיוס המסלול r. mv r = k ze r (1.3) R = kze kv (1.4) E(r) = 1 mv kze r = 1 kze R (1.5) (1.6) המסלול המותר מקיים: התנע הזוויתי הוא כפולה שלמה של. L n = mvr n = n n = 1,, 3 (1.7) ( ) R n = n mkze = na B z (1.8) כאשר = 0.59 B a רדיוס בור. ( ) E n = kze = z mke 4 1 R n n (1.9) סדרת ליימן סדרת מעברים ל 1 = n סדרת בלמר סדרת מעברים ל = n hf nm = E 1 ( 1 n 1 m ) (1.30) דואליות גל/חלקיק.1 קו זמן בהתפתחות הקונספט 1895 רנטגן גילה את קרני ה X לאור יש ספקטרום באורכי גל קצרים משנצפו עד אז השימוש בקרני X אישר את המבנה האטומי 10
. פיזור קומפטון דואליות גל/חלקיק 1898 מארי קירי גילתה את הקרינה הרדיואקטיבית 1901 מקס פלאנק (בהתבסס על בולצמן), הניח קווינטות של האור hf) מנות אנרגיה של אור) הסביר קרינת גוף שחור 1905 אינשטין מסביר את האפקט הפוטואלקטרי hf) E ). = האור מורכב ממנות 1911 ניסוי ראטרפורד גרעין האטום מאוד קטן במוצק. 1913 נילס בוהר הסבר לספקטרום הפליטה (והבליעה) של המימן. (מדויק מספרית לגבי מימן, מקורב ליסודות אחרים בטווחי קרינת X) 1915 פרנק הרץ האצת אלקטרון בתוך שפופרת מינימום אנרגית יינון. 19 ניסוי קומפטון פיזור של אור על אלקטרון. חיזוק לחלקיקיות של האור..λ = h p 194 דה ברולי אורך גל של אלקטרון 198 דויסון ג רמר אישור כי אלקטרונים מבצעים התאבכות, על ידי פיזור בראג מסריג.. פיזור קומפטון נניח יחידת אנרגיה פוטון מתנגש אם אלקטרון. האנרגיה היא E, = hf מתנגש באלקטרון עם מסה m. e האלקטרון רותע בזווית θ e עם תנע p e והפוטון רותע לתדירות f ובזווית θ γ משימור אנרגיה: hf + m e c = hf + m ec 4 + p ec (.1) שימור תנע בציר x hf c Momentum of photon = hf c cos θ γ + p e cos θ e (.) 0 = hf λ λ = c f c f = ובציר y c sin θ γ + p e sin θ e (.3) והנעלמים שלנו.p e, γ, θ γ, θ e הפתרון: h m e c (1 cos θ γ) (.4) היא נוסחאת קומפטון. h m ec ) ( הוא אורך גל קומפטון והוא תכונה של האלקטרון. 11
דואליות גל/חלקיק.3 מודל האטום של בוהר.3 מודל האטום של בוהר התנה הזוויתי של האלקטרון יכול לקבל מסלולים ספציפיים L = P R = n (.5) R n = n a B z (.6) E n = z n E 1 (.7) f nm = z E 1 ( 1 n 1 m ) ספקטרום הבליעה/פליטה קווים דיסקרטיים z ( f n (המספר ) בניסוי מוזלי מדידת ספקטרום הפליטה של קרני x במגוון חומרים,ורישום של הגרף האטומי לפי תדירויות הפליטה) הנתונים שאסף התאימו לנוסחאת בור. ( 1 c),c) f L = (z קבוע כלשהו) 1 n ) קווי ה L, f K = (z 1) ( 1 1 n ) קווי ה K.4 דה ברולי ההנחה של בוהר.L = p n R n = n דה ברולי יצא מההנחה שמקרה כזה של קוונטות נראה כמו תכונה גלית של גלים עומדים במסלול סגור על מרחב קומפקטי. גלים עומדים על מעגל ברדיוס R n מקיימים πr n = nλ אורך הגל של החלקיק. p n R n = n (.8) πr n = nλ (.9) nλ nh p n = n = π π (.10) p = h λ (.11).5 ניסוי דיויסון ג רמר פיזור בראג שימוש בגביש כשריג עקיפה אל מול קרן של אלקטרונים. (ציור ושרטוטים) מסקנה: גל חוזר קוהרנטי בזווית θ המקיימת את התנאי b. cos θ = mλ בזוויות הללו תבצר חזית גל אחידה. 1
דואליות גל/חלקיק.6 פיזור של גל מישורי איור 1: פיזור בראג, מתוך ויקיפדיה (רשיון (GF DL בניסון של דיויסון ג רמן הם ביצעו פיזור בראג של אלקטרונים מגביש מה שהוכיח תכונות גליות של אלקטרונים. λ = h p = θ = λ d h m e v (.1) (.13).6 פיזור של גל מישורי.k בכיוון,λ = π k גל מישורי (0 e ik(r r נד עם הגל פוגע בשריג עם נקודות R i = n x ax + n y aŷ + n z aẑ עבור שריג קובי עם קבוע שריג.a (i = n x, n y, n z ) הגל מגיע עם כיוון k ומוחזר בכיוון k. I(k) = ψ k (k ) (.14) בהנתן שהגל הנכנס בכיוון k. ψ (k ) = R i e ik(r i r 0 ) e ik(r R i) = e ikr 0+ik r R i ( e i(k k )R i ) }{{}}{{} S(k k ) (.15) (.16) כאשר S היא פונקצית המבנה של השריג ( factor Structure ). ψ k (k ) = S (k k ) (.17) (.18) (.19) 13
.7 דואליות גל חלקיק דואליות גל/חלקיק ו S (Q) = π G δ (Q G) (.0) k Q = k וקטור גל יחסי. משמעות הפונקציה הפונקציה מתאפסת עבור כל הכיוונים, פרט למספר סופי של כיוונים G, שבהם יש נקודות אור. G מקיים את התנאי G R n = πn כאשר.n Z כך ש S (Q) = R n e iqrn = N (.1) כאשר N הוא גודל השריג. G = πm xx + πm yŷ + πm zẑ a a a (.) G R = π (n Z) (.3).1 cm sec.7 דואליות גל חלקיק.7.1 דוגמאות אורך הגל של גרם מים שנע במהירות λ = h mv = 10 6 cm (.4) אורך גל מאוד קטן לכן לא רואים התאבכויות עבור חומר מקרוסקופי. בתרמודינמיקה מה אורך הגל (הממוצא) של אטום מימן בטמפרטורת החדר, T? = 300 K E = k b T == 0.05eV = 4 10 1 J (.5) λ = ואורך הגל יהיה h ke = 10 8 cm Å (.6) המרחק בין האטומים בלחץ אטמוספירה ( ) 1 10 3 3 l = = 3 10 5 cm (.7) 6 10 3 כלומר, פי 1000 יותר מאורך הגל גם כאן אין לנו השפעות של האפקטים הקוונטים. אפשר לקרר גז ולהגיע למצבים תרמודיניים מעניינים. 14
.8 חבילת גלים דואליות גל/חלקיק.8 חבילת גלים גל מישורי אינסופי, במימד אחד: u(x) = e ikx (.8).λ = π עם k אם אנחנו רוצים מיקום של הגל, אנחנו צריכים חבורת גלים. ניתן לתאר מקום של הגל על ידי מרכז הכובד של הפונקציה. אזי, נגדיר חבילת גלים u(x) = dk u(k)e ikx (.9).8.1 דוגמא חבילת גלים גאוסינית u(k) = 1 e (k k 0) k (.30) π k המקסימום ב k, 0 הרוחב הוא k (במקום שבו הפונקציה דועכת ל 1 e) והפונקציה מגדירה חבורת גלים u(x) = dk» 1 e π k. הטריק החלפת משתנים! השלמה לריבוע והזזה: u(x) = (k k 0 ) +ikx k dk eik = π a (.31) אינטגרל של גאוסיאן y = k k 0 ואז dk = dy ו dy e y +i(y k 0 )x k = (.3) = e ik 0x 1 k x dy e 1 [y i k x] k (.33) נקבע y = y i k x ו dy dy = ונקבל u(x) = e ik 0x 1 k x 1 (.34) חבילת גלים אם החבילה מרוכזת סביב וקטור גל k 0 ברוחב פס, k במרחב המקום נקבל פונקציה 1 ממוקמת עם רוחב. k זהו: עקרון אי הודאות לא ניתן להגדיר בו זמנית גם מקום וגם אורך גל בדיוק גבוהה כרצוננו. 1 k ) 0 u(x x תהיה חבורת גלים המרוכזת ב x 0 עם רוחב u(x x 0 ) = e ik(x x 0) (x x 0 ) k (.35) ההשתנות של גלים בזמן תלויה במשוואת הגלים של הטווח. 15
דואליות גל/חלקיק.9 משוואת התנועה לגל.9 משוואת התנועה לגל xφ 1 c t φ = 0 (.36) φ k = e ikx iωt (.37) אז כלומר ω k c k = 0 ω k = ck (.38) u(x, t) = = ואז dk e ikx iω ktū(k) (.39) dk e ik(x ct) ū(k) (.40) = u(x ct) (.41) כלומר, כל החבילה נעה ימינה במהירות c..9.1 תווך דיספרסיבי עבור גל בריק.ω(k) = c k עבור גל קול בתווח,.ω(k) ck. e ikx iω(k)t ω (k) = ck + c k +... כיצד חבילת גלים משתנה בזמן כאשר מתקבל ω(k) כללי?.10 מהירות חבורה ופאזה.v g = ω k k 0 נגדיר: מהירות חבורה.v ph = ω(k 0) k 0 מהירות פאזה נקח חבילת גלים, מרוכזת ב k. 0 צריך למצוא: u(x, t) = du ū (k k 0 ) e i(kx ω kt) (.4) נפתח. ω k / ω k 1 k ω (k) = ω k0 + ω k k 0 (k k 0 ) + 1 ω k (k k 0) +... (.43), כלומר ω k k ω התנאי להזנתחת האיבר הריבועי הוא ש (k ) k 16.
3 טרנספורם פוריה u (x, t) e i(k 0x iω 0 t) נציב את הפיתוח של (k) ω ונקבל dk ū (k k 0 ) e i(k k 0x) i ω k k 0 (k k 0 )t }{{} u 0(x ω k k 0 t)=u 0 (x v gt) (.44) = e i(k 0x ω 0 t) u 0 (x v g t) (.45).φ(t) = k 0 (x ω k 0 k 0 t ) והפאזה, חבורה ופאזה שווים זה לזה רק כשהשיפוע המקומי והשיפוע הגלובאלי של ω(k) הם שווים. u 0 e (x x 0 ) ילך כמו k u אזי,ū e (k k 0 ) אם ū הוא גאוסיאן k 3 טרנספורם פוריה.G(k) = 1 π הגדרה 3.1 טרנספורם פורייה: dx f (x) e ikx נניח שהאינטגרל קיים לכל k. (ל f יש נורמה סופית) נניח < f(x) נרשום:.F(f) = g משפט 3. (פוריה) f(x) = 1 אם g(k) קיים (מעל המרוכבים), אזי, נגדיר טרנספורם הופכי dk g (k) π e+ikx f(x) f. dx ו f שקולות (לכל מטרה פיסיקלית, f(x) כך ש f f כך שמתקיים: = 0 הפונקציות שוות, ולכן נכתוב f) = f משפט 3.3 (אויילר) dk e ixk g(k) = dx e ik(x x 0) = πδ (x x 0 ) (3.1) = 1 π dk e ixk ( 1 π ) לא ניתן כאן את ההוכחה למשפט זה. dx f(x ) dk e ik(x x ) הוכחה: (למשפט פורייה) נחשב את החלפת סדר אינטגרציה, ולדבר על פונקצית דלתא של דיראק dx e ikx f(x) (3.) (3.3) dx f(x )δ (x x ) = f(x) (3.4) הדברים הלא חוקיים שעשינו שם: כפונקציה מוגדרת היטב. 17
3.1 תכונות טרנספורם פוריה 3 טרנספורם פוריה Fourier, from Xkcd.com איור : g 1 (k) = 1 π g (k) = 1 π 3.1 תכונות טרנספורם פוריה נתונות פונקציות (x) f (x), f 1 dx e ikx f 1 (x) (3.5) dx e ikx f (x) (3.6) dk (f 1, f ) = I = dx f 1 (x)f (x) = dx e ikx f1 (x ) נגדיר אינטגרל חפיפה (Overlap) f 1 (x)f (x) (3.7) נראה ש dk g 1(x)g (k) (3.8) הוכחה: dx e ixk f (x) = (3.9) = 1 π = dx dxf1 (x )f (x ) du e ik(x x ) } {{ } πδ(x x ) (3.10) dx f 1 (x )f (x ) (3.11) (כאשר f הוא הצמוד הקומפלקסי של f) 18
3. דוגמאות 3 טרנספורם פוריה טרנספורם פוריה הוא אופרטור לינארי: F (af 1 + bf ) = af (f 1 ) + bf (f ) = ag 1 + bg F(f ) = 1 π = 1 π = 1 π = 1 π ( ) f dx e ikx x dx e ikx x dx e ikx 1 π dk (ik ) g (k ) ( 1 π ) dk e ikx gx) dk (ik ) g(u)e ik x dx e i(k k)x } {{ } πδ(k k) אם ) F(f קיים, אזי (3.1) (3.13) (3.14) (3.15) = ikg (k) (3.16) כלומר, F(f ) = ikf(f) (3.17) באופן כללי, F(f (n) ) = (ik) n g(k) (3.18) וכל זה בתנאי שהטרנספורם קיים..g(k) = e k אז a f(x) = e x a 3. דוגמאות גאוסיאן:.g(x) = 1 π dx e ikx δx = 1 π, f(x) = δx 3.3 עוד תכונות Scaling F(f(a x)) = 1 dx e ikx f(a x) (3.19) π = 1 1 dx e i k a x f(x ) (3.0) a π = 1 ( ) k a g (3.1) a 19 כאשר 0,a
3.3 עוד תכונות Scaling 3 טרנספורם פוריה F (f(x) cos (k 0 x)) = 1 π פונקציה מאופננת: x).f = f(x) cos (k 0 dx e ikx eik 0x + e ik 0x f(x) (3.) = 1 [g (k + k 0) + g (k k 0 )] (3.3) f(x) = { 1 x [ a, a] 0 x / [ a, a] פולס: g(x) = 1 π a a dx e ikx = 1 π e ika e ika ik = sin (ka) k π (3.4) העובדה שפונקציה דועכת לאט במרחב וקטור של k, אומרת שיש הרבה משקל לאוכי גל קצרים. בפונקציה כללית אם יש אי רציפות במרחב x, לטרנספורם פוריה שלה כנראה יהיו תדרים גבוהים שיסבירו את אי הרציפות גם אי רציפות בנגזרות אומר את זה. 0 x / [ a, a] f x+a פונקצית משור: 0] [ a,.f(x) = x הנגזרת שלה היא גל ריבועי: = (x) a x+a x [a, 0] a 0 x / [ a, a]. + 1 x [ a, 0] a 1 x [0, a] a x x 1 הנגזרת של פונקצית המדרגה הוא פונקציה δ ) 0 dx δ (x x 0 ) = θ(x x θ x = δ(x) ולכן, לפי המשפט היסודי.θ (x 1 x 0 ) f = 1 a δ (x + a) a δ(x) + 1 δ (x a) (3.5) a F(f ) = 1 [ e ika π a a + 1 ] a e ika (3.6) ( ) cos ka 1 = (3.7) π F(f) = π ( 1 k a ) ( ) cos ka 1 a (3.8) 1 עבור k גדול. דועך כמו k 0
4 ערכי תצפית חלק II מבוא מתמטי 4 ערכי תצפית 4.1 פונקצית גל צפיפות הסתברות צפיפות הסתברות למצוא את החלקיק ρ(x) במקוםxנתונה על ידי (x).ρ(x) = ψ dx ψ(x) = ולכן, P (x1,x ) = x x 1 הסיכוי למצוא חלקיק בקטע ] x] 1, x נתון על ידי האינטרגל ρ(x) dx 1, מנורמל. בקטע קצר, x x 1 = x P x, x = ρ(x) x (4.1) ולצפיפות ההסתברות (במימד אחד) יש ממימדים של אחד חלקי אורך. במכניקה קלאסית, חלקיק קיים במצב ψ(x) באנלוגיה למצב,x) (p R 6 המתאר מצב של חלקיק קלאסי. קינמטיקה תאור מצבי המערכת ))) 0 (x(t 0 ), p(t דינמיקה איך המצבים משתנים בזמן (F (mẍ = נתחיל מקנמטיקה קוונטית להסביר את מצב המערכת בזמן מסויים. N דוגמא: חבילת גלים גאוסיאנית ψ(x) = Ne x 4a e ikx (4.) נחשב את N כך שהפונקציה תהיה מנורמלת dx e x a = N πa = 1 (4.3) N = ( 1 πa ) (4.4). x x 1 מה הסיכוי למצוא את החלקיק בין x 1 ל x? נעשה ψ(x) 4. הסתברות 4..1 סופרפוזיציה ψ 3 (x) = aψ 1 (x) + bψ (x) (4.5) 1
4 ערכי תצפית 4. הסתברות כאשר ψ 3 מנורמלת. ρ 3 (x) = ψ 3 (x) ρ 1 (x) + ρ (x) (4.6) אין עקרון סופרפוזיציה לצפיפוץ הסתברות. 4.. ערך תצפית x = dx xρ(x) = dx x ψ(x) (4.7) ) 0.ψ = Ne (x x ערך התצפית לדוגמא, 4a +ikx x = dx (x x 0 ) ψ + dx x 0 ψ = 0 + x 0 (4.8) החלק הראשון הוא 0 מטעמי סימטריה. כלומר עבור חבורת גלים מרוכזת ב x, 0 ערך התצפית הוא x. 0 4..3 שונות (בריבוע) ) x0 (x (x x0 ) = N 1 = N dx (x x 0 ) e (x x 0 ) a (4.9) dx e (x x 0 ) a (4.10). dye cy = π c ( d dy e cy = dc π c נחלק את המשוואות, כדי שיצטמצמו דברים. ידוע כי ) ( = dy y e cy = 1 ) πc 3 (4.11) = 1,c נציב ונקבל: נזהה a (x x 0 ) = 1 πc 3 πc 1 = 1 c 1 = a (4.1) השונות deviation) (mean square root (x x0 ) = x + x 0 x0 x = (4.13) = x x 0 (4.14)
4.3 טרנספורם פוריה 4 ערכי תצפית ב 3 מימדים X = x x + y ŷ + z ẑ (4.15) x = dx dy dz ψ (x, y, z) x (4.16) y = dv ψ y (4.17) g(k) = 1 π הגודל 0 x x נקרא גם אי הודאות בריבוע 4.3 טרנספורם פוריה dx e ikx f(x) (4.18) הטרנספורם משמר את הנורמה. g(k) dx f(x) = dk כלומר, אם f(x) צפיפות הסתברות, אז גם.g(k) f(x) הוא מרחב המקום ו ( g(x הוא מרחב התנע. p = k f(x) ψ(x) (4.19) g(k) ψ(k) (4.0) המצב של החלקיק ψ, מקונה קט לפי סימון דיראק. חפיה בין שני מצבים ) g) 1, g ) = f) 1, f המכפלה הסקאלרית שלהם אינה תלויה בהצגה (ב xאו ב p ) האורטוגונליות היא תכונה שנשמרת בטרנספורם פוריה. ערך תצפית של תנע, (במימד אחד) p = dk ( k) ψ (k) (4.1) 4.3.1 חישוב p לפי ψ(x) p = dk dx dx ψ (x)ψ(x )e ik(x x ) ( k) (4.) ψ (k) = 1 π dx e ikx ψ (x ) חוץ מזה, e ik(k x ) hk = i אנחנו רוצים להפטר מה k נרשום eik(x x ) x 3
4 ערכי תצפית 4.3 טרנספורם פוריה = 1 dx π = dx ψ (x) = ( dx ψ (x)ψ(x) i x [ ψ(x ) x δ (x x ) ] ) dk e ik(x x ) }{{} (4.3) πδ(x x ) (4.4) (4.5) dx f(x) x δ (x x 0) = δ (x x 0 ) f(x ) }{{} =0 נחשב את dx f x (x ) δ (x x ) (4.6) p = = וקיבלנו [ ( )] dxdx ψ (x) i x ψ (x ) δ (x x ) (4.7) ( dxψ (x) i ) ( x ψ (x ) ψ, i ) x ψ (4.8) x=x = התנע הוא אופרטור דיפרנציאלי, הוא אופרטור הכפלה ב x. 4.3. רשימת אופרטורים לינארים X אופרטור הכפלה i p = הפועל על פונקצית הגל. הוא אופרטור גזירה בעוד שהמקום x p(ψ) = ( i x) אופרטור גזירה תנע ψ I x1,x : ψ = x x 1 אינטגרציה ) (x dx ψ הכפלת אופרטורים: הרכבה. O 3 : ψ = (O 1 O ) ψ = O 1 (O (ψ)) (4.9) O 3 = O 1 + O באופן כללי, לא ניתן לשנות את הסדר. סכום אופרטרים לינארים גם לינארי 4
4.4 ערך התצפית של האנרגיה 4 ערכי תצפית x = ערך התצפית של x: dx x ψ(x) (4.30) p = ערך התצפית של p: dk k ψ (k) (4.31) 4.4 ערך התצפית של האנרגיה עבור פונקצית צפיפות הסתברות,ψ(x) ערך התצפית של האנרגיה הפוטנציאלית v(x) = dx v(x) ψ(x) (4.3) E u = = 1 m E u = p m ושל האנרגיה הקינטית, dk ( k) m ψ (k) (4.33) ( dx ψ (x) i ) ψ(x) (4.34) x 4.4.1 דוגמא: חבילת גלים גאוסיאנית ψ(x) = e ik 0x e x 4a (4.35) מעטפת ברוחב a. pψ = ih ( x ψ = i ik 0 x ) ψ (4.36) ( a = k 0 + i x ) ψ(x) (4.37) a ( ( p ψ = k 0 + i x ) ) + ψ(x) (4.38) a a ( ) = k0 + i k 0 x x a 4a + ψ(x) (4.39) a 5
5 מרחבי הילברט p m = 1 m dx k0 + i k 0 x } a {{ } 0 a {}}{ x } 4a {{ } 4a a + x e נחשב את a (4.40) = 1 ) ( k 0 + = E m 4a u (4.41) כלומר, במכניקה קוונטית, תיאור של מצב מכיל גם מידע על מיקום וגם על תנע ולכן גם מידע על אנרגיה קינטית וגם על פוטנציאלית. באה מתוך אי ודאות לתנע, מתוך המיקום של החלקיק במרחב. חלק מהאנרגיה הקינטית 4a 4.4. התנע בשלושה מימדים ( p = i x, y, ) = i z (4.4) ( ) p = p p = x + y + = (4.43) z ( ) E u = dx dy dz ψ (x) ψ (x) (4.44) m כלומר, מה שקובע את האנרגיה הקינטית, היא ההשתנות של ψ(x) (ולא! ψ(x) ( 5 מרחבי הילברט הגדרה 5.1 מרחב הילברט הוא מרחב לינארי עם מכפלה פנימית. (x).ψ 3 (x) = aψ 1 (x) + bψ אם ψ 1, ψ שיכים למרחב אז גם ψ 3 במרחב. (ψ, φ) = נקח את המרחב הפרמטר < x < :x. מכפלה פנימית (סקלית) dxψ (x)φ(x) : z C (5.1) זו טרנסופרמציה ממרחב הפונקציות לקומפלקסים תכונות: 1. לינאריות (ψ, aφ 1 + bφ ) = a (ψ, φ 1 ) + b (ψ, φ ) (5.) (aψ 1 + bψ, φ) = a (ψ 1, φ) + b (ψ, φ) (5.3) 6
5.1 אי שוויון קושי שוורץ 5 מרחבי הילברט (ψ, φ) = (φ, ψ). (ψ, ψ) = 3. המכפלה הפנימית היא נורמה בריבוע: dx ψ (5.4) וקטורי היחידה של המרחב הם המצבים המנורמלים ל 1 של = 1 ψ. dx 5.1 אי שוויון קושי שוורץ משפט 5. לכל שני מצבים במרחב הילברט,,ψ, φ (ψ, φ) (ψ, ψ) (φ, φ) (5.5) הוכחה: נגדיר w = ψ λφ עבור λ מרוכב. (w, w) = (ψ λφ, ψ λφ) (5.6) = (ψ, ψ) + λ (φ, φ) λ (φ, ψ) λ (ψ, φ) (5.7) λ = }{{} λ e iα נגדיר.(ψ, φ) = (ψ, φ) e iα real (w, w) = (ψ, ψ) + λ (φ, φ) λ (ψ, φ) (5.8) אם נסתכל על הביטוי כפולינום ב λ, זהו פולינום מדרגה שניה. אבל 0 (w,w), כי הוא נורמה, ולכן הדיסקרימיננטה של הפולינום שלילית (הפולינום לא חוצה את ה אפס) 0 4ac b 4 (ψ, φ) 4 (ψ, ψ) (φ, φ) 0 (5.9) מחלקים ב 4, מעבירים אגפים, ומקבלים את אי שוויון קושי שוורץ השוויון מתקבל כאשר הפונקציות זהות או מקבילות. הוכחה: הוכחה נוספת לאי שוויון. אנחנו רוצים להוכיח ש β. α, β α, α β, נגדיר ((α, α) = α ) γ = β (β,α) α α 7
5 מרחבי הילברט 5. הצגת דיראק Bra-Ket 0 γ = = (β, β) ( β ( β, ) α α ) (β, α) (β, α) α, β α ) (β, α) α ( (β, α) α, β ( (β, α) + (β, α), α α = (β, β) (α β) (β, α) (α, β) (β, α) (β, α) (α, β) + α α α α (α, α) = β (α, β) (α, β) α + α 4 α = β (α, β) α מעבירים אגב, מכפילים ב α ומוציאים שורש ונקבל α β (α, β) ) 5. הצגת דיראק Bra-Ket ניתן לפתח: (ψ, φ) x = dxψ (x)φ(x) = dkψ (k)φ(k) (5.10) = (ψ, φ) k (5.11) ההצגה של דיראק φ ψ,φ) (ψ = מגדירים, מצבי x x (ברה) או x (קט), x ψ ψ(x) = נגדיר: חפיפה בין x ל x x x = δ (x x) (5.1) ψ(x 0 ) = dx x 0, x ψ(x) (5.13) }{{} δ(x 0 x) 8
5. הצגת דיראק 5 Bra-Ket מרחבי הילברט k, k דוגמים את ψ במרחב התנע: ψ(k) = k ψ (5.14) אנלוג וקטורי ψ(x) מוגדרת על ידי טרנספורם פוריה של פרמטר רציף x. אם נהפוך את x לשריג דיסקרטי ψ(x) תהיה פונקציה דיסקרטית על.}.., 3,{x 1, x, x והפונקציה מקבלת ערכים רק על השריג. ψ(x i ) = (ψ(x 1 ),..., ψ(x n )) (5.15) (ψ, φ) = זהו וקטור מרוכב במרחב C. n המכפלה הפנימית, במרחב דיסקרטי, N ψ (x i ) φ(x i )a (5.16) i=1 = ψ φ (5.17) כלומר, x הוא תיאור של הדלתא של קרוניקר: x i x j = δ ij בגבול הרצף, ) x x x.ולכן, = δ (x x ψ ψ(x) (5.18) 1 = x k ה יחס בין x ל k הוא בעצם המקדמים של התמרת פוריה π נסתכל על e ikx k ψ = dx e ikx π ψ(x) = ψ(k) (5.19) (נשים לב ש ( ψ(k,ψ(x) הם הפוריה טרנספורם אחת של השניה) ערך תצפית של אופרטור O: O (ψ, Oψ) = ψ O ψ }{{} ψ = ψ ψ (5.0) נכיל את התיאור לאלמנט מטריצה: ψ,φ) Oψ) = φ O שזהו מספר קומפלקסי שתלוי ב מצבים. אופרטור מוגדר על ידי אוסף כל אלמנטי המטריצה שלו. O = { ψ O φ : ψ, φ H} (5.1) = אלמנט מטריצה ψ : φ x dxφ (x) xψ(x) (5.) 9
5 מרחבי הילברט 5.3 הצמדה הרמיטית 5.3 הצמדה הרמיטית הגדרה 5.3 (φ, Oψ) = φ O ψ (5.3) נסתכל על Oψ).(ψ, Oφ) (φ, ולכן φ O ψ ψ O φ (5.4) אפשר לחלק את שני לשני חלקים ( ψ, O φ ) = (Oψ, φ) לשם כך, נגדיר את O, הצמוד ההרמיטי של O לכל,ψ φ ( ψ, O φ ) = (φ, Oψ). דוגמאות 5.3.1 האופרטור x: (φ, xψ) = dx φ (x) (xψ(x)) (5.5) = dx (xφ (x)) ψ(x) (5.6) ( (x)) = dxxφ(x)ψ (5.7) ו (ψ, φ) = (φ, ψ) = (ψ, xφ) (5.8) ולכן,.x = x הגדרה 5.4 אם הצמוד של אופרטור שווה לעצמו, זהו אפרטור הרמיטי. במטריצה, ( A ) = i,j A j,i מגדיר את.A 5.3. תכונות הצמדה הרמיטית (A 1 + A ) = A 1 + A (AB) = B A (φ, A 1 (A ψ)) = נחשב, ( ) ( ) ( A 1φ, A ψ = A A 1φ, ψ = ψ, A A 1φ) (5.9) 30
5 מרחבי הילברט 5.4 הגדרת מרחב הילברט V (o) = V (o) = a n O n (5.30) n=0 ( a ) n O n n=0 (5.31) ( ) e A 1 = 1 + A + A +... (5.3) = e (A ) (5.33) 5.4 הגדרת מרחב הילברט הגדרה 5.5 מרחב לינארי (סגור תחת צירופים לינארים) של מצבים { ψ } בעל מכפלה פנימית, ψ φ C כאשר המכפלה הפנימית מקיימת אי שוויון קושי שוורץ, (ψ, φ) (ψ, ψ) (φ, φ) (5.34) n=1,lim n,n φ n φ n { φ n } אזי הגבול המרחב שלם, כלומר, לכל סדרת קושי המקיימת lim φ n H (5.35) n שייך גם הוא למרחב. המרחב מכיל גם את מצב האפס = 0 ψ 0 δ δ = 5.4.1 דוגמא: פונקצית,δ(x) dx δ(x) (5.36) ולכן פונקצית δ אינה מנורמלת. אבל δ n (x) = 1 e x 4a n (5.37) πa δ(x) = 31 ואז lim δ n(x) (5.38) n,a n 0 ולכן גם היא במרחב.
5 מרחבי הילברט 5.4 הגדרת מרחב הילברט 5.4. עוד פעם הצמדה הרמיטית אופרטור לינארי מוגדר על ידי כל אלמנטי המטריצה שלו. לכל ϕ, ψ במרחב, (ψ, Oϕ) = ψ O ϕ (5.39) הצמדה הרמיטית מציאת האופרטור O המקיים, לכל ψ ו ϕ (ψ, Oϕ) = ( O ψ, ϕ ) = (ϕ, Oψ) = ϕ O ψ (5.40) = ψ O ϕ (5.41) (ϕ, P ψ) = = i 5.4.3 צמוד הרמיטי של P נתונות פונקציות ϕ(x) ψ(x), כלשהן ( dx ϕ (x) i ) ψ(x) (5.4) x ( ) ] [ϕ (x)ψ(x) dx x ϕ ψx (5.43) הפונקציות,ψ ϕ חייבות לדעוך באינסוף (כי אינטגרל עליהן בריבוע ממינוס אינסוף עד אינסוף הוא סופי) ולכן החלק הראשון מתאפס ( (ϕ, P ψ) = i [ = ( dxψ (x) dxψ ( i x )) x ϕ (x) (5.44) ) ϕ(x)] (5.45) ולכן P = P (5.46) כלומר, אופרטור התנע, P הוא הרמיטי. משפט 5.6 אם A הרמיטי, אזי גם aa n כאשר a ממשי. (aa n ) = a ( A +) n = aa n (5.47) וכך, כל פולינום ב A הרמיטי. (אבל אנחנו פיזיקאים, ולכן כל פונקציה היא בקרוב פולינום!) המשפט הכללי עבור f הוא קצת יותר מורכב. פונקציות אנליטיות ב A הרמיטי הוא הרמיטי 3
5 מרחבי הילברט 5.5 ערכים עצמיים ומצבים עצמיים של אופרטורים נתון A לא הרמיטי A A האופרטור H = A + A (5.48) H = H (5.49) כדי לבטא את A A = H + iy (5.50) A A Y, = וגם הוא הרמיטי. כאשר כל אופרטור ניתן לרישום כסכום של שני אופרטורים הרמיטיים, כאשר אחד מהם הרמיטי ואחד אנטי הרמיטי (iy ) = iy (5.51) 5.5 ערכים עצמיים ומצבים עצמיים של אופרטורים נדבר על אופרטור לינארי O הגדרה 5.7 אם קיים φ כך ש O φ = λ φ (5.5) אזי φ מצב עצמי (מ ע) של O ו λ ערך עצמי (ע ע) של O עבור המצב φ. 5.5.1 דוגמא פונקצית δ.(x x 0 ) מתוארת על ידי δ(x x 0 ) }{{} X δ(x x 0 ) = x 0 δ (x x }{{}}{{} 0 ) }{{} operator function eigenvalue function (5.53) f(x)δ (x x 0 ) = f (x 0 ) δ (x x 0 ) (5.54) לאופרטור X יש הרבה מצבים עצמיים כל פונקצית ) 0 δ x) x הוא מצב עצמי שלו עם ערך עצמי x. 0 33
5.6 בסיס אורתונורמלי 5 מרחבי הילברט Oψ = ik 0 e ik 0x 5.5. דוגמא אופרטור הגזירה ψ(x) = e ik 0x נקח מצב. O = x (5.55) ולכן e ikx הוא מצב עצמי של אופרטור הגזירה עם ערך עצמי. ik 0 משפט 5.8 כל הערכים העצמיים של אופרטור הרמיטי ממשיים λ φ φ = ( φ O φ ) = ( φ O φ ) הוכחה: φ ו λ מ ע ו ע ע של O = O.O O φ = λ φ (5.56) = φ O φ = φ λ φ = λ φ φ (5.57) כלומר, λ.λ = φ i φ i = ו 1. φ i φ j = δ ij המקיימים { φ i } i=1 5.6 בסיס אורתונורמלי הגדרה 5.9 בסיס דסקרטי: רשימה של מצבים: הגדרה 5.10 בסיס שלם למרחב הילברט כאשר כל ψ במרחב ניתן להצגה כסופרפוזיציה של איברי בסיס. בסיס רציף {(x } = 0 ),(x x, x x זה בסיס אורתוגונלי לשני איברים אין חפיפה. הגדרה 5.11 בסיס שלם של המרחב אם לכל (x H קיים איבר בסיס אחד n φ לפחות ש 0 n ψ φ משפט 5.1 אם { n φ } בסיס שלם, אזי לכל ψ H יש הצגה באמצעות הבסיס. ψ = m=1 ϕ m ψ ϕ m (5.58) הוכחה: נגדיר ψ. v = ψ נניח, על דרך השלילה, ש 0 v. אז קיים לפחות m מסויים אחד כך שן φ m v 0 (5.59) אבל ϕ m v = ϕ m ψ ψ (5.60) δ m, m = {}}{ φ m φ m φ m ψ φ m ψ m (5.61) = φ m ψ φ m ψ = 0 (5.6) וזו סתירה, כי δ mn מקבל 1 באיחד האיברים בסכום, ולכן = 0 v. 34
5.7 אופרטור הטלה 5 מרחבי הילברט 5.7 אופרטור הטלה ψ מנורמל ל 1 P ψ ψ = ψ (5.63) ניתן לרשום באמצעות ברה וקט P ψ = ψ ψ (5.64) ואז P ψ φ = ψ ψ φ (5.65) תכונות ההטלה P ψ ψ = ψ.p ψ = P ψ נוכיח זאת: ( ψ ψ ) ( ψ ψ ) = ψ ψ (5.66) I = 5.8 פיצול היחידה אופרטור היחידה,I שעבור כל מצב, ψ.i ψ = ψ,{ φ n } n=1 בהנתן בסיס אורתונורמלי שלם φ n φ n (5.67) n+1 מה זה נותן לנו? φ m ψ = φ m I ψ (5.68) = = φ m n=1 φ n φ n ψ (5.69) δ m,n φ n ψ = φ m ψ (5.70) n=1 35
5 מרחבי הילברט 5.9 יחסי חילוף I = פיצול היחידה בבסיס רציף {(x }, dx x) (x (5.71) I = dk k k בבסיס k תרגיל x x = x I x (5.7) = dk x k k x (5.73) = 1 dk e i(x x )k = δ (x x ) (5.74) π x k = 1 π e ikx 5.9 יחסי חילוף אופרטורים במרחב הילברט, שנוצרים על ידי מכפלת אופרטורים והחסרה במכפלה בסדר הפוך. [O 1, O ] = O 1 O O O 1 (5.75) ו כאשר = 0 ] [O 1, O (או, (O 1 O = O O 1 אומרים שהאופרטורים מתחלפים. יחס החילוף p],[x, במרחב L כל הפונקציות מקיימות: dx ψ <, ψ, φ L < φ dx dx x ψ <, dx x φ < (5.76) נחשב את ערך המטריצה ψ (xp px) φ) = ψ [x, p] φ (5.77) 36
5.9 יחסי חילוף 5 מרחבי הילברט ψ xp px φ = = i dxψ x( i ) x φ(x) ( dxψ i x ) [xψ (x)] }{{} ( i )ψ(x)+( i )x x φ נחשב: (5.78) dx ψ φ = i ψ φ (5.79) [x, p] = i I = i (5.80) אי החילוף של,x p הוא ביסוד עקרון אי הודאות, שבנוי על העובדה שקיימים שני גדלים פיזקליים שסדר הכפל בינהם משנה את התוצאה. ב 3 מימדים y) x f(x, = 0 ] y [x, p y [x α, p β ] = i δ α,β α, β = x, y, z (5.81) { x 1, x,... p 1 p,... והרבה חלקיקים [x iα, p jβ ] = i δ ij δ αβ (5.8) [A, BC] = ABC BCA = ABC BCA תכונות יחסי חילוף: אופרטור,A קבוע a = ai [A, a] = 0 (5.83) כי AI = IA לינאריות B] [C, aa + bb] = a [C, A] + b [C, מכפלה: C] [A, B C] = [A, B] C + B [A, ההוכחה: 0 {}}{ ABC + BAC (5.84).n לכל [A, A n ] = 0 לכל פולינום של האופרטור f, g = 0 f(a)] [A, וגם = 0 g(a)] [f(a), 37
5.10 עקרון אי הודאות 5 מרחבי הילברט 5.10 עקרון אי הודאות נראה איך עקרון אי הודאות נובע מאי החילוף של,x, p תוך שימוש באי שוויון קושי שוורץ. נתונים אופרטורים, A, B כך ש 0 C.[A, B] =. B = B B ψ נניח ש A, B הרמיטים A = A A ψ ו נגדיר עבור מצב ψ כלשהו A = A, B = B נרשום (קורלטור): ψ A B ψ = ( Aψ, Bψ) (5.85) ψ A B ψ ψ A ψ ψ B ψ אי שוויון קושי שוורץ (5.86) A B = נסתכל על הזהות:. A B = A B+ B A + A B B A A B + B A A B B A + (5.87) } {{ } R,Real }{{} C\R,Pure Imagenary נוכיח ψ A B + B A ψ = ψ A B + B A ψ (5.88) ולכן הוא ממשי. עביר ה, מתקבל שהביטוי שווה למינוס הצמוד הקומפלקסי שלו ψ A B B A ψ = ψ A B B A ψ (5.89) ולכן הוא דמיוני טהור. נמשיך את הפיתוח A B A B (5.90) Im Re {}}{{ = A B B A }}{ + A B + B A [ A, B] (5.91) (5.9) נציב את יחס השונות הכללי שקיבלנו עבור,x p,x ] [p = i x p i = (5.93) 4 38 ב p ) (כנ ל x = נגדיר את x
5.11 אופרטורים ומצבים עצמיים 5 מרחבי הילברט משפט 5.13 (עקרון אי הודאות של הייזנברג) x p (5.94) תכונה כללית, שמתאימה לכל אופרטורים שאינם מתחלפים A B 1 [A, B] (5.95) 5.11 אופרטורים ומצבים עצמיים הגדרה 5.14 מצב עצמי של אופרטור O עם ערך עמי λ הוא מנוון אם קיים עוד מצב עצמי עם אותו ערך עצמי { O ψ = λ ψ ו ψ, φ לא תלויים לינארית, כלומר φ ψ a (עבור a כלשהו) ψ ו φ כך ש O φ = λ φ הגדרה 5.15 מצב לא מנוון ψ עם ערך עצמי λ אין מצב עצמי אחר (לא תלוי לינארית) אם אותו ערך עצמי. משפט 5.16 (האורתוגונליות) אם נתונים מצבים עצמיים, ψ, 1, ψ בלתי מנוונים, עבור אופרטור הרמיטי O, עם ערכים עצמיים λ, 1, λ אז המצבים אורטוגונליים זה לזה: ψ 1 ψ = 0 (5.96) הוכחה: ψ O ψ 1 = ψ 1 O ψ (5.97) = ( ψ 1 O ψ ) = λ ψ 1 ψ (5.98) = λ ψ, ψ 1 (5.99) ψ O ψ 1 = λ 1 ψ ψ 1 (5.100) קיבלנו ש λ 1 λ ψ ψ 1 = 0 (5.101) }{{}}{{} λ 1 λ, 0 =0 39
5 מרחבי הילברט 5.1 הצגה של אופרטורים באמצעות ברה קט 5.1 הצגה של אופרטורים באמצעות ברה קט פיצול היחידה: I = φ n φ n (5.10) n=1 כאשר n φ הם מצבים אורתוגונלים בסיס O = IOI = φ n φ n O φ m φ m (5.103) m,n = = φ n O nm φ m (5.104) m,n O φ 1 = n φ n O n1 (5.105) והצגת דירק של אופרטור כללי: O = ( O 11 O 1... φ 1 φ 1 φ ) O 1 O φ (5.106)..... מכל היצוגים המטריציונית של של O יש הצגה אלכסונית אחת ויחידה (יוכח בהמשך, עם הסתייגויות, כרגע, נניח שזה ככה). (על איברי האלכסון נמצאים הערכים העצמיים שאר המטריצה אפסים).1 אם O הרמיטי O nm = O mn (לפי הגדרה) נוכיח שבמטריצה אלכסונית הערכים העצמיים λ 1,..., λ n הם אברי האלכסון O 1,..., O n O ψ N = n δ {}} nn { ψ n O n ψ n ψ N (5.107) (משפט שיהיה במהשך: כל אופרטור מדיד אזי יש לו הצגה אלכסונית) הצגות רציפות {(x } O = = dx dx dx x) (x O x ) (x (5.108) dx O xx x) (x (5.109) 40
5 מרחבי הילברט 5.13 הצגות של x ו p 5.13 הצגות של x ו p (x X ψ = xψ(x) (5.110) x p ψ = i ψ(x) x (5.111) (x 1 X x = x 1 δ (x 1 x ) (5.11) k 1 P k = k 1 δ (k 1 k ) (5.113) והצגה אלכסונית: P k = k k (5.114) x 1 P x = i [ ] δ (x x 1 + ε) δ (x x 1 ) (x x 1 ) = lim i x ε 0 ε x = p = (5.115) כלומר, ההצגה של P במרחב של x, אינה אלכסונית. ניתן לרשום פה את ההצגות האלכסוניות הבאות: dx x) x (x (5.116) dk k k k (5.117) הגדרה 5.17 אופרטור מדיד אופרטור הרמיטי (צמוד לעצמו) במרחב הילברט H, שאוסף כל המצבים העצמיים שלו פורש את המרחב H. I = φ n φ n + dα α) (α (5.118) n האופרטורים שיעניינו אותנו הם אופרטורים הרמיטים מדידים, רציפים או דיסקרטים. משפט 5.18 לכל אופרטור מדיד יש הצגה אלכסונית, הפורשת את מרחב הילברט. הוכחה: (בקורס במתמטיקה) 5.14 טורי פוריה Sine Transforms.sin כל פונקציה נתנת לכתיבה כתור של f(x) = n=1 f n 41 ( nπx L )
5 מרחבי הילברט 5.14 טורי פוריה Sine Transforms כתיב דיראק 1=n φ } n { בסיס אורטונורמלי. ניתן לרשום את I כ sin πx (עד L πx 3πx, sin, sin L L I = φ n φ n (5.119) n=1 = x xdx (5.10) כאשר ה xים הם המצבים העצמיים ו ( x. x, x = δ (x לכן, ניתן לרשום: F = I F = φ n φ n F (5.11) }{{} n=1 f n = f n φ n (5.1) n=1 F (x) = x F = X = n=1 ועבור ( f(x f n φ n (5.13) n=1 f n x φ n = }{{} φ n(x) f n φ n (x) (5.14) n=1 פונקציות עצמיות של חלקיק בתיבה 5.14.1 חלקיק בתיבה בתיבה ב ( L,0), מקבלים פונקציות שהן סינוסים שצריכים להתאפס בקצוות. כדי מכפלה בקבוע) ϕ n (x) = C sin ( πnx ו L L ) נמצא את המקדם C אנחנו ורצים שהנורה של 1 = c sin πnx dx (5.15) 0 L K ( = c 1 1 cos πnx ) dx (5.16) 0 L ( ) L c + 0 = c L (5.17).c = ולכן L ϕ n (x) = nπx sin L L (5.18) 4
5.14 טורי פוריה Sine Transforms 5 מרחבי הילברט אנחנו רוצים שהם יהיו אורטוגונליות δ (x x ) = x x (5.19) = x I x (5.130) = x φ n φ n x (5.131) }{{} n=1 φ n = L πnx sin( L ) ולכן ( ) sin πnx L L sin πx n L = δl (x x ) (5.13) n=1 f n = φ n F = L L 0 dx sin ( nπx ) F (x) (5.133) L דוגמא נפתח משולש בגובה.f(x) = x L שבסיסו הוא [L,0] כסכום של סינוסים. נסתכל על החצי הראשון, בו f n = L/ 0 πnx x sin L L (5.134) זו פונקציה שהיא סימטרית סביב, L ולכן יתרמו לה ה n ים האי זוגיים. f n = L L/ cos αx = α x L/ 0 = L 0 = ( 1) n 1 v u {}}{{}}{ x sin πnx dx = (5.135) }{{} L + αx L/ 0 L πn cos } πn {{ } 0 N L π n L cos αx α + L sin πn π n dx (5.136) (5.137) (5.138) 43
6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים n=1,3,5,... ( 1) n 1 L πnx sin π n L L ולכן הפונקציה היא (5.139) יש בפונקציה אי רציפות בנגזרת והיא מתבטאת באיבר של 1 בפיתוח. n { 1 x ( ) 0, L n=,3,6 sin...,f(x) = L (לא כתבתי, פיתח של מדרגה ( x 1 L, L) חלק III הקורס בפיסיקת קוונטים מתחיל כאן 6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים פוסטולטים הנחות יסוד. ניתנים, לכאורה, להפרכה על ידי ניסוי 6.1 מצב המערכת בזמן מסויים t 0 מצב חלקיק/מערכת מתואר בשלמות על ידי קט (וקטור) מנורמל במרחב הילברט H. ψ 0 ψ 0 = 1 (6.1) ψ 0 H (6.) 6. גדלים פיסקלים כל גודל פיזיקלי מתואר על ידי אופרטור לינארי במרחב H, הרמיטי ומדיד.,A = A או בהצגה אלכסונית A = eigenstate {}}{ a i a }{{} i a i (6.3) eigenvalue כאשר a i ממשיים. 6.3 תוצאות מדידה של גודל פיסיקלי מדידה של גודל פיסיקלי מתואר על ידי A, תתן לנו אך ורק תוצאה שהיא אחד מהערכים העצמיים של.A {a 1, a,..., a n } (6.4) 44
6.4 סטטיסטיקה של המדידה 6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים כך ש a A. a = a (נוטציות: a מאופיין על ידי הערך העצמי שלו, ולכן מסמנים אותם אותו הדבר) מסקנה 6.1 תוצאות מדידה של גודל פיסיקלי הם מספרים ממשיים, כי A הרמיטי מסקנה 6. אם הספקטרום, (רשימת } i a}), דיסקרטי, אזי אומרים שהתוצאות של מדידת A מקוונטתות..Quantized g qi 6.4 סטטיסטיקה של המדידה ההסתברות למדוד ערך עצמי a i נתון על ידי P ai = a in ψ (6.5) n=1 נניח שנתונה מערכת במצב ψ. 1. המצבים של A לא מנוונים (אין מצבים עם אותו ע ע) והספקטרום דיסקרטי הסיכוי לקבל את העל a i הוא P (a i ) = a i ψ (6.6) (כאן, a i הוא מצב עצמי עם ערך עצמי a) i { a i, n } ga i ו. כאשר יש ניוון, קיימים g ai מצבים מנוונים, 1=n g ai P (a i ) = ka i, n ψ (6.7) n=1 3. אם ) i a רציפים (שייכים לקטע רציף על הישר) הסיכוי למצוא את החלקיק ברווח = a i + a ai + a P ai,a i + a = da (a ψ = ρ(a) a (6.8) a i כאשר ρ(a) היא צפיפות הסתברות. הערה P ai 6.3 דיסקרטי,מנורמלות ליחידה מהווה הסתברות: P ai = a i ψ (6.9) i i = ψ ( a i a i ) ψ (6.10) = ψ I ψ = ψ ψ = 1 (6.11) daρ a (a) = da ψ a a ψ = 1 למקרה הרציף 45
6.4 סטטיסטיקה של המדידה 6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים 6.4.1 ערך תצפית ערך תצפית:. ψ A ψ A = a i a i a i (6.1) = i = i ψ a i a i a i ψ (6.13) a i P ai (6.14) וזהו הממוצא של מדידת A אחרי הרבה מאוד ניסיונות. 6.4. מופע (פאזה)של מצב ψ ψ = e iθ ψ (6.15) ψ ψ = ψ e iθ e iθ ψ = ψ ψ (6.16) כלומר מופע לא משפיע על פונקצית ההסתברות, ולכן על כל מדידה פיסיקלית של כל אופרטור A: P ai = a i ψ = a i ψ (6.17) לעומת זאת, בסופרפוזיציות, הפאזה כן משחקת תפקיד: ψ = α φ 1 + β φ (6.18) נניח φ 1, φ אורתונורמליות. ψ = αe iθ 1 φ 1 + βe iθ φ (6.19) והסיכוי לקבל a i מ ψ, α, β, a i φ 1 a i φ ) ממשיים) P ai = a i ψ (6.0) = α a i φ 1 + β a i φ + αβ a i φ 1 a i φ (6.1),θ 1 נקבלת תלות בפאזה היחסית θ,β = β e iθ α = α e iθ 1 ו וכאשר P a i = α a i φ 1 + β a i φ + αβ cos (θ 1 θ ) a i φ 1 a i φ (6.) כלומר, ההסתברות תלויה בהפרש הפאזות. 46
6.5 קריסת פונקצית גל בעקבות המדידה 6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים 6.5 קריסת פונקצית גל בעקבות המדידה לאחר המדידה (קבלת אינפורמציה על ידי גלאי קלאסי אנושי?) פונקציית הגל ψ קורסת למצב עצמי A המתאים לערך הנמדד (במקרה הלא מנוון) A ψ measure a i, a i (6.3) מצב קריסת פונקצית הגל לא מתואר על ידי מכניקה קוונטית. (קשה להבין את זה אף אחד לא באמת שלם עם הפוסטולת הזה, אבל ככה זה..) לדוגמה A = 5 x x + 4 y y + 7 z z (6.4) תוצאת המדידה היתה 4 כלומר, פונקצית הגל קרסה בציר ה y, והפכה מ ψ = sin θ cos φ x + sin θ cos φ y + cos θ z (6.5) לפונקציה, y (בסיכוי (P y = sin θ sin φ האפשרויות היחידות למדידה הן x y 5, 4 ו z 7. ψ an P an ψ (6.6) כאשר אופרטור הההטלה n. P an = a n a במקרה המנוון קריסת פונקצית גל A : a n1 a n,i, i = 1,..., j (6.7) j i=g A : ψ a n, n a ni ψ a ni ( ani ψ ) (6.8) 1/ i אזי או, אופרטור ההטלה במרחב מנוון, P a n ψ ( ψ P an ψ ) 1/ (6.9) אם עבור האופרטור A = 5 x x + 5 y y + 7 z z (6.30) מדדנו 5, אז לאחר הקריסה, פונקצית הגל (המנורמלת) תהיה y cos φ x + sin φ עבור האופרטור הזה,,x y לא נמדדו, ולכן הרכיבים בכיוונים אלו נשארו באותו יחס. 47
6.5 קריסת פונקצית גל בעקבות המדידה 6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים "Schrodinger, from Xkcd.com איור 3: 6.5.1 מדידה מכשיר מדידה של A הוא פונקציה אופרטורית של.f(A) A, למשל, מכשיר שקולט חלקיק בין הנקודה x, 1, x הפונקציה שלו תראה: { 1 x (x 1, x ) f(x) = (6.31) 0 x / (x 1, x ) כלומר, נוכל לדעת רק אם החלקיק בין ) x) 1, x או לא. f(a) = i a i f(a i ) a i (6.3) נקח פונקצית גל, x ψ שמתוארת במרחב המקום על ידי ψ(x). x ψ = הפונקציה נמדדת על ידי מכשי המדידה.f(x) תוצאות המדידה האפשרויות 1 החלקיק נמצא בתוך הטווח ) x) 1, x 0 אם הוא לא שם. הסתברות המדידה של המונה היא לכן P = dxf(x) ψ(x) = x x 1 dx ψ יישום הנדסי מונה גייגר שיושב בתחום ומסמן כאשר יש שם חלקיק. זוהי פונקציה מנוונת כי היא כוללת מספר מצבים עצמיים (כל הטווח ב ( x)), 1, x ולכן תוצאת המדידה תהיה פונקצית גל הכוללת את כל הקטע ) x). 1, x 6.5. החתול של שרדינגר 48 לוקחים חלקיק רדיואקטיבי, עם פונקית גל, שמאפשרת לחלקיק האלפא להיות בתוך הגרעין או מחוץ לגרעין. בשלב מסויים לחלקיק האלפא יש סיכוי של 50% להיות מחוץ לגרעין או בתוך הגרעין. מיקומו של חלקיק האלפא נמדד על ידי מונה גייגר. ברגע שהחלקיק דועך עזב את גרעין האטום, הוא יכול להכנס למונה, ש נותן קליק, ושולח אות חשמלי למנוע שמפעיל פטיש ששובר בקבוק ציאניד. החתול נמצא בתוך קופסא יחד עם כל המערכת המורכבת הזו.
6.6 משוואת שרדינגר 6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים איור 4: אסא מצייר את החתול של שרדינגר. צילום: תום רז ב 0 = t מתחילה המערכת. ב = t. מה מצב המערכת? אם הגיע חלקיק החתול, בסופו של עניין, מת. אם לא הגיע חלקיק החתול נשאר בחיים. אם לא מסתכלים על התוצאה, אז החתול בעצם נמצא בסופר פוזיציה של חתול מת וחתול חי. כאשר פותחים את הקופסא, פונקצית הגל קורסת והחתול נמצא באחד המצבים מת או חי. 6.5.3 שיר/ מאמר בחרוזים מאת סיסל אדמס Straight Dope מופיע ב moodle 6.6 משוואת שרדינגר במכניקה קלאסית מצב מוגדר על ידי (( 0 x) t) 0 ), p(t והמצב נפתר על ידי משוואות המילטון. הפיתוח המקביל במכניקה קוונטית היא משוואת שרדינגר i ψ(t) = H ψ(x) (6.33) t כאשר מצב ב t ψ(x) H אופרטור האנרגיה (הרמיטי) ψ(t) שינוי במצב 49 ψ(t) = lim t ε 0 ψ(t+ε) ψ(t) ε
6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים 6.6 משוואת שרדינגר משפט 6.4 (שרדינגר) ב () L, מרחב 1 מימדי, חלקיק סקלארי ] i ψ (x, t) = [ m x + V (x) ψ(x, t) (6.34) x i t ψ = x H ψ (6.35) אופרטור ההמילטוניאן בנוטצית דירק: [ ] (x H x ) = m δ (x x ) + V (x) x (6.36) 6.6.1 דוגמה: בור אינסופי x H x = L ψ(l) = ψ(0) = 0 (6.37) ϕ n = ( nπx ) L sin והפתרונות הם כמו גל עומד במיתר (6.38) E n = n π (6.39) וההמילטוניאן, באמצעות המצבים העצמיים: ml H = E n φ n φ n (6.40) n=1 צורת רישום נוספת ל x H x ( nπx ) ( ) ( ) nπx n π sin sin (6.41) L L ml n=1 6.6. ליכסון ההמילטוניאן מצב עצמי של φ ישתנה n H, ככה: i t φ n = H φ n = E n φ n (6.4) ופתרון En i φ(t) = e t φ n (0) (6.43) אבל ייצוג של ψ הוא עד כדי פאזה, ולכן מצב עצמי של H הוא סטציונארי הפאזה לכאורה מושפעת מהזמן, אבל הפאזה לא משפיעה על המצב. 50
6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים 6.7 פתרון כללי של משוואת שרדינגר x H ψ(t) = 6.7 פתרון כללי של משוואת שרדינגר p = i x = H כאשר p m + V (x) ) ( m + V (x) ψ (x, t) (6.44) כיוון ש H,H = יש לו בסיס שלם אורתוגונלי n φ, והבסיס פורש את המרחב n I = n φ n φ עם ערכים עצמיים E n כך ש H = n E n φ n φ n (6.45) ψ 0 = n φ n φ n ψ 0 = n רושמים c n (0) φ n (6.46) ψ(t > 0) = n c n (t) φ n (6.47) ולכן φ n ψ(t) (6.48) φ n i t ψ(t) = φ n H ψ(t) (6.49) φ n i = E n c n (t) (6.50) t n c n (t) ϕ n i t c n(t) = E n c n (t) (6.51) c n (t) = e ient וזה הפתרון השלם של כל המקדמים של פונקצית הגל בכל הפתרון של המשוואה: (0) n c זמן > 0 t ψ(t) = n e ient cn (0) φ n (6.5) כאשר n,c n = ψ 0 φ נתונים לפי תנעי ההתחלה 0. ψ (0) = ψ 6.7.1 תכונות כלליות של פתרונות של משוואת שרדינגר משפט 6.5 מצב פיזיקלי מנורמל ל 1, שומר על הנירמול שלו, תחת התפתחות בזמן. 51
6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים 6.8 דוגמה בור פוטנציאל אינסופי הוכחה: ψ(t) ψ(t) = φ n e + ient c n e ie n t c n (0) φ n (6.53) n,n = n c n (0) = ψ 0 ψ 0 = 1 (6.54) משפט 6.6 חוק שימור אנרגיה: לכל,ψ(t) ו H קבוע E = ψ(t) H ψ(t) = const (6.55) d dt E = ψ t ψ + ψ ψ = 1 i ψ H ψ כלומר, האנרגיה אינה משתנה בזמן הוכחה: (6.56) == 1 H ψ (6.57) i d dt E = 1 i ψ H (6.58) [ ψ H ψ ψ H ψ ] = 0 (6.59) הערה 6.7 כל החוקים מניחים שאין חיכוך. לכן, אם ההמילטוניאן לא תלוי בזמן (כלומר, הפוטנציאל לא תלוי בזמן) האנרגיה נשמרת. הערה 6.8 במכניקת הקוונטים, חוק שימור מנוסח לערכי תצפית! 6.8 דוגמה בור פוטנציאל אינסופי ברוחב L. ב 0 = t ψ = 1 ( ψ 1 + ψ ) (6.60) ( ψ(x, 0) = 1 ( πx ) L sin + L L sin ( ) ) πx (6.61) L 5
6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים 6.8 דוגמה בור פוטנציאל אינסופי E n = n π ml ψ(x) = 1 ( e ie 1 t k ψ 1 + e E t ψ ) (6.6) (6.63) ψ(x, t) = 1 L ( = 1 i π e ml L t sin [ ) sin ( πx L + sin ( πx L ( πx ) + L ) i 4π L e ml sin + sin πx L sin πx L ( ) ) πx (6.64) L ( )] cos E1 E t (6.65) (6.66) (6.67) שני איברים קבועים ואחד שמתנדנד כמו קוסינוס עם תדירות f: f = E 1 E 5 = π (6.68) ml ניתן לראות את ההפתחות בזמן של מצב זה באיור 5. x(t) L = dxψ (x, t) xψ (x, t) = (6.69) ( ) ( = ϕ 1e + ie 1 π + ϕ e + ie t x L ) ( ) ϕ 1 e ie 1 π + ϕ e ie t (6.70) = ϕ 1 x L ϕ + ϕ x L ϕ + (6.71) }{{}}{{} A B ϕ x L ϕ 1 e i E E1 t + ϕ 1 x L ϕ e i E E1 t (6.7) ( ). dx x L ϕ מטעמי סימטריה. A, B = 0 נותרו איברי ההתאבכות, שאחד מהם הוא הצמוד הקומפלקסי של השני ולכן ( x(t) L ) = 16L ( ) 9π cos E E 1 t (6.73) חלקיק קלאסי יבצע תנועה שהמהירות שלה אינה רציפה על הקירות חלקיק קוונטי לא יגיע לקיר ויבצע סינוס רציף (וגזיר! גם המהירות רציפה) בתוך הבור. 53
6.8 דוגמה בור פוטנציאל אינסופי 6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים זה די דומה לכוהן טנוג י, עמוד 75. איור 5: התפתחות מחזורית בזמן של חבית גלים המורכבת מהרכבה של מצב הבסיס והמצב המעורר, ω 1 = E 1 E הפאזה בין המצבים. הראשון של חלקיק בבור אינסופי. 54
6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים 6.9 חבילת גלים 6.9 חבילת גלים פונקציה ממוקמת במרחב (סביב הראשית) עם תנע ממוצע k 0 ψ 0 (x) = Ae x 4a +ik 0x (6.74) H = I = חלקיק חופשי ( ) k dk k k (6.75) m dk k k (6.76) ψ(x, t) = x ψ(t) = x I x x ψ (6.77) = dx dk x k e ie nt k x ψ 0 (x ) (6.78) }{{}}{{} 1 e ikx 1 π e ikx π = dx dke ik(x x ) i E k t e x 4a ik 0x (6.79) K (x, ẋ, t) = dk e ik(x x )+i k m t (6.80) m = πi t e im(x x ) t (6.81) ψ(x, t) = A dx K (x, x, t) e x 4a ik 0x = (6.8)» = A 1 e ik 0(x u 0 t 1 + i (t/τ) 1 m ) e x k 0 t m 4a (1+t/τ) אז (6.83) כאשר a. הוא זמן קוונטית התלוי ברוחב החבילה τ, = ma d O = dt ψ O ψ + ψ O ψ 6.10 משפט אהרנפסט נגדיר: ψ(t). O(t) ψ(t) O אם O לא תלוי בזמן ψ = 1 H ψ (6.84) i ψ = 1 i ψ H (6.85) 55
6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים 6.10 משפט אהרנפסט ונקבל: d dt O = 1 ψ(t) OH HO ψ(t) (6.86) i = i [O, H] (6.87) (ה H הגיע ממשוואת שרדינגר מ ( ψ(t ) אם O מתחלף אם H, הערך שנותן האופרטור O לא משתנה בזמן למשל, ערך התצפית של H אינו מתפתח בזמן שימור אנרגיה חוקי שימור כל אופרטור מדיד המתחלף עם ההמילטוניאן, הוא גודל נשמר [O, H] = 0 O(t) = O(0) (6.88) 6.10.1 דוגמה חלקיק חופשי במימד אחד.H = p אזי m p(t) = p 0 (6.89) v = d dt x(t) = 1 ] [x, p = i p i m ikm p = (6.90) m לכאורה, במכניקת הקוונטית, ל p אין קשר למהירות הוא מתאר את אורך הגל הממוצע של המצב הקוונטי. אבל למה, מכל האופרטורים, משוואות שרדינגר מכילה דווקא את H? כי זה נותן לנו את p v = m נסתכל על טרנספורמצית גלילי עבור מערכת נעה במהירות V ẋ = ẋ V (6.91) וחוק שימור התנע: P = P mv (6.9) כדי לקיים אותו, נדרוש mv P, = וזה מתאים ל v שמצאנו. ולכן, במשוואת שרדינגר H = p m (6.93) בהכרח תמיד מתאים p = i (6.94) 56
6.11 מינהור 6 הנחות היסוד של מכניקת הקוונטים ההמילטוניאן של שרדינגר עשוי להשתנות בהתאם לנסיבות (מהירויות גבוהות ותיקונים יחסותיים). ] [x, p m = 1 ([x, p] p + p [x, p]) m (6.95) = 1 1 (i p + pi ) = (i p) m m (6.96) [ ẋ α = 1 x α, i β = p α m p β/m ] v בכמה רכיבים: (6.97) (6.98) ẋ = p m כל זה היה נכון לגבי חלקיק חופשי. בנוכחות פוטנציאל (6.99) p x = 1 i [p x, V (x, y, z)] (6.100) (נזכר, מהתרגיל, (x) [p, V (x)] = i V ( x ṗ x = x V (x) = V F x (6.101) וקיבלנו את הכח בכיוון x... V (x) = { v 0 x / ( L, L) 0 x ( L, L) 6.11 מינהור בור פוטנציאל סופי (6.10) H = ( ) m x + V (x) ψ = Eψ (6.103) ψ(x) m x = (V (x) E) ψ(x) (6.104) 57
7 תכונות משוואת שרדינגר הפתרון הכללי הוא מהצורה Ae qx + Be +qx (6.105) ומטעמי נירמול = 0 A. הפונקציה שלנו היא e qx x > L ψ(x) = Ae ikx + Be ikx x ( L, L) (6.106) e qx x < L me m(v 0 E).k = ו q = כאשר מאחר והבור אינו אינסופי, יש לו זנבות בכל מקום מחוץ לבור, פונקצית הגל דועכת אקספוננציאלית על כל המרחב, אבל איננה אפס. כלומר יש אפשרות לעבור אל מחוץ לבור. פיתוח מלא של המינהור כהן טאנוג י, עמוד 457. 7 תכונות משוואת שרדינגר במימד אחד m ψ (x) + V (x) = Eψ(x) (7.1) ( ) (V (x) E) ψ = mψ(x) (7.) (x) V סופי, < (x) ψ ו ( ψ(x רציף. דוגמאות נגדיות: = V או δ(x). V = 7.1 פוטנציאל קבוע למקוטעין לחלקיק אנרגיה E. הפוטנציאל קבוע למקוטעים, באזורים המותרים V i < E ובאזורים האסורים V i > E m(e v i ) k i = באזורים המותרים ψ(x) = A i e ikix + B i e ikix כאשר m(v.q j = j E) ψ כאשר באזורים האסורים j = A j e qjx + B j e qjx כאשר הקבועים,A B נקבעים על ידי תנאי השפה בנקודת חיבור 1+i ψ i, ψ שווים בנקודה. A i e ik ix i + B i e ik ix i = A i+1 e q i+1x i + B i+1 e q i+1x i (7.3) אפשר גם להשוות את הנגזרות בנקודה 1+i ψ i = ψ (ik i ) A i e ik ix i ik k B i e ik ix i = q i+1 A i+1 q q i+1x i q i+1 B i+1 E q i+1x i (7.4) 58
7.1 פוטנציאל קבוע למקוטעין 7 תכונות משוואת שרדינגר ( e ik i x i e ik ix i ) ik i e ik ix i ik i e ik ix i }{{} M i ( Ai B i את שתי המשוואות ניתן להציג כמטריצת מעבר ) ( ) ( ) e q i+1 x i e = q i+1 x i Ai+1 q i+1 e q i+1x i q i+1 e q i+1x i (7.5) B i+1 }{{} N i ( N 1 M ) ( ) Ai = i B i ( Ai+1 B i+1 ) אזי (7.6) יכול להיות גם מעבר מאזור מותר לאזור מותר או מאזור אסור עדין צריך להדביק פתרונות, רק שהפעם, שני הצדדים מקבלים ik או q ביחד. תנאי שפה אמיתי של המקרה הפונקציה במקטע הכי ימני ובמקטע הכי שמאלי צריכות לדעוך לאפס באינסוף. T i,i+1 = ( N 1 M ) i (7.7) T N,1 = ( An B n ) = [T N,N 1 T N 1,N T 1, ] ( A1 B 1 ) באופן כללי (7.8) 1 = T i,i 1 (7.9) i=n או N T 1,N = T i,i+1 (7.10) i=1 כאשר כל T N,1 הוא פונקציה רק של האנרגיה E הגדרה 7.1 מצב קשור עבור ± x אם 0 (x) V הוא מצב ש 0 < n.e לכן, אם האנרגיה קטנה מאפס, בצד ימין, A חייב להיות זהותית אפס, כדי ש Ae qx לא ישאף לאינסוף ומאותם שיקולים בצד שמאל, = 0 B. אם < 0,E אזי, = 0 1 B וגם = 0 N A ( ) ( ) An A1 = T (E) (7.11) B n B 1 אבל = 0 1 B ו 0 = n A לכן B n = T 1,1 A 1 + T 1, B 1 (7.1) 0 = A n = T 1 A 1 + T B 1 (7.13) 59
7 תכונות משוואת שרדינגר 7. עקרון הואריאציה נקח = 1 1,A וקיבלנו ש T 1 (E) = 0 (7.14) אם למשוואה הזו יש פתרונות, סביר להניח שיהיו פתרונות דיסקרטיים (לא נוכיח את זה כאן) E n, (n = 1,,...) (7.15) אם אין פתרון למשוואה לא יהיו פתרונות קשורים. באופן כללי, ניתן לקרב כל פוטנציאל במימד אחד לפוטנציאל קבוע למקוטעין, ולפתור את משוואת שרדינגר במימד אחד בצורה כזו. באופן כללי, הספקטרום מחולק למצבים קשורים דיסקרטיים ומצבי פיזור רציפים. תורת הפיזור תורה של התנהגות של מצבים בספקטרום הרציף הלא מנורמל. תטופל בקוונטים. הם מופיעים בספרי לימוד, אבל הם לא בחומר של הקורס הזה. 7. עקרון הואריאציה (לכל המילטוניאן שיש לו מצב יסוד. שזה כל ההמילטוניאנים שיעניינו אותנו. (לגרביטציה אין מצב יסוד. יש חורים שחורים) משפט 7. אם נקח ψ מנורמל, אזי ψ H ψ E 0 (7.16) כאשר E 0 אנרגית מצב הייסוד, E 0 E i לכל ערך עצמי i 0,E i, ו H ψ 0 = E 0 ψ 0 כאשר ψ 0 הוא מצב היסוד שוויון ψ H ψ = E 0 הוא אך ורק עבור 0 ψ = ψ הוכחה: ψ H ψ = n E n φ n ψ (7.17) כאשר φ n הם הערכים העצמיים של H, המהווים בסיס למרחב E 0 }{{} min E n 1 φ n ψ = E 0 (7.18) n החלק השני אם יש שוויון אז En φ n ψ = E 0 (7.19) 60
7. עקרון הואריאציה 7 תכונות משוואת שרדינגר ψ = g 0 i=1 רק עבור 0 ψ φ n כאשר,E n = E 0 ולכן a n φ 0,i (7.0) כלומר, ψהוא סכום לינארי של מצבים שהאנרגיות שלהם הוא אפס ) 0 g הניוון של המצב העצמי) אם מצב הייסוד לא מנוון אז ψ שייך לתת המרחב המנוון של מצב היסוד, ובכל מקרה, H ψ 0 = E 0 ψ 0 (7.1) מה זה נותן לנו אפשר לנחש מצב ולהשתמש בו לחסום את האנרגיה של מצב היסוד האמיתי. שימוש עיקרי בקירובים. במערכות גודלות עם הרבה דרגות חופש, ורוצים למצוא את מצב היסוד, ניתן לנחש משפחות של פונקציות ψ, ומינימיזציה על הפונקציות יתקרב למצב היסוד. שימוש עיקרי בקורס להוכיח משפטים על משוואת שרדינגר במימד אחד. משפט 7.3 למשוואת שרדינגר במימד 1 אין פתרונות מנוונים הוכחה: נניח ש ψ 1, ψ פתרונות מנוונים. m xψ 1 + V (x)ψ 1 = E 1 ψ 1 (7.) m xψ + V (x)ψ = E 1 ψ (7.3) 0 = ) ( (ψ ) m xψ 1 ψ 1 xψ (7.4) W (x) = ψ (x) x ψ (x) ψ 1 (x) x ψ (x) (7.5) (זה הוורונסקוניאן שאנחנו מכירים ממד ר) ואם W (x) = 0 (7.6) x אזי (x) W קבוע. ψ 1 (x), ψ (x), ψ 1(x) ψ (x) 0 (7.7) E k = עבור ± x, מתנאי הנירמול, והנגזרות מסופיות האנרגיה. p ( ) = dxψ (x) m m xψ(x) (7.8) = dx x ψ (x) + ψ m 0 x ψ(x) (7.9) 61
7. עקרון הואריאציה 7 תכונות משוואת שרדינגר סופי אך ורק אם 0 (x) ψ באינסוף, ולכן הוורונסקיאן, W, שווה לקבוע שהוא אפס. הוכחנו ש = 0 ψ ψ 1 ψ 1 ψ נעביר אגפים ונחלק d ln ψ 1 dx = ψ 1 = ψ = d ln ψ ψ 1 ψ dx (7.30) וקיבלנו ש ln ψ 1 = ln ψ + λ (7.31) ψ 1 (x) = e λ ψ (x) (7.3) כלומר, הפונקציות שוות עד כדי קבוע. בנירמול הקבוע הוא 1, ולכן הן אותה הפונקציה. משפט 7.4 במימד אחד מצב היסוד חסר צמתים כלומר אם (x) ψ 0 מצב יסוד, ניתן לבחור אותו אי שלילי > 0 (x) ψ 0 לכל x. ראינו שבבור אינסופי המצב מתאפס על שפת הבור. אבל ברגע שהבור סופי, מצב היסוד ידעך לאינסוף. הוכחה: נניח, על דרך השלילה, שיש צומת ב 0 x. i נגדיר (x) ψ(x) = ψ0 (גם ל ψ יש צמתים) נחשב את ψ0 H ψ0 P ( = + V (x) = x dx ψ ) + V (x) ψ(x) (7.33) m m אבל ψ מועלה בריבוע, אז הסימן שלו לא משנה, ולכן = E 0 (7.34) ולפי עקרון הואריאציה, אם האנרגיה שווה ל E, 0 אזי המצב הוא מצב עצמי והוא מצב יסוד. לכן, ψ 0 הוא מצב יסוד. קל לראות ש ψ 0, ψ 0 אינם תלויים לינארית, אם ψ 0 מחליף סימן ו ψ לא, כלומר ψ הוא מצב יסוד שאינו תלוי לינארית ב ψ 0 וזו סתירה למשפט שמצבי שרדינגר במימד אחד לא מנוונים. הגענו לכך שאין למצב יסוד אפשרות לחצות את האפס. משפט 7.5 כל המצבים הקשורים במימד אחד, יכולים להבחר כפונקציות ממשיות. הוכחה: m ψ n + V (x)ψ n = E n ψ n (7.35) נצמיד את המשוואה קומפלקסית: m ψ n + V (x)ψ n = E n ψ (7.36). ϕ n = ψn(x)+ψ n (x) יש לנו משוואות אם אותם משתנים נגדיר ונטען 6
8 אוסצילטור הרמוני 1. (x) ϕ n פתרון של משוואת שרדינגר. (x) ϕ n יש אותה אנרגיה E n לא מנוון.3 n ϕ פונקציה ממשית! משפט 7.6 נתונים אופרטורים הרמיטיים,A B מתחלפים. [A, B] = 0 (7.37) אם הספקטרום של A לא מנוון כל מצב עצמי של A הוא גם מצב עצמי של B. הוכחה: A φ n = a n φ n (7.38) φ. n עם מצב עצמי A ערך עצמי של a n A (B φ n ) = B (A φ n ) = a n B φ n (7.39) כלומר, A B φ n = a n ψ (7.40) }{{} ψ כלומר, ψ מצב עצמי של A עם ערך עצמי a. n אבל הנחנו שהספקטרום של A אינו מנוון, ולכן n B φ n = λ φ כי ψ ו n φ תלויים לינארית. ולכן, לפי ההגדרה, λ הוא ערך עצמי של B עם המצב העצמי n. φ כלומר מצבים עצמיים של,A B משותפים. מסקנה 7.7 ולכן, הבסיס של A הוא גם הבסיס של B, שבו המטריצות אלכסוניות. 8 אוסצילטור הרמוני הערה 8.1 עבור מצבים מנוונים של A, המשפט אינו בהכרח נכון, אבל ניתן לבחור בסיס משותף ש A ו B, כפי שנראה בהמשך. 8.1 הגדרת סקאלות מרחק וזמן עבור אוסצילטור הרמוני, ההמילטוניאן הוא: H = 1 p m + 1 kx (8.1) 63
8.1 הגדרת סקאלות מרחק וזמן 8 אוסצילטור הרמוני.ω 0 = k m סקלת תדירות משהגדרנו את הפוטנציאל ואת האנרגיה של חלקיק, נקבל שסקאלת האורך הקלאסית נתונה על ידי ) tp x הוא המיקום של נקודת המפנה) ומתקבל ש 1 kx tp = E x tp = E k (8.) ממכניקה קוונטית משוואת שרדינגר m x ψ + 1 kx ψ = Eψ (8.3) אנחנו רוצים להפוך את המשוואה לחסרת מימדים. כרגע יש לה מימדים של אנרגיה..ξ = x Scaled distance נגדיר מרחק חסר מימדים,λ = λ mω 0 נגדיר סקאלת מרחק ונרשום את משוואת שרדינגר עבור ξ. 1 =. משוואת שרדינגר שתתקבל מורכבת מאנרגיה קנטית נציב x = ξ ן = ו x λ ξ x ξ λ m x = 1 λ m ξ = 1 ω 0 (8.4) ξ והאנרגיה הפוטנציאלית 1 mω 0x = 1 ω 0ξ (8.5) H וההמילטוניאן שלנו יהיה {}} ]{ 1 ω 0 [ }{{} ξ + energy ξ ψ(ξ) = Eψ(ξ) (8.6) וקיבלנו את סקאלת האנרגיה שלנו ω 0 קוונטה של אנרגיה. ( x ψ(ξ) = ψ λ) (8.7) כאשר כשמנרמלים פונקציות ב ξ, נגדיר את המכפלה הסקאלרית ψ ξ = dξ ψ (ξ) ϕ(ξ) (8.8).ψ(x) = 1 λ הגדרה זו נבדלת במימדים (ξ) ψ 64
8 אוסצילטור הרמוני 8. אופרטורי העלאה והורדה 8.1.1 התנהגות אסימפטוטית המשוואה ( )) 1 ( E ξ + ξ ψ = 0 (8.9) ω 0 ξ כאשר המרחק שבו אנחנו נמצאים רחוק משמעותית מנקודת המפנה הקלאסית E ω 0 נקח באזור האסור..ψ e 1 ξ E, והפתרון יהיה ω 0 נזניח את נשים לב, שבאזור האסור הפונקציה דועכת כגאוסיאן. להבדיל מפוטנציאל קבוע שבו הפונקציה דעכה באזור האסור כאספוננט. באוסצילטור הרמוני לא יהיו מצבי רצף, משום שמחסום הפוטנציאל עולה עד אינסוף, ולכן במרחק מספיק גדול מהמרכז, תמיד יהיה אסור אסור. 8. אופרטורי העלאה והורדה אופרטור העלאה a, אופרטור ההורדה a a = 1 [ (x ) + ip λ ] = 1 ( ξ + ) (8.10) λ ξ = λ בעל מימדים של אורך. λ/ יש מימדים של תנע, ולכן a חסר מימדים. a = 1 ( ) x λ ipλ = 1 ( ξ ) ξ mω 0 נסתכל על המימדים (8.11) (8.1) נחשב את יחס החילוף [ ] a, a = 1 ([ x λ, ipλ ] [ ipλ +, x ]) = 1 λ + 1 = 1 (8.13) כלומר, = 1 ] a [ a,, או = 1 a.aa a 8..1 מצבי מספר הגדרה 8. נגדיר אופרטור מספר N = a a. הוא הרמיטי N = ( a a ) = a a = N (8.14) יש לו בסיס אורטוגונלי של מצבים עצמיים n ϕ המקיימים N ϕ n = n ϕ n (8.15) כאשר כרגע n ממשי (בהמשך נוכיח ש n חייב להיות טבעי..) 65
8 אוסצילטור הרמוני 8. אופרטורי העלאה והורדה נחשב את יחס החילוף [ N, a ] = [ a a, a ] = a [ a, a ] = a (8.16) אזי a הוא אופרטור עצמי של N. [ ] N, a = [ a a, a ] = [ a, a ] a = a (8.17) גם a הוא אופרטור עצמי של N, עם ערך עצמי 1 משפט 8.3 אם n ϕ מצב עצמי של אופרטור המספר N, אזי גם n a ϕ הוא מצב עצמי של N. הוכחה: n.n ϕ n = n ϕ Na ϕ n = a }{{} aa =a a+1 ϕ n = a }{{} a a +1 ϕ n N (8.18) = (n + 1) a ϕ n (8.19) ועבור Na ϕ n = }{{} a a a ϕ n (8.0) =aa 1 = aa a ϕ n a ϕ n (8.1) = (n 1) a ϕ n (8.) זה מסביר את השם אופרטורי העלאה והורדה הם מעלים (מורידים) את המצב העצמי של N מתת מרחב עם מצב עצמי n ל 1 + n (n 1) אופרטור ההעלאה a operator) raising (Creation אופרטור הורדה a operator) lowering (annihilation הערה 8.4 המצבים החדשים שנוצרו אינם מנורמלים משפט 8.5 כל הערכים העצמיים של n,, N אי שליליים 0 n ψ N הוכחה: לכל ψ מתקיים 0 ψ (ψ a )(a ψ) = a ψ 0 (8.3) 66
8 אוסצילטור הרמוני 8.3 פתרונות אוסצילטור הרמוני a = 1 ( a = 1 ( a a + aa = 1 H = 1 ω 0 ) ξ + ξ ξ ) ξ [( ξ + ξ ] [ ξ + ξ ) ( ξ ξ ) + 8.3 פתרונות אוסצילטור הרמוני ( ξ ) ( ξ + )] ξ ξ נזכר שההמילטוניאן הוא (8.4) ו (8.5) (8.6) (8.7) = ξ ξ (8.8) אזי ההמילטוניאן שלנו הוא H = 1 ( ω 0 a a + aa ) (8.9) ( = ω 0 N + 1 ) (8.30) ולכן המצבים העצמיים של H הם n ϕ עם ערך עצמי ( E n = ω 0 n + 1 ) (8.31) כאשר n מספרים אי שליליים. משפט 8.6 קיים מצב אחד עם = 0 n, והוא נתון על ידי המשוואה a ϕ 0 = 0 (8.3) ( ).ϕ 0 = e 1 וננחש ξ a = 1 ξ + ξ הוכחה: ( 1 ξ + ) e 1 ξ = 1 (ξ + ( ξ)) e 1 ξ = 0 (8.33) ξ נוודא שזהו מצב עצמי של N N ϕ 0 = a a ϕ 0 = 0 ϕ 0 (8.34) 67
8.3 פתרונות אוסצילטור הרמוני 8 אוסצילטור הרמוני ו ϕ 0 יחיד מכיוון שאין להמילטוניאן,, H ניוון במימד אחד. נפעיל 0 a, ϕ נקבל מצב עצמי של N עם ערך עצמי 1. ( a ( ונקבל מצב עצמי של N עם ערך עצמי. נפעיל ϕ0 כלומר, ניתן ליצר סולם של מצבים עצמיים של N עם ערכים עצמיים טבעיים ϕ n = ( a ) n ϕ0 n = 0, 1,, 3,..., (8.35) כל אלו הם מצבים לא מנורמלים.. E n = ( n + 1 ) אנרגיות של ההמילטוניאן יהיו ω0 עוד לא הראנו שכל הספקטורם מתואר על ידי הרשימה הזו משפט 8.7 כל המצבים העצמיים של N (וגם ( H נתונים על ידי n טבעיים הוכחה: נניח שקיים מצב שלו n = ν לא שלם (וסופי) (הוכחנו כבר ש n אינו שלילי) נפעיל על ν ϕ את aאז n a n ϕ ν = ϕ ν n 0 (8.36) המצב איננו אפס, כי רק המצב 0 ϕ מתאפס על ידי הפעלת a (בכלל יחידות הפתרון עבור משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון) עבור n מספיק גדול נקבל ν n ϕ כאשר ν n שלילי. אזי, למצב העצמי ν n ϕ יש ערך עצמי שלילי בסתירה לכך שכל הערכים העצמיים של N חיוביים. עבור מספרים טבעיים קיים מצב יסוד 0 ϕ, המחוסל על ידי a. המצב הלא טבעי שקיבלנו, ν, אינו מחוסל על ידי a משום שלמשוואה = 0 ϕ a יש רק פתרון אחיד והוא 0 ϕ. ידוע שמצב היסוד הוא ϕ 0 (ξ) = π 1 4 e 1 ξ עירור Excitation) ( 1 a ϕ 0 = ϕ ϕ 1 a ϕ 0 (8.37) ( ϕ 1 (ξ) = A ξ ) e 1 ξ = Aξe 1 ξ (8.38) ξ ( ϕ (ξ) = A ξ ) ( ξe 1 ξ) = B ( 4ξ ) e 1 ξ (8.39) ξ בצורה הכללית ( ) ( ξ a n ϕ0 = ξ ) n e 1 ξ (8.40) ξ או, פולינום הרמיט = AH n (ξ) e 1 ξ (8.41) 68
8.4 התמרת הרמיט 8 אוסצילטור הרמוני והאנרגיות העצמיות נתונים על ידי..., = 0, 1, n E n = ( n + ) 1 ω0 נשים לב שהמרחקים בין מצבי אנרגיה סמוכים הם קבועים. ω 0 והאנרגיה של מצב היסוד היא 0 0 1 ω בגלל אי הודאות. זה נקרא Zero point motion וזו האנרגיה המינימלית האפשרית במצב היסוד של אוסצילטור הרמוני. I = ξ I ξ = 8.4 התמרת הרמיט n ϕ פורש את המרחב כבסיס שלם. בסיס בדיד (בן מניה) ϕ n ϕ n (8.4) n=0 ϕ n (ξ) ϕ n (ξ ) = n=0 H n (ξ) H n (ξ ) e ξ e ξ (8.43) n=0 = δ (ξ ξ ) (8.44) את הנירמול של המצבים העצמיים n ϕ קל לקבל. נניח כי 0 ϕ מנורמל a ϕ 0 = ϕ0 aa ϕ0 (8.45) = ϕ 0 N + 1 ϕ0 = 1 (8.46) אזי ( a ϕ n ) = ϕ n aa ϕn = (n + 1) ϕn ϕ n (8.47) ϕ n+1 = a ϕ n n + 1 (8.48) ( a ) n n! = ובאופן כללי ( ) n ξ ξ e 1 ξ (8.49) n! פולינומי הרמיט מנורמלים. הפתרון הכללי הוא ϕ n = A n H n (ξ) ξ (8.50).A n = ( ) 1 n n!π 1 כאשר ϕ 0 (x) = 69 ( mω0 ) 1 4 π 1 4 e mωx (8.51)
8 אוסצילטור הרמוני 8.5 ערכי תצפית עבור מערכת קלאסית m מאוד גדול האקספוננט דועך מאוד מהר ומצב היסוד של חלקיק עם מסה גדולה מאוד מרוכז סביב המינימום (כלומר מנוחה). נקודת חזרה קלאסית מתקיימת כאשר, V (x tp ) = 1mω 0x tp = E = 1 ω 0 אזי, עבור מצב היסוד x tp = = λ (8.5) mω 0 במקרה הקוונטי יש לנו Zero point motion באורך. λ â = 1 [ ] x λ + ipλ 8.5 ערכי תצפית נסמן n. ϕ n = (8.53) אזי, אפשר לכתוב את,p x x = 1 λ ( a + a ) (8.54) p = 1 i ( ) a a (8.55) λ נזכיר a n = n n 1 (8.56) a n = n + 1 n + 1 (8.57) m a n = δ m.n 1 n (8.58) m a n = δ m,n+1 n + 1 (8.59) m x n = λ ( ) δ m,n 1 n + δm,n 1 n + 1 0 1 0 m x n = λ 1 0 0 3 3....... 0.. 0 (8.60) (8.61) אזי = 0 n x n ו 0 = x p n (עבור אוסצליטור הרמוני שרוכז סביב אפס). אבל אפשר היה להגיע לזה גם מטעמי סימטריה. p אנרגיה קינטית, ועבור אוסצילטור הרמוני x אנרגיה קינטית. 70
8.6 אבולוציה (דינמיקה) של ערך התצפית של x במצב ψ 8 אוסצילטור הרמוני x = λ ( a a + aa + a a + aa ) (8.6) שני האופרטורים ההרימטיים aa a,,a תורמים איברים ל n n x n x n = λ n N ( + 1 n = n + 1 ) λ (8.63) p = ועבור p ( ) 1 ( aa + a a a a aa ) (8.64) λ אזי p = (n + 1) (8.65) λ נחשב את אי הודאות x ( p = n + 1 ) 1 (8.66) 8.6 אבולוציה (דינמיקה) של ערך התצפית של x במצב ψ כאשר ב 0 = t, נתון 0. ψ(t = 0) = ψ ψ 0 x ψ 0 = n,m ψ 0 = ψ n n (8.67) n=0 כאשר 0.ψ n = n ψ n ψ nxψ m m (8.68) = n,m ψ nψ m n x m (8.69) = λ n ( ψ n+1ψ n n + 1 ) n 1 + ψn 1ψ n (8.70) נשנה את משתנה הסכימה ונקבל = λ n ψ n+1ψ n n + 1 71 + n ψ n 1ψ n n 1 (8.71)
8 אוסצילטור הרמוני 8.7 הסתברות ועבור n 1 = n נקבל = λ ( ) ψ n+1 ψ n + ψnψ n + 1 n+1 ( = R λ ) n + 1 ψ n+1 ψ n n (8.7) (8.73) עבור > 0 t ψ n e ient / ψ n (8.74) t ient.e n = ω 0 ( n + 1 ) ונזכר ש ψn+1ψ n e i E n+1 }{{} ψn+1ψ n (8.75) iω 0 t ( ) x t = λr e iω0t ψn+1ψ n (8.76) n = λr e n + 1 iωt ψn+1ψ n n }{{} (8.77) 1 λ x max eiφ = xmax cos (ω 0 t + φ) (8.78) 8.7 הסתברות האם יש מובן קלאסי לצפיפות ההסתברות (x) ϕ n? איך נראת הסתברות לחלקיק קלאסי באנרגיה E, להמצא באזור dx),x) x +. כלומר, באיזה חלק מהזמן הוא מבלה באזור הדרוש (יחסית לחצי זמן מחזור) P x,x+dx = dt (x) dt dx = = 1 dx/dt T 0/ (8.79) = 1 v(x) = 1 (E V (x)) m (8.80) ובהצבת E = 1 mω x tp = 1 ω 0 x tp x (8.81) 7
8.8 שני אוסצילטורים 8 אוסצילטור הרמוני ρ(x) = אזי, ההסתברות הקלאסית 1 (8.8) π x tp x (מתוך: ( hyperphysics 8.8 שני אוסצילטורים H D = P x m x + P y m y + 1 m xω xx + 1 m yω xx (8.83) x, y קוראדינטות בלתי תלויות = 0 y] [x, ו 0 = ] y [P x, P ו.[x i, P j ] = i δ ij אלו הם יחסי חילוף קאנונים. נסתכל על יחס החילוף [H x, H y ] = 0 (8.84) ולכן ניתן לכסן אותם סימולטנית יש להם מצבים עצמיים משותפים. פתרון של אוסצילטור דו מימדי ψ nx,n y (x, y) = ϕ nx (x) ϕ ny (y) (8.85) (H x + H y ) ( ϕ nx (x) ϕ ny (y) ) = (H x ϕ nx ) ϕ ny + ϕ ny ( Hy ϕ ny ) ( E = ω x n x + 1 ) ( + ω y n + 1 ) אזי (8.86) = E nx ϕ nx ϕ ny + ϕ nx E nyϕ ny (8.87) = ( E nx + E ny ) ϕnx (x) ϕ ny (y) (8.88) הספקטרום יהיה n x, n y = 0, 1,..., (8.89) E 0 = 1 (ω x + ω y ) (8.90) 73