ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Transcript

1 9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Μονάδες 7 Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση : που είναι " " είναι και γνησίως μονότονη» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής(μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (μονάδες ) Μονάδες Α Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Μονάδες Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Η συνάρτηση με έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου β) Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ, η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει 0 για κάθε γ) Ισχύει lim 0 0 δ) Αν η είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y ε) Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση, 0 Β Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα Μονάδες 8

2 9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Β Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής Μονάδες Β Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Μονάδες 6 Β Με βάση τις απαντήσεις σας στα παραπάνω ερωτήματα, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό με μελάνι που δε σβήνει) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Έχουμε ένα σύρμα μήκους 8m, το οποίο κόβουμε σε δύο τμήματα Με το ένα από αυτά, μήκους m, κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο Γ Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων σε τετραγωνικά μέτρα, συναρτήσει του, είναι 6 56 E, 0,8 6 Μονάδες 5 Γ Ν αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται, όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου Μονάδες 0 Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους 8m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5m Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση e, με Δ Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής Μονάδες Δ Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά, με, τέτοια ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο Δ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη στο Δ Αν να αποδείξετε ότι: d 5, Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 9

3 9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ 99 Αα Ψευδής β y 0 y Έστω συνάρτηση με γραφική παράσταση αυτή του σχήματος Η στο είναι αφού κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα τέμνει την C σ ένα το πολύ σημείο Όμως η στο, 0 είναι γν αύξουσα και στο, 0 είναι γνησίως φθίνουσα Άρα δεν είναι γνησίως μονότονη στο Μπορούσα να χρησιμοποιήσω το αντιπαράδειγμα του σχολικού βιβλίου σελίδα 5 Α Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ 6 Α α) Λάθος, β) Λάθος, γ) Σωστό, δ) Σωστό, ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Είναι,,0 0, Β Η ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι συ- 8 8 νεχής και παραγωγίσιμη στο,0 0, με, η στο, η στο,0, είναι συνεχής και 0 στο,,0 είναι συνεχής και 0 στο,0 άρα η γν αύξουσα στο άρα η γν φθίνουσα στο

4 9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ η στο 0, 0, είναι συνεχής και 0 στο Στο παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το 0, άρα η γν αύξουσα στο 8 Β Είναι, 0, ως ρητή είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο,0 0, με 8 0 για κάθε,0 0, Άρα η είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) στο,0 και κοίλη στο 0, Δεν παρουσιάζει Σημεία καμπής Β Είναι lim lim 0 άρα από τον ορισμό της πλάγιας ασύμπτωτης, η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C και στο και στο lim lim 0 0 lim lim 0 0 lim 0 0 Γιατί: lim 0 lim 0 άρα lim ά 0 Άρα 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C Β 0 τοπ μέγιστο το lim lim lim lim

5 9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ y ΘΕΜΑ Γ Έστω ότι από το σύρμα μήκους 8m κόβουμε τμήματα Το ένα με μήκος m και το άλλο με μήκος 8 m, όπου 0,8 Με το τμήμα μήκους κατασκευάζουμε τετράγωνο πλευράς m Άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι : E ώ m 6 Με το τμήμα μήκους 8 κατασκευάζουμε κύκλο άρα το μήκος του κύκλου είναι 8 L 8 8 m, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου Τότε το εμβαδόν του κύκλου είναι E ύ 8 8 m Γ Επομένως το άθροισμα των εμβαδών των δυο σχημάτων είναι E E ώ ύ Δηλαδή E, 0,8 6 6 Γ Η συνάρτηση E ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0,8 με E 6, 0,8 6 8 Είναι E 0 E 0

6 9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 0 E 8 E Όταν το εμβαδό γίνεται ελάχιστο και ίσο με E m 8 Τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι και η διάμετρος του κύκλου Επομένως το εμβαδό των δυο σχημάτων ελαχιστοποιείται, όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου Γ Η E στο 0, είναι συνεχής και γν φθίνουσα άρα το ΣΤ της είναι 6 6 E, lim E, 0 Το 5 ανήκει στο ΣΤ αφού 5, άρα υπάρχει μοναδικό 00, : E0 5 Η E στο,8 είναι συνεχής και γν αύξουσα άρα το ΣΤ της είναι E, lim E, 8 Το 5 δεν ανήκει στο ΣΤ της Επομένως υπάρχει ένας μόνο τρόπος να κοπεί το σύρμα, ώστε το άθροισμα των εμβαδών να ισούται με 5m ΘΕΜΑ Δ Είναι e, και Δ Η ως αποτέλεσμα πράξεων, συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο με e, Η ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο e e 0 0 e e e με

7 9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ e ύ 0 0 e e Στο 0 η ως παραγωγίσιμη δέχεται εφαπτομένη άρα το σημείο A, είναι ΣΚ της C Δ Είναι 0 στο,, Είναι 0 στο στο, Όταν, lim e 0 η συνεχής στο, άρα γν φθίνουσα στο,, η συνεχής στο, άρα γν αύξουσα το ΣΤ της είναι, lim, και lim, γιατί Αφού 0 Άρα το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της δηλαδή υπάρχει μοναδικό, : ί 0 ί 0 Άρα η στο παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το το ΣΤ της είναι, lim, Όταν, 0 γιατί : e e lim lim e e αφού e lim lim e DLH Το 0 ανήκει στο ΣΤ της ( αφού 0 0 ύ 0 ) άρα υπάρχει μοναδικό, :

8 9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ύ 0 Επομένως η στο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το Δ Η στο, είναι συνεχής και γν φθίνουσα άρα το σύνολο τιμών της είναι, Αρκεί να δείξω ότι Θεωρώ τη συνάρτηση e, και e Είναι e 0 στο, e 0 0 Άρα η γνησίως αύξουσα στο, Δηλαδή ύ, άρα 0 Η ισότητα ισχύει για άρα ή Λ γνησίως αύξουσα στο 0 0 για κάθε Επομένως ος τρόπος: Έστω ότι υπάρχει, ώστε Rolle για την στο [, ρ] έχουμε ότι υπάρχει γιατί Είναι e 0 αφού γιατί τότε εφαρμόζοντας Θ, : 0, το οποίο είναι άτοπο 0 και Δηλαδή ί, Δ Για είναι e, και ερώτημα η στο e Από το Δ A, παρουσιάζει ΣΚ Η εξίσωση της εφαπτομένης στην C στο Α είναι y y y y Στο, η C στρέφει τα κοίλα άνω ί 0,, άρα Η ισότητα ισχύει μόνο για άρα

9 9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ d d d K K d Θέτουμε Όταν,u 0 και όταν,u άρα u u d udu 5 u u K u uudu u u du Άρα d 5 Επιμέλεια: Π ΛΥΓΚΩΝΗΣ Μ ΣΙΜΙΤΖΟΓΛΟΥ Δ ΝΤΖΟΥΡΟΠΑΝΟΣ - Β ΒΕΝΤΟΥΡΗΣ