Σεμινάρια Διδακτικής - Σύγχρονες Διδακτικές Προσεγγίσεις Ταυτότητα εισήγησης Τίτλος: Αντιπαράδειγμα. Ένα υποτιμημένο «εργαλείο» διδασκαλίας στα Μαθηματικά του Λυκείου. Εισηγητής: Γιάννης Μοσχονάς Μαθηματικός (4 ο ΓΕΛ Ηρακλείου Κρήτης) Ηράκλειο, 18 Νοεμβρίου 2017
Η ιδέα Η κεντρική ιδέα της εισήγησης «γεννήθηκε» ακριβώς τη στιγμή που, ολοκληρώνοντας την βαθμολόγηση στις φετινές πανελλαδικές εξετάσεις στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ τάξης, διαπίστωσα ότι είχε απαντηθεί σωστά το ερώτημα Α2, που απαιτούσε αντιπαράδειγμα, μόνο στα 5 από τα 50 τετράδια που διόρθωσα. Αναρωτήθηκα τότε τι μπορεί άραγε να φταίει για το συντριπτικά κακό αυτό αποτέλεσμα;
Το Α2 Ερώτημα Υπενθυμίζω πως το ερώτημα ζητούσε από τους μαθητές να χαρακτηρίσουν τον παρακάτω ισχυρισμό ως αληθή ή ψευδή και να αιτιολογήσουν την απάντησή τους: «Κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο x 0, είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό». Κατέγραψα το στατιστικό αποτύπωμα και το παραθέτω:
Εννοιολογικές δομές ως «εργαλεία» μάθησης Το μυστικό, της μαθησιακής προσέγγισης βρίσκεται στην αναβάθμιση συγκεκριμένων εννοιολογικών δομών, ως «εργαλεία» βαθύτερης και πληρέστερης κατανόησης. Στην εργασία που θα σας παρουσιάσω, θα αναπτύξω ένα τέτοιο παράδειγμα που αφορά τα Μαθηματικά του Λυκείου, συγκεκριμένα είναι το αντιπαράδειγμα.
Αντιπαράδειγμα Ορισμός Αντιπαράδειγμα ονομάζουμε ένα παράδειγμα που χρησιμοποιείται για να ανατρέψει μια υπόθεση, έναν ισχυρισμό. Η ίδια η λέξη «αντιπαράδειγμα» υπάρχει στην Αρχαία Ελληνική Γραμματεία καθώς την αναφέρει ο Γρηγόριος Νύσσης στο έργο του «Περί κατασκευής του Ανθρώπου» (176, 46-53). Η μετάφραση του αντίστοιχου Αγγλικού όρου «counterexample» είναι :«Αντίθετο παράδειγμα».
Αντιπαράδειγμα - Αναθεώρηση Στα Μαθηματικά, το αντιπαράδειγμα κατέχει σημαντική θέση, αφού ως έννοια έχει αποδεικτική αξία. Στην πραγματικότητα, αποτελεί ουσιαστικά μια μορφή Μαθηματικής απόδειξης. Για παράδειγμα, στον ισχυρισμό: «Όλοι οι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί», προτάσσεται ως αντιπαράδειγμα ότι «το 2 είναι άρτιος και είναι πρώτος αριθμός». Τότε όμως, ο ισχυρισμός αυτός καταρρίπτεται. Στην περίπτωση αυτή ο ισχυρισμός μπορεί να αναθεωρηθεί και να διατυπωθεί με την σωστή τελικά πρόταση: «Όλοι οι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί, πλην του 2».
Το αντιπαράδειγμα ως αποδεικτικό μέσο Η έννοια του αντιπαραδείγματος ως αποδεικτικού μέσου σε λανθασμένες γενικεύσεις, είναι μια διεπιστημονική έννοια που εφαρμόζεται σε όλες τις Φυσικές και Κοινωνικές Επιστήμες, στην Λογική και στην Φιλοσοφία. Στην επιστημονική αναζήτηση που προχωρά με δοκιμές και σφάλματα, το αντιπαράδειγμα κατέχει κεντρική θέση. Το γεγονός αυτό καθιστά αναγκαία την εννοιολογική εισαγωγή του αντιπαραδείγματος στην Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση.
Ιστορική καταγραφή. Τα αντιπαραδείγματα έχουν κυρίαρχο ρόλο στην ιστορία των Μαθηματικών και χρησιμοποιήθηκαν εκτενώς από μία πληθώρα Μαθηματικών και άριστων διδασκάλων.
Ιστορική καταγραφή Από το Υπόμνημα του Πρόκλου (410-485 μ. Χ.) γνωρίζουμε ότι ο Ευκλείδης είχε συγγράψει ειδική πραγματεία, τα «Ψευδάρια», με σκοπό να ασκήσει τους μαθητές του στην εύρεση των λαθών, στην αποκάλυψη των αντιφάσεων, για μια βαθύτερη κατανόηση των ιδιοτήτων των Μαθηματικών.
Ιστορική καταγραφή Ωστόσο, υπάρχουν και παραδείγματα δόκιμων Μαθηματικών που διατύπωσαν υποθέσεις οι οποίες στη συνέχεια αποδείχθηκαν λανθασμένες, με χρήση αντιπαραδειγμάτων. Το 1640 ο Fermat διατύπωσε(χωρίς απόδειξη) το λεγόμενο «Μικρό Θεώρημα του Fermat:
Ιστορική καταγραφή
Ιστορική καταγραφή
Ιστορική καταγραφή Ανάλογη περίπτωση έχουμε με την Εικασία των Descartes και Euler. Σύμφωνα με αυτήν: «Σε όλα τα πολύεδρα ο αριθμός των κορυφών τους Κ μείον τον αριθμό των ακμών τους Α συν τον αριθμό των εδρών τους Ε ισούται με 2: (Κ Α + Ε = 2)».
Ιστορική καταγραφή Οι Descartes και Euler, απέδειξαν την εικασία τους για ορισμένη μορφή πολυέδρων. Άλλοι Μαθηματικοί πάλι, βρήκαν περιπτώσεις πολυέδρων στα οποία δεν μπορεί να εφαρμοστεί. Υπάρχει μια σειρά από προσπάθειες για απόδειξη που έκαναν οι Μαθηματικοί ιστορικά για την εικασία αυτή, οι οποίες απορρίφθηκαν επανειλημμένα με τη χρήση αντιπαραδειγμάτων.
Ιστορική καταγραφή Μέχρι τα τέλη του 1800 κυριαρχούσαν οι διαισθητικές αποδείξεις, οι οποίες αργότερα έγιναν αυστηρές με την επινόηση του αξιώματος πληρότητας στους πραγματικούς αριθμούς. Κεντρικό ρόλο διαδραμάτισε Γερμανός Μαθηματικός Karl Weierstrass ο οποίος επιδίωξε να φύγουν οι διαισθητικές «αποδείξεις» από την Ανάλυση και να επικρατήσει η αυστηρότητα στους συλλογισμούς.
Ιστορική καταγραφή Ο ίδιος έφερε μεγάλη αναστάτωση στον κόσμο των Μαθηματικών κατά την δεκαετία του 1880 όταν δημοσίευσε παράδειγμα μιας συνεχούς συνάρτησης που δεν ήταν παραγωγίσιμη σε κανένα σημείο. Με το παράδειγμά του έκλεισε οριστικά η πόρτα των μη αυστηρών αποδείξεων. Η εν λόγω συνάρτηση ανήκει στις λεγόμενες «Συναρτήσεις τέρατα».
Ιστορική καταγραφή
Ιστορική καταγραφή Μια εργασία που ασχολείται σε βάθος με εικασίες και ανασκευές, παρουσιάζεται στο βιβλίο «Αποδείξεις και ανασκευές» (1976), του Ούγγρου Μαθηματικού, Φιλόσοφου και Επιστημολόγου Imre Lakatos. Ο Lakatos πρότεινε μία έκθεση της Μαθηματικής γνώσης βασισμένη πάνω στην ιδέα της δοκιμής και του λάθους και δίνει αρκετούς βασικούς κανόνες για την εξεύρεση αποδείξεων και αντιπαραδειγμάτων σε εικασίες.
Ιστορική καταγραφή Αυτός είναι ένας συνεχής τρόπος με τον οποίο συσσωρεύεται η γνώση μας, μέσα από τη λογική και τη διαδικασία των αποδείξεων και των ανασκευών τους. (Ανασκευές: Διασκευασμένες εκδοχές) Από το βιβλίο του Lakatos Proofs and Refutations, 1976, («Αποδείξεις και ανασκευές»)
Η διδακτική σημασία Το αντιπαράδειγμα έχει κεντρικό ρόλο τόσο στην ανάπτυξη των Μαθηματικών ως επιστημονικό κλάδο, όσο και στη διδασκαλία τους. Η παιδαγωγική του χρησιμότητα έγκειται στο ότι συμβάλει ουσιαστικά βοηθώντας τον μαθητή να εμπεδώσει αλλά και να εμβαθύνει στην φύση των Mαθηματικών συλλογισμών. Αποκτά δε ιδιαίτερη διδακτική αξία, γιατί αποτελεί πρόκληση για την αναδόμηση των ήδη υπαρχόντων καθιερωμένων δομών στη σκέψη των μαθητών.
Η διδακτική σημασία Το αντιπαράδειγμα καλλιεργεί την αμφισβήτηση, που είναι μια βασική πηγή νέων και γόνιμων ιδεών στα Μαθηματικά και κεντρίζει την ερευνητική διάθεση των μαθητών που έχουν κορεστεί από την τυποποιημένη διδασκαλία. Εκτός από μέρος της διδακτικής μεθοδολογίας, είναι και ένα εργαλείο πειραματισμού και ως τέτοιο έχει χρησιμοποιηθεί από αρκετούς ερευνητές.
Ο μαθητής αντιστέκεται στο «καινούργιο» Σήμερα, που ο μαθητής ζει, αναπλάθεται και διαμορφώνεται μέσα σε ένα ταχύτατα μεταβαλλόμενο πληροφοριακό περιβάλλον, αναπτύσσοντας μεγαλύτερη αντίσταση στο «καινούργιο», ο δάσκαλος συναντά αυξημένη δυσκολία στο να μπορέσει να κάμψει αυτή την αντίσταση!
Δυναμικό αντιπαράδειγμα Οι εκπαιδευτικοί συχνά αντιμετωπίζουμε μια κατάσταση όπου ένας μαθητής κάνει έναν ισχυρισμό που μπορεί να διαψευστεί και προκειμένου να πεισθεί ο μαθητής για το λάθος του, ο εκπαιδευτικός απαιτείται να κατασκευάσει αυθόρμητα ένα δυναμικό αντιπαράδειγμα. (Zodik & Zaslavsky, 2007)
«Γνωστική σύγκρουση» Μέσα από τα αντιπαραδείγματα μπορεί να προκληθεί «γνωστική σύγκρουση» σε ένα μαθητή, όταν δημιουργείται αντίφαση με τις προϋπάρχουσες γνώσεις του. Στην εκπαιδευτική διαδικασία επιδιώκεται η «γνωστική σύγκρουση», ώστε να αρθούν οι πιθανές παρανοήσεις των μαθητών.
Το υποτιμημένο «εργαλείο» του αντιπαραδείγματος Πόσες φορές αλήθεια, έχετε συναντήσει στα σχολικά βιβλία Μαθηματικών του Λυκείου το «αντιπαράδειγμα» ως όρο και ως έννοια; Γιατί να μην εμπλουτιστούν τα σχολικά βιβλία, όλων των βαθμίδων της εκπαίδευσης και με αντιπαραδείγματα, ονοματίζοντάς τα μάλιστα ως τέτοια, φροντίζοντας έτσι και για την ανάδειξη της διδακτικής τους αξίας;
Το υποτιμημένο «εργαλείο» του αντιπαραδείγματος Σύμφωνα με μελέτες που έχουν διεξαχθεί κατά το παρελθόν στην Ελλάδα, προκύπτει ότι, οι εκπαιδευτικοί προτιμούν να βασίζονται στη θεωρία για να καταρρίπτουν τους λανθασμένους ισχυρισμούς των μαθητών τους, παρά να παρουσιάζουν κάποιο αντιπαράδειγμα. Συνηθίζουν, σύμφωνα με την έρευνα, να χρησιμοποιούν τα αντιπαραδείγματα, συμπληρωματικά στη θεωρία ή όταν δεν υπάρχει σχετική θεωρία και τα θεωρούν εξαιρέσεις!
Η χρησιμότητα του αντιπαραδείγματος, ως εργαλείου αναζήτησης και κατανόησης Παραθέτω παρακάτω, μερικές μόνο χρήσεις του αντιπαραδείγματος, για την βελτίωση της αποτελεσματικότητας στη διδασκαλία των Μαθηματικών εννοιών στο Λύκειο.
1) Το αντιπαράδειγμα ως εφαλτήριο δημιουργίας και στήριξης θεωρίας Θέλουμε να βρούμε μια συνάρτηση που δεν έχει αντίστροφη. Αν βρεθεί, καταρρίπτεται ο ισχυρισμός ότι «Κάθε συνάρτηση έχει αντίστροφη». Στη συνέχεια θέτουμε το πρόβλημα: «Υπό ποιές προϋποθέσεις μια συνάρτηση έχει αντίστροφη;». Κατασκευάζουμε λοιπόν θεωρία.
2) Το αντιπαράδειγμα ως θέση απόδειξης Σε τάξη Α Λυκείου μετά και την ολοκλήρωση του 3 ου Κεφαλαίου της Γεωμετρίας, στα «Κριτήρια ισότητας τριγώνων», σε δύο ομάδες μαθητών τέθηκε το ζήτημα:
2) Το αντιπαράδειγμα ως θέση απόδειξης
2) Το αντιπαράδειγμα ως θέση απόδειξης Οι δύο ομάδες απάντησαν: Ομάδα Α Ο ισχυρισμός είναι ψευδής, αφού δεν λέει ότι η γωνία είναι η περιεχόμενη στις ίσες πλευρές. Ομάδα Β Ο ισχυρισμός είναι ψευδής και το αποδεικνύει το παρακάτω αντιπαράδειγμα:
2) Το αντιπαράδειγμα ως θέση απόδειξης
2) Το αντιπαράδειγμα ως θέση απόδειξης Σε τάξη Β Λυκείου μετά και την ολοκλήρωση του 10 ου Κεφαλαίου της Γεωμετρίας, στα «Εμβαδά» θέτουμε το ζήτημα:
2) Το αντιπαράδειγμα ως θέση απόδειξης
3) Το αντιπαράδειγμα ως «εργαλείο» ανακάλυψης σχέσεων Σε μια τάξη Α Λυκείου στην Άλγεβρα και ενώ ήταν σε εξέλιξη η διδασκαλία της παραγράφου 2.3 (Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού), τέθηκε το ζήτημα :
Ζήτημα Α Λυκείου
Ο μαθητής «δοκιμάζοντας» ανακαλύπτει! Στη συνέχεια οι μαθητές, αναζητώντας και άλλα αντιπαραδείγματα, «δοκιμάζοντας» διαφορετικούς αριθμούς, θα είναι σε θέση να διατυπώσουν την διαισθητική τους διαπίστωση, πως η ιδιότητα ισχύει για τους ομόσημους πραγματικούς αριθμούς ή για οποιοδήποτε ζευγάρι αριθμών, αρκεί ο ένας τουλάχιστον από τους δύο να είναι το μηδέν!
Ο μαθητής γενικεύει
4) Το αντιπαράδειγμα ως παράγοντας ανάδειξης των περιορισμών Σε μια τάξη Β Λυκείου στην Άλγεβρα, μετά και την ολοκλήρωση της διδασκαλίας του 5 ου Κεφαλαίου (Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση), τέθηκε το ζήτημα:
Δύο μαθητές της Β τάξης έδωσαν τις παρακάτω λύσεις:
Η αξία του παραδείγματος Το παράδειγμα έχει διδακτική αξία γιατί, αφενός μεν βοηθά τον μαθητή Α να κατανοήσει ότι για να διαγράψει έναν πραγματικό αριθμό θα πρέπει αυτός να έχει υπόσταση πραγματικού αριθμού και αφετέρου τον μαθητή Β να μάθει να ελέγχει την αξιοπιστία των λύσεων που βρίσκει. Βοηθά όμως ταυτόχρονα και τους δύο μαθητές να καταλάβουν την αναγκαιότητα υποβολής περιορισμών στην αρχική εξίσωση.
5) Το αντιπαράδειγμα ως ενισχυτικό υπόδειξης του διδακτικού στόχου Σε μια τάξη Γ Λυκείου στα Μαθηματικά προσανατολισμού τέθηκε το ζήτημα:
Κάποιοι μαθητές απάντησαν:
Συμπεράσματα: Το αντιπαράδειγμα αποτελεί ένα ισχυρό, «εργαλείο ετοιμότητας» στα χέρια του Μαθηματικού, για την αναζήτηση αλλά και την εδραίωση της αλήθειας των Μαθηματικών συλλογισμών που κάνει κατά την εξέλιξη της διδακτικής πράξης στο Λύκειο. Ταυτόχρονα δημιουργεί και την κατάλληλη «ατμόσφαιρα» μέσα στην τάξη, ώστε να καμφθεί η όποια αντίσταση του μαθητή στην νεοαποκτηθείσα γνώση και να συντελέσει αποτελεσματικά στην ολοκληρωμένη αφομοίωση της.
Ευχαριστίες: Θέλω να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον Πανεπιστημιακό Καθηγητή μου κύριο Μιχάλη Λάμπρου για τις παρατηρήσεις του και την συμβολή του στην προβολή αυτής της εισήγησης.
Βιβλιογραφικές αναφορές: Ευάγγελος Σπανδάγος, «Η Μαθηματική Συναγωγή του Πάππου», Εκδόσεις «Αίθρα». Ανδρέας Πούλος, «Εικασίες και αντιπαραδείγματα», Εκδόσεις «Μαυρίδη». Imre Lakatos, «Αποδείξεις και ανασκευές», Εκδόσεις «Τροχαλία». Eric Temple Bell, «Οι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ από τον Lobatchewsky έως τον Cantor», «Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης».
Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή σας!!!