Α. Κατασκευασμενοι Ρητοι λογοι

Σχετικά έγγραφα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.

: :

Ορισμός Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται µε. Ε = πρ 2.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Να απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες.

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

ΘΕΜΑ 1 ο Τα παρακάτω σχήματα έχουν χωριστεί σε ίσα τετράγωνα. Σε ποια από αυτά έχουμε γραμμοσκιάσει του σχήματος; Να κυκλώσεις το σωστό.

5η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ )

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Επαναληπτικές ασκήσεις για τα Χριστούγεννα.

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Να απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25. Δεκαδικά Κλάσματα - Δεκαδικοί Αριθμοί ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MATHematics.mousoulides.com

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

Τι ονομάζουμε εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας; Αναφέρετε ονομαστικά τις μονάδες μέτρησης επιφανειών.

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

+ = x 8x = x 8x 12 0 = 2 + = + = x 1 2x. x 2x 1 0 ( 1)

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ. ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ. ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

2 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Α Φάση ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ

Transcript:

Α. ατασκευασμενοι Ρητοι λογοι Η διαδικασια κατασκευης είναι γνωστη εκ των προτερων, εμεις καθοριζουμε τα μηκη οπότε γνωριζουμε και τη σχεση μεγεθους. Α. 5 0 5 0 To ορθογωνιο εχει μηκος μοναδες και πλατος μοναδες Το μηκος είναι τριπλασιο από το πλατος Α πλατος μηκος = 3 φορες το πλατος μηκος 5 0 5 0 Η σχεση τους είναι 3 προς μηκος προς πλατος Αν διαιρεσουμε τον αριθμο που εκφραζει το μηκος με τον αριθμο που εκφραζει το πλατος θα βρουμε 3. Μαθηματικη εκφραση: ο λογος του μηκους προς το πλατος είναι 3 Συμβολα: 3. Ο αριθμός 3 εκφράζει τη σχέση των μεγεθών, τριπλάσιο, το 3 είναι «καθαρός» αριθμός, χωρίς μονάδες. *Φυσικα, μπορουμε να αντιστρεψουμε τις εκφρασεις Μαθηματικη εκφραση: ο λογος του το πλατους προς το μηκος είναι προς 3 Συμβολα: 3

Α3 0 8 Δ πλατος ΑΒ Β =3, ή Β ΑΒ = 3 Α μηκος Β 5 0 5 0 5 - Τι άλλαξε; Μονο τα συμβολα *Μπορουμε φυσικα να γραψουμε 3 o οι οροι του κλασματος ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, είναι ευθυγραμμα τμηματα o οι αρχαιοι, δεν ειχαν τους σημερινους αριθμους, οι σκεψεις γινοταν με τη βοηθεια ευθυγραμμων τμηματων, για τον Ευκλειδη το γινομενο *= είναι το εμβαδον ορθογωνιου με την μια διασταση μοναδες και την άλλη μοναδες o φυσικα δεν υπηρχαν και οι σημερινες μοναδες μετρησης, αλλα οι σκεψεις είναι ανεξαρτητες των μοναδων Α 3 Το ευθυγραμμο τμημα εχει μηκος 3 μοναδες

Α5 0 8 ΑΒ Β =3 Δ Α Β 5 0 5 0 5 - Α Δ ΑΒ Β =3 Α Β 5 0 5 0 - Α7 Δ ΑΒ Β =3...,5=3*,5 *πολλαπλασιασμος Α Β 5 0 5 0 3

Α8 Ν Μ αφαιρεσα τις μοναδες αλλα και παλι το μηκος του τμηματος ειναι τριπλασιο απο το μηκος του Μ Μ =3 3 3 3 αν παρουμε για μοναδα μετρησης το μηκος του τμηματος Μ, τοτε το είναι τριπλασιο μπορουμε να μετρησουμε το με το Μ Α9 3 Μπορουμε να μετρησουμε το Μ με το ; Δοκιμαζουμε μηπως με το μισο, το μισο είναι μεγαλυτερο από το Μ Δοκιμαζουμε με το /3.ακριβως! Οι μετρησεις με το ανοιγμα του διαβητη ****τα εργαλεια των αρχαιων είναι διαβητης και κανονας[χαρακας χωρις μοναδες] Ν Μ Ε 3 Ε μεσον του

Α0 Μπορει ένα τμημα Μ να είναι μικροτερο από την επιλεγμενη μοναδα. Διερευνουμε μηπως με καποιο κλασμα, με καποια υποδιαιρεση της μοναδας μπορουμε να κανουμε τη μετρηση[στην εποχη μας υποδιαιρουμε σε 0 μικροτερες δεκατα, αυτές σε 0 μικροτερες εκατοστα κλπ, δεκαδικο συστημα] Η μεθοδος διαιρεσης τμηματος (π.χ. ) σε (π.χ. ) μικροτερα, οσα θελουμε, ισα μερη, χωρις μετρηση [θεωρημα του Θαλη] φαινεται στο σχεδιο: Ρ χ '''' ' '' ''' Παιρνουμε στη βοηθητικη ευθεια χ π.χ. ισα τμηματα, εμεις τα κατασκευαζουμε να είναι ισα με το διαβητη, ενωνουμε το τελευταιο σημειο Ρ με το και φερνουμε παραλληλες προς το τμημα Ρ. Με σκεψεις[θαλης] αποδεικνυουμε ότι και το τμημα χωριστηκε σε ισα τμηματα Δεν είναι απαραιτητο να γνωριζουμε το μηκος του Επισης δεν γνωριζουμε ποσο μηκος εχει καθενα από τα ισα τμηματα στα οποια το χωρισαμε Αλλα γνωριζουμε ότι είναι ισα μεταξυ τους 5

Α Το τμημα Ζ είναι το / του, Το τμημα Ζ είναι τα 5/ του, 5 Φέρνουμε κάθετη επί την στο και παιρνουμε, με τη βοηθεια κυκλου, Η=Ζ Ο λογος των πλευρων του πρασινου ορθογωνιου είναι προς 5 ή 5 προς.ή 5 5 5 Η Ρ χ '''' ' '' ''' Ζ Μεχρι τωρα ειδαμε τον «λογο» δυο γνωστων ευθ.τμηματων, τον λογο δυο τμηματων που γνωριζουμε την σχεση μεγεθους τους, οπότε ο λογος είναι γνωστος.

Β. Αν εχουμε δυο τυχαια ευθυγραμμα τμηματα; Πως θα βρουμε, ή πως θα υπολογισουμε τον λόγο τους; Ποιος είναι ο λογος του κοκκινου προς το μπλε, ή αντιστροφα, μπλε προς κοκκινο; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τετράγωνο με πλευρά μέτρο ή μονάδα, μ. Αν διπλασιάσουμε την πλευρά το εμβαδόν τετραπλασιάζεται. Ο λόγος των εμβαδών είναι :, Ο λόγος των πλευρών είναι νωρίζουμε τον λόγο των εμβαδών,. Ποιος είναι ο λόγος των πλευρών; Ο λόγος των πλευρών είναι, αλλά τα μήκη των πλευρών δεν είναι απαραίτητο να είναι και, μπορεί π.χ. να είναι 3 και (εμβαδά 9 και 3, λόγος ) Πως θα κατασκευάσουμε τετράγωνο με διπλάσιο εμβαδόν; Ποιος θα είναι ο λόγος των πλευρών; Αν τριπλασιάσουμε την πλευρά το εμβαδόν εννεαπλασιάζεται. Πως θα κατασκευάσουμε τετράγωνο με τριπλάσιο εμβαδόν; Ποιος θα είναι ο λόγος των πλευρών; 7

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τετράγωνο με πλευρά μέτρα ή μονάδες, μ. Αν διπλασιάσουμε την πλευρά, τότε το εμβαδόν οκταπλασιάζεται. Πως θα κατασκευάσουμε τετράγωνο με διπλάσιο εμβαδόν; δηλ. εμβαδόν 8 τετραγωνικές μονάδες; Η εξήγηση του (αρχαίου) Σωκράτη περιγράφεται αναλυτικά στον Μένωνα του Πλάτωνα(TLG: Thesaurus Linguae Graecae-Θησαυρός Ελληνικής λώσσας. Βάση δεδομένων Musaios,Plato, Meno: 8 d 3-85 b 7). SW. OÙkoàn gšnoit' n toútou toà cwr ou teron dipl sion, toioàton dš, saj œcon p saj t j gramm j ésper toàto; PAI. Na. SW. PÒswn oân œstai podîn; PAI. 'Oktè. SW. Fšre d», peirî moi e pe n phl kh tij œstai ke nou ¹ gramm¾ k sth. ¹ m n g r toàde duo n podo n t d ¹ ke nou toà diplas ou; PAI. DÁlon d», ð Sèkratej, Óti diplas a. SW. `Or j, ð Mšnwn, æj gë toàton oùd n did skw, ll' rwtî p nta; kaˆ nàn oátoj o etai e dšnai Ðpo a stˆn f' Âj tõ Ñktèpoun cwr on gen»setai À où doke soi; SÝ dš moi lšge põ táj diplas aj grammáj fêj tõ dipl sion cwr on g gnesqai; Σωκ: Μπορεις να κατασκευασεις ένα σχημα, ομοιο με αυτό, ώστε να εχει διπλασιο εμβαδον; Π: ναι Σωκ: ποσο θα είναι το εμβαδον του; Π:8 Σωκ: η πλευρα του αρχικου εχει μηκος Τι μηκος θα εχει η πλευρα αυτου με το διπλασιο εμβαδον; Π: θα είναι διπλασια ώ Σώκρατες Εδώ ο Σωκ τονιζει στον Μενωνα ότι δεν διδασκει αλλα μονον ρωτα. Σωκ: ισχυριζεσαι ότι από διπλασια πλευρα, θα εχουμε τετραγωνο με διπλασιο εμβαδον; 8

... Η συζήτηση συνεχίζεται και ο (αρχαίος) Σωκράτης καθοδηγεί τον μαθητή(παι) να παραδεχθεί ότι το εμβαδον τετραγωνου με πλευρα διπλασια της αρχικης είναι τετραπλασιο και όχι διπλασιο του αρχικου, αρα εχουμε εμβαδον και όχι 8. Στη συνέχεια ο Σωκράτης κατασκευαζει τετραγωνο χρησιμοποιωντας τα μεσα των πλευρων του τετραπλασιου και οδηγει τον ΠΑΙ να κατανοησει ότι αυτό εχει εμβαδον 8, και αρα η ζητουμενη πλευρα είναι αυτή που συνδεει τα μεσα των πλευρων, η κοκκινη. Ποιος είναι ο λόγος των πλευρών όκκινη προς μπλε ή αντίστροφα; Τελικά, ποιος είναι ο λόγος της διαγωνίου προς την πλευρά τετραγώνου; Άλλος τρόπος κατασκευής τετραγώνου με διπλάσιο εμβαδόν από το αρχικό: *, ίσως ο πρώτος άρρητος 9