Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους"

Αρκάδιος Βασιλείου
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -( + y ( y δ Δ = ( + (y (- y. Αν - y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = ( - y ( 6y - y β B = -( + y - ( y γ Γ = - (- - 7y + (y ω ( + y - ω. Αν οι αριθμοί α, β είναι αντίθετοι, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = -(β α + ( β.. Αν οι αριθμοί α, β είναι αντίθετοι και οι αριθμοί, y αντίστροφοι, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = ( α ( y + ( β +.. Αν α + β = και γ + δ = -, να βρείτε την τιμή της παράστασης: ( ( Α =. ( ( 8 6. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α ( + (y + (y = β (y (y - ( - = y (y - (y = γ ( + y - Β. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών 7. Να κάνετε τις πράξεις: α 7 β : 9 γ 7 : 0 δ : ε στ 6 ζ 6 η θ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να κάνετε τις πράξεις: α β 0 : 0 δ 0 : (0 γ ε 0 : (0 0 στ (0 :0 7 ( 0 : Να κάνετε τις πράξεις: 6 6 α β 7 ( : γ : ( δ ( : ε στ ( (7 ( ( : 7 0. Να γράψετε ως μία δύναμη καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις: 6 α β y y y γ ε ζ ( ( δ στ ( : ( 7 : η ( ( : 6. Αν y = -, να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: Α = ( y ( y y Β = ( y ( y. Αν y = -, να βρείτε την τιμή της παράστασης: ( y Α =. 8 ( (y Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού. Να αποδείξετε ότι: α β γ δ 7 ε

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = β B = 8 8 γ Γ = 0 :. Να κάνετε τις πράξεις: δ Δ = 0 α - 6 β ( - ( 6. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή: α β γ δ 6 7. α Να αποδείξετε ότι: ( 6 6 β Να μετατρέψετε το κλάσμα παρονομαστή. ε = 6 8. α Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i + = 8 - ii y στ σε ισοδύναμο με ρητό 8 = 0 β Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = y 6 9. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = και Β = α Να υπολογίσετε το γινόμενο A B β Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Γ = A B 8. Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Α. Μονώνυμα 0. Να βρείτε το μονώνυμο που είναι: α αντίθετο από το - y β όμοιο με το - y και έχει συντελεστή.. Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή - και μεταβλητές και y. Nα βρείτε το μονώνυμο όταν αυτό είναι: α ου βαθμού ως προς και ου βαθμού ως προς y β ου βαθμού ως προς και ου βαθμού ως προς y

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - - γ ου βαθμού ως προς και 8ου βαθμού ως προς και y.. Τα μονώνυμα - 7-λ y μ+ και y είναι όμοια. Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ.. Δίνεται το μονώνυμο λ- y. Να βρείτε τον αριθμό λ, ώστε το μονώνυμο: α να είναι ου βαθμού ως προς, β να είναι ου βαθμού ως προς και y.. Δίνονται τα μονώνυμα: (α y και λ- y μ-. Να βρείτε τους αριθμούς α, λ και μ ώστε τα μονώνυμα να είναι: α όμοια β ίσα γ αντίθετα. Β. Πράξεις με μονώνυμα πρόσθεση. Να κάνετε τις πράξεις: α + β y 6y γ y + y δ α β + α β ε y - y στ -α β + α β 6. Να κάνετε τις πράξεις: α - + β -α β + α β - α β γ - y + y - y δ y - y + y ε -α β γ + α β γ - α β γ στ α β - α β + α β πολλαπλασιασμός 7. Να κάνετε τις πράξεις: α β γ ( δ ( ε ( στ 8 ( 8. Να κάνετε τις πράξεις: α y ( y β ( y ( y γ ( y z ( yz δ ( y z ( 6 yz ε ( στ ( ( 9. Να κάνετε τις πράξεις: α ( β γ ( y ( y δ ( ( ( y ( y

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - - διαίρεση 0. Να κάνετε τις πράξεις: α 6 : β : (- γ - 6 : δ 9 : (- ε (- : (- 7 στ. Να κάνετε τις πράξεις: α -6 y : y β -y : y γ (-8y :(- y δ 6 y ω : (-8y ω. Δίνονται τα μονώνυμα: 6 y και y. : α Να βρείτε το γινόμενο των δύο μονωνύμων. β Αν το μονώνυμο - λ+ y μ- είναι ίσο με το παραπάνω γινόμενο, να βρείτε τους αριθμούς λ και μ.. Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων. Έστω τα πολυώνυμα: Ρ( = + 7 και Q( = Να βρεθούν τα πολυώνυμα: i Ρ( + Q( ii Ρ( - Q( iii Ρ( - Q(. Έστω τα πολυώνυμα: Ρ( = και Q( = Να βρεθούν τα: i A( = Ρ( + Q( ii B( = Ρ( - Q( iii A(- και Β(. Έστω τo πολυώνυμo: Ρ( = +. Να βρεθούν οι τιμές: Ρ(, Ρ(0 και Ρ(-. 6. Έστω το πολυώνυμο: Ρ( = - +. Να βρεθούν τα: i P( ii P(- iii P(- iv P( 7. Έστω τα πολυώνυμα: Ρ( = - + και Q( = - 6. Να βρεθούν τα: i Ρ( + Q( ii Ρ( - Q( iii P( Q(- 8. Δίνονται τα πολυώνυμα: Α( = α + β + γ, B( = και Γ( = - +. Αν το Α( είναι ίσο με το B( + Γ(, να βρείτε: α τους αριθμούς α, β, γ β τα Α( και Α(-

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Δίνεται το πολυώνυμο: Ρ( = - α +. Αν ισχύει: Ρ( =, να βρείτε α τον αριθμό α β το Ρ(- γ το Ρ( δ το Ρ( 0. Δίνονται τα πολυώνυμα: Ρ( = α + β + γ και Q( = + Να βρείτε τους αριθμούς α, β και γ, αν το πολυώνυμο Ρ( είναι ίσο με το Q(- + Q(.. Δίνεται το πολυώνυμο: Α( = α - β +. α Αν το πολυώνυμο Β( = είναι ίσο με το Α( A(-, να βρείτε το β. β Αν ισχύει: Α(- =, να βρείτε το α. γ Για τις παραπάνω τιμές των α και β, να βρείτε το Α( A(. πολλαπλασιασμός πολυωνύμων. Να κάνετε τις πράξεις: i ( - 6 ii - ( - + iii y ( + y iv - y (-y + y v ( ( vi -( ( vii ( + ( viii ( (. Να κάνετε τις πράξεις: i ( + ( ii (- + (- + iii ( - ( + iv ( - ( v ( - ( + + vi -( - (- + vii ( (- + (- + viii ( ( - ( + i ( + (- + ( - - ( - ( - (. Να κάνετε τις πράξεις: i (- + - ( + (- ii - ( - - ( ( iii - ( + - ( ( iv y ( y ( y( y. Αν Ρ( = + ( ( - και Q( = α + β + γ + δ, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, δ ώστε: Ρ( = Q(. 6. Να αποδείξετε ότι: α ( + ( - ( + 8( = 6 β ( + - ( + ( + + (6 + = γ - ( - - ( ( = δ ( + ( ( + ( - ( + ( + = -.

7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αξιοσημείωτες ταυτότητες τετράγωνο αθροίσματος 7. Να βρείτε τα αναπτύγματα: i ( + ii (y + iii ( + iv (α + β v ( + vi ( + vii viii i τετράγωνο διαφοράς 8. Να βρείτε τα αναπτύγματα: i ( - ii (y - iii ( iv (α - β v ( - vi ( - vii viii i 9. Να κάνετε τις πράξεις: α ( + - ( - β ( y - ( - y (y γ ( - + ( + - ( - ( - δ ( - - ( + ( ( + ειδικές περιπτώσεις (- α + β = (β α = β αβ + α 0. Να βρείτε τα αναπτύγματα: i (- + ii (-y + iii (- + (- α - β = (α + β = α + αβ + β. Να βρείτε τα αναπτύγματα: i (- - ii (-y - iii (- y. Να κάνετε τις πράξεις: α ( - - (- + (- β ( + - (- + + (- εφαρμογή: τετράγωνο αθροίσματος όρων (α + β + γ = α + β + γ + αβ + αγ + βγ. Να βρείτε τα αναπτύγματα: i ( + y + ii ( - y + iii ( y -

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ iv ( + y v ( + vi ( + κύβος αθροίσματος κύβος διαφοράς. Να βρείτε τα αναπτύγματα: i ( + ii (y + iii ( + y iv (α - v ( - vi ( - γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά. Να βρείτε τα αναπτύγματα: i ( + ( ii (y + (y iii ( - ( + iv ( + y( y v ( - ( + vi ( + 6. Να κάνετε τις πράξεις: α ( ( β ( + ( ( + γ ( + ( + ( + ( δ ( + + ( + ( ε (α + + (α - α στ ( - - ( - ( + ( ζ (- + α (-α (α η ( - + ( + ( Να αποδείξετε ότι: α ( + - ( - = 6 β (α - - (α + = ( - α γ ( - + ( - -( ( = δ ( - - ( ( + + ( + = 6 ε ( - - ( ( + + ( + = 0 στ (α β - (β - α = 8(β - α(β + α ζ ( + - ( ( + = 8 + ( - η (α + (β (αβ + 6 = (α β 8. Να αποδείξετε ότι: α ( + - 9( + = + 9( + β ( + - ( - = ( + + ( ( + γ ( - - ( - - ( ( + + = δ ( ( ( + = -( + - ε ( - - ( - + ( = στ ( - ( + - ( - = ( - (

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ( είναι σταθερό, όταν: α Ρ( = ( - + ( + - 0( ( + β Ρ( = ( - - ( - - ( - γ Ρ( = ( - + ( - - ( + ( + 6 δ Ρ( = ( - - ( - - ( - ( Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ( = ( + ( ( + + ( + είναι μηδενικό. 6. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α - + (α + = (α + + (α - και στη συνέχεια ότι ι- σχύει: = α Να αποδείξετε ότι: - = 0 β Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = α Να αποδείξετε ότι: ( + ( ( + ( + + = 8 β Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = α Να αποδείξετε ότι: ( - + ( - + = β Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι κύβος ενός ακεραίου τον οποίο και να προσδιορίσετε. Παραγοντοποίηση Α. Κοινός παράγοντας Όταν όλοι οι όροι μιας παράστασης είναι γινόμενα που έχουν κοινό παράγοντα, τότε «βγάζουμε» κοινό παράγοντα έξω από την παρένθεση, σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα: αβ + αγ = α(β + γ 6. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i α + β ii y + ω iii - y iv α + β v 6y + ω vi αβ 8β vii y 0yω viii + 6 i α + α i α - α + α ii α - 9α + 6α 66. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i y y 6y ii αβγ 9αβ αβγ

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ iii α( + + β( + iv ( ( ( ( + v ( - ( vi ( + ( - vii ( - ( - viii ( - ( + ( i ( + ( (εξάσκηση Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i 7α + 7β ii y + ω ii - + y iv α + v -8 + y - 0ω vi - vii α - 6α + 0α viii α β γ 9α βγ i 8 y y + 6 y y + y - y i ( ( + ( ( - ii ( - ( iii ( - ( - iv ( + v ( - + B. Ομαδοποίηση (κοινός παράγοντας κατά ομάδες Όταν η παράσταση έχει άρτιο πλήθος όρων (συνήθως ή 6 όρους, χωρίζουμε την παράσταση σε δύο ομάδες και κάνουμε χωριστά παραγοντοποίηση με στόχο να εμφανίσουμε και στις δύο ομάδες ίδιο παράγοντα. 68. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i ii iii - + iv v vi - 8 α + α vii 9αβ 8β + 0β α viii 8y + 0y i i ( ( ii ( + ( iii α + α β β + + iv α + α β + β (εξάσκηση Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i ii iii iv 8 - y y v α α + αβ β + α vi διάσπαση όρου Όταν μία παράσταση έχει όρους, γράφουμε τον έναν όρο ως άθροισμα ή διαφορά δύο όρων ώστε να μπορέσουμε να κάνουμε ομαδοποίηση. 70. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i + y + y ii - y + y iii 7 + 0y + y iv - 8y + y v + y + y vi + y + y

11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - - Γ. Διαφορά τετραγώνων Η ταυτότητα γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά αν γραφεί ανάποδα δίνει: α β = (α + β(α β οπότε μετατρέπει μια διαφορά τετραγώνων σε γινόμενο. 7. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i ii α 9 iii iv - v 9α 6β vi - 6y vii ( - viii 9 ( i (α + (β - (α + 9(β - i 9 6 ii 7. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i ii α α iii iv - v 7α α vi - vii 00 y viii 8 6 i (α + α - 7. (εξάσκηση Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i α 6 ii iii 8 - iv - y v 6α 9 vi 6-9y viii 6 vii i ( 9 ( + 9 i ( + ii 6 - ( 7. (εξάσκηση Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i ii 8 8 iii α α iv - y v y y vi α 7 6α Δ. Ανάπτυγμα τετραγώνου Η ταυτότητα τετράγωνο αθροίσματος αν γραφεί ανάποδα δίνει: α + αβ + β = (α + β οπότε μετατρέπει μια παράσταση της μορφής α + αβ + β σε (τέλειο τετράγωνο. Όμοια: α - αβ + β = (α - β 7. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i + + ii + + iii α + 8α + 6 iv v + vi α α + 9 vii (+y -(+y + viii + + i i -y+y -+y ii y - +-

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (εξάσκηση Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i ii - + iii α + 0α + iv v + + vi 6α α + 9 vii - + viii - y - + i ( E. Άθροισμα κύβων: α + β = (α + β(α αβ + β Διαφορά κύβων: α - β = (α - β(α + αβ + β 77. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i + ii - 8 iii 8α + 7 iv 6-8 v y + y vi 6α α ΣΤ. τριώνυμο της μορφής + α + β κ λ β Αναζητούμε δύο αριθμούς κ, λ έτσι ώστε: δηλαδή δύο κ λ α αριθμούς κ, λ με γινόμενο β και άθροισμα α. Τότε ισχύει: + α + β = ( + κ( + λ 78. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i ii + + iii iv + v + 0 vi vii - + viii - - i i - - ii ( (εξάσκηση Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α y + 9 y + β y - 6 y + y γ (- - + δ (α - β(-y + (y-(β-α ε στ 6 - α -9β + 6αβ ζ α - 6β η (α+ - (α- θ - y ι - - y + ια ιβ ιγ + - ιδ ιε (- ιστ ρητές αλγεβρικές παραστάσεις 80. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις: i ii iii (

13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - - iv v vi 9 8. Να απλοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις: i iv vii 9 ii v viii i y iii vi i ii 0 y y ( 8. Να απλοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις: ( i ii ( ( 6 9 iii ( iv (( 9( 8. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: πρόσθεση αφαίρεση ρητών παραστάσεων 8. Να κάνετε τις πράξεις: i ii iii iv 8. Να κάνετε τις πράξεις: i iii v ii iv vi 8

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ vii 8 y y y i y y y viii

Σχετικά έγγραφα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται