ΘΕΜΑ Α. β) Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ, η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει f (x) 0 για κάθε x Δ.

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 7 A. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f: που είναι - είναι και γνησίως μονότονη.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες A3. Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η συνάρτηση f() με έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου. β) Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ, η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει f () για κάθε Δ. γ) Ισχύει lim. δ) Αν η f είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και συμμετρικές ως προς την ευθεία y. f αντίστοιχα είναι ε) Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f(), {}. B. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. Μονάδες 8 B. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες B3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Μονάδες 6 B. Με βάση τις απαντήσεις σας στα παραπάνω ερωτήματα, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό με μελάνι που δε σβήνει.) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Έχουμε ένα σύρμα μήκους 8 m, το οποίο κόβουμε σε δύο τμήματα. Με το ένα από αυτά, μήκους m, κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο. Γ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων σε τετραγωνικά μέτρα, συναρτήσει του, είναι π 6 56 E(), (,8). 6π Μονάδες 5 Γ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται, όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρ ο του κύκλου. Μονάδες Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους 8 m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5 m. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ -α f() e, με α. Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του α συνάρτησης f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής. η γραφική παράσταση της Μονάδες 3 Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά, με, τέτοια ώστε η συνάρτηση f να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο. Δ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() f() Δ. Αν α να αποδείξετε ότι : 3 Μονάδες 7 είναι αδύνατη στο (α, ). Μονάδες 6 3 f() d. 5 Μονάδες 9 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω -πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιό σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδι ο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κ.λπ.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηρ ιωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΓΕΝΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ -6-8 A. Σελίδα 99 Α. α. Ψευδής β. Η συνάρτηση f Α3. Σελίδα 6 Α. α. Λάθος ΘΕΜΑ Β β. Λάθος γ. Σωστό δ. Σωστό ε. Σωστό 8 Β. Είναι f (),. 3,, που είναι -, αλλά όχι γνησίως μονότονη (σελίδα 35 σχολικού βιβλίου) f () Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-,-], γνησίως φθίνουσα στο [-,) και γνησίως αύξουσα στο (,+ ) εφόσον είναι συνεχής στο -. Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο - το f( ) 3.,. Β. f () Τηλ. 8 7

5 Φροντιστήριο Ορόσημο Είναι f (),. Άρα η f είναι κοίλη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (-,) και (,+ ). limf() lim διότι lim lim καθώς και κοντά στο. Η Cf έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = δηλαδή τον άξονα y y. Έστω y=λ+β η ασύμπτωτη της Cf. f() lim lim lim 3 καθώς lim lim 3 3 άρα λ= lim f() lim lim άρα β= Η Cf έχει πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία y= στο +. Όμοια για το -. Β3. Β. lim ΘΕΜΑ Γ Γ. Τα δύο τμήματα του σύρματος θα έχουν μήκος m και (8-) m αντίστοιχα με <<8. Το εμβαδό του τετραγώνου πλευράς είναι ET. Το μήκος 6 του κύκλου είναι L=πρ δηλαδή 8-=πρ άρα η ακτίνα του κύκλου είναι 8 ρ. Το εμβαδό του κύκλου ακτίνας ρ είναι π Κ Ε π ρ π π. π π π Τότε η συνάρτηση που δίνει το άθροισμα των εμβαδών τετραγώνου και κύκλου είναι 6 6 π 56 6 E() 6 π 6π π 6 56 άρα E(), (,8). 6π Τηλ. 8 7

6 3 Φροντιστήριο Ορόσημο π 6 π 3 Γ. Είναι E () 6π 8π 3 E () π 3 π Η Ε έχει ελάχιστο στο 3 π. 3 8 Τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι: π π και η διάμετρος του 3 8(π ) 3 8π 8 8 κύκλου δ ρ π π π π. π π π π Άρα η διάμετρος του κύκλου κι η πλευρά του τετραγώνου είναι ίσες. Γ3. Αρκεί να δείξω ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός τέτοιος ώστε Ε(o)=5. H E είναι συνεχής στο 3 Δ, π και γνησίως φθίνουσα οπότε ΕΔ Ε,limΕ(), π π π π limε() lim 5 6π 6π π. (,8) π π π Ε π π π 6π 6π 56 π 56(π ) 56π 6 5 6π 6 π π 6 π π π διότι 6 5π 5π ισχύει. 3 H E είναι συνεχής στο Δ,8 και γνησίως αύξουσα άρα π 3 6 ΕΔ Ε,8, π π π 6 56 π π limε() lim 8 8 6π 6π 6π Άρα 5 Ε(Δ ) όμως 5 Ε(Δ ) έτσι η E()=5 έχει μοναδική λύση. Τηλ. 8 7

7 Φροντιστήριο Ορόσημο ΘΕΜΑ Δ Δ. Είναι Δ. α f'() e, και α f''() e, α α α Τότε f''() e e e α α α α α f''() e e e α α α α α f''() e e e α α Η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του α άρα το α είναι το μοναδικό σημείο καμπής. Από την κυρτότητα στο Δ έχουμε ότι f γνησίως φθίνουσα στο γνησίως αύξουσα στο f f(α) α αφού α,,α και, οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο =α. Το α α α. Η f συνεχής και στο Α,α άρα f (A ) f (α), lim f () α, αφού lim f () lim e α lim διότι e και e α lim e lim α Η f συνεχής και στο Α α, άρα f (A ) f (α), lim f () α, αφού α lim f () lim e lim e α e e lim lim lim e e e DLH διότι lim e και f (A ) και f γν. φθίνουσα στο A άρα υπάρχει μοναδικό (,α) ώστε f ( ) f (A ) και f γν. άυξουσα στο A άρα υπάρχει μοναδικό (α, ) ώστε f ( ) Για f () f ( ) α f () f ( ) Για α f () f ( ) f () f ( ) Άρα η f παρουσιάζει ΤΜ στο και ΤΕ στο Δ3. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, ) Τηλ. 8 7

8 5 Φροντιστήριο Ορόσημο Δ. Άρα και - οπότε f() f() Που απορρίπτεται γιατί (α, ) Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη Η εξίσωση εφαπτομένης στο αφού α > f() e, f'() e f() f'(),f είναι y f() f'()( ) y ( ) y Από Δ. ερώτημα για α= έχουμε ότι η f είναι κυρτή στο [, ). Άρα η C f βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη με εξαίρεση την τετμημένη του σημείο επαφής στο οποίο ισχύει η ισότητα Άρα f() f() ( ) f() ( ) Και η ισότητα ισχύει μόνο για =. Άρα 3 3 f() d ( ) d Θέτω Άρα u du d Για = το u= και για =3 το u=. 3 ( ) d (u ) udu 3 3 u u d u u f() d 5 Τηλ. 8 7