4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

Transcript

1 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της δραστηριότητας επιδιώκεται, οι μαθητές: Με χρήση συμβολικών και γραφικών αναπαραστάσεων να οδηγηθούν στην εικασία του θεωρήματος Fermat, στη διατύπωση και τέλος στην απόδειξή του. Να αντιληφθούν την αναγκαιότητα των υποθέσεων του θεωρήματος. Να κατανοήσουν ότι δεν ισχύει το αντίστροφο. Να χρησιμοποιήσουν το θεώρημα για τον εντοπισμό πιθανών τοπικών ακροτάτων. Λογική της δραστηριότητας Με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων τα τοπικά ακρότατα συνδέονται με την κλίση της εφαπτομένης, ώστε οι μαθητές να οδηγηθούν στην εικασία του θεωρήματος. Στη συνέχεια μέσω του ορισμού το τοπικό μέγιστο συνδέεται με τις κλίσεις χορδών της γραφικής παράστασης, που έχουν το ένα τους άκρο σε αυτό. Η διαδικασία αυτή οδηγεί στην κλίση της εφαπτομένης στο τοπικό ακρότατο και ακολούθως στην απόδειξη του θεωρήματος. Με τη βοήθεια παραδειγμάτων και αντιπαραδειγμάτων δίνεται έμφαση στην αναγκαιότητα των υποθέσεων και στο γεγονός ότι δεν ισχύει το αντίστροφο. Τέλος μελετώνται οι δυνατότητες χρήσης του θεωρήματος στον εντοπισμό τοπικών ακροτάτων. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Ανάλογα με τους επιμέρους διδακτικούς στόχους η δραστηριότητα μπορεί να δοθεί στο σύνολό της ή παραλείποντας κάποια τμήματα, όπως για παράδειγμα εκείνα που περιέχουν την τυπική απόδειξη του θεωρήματος. Το σύνολο της δραστηριότητας απαιτεί μια διδακτική ώρα. 1

2 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Θεώρημα Fermat Ο καθηγητής μπορεί να ξεκινήσει με μια εισαγωγή σχετικά με τη ανάγκη εύρεσης των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης αναφερόμενος στο πρόβλημα της δραστηριότητας 4.2. Όμως τώρα σε αυτό ο πληθυσμός της αγέλης εκφράζεται από μια συνάρτηση με πιο απλό τύπο, ώστε να μπορεί στο τέλος να μελετηθεί και αλγεβρικά ως προς τις ρίζες της παραγώγου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς θα μπορούσαμε να βρούμε κάποιες γενικές συνθήκες που σχετίζονται με τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης και μπορούν να μας βοηθήσουν στον εντοπισμό τους; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw. Σε αυτό εμφανίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: Px x x x x ( ) =, , 4 με x 1. Παρατηρήστε τη μορφή της και τις θέσεις όπου αυτή παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Οι μαθητές αναμένεται να παρατηρήσουν τα τοπικά ακρότατα της γραφικής παράστασης και να στοχαστούν πάνω σε τρόπους εντοπισμού τους. Για το σκοπό αυτό μπορούν να χρησιμοποιήσουν αρχικά το εργαλείο της Ευθείας που μεταβάλλεται παράλληλα προς τον άξονα x x και εντοπίζει τα σημεία τομής της με τη γραφική παράσταση. Πατήστε στο πλήκτρο Ευθεία y=k, για να εμφανίσετε την οριζόντια ευθεία, την οποία μπορείτε να μετακινήσετε παράλληλα με τη βοήθεια της παραμέτρου k. Η παράλληλη μετατόπισή της μπορεί να σας βοηθήσει στον εντοπισμό των τοπικών ακροτάτων. Ε1: Σε ποια σημεία παρουσιάζει η συνάρτηση τοπικά ακρότατα; Ποια από αυτά είναι εσωτερικά σημεία του διαστήματος που μελετούμε; Αναμένεται οι μαθητές να εντοπίσουν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης, να τα χαρακτηρίσουν (τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο) και τέλος να διακρίνουν ποια από αυτά είναι εσωτερικά σημεία του διαστήματος. Ε2: Ποια ιδιότητα νομίζετε ότι έχει η οριζόντια ευθεία y k = όταν αυτή διέρχεται από ένα τοπικό ακρότατο;

3 Αναμένεται οι μαθητές να παρατηρήσουν ότι, όταν η ευθεία διέρχεται από ένα τοπικό ακρότατο, τότε τοπικά στην περιοχή του ακροτάτου έχει μοναδικό κοινό σημείο με την καμπύλη. Πατήστε στο πλήκτρο Μεγέθυνση, για να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο στην περιοχή ενός τοπικού μεγίστου. Ε3: Ποια επιπλέον ιδιότητα ως προς την καμπύλη νομίζετε ότι έχει η ευθεία y = k, όταν αυτή διέρχεται από ένα εσωτερικό τοπικό ακρότατο; Η προηγούμενη διαπίστωση της Ε2 σε συνδυασμό με την ιδιότητα της τοπικής ευθύτητας για την καμπύλη (δηλαδή μεγεθύνοντας σε μια περιοχή του τοπικού ακροτάτου η καμπύλη φαίνεται να συμπίπτει με την ευθεία y = k ) μπορεί να οδηγήσει στη σύνδεση του προβλήματος με την έννοια της εφαπτομένης. Ακολουθεί η εξέταση της γραφικής παράστασης με τη βοήθεια του εργαλείου Εφαπτομένη και η μελέτη της κλίσης της, όταν το σημείο επαφής κινείται πάνω στην καμπύλη. Πατήστε στο πλήκτρο Εφαπτομένη, για να εμφανίσετε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης σε ένα σημείο, καθώς και το μετρητή της τιμής για την αντίστοιχη κλίση της (ρυθμό μεταβολής). Στη συνέχεια, μεταβάλλοντας την τετμημένη του σημείου επαφής μπορείτε να παρατηρήσετε την τιμή της κλίσης της εφαπτομένης για διάφορες θέσεις πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε4: Ποια είναι η κλίση της εφαπτομένης στα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η συνάρτηση παίρνει τοπικά μέγιστες ή ελάχιστες τιμές; Οι μαθητές πειραματίζονται μετακινώντας την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μέσω της τετμημένης του σημείου επαφής και ταυτόχρονα παρατηρούν το μετρητή της κλίσης της. Αναμένεται να παρατηρήσουν ότι στα εσωτερικά τοπικά ακρότατα μηδενίζεται και να οδηγηθούν σε ένα προβληματισμό σχετικά με την παρατηρούμενη συνθήκη. Ο στόχος είναι η διατύπωση μιας εικασίας για το θεώρημα του Fermat καθώς και ο έλεγχος των άκρων του διαστήματος. Εδώ μπορεί ο καθηγητής να διαθέσει κάποιο χρόνο για ανοικτή συζήτηση μέσα στην τάξη, ώστε να εκφράσουν οι μαθητές τις απόψεις τους. Η εφαπτομένη ως όριο τεμνουσών μπορεί να οδηγήσει τη συζήτηση στην κλίση της Px ( ) Px ( ) x x χορδής ΑΜ και το πρόσημο του λόγου μεταβολής. 3

4 Η συνάρτηση P παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο x, στο οποίο είναι παραγωγίσιμη. Στο πρόγραμμα πατήστε στο πλήκτρο Τέμνουσα, για να εμφανίσετε μια Μ x, Px ( και χορδή της γραφικής παράστασης με άκρα στο μέγιστο ( ) τυχαίο σημείο της ( x, Px ( )) x x Α με, καθώς και το μετρητή της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ. Μετακινείστε με τη βοήθεια της τετμημένης του το τυχαίο σημείο x πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης φροντίζοντας, ώστε αυτό να παραμένει αρκετά κοντά στο x. Ε5: Όταν το x πλησιάζει το x από αριστερά (μικρότερες τιμές) χωρίς όμως να συμπίπτει με αυτό, τι παρατηρείτε σχετικά με το πρόσημο των κλίσεων για το μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ; Αναμένεται να παρατηρήσουν ότι οι κλίσεις μένουν σταθερά θετικές, όταν το x πλησιάζει πολύ κοντά στο x από μικρότερες τιμές. Ενδεχομένως ο καθηγητής θα πρέπει να υποδείξει στους μαθητές με ποιο τρόπο μπορούν να μεταβάλουν δεκαδικά ψηφία διαφόρων τάξεων στην τετμημένη x του σημείου Μ. Ε6: Μπορείτε να βρείτε έναν αλγεβρικό τύπο που να εκφράζει την κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ; Αναμένουμε από τους μαθητές με ή χωρίς τη βοήθεια του καθηγητή να δώσουν το λόγο Px ( ) Px ( ) μεταβολής. x x Ε7: Θα μπορούσατε με τη βοήθεια του προηγούμενου τύπου και των αντιστοίχων προσήμων να αιτιολογήσετε το αποτέλεσμα σχετικά με το πρόσημο των κλίσεων του ΑΜ, το οποίο παρατηρήσατε στην Ε5; Αναμένεται από τους μαθητές να λάβουν υπόψη τους τον ορισμό του τοπικού μεγίστου, δηλαδή ότι Px ( ) Px ( ) για κάθε x μέσα σε μια ζώνη με κέντρο το x, καθώς και ότι x < x, για να αποδείξουν ότι ο λόγος μεταβολής είναι μη αρνητικός. Ε8: Τι θα μπορούσατε να συμπεράνετε σχετικά με το όριο των κλίσεων του ΑΜ, καθώς το x τείνει στο x από μικρότερες τιμές; Αναμένεται οι μαθητές να φτάσουν στο συμπέρασμα ότι το όριο είναι μη αρνητικός αριθμός. Εδώ μπορεί να γίνει αναφορά στο αντίστοιχο θεώρημα από το κεφάλαιο των ορίων: 4

5 «Εάν για μια πραγματική συνάρτηση g ισχύει g( x) σε μια περιοχή του x και υπάρχει το όριο lim g( x) ως πραγματικός αριθμός, τότε lim g( x)». x x Ε9: Με τη βοήθεια του προηγουμένου θεωρήματος και της απάντησης που δώσατε στην ερώτηση Ε8 τι μπορείτε να Px ( ) Px ( ) συμπεράνετε για το όριο lim ; x x x x x x Αναμένεται από τους μαθητές να φτάσουν στο συμπέρασμα ότι Px ( ) Px ( ) lim x x x x Ε1: Σε αντιστοιχία με τους προηγούμενους συλλογισμούς τι Px ( ) Px ( ) μπορείτε να συμπεράνετε για το όριο lim ; + x x x x Αναμένεται από τους μαθητές να φτάσουν στο συμπέρασμα ή /και να αποδείξουν ότι Px ( ) Px ( ) lim + x x x x. Ε11: Τι συμπεραίνετε για την παράγωγο της P στο σημείο x ; Αναμένεται από τους μαθητές να συμπεράνουν ότι P'( x ) =. Ε12: Αν σε ένα σημείο x ' η P παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο τι συμπεραίνετε για την παράγωγο της P στο σημείο x ' ; Αναμένουμε ότι με τη βοήθεια του λογισμικού οι μαθητές θα έχουν παρατηρήσει πως η παράγωγος μηδενίζεται σε όλα τα εσωτερικά τοπικά ακρότατα. Έτσι μπορεί να τεθεί η επόμενη ερώτηση κατά γενικό τρόπο: Ε13: Αν σε ένα τοπικό ακρότατο υπάρχει η παράγωγος, θα είναι αυτή υποχρεωτικά ίση με μηδέν; Στην ίδια γραφική παράσταση οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν ότι το συμπέρασμα της Ε11 δεν ισχύει υποχρεωτικά, εάν το ακρότατο βρίσκεται στο άκρο του διαστήματος. Έτσι επαναδιατυπώνεται η προηγούμενη ερώτηση: Ε14: Αν ένα τοπικό ακρότατο μιας συνάρτησης είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και η συνάρτηση παραγωγίζεται σε αυτό, ποια θα είναι η παράγωγος της;. 5

6 Ε15: Πώς θα μπορούσατε να διατυπώσετε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων γενικά για μια συνάρτηση f το συμπέρασμα που καταλήξατε στην Ε14; Αναμένεται οι μαθητές να διατυπώσουν το Θεώρημα του Fermat. Ε16: Θα μπορούσατε να δώσετε μια πλήρη μαθηματική απόδειξη για το Θεώρημα του Fermat που διατυπώσατε προηγουμένως; Ε17: Μπορεί μια συνάρτηση να έχει μηδενική παράγωγο σε κάποιο σημείο, χωρίς αυτό να είναι ακρότατο; Η συνάρτηση y 3 = x στο x = αποτελεί ένα καλό αντιπαράδειγμα. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc όπου εμφανίζεται η γραφική 3 παράσταση της συνάρτησης y = x και προσπαθήστε να απαντήσετε στην Ε17. Ε18: Ποιες πληροφορίες μας δίνει το θεώρημα του Fermat σχετικά με τα τοπικά ακρότατα; Στο σημείο αυτό ο καθηγητής μπορεί να προκαλέσει μια συζήτηση σχετικά με το τι σημαίνει ικανή και αναγκαία συνθήκη. Σκοπός είναι να κατανοήσουν οι μαθητές ότι το θεώρημα μας δίνει μια αναγκαία και όχι ικανή συνθήκη για τα τοπικά ακρότατα. Δηλαδή από το θεώρημα προκύπτει ότι ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης με παράγωγο μηδέν είναι πιθανό σημείο τοπικού ακροτάτου. Ε19: Μπορεί μια συνάρτηση να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο διαστήματος του πεδίου ορισμού της, χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σε αυτό; Αναμένουμε από τους μαθητές να θεωρήσουν τα εσωτερικά γωνιακά σημεία. Η συνάρτηση y = x αποτελεί ένα απλό χαρακτηριστικό παράδειγμα. Ε2: Εάν το πεδίο ορισμού μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι διάστημα, σε ποια σημεία του θα αναζητούσατε πιθανά τοπικά ή ολικά ακρότατα; Αναμένεται οι μαθητές να αναφέρουν τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος που η παράγωγος είναι μηδέν, τα σημεία που η συνάρτηση δεν παραγωγίζεται καθώς και τα άκρα στα οποία το διάστημα είναι κλειστό (αν υπάρχουν). 6

7 Ε21 : Μπορείτε να υπολογίσετε τα πιθανά τοπικά ακρότατα της συνάρτησης Px ( ) =,451 x x + x 4x + 5, με x 1; Εξετάστε αν η P παρουσιάζει ολικά ακρότατα και ποια; Μπορείτε να συμβουλευτείτε και τη γραφική παράσταση για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων σας. Οι μαθητές θα πρέπει να υπολογίσουν την παράγωγο της συνάρτησης και να βρουν τις ρίζες της. Αυτό μπορεί να γίνει είτε με παραγοντοποίηση ή με σχήμα Horner. Επιπλέον θα πρέπει να αναφερθούν και στα άκρα του πεδίου ορισμού ως πιθανά ακρότατα. Ταυτόχρονα μπορούν, στα διάφορα στάδια, να ανατρέχουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, για να ελέγξουν τα συμπεράσματά τους. Στη συνέχεια με τη βοήθεια του Θεωρήματος (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής) εξασφαλίζεται η ύπαρξη σημείων ολικού μεγίστου και ολικού ελαχίστου. Τα σημεία αυτά είναι εκείνα τα πιθανά ακρότατα, στα οποία η συνάρτηση παίρνει την μεγαλύτερη και μικρότερη τιμή αντίστοιχα. 7

8 4.3.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θεώρημα Fermat ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς θα μπορούσαμε να βρούμε κάποιες γενικές συνθήκες που σχετίζονται με τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης και μπορούν να μας βοηθήσουν στον εντοπισμό τους; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw. Σε αυτό εμφανίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: Px x x x x ( ) =, , 4 με x 1, η οποία εκφράζει τον πληθυσμό μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο. Παρατηρήστε τη μορφή της και τις θέσεις όπου αυτή παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Πατήστε στο πλήκτρο Ευθεία y=k, για να εμφανίσετε την οριζόντια ευθεία, την οποία μπορείτε να μετακινήσετε παράλληλα με τη βοήθεια της παραμέτρου k. Η παράλληλη μετατόπισή της μπορεί να σας βοηθήσει στον εντοπισμό των τοπικών ακροτάτων. Ε1: Σε ποια σημεία παρουσιάζει η συνάρτηση τοπικά ακρότατα; Ποια από αυτά είναι εσωτερικά σημεία του διαστήματος που μελετούμε; 8

9 Ε2: Ποια ιδιότητα νομίζετε ότι έχει η οριζόντια ευθεία y = k όταν αυτή διέρχεται από ένα τοπικό ακρότατο; Πατήστε στο πλήκτρο Μεγέθυνση, για να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο στην περιοχή ενός τοπικού μεγίστου. Ε3: Ποια επιπλέον ιδιότητα ως προς την καμπύλη νομίζετε ότι έχει η ευθεία y = k, όταν αυτή διέρχεται από ένα εσωτερικό τοπικό ακρότατο; Πατήστε στο πλήκτρο Εφαπτομένη, για να εμφανίσετε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης σε ένα σημείο, καθώς και το μετρητή της τιμής για την αντίστοιχη κλίση της (ρυθμό μεταβολής). Στη συνέχεια, μεταβάλλοντας την τετμημένη του σημείου επαφής μπορείτε να παρατηρήσετε την τιμή της κλίσης της εφαπτομένης για διάφορες θέσεις πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε4: Ποια είναι η κλίση της εφαπτομένης στα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η συνάρτηση παίρνει τοπικά μέγιστες ή ελάχιστες τιμές; 9

10 Η συνάρτηση P παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο x, στο οποίο είναι παραγωγίσιμη. Στο πρόγραμμα πατήστε στο πλήκτρο Τέμνουσα, για να εμφανίσετε μια Μ x, Px ( και χορδή της γραφικής παράστασης με άκρα στο μέγιστο ( ) τυχαίο σημείο της ( x, Px ( )) x x Α με, καθώς και το μετρητή της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ. Μετακινείστε με τη βοήθεια της τετμημένης του το τυχαίο σημείο x πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης φροντίζοντας, ώστε αυτό να παραμένει αρκετά κοντά στο x. Ε5: Όταν το x πλησιάζει το x από αριστερά (μικρότερες τιμές) χωρίς όμως να συμπίπτει με αυτό, τι παρατηρείτε σχετικά με το πρόσημο των κλίσεων για το μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ; Ε6: Μπορείτε να βρείτε έναν αλγεβρικό τύπο που να εκφράζει την κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ; Ε7: Θα μπορούσατε με τη βοήθεια του προηγούμενου τύπου και των αντιστοίχων προσήμων να αιτιολογήσετε το αποτέλεσμα σχετικά με το πρόσημο των κλίσεων του ΑΜ, το οποίο παρατηρήσατε στην Ε5; 1

11 Ε8: Τι θα μπορούσατε να συμπεράνετε σχετικά με το όριο των κλίσεων του ΑΜ, καθώς το x τείνει στο x από μικρότερες τιμές; Ε9: Με τη βοήθεια του προηγουμένου θεωρήματος και της απάντησης που δώσατε στην ερώτηση Ε8 τι μπορείτε να Px ( ) Px ( ) συμπεράνετε για το όριο lim ; x x x x Ε1: Σε αντιστοιχία με τους προηγούμενους συλλογισμούς τι Px ( ) Px ( ) μπορείτε να συμπεράνετε για το όριο lim ; + x x x x Ε11: Τι συμπεραίνετε για την παράγωγο της P στο σημείο x ; 11

12 Ε12: Αν σε ένα σημείο x ' η P παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο τι συμπεραίνετε για την παράγωγο της P στο σημείο x '; Ε13: Αν σε ένα τοπικό ακρότατο υπάρχει η παράγωγος, θα είναι αυτή υποχρεωτικά ίση με μηδέν; Ε14: Αν ένα τοπικό ακρότατο μιας συνάρτησης είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και η συνάρτηση παραγωγίζεται σε αυτό, ποια θα είναι η παράγωγος της; Ε15: Πώς θα μπορούσατε να διατυπώσετε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων γενικά για μια συνάρτηση f το συμπέρασμα που καταλήξατε στην Ε14; 12

13 Ε16: Θα μπορούσατε να δώσετε μια πλήρη μαθηματική απόδειξη για το Θεώρημα του Fermat που διατυπώσατε προηγουμένως; Ε17: Μπορεί μια συνάρτηση να έχει μηδενική παράγωγο σε κάποιο σημείο, χωρίς αυτό να είναι ακρότατο; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc όπου εμφανίζεται η γραφική 3 παράσταση της συνάρτησης y = x και προσπαθήστε να απαντήσετε στην Ε17. Ε18: Ποιες πληροφορίες μας δίνει το θεώρημα του Fermat σχετικά με τα τοπικά ακρότατα; 13

14 Ε19: Μπορεί μια συνάρτηση να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο διαστήματος του πεδίου ορισμού της, χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σε αυτό; Ε2: Εάν το πεδίο ορισμού μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι διάστημα, σε ποια σημεία του θα αναζητούσατε πιθανά τοπικά ή ολικά ακρότατα; Ε21 : Μπορείτε να υπολογίσετε τα πιθανά τοπικά ακρότατα της συνάρτησης Px ( ) =, 451 x x + x 4x + 5, με x 1; Εξετάστε αν η P παρουσιάζει ολικά ακρότατα και ποια; Μπορείτε να συμβουλευτείτε και τη γραφική παράσταση για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων σας. 14