УЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА УРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ БЕРДОҚ НОМИДАГИ ҚОРАҚАЛПОҚ ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ АМАЛИЙ МАТЕМАТИКА ВА ИНФОРМАТИКА КАФЕДРАСИ. «Энергетиканинг математик масалалари» курси буйича МАЪРУЗАЛАР МАТНИ Энергетика мутахассислигининг 3 курси талабаларига мулжалланган. маърузалар - 3 соат Таерлаган: Утепбергенова.Г НУКУС - 006 й.
-маъруза Электр ва хисобий алмаштириш схемалари. Матрицалар ва улар устида амаллар ТАЯНЧ ИБОРАЛАР. Корхона системаси системанинг элементлари: чизикли ва чизиқли эмас занжирнинг геометрик схемаси матрица. Саноат корхоналарининг электр таъминлаш системаси қуйидагилардан иборат: 000В ва ундан хам катта сетьлар; трансформатор ва узгартирувчи подстанциялари; тарқатиш ускуналари; мухофаза ва автоматика ускуналари; ердамчи ускуналар. Саноат корхоналарининг электр таъминлаш системаси СКЭТС электр энергиясини керакли миқдорда ва сифатда етказип бериш учун хизмат қилади. Умумийлашкан энергосистема УЭС ЭС ЭС ЭС ТЙТ ҚХ КХ СКЭТС КТС ТЙТ ҚХ КХ темир йул транспорт; қишлоқ хужалиги; коммунал хужалиги; СКЭТС Саноат корхоналарининг электр таъминлаш системаси; КТС корхонанинг технологик системаси СКЭТС ни лойхалашта ва эксплуатация қилишда анализлаш синтез ва бошқариш масалалари ечилади. Анализлашда системанинг функциялари урганилади. Синтез жараёнида системанинг структураси унинг парамертлари ва уларнинг қоидалари урганилади. Тадқиқод жараёнида режимнинг координаталари аниқланади. Режимнинг координаталарини қуйидагилар ташкил етади: токлар тезликлар тезланишлар оқимлар йўналишлар ва ҳ.
Система элементларининг уз-аро алоқаси мустақил равишда берилиши мумкин. Боғланиш параметрлари чизиқли ва чизиқли эмас булиб булинади. ψ Lд чизиқли Чизиқли эмас Ҳар хил объектлар учун холатлар тенгласамини тузамиз. Ушбу тенгламага режимлар координатидан ташқари ЭЮК ток манбаи ва электромагнит моментлари киради. ψ Lcт статик индуктивлик dψ Lд d динамик индуктивлик Режим жараёнини анализ қилишда чизикли ва чизиқли эмас алгебраик тенгламалар системасина ечамиз. Ўтиш жараёнини анализ қилишда чизиқли ва чизиқли эмас дифференциал тенгламалар системасин ечамиз. Системаларда катта эмас ва чуқур кичик ватли булиши мумкин. Биринши холда статик доимийликни иккиншисида динамик доимийликни урганамиз. Электр занжирларининг геометрик назарияси Электроэнергетикада жараёнларни тушинтириш учун матрица вектор аппаратлари эффектли фойдалинилади. Улар ЭХМ да фойдаланиш учун мослашган булиб холатлар тенгламаларини автоматик регулировкалаиди. Хисоблаш медотлари формализациялаш учун электр занжирларининг геометрик назарияси фойдаланилади. Электр занжирнинг геометрик хусусиятлари унинг схемаси билан аниқланади. I R I Е Икки полюслик
3 Икки полюсликлар бирлашиб электр схемасини ташкил қилади. Икки полюсликларнинг геометрик схемаси бу йўналтирилган кесма. >> I AC Z 3 I 3 E 3 A I Z I Z 5 B I 5 I 4 E E 4 C Z 6 Z Z 4 I 6 A 3 II B 5 C I III 4 6 D Занжирнинг геометрик схемаси бу электр схемаси билан айният уланган йўналтирилган кесмалар кўплиги. Р чулғамлар сони Q тугунлар сони q- мустақил тугунлар сони мустақил контурлар сони p-q-p-q+
4 Контурнинг туғри йўналиши бу онгга айланиш йўналиши соат айланиши йўналиши УЛАНТИРИШ МАТРИЦАСИ 3 4 5 6 - - 0 0 0 А П 0 0 0 - - 0 В 0 0 0 С - 0 0 0 - D Матрица элементларини П j билан белгилаймиз. Агар j шахобчаси тугунга кирувчи бўлса «+» тугундан чикувчи бўлса «-» билан белгиланади. Агар тугунга тегишли булмаса «0». Бу матрица ҳаддан ташқари кўп маълумотга эга. Битти тугунни олиб ташлашга булади масалан D тугунни. Олиб ташланган тугун базис ёки базис тугуни деб аталади. Улантириш матрицага фақат битта электр схемаси жавоб беради. I II III 0 0-0 Г 0 0 3 0-4 0-5 0 0 6 Матрица элементини Г j Билан белгилаймиз. Агар шахобчаси йўналиши буйича j контури билан мос келса + мос келмаса - булади. Агар шахобчаси j контурига тегишли булмаса 0 тенг. Контурлар матрицаси бир неча электр схемаларига жавоб бериши мумкин П. Г 0 боғликгиги хақиқатга туғри келади. Уланиш ва контур матрицаларини подматрицаларга буламиз П [ П П ] Г Г Г [ П ] П Г Г П. Г + П. Г 0 Танлаб оламиз Г Шунда: П + П Г 0 Г -П П Г
Г Г -П - П Демак контурли матрицаларни улантириш матрицаси ёрдамида хисоблаш мумкин. -маъруза Ом ва Кирхгов конунларининг матрица куриниши. 5 ТАЯНЧ ИБОРОЛАР. векторлари токлар векторлари. Ом Конуни Кирхгоф Конуни кучланиш Электр занжирларининг асосий қонунлари Тузиш керак: Каршиликлар матрицасини Z Ўтказгишлар матрицасини Y ЭЮК погона матрицасини: Е О -I AC A Е Е 3 I O B Е 4 I AC C О Кучланиш ва токлар векторлари: U I U U I I U 6 I 6 Куп улчамли қувватлилик вектори : S I U I U I U...I 6 U 6 S S...S 6 Куп улчамли қувватлилик вектори ЭЮК манбалари: * * * S E I E I E I E... I 6 E 6 S E S E S 6E Ток манбаларининг куп улчамли вектори: * * S I IU AC -I AC U AC 0 I AC U AC ОМ ҚОНУНИ U E - z I - z I - - z I U E - z I z I - - z I.. U E z I z I - - z I
6 U E z z z I U E - z z z I. U E z z z I U E z I Электр схемаси учун Ом қонуни КИРХГОФНИНГ I - қонуни I c 0 Ток манбаи булмаган холат учун Кирхгофнинг - қонуни ПI + I 0 Ток манбаи булган холат учун Кирхгофнинг -қонуни КИРХГОФНИНГ II ҚОНУНИ U c 0 Г t U 0 Туғридан- туғри Ом ва Кирхгорф қонунлари асосида электр занжирлари хисобланмайди бизнинг холат учун. р сонли шахобчалар учун якуний тенгламалар системаси р номаълум токлар ва р номаълум кучланишларга эга булади. Умумий номаълумлар сони р. ПI + I 0 p > q Г t U 0 КИРХГОФ конунларининг услублари U E z I Кирхгофнинг - тенгламасига кучланиш учун Ом қонунининг мазмунини қўямиз. Г t E z I 0
7 Г t E - Г t z I 0 Г t E Г t z I Келип чиққан тенглама Кирхгофнинг токлар системаси учун ёзилган тенгламаси. Ток манбаи бар булган холат учун Кирхгофнинг -чи қонуни хисобга олган холда токларнинг хисоблаш тенгламаси П -I. I Г t Z I z - E U I Y E U Г t E Г t U 0 < p Ушбу тенглама ёрдамида кучланишларни хисоблаш мумкин эмас Тенгламалар сони номаълум сонидан кам булади. Шунинг учун қўшимча тенгламалар мавжуд. Чу сабапли мавжуд булган тенгламаларни занжирнинг бир қисми учун Ом қонунидан оламиз: U E z I шундан Ом қонуни Ток учун Ом қонунига Кирхгофнинг -чи тенгламасини урнатамиз: П I + I 0 Бундан: П Y E U + I 0 П Y E П Y U + I 0 ПYU ПYE+I Келиб чиққан тенглама кучланишлар системаси чаклида ёзилган Кирхгофнинг -чи қонуни. Бу тенгламаларнинг сони мустақил тугунлар сонига тенг Натижада кучланиш учун қуйдаги тенгламалар системасига эга булдик: Г t U 0
8 П Y U П Y E + I Тенгламалар. Бу тенгламалар матрица формасида: Г t 0. U ПY ПYE + I q p 3-маъруза Тугун кучланишлари тенгламаларини тузиш. ТАЯНЧ ИБОРОЛАР. Мустақил токлар қолдиқ токлар уланиш матрицаси мустақил токлар тенгламаси. МУСТАҚИЛ ТОКЛАР УСЛУБИ П I -I Ток векторини икки таркибка буламиз: I I I I II I Канча таркибга эга булса шунча мустақил токлар булади. I I I I I + I II I + қолдиқ токлар матрицанинг II векторида I p I- векторга кирувчи токларни мустахил деб хисоблаймиз агар улар орқали электр схемасининг барча токларин курсатиш мумкин булса П П П. Натижада куйдагини оламиз: I I П П. -I I II Ушбу тенгламани тарқатиб ёзамиз: П I I + П I II -I
9 I II -П - П I I I П - I I I I I 0 I I I - I I II -П - П I I I П - I -П - П I П - Мустақил токларни билган холда схеманинг барча токларини аниқлаш мумкин. Мустақил токларни топиш учун Кирхгофнинг токлар системасида ёзилган -қонунини фойдаланимиз. Г t z I Г t E Г t z I I Г t E + Г t z 0 I - - -П П П мустақил токлар тенгламаси Мустақил контурлар сони канча булса тенгламалар сони хам шунча. Белгилаймиз: Б -П - П 0 К Г t z П - Б мустақил токларни турлантириш матрицаси. К ЭЮК га жавоб берадиган токлар манбаи турлантириш матрицаси. Г t z Б I I Г t E + К I z Г t z Б z I I Г t E + К I белгилаймиз: Г t Е контурлик ЭЮК вектори; z I I E кк + Е к z I I E Г t Е Е кк контурлик ЭЮК вектори; К I Е к ЭЮКнинг эквивалент контурларининг вектори
0 Масалан: В I A 4 7 II D 8 E III 5 3 6 IY C Матрицаларда ва векторларда шахобчаларнинг кетма-кетлиги вектордаги токларнинг кетма-кетлиги. билан мос келиши керак ЭЮКдаги Е: векторининг "+" агар у шахобча ток йўналишига мос келса"-" агар мос келмаса 0 Г t z I I Г t E + Г t z I -П - П П - p q + 8 5 + 4 4 мустақил токлар I I I 3 I 4 танлаймиз p шахобчалар q-тугунлар. I I I I I 3 I 4 Мустақил токларни танлашга электр схемасининг биттаси хам толиқ толмаслиги керак акс холда П алохида бўлади ва масала ечимга эга булмайди. Уланиш матрицасини тузамиз: 3 4 5 6 7 8-0 0 0 0 0 А A П П П - 0 0-0 0 0 В B 0-0 0 0 0 - D C 0 0 - - 0 0 C D П П 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 I 0 - - 0 0 0 0 II Г t 0 0 0 0 0 - III 0 0 0 0-0 IY Г t z топишта уринга"z " - - "-z " Қоямиз ва бошқаларида хам шундай. z z 0 0 0 0 z 7 z 8 Г t z 0 -z -z 3 0 z 5 0 0 0 0 0 z 3 0 0 z 6 0 -z 8 0 0 0 z 4 0 -z 6 -z 7 0 I I I 3 I 4 0 0 0 I 0 0 0 I
Б 0 0 0 I 3 -П - П 0 0 0 I 4-0 0 I 5 I I - I 6 I 3 + I 5 I 4 0 0 - I 7 I I 4 0-0 I 8 I I 3 4-5маъруза Чизиқли тенгламалар системасини ечиш усуллари. Гаусс усули. ТАЯНЧ ИБОРОЛАР. Чизиқли тенгламалар системаси түғри метод Гаусс усули итерацион метод үзгаривчини юқотиш кетма кет йуқотиш. Назарий татбикий математиканинг купгина масалалари чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечишга олиб келади. Масаланфункцияни унинг + та нуктада берилган кийматлари ердамида -тартибли купхад билан интерполяциялаш еки функцияни урта квадратли якинлаштириш масалалари чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечишга келтирилади. Чизикли алгебраик тенгламалар системасини хосил килишнинг асосий манбаи узликсиз дифференциал тенгламаларни чекли айирмали тенгламалар билан якинлаштиришдир. Масалан Лаплас дифференциал оператори учун Дирихле масаласини тартиби юкори булган оддий чекли-айирмали тенгламалар системаси билан алмаштириш мумкин. ЭХМ лар яратилиши билан бундай масалалар яна хам купайиб бормакда. Бир жинсли булмаган чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечиш масаласи билан матрицаларнинг тескарисини топиш ва детерминантларни хисоблаш масалалари узвий равишда боглангандир. Чизикли алгебраик тенгламаларни ечиш асосан икки аник ва итерацион усулларга булинади. Аник еки түғри метод деганда шундай метод тушиниладикиунинг ердамида чекли микдордаги арифметик амалларни аник бажариш натижасида масаланинг аник ечимини топиш мумкин. Хаммага таниш Крамер усули аник методга мисол була олади. Лекин Крамер коидаси одатдаамалда ишлатилмайдичунки бу метод билан -тартибли чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечиш учун! тартибдаги амалларни бажариш керак. Бу нихоятда катта сон булиб бу коида билан хатто e0 тартибли системани ечиш учун хазирда мавжуд булган ЭХМлар ожизлик килади. Итерацион методлар шу билан характерланадикичизикли алгебраик тенгламалар ситемасининг ечими кетма-кет якинлашишларнинг лимитидан топилади. Түғри методлардан Гаусс усули билан танишамиз.бу усулни номаълумларни кетма-кет йукотиш усули деб хам атайдилар. Бу методни икки йул билан амалга ошириш мумкин` а тенгламаларнинг керакли комбинациясини тузиш` б алмаштиришнинг хар бир кадамида система матрицасининг бирор элементини еки бир устундаги диогнал элементи остидаги барча
элементларини нольга айлантириш максадида бу матрицани махсус равишда танлаб олинган матрицага купайтиришдан иборатдир. *ар иккала холда хам алмаштиришлар натижасида берилган система унга тенг кучли булган системага утиши ва сунги система содда куринишга эга булиши керак. Ушбу система берилган булсин матрица шаклида A b бу ерда A { a j } j -матрица b { b j } j -вектор { } номаълум вектор. q системани кенгайтирилган куринишда езсак a + a +... + a b a + a +... + a b a + a +... + a b w системани куйидаги күринишда езиш мумкин j - 0 0 aj j a + 3 0 бу ерда a + b. 0 Агар a 0 ва етакчи элементлар a нолдан фаркли булса 3 система учбурчак холига олиб келинади. + + j + aj j a 4 Бу ерда етакчи элементлар a ва коэффициентлар куйидаги формулалар ердамида ҳисобланади aj aj / a aj aj a aj 5 бу ерда + + + j +. Номаълумларни кетма-кет аникловчи тескари юриш куйидагича бажарилади. a a + + j + a j j 6 Энди Гаусс усули билан системани ечишда бажариладиган арифметик амаллар сонини аниклаймиз. Лемма. Қуйидаги тенгликлар уринлидир` + + + 7 6 узгарувчини юкотишда куйидаги амаллар бажарилади` а олдидаги коэффициентга биринчи тенгламани булганда -булиш бажарилади`
б Қолган -q тенгламадан узгарувчини юкотганимизда купайтириш ва айириш бажарилади. Шундай килиб бу амаллар натижасида арифметик амаллар сони Q + -үзгарувчини юкотишда хам шунга ухшаш амаллар бажарилади Q + + Шундай килиб 7згарувчини ю3отишда Q + + арифметик амаллар бажарилади. Түғри юришда умумий амаллар сони Q Q [ + + ] 3 арифметик буннан -+q деб лемма ни қуллансак + + + Q 3 8 3 + 3 6 Тескари юришда Q 9 арифметик амаллар бажарилади.умумий арифметик амаллар сони 3 3 7 3 Q Q + Q + 0 3 6 3 6-маъруза. Чизиқли алгебраик тенгламаларни ечишнинг итерацион усуллари. Якоби ва Зейдель итерацион усуллари. ТАЯНЧ ИБОРОЛАР.Итерациялик усул Якоби усули Зейдель усули релаксация усули диагональ матрица. Ушбу системани курайлик` A T T бу ерда A { aj} j...... Матрица A ни e та матрица йигиндиси сифатида курсатайлик A A + D + A бу ерда D dag[ a a... a ] диоганал матрица A -куйи учбурчакли матрица A -юкари учбурчакли матрица. Бу куринишди хисобга олиб системани езиш мумкин D A D A + D 3
4 Агар e системадан куйидаги итерациялик усулни олиш мумкин + D A D A + D 4 еки + D + A + A Бу усулга Якоби итерацион усули дейилади.унинг кенгайтирилган езилиши куйидагича a m a + j j j j + j a j + a a 5 0... 0 Итерациянинг туктатилиши куйидаги шартга боглик + ma < ε 6 r формуладан яна бир итерацион усулни Зейдель усулин келтирамиз + + D A D A + D 7 еки a a + j + j j j + j a j + a a 8 0... 0 Якоби ва Зейдель итерацион усулларининг езилишидан уларнинг якинлашувлигин тезлатиш максадида итерацион параметрлар киритиш мумкин у холда r ва u формулалардан куйидаги схемани олиш мумкин` + D + A 9 τ + + D + A + A 0 τ + Бу ерда o ва q0 Якоби ва Зейдель итерацион усуллари биркадамли итерацион усулларга етади. Итерацион параметрлар τ + нинг танланиши итерацион усулларнинг якинлашувлигин татбик килишда аникланади. Умумий холда бир кадамли итерацион усулларди куйидаги каноникалик турда езиш мумкин + B + + A 0... τ + бу ерда B + -итерацион усулнинг турига караб аникланувчи матрица τ + - итерацион параметр. 0 B... -матрицаларнинг мавжудлиги ва - бошлангиш якинлашиш берилиши талаб килинади. Итерацион усул qq очик дейилади агар B + E. Епик итерацион усуллар кушимча хисоблашларни талаб килади яъни B + матрицаларининг тескарисини топиш керак. Лекин епик итераццион усуллар якинлашиш тезлиигининг
5 юкорилиги билан ажралиб туради. Итерацион усул стационар дейилади агар B B + τ τ + булса. Куйидаги итерацион усул Зейдел усулининг умумлаштириш тури булиб юкори релаксация усули дейилади` 0... + + + A A D ω ω бу ерда ω τ + - сонли параметрлар. 7-маъруза. Мавзу` Чизиқли эмас тенгламалар системаси учун итерацион усуллар. ТАЯНЧ ИБОРОЛАР. Каноник шакл узликсиз дифференциалланувчи яқинлашиш итерацион жараен. Биз энди итерация усули билан 0... 0... 0... тенгламалар системасини ечиш масаласига утамиз.бунинг учун аввал q- системани бирор усул билан куйидаги каноник шаклга келтириб оламиз`......... ϕ ϕ ϕ Каноник шаклга келтиришнинг битта усулини курсатайлик. ва системаларни куйидаги вектор тенглама шаклида езсак...... 0 F F ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 3 e тенгламадан F ϕ τ ифодани келтириб чикарамиз бу ерда τ - итерацион параметр. Демак w формулада ϕ ларни.................. τ ϕ τ ϕ τ ϕ 4 күринишида олиш мумкин.
6 0 0 0 0 Фараз килайлик... дастлабки якинлашиш топилган булсин у холда кейинги якинлашишлар куйидагича топилади` + ϕ... + ϕ... 5 + ϕ... Бу итерацион жараен якинлашишнинг етарли шартларини аниклаш учун кискартириб акс эттириш принципин куллаймиз. Шу максадда улчовли векторлар фазоси R да... вектор w системанинг унг томонидаги ϕ ϕ... ϕ функцияларнинг кийматларидан тузилган ϕ векторни олиб y ϕ операторни аниклаймиз. Бу оператор ердамида итерацион жараен куйидаги куринишда езилади + ϕ 0... 6 t итерацион усулнинг якинлашувчилиги хакида Теорема. Фараз килайлик` ϕ... функциялар 0 ma δ 7 сохада аиникланган ва узликсиз дифференциалланувчи булсин` бу сохада ϕ ma q < j j 8 тенгсизликларни каноатлантирсин` 0 0 0 3 дастлабки якинлашиш... учун 0 0 0 0 ϕ... η δ q шартлар бажарилсин. У холда w тенгламалар системаси u сохада ягона ξ ξ ξ... ξ ечимга эга булиб t тенгликлар билан аникланган кетмакетликлар бу ечимга интилади ва интилиш тезлиги η ξ q q тенгсизликлар билан бахоланади. 8-маъруза Ночизиқли тенгламаларни ечишнинг Ньютон усули. ÒÀßÍ ÈÁÎÐÎËÀÐ. ßêîáè ìàòðèöàñè Òåéëîð àòàðè êåòìà êåò èíëàøèøèíëàøèø Íüþòîí óñóëè äåòåðìèíàíò.
7 Энди тенгламалар системаси учун Ньютон итерацион усулини караймиз. Бу ерда системанинг 3 вектор формада езилишин караймиз. Фараз килайлик бизга q системанинг такрибий ечими маълум булсин. 0 ε ε ε... ε оркали ξ вектор-хатони белгилаймиз. e системада 0 урнига + ε ни куйиб хосил булган системанинг чап томанини ε даражаларига нисбатан Тейлор каторига ейиб куйидаги такрибий системага эга буламиз` 0 0 F ε F 9 бу ерда...... F 0... Якоби матрицаси. o системани ечиб хатонинг такрибий киймати 0 0 0 0 0 0 ε ε ε... ε ни топамиз. ε ни га кушиб навбатдаги якинлашиш векторини хосил киламиз 0 0 + ε 0 Өз навбатида ни яхшилашимиз мумкин бунинг учун урнига ни куйиб o системани тузиш керак. Фараз килайлик ξ нуктада F ε махсусмас матрица булсин. Детерминант уз элементларининг узликсиз функциялари булганлиги учун ξ нуктанинг бирор G атрофида махсусмас матрица булибунинг тескариси F мавжуд булади. Фараз килайлик 0 G у вактда o системанинг хар иккала томонини F 0 га купайтириб 0 0 0 ε F F еки 0 0 0 F F + ни хосил киламиз. Агар... лар G атрофида етса у холда ни + F F + тенгликдан топамиз. Бу кетма-кет якинлашишларни топиш учун Ньютон коидасидир. Унинг якинлашиши учун куйидаги теорема уринли 0 Теорема. Агар F вектор-функция ва дастлабки якинлашиш вектори куйидаги шартларни каноатлантирса` 0 нуктада F 0 Якоби матрицасининг детерминанти нольдан фаркли ва элементнинг алгебраик тулдирувчиси j булиб ва
8 B j j бахо уринли булса~ w 0 η 3 0 нинг B 0 η атрофидаги барча нукталар учун L j j тенгсизликлар бажарилса` 4 l B η микдорлар l B h η шартини каноатлантирса у холда 0 нуктанинг B h h 0 η атрофида q система ягона... ξ ξ ξ ξ ечимга эга булиб итерацион жараен якинлашувчи булади ва якинлашиш тезлиги ma ξ Bη h тенгсизлик билан бахоланади. Агар бизга иккита 0 0 y g y тенгламалар системаси берилган булса у холда qq коида куйидагича езилади` y y y y y y z g z z g z z g z z g z y y z g z z g z z g z z z g + + бу ерда... 0 y z формулалар дейилади. Кулайлик учун нукталар билан биргаликда ω купҳадини курамиз.
9- маъруза Ньютоннинг модификацион усули. 9 ТАЯНЧ ИБОРОЛАР.Квадратур формуласи купҳад қолдиқ. ТЕОРЕМА. квадратур формула даражаси 5-q дан ортмайдиган барча купхадларни аник интеграллаш учун куйидаги шартларнинг бажарилиши зарур ва етарлидир` формула интерполяцион булади ω купхад [ab] ораликда даражаси дан кичик булган барча q купхадларга ортогонал булиши керак` b a P ω q d 0 ТЕОРЕМА. Агар P вазн [ab] ораликда уз ишорасини сакласа у холда A лар ҳар қандай танланганда ва тенглик w-даражали купхадлар учун аник була олмайди. Гаусс типидаги квадратур формуланинг барча коэффициентлари A мусбатдир. Хакикатан хам ω ϕ купхад учун Гаусс формуласи аник чунки w-w даражали` b P ϕ d A [ ω ] a бундан A > 0 келиб чикади. Гаусс формуласининг колдик хади хакида` ТЕОРЕМА 3. Агар [ab] ораликда функция w тартибли узликсиз хосилага эга булсау холда шундай ξ [ a b] ну3та топиладики Гаусс формуласининг қолдиқ ҳади b ξ RN P d A P ω d a! a 3 Энди Гаусс квадратур формулаларининг хусусий холларин курайлик.куйидаги интегрални хисоблаш керак булсин b I d 4 Маълумки [-qq] ораликда ортогонал булган купхадлар системасини Лежандр купхадлари ташкил этади` d L 5! d ва куйидаги дифференциал тенгламани каноатлантиради L + L + L 0 6
0 Гаусс квадратур формуласининг коэффициентин курсатамиз l A d L' [ L' ] тугунларни L 0 тенгламадан аниклаймиз. Бу формуланинг колдик хади куйидаги куринишда булади` + 4! R N ξ 3 [!] + ξ 8 Гаусс формуласининг qwe булгандаги тугунлари коэффициентлари қолдиқ ҳадларини келтирамиз` : 0 A R " ξ 3 4 : 057735069 A A R ξ 35 5 8 0 3 : 0774596669 0 A A3 A R3 ξ 9 9 5750 Эрмит квадратур формуласи деб куйидаги квадратур формулага айтамиз` d cos π Унинг колдик хади - маъруза Чизиқли программалаш масалаларининиг стандарт ва каноник шакллари РЕЖА.. Чизиқли программалашнинг биринчи стандарти. Чизиқли программалашнинг иккинчи стандарти 3. Чизиқли программалаш масалаларини стандарт еки каноник шакллари Чизиқли программалашнинг биринчи стандарт шакли қуйдагича: 7 Қуйдаги векторларни киритамиз:
; ; Ва қуйдаги матрицани киритамиз: комбинацияси ва векторларнинг скаляр купайтмаси. Шу сабапли масаласи куйдаги шаклга эга:. Агар матрица шаклини фойдалансак унда: купайтмаси формуласи ва масаласи қуйдаги шаклга эга булади 3 Чизиқли программалашнинг иккинчи стандарт шакли қуйдагича: 4 Бу масала вектор шаклида қуйдагича езилади:
5 Ва матрица шаклида қуйдагича езилади: 6 Чизиқли программалашнинг масаласининг каноник шакли қуйдагича: 7 Бу масала вектор шаклида қуйдагича езилади: 8 Ва матрица шаклида қуйдагича езилади: 9 Шу масалаларнинг хаммасида функция деп номлаймиз. коэффициентининг векторлари деп номлаймиз. Матрицаси-коэфициентлар матрицаси функциясини мақсадли векторини чизиқли шаклининг векторини чеклаш вектори Масаланинг чеклашига жавоб берадиган хохлаган сонлар куплиги режа деп ва шу режаларнинг куплиги мумкин булган область деп номланади. Мақсадли функциянинг экстремумини максимум еки минимум келтириб чиқадиган режа чизиқли программалаш масаласининг оптимал режаси еки ечими деп номланади.
3 Чизиқли программалаш масалаларини стандарт еки каноник шаклларга келтириш қонунлари Энди хар хил чизиқли программалаш масалаларини йуқорида курсатилган стандарт шаклларга келтириш усулларини куриб чиқамиз.. ma нинг m га айланиши ва шунинг тескариси Агар чизиқли программалаш масалаларида мақсадли функция қуйдагича берилса унда уни - га купайтирамиз: Белгининг узгариши нинг га ва уз навбатида нинг га узгаришига олиб келади Агар чекланиш қуйдагича берилса. Тенгламанинг белгиларининг узгариши. унда уни - га купайтирамиз: Шундай этиб катта еки тенг тенгламани кичик еки тенг тенглама шаклига олиб келиш мумкин. 3. Тенгламанинг тенгсизликлар системасига айланиши. Агар масала қуйдагича чекланган булса унда уни иккита тенгламанинг эквивалент системаси билан алмаштириб езиш мумкин Йуқорида курсатилган машқлар чизиқли программалаштириш масалаларини стандарт шаклга олиб келиш имконини беради. 4. Тенгсизликнинг тенгламага айланиши..
4 Чизиқли программалаш масалалари қуйдагича шаклга эга булса 0 Бу ерда бирламчи r чекланишлар кичик еки тенг белгиларига эга тенгсизликлар шаклига уқшайди ундан кейин катта еки тенг белгиларига эга тенгсизликлар езилади ва ундан кейин белгисига эга чекланишлар езилади. Хамма чекланишлари тенглама шаклига эга масалаларни каноник шаклга келтириш учин минус белгисига эга эмас -қушимча узгарувчиларини киритамиз ва берилган масалани қуйдагича езамиз
5 кичик еки тенг белгисига эга тенгсизлигига қушимча терис эмас узгарувчини қушамиз катта еки тенг белгисига эга тенгсизлигидан қушимча узгарувчини оламиз. Бу қушимча узгарувчиларни мақсадли функцияга 0 коэффициенти билан киритамиз демак улар мақсадли функциясида иштирок этмайди. 0 масаланинг каноник шаклидаги ечимини топгандан кегин киритилган қушимча узгарувчиларни олиб ташлаймиз Масалани каноник шаклга келтиринг Машқ қушимча узгарувчиларини киритамиз. ma ни m га узгартириб езамиз масаланинг эквивалент каноник шакли 5. Узгарувчиларнинг терис эмаслигига чекланишлар. Йуқорида барча курсатилган шаклларда узгарувчиларнинг хаммаси терис эмас булиши шарт эди еки Реал масалаларда эса узгарувчилар мумкин Бундай масалаларни қуйдагича ечамиз шаклига эга булиши а Майли узгарувчисига умуман хеч қанақа чекланиш қуйилмаган булсин. Масалани каноник шаклга келтириш учун иккита янги ва узгарувчиларини киритамиз ва: деб хисоблаймиз.после этого заменив в исходной задаче ни га алмаштириб биз чизиқли программалаштириш масаласинтнг каноник шаклини оламиз.
6 б Майли га икки тарафи чекланган шакл қуйилган булсин. узгарувчисини киритамиз. Шунда булади ва у стандарт шаклдаги чекланишни беради. Вводя дополнительную неотрицательную переменную қушимча терис эмас узгарувчисини кирита утириб икки тарафлама чекланишни қуйдагича езишга булади: Берилган боғлиқликта нинг урнига қуйилса ва унга қушилса бизнинг масаламиз каноник шаклга эга булади. -маъруза Чизиқли программалаш масалаларининиг геометрик интерпретацияси. График усули. ТАЯНЧ ИБОРОЛАР. Чизиқли программалаш мумкин булган область график усули. Бу интерпретация холи учун купироқ тушиникли куринади еки иккита узгарувчи хол учун. Майли бизга чизиқли программалаш масалалари стандарт шаклида берилган дейлик 3 Тегишликда декарт координаталар системасини оламиз ва учин нухталарини қуйиб чиқамиз. жуфт сонлари
Аввалан бор ва чекланишларига этибор берамиз. Улар бутун тегишликнинг биринчи черагини кесади халос -расм. Энди тегишлигига қайси областлар жавоб берадиганини қараб чиқамиз. Аввалан бор тенгсизлигига жавоб берадиган облатини қараймиз. Сиз албатта куриб турганингиздек бу туғри чизиқ. Уни икки нухта ердамида қуришга булади. Майли булсин. Агар булса унда. Агар булса унда. Шундай қилиб туғрида иккита нухта ва жойлашкан. Шу иккита нухта орқали туғри чизиқ йуритишга булади -расм. 7 агар b0 булса унда туғрида 00 нухталари жойлашкан булади. Иккинчи нухтани топиш учин нинг нольдан узгача булган хохлаган маъносини оламиз ва унга жавоб берадиган нинг маъносини топамиз. Қурилган туғри теккисликни иккита ярим теккисликларга булади. Уларнинг биттасида В иккинчисида. Қайси ярим теккислик қандай белгига эга эканлигини қайси нухта қайси тенгсизликка мост эканлигидан куринади. Машқ тегишлигига жавоб берадиган ярим теккисликни топинг. Ечими Аввалан бор туғрисини қурамиз. дея еки оламиз. дея еки оламиз. Шундай этиб бизнинг туғримиз 0 -/ ва 3/4 0 нуқталари орқали утади 3-расм Энди 00 нуқтаси қайси ярим теккисликда етганини куиб чиқамиз. Биз га эгамиз еки координаталар боши ярим теккислигига тегишли. Шу туфайли бизга керак булган ярим теккислик хам аниқланди 3- расм.
8 Энди биз чизиқли программалаш масалаларига қайтамиз. Бу жойда m тенглама мавжуд 4 Буларнинг хар бири текисликда қандай да бир ярим тегишликни тузади. Бизни m тенгламаларига жавоб берадиган нуқталар еки шу ярим тегишликларга бир вақтнинг ичида тегишли нуқталар қизиқтиради. Демак 4 тенгишлигидан аниқланган область геометрик алохида чекланишлар орқали аниқланган хамма ярим тегишликларнинг умумий кисми билан ифодаланади. уларга ва қушамиз Йуқорида курсатилганидек бу область чизиқли программалаш масалаларининиг мумкин булган области деб номланади. Машқ Қуйдаги чекланишлар билан аниқланадиган чизиқли программалаш масалаларининиг мумкин булган областларини топинг. 5
9 Ечими. туғрисини куриб чиқамиз. Агар ва. Шундай қилиб туғри 0 ва -0 нуқталари орқали утади. булса -0+0< булади ва бизни қизиқтираетган яримтеккислик 4а-расмда курсатилган туғрининг пастида жойлашкан.. туғрисини куриб чиқамиз. Агар. булганлиги сабапли туғри 0 -/ ва 0 нуқталари орқали утади 4брасм. 3. туғрисини куриб чиқамиз. 0+0<3 булганлиги сабапли туғри 03 ва 30 нуқталари орқали утади ва бизни қизиқтираетган яримтеккислик 4а-расмда курсатилган туғрининг устида жойлашкан 4в-расм. Хаммасини бир расмга йиғип ва унга шартини қушсак хамма чекланишларга 5 жавоб берадиган 5-расмни оламиз. Энди бир вақт ичида қуйдаги тенгсизлик бажариладиган холатка қайтамиз
30 6-.. Асосий холат олинган область ишган выпуклый куп бурчаклик шаклига эга 6-расм.. Асосий эмас холат 7-расмда курсатилганидек чекланмаган ишган выпуклый куп бурчаклик олинади. Бундай холат масалан курилаеткан машқта чекланишларини олиб ташлаганда юзага келиши мумкин. Қолган қисми чекланмаган ишган выпуклый куп бурчаклик булади. 3. 4. Агар 6 холатда тенгсизликлар бир-бирига қарама-қарши келса унда мумкин булган область умуман буш булади. Энди аввал берилган чизиқли программалаш масаласига қайтамиз. Унда тенгсизликлар системасидан бошқа мақсадли функцияси мавжуд. туғрисини қараб чиқамиз. L ни купайтирамиз. Бизнинг туғримизга нима булатиганини куриб чиқамиз Бизнинг туғримиз вектори йуналишида узига узи параллель силжийди чунки бу вектор бизнинг туғримизга нормаль ва бир вақтта функциясининг градиентининг вектори булиб хисобланади.
Энди хаммасини бирерга йиғамиз. Шундай қилиб масалани ечамиз 3 Масаланиниг чекланишлари қандайда бир куп бурчакликни бир неча теккисликларга булади. Қандайда бир L холатида туғриси мумкин булган областини кесиб утади. Бу кесилиш режа булиб хисобланган узгарувчиларининг қандайда бир маъноларини беради. L ни купайтирсак оширсак бизнинг туғри хам силжий бошлайди ва унинг мумкин булган область билан кесилиши хам узгаради 9-расм. Нихоят бу туғри мумкин булган областьнинг чегарасига утади ва шу куп бурчакликнинг тепаларининг биттаси булиб хисобланади. L ни янада купайтирсак туғрисининг мумкин булган область билан кесилиши буш булади. Шунинг учин хам туғрисининг мумкин булган областининг чегарадаги нуқтасига чиқиши масаланинг ечими хисобланади ва L нинг маъноси мақсадли функциянинг оптимал маъноси булиб хисобланади. Машқ Масалани ечинг 7-.3
3 Ечими Мумкин булган областини биз 5-расмдагидек қилиб қуриб утканмиз. Шу расмни фақат мумкин булган областини қолдириб ва унга қушимча туғрисини қушиб чизамиз 0-расм. Масалан L булсин. Унда туғриси 0-расмдагидек 0 ва 0 нуқталари орқали утади. Энди L ни устирамиз. Унда туғри стрелка йуналишидагидек узига узи параллель силжийди. L нинг максимал маъноси туғри куп бурчакликнинг тепаси билан кесилишганда булади. L ни янада устирсак туғри куп бурчакликнинг чегарасидан чиқиб кетади ва туғрининг куп бурчаклик билан кесилиши буш булади. Ажратиб олинган тепалик қуйдаги туғриларнинг кесилишида жойлашкан Шунинг учин у координаталарига эга. Шу бизнинг масаланинг ечими хисобланади еки масаланинг оптимал режаси оптимальный план 7. Бунда мақсадли функциянинг маъноси ва бу унинг максимал маъносини беради. Оптимал режа мумкин булган областини қурувчи куп бурчакликнинг тепаларининг бирига жавоб берадиганлигига эътибор беринг. Ва фақат туғрисининг ечими битта эмас булган холатга жавоб беради. Лекин бу холатда хам чегараларга жавоб берадиган тепалар хам чизиқли программалаш масалаларининг оптимал планларини беради. Шундай этиб чизиқли программалаш масалаларини ечишда мумкин булган областларнинг тепалари алохида роь уйнайди.
33 Агар мумкин булган область чекланмаган булса унда мақсадли функциянинг маъноси хам чекланмаган булади. Бу машқлар натижасида қуйдаги хулосаларга келдик:. Мумкин булган область бу кутарилган куп бурчаклик;. оптимум мумкин булган областнинг тепасида булади агар мумкин булган область чегараланган ва буш эмас булса; 3. Мумкин булган областьда мақсадли функциянинг чегараланиши масаланинг шартли ва етарли шароити булиб хисобланади. 3-маъруза ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАШНИНГ УМУМИЙ МАСАЛАСИ. ЛАГРАНЖНИНГ ИНТЕРПОЛЯЦИОН ФОРМУЛАСИ. РЕЖА:.Масаланинг куйилиши..интерполяцион купхадларнинг мавжудлиги ва ягоналиги. 3.Лагранж интерполяцион формуласи. Бирор ходисани урганишда у ва х микдорлар орасида шу ходисанинг микдор томонини аникловчи функционал богланиш борлиги аникланган булсин; бунда yх функция номаълум булиб лекин тажриба асосида аргументнинг [ab] кесмадаги 0... кийматларида функциянинг у 0 у у... у кийматлари аникланган булсин. Бундаги масала yх номаълум функцияни [ab] кесмада аник ёки такрибий тасвирлайдиган хисоблаш учун мумкин кадар кулай масалан купхад ёки тригонометрик функция шаклидаги функцияни топишдан иборат. Бу масалани умумийрок шаклда бундай айтиш мумкин: [ab] кесмада номаълум yх функциянинг + та хар хил 0... нукталардаги кийматлари берилган: y 0 х 0 y х y х ; хфункцияни такрибий ифодалавчи даражаси дан катта булмаган Рх купхадни топиш талаб этилади. Бундай купхад сифатида 0... нукталардаги кийматлари х функциянинг у у... у кийматлари билан мос равишда бир хил булган
34 купхадни олиш кераклиги табиийдир у вактда функцияни интерполяциялаш масаласи деб аталадиган бу масала бундай ифодаланади: берилган х функция учун берилган 0... нукталарда y 0 х 0 y х y х кийматлар кабул киладиган даражаси дан катта булмаган Рх купхадни топиш керак. Топилган Рх функция интерполяцион формула дейилиб 0... лар интерполяция тугунлари дейилади. Тенг масофаларда ётувчи кушни тугунлар орасидаги масофа hх -х - ни интерполяция кадами дейилади. Амалда топилган Рх интерполяцион формула х функциянинг берилган х аргумент кийматларидаги интерполяция тугунларидан фаркли кийматларини хисоблаш учун кулланади. Ушбу амал функцияни интерполяциялаш дейилади. Агар х [ab] булса интерполяциялаш х [ a b] булса экстраполяциялаш дейилади. Изланаётган купхаднинг куринишини куйидагича олайлик: L a0 + a + a +... + a бу ерда а 0 номаълум узгармас коэффициентлар. Интерполяция масаласидаги шартга кура L х функция х 0... интерполяция тугунларида L 0 y0 L y... L y кийматларга эришади. У холда х 0 интерполяция тугунида L х интерполяцион купхад киймати L 0 a0 + a0 + a0 +... + a0 куринишга х интерполяция тугунида L a0 + a + a +... + a ва нихоят х интерполяция тугунида L a0 + a + a +... + a куринишга эга булади. Буларни + номаълумли тенгламалар системаси куринишида ифодалаймиз: a0 + a0 + a0 +... + a0 y0 a0 + a + a +... + a y... a0 + a + a +... + a y бу ерда х тугунлар ва у 0 мос равишда берилган функциянинг жадвал кийматлари. Системадаги a 0 a... a номаълумларни Крамер формуласи ёрдамида аниклаймиз: 0 a 0 a... a 3 бу ерда - система детерминанти. Агар 0 булса ухолда система ягона ечимга эга булади. Хакикатан системанинг детерминанти.. 0 0.. 3 0 3.......... 0.
... Номаълум a 0 a... a коэффицентларни аниклаб изланаётган купхадни 0 L + + +... + 4 каби ифодалаш мумкин. Ёки бошкача 0 тугунлар устма-уст тушмаган холда нолдан фаркли булади. L 0 0 0 y Q + y Q +... + y Q y Q 5 куринишда ифодалаш мумкин. Бу ердан куриниб турибдики Q х функция 0 агар j булса Q j δ j агар j булса шартни Кронекер белгисини каноатлантириши керак осонгина текшириб куриш мумкинки бундай шартни каноатлантирувчи купхад 0... +... Q 6 0... +... куринишда булади. 0... +... нукталарда Q х функция 0 га х нуктада га тенг булади. 5 формулада 6 натижани эътиборга олсак 0... +... L y 0 0... +... 7 куринишдаги Лагранж интерполяцион формуласига эга буламиз. 7 формулада булса 0 L y0 + y 0 0 чизикли ва булса 0 0 L y0 + y + y 9 0 0 0 0 параболик интерполяцион формулага эга буламиз. х х Агар тугунлар орасидаги масофа узгармас булса у холда 0 q деб h Лагранж интерполяцион формуласини q q... q C + y L L 0 qh 0! 0 q каби ёзиш мумкин. Ушбу q q... q C q! ифода Лагранж коэффициенти дейилади. ТАЯНЧ ИБОРАЛАР. Интерполяция тугунлари интерполяцион купхад Лагранж интерполяцион формуласи Крамер формуласилагранж коэффициенти. НАЗОРАТ САВОЛЛАРИ. Функционал богланиш нима?. Интерполяциялаш масаласининг куйилишини тушунтиринг. 3. Интерполяциялаш нима? 4. Экстраполяциялаш нима? 35
36 5. Интерполяцион формула нима? 6. Интерполяция тугуни нима? 7. Интерполяция кадами нима? 8. Лагранж интерполяцион формуласини келтиринг. 9. Интерполяция кадами узгармас булган холда Лагранж интерполяцион формуласини ёзинг. 0. Лагранж интерполяцион формуласини хол учун ёзинг. 4-маъруза КУПХАДЛАР БИЛАН ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАШ ХАТОЛИГИ РЕЖА..Лагранж интерполяцион формуласининг колдик хадини бахолаш... Ньютоннинг - ва - интерполяцион формулалари хатоликларини бахолаш 3.Интерполяциялаш тугунларини танлаш хисобига колдик хадни минималлаштириш. Агар бирор [ b] а ораликда берилган х функцияни L п х интерполяцион купхад билан алмаштирсак улар интерполяция тугунларида узаро устма-уст тушиб бошка нукталарда эса фарк килади чизма.шунинг учун колдик хаднинг R хх-l п х куринишини топиш ва уни бахолаш билан шугулланиш максадга У мувофик. Бунинг учун интерполяция тугунларини уз ичига оладиган [ b] Х a ораликда хфункция +- 0 а х 0 х х b п+ тартибли х узлуксиз хосилага эга деб фараз киламиз.интерполяциянинг колдик хади R х учун куйидаги теорема уринлидир. Теорема. Агар х функция [ a b] ораликда +-тартибли узлуксиз хосилага эга булса у холда интерполяция колдик хадини ω п п+ + R х ξ х п +! куринишда ифодалаш мумкин.бу ерда ξ [ ab] булиб умуман айтганда х нинг функциясидир ω + хх- х 0 х- х х- х
Исбот. ни курсатиш учун ёрдамчи ϕ zr z-k ωп+ z функцияни текширамиз бу ерда К номаoлум узгармас коэффициент. Бу функция нинг z х 0 х... хп ларда нолp кийматларни кабул килиши равшан. Номаoлум К коэффициентни шундай танлаймизки ϕ zфункция [ab] даги тугунлардан бошка [ ab]даги ихтиёрий тайин х' нуктада нолга айлансин. Демак ϕх' 0 дан ω + х' 0 булгани учун ' R К. ' ωп+ х Натижада ϕ z функция[ a b] ораликнинг + та х0 х... хп х ' нукталари да нолга айланади. Роллp теоремасига кура ϕ z бу ораликда камида + та нуктада нолга айланадиϕ z эса камида + та нуктада нолга айланади ϕ"z эса п+ камида та нуктада нолга айланади ва хоказо ϕ z камида битта нуктада + нолга айланади. Айтайлик бу нукта ξ булсин ϕ п ξ 0. Бундан L пх нинг -даражали купхад эканлигини хисобга олсак: п+ п+ ϕ ξ ξ -L п+ п+ п+ ξ Kω ξ ξ К +! 0 яoни К ' + ξ п +! п п п+ п ва бундан хамда дан + R. п ξ ' ωп+ х п +! келиб чиыади яoни + R х' п ξ ω+ х'. п +! Бундан ва х' нинг ихтиёрийлигидан формуланинг уринли эканлиги келиб чикади. формула [a b] кесмадаги барча нукталар учун жумладан тугунлар учун хам щринлидир. М + maх + a х b белгилаш киритсак хатолик учун M + R ω + 3 +! бахони оламиз. Агар х 0 х х...х тугунлар тенг узокли булсалар дан Нpютоннинг - интерполяцион формуласининг колдик хади R хh + qq- q- + ξ/+! 4 ни оламиз бу ерда ξ тугунлар ва каралаётган х нуыта орасидаги бирор киймат. Нpютоннинг - интерполяцион формуласи учун 4 урнига R хh + qq+ q+ + ξ/+! 5 ни оламиз. 37
38 Одатда cонни + y айирмалар деярли доимий буладиган килиб олинади. Шунинг учун х функция ва h учун + y деярли доимий деб фараз килсак ва + + lm + h h0 эканлигини хисобга олсак такрибан y + + y ξ 0 + h олиш мумкин. Бу холда Нpютоннинг - интерполяцион формуласининг колдик хади такрибан R х qq- q- + y /+! бщлади. Шу шартларда Нpютоннинг - интерполяцион формуласининг колдик хади учун R х qq+ q+- + y 0 /+! ифодани оламиз. формулани тахлил килсак R х хатолик + ξ ва ω + х га боглик булиб булардан + ξ купайтувчи х функциянинг хоссаларига боглик булиб уни бошкаришнинг иложи йщы иккинчиси ω + х эса интерполяциялаш тугунларини танлаш билан аниыланади. 3дан тугунлар ноыулай жойлашганларида R х нинг юыори чегараси жуда катта булиши мумкин. Маслан в-а> бщлса ва х тугунлар айтайлик а га яыин жойлашган бщлсалар у ъолда в га яыин х нуыталар учун R х умуман айтганда катта бщлиши мумкин. Шунинг учун берилган да ω + х кщпхад [a b] да абсолют миыдор бщйича энг кичик максимал ыиймат оладиган ыилиб тугунларни танлаш масаласи пайдо бщлади. Бу масала рус математиги П. Л. Чебишев томонидан хал ыилинган. У тугунларни кщрсатилган маoнода энг яхши танлаш х b+a/+b-aξ / формула билан берилишини исботлаган бу ерда ξ -соs+ п/+ 0 лар Чебишев купхадлиги деб аталувчи Т + х нинг ноллари. Бу холда в а + ω + 4 булади. Шуни эслатиш керакки бу тугунлар тенг узокли булмайдилар шу билан бирга умумий холда етарли катта да хам R х етарлича кичик булмаслиги мумкин. Таянч иборалар
39 Лагранж интерполяцион купхадлиги Ньютоннинг биринчи интерполяцион купхадлиги Ньютонинг иккинчи интерполяцион купхадлиги интерполяция колдик хади унинг бахоси Ролль теоремаси Назорат саволлари.. Колдик хад нима?. Колдик хадни топиш ва уни бахолаш учун х функция кандай шартни каноатлантириши керак? 3. Колдик хадни кандай куринишда ифодалаш мумкин? 4. Лагранж интерполяцион формуласини ёзинг. 5. Ньютоннинг -интерполяцион формуласини ёзинг. 6. Ньютоннинг - интерполяцион формуласини ёзинг. 7. Ролль теоремасини айтинг. 8. Колдик хад учун юкори чегарани келтиринг. 9. + ξ микдорни чекли айирмалардан фойдаланиб такрибан кандай микдор билан алмаштириш мумкин? 0. Колдик хадни минималлаштиришга эришиш учун тугунларни кандай танлаш мумкин? ` 5-маъруза Энергетика хисобларида эхтимоллилик назарияси услубларини фойдаланиш ТАЯНЧ ИБОРОЛАР. Ишончли воқия мумкин эмас воқия эхтимоллик воқия қарама қарши воқия шартли воқия эхтимоллик.. Тусаттан булган қиймат Эхтимоллик назарияси бу тусиннан булган ходисаларни урганадиган фан. Тусиннан булган ходисаларнинг фойда булиш сабабини хисобга ола олмаслик эхтимоллик назариясининг мавжудлигига олиб келади. Ишончли воқия бу албатта буладиган воқеа. Мумкин эмас воқия бу умуман юзага келмайдиган воқеа. Эхтимоллик тусаттан буладиган воқиянинг юзага келишининг сонли даражаси. РА А эхтимоллиги РА Ишончли воқия РА 0 Мумкин емас воқия 0 РВ M P A N М А воқиянинг тусаттан юзага келишининг мумкинлиги; N воқияларнинг умумий сони; Бу эхтимолликнинг классик қоидаси m P * A - эхтимолликнинг статик қоидаси.
40 утказилган тағирибалар миқдори сони m А воқияси булиб уткан тагириблар миқдори Бир неча воқиялар бир бирига мос келмиайдиган деб аталади агар улардан ҳеч булмаганда иккитаси бир вахтда булиб утмаса. Акс холда улар биргаликтаги воқия деб аталади. Тенг мумкинчиликка эга воқиялар бу булиб утиш мумкинлиги бирдек эхтимолликка эга булган воқеалар. Ҳеч булмаса биттаси адбатта буладиган воқияга эга воқиялар гурухи воқиянинг тулиқ гурухини ташкил этади Агар А воқеаси булмайдиган булса бу холат қарама қарши воқия A деб аталади Боғликли воқия қандай да бир воқия воқияга боғлик булса бу воқия боғлиқли воқияеб аталади. А воқия булиб уткандан кейин буладиган эхтимоллиги шартли воқия деб аталади. РВ/А PA PA 6-маъруза Асосий теоремалар. Ихтомолликни хисоблаш. Эхтимолликларни қушиш теоремаси ТАЯНЧ ИБОРОЛАР. Купайттириш теоремаси статик эхтимоллиги биргаликтаги воқия биргаликтаги эмас воқия тулиқ гурухи эхтимоллиги. Биргаликтаги эмас воқиялар учун. Воқияларнинг суммасининг эхтимоллиги эхтимолликларнинг суммасига тенг P A PA Воқиянинг тулиқ гурухи эхтимоллиги тенг А В С - тулиқ гурухи эхтимоллиги РА + В + С + 3 Биргаликтаги воқиялар учун P A PA PAA + PAAA3... Эхтимолликларни купайтириш теоремаси Икки воқеанинг бир-бирига купайиши бу уларнинг бир вақтда буладиганини билдиради Мустақил воқеаларнинг бир-бирига купайтмаси уларнинг эхтимолликларининг купайтмасига тенг:
4 PПA ПРА Боғлик воқеаларнинг бир бирга купаймаси: PП A PA PA / A PA3 / A A K PA / A AKA -масала: Икки занжир чизиқли электр приемнигининг хар-бир занжирнинг статик эхтимоллиги Р*А Р*А 0-3 Чизиқ озиқланишнинг 75% таъминлайди яъни унинг битта занжири приемник нагрузкасининг 75% ёнади. Чизиқнинг линиянинг занжирларининг иштан чиқишини мустақил воқеа деб хисоблаб озиқланишнинг тулиқ йўналишини ва 5% қувватлик дефицитини хисоблаймиз. Озиқланишнинг тулиқ йўналиши эхтимоллиги А воқеаси Р*АР*А Р*А 0-3 0-3 0-6 Чизиқнинг линиянинг ишлаш эхтимоллиги [Р* A ] P * A P * A P * A -Р*А -Р*А -0-3 -0-3 0999999 0999999 5% - қувватлик дефицити эхтимоллик P * A P * A P * A + P * A P * A 0999999 0-3 000998 -масала: Хаво линияларининг бир плюсли қисқача туйықланиўнинг статик эхтимоллиги 0-3 га тенг Р*А0-3. Фазаларда кучланишнинг купаиши ва хавонинг йонизацияси натижасида келиб чиққан қисқача туйықланиў соғ фазаларнинг чиқишига сабаб булади воқеалар боғлик воқеалар. фазанинг қисқача туйықланиўнинг шартли эхтимоллиги 0 га тенг. Р*В/А0. та фазанинг иштан чиқиши натижасида 3 фазанинг қисқача туйықланиўнинг шартли эхтимоллиги Р*С/ВА05 А В С фазалар эмас улар тусаттан булган воқеалар Иккита плюсли линиянинг қисқача туйықланиў эхтимоллиги: Р*ДР*А Р*В/А0-3 0 0-4 Учта плюсли линиянинг қисқача туйықланиў эхтимоллиги: Р*FP*A P*B/A P*C/BA0-3 0 05 0-4 0-4 3-масала: Энергетик блокни пар қазони пар турбинаси ва элкетр генераторлари ташкил этади. Қазон турбана генератор учун уларнинг алохида алохида элементларининг иштан чиқиш эхтимоллиги: Р к 00; Р т 00; Р г 00
4 Электр блокининг иштан чиқиш эхтимоллигини аниқланг Р б -? Блокнинг ишлаш эхтимоллиги: P Р Р Р -00-00-00098 099 099097 б к т г Блокнинг иштан чиқиш эхтимоллиги: Р б - Pб -0970039 Тулиқ эхтимоллик формуласи: В В В биргаликта булиши мумкин эмас тулиқ гурух воқеалари бошқача айтганда гипотезалар булса А воқеасининг курсатилган воқеалар В В В биттаси билан бир вақтда булишининг эхтимоллигини аниқлаймиз: ААВ +АВ + +АВ РАрАВ +рав + +рав А и В В В боғлик воқеалар Тулиқ эхтимоллик формуласи: РАрВ ра/в +рв ра/в + +рв pa/b PA pb pa / B -масала: Нормал режимдаги кичик токка эга системанинг изоляциясининг иштан чиқишининг ерга қисқача туйықланиўнинг статик эхтимоллиги Р*А/В 000 Система фазанинг ерга қисқача туйықланиўнинг натижасида трансформаторнинг изоляциясининг иштан чиқиш эхтимоллиги: Р*А/В 0005 Системанинг фазаси ерга йилда 00 соатгача боғланиб туради. Трансформаторнинг тулиқ иштан чиқишини топинг: Ечими: Трансформаторнинг ер билан боғлик фазанинг ишлаш эхтимоллиги: Р*В M/N00/8760004 Р*В Системанинг нормал ишлаш эхтимоллиги. Р*В -Р*В -00409986 Р*АР*В Р*А/В +Р*В РА/В 09986 000+004 00050000456